高中数学2.4.1等比数列课件新人教A必修5

是a与b的等比中项，显然等比中项有两个，它们互为相反数．
2．通项公式的应用 等比数列的通项公式an＝a1qn－1，图象是指数型曲线上一些 孤立的点．另外公式中的四个量a1，an，q，n中，知三可求第 四个量． 注意 由等比数列的通项公式可知，对数列中任两项am与 am a2 m－n an，有 ＝q ，等比数列通项公式的推导可用累乘法： ＝ an a1 a3 an an q，a ＝q，…， ＝q，以上各式相乘得 a ＝qn－1，即an＝a1qn－ an－1 2 1
∴n－1＝3，∴n＝4.
规律技巧
(1)中解法1是基本方法，称为通法，不能忽
略．解法2是利用等比数列中任两项之间的关系作答，灵活简 便.
二
等比中项的应用
【例2】
已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求
a5，a7的等比中项．
【解】
设该等比数列的公比为q，首项为a1，
2 a1＋a1q＋a1q ＝168， ∵ 4 a q － a q 1 1 ＝42， 2 a11＋q＋q ＝168， ∴ 3 a q 1 － q ＝42. 1
1 1 (2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ (an－1)－ (an－1－1)， 3 3 an 1 得 ＝－ ， 2 an－1 1 1 ∴{an}是首项为－2，公比为－2的等比数列． 规律技巧 与an－1的关系． (1)已知Sn与an的关系，在n≥2时，往往得到an
(2)证明数列是等比数列常用的方法． an＋1 an ①定义法： a ＝q(常数)或 ＝q(常数)(n≥2)⇔{an}为等 a － n n 1 比数列． ②等比中项法：a 数列． ③通项法：an＝a1qn－1(其中a1，q为非零常数，n∈N*)⇔{an} 为等比数列.
∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)， 1 1 上述两式相除，得q(1－q)＝4⇒q＝2，
42 42 ∴a1＝ ＝ ＝96. q－q4 1 14 － 2 2 若G是a5，a7的等比中项，则应有 G ＝a5· a7＝a1q · a1q
2 4 6 2 10 2 1 10 ＝9， ＝a1q ＝96 ·
3．如果三个数a、G、b组成________，则G叫做a和b的 G b ________，由 a ＝G推得G2＝________，因此G＝________.
自 1.第二项 前一项 同一个 等比数列 公比 我 q(q≠0) 校 2.a1qn－1 对 3.等比数列 等比中项 ab ± ab
名师讲解 1.等比数列及等比中项的概念 等比数列{an}从第二项起的每一项与它的前一项的比为同 一常数，也就是 an ＝q(n≥2)．若G＝± ab (要求ab>0)，则G an－1
解得a1＝1，a3＝4. ∵a3＝a1q2，∴q2＝4，∴q＝± 2. ∴an＝2n－1，或an＝(－2)n－1.
第二章 数列
§2.4
等比数列
第一课时
等比数列
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
自学导引 1.理解等比数列的定义，能用定义判定一个数列是否为等比 数列． 2．掌握等比数列的通项公式，体会它与指数函数的关系． 3．掌握等比中项的定义，能用等比中项的定义解决问题.
课前热身 1.一般地，如果一个数列从________起，每一项与它的 ________的比都等于________常数，那么这个数列就叫做 ________．这个常数叫做等比数列的________，公比通常用字 母________表示． 2．设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an ＝________.
3
∴a5＝a1q4＝1×34＝81. a6 243 解法2：∵a6＝a3q ，∴q ＝a ＝ 9 ＝27，∴q＝3. 3
3 3
∴a5＝a3q2＝9×32＝81.
9 2 1 (2)∵a1＝ ，q＝ ，an＝ ， 8 3 3 1 9 2n－1 ∴3＝8×3 .
2 － 8 23 n 1 ∴3 ＝27＝3 .
【例1】
(1)已知a3＝9，a6＝243，求a5； 9 1 2 (2)已知a1＝ ，an＝ ，q＝ ，求n. 8 3 3 【分析】 组求解． 由已知条件列出有关量(如a1，q)的方程或方程
【解】
(1)解法1：由a3＝9，a6＝243，
得a1q2＝9，a1q5＝243. 243 ∴q ＝ ＝27，∴q＝3.a1＝1. 9
2
∴a5，a7的等比中项是± 3.
规律技巧
(1)首项a1和q是构成等比数列的基本量，从基本
量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法． (2)本题要注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为 相反数，而异号的两个数没有等比中项.
三
等比数列的判定
1 【例3】 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝ 3 (an－1)(n∈ N*)． (1)求a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列． 【分析】 先利用an＝
S1 n＝1， Sn－Sn－1 n≥2.
求a1，a2，an，
再利用定义证明{an}是等比数列．
【ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ】
1 1 (1)由S1＝ (a1－1)，得a1＝ (a1－1)， 3 3
1 ∴a1＝－ . 2 1 又S2＝3(a2－1)， 1 1 即a1＋a2＝3(a2－1)，得a2＝4.
2 n＋1
＝an· an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等比
易错探究 已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an. 【错解】
2 ∵a1，a2，a3成等比数列，∴a1· a3＝a2 .
∴a1a2a3＝a3 2＝8，∴a2＝2.
a1＋a3＝5， 从而 a3＝4. a1·
1
，此方法也是求具有这种特征数列通项的一种重要方法．
3．等比数列的判断 要证明或判断一个数列是否为等比数列，必须依靠定义， an＋1 an 即对任意n∈N ， ＝q(与n无关)，或 ＝q(n≥2)都成立． an an－1
*
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
一
典 例 剖 析 通项公式的应用
在等比数列{an}中，