南京工业大学 运筹学 课件 第2章数学模型
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运筹学课件 3-1、2非线性规划建模、图解法
规划与决策
一.非线性规划举例及数学模型 例1： 某公司经营两种设备,第一种设备每件售价30元,第 二种设备每件售价450元。根据统计,售出一件第一 种设备所需要的营业时间平均是0.5小时,第二种设 备是2+0.25 x 2 小时,其中 x 2 是第二种设备的售出数 量。已知该公司在这段时间内的总营业时间为800 小时,试决定使其营业额最大的营业计划。
f ( x1 , x 2 ) x1 x 2
2 2
的等高线
x2
解： 等高线为 x 1 x 2 c ( 0 )
2 2
是一族以原点为圆心的 同心圆(半径为 c )
0
f ( x1 , x 2 ) c
z 0
x1
L
线性规划3-1 规划与决策
二.图解法 (只用于求解两个变量的非线性规划问题) 3.用图解法求解 例1： 解：
教学计划
第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 第6章 第8章
线性规划 对偶理论 整数规划 目标规划 运输与指派问题 非线性规划 动态规划
4学时 2学时 2学时 2学时 4学时 4学时 2学时
规划与决策
第六章 非线性规划
6.1 非线性规划数学模型
6.2 图解法
6.3 最速下降法 6.4 共轭梯度法(自学) 6.5 罚函数法 6.6 乘子法(自学)
max f 30 x 1 450 x 2
s.t.
设售出第一种设备 x 1件,第二种设备x 2件。 建立数学模型：
0 . 5 x 1 ( 2 0 . 25 x 2 ) x 2 800 x1 , x 2 0
规划与决策
一.非线性规划举例及数学模型 一般的数学模型： Nonlinear programming
运筹学课件——第2讲__线性规划模型(1)
❖ 线性规划模型？
LP模型： 设:配制生产甲饮料x1升,乙饮料x2升.
min Z 2x1 3x2源自x1 x2 350s.t.
2x1 x2
x1
125
600
x1 0, x2 0
例5 投资问题
某集团有1000000元资金供投资，该集团有5个可供选择 的投资项目，其中各种资料如下表：
投资项目 1 2 3 4 5
xb=(x1,x2,…,xm) 加上所有取值为0 的非基变量，得：
x=(x1,x2,…,xm,0,…,0)
称x 为线性规划问题的基解。
令x1=x2=0，解得x3=4,x4=12,x5=18,则x=(0,0,4,12,18)T是一个基解。
A
103
0 2 2
1 0 0
0 1 0
100
P3 ,
P4 , P5
[LP模型]：
min Z 0.1x1 0.06x2 0.18x3 0.12x4 0.04x5
x1 x2 x3 x4 x5 1000000
s.t.00..10x51x1 0.01.708x2x20.01.407x3x3 0.02.206x4x40.00.71xx55
80000 140000
基：设Am×n (n>m)为约束方程组(b)的系数矩阵，其秩为m。 Bm×m 是矩阵A 中的一个m×m 阶的满秩子矩阵(|B|不等于0), ， 称B 是线性规划问题的一个基。不失一般性，设
B
a 11 a 21 a m1
a 12 a 22
a m2
a 1m a 2m
a mm
第1章 线性规划
❖ 本章要求： 1.掌握并熟练应用线性规划的模型处理实际问
题 2.掌握线性规划的图解法 3.掌握软件求解线性规划 4.了解线性规划对偶问题的基本性质 5.理解有关灵敏度分析内容
LP模型： 设:配制生产甲饮料x1升,乙饮料x2升.
min Z 2x1 3x2源自x1 x2 350s.t.
2x1 x2
x1
125
600
x1 0, x2 0
例5 投资问题
某集团有1000000元资金供投资，该集团有5个可供选择 的投资项目，其中各种资料如下表：
投资项目 1 2 3 4 5
xb=(x1,x2,…,xm) 加上所有取值为0 的非基变量，得：
x=(x1,x2,…,xm,0,…,0)
称x 为线性规划问题的基解。
令x1=x2=0，解得x3=4,x4=12,x5=18,则x=(0,0,4,12,18)T是一个基解。
A
103
0 2 2
1 0 0
0 1 0
100
P3 ,
P4 , P5
[LP模型]：
min Z 0.1x1 0.06x2 0.18x3 0.12x4 0.04x5
x1 x2 x3 x4 x5 1000000
s.t.00..10x51x1 0.01.708x2x20.01.407x3x3 0.02.206x4x40.00.71xx55
80000 140000
基：设Am×n (n>m)为约束方程组(b)的系数矩阵，其秩为m。 Bm×m 是矩阵A 中的一个m×m 阶的满秩子矩阵(|B|不等于0), ， 称B 是线性规划问题的一个基。不失一般性，设
B
a 11 a 21 a m1
a 12 a 22
a m2
a 1m a 2m
a mm
第1章 线性规划
❖ 本章要求： 1.掌握并熟练应用线性规划的模型处理实际问
题 2.掌握线性规划的图解法 3.掌握软件求解线性规划 4.了解线性规划对偶问题的基本性质 5.理解有关灵敏度分析内容
运筹学第二章运输问题_图文.
第二章线性规划对于产销不平衡问题，可以增加虚设的产地或销地，将不平衡问题转化为平衡问题处理当产大于销时： a b i 1 i j 1 m m n j 可以虚拟一销售地 B n 1 .其销量为： b n 1 a i b j i 1 j 1 n 天津大学管理与经济学部
第二章线性规划当产小于销时： a i 1 m i bj j 1 n 可以虚拟一产地A m 1 .其产量为： a m 1 b j a i j 1 i q n m 天津大学管理与经济学部
第二章线性规划说明：（1）若运输问题的某一个基可行解有几个非基变量的检验数均为负，在继续进行迭代时，取它们中的任一变量为换入变量均可使目标函数值得到改善，但通常取检验数最小者对应的变量为换入变量；（2）当迭代到运输问题的最优解时，如果有某非基变量的检验数等于零，则说明该问题有多重最优解；（3）当运输问题某部分产地的产量和，与某一部分销地的销量和相等时，在迭代过程中有可能在某个格填入一个运量时需同时划去运输表的一行和一列，这时就出现了退化，在运输问题中，退化解时常发生，退化时在同时划去的
一行或一列的某个格中填写数字零，表示这个格中的变量是基变量取值为零，使得基可行解分量为m+n-1个。
天津大学管理与经济学部 。
《运 筹 学》 - 南京工业大学
要求使总运费最小的调运方案。 如果运输问题的总产量等于其总销量，即
∑ a = ∑b
i =1 i j =1
m
n
j
则称该运输问题为产销平衡运输问题；反 之，称为产销不平衡运输问题。 下面建立在产销平衡情况下的运输问题的数 学模型。 解: 假设 xij 表示从Ai到 Bj 的运量,则所求的数 学模型为:
销地 产地 A1 A2 A3 销量 3 3 6 6 5 B1 B2 B3 4 1 3 6 B4 3 产量 7 4 9
应当注意的是，在用最小元素法确定初始基可行解 的时候，有可能出现以下的两种特殊情况： 一是当在中间步骤的未划去的单位运价表中寻找最 小元素时，有多个元素同时达到最小，这时从这些 最小元素中任意选择一个作为基变量；二是当在中 间步骤的未划去的单位运价表中寻找最小元素时， 发现该元素所在行的剩余产量等于该元素所在列的 剩余销售量。这时在产销平衡表相应的位置填上一 个数，而在单位运价表中就要同时划去一行和一列 。为了使调运方案中有数字的格仍为（m + n –1） 个，需要在同时划去的行或列的任一空格位置添上 一个“0”，这个“0”表示该变量是基变量，只不过它 取值为0，即此时的调运方案是一个退化的基可行解 。
（1）、 确定初始基可行解 确定初始基可行解即首先给出初始的调运方案，方法很多， 我们只介绍其中的两种方法： ① 方法一：最小元素法： 最小元素法的基本思想就是就近供应。即从单位运价表中最 小的运价开始确定产销关系，依次类推，直到给出初始方案 为止。下面由例题来说明最小元素法确定初始基可行解的具 体步骤。 例3.2：某公司有3个生产同类产品的工厂，生产的产品由4 个销售点销售，各工厂的生产量、各销售点的销售量以及各 工厂到各销售点的单位产品运价如表3.5所示。问该公司应 如何调运产品，在满足各销售点的需要量的前提下，使总的 运费为最小。
《运筹学第二版》PPT课件
(4) 要有一个达到目标的要求，它可用决策 变量的线性函数(称为目标函数)来表示。 按问题的不同，要求目标函数实现最大化 或最小化。
精选ppt
16
它们的对应关系可用表格表示：
1
活
2
动
m
价值系数
决策变量
x1 x2 xn a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
a m 1 a m 2 a mn
经第2工厂后的水质要求：
[0.8(2x1)(1.4x2 )] 2
700
1000
精选ppt
13
数学模型
目标函数 约束条件
min z 1000 x1 800 x2
x1 1
0.8 x1 x2 1.6
x1 2
x2 1.4
x , x 0 1精选ppt 2
14
共同的特征
(1)每一个线性规划问题都用一组决策变量
拥有量
8台时 16 kg 12 kg
6
续例1
该工厂 • 每生产一件产品Ⅰ可获利2元， • 每生产一件产品Ⅱ可获利3元， • 问应如何安排计划使该工厂获利
最多?
精选ppt
7
如何用数学关系式描述这问题， 必须考虑
•设x1,x2分别表示计 I,II产 划品 生的 产数 称它们为决策变量。
•生产 x1,x2的数量多少，有 受量 资的 源 ,限 拥 这是约束条x1 件 2x2。 8即 ;4x116;4x2 12
19
图1-2
max z 2 x 1 3 x 2
x1 2 x2 2
4 x1
16 4 x 2 12
x 1 , x 2 0
精选ppt
20
图1-3 目标值在（4，2）点，达到最大值14 目标函数 mz ax 2x13x2
精选ppt
16
它们的对应关系可用表格表示：
1
活
2
动
m
价值系数
决策变量
x1 x2 xn a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
a m 1 a m 2 a mn
经第2工厂后的水质要求：
[0.8(2x1)(1.4x2 )] 2
700
1000
精选ppt
13
数学模型
目标函数 约束条件
min z 1000 x1 800 x2
x1 1
0.8 x1 x2 1.6
x1 2
x2 1.4
x , x 0 1精选ppt 2
14
共同的特征
(1)每一个线性规划问题都用一组决策变量
拥有量
8台时 16 kg 12 kg
6
续例1
该工厂 • 每生产一件产品Ⅰ可获利2元， • 每生产一件产品Ⅱ可获利3元， • 问应如何安排计划使该工厂获利
最多?
精选ppt
7
如何用数学关系式描述这问题， 必须考虑
•设x1,x2分别表示计 I,II产 划品 生的 产数 称它们为决策变量。
•生产 x1,x2的数量多少，有 受量 资的 源 ,限 拥 这是约束条x1 件 2x2。 8即 ;4x116;4x2 12
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图1-2
max z 2 x 1 3 x 2
x1 2 x2 2
4 x1
16 4 x 2 12
x 1 , x 2 0
精选ppt
20
图1-3 目标值在（4，2）点，达到最大值14 目标函数 mz ax 2x13x2
运筹学课件第二节图解法.ppt
运筹学教程
基:设A 为约束方程组的m×n阶系数矩阵 (n>m),R(A)=m,B是矩阵A中的一个m×m阶满秩子 矩阵,称B是线性规划问题的一个基,设 P1 P2…Pj…Pm
列向量Pj(j=1,2,…m) 为基向量,Pj 所对应的变量xj 基变量,其余变量为非基变量. 秩:设在矩阵A中存在一个不等于零的r阶子式D,且所有的r+1阶
0
1〡 2〡 3A 4〡 5〡 6〡 7〡 8〡 9〡C
(1/3) x1 +(1/3)x2 =1
两个约束条件 及非负条件x1,x2 0所代表的公共部分 －－图中阴影区，就是满足所有约束条件和非 负条件的点的集合，即可行域。在这个区域中 的每一个点都对应着一个可行的生产方案。
运筹学教程
令 Z=2x1+3x2=c,其中c为任选的一个常数，在图中画出直线 2x1+3x2=c, 这条直线上的点即对应着一个可行的生产方案，即使两种产品的总利润达 到c。 这样的直线有无数条，而且相互平行，称这样的直线为目标函数等值线。 只要画出两条目标函数等值线，比如令c＝0和c=6，就能看出 目标函数值递增的方向， 用箭头标出这个方向。 图中两条虚线 l1和l2就 分别代表 目标函数等值线
a11 . B . am1
. . a1m . . . ( P , P ,......,P ) 1 2 m . . . . . amm
子式全等于零,那么D为A的最高阶非零子式,数r称为A的秩.
运筹学教程
基解:在约束方程组中,令所有的非基变量 xm1 xm2 ...... xn 0 ,有因为有 B 0 根据克莱姆法则,有m个约束方程可解出m 个变量的唯一解, X B ( x1, x2 ,......,xm )T 将此解加上非基变量取0的值有
运筹学第二讲ppt课件 31页
个算法时，可进行时间性能上的比较，以便从中挑选出较优算法。 1、算法的执行时间和语句的频度
一个算法的执行时间大致上等于其所有语句执行时间的总和， 而语句的执行时间则为该条语句的重复执行次数和执行一次所需时 间的乘积。
语句的频度(Frequency Count)：一条语句的重复执行次数。 △ 算法的执行时间=∑原操作(基本操作)的执行次数(频度)× 原操作的执行时间 △ 设每条语句一次执行的时间都是相同的，为单位时间。这 样我们对时间的分析就可以独立于软硬件系统。
lim T(n)/n3 lim (2n33n22n1)/n32
n
n
一个算法的时间复杂度(Time Complexity)是该算法的执行时
间，记作T(n)，T(n)是该算法所求解问题规模n的函数。
当问题的规模趋向无穷大时，T(n)的数量级称为算法的渐近时
间复杂度，记作
T(n)=〇(f(n))
(3) x++;
(4) for(i=1；i<=n；i++)
T(n)=〇(n2)
(5) for(j=1jj<=n；j++)
(6)
y++;
例1.7 变量计数之二
ni j
ni
n
1j i(i1)/2
(1) x=1；
i1 j1 k1 i1 j1
i1
(2) for(i=1；i<=n；i++) [n(n1)(2n1)/6n(n1)/2]/2
它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的
增长率相同，简称时间复杂度。我们就是要找这个f(n) 。
例1.5 交换x和y的值。
temp=x;
一个算法的执行时间大致上等于其所有语句执行时间的总和， 而语句的执行时间则为该条语句的重复执行次数和执行一次所需时 间的乘积。
语句的频度(Frequency Count)：一条语句的重复执行次数。 △ 算法的执行时间=∑原操作(基本操作)的执行次数(频度)× 原操作的执行时间 △ 设每条语句一次执行的时间都是相同的，为单位时间。这 样我们对时间的分析就可以独立于软硬件系统。
lim T(n)/n3 lim (2n33n22n1)/n32
n
n
一个算法的时间复杂度(Time Complexity)是该算法的执行时
间，记作T(n)，T(n)是该算法所求解问题规模n的函数。
当问题的规模趋向无穷大时，T(n)的数量级称为算法的渐近时
间复杂度，记作
T(n)=〇(f(n))
(3) x++;
(4) for(i=1；i<=n；i++)
T(n)=〇(n2)
(5) for(j=1jj<=n；j++)
(6)
y++;
例1.7 变量计数之二
ni j
ni
n
1j i(i1)/2
(1) x=1；
i1 j1 k1 i1 j1
i1
(2) for(i=1；i<=n；i++) [n(n1)(2n1)/6n(n1)/2]/2
它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的
增长率相同，简称时间复杂度。我们就是要找这个f(n) 。
例1.5 交换x和y的值。
temp=x;
第2章 运筹学课件图解法
4x2 12
x2
A
可行域
B
max z 2 x1 3x2 s.t x1 2 x2 8 x1 16 4 x 12 2 x , x 0 1 2
最优解（4，2）
x1
x1 16
x1 2x2 8
结论： 可行域一定是凸集 若最优解存在，则最优解一定 在凸集的顶点达到
上例中求得 问题的解是唯一的， 但对一般线性规划问题，求解结果还 可能出现以下几种情况： 1、无穷多最优解（多重解）
若将上例中的目标函数 max z 2x1 4x2 改为则表示目标函数中以参数的等值线 与约束条件的边界平行，当值由小变大 时，将与此边界重合，线段AB上的所有 点都是最优解。
向量Pj 对应的决策变量是x j
T
用矩阵表述：
max z CX ( LP4 ) s.t AX b X 0
其中
A (aij )mn ( p1, p2 pn )
0 (0,0,0)
T
max z CX s.t AX b X 0
自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线
性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论
上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特 别是在计算机能处理成千上万个约束条件和 决策变量的线性规划问题之后，线性规划的 适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经 常采用的基本方法之一。
§2.1 问题的提出 §2.2 线性规划的图解法 §2.3 图解法的灵敏度分析
2. 存在一定的约束条件，这些约束都可 以用一组线性等式或线性不等式表示。
3. 都有一个要达到的目标，它可以用决 策变量的线性函数来表示。按问题的 不同要求，目标函数实现最大化或最
《运筹学》课件-第2讲
2013-8-12 12
线性规划问题及其数学模型
对于例1，考察其约束条件所围成的范围，作图如下：
m ax z 2 x1 3 x2 x1 2 x2 2 4x 16 1 4 x2 12 x1 , x2 0
可行域
例1中，所有约束条件作为半平面所围成的范围如图中阴影部分 所示。阴影部分中的每一个点(包括边界点)都是这个线性规划 问题的可行解。
2013-8-12 14
线性规划问题及其数学模型
解联立方程组: x1 + 2x2 = 8 4x1 得最优解为： x1 = 4， = 16 x2 = 2，
记为: (x1 , x2)T =(4，2)T或者 最优目标值为：
z = 14。
x1 4 x2 2
2013-8-12 13
线性规划问题及其数学模型
考察目标函数 max z = 2 x1 + 3 x2
将目标函数化为点斜式坐标：
x2=-(2/3) x1 +z/3
最优解
2 z x1 3 3 表示一簇平行线 x2
由于在同一条直线上的所 有点的目标函数取同样的 值，故称为等值线。
……
……
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤（ =, ≥ ）bm cj(j=1,2, …,n)称为价值系数； aij称为技术系数； bi称为限额系 数。
2013-8-12 11
线性规划问题及其数学模型
1.2 图解法
对于含有两个决策变量的线性规划模型，可以利用图解法 (Graph Method)求解。
T
约束条件的m n维矩阵(m<n)
线性规划问题及其数学模型
对于例1，考察其约束条件所围成的范围，作图如下：
m ax z 2 x1 3 x2 x1 2 x2 2 4x 16 1 4 x2 12 x1 , x2 0
可行域
例1中，所有约束条件作为半平面所围成的范围如图中阴影部分 所示。阴影部分中的每一个点(包括边界点)都是这个线性规划 问题的可行解。
2013-8-12 14
线性规划问题及其数学模型
解联立方程组: x1 + 2x2 = 8 4x1 得最优解为： x1 = 4， = 16 x2 = 2，
记为: (x1 , x2)T =(4，2)T或者 最优目标值为：
z = 14。
x1 4 x2 2
2013-8-12 13
线性规划问题及其数学模型
考察目标函数 max z = 2 x1 + 3 x2
将目标函数化为点斜式坐标：
x2=-(2/3) x1 +z/3
最优解
2 z x1 3 3 表示一簇平行线 x2
由于在同一条直线上的所 有点的目标函数取同样的 值，故称为等值线。
……
……
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤（ =, ≥ ）bm cj(j=1,2, …,n)称为价值系数； aij称为技术系数； bi称为限额系 数。
2013-8-12 11
线性规划问题及其数学模型
1.2 图解法
对于含有两个决策变量的线性规划模型，可以利用图解法 (Graph Method)求解。
T
约束条件的m n维矩阵(m<n)
最新运筹学课件-第二节---图解法ppt课件
优值。
运筹学教程
尽管最优点的对应坐标可以直接从图中 给出，但是在大多数情况下，对实际问题精 确地看出一个解答是比较困难的。所以，通 常总是用解联立方程的方法求出最优解的精 确值。
比如E点对应的坐标值我们可以通过求 解下面的联立方程，即求直线AB和CD的交 点来求得。
直线AB: 1/3x1+1/3x2=1 直线CD: 1/3x1+4/3x2=3
用x1轴表示产品A的产量，用x2轴表示产品B 的 产量。 第二步：对约束条件加以图解。 第三步：画出目标函数等值线，结合目标函数 的要求求出最优解-----最优生产方案。
运筹学教程
运筹学教程
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运筹学教程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
令 Z=2x1+3x2=c,其中c为任选的一个常数，在图中画出直线 2x1+3x2=c, 这条直线上的点即对应着一个可行的生产方案，即使两种产品的总利润达
x 1 , x 2 0
0 x2=-2x1+Z
x1+x2=5 x1
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2.2线性规划求解的各种可能的结局
1、无穷多个最优解：将目标函数 max Z=x1+x2 2、无界解：可行域可伸展到无穷，导致目标函数增大到
无限。产生无界解的原因是由于在建立实际问题的数学 模型中遗漏某些必要的资源约束。 3、无解：不存在满足约束条件的可行域。
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x2
5
4
（0，3）
3
（0，9/4）
E（1，2）
2
M a x Z = 2 x 1 + 3 x 2
s .t. 1 1 //3 3 x x 1 1 + + 4 1 // 3 3 x x 2 2 3 1 x 1 ,x 2 0
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尽管最优点的对应坐标可以直接从图中 给出，但是在大多数情况下，对实际问题精 确地看出一个解答是比较困难的。所以，通 常总是用解联立方程的方法求出最优解的精 确值。
比如E点对应的坐标值我们可以通过求 解下面的联立方程，即求直线AB和CD的交 点来求得。
直线AB: 1/3x1+1/3x2=1 直线CD: 1/3x1+4/3x2=3
用x1轴表示产品A的产量，用x2轴表示产品B 的 产量。 第二步：对约束条件加以图解。 第三步：画出目标函数等值线，结合目标函数 的要求求出最优解-----最优生产方案。
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令 Z=2x1+3x2=c,其中c为任选的一个常数，在图中画出直线 2x1+3x2=c, 这条直线上的点即对应着一个可行的生产方案，即使两种产品的总利润达
x 1 , x 2 0
0 x2=-2x1+Z
x1+x2=5 x1
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2.2线性规划求解的各种可能的结局
1、无穷多个最优解：将目标函数 max Z=x1+x2 2、无界解：可行域可伸展到无穷，导致目标函数增大到
无限。产生无界解的原因是由于在建立实际问题的数学 模型中遗漏某些必要的资源约束。 3、无解：不存在满足约束条件的可行域。
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x2
5
4
（0，3）
3
（0，9/4）
E（1，2）
2
M a x Z = 2 x 1 + 3 x 2
s .t. 1 1 //3 3 x x 1 1 + + 4 1 // 3 3 x x 2 2 3 1 x 1 ,x 2 0
运筹学 课件第二章-线性规划模型与图解法
例1：某工厂可生产甲、乙两种产品，需消耗煤、 电、油三种资源。现将有关数据列表如下：
资源单耗 资源 产品
甲 9 4 3 7
乙 4 5 10 12
资源限量 360 200 300
煤 电 油 单位产品价格
试拟订使总收入最大的生产方案。
甲 煤(t)
电（kw· h) 油（t） 单价（万元）
乙 4
5 10 12
第２章
线性规划
（Linear Programming）
第２章
线性规划
2.1 线性规划的模型与图解法 2.2 单纯形法 2.3 对偶问题与灵敏度分析
2.4 运输问题
2.1 线性规划的模型与图解法
2.1.1 问题的引入 （１）生产安排问题 如何合理使用有限的人力、物力和资金， 使得收到最好的经济效益。
1、线性规划问题
2、两个重要结论
1）线性规划的可行域是凸多面体。 2）线性规划的最优解在可行域的角点（顶点）上。
凸多面体
角点 （顶点）
凸多面体
凹多面体
思考题：约束条件不等式的几何意义是什么？ 怎样做图？
例2：（营养配餐问题）假定一个成年人每天
需要从食物中获得3000千卡的热量、55克蛋白 质和800毫克的钙。如果市场上只有四种食品 可供选择，它们每千克所含的热量和营养成分 和市场价格见下表。问如何选择才能在满足营
养的前提下使购买食品的费用最小？
各种食物的营养成分表
解：设xj(j=1,2,3,4)为第j种食品每天的 购入量，z为每天购买食品的总费用，则 配餐问题的线性规划模型为： min z=14x1+6x2 +3x3+2x4 1000x1+800x2 +900x3+200x4 3000 50x1+ 60x2 + 20x3+ 10x4 55 400x1+200x2 +300x3+500x4 800 x1,x2 ,x3 ,x4 0
2-1运筹学数学模型
解:设产品甲、乙产量分别为变量x1 ， x2
max Z= 4x1 +5x2 x1 + x2 45 2x1 + x2 80 x1 +3x2 90 x1，x2 0
例32、运输问题
仓库/工地 1 2 3 库存
1
213
50
2
224
30
3
342
10
需求
40 15 35
设xij为i 仓库运到 j工地的材料数量(i ＝1，2，3， j ＝1， 2，3)
大或极小
一般式
(Mi)nMaxZc1x1c2x2 cnxn a11x1a12x2 a1nxn (,)b1 a2 1x1 a22x2 a2nxn (,)b2 am1x1am2x2 amnxn (,)bm x1,x2 ,,xn 0
aij 结构系数或消耗系数 bi 限定系数或常数项 cj 利润系数或成本系数
minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33
x11 +x12+x13 50 x21+x22+x23 30 x31+x32+x33 10
x11 +x21+x31 = 40 x12 +x22+x32 = 15 x13 +x23+x33 = 35
-0.25x11+0.75x12 -0.25x13 ≤ 0 （原材料2不超过25%） 0.75x21-0.25x22 -0.25x23 ≥ 0 （原材料1不少于25%） -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 ≤ 0 （原材料2不超过50%）
运筹学第二章
第 2 次课 2学时本次课教学重点：线型规划模型有关概念、图解法求解线型规划模型 本次课教学难点：线型规划模型有关概念、各种解的情况分析 本次课教学内容：第二章 线性规划的图解法第一节 问题的提出一、引例例1. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A 、B 两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获利最多？解：分析问题后可得数学模型：目标函数：2110050x x MaxZ +=约束条件：t s . 30021≤+x x 400221≤+x x2502≤x 0,021≥≥x x这是一个线性规划模型，因为：目标函数是线性函数，约束条件是一些线性的等式或不等式。
若目标函数是非线性函数，或约束条件中有非线性的等式或不等式，则这样的问题称为非线性规划。
二、 一般建模过程1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件；2.定义决策变量)......,,(21n x x x ，每一组值表示一个方案；3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确定最大化或最小化目标；4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题过程中必须遵循的约束条件三、 线性规划模型的一般形式目标函数： n n x c x c x c Z Min Max +++=.......)(2211 约束条件： t s . 11212111),(......b x a x a x a n n ≥=≤+++22222121),(......b x a x a x a n n ≥=≤+++…… ……m n m n m m b x a x a x a ),(......2211≥=≤+++0,......,0,021≥≥≥n x x x第二节 图 解 法对于只有两个决策变量的线性规划问题，可以在平面直角坐标系上作图表示线性规划问题的有关概念，并求解。
下面通过例1详细讲解其方法 一、 有关概念1、 可行解：满足约束条件的解2、 可行域：全体可行解的集合。
运筹学课件第二节图解法
尽管最优点的对应坐标可以直接从图中 给出，但是在大多数情况下，对实际问题准 确地看出一个解答是比较困难的。所以，通 常总是用解联立的坐标值我们可以通过求解 下面的联立方程，即求直线AB和CD的交点 来求得。
直线AB: 1/3x1+1/3x2=1 直线CD: 1/3x1+4/3x2=3
s . t 1 1 / / 3 3 x x 1 1 + + 4 1 / / 3 3 x x 2 2 1 3 x 1 , x 2 0
该线性规划的可行域为上图中四边形
OAED〔即阴影区〕，虚线为目的函数等值线， 箭头为目的函数值递增的方向。沿着箭头的
方向平移目的函数等值线，发现平移的最终
令 Z=2x1+3x2=c,其中c为任选的一个常数，在图中画出直线 2x1+3x2=c,这条直 线上的点即对应着一个可行的消费方案，即使两种产品的总利润到达c。
这样的直线有无数条，而且互相平行，称这样的直线为目的函数等值线。只要画出 两条目的函数等值线，比方令c＝0和c=6，就能看出
目的函数值递增的方向，
x2
最最优优解的确点实,目定的:m函可a数行x 的域Z Z使值目2逐的x渐1函增数x大到2 ，达 一直挪动到目的函 数的5直x 2线与1约5 束条
6x1+2x2=24
件包5x围2=成15的凸多s t .边 形6 x相x1 1切 时2 xx为2 2 止 5，2 4切
x 1 , x 2 0
0 x2=-2x1+Z
根本概念：
凸集——假如集合C中任意两个点X1,X2，其连线上的所有 点也都是集合C中的点，那么称C为凸集．
用数学解析式表示：假设任意两点X１∈C，X2∈C的连线上的 一切点：
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第2章 数学模型
2.1 数学模型概述 2.2 建模的常用方法
2012-10-4
南京工业大学经济与管理学院 潘郁教授
2.1 数学模型概述
模型（物理、数学、图形） 数学模型 特征（简单化的数学结构、数学上的抽象、采用数学 语言） 分类（功能、目的、变量关系、对象特征、数学方 法、应用领域、了解程度）
2012-10-4
2012-10-4
南京工业大学经济与管理学院 潘郁教授
习题
已知一组实验数据 (x , y )i = 1, 2 ,..., m，试构造多 项式 f ( x ) ，使得 y = f (x )i = 1, 2 ,..., m ，并且次数 尽可能的少。其中 x ≠ x (i ≠ j ) 证明在任一次双人舞会上，跳奇数次舞的人的 总数一定是偶数。 某人早上八时上山爬到山顶。第二天早上八时 沿原路从山顶下山到山脚。证明，存在上下山 同一时刻经过同一地点的事实。
i i
i i
i
j
2012-10-4
南京工业大学经济与管理学院 潘郁教授
南京工业大学经济与管理学院 潘郁教授
原则和步骤
基本假设(可分离性、选择性、因果性) 关键是简化 评价指标 步骤（模型准备、模型假设、模型建 立、模型求解、模型检验、模型应用）
2012-10-4南京工业源自学经济与管理学院 潘郁教授2.2 建模的常用方法
理论分析法（机理模型） 模拟方法 类比方法 数学分析法（统计回归模型）
2.1 数学模型概述 2.2 建模的常用方法
2012-10-4
南京工业大学经济与管理学院 潘郁教授
2.1 数学模型概述
模型（物理、数学、图形） 数学模型 特征（简单化的数学结构、数学上的抽象、采用数学 语言） 分类（功能、目的、变量关系、对象特征、数学方 法、应用领域、了解程度）
2012-10-4
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南京工业大学经济与管理学院 潘郁教授
习题
已知一组实验数据 (x , y )i = 1, 2 ,..., m，试构造多 项式 f ( x ) ，使得 y = f (x )i = 1, 2 ,..., m ，并且次数 尽可能的少。其中 x ≠ x (i ≠ j ) 证明在任一次双人舞会上，跳奇数次舞的人的 总数一定是偶数。 某人早上八时上山爬到山顶。第二天早上八时 沿原路从山顶下山到山脚。证明，存在上下山 同一时刻经过同一地点的事实。
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南京工业大学经济与管理学院 潘郁教授
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原则和步骤
基本假设(可分离性、选择性、因果性) 关键是简化 评价指标 步骤（模型准备、模型假设、模型建 立、模型求解、模型检验、模型应用）
2012-10-4南京工业源自学经济与管理学院 潘郁教授2.2 建模的常用方法
理论分析法（机理模型） 模拟方法 类比方法 数学分析法（统计回归模型）