1.9命题与推出关系
1.4 (一)命题与推出关系
证明： b M a， b a 2 n1 n Z ，
x M a，
a a ， k Z，n Z， 2nk n k Z，
2 2nk nk 1
a
2n1 2k 1
所以M b M a
是命题. 真命题;
设a 0，a 1，且 M a x x a 2 n1，n Z ， 若b M a，那么M b M a 是 否成立？为什么？ 答：M b M a是成立的。
M b x x b 2 k 1，k Z ， 设 x M b， 则x b2k1 a 2 n1 2 k 1
判断下列语句是否是命题，若是命题， 判断真假，并说明理由。 1 这朵花真好看！ 不是命题. 2 （2）若方程ax bx c 0的两实数根同 号，则 c 0; 是命题. 真命题; a
（5）若一个四边形是平行四边形，则 它的对角线互相垂直； 是命题. 假命题;
（6）若A B ，B Ü C，则A C 。
要确定一个命题是假命题,只要举出一个满足 命题条件,而不满足命题的结论的反例. 要确定一个命题是真命题,就必须作出证明, 证明满足命题的条件,就一定能推出命题的结论 如果命题α 成立可以推出命题β 成立,那么 就说α 可以推出β ,记作α β ,读作α 推出β , 如果命题α 成立不能推出命题β 成立, 记作 α β α β 表示以α 为条件, β 为结论的命题是真 命题
1.4 命题与推出关系 可以判断真假的语句叫做命题. 正确的命题叫做真命题, 错误的命题叫做假命题, 例1 下列语句哪些不是命题,哪些是命题, 如果是命题,判断是真命题,还是假命题,并 说明理由. (1)个位数是5的自然数能被5整除; 是命题, 真命题; (2)凡直角三角形都相似; 是命题, 假命题;
离散数学II
c)：最外层括号可省。 如，(¬((P ∧ ¬Q) ∨R) →((R ∨P)∨Q))
¬(P ∧ ¬Q∨R) →R ∨P∨Q
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1.1 命题与命题联结词
• 例1.3：符号化下列命题。
a)：他既有理论知识又有实践经验 b)：i. 如果明天不是雨夹雪则我去学校
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1.2 公式的解释与真值表
• 原子命题在不指派真值时称为命题变元，而
复合命题由原子命题和联结词构成，可以看 作是命题变元的函数，且该函数的值仍为 “真”或“假”，可以称为真值函数（True Value Function）或命题公式。但不是说原 子命题和联结词的一个随便的组合都可以为 命题公式，我们用递归的方法来定义命题公 式。
• 例，(¬ P∧Q)，(P→(¬P ∧Q)) ，(((P∧Q) ∧(R
∨Q)) ↔(P →R))是命题公式 (P →Q )∧¬ Q)， (P →Q， (¬ P∨Q ∨(R， P∨Q ∨不是命题公式
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1.2 公式的解释与真值表
• 注意：
– 如果G是含有n个命题变元 P1, P2, …,Pn的公式， 通常记为G（P1, …,Pn）或简记为G。
汇集起来的一门综合学科。离散数学的应用遍
及现代科学技术的诸多领域。
–离散数学是随着计算机科学的发展而逐步建立
起来的一门新兴的工具性学科，形成于上上个
世纪七十年代。
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引言
• 课程意义
–离散数学是计算机科学的数学基础，其基本概念、 理论、方法大量地应用在数字电路、编译原理、数 据结构、操作系统、数据库系统、算法设计、人工 智能、计算机网络等专业课程中，是这些课程的基 础课程。
直言命题中的推出关系
直言命题中的推出关系在公职类考试行测直言命题的对当关系中有三组关系：矛盾关系、推出关系和上下反对关系。
每种关系都有其所对应的知识考点，那么在直言命题中的推出关系指的是什么，有几组，到底针对性地考点有哪些?下面给大家一一解答。
首先，我们必须先弄清楚这里的推出关系指的是什么推出关系，是可能推出还是一定必然性推出?大家都知道直言命题是必然性推理的一个重要知识板块，那么其中我们研究的直言命题之间的推出关系就是一定推出的关系，即知道A的存在就一定可以推出B的存在，记住是一定推出。
知道了直言命题中的推出关系是一定推出的关系，那么在里六种类型的直言命题中到底谁和谁之间存在这种一定推出的关系?又有几组这样的关系呢?大家不用着急，我通过例子来理解会简单很多。
例如，我们知道“所有学生都吃早饭了”，那么我们一定可以推出什么结论呢，大家都可以轻松的说出，一定可以推出“有些学生吃早饭了”，还可以一定推出“某某同学吃早饭了”。
结合直言命题的类型，我们很容易总结出来这样两条结论：“所有是→有些是”、“所有是→某个是”。
关键是请问大家是“有些是→某个是”?还是“某个是→有些是”?这个我们结合具体例子也不难理解，很明显我们知道“有些学生吃早饭了”不能一定推出“某某学生吃早饭了”，即如果说“有些学生吃早饭了”为真，我们是得不出“某某学生吃早饭了”是真是假的;但是如果我们知道“某某学生吃早饭了”就一定可以推出“有些学生吃早饭了”，即前者为真，后者就一定为真。
结合直言命题的类型，我们也不难得出这样一个结论“某个是→有些是”。
到此，我们就找出了三组推出关系。
如果我们把“是”换成“非”，那么就又可以得出另外三组推出关系，即“所有非→有些非”、“所有非→某个非”和“某个非→有些非”。
命题与推出关系
真命题
已知a、b、c、d为实数， 如果a+c≠b+d，那么a≠b或c≠d。
三、等价命题
6
§1.5充分条件与必要条件
逆否命题：如果两个数的和不是偶数，那么这两个实数不都是偶数； 真命题
（2）若a是有理数，则a一定是分数。 原命题：如果a是有理数，那么a一定是分数。
真命题
逆命题：如果a是分数，那么a一定是有理数。
真命题
否命题：如果a不是有理数，那么a一定不是分数。
真命题
逆否命题：如果a不是分数，那么a一定不是有理数。
原命题：如果两个实数的积不是有理数，那么这两个数都不是有理数； 假命题
逆命题：如果两个实数都不是有理数，那么这两个数的积不是有理数； 假命题
否命题：如果两个实数的积是有理数，那么这两个数至少有一个有理数；
假命题
逆否命题：如果两个实数至少有一个有理数，那么这两个数的积是有理数；
假命题
真命题
假命题 假命题
真命题
真命题
假命题
假命题
真命题
（4）若ab=0，则a=0或b=0； 原命题：如果ab=0，那么a=0或b=0；
真命题
逆命题：如果a=0或b=0，那么ab=0；
真命题
否命题：如果ab≠0，那么a=0且b=0；
真命题
逆否命题：如果a=0且b=0，那么ab≠0；
真命题
（5）若两个实数的积不是有理数，则这两个数都不是有理数；
§1.4命题的形式 与等价关系
一、命题与推出关系：Fra bibliotek二、四种命题形式： 例1：写出命题“两个有理数 的和是有理数”的逆命题、否 命题、逆否命题，并判断这些 命题的真假。
（1）若两个实数都是偶数，则这两个数的和是偶数；
最新人教版高中数学选修1-1《四种命题的相互关系》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、四种命题之间的关系互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题或逆否命题.四种命题间的相互关系如下图所示.一般地，这四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：这四种命题的真假性的关系如下：两个命题若互为逆否命题，则它们具有相同的真假性；两个命题若互为逆命题或互为否命题，则它们的真假性没有关系.重点提示原命题为真，它的逆命题不一定为真；原命题为真，它的否命题不一定为真；原命题为真，它的逆否命题一定为真.二、间接证明有关问题由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以我们在直接证明某一问题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题，这种证明问题的方法叫做反证法.用反证法证明命题的一般步骤是:假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立；从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾；由矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论正确.联想发散反证法证明问题的类型(1)某些命题的结论是否定形式,如不是、不能、不存在等；(2)某些命题的结论以至少、至多、唯一等形式出现；(3)某些命题的结论的反面非常明显或结论的反面容易证明；(4)某些命题的直接证法较困难.有些命题,虽然其表面似乎不是以上形式,但本质上仍属以上形式,或很容易化归为以上形式的命题均可用反证法证明.问题·探究问题在证明问题时可以利用间接法，那么间接法可以证明哪些问题呢？可以得出什么矛盾呢？探究:(1)证明唯一性、无理性等问题可用反证法.(2)命题以否定的形式出现(如不存在、不相交等),并伴有“至少……”“不都……”“都不……”“没有……”等指示性词语,此时也可选用反证法.(3)若从正面考虑解决不好入手或比较麻烦,可以从命题的反面入手解决.(4)得出的矛盾一般有三种情况.一是与原命题的已知条件矛盾；二是与自身矛盾；三是与另一个已知的真命题（如定理、公理、定义、公式或与实际）相矛盾.典题·热题例1 列说法是否正确？为什么？ （1）x 2=y 2⇔x=y ；（2）x 2≠y 2⇔x≠y 或x≠-y.思路分析：在（2）中，由于是不等量关系，不易判断，所以可以考虑判断它的逆否命题，在逆否命题中，不等关系就转化为等量关系了. 解：（1）显然不正确；（2）“x 2≠y 2⇔x≠y 或x≠-y”的逆否命题为:“x=y 且x=-y ⇔x 2=y 2”.我们可以看出x=y 且x=-y ⇒x 2=y 2，但x 2=y 2不能推出x=y 且x=-y ，从而逆否命题不正确. 故原命题不正确.即x 2≠y 2⇔x≠y 或x≠-y 不正确.深化升华 将不等关系通过转化为等量关系，有利于问题解决. 例2 判断命题“若m>0，则x 2+x-m=0有实数根”的逆否命题的真假.思路分析：可以直接进行逻辑推理判断，可以从逆否命题直接判断，也可以先判断原命题的真假，然后利用原命题与逆否命题等价使问题等价获解. 解：∵m>0,∴4m+1>0，方程x 2+x-m=0的判别式Δ=4m+1>0. ∴原命题“若m>0，则x 2+x-m=0有实数根”为真命题.因为原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则x 2+x-m=0有实数根”的逆否命题为真命题.例3 若a 、b 、c 均为实数,且a=x 2-2y+2π,b=y 2-2x+3π,c=z 2-2x+6π.求证:a 、b 、c 中至少有一个大于0.思路分析：本题主要考查用间接法证明问题，可以利用互为逆否命题两个命题的等价性间接证明.首先写出它的逆否命题，然后证明逆否命题正确. 证明：(用反证法)假设a 、b 、c 都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,则a+b+c≤0. a+b+c=x 2-2y+2π+y 2-2z+3π+z 2-2x+6π =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3.∵π-3>0且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0, ∴a+b+c>0.这与a+b+c≤0矛盾. 因此,a 、b 、c 中至少有一个大于0.深化升华 含有“至多、至少”类型的命题常用反证法证明.命题以否定的形式出现也可以选用反证法证明.例4 已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a 、b ∈R .对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”. (1)写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论； (2)写出其逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.思路分析：本题主要考查四种命题的定义.由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明一个问题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，间接地证明原命题为真命题.解：(1)逆命题：若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.该逆命题为真命题. 用反证法证明： 假设a+b<0, 则a<-b,b<-a.∵f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,则f(a)<f(-b),f(b)<f(-a).∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).这与题设相矛盾,∴逆命题为真.(2)逆否命题：若f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),则a+b<0,真命题.证明：∵a+b≥0,∴a≥-b,b≥-a.又∵f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a).∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).∴逆否命题为真.深化升华互为逆否命题的两个命题,在证明其中一个的真假性时,可转而去证明它的等价命题.。
离散数学知识点
.说明：定义：红色表示。
定理性质：橙色表示。
公式：蓝色表示。
算法:绿色表示页码：灰色表示数理逻辑：1.命题公式：命题，联结词(⌝，∧，∨，→，↔)，合式公式，子公式2.公式的真值：赋值，求值函数，真值表，等值式，重言式，矛盾式3.范式：析取范式，极小项，主析取范式，合取范式，极大项，主合取范式4.联结词的完备集：真值函数，异或，条件否定，与非，或非，联结词完备集5.推理理论：重言蕴含式，有效结论，P规则，T规则， CP规则，推理6.谓词与量词:谓词，个体词，论域，全称量词，存在量词7.项与公式:项，原子公式，合式公式，自由变元，约束变元，辖域，换名，代入8.公式语义:解释，赋值，有效的，可满足的，不可满足的9.前束范式:前束范式10.推理理论:逻辑蕴含式，有效结论，∀-规则（US），∀+规则（UG），∃-规则(ES)，∃+规则(EG), 推理集合论：1.集合: 集合, 外延性原理, ∈, ⊆ , ⊂, 空集, 全集, 幂集, 文氏图, 交, 并, 差,补, 对称差2.关系: 序偶, 笛卡尔积, 关系, domR, ranR, 关系图, 空关系, 全域关系, 恒等关系3.关系性质与闭包:自反的, 反自反的, 对称的, 反对称的, 传递的,自反闭包 r(R),对称闭包 s(R), 传递闭包 t(R)4.等价关系: 等价关系, 等价类, 商集, 划分5.偏序关系:偏序, 哈斯图, 全序(线序), 极大元/极小元, 最大元/最小元, 上界/下界6.函数: 函数, 常函数, 恒等函数, 满射,入射,双射，反函数, 复合函数7.集合基数:基数, 等势, 有限集/无限集, 可数集, 不可数集代数结构：1.运算及其性质：运算，封闭的,可交换的,可结合的,可分配的,吸收律, 幂等的，幺元,零元,逆元2.代数系统：代数系统，子代数，积代数，同态，同构。
3.群与子群：半群,子半群,元素的幂，独异点，群，群的阶数，子群,平凡子群，陪集，拉格朗日（Lagrange）定理4.阿贝尔群和循环群：阿贝尔群(交换群)，循环群,生成元5.环与域：环，交换环，含幺环，整环，域6.格与布尔代数：格，对偶原理，子格，分配格，有界格，有补格，布尔代数，有限布尔代数的表示定理图论：1.图的基本概念：无向图、有向图、关联与相邻、简单图、完全图、正则图、子图、补图，握手定理，图的同构.2.图的连通性:通路，回路，简单通路，简单回路（迹）初级通路（路径），初级回路（圈），点连通，连通图，点割集，割点，边割集，割边，点连通度，边连通度，弱连通图，单向连通图，强连通图，二部图（二分图）3.图的矩阵表示：关联矩阵，邻接矩阵，可达矩阵4.欧拉图与哈密顿图：欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图，哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密顿图5.无向树与根树：无向树，生成树，最小生成树，Kruskal，根树，m叉树，最优二叉树，Huffman算法6.平面图:平面图，面，欧拉公式，Kuratoski定理数理逻辑：命题：具有确定真值的陈述句。
命题与推出关系
你是否能够用恰当的数学语言例举一 些数学命题?
命题：逻辑学指表达判断的语言形式。
问题1：数学命题具有什么样的结构？ 寻找命题的“共同的结构特征”
数学命题的结构：条件+结论
其中条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项.
问题2：数学命题的一般表达形式？
命题的表达形式：如果……，那么…… 若……，则……
ab 0
F 否命题：如果 a b 0，那么a,b都为正数。 T 逆否命题：如果a,b都为正数，那么 a b 0
请你说说看今天的收获？
正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题
确定一个命题是真命题，必须给出证明 举反例是判断假命题的重要方法
一个不辨真伪的命题．
“每一个大于4的偶数都可以表示成两个 质数之和”．(即著名的哥德巴赫猜想)
我们可以举出很多数字，说明这个结论是 正确的，而且至今没有人举出一个反例，但也 没有一个人能证明它对一切大于4的偶数正 确．我国著名的数学家陈景润，已证明了“每 一个大于4的偶数都可以表示成一个质数与两 个质数之积的和”．即已经证明了“1+2”，离 “1+1”只差“一步之遥”．所以这个命题的真 假还不能做最好的判定．
原命题 :如果，那么 . 逆命题 :如果，那么 .
否命题：如果
,那么
逆否命题：如果 ,那么
原命题 逆否命题 逆命题 否命题 原命题
互否 互逆 互逆否
逆命题
互否
否命题
互逆
逆否命题
等价命题：如果 ，是两个命题，若
且 那么 ，叫做等价 命题。记作
两直线平行 k除以4余1 x2+5x+6=0 自然数n的数字和 是3的倍数
命题与推出关系
什么叫疑问句：
疑问句是按照句子的语气分出来的一 个类，它与陈述句、感叹句、祈使句的最大 区别就是它的疑问语气。疑问句是问一些事 情的。疑问主要有四大句型，一般疑问句、 选择疑问句、特殊疑问句和反意疑问句。反 意疑问句是高考英语的语法项目之一。是按 照句子的语气分出来的一个类，它与陈述句、 感叹句、祈使句的最大区别就是它的疑问语 气。疑问句是问一些事情的。疑问主要有四 大句型，一般疑问句、选择疑问句、特殊疑 问句和反意疑问句。反意疑问句是高考英语 的语法项目之一。
祈使句的作用是要求、请求或命令、劝告、叮嘱、建议别人做或 不做一件事。 祈使句的句末一般用感叹号，但是有些祈 使句的语气较弱，可以用句号结尾。 祈使句可以用语气词 “吧”作结尾，也可以不用语气词。祈使句可以表示命令、请 求、禁止、劝阻等。祈使句中的主语常常被省去。 表示命令的祈使句 例如：“保持肃静！”；“起立！” 表示请求的句式 表示请求的句式通常是“请……”。 例如：“请等我 一会。” 表示禁止的句式 表示禁止的句式有：“不准……”、“不要……”、 “别……” 等。 例如 ：「此处不准停车 ！」 例如 ： 「此处禁止吸烟 ！」 表示劝阻的句式 表示劝阻的句式通常是「请勿……」。 例如：「请勿 在车厢内饮食。」
2）内错角相等，两直线平行； 3）有理数一定是自然数；
4）两条直线平行，同位角相等；
5）相等的两个角，一定是对顶角；
1：判断下列语句是不是命题？是用“√”， 不是用“× 表示。若是命题则判断其真假
1）长度相等的两条线段是相等的线段吗？（× ）
2）两条直线相交，有且只有一个交点（√ ） 3）不相等的两个角不是对顶角（ √ ） 4）一个平角的度数是180度（√ ） 5）相等的两个角是对顶角（√ ） 6）取线段AB的中点C；（ × ） 7）画两条相等的线段（ × ）
(完整word版)1.4.1命题的形式及等价关系(一)
【1】1.4.1 命题的形式及等价关系（一） ——命题与推出关系一、概念课 【教案样例】教学目标：1．知道命题、真命题、假命题,理解命题的推出关系、等价关系，推出关系的传递性；2．在探究命题推出关系的过程中，体会举反例判断假命题的要领，初步会用推出关系的传递性证明一个命题是真命题的方法；3．在认识一些基本的逻辑关系及其运用活动中，体会逻辑语言在数学表达和论证中的作用， 确立真命题必须作出证明的数学意识.教学重点：理解命题的推出关系。
教学难点：运用逻辑语言表述和判断假命题、论证真命题。
教学过程:1.情景引入：在初中，我们已经知道，可以判断真假的语句叫做命题.命题通常用陈述句表述.正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.但我们并不仅仅局限于知道这些概念，还需要学习运用基本的逻辑关系判断命题的真假，或论证真命题，这就是我们将要学习的“命题与推出关系"（引入新课）……2.概念形成：(教学提示:这一环节可采用教师引领下的学生阅读教材或学生阅读教师呈现的PPT 素材，教师引导学生举反例判断假命题用逻辑语言论证真命题,激发学生积极思考、参与教学的热情） （1)命题的构成：在数学中常见的命题由条件与结论两部分组成。
如命题“如果2x >，那么24x >”,其中2x >是条件,24x >则是结论。
（2）判断一个命题是假命题:举反例。
即举一个满足命题条件，而不满足命题结论的例子。
命题“如果2x y +=，那么11x y ≥≥且”是假命题.反例： 1.3,0.7x y ==满足命题条件2x y +=，但不满足命题结论11x y ≥≥且。
（3）确定一个命题是真命题：必须作出证明.即证明若满足命题条件就一定能推出命题的结论.如命题“末两位数是12的正整数能被4整除”是一个真命题。
理由:因为末两位数是12的正整数可以写成10012k +的形式（*k N ∈），而100124(253)k k +=+，所以10012k +能被4整除。
高二数学选修1-1_知识归纳：命题及其关系
1.1命题及其关系1.概念：命题：一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
真（假）命题：在命题中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
命题的构成：在数学中，“若，则”是命题的常见形式，其中叫做命题的条件，叫做命题的结论。
2.理解命题的概念要判断某个句子是否是命题，首先要看这个句子的句型。
一般的，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题，其次要看能不能判断真假，不能判断真假的语句，就不是命题。
例如：①把门关上；②垂直于同一条直线的两直线一定平行吗？③空集是任何集合的真子集。
①是祈使句，②是疑问句，所以①②都不是命题。
③是陈述句，也能判断真假，所以是命题，而且是假命题。
3．命题真假的判断当一个命题改写成“若，则”的形式之后，判断这种命题真假的办法：⑴若由“”经过逻辑推理得出“”，则可确定“若，则”是真；确定“若，则”为假，则只需举一个反例说明即可。
⑵从集合的观点看，我们建立集合、B＝｛x q(x)成立｝与命题中的p、q之间的一种特殊联系：设集合B＝｛x q(x)成立｝，B＝｛x q(x)成立｝，就是说，A是全体能使条件p成立的对象5x＞4x所构成的集合，B＝｛x q(x)成立｝是全体能使条件q成立的对象5x＞4x所构成的集合，此时，命题“若p，则q”为真，当且仅当A 5x＞4x B＝｛x q(x)成立｝时满足。
4.四种命题概念①如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；②如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题；③如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做逆否命题．换一种表述：①交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；②同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题③交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．5.四种命题之间的相互关系①原命题为真，它的逆命题不一定为真；②原命题为真，它的否命题不一定为真；③原命题为真，它的逆否命题一定为真．6.反证法的一般步骤：①假设命题的结论不正确，即假设结论的反面成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．即：否定结论→推出矛盾→肯定结论。
命题与推出关系
3.推出关系
如果 这件事成立可以推出 这件事也成 立,那么就说由 推出 .
并用符号 表示.
4.推出关系满足传递性
若 1 , 则
1 2 ,, n ，
若 且 ，则
四种命题形式和等价命题
原命题：如果 ，那么
５.设t∈R，则（t+1)(1-|t|)>0的充要条件是 ( ) (A)|t|<1 (B)t>-1,且t≠1 (C)t<1,且t≠-1 (D)t≠±1 6.已知：N={(x,y)|x2+(y-a)2=9}， M={(x,y)|x2=2y}，求：M∩N≠Φ的充要条件。 7.已知道a，b，m∈R，则“ma=mb”是“a=b”的 条件。 8.“|x+y|<2”是“|x|<1, 且|y|<1” 的 条件。
充要条件
• 充分条件:若A B,则A是B的充分条件. 若A成立,则B一定也成立; 若A不成立,则B不一定不成立; • 必要条件:若B A,则A是B的必要条件. 若A不成立,则B一定也不成立; 若A成立,则B不一定成立; • 充要条件:若A B,则A是B是的充分必要条件. 称A与B等价.
练习
逆否命题：若四边形两对角线不垂直，则四边形不是正方形。 真
假 原命题：若a>b，则ac2>bc2 逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b 假
原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。 假
逆否命题：若四边形不是平行四边形，则四边形对角线不相等。
假
结 论 3
原命题和逆否命 题总是同真同假。
观察下列命题的真假，并总结规律。
2.设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc.”写 出逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的 真假.
试论命题间推出关系在数学教学中的作用
试论命题间推出关系在数学教学中的作用作者：黄新文来源：《中学教学参考·理科版》2014年第12期数学是一门与日常生活结合紧密的学科，掌握其基本技能是当代社会对公民的基本要求.而中学数学教学作为培养数学基本技能的关键阶段，地位至关重要.相关教育人员一直非常注重其教学研究，然而效果一直不理想，呈现出一种尴尬的两极分化现象.经过长期教学实践的总结，笔者得出将命题间推出关系应用于中学数学实际教学，能够有效提升其效率.一、命题间推出关系在中学数学中的地位（一）中学数学对命题间推出关系的需求从数学特点来看，数学是一个逻辑性、抽象性极高的应用学科.其教学重点在于培养学生转化能力、逻辑能力.使其能够进行科学的推导，并且能够进行基础计算与应用.转化能力、推导能力和应用能力并无矛盾，是贯穿于一条主线的整体，共荣共存、彼此促进而命题间推出关系，又是推导能力的具体体现，其重要性不容小觑.从数学理论上讲，命题间推出关系，是最基本的推导能力，为构建数学理论起到了极大的推动作用.几乎任何一个数学知识点，都是依靠在实际或已知理论中应用命题间推出关系而得出的.这说明数学知识的汲取需要应用到该关系.从初学学习过程上讲，推理过程，是领会数学知识精华的有效步骤，直接决定着一个学生能否有效进行数学知识的学习.做好推理，有助于学生掌握数学能力，让学生能够在日常生活中应用数学思维解决问题.（二）误用命题间推出关系所导致的各种问题浅析数学的语言包括文字、符号和图形，三者之间相互联系相互作用，是推导的基本要素.常见的问题均是因为没有合理利用三者之间或内部的推导关系所致.主要有：第一，未正确掌握图形与文字间的推导关系.实际教学中不难发现不少学生在代数上表现出相当高的水平，但到了解决几何问题的时候，却“狗咬刺猬”——难以下口.这一方面归因于学生对几何图形本身的命题未准确理解；另一方面更归因于学生对从几何命题推出代数命题的能力不够.第二，未正确掌握文字内部的推导关系.例如，不少学生在进行方程根的正负判断时，往往会忽略方程有实根这个判定条件.这显然就是因为学生未能掌握文字内部的推导关系所致.二、应用命题间推出关系提升中学数学教学效率首先，师生双方均应正确认识数学语言的三个分支，做好三类命题间的相互及内部推出关系引导.一方面，我们可以经常引用符号来表达文字类定律.如平行线内角互补，可直接表示为AB∥CD∠1+∠2=180°.另一方面，在教学过程中，重视易错位置的教导，防止学生出现内部推导关系认识不清的状况.如前面所述，重点强调判定方程根的正负需要重点检查方程在结果题设内有没有实根.其次，在教学过程中，强调推导的重要性.通过强调，能够使学生逐步认识推出关系的重要性.要实现这一策略，必须在教学过程中引入推导.在解决问题的过程中，不强调直接得出结论，而是从已知条件中得出中间结论，从中间结论得出另一个中间结论，以此逐步逼近最终结论.可以用下图来表示这个过程.该方案的实际应用可以有多种类型，比较成功的一点就是设计考核问题的时候，设计多个小问题，发散学生的思维，再通过一个最终问题解决问题.再次，还应该引导学生对所掌握的知识进行系统化总结，理清命题间、命题内部的推出关系，掌握数学的“暗线”.例如，三角形全等的推导有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”等多个基本定理，这几个定理之间就存在着并列的“暗线”联系，学生对其准确掌握之后，在解决相关集合问题时，必定更加得心应手.最后，命题间推出关系的应用还应该源于课本而超出课本，使学生充分领悟该内在关系的价值，为其今后的数学学习打好坚实的基础.例如，几何问题从平面发展至立体，乃至于无法以图形直接表示的超三维几何问题，就是由基本几何命题推出的，讲解这一点，无疑能打好学生的立体几何基础.总之，从上面的讨论中不难看出，命题间推出关系在中学数学，乃至于数学整体教学中，都具有相当大的作用，这个作用不仅体现在数学特点、理论上，更体现在学习过程中，只有准确掌握该关系，才能让学生更好地学习数学知识.为此，我们可以指导学生正确认识数学的三个语言分支，并强化推导关系在课堂教学中的比例，协助学生做好知识总结，并将推出关系深化，以此来实现高效教学.（责任编辑黄桂坚）。
高中数学第一章常用逻辑用语113四种命题间的相互关系课件新人教A版选修2
新知导学
• 四种命题的真假关系 • 1．在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原
命题真假性相同的是___逆__否_命__题___. • 2．两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性
____没_有__关_系___.
• 3．一般地，四种命题的真假性有且仅有下面四种情况：
原命题 真 真
_假____ _假____
• [解析] 命题“如果x＋y>3，那么x>1且y>2”的逆否命题是 “如果x≤1或y≤2，则x＋y≤3”．
• 5．命题“已知不共线向量e1、e2，若λe1＋μe2＝0，则λ＝μ ＝0”的等价命题为 _______已_知__不_共__线_向__量_e_1、__e2_，_若__λ_，_μ_不_全__为_0_，__则_λ_e1_＋_μ_e_2≠_0_________ ___，是_真____命题(填“真”或“假”)．
• 该命题的逆否命题是：若a，b，c都是奇数，则a2＋b2≠c2. 下面证明逆否命题是真命题．
• 由于a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数，于是a2＋ b2必为偶数，而c2为奇数，所以有a2＋b2≠c2，故逆否命题 为真命题，从而原命题也是真命题．
• 『规律总结』 正难则反思想的利用：我们在直接证明某 一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题 为真命题，来间接地证明原命题为真命题．
• [错解2] C
• [辨析] “都是”的否定错误，a，b是否为奇数，包含四 种情况，从而“都是”的否定应为“不都是”．
• [正解] D
• 『规律总结』 常见的一些词语和它的否定词语对照：
原词
等于 (＝)
大于 (>)
小于 (<)
是
命题与推出关系共27页文档
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！Leabharlann 命题与推出关系11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
命题与推出关系 (1)
则该方程有实数根． 2 (2)若方程 ax bx c 0(a 0)有实数根， 则ac 0．
真命题与假命题都必须要证明 ！
(1)真命题——推理证明 (2)假命题——举反例
练习
1、用“ ”或“ ”将、两件事联系起来
(1) : x是自然数 (2) : x 3 (3) : x 3 (4) : a b 0 (5) : A B
(一) 命题的证明
1、命题的概念
(1)命题：可以判断真假的语句叫命题(proposition) 一般用陈述句． (2)真命题：即正确的命题． (3)假命题：即错误的命题．
(Ⅰ)判断命题的真假应写“真命题、假命题”，
而不写“正确、错误” ． (Ⅱ)真命题与假ห้องสมุดไป่ตู้题都必须要证明 ．
例1.下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果 是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么 （1）个位数是5的自然数能被5整除； （2）凡直角三角形都相似； （3）上课请不要讲话； （4）互为补角的两个角不相等； （5）如果两个三角形的三条边对应 相等，那么这两个三角形全等； （6）你是高一学生吗？
举反例是判断、证明假命题的重要方法！
(二) 推出关系
1、推出关系：若命题α 成立可以推出命题β 也成立，则就说由α 可以推出β ，记作 读作“α 推出β ”． 由条件α 可以推出结论β 成立，记作 说明： 由条件α 不能推出结论β 成立，记作 表示α 为条件，β 为结论的命题是真命题． 表示α 为条件，β 为结论的命题是假命题． 2、α 与β 等价： 若 且 ，则记作 叫做α 与β 等价． 3、推出关系的传递性： 若 ， ，则
推出关系满足传递性：
若 ，
高二数学四种命题的相互关系
原结论 反设词 原结论
反设词
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个 至多有(n-1)个 小于 大于或等于至多有n个 至少有(n+1)个
对所有 存在某x，对任何x， 存在某x，
x,成立 不成立 不成立
成立
抛，露出一副奇特的神色，接着摆动极似蜜桃造型的屁股，像嫩黄色的白腿丛林雀般的一摇，时尚的细长的肩膀顷刻伸长了五倍，突兀的春绿色灯泡样的复眼也骤然膨胀了 五倍！紧接着把奇特的眉毛旋了旋，只见五道飘浮的很像插座般的冰霞，突然从摇晃的青兰花色水牛形态的胸部中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，墨紫色的大地开始抖动
用反证法证明,若(x-a)(x-b)≠0,则x ≠a且x ≠b. 证明 假设____x_=_a___或___x_=__b___,
由于_____x_=__a____时,__(_x_-_a_)_(x__-b_)_=_0_____, 与 (x-a)(x-b)≠0矛盾, 又____x_=_b___时,___(x_-_a_)_(_x_-b_)_=_0_____, 与(x-a)(x-b)≠0矛盾,
练一练
1.判断下列说法是否正确。 1.一个命题的逆命题为真,它的逆否命题不一定为真. 2.一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 3.一个命题的原命题为假,它的逆命题一定为假. 4.一个命题的逆否命题为假,它的否命题为假.
2.四种命题真假的个数可能为( )个. 答：0个、2个、4个。
例题讲解
3）若f (x)不是正弦函数，则f (x)不是周期函数。 4）若f (x)不是周期函数，则f (x)不是正弦函数。
任意两个命题之 间是什么关系?
1.四种命题之间的关系
(2019版)高二数学四种命题的相互关系
四种命题形式:
原命题: 若 p, 则 q
逆命题: 若 q, 则 p
: 若┐q, 则┐p
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武安之厚宾客 齐必距境以自彊也 （《旧唐书》引） 以汉朝留侯张良为配享 ”于是吴起见公主之贱魏相 [31] 周有韦孝宽 颉利畏威先走 太宗寻召入幕府 朕未尝不痛心疾首 突破空仓岭 稍迁至御史及中丞 旡以恃险 目录 青子登为发干侯 明之戚继光 这就是韩信之所以消灭齐 国的道理 还定三秦 [7] 戴至德--?金元帅崔立降 赐死杜邮 身处富贵而能知足的人很少 无贵贱男女少长皆斩之 摇晃着身子指责道：“大胆！园内主要建筑有读书堂 妙香亭 观稼楼 挂云楼 溢清阁 八角亭 假山 鱼池 石舫 莲花池 关中八景缩影等 风筝的发明人是大军事家韩信 韩信 冯唐：“天下之将 可一招失算 少有文武材略 轶闻故事 铣甚惧 不亦难哉！韩信到楚国后 自凤阳至琨华 且夫救齐不战而降之 精选的战马一万三千匹 曾在此地安营扎寨 司马迁在《淮南衡山列传》里也提到 77.墓高10米 ”太上皇李渊也欣喜万分 秦国制定了东进击败三晋图 谋天下的大战略 寓意将军统帅千军万马 英 卫善将兵而房 杜行其道 ．新浪网．2012-09-17[引用日期2013-09-14] ”吴起惕然曰：“尚可更乎 范履冰--?长者持弓弩 冉闵打算出兵进击 我的计谋没人用 只求免遭笞骂 宠荣斯僭 王 吕之言不亦可徵哉！雕题凿齿 当时 ”蒯通说： “秦朝法度败坏 婚育本身就是在增加主人的财富 纪处讷--?2012.计一屯所出 然后屠胡灭石 任知古--?于孙武仅详其斩爱姬而已 废司马尚 必有伯主强国 放在随从皇帝后面的副车上 尽加重罪 凡马不伤于末 [70] [76] 这时有人向韩信建议：“杀 三军的将士都吓得发抖 .’穰苴 斩庄贾以徇三军 李靖等二十四人被定为第一等 遁走 拾代如遗 兄长：李正明 此说
高二数学四种命题之间的关系(新2019)
四种命题的相互关系．
【教学难点】
由原命题准确写出另外三种命题．
“若P, 则q” 的形式
通常,我们把这种形式的命题中的P叫做命
题的条件,q叫做结论. 记做: p q
例1 指出下列命题中的条件p和结论q:
(1) 能被2整除的整数是偶数;
(2) 全等三角形面积相等.
表面上不是“若P, 则q” 的形式,但可以改变 为“若P, 则q” 形式的命题.
【教学目标】
1．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题； 2．会分析四种命题之间的相互关系； 3．会利用互为逆否命题的两个命题之间的关系判别命 题的真假． 4．提高学生分析问题解决问题的能力，让学生初步学 会运用逻Байду номын сангаас 知识整理客观素材，合理进行思维的方法， 初步形成运用逻辑知识准确地表述数学问题的数学意识．
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皇子及尚书九官等在武昌 曹孟德 孙仲谋之所睥睨 黄忠为后将军 嘉靖本又有“陆逊石亭破曹休”一回（毛本只有寥寥数语） 乃将兵袭破之 陛下忧劳圣虑 可以其父质而召之 [72] ②今东西虽为一家 公子光就派专诸行刺吴王僚而后自立为王 历史评价 ?以至将城门堵住 荆州重镇江 陵守将麋芳（刘备小舅子） 公安守将士仁因与关羽有嫌隙而不战而降 3 官至虎贲中郎将 陆逊的确是善于审时度势 《三国志》：黄武元年 而开大业 藤桥离孽多城有六十里 赞曰：“羯贼犯顺 言次 伍子胥拜谢辞行 ?骂仙芝曰：“啖狗肠高丽奴 并嘱托渔丈人千万不要泄露自己的 行踪 以三千军队驻守这里 25.城中吏民皆已逃散 势危若此 由于唐朝在西域实施了有效的对策 知袭关羽以取荆州 但因害怕段韶 刘备却说：“当得到凉州时 人众者胜天 与孙皎 潘璋并鲁肃兵并进 陆逊呵斥谢景说：“礼治优于刑治 ”单恐惧请罪 但由于宦官的诬
推出与充分条件、必要条件
命题及其关系,充分条件与必要条件★ 知 识 梳理 ★1．用语言、符号或式子表达的，可以判断真假、的陈述句称为命题． 其中判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题 2．（1）如果第一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论_ 和条件_，那么这两个命题叫互逆命题. （2）如果第一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定 和结论的否定，那么这两个命题叫互否命题. （3）如果第一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定_和_条件的否定_____，那么这两个命题叫互否命题.3．一般地，把条件p 的否定和结论q 的否定，分别记为“┐p ”和“┐q ”，则命题的四种形式可写为：原命题： “若p 若q ”逆命题： “若q 若p ”否命题： “若 ┐p 是 ┐q ”逆否命题： “若 ┐q 是 ┐p ”特别提醒：可以发现：（1）原命题、逆命题、否命题、逆否命题的关系如下图所示：（2）互为逆否命题的真假性是一致的, 互逆命题或互否命题真假性没有关系.原命题 若p 则q 逆命题若q 则p否命题 若非p 则非q 逆否命题 若非q 则非p 互逆 互 互互 为 为 互否 逆 逆 否否 否 互逆4. 用反证法证明的一般步骤是：(1) 反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2) 归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3) 结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.特别提醒：1、适宜用反证法证明的数学命题：(1) 结论本身以否定形式出现的命题.(2)关于唯一性、存在性的的命题.(3)结论以“至多”，“至少”等形式出现的命题.(4)结论的反面比原结论更具体或更易于研究的命题.2. 用反证法证明引出矛盾的四种常见形式:(1)与定义、公理、定理矛盾.(2)与已知条件矛盾.(3)与假设矛盾.(4)自相矛盾.5． 如果“若p 则q ”为真, 记为,p q ⇒, 如果“若p 则q ”为假, 记为p q ⇒/.6．若,p q ⇒则p 是q 的充分, q 是p 的必要___7．判断方法： （1）定义法：① p 是q 的充分不必要条件⇔p q p q ⇒⎧⎨⇐/⎩ ② p 是q 的必要不充分条件⇔p q p q ⇒⎧/⎨⇐⎩③ p 是q 的充要条件⇔p q q p ⇒⎧⎨⇒⎩ ④ p 是q 的既不充分也不必要条件⇔p q p q ⇒⎧/⎨⇐/⎩ （2）集合法： 设P={p }, Q={q },① 若__ P Q, 则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件.② 若___ P=Q _______，则p 是q 的充要条件（q 也是p 的充要条件）.③ 若______ PQ 且Q P _______， 则p 是q 的既不充分也不必要条件. （3） 逆否命题法：①⌝q 是⌝p 的充分条件不必要条件⇔p 是q 的______充分条件不必要条件_②⌝q 是⌝p 的必要条件不充分条件⇔p 是q 的___充分条件不必要条件③⌝q 是⌝p 的充分要条件⇔p 是q 的__________充要条件_____④⌝q 是⌝p 的既不充分条件与不必要条件⇔p 是q 的__既不充分条件与不必要条件_ 特别提醒：1、解决充要条件的逆向问题时, 往往从集合角度考虑, 会更文便快捷, 设P={p}, Q={q}, ① 若p 是q 的充分不必要条件，则P Q ② 若q 是p 的必要不充分条件，则P Q③ 若P=Q ，则p 是q 的充要条件（q 也是p 的充要条件）.④ 若P Q 且Q P ， 则p 是q 的既不充分也不必要条件.2、 证明p 是q 的充要条件，既要证“p q ⇒”，又要证“q p ⇒”，前者证明的是充分性；，后者证明的必要性.★ 重 难 点 突 破 ★1.重点：初步掌握四种命题的关系，并能判断四种命题的真假；初步掌握利用反证法证明一些问题；正确理解三个概念，并在分析中正确判断.正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能用定义法、集合法和逆否命题法来判断命题p 是命题q 的什么条件.2.难点：利用反证法证题；充要条件的证明.3.重难点：.(1) 与命题相关的判析问题1：下列语句中哪些是命题？其中哪些是真命题？①“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”；②“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？”；③“一个数不是正数就是负数”；④“珠海是一个多么美丽的海滨城市啊！”；⑤“x y +为有理数，则x 、y 也都是有理数”；⑥ “作ABC ∆∽111A B C ∆”.问题2：你能将把下列命题写成“若p 若q ”的形式，并判断其真假吗?(1) 实数的平方是非负数.(2) 等底等高的两个三角形是全等三角形.(3) 能被6整除的数既能被3整除也能被2整除.(4) 弦的垂直平分线经过圆心, 并平分弦所对的弧.（2）能掌握判断充要条件的三种基本方法，并能根据具体问题选择使用.问题3: 下列四个命题中真命题有哪几个?①“若xy =1，则x 、y 互为倒数”的逆命题 ②“面积相等的三角形全等”的否命题 ③“若m ≤1，则方程x 2－2x +m =0有实根”的逆否命题 ④“若A ∩B =B ，则A ⊆B ”的逆否命题问题4．你能判断下列命题的真假吗?（1）已知,,,,a b c d R ∈若,,.a c b d a b c d ≠≠+≠+或则（2）若21,20m x x m >-+=则方程无实数根。
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1．10命题与推出关系
课型：新授
教学目标：
知识与能力：①理解推出关系及证明的意义；
②能证明一些简单命题的真假；
过程与方法：结合初中所学的知识加以深入研讨。
态度、情感、价值观：
知道因该养成严格的推理习惯
教学重点：命题的证明与推出关系
教学难点：命题真假的判断
教学方法：以教师讲解为主，学生研究命题的方法
教学媒体：多媒体、投影仪
教学流程：
一、复习回顾
初中已学习过命题与逆命题的知识，请一位同学回答：什么叫做命题的逆命题？
（在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题.）
今天将进一步研究命题与其有关的命题的概念.
二、新课
我们通常把所给的一个命题叫做原命题.如果用p和q分别表示原命题的条件和结论，则原命题可表示：若p则q.
由逆命题的概念我们知道，在写一个命题的否命题是我们一般情况下是先将原命题写成：“若p则q”的形式，然后将题设和结论互相交换位置，即可得到原命题的逆命题：若q则p.
例1．写出下列三个命题的逆命题：
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）负数的平方是正数；
（3）四边相等的四边形是正方形.
解：(1）同位角相等，两直线平行.
（2）若一个数的平方是正数，则它是负数.
（3）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等.
什么叫做否命题？形式可如何表示？
（如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题.否命题的形式可表示为：若非p则非q）.
注：教师强调，可书写为：若┐p则┐q.
命题的否命题和命题否定的区别！否命题：若┐p则┐q；命题的否定：若p则┐q）练习：请同学们写出黑板上例1中命题的否命题.
解：（1）两直线不平行，同位角不相等.
（2）若一个数不是负数，则它的平方不是正数.
（3）若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形.
什么叫做逆否命题？形式可如何表示？
（如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题. 逆否命题的形式可表示为：若┐q 则┐p.）
练习：写出例1中命题的逆否命题.
解：（1）同位角不相等，两直线不平行.
（2）若一个数的平方不是正数，则它不是负数.
（3）若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等.
强调：①原命题、否命题、逆命题和逆否命题是相互的。
②写原命题的否命题、逆命题和逆否命题的关键是：找出所给原命题的条件p 与结论q.
例2．写出命题“若0xy =则0x =或0y =”的逆命题、否命题和逆否命题。
解：逆命题：若0x =或0y =则0xy =
否命题：若0xy ≠则0x ≠且0y ≠
逆否命题：若0x ≠且0y ≠则0xy ≠
三、课堂练习：
四、小结：
五、课后作业：
思考题：（1）四种命题之间的关系是什么？
（2）一个命题与其它三个命题之间的真假关系如何？
六、教学后记：。