数学规划基础-6(全集)
中职教育-数学(基础模块)下册 第六章 数列.ppt
可表示为 Sn a1 (a1 d ) (a①1 2d ) [a1 (n 1)d ]，
Sn an (an d ) (②an 2d ) [an (n 1)d ]．
…
…
将①②两式相加可得
…
2Sn (a1 an ) (a1 an ) (a1 an ) n个
．
于是
a2
a1q
16 3
3 2
8．
➢例题解析
例2 求等比数列11,3.3,0.99，…的第4项和第5 项．
… …
观察
所以，数列的一般形式可以写成
a1 ，a2 ，a3 ， ，an ，
简记为{an}．其中，反映各项在数列中位置的数字0,1,2,3，…，n
分别称为对应各项的项数．
项数有限的数列称为有穷数列；项数无限的数列称为无穷数列．上 面的例子中，数列②④为有穷数列，数列①③为无穷数列．
➢6.1.2 数列的通项公
59 3n 1， n 20．
因此，该数列的第20项为59．
➢例题解析
例3 在等差数列{an}中，公差d=5， a9=38，求首项a1。
解：
因d=5，故设等差数列的通项公式为
an a1 5(n 1) ．
因a9=38，故
38 a1 5 (9 1) ． a1 2 ．
➢例题解析
例4 某市出租车的计价标准为1.2元 /km，起步价为10元，即最初的4 km （不含4 km）计价10元．如果某人在该 市坐出租车去14 km处的地方，需要支 付 解多：少车费？
观察上面的数列，可以发现，从第2项开始，数列中每 一项与其前一项的比都等于2．
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项 的比都等于同一常数，那么，这个数列称为等比数列，这 个常数称为等比数列的公比，用字母q 表示．
第6章 第3讲 简单的线性规划优秀课件
表示的平面区域的面积是( A )
数
学
文 理 合
A．32
B．3
订
C．2
D．23
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第六章 不等式 推理与证明
[解析] 平面区域如图中阴影部分所示．
解
3x－2y＝0 3x－y－3＝0
得 A(2,3)，又 B(1,0)，∴S△AOB＝12×1×3＝32，故选 A．
数 学 文 理 合 订
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时，z＝x＋3y 取得最大值 8.
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第六章 不等式 推理与证明
x－y≤0， 5．(2018·西安地区高三八校联考)设实数x，y满足 x＋y≥0，
y≤a，
若z＝x＋2y的
最大值为3，则a的值是____1____.
x－y≤0，
[解析] 依题意得 a>0，在平面直角坐标系内大致画出不等式组 x＋y≥0，
x≤0 (3)若关于x，y的不等式组 x＋2y≥0
文 理
kx－y＋1≥0
合
订
域，则正数k的值为( B )
，表示的平面区域是直角三角形区
数 学
A．1
B．2
C．3
D．4
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第六章 不等式 推理与证明
[解析] (1)|x|＝|y|把平面分成四部分，|x|≤|y|表示含 y 轴的两个区域；|x|<1
示 x＝±1 所夹含 y 轴的区域．故选 C． 〔2)不等式组所表示的平面区域如图中阴影局部所示，
x
x y 0 的可行域，
2y 2 0
学
订
如图，作直线 2x－y＝2，与直线 x－2y＋2＝0 交于可行域内一点 A(2,2)，由题
知直线 mx－y＝0 必过点 A(2,2)，即 2m－2＝0，得 m＝1.故选 C．
中等职业教育规划教材数学1-3册目录(人民教育出版社)
目录第一章集合（第一册）1.1集合及其表示1.1.1集合1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系1.3集合的基本运算1.3.1交集1.3.2并集1.3.3补集1.4充要条件第二章方程与不等式2.1一元一次方程2.2不等式2.2.1不等式的基本性质2.2.2不等式的解集与区间2.2.3含有绝对值的不等式2.2.4一元二次不等式第三章函数3.1函数的概念3.2函数的表示方法3.3函数的单调性3.4函数的奇偶性3.5二次函数的图像和性质3.6函数的应用第四章指数函数与对数函数4.1实数指数4.2指数函数4.3对数及其运算4.3.1对数4.3.2对数的运算4.4对数函数4.5幂函数4.6指数函数与对数函数的应用第五章数列5.1数列5.2等差数列5.2.1等差数列的概念5.2.2等差数列的前n项和5.3等比数列5.3.1等比数列的概念5.3.2等比数列的前n项和5.4等差数列与等比数列的应用第六章空间几何体6.1认识空间几何体6.1.1认识多面体与旋转体6.1.2棱柱、棱锥6.1.3圆柱、圆锥、球6.2空间几何体的表面积与体积6.2.1空间几何体的表面积6.2.2空间几何体的体积第七章三角函数（第二册）7.1任意角的概念与弧度制7.1.1任意角的概念7.1.2弧度制7.2任意角的三角函数7.2.1任意角的三角函数的定义7.2.2单位圆与正弦、余弦线7.2.3利用计算器求三角函数值7.2.4三角函数值在各象限的符号7.3同角三角函数的基本关系式7.4三角函数的诱导公式7.5正弦、余弦函数的图像和性质7.5.1正弦函数的图像和性质7.5.2余弦函数的图像和性质7.6已知三角函数值求角第八章平面向量8.1向量的概念8.2向量的线性运算8.2.1向量的加法8.2.2向量的减法8.2.3数乘向量8.3平面向量的的直角坐标系8.3.1平面向量的直角坐标及其运算8.3.2平面向量平行的坐标表示8.3.3向量的长度公式和中点公式8.4向量的内积8.4.1向量的内积8.4.2向量内积的直角坐标运算第九章 直线与圆的方程9.1直线的方程9.1.1直线的方向向量与点向式方程9.1.2直线的斜率与点斜式方程9.1.3直线的法向量与点法式方程9.1.4直线的一般式方程9.2两条直线的位置关系9.2.1两条直线的平行9.2.2两条直线的交点与垂直9.3点到直线的距离9.4圆的方程9.4.1圆的标准方程9.4.2圆的一般方程第十章 立体几何初步10.1平面的基本性质10.2空间两条直线的位置关系10.3直线与平面的位置关系10.4平面与平面的位置的关系第十一章 概率与统计初步11.1计数的基本原理11.2概率初步11.2.1随机事件与样本空间11.2.2古典概率11.3随机抽样11.3.1简单随机抽样11.3.2系统抽样11.3.3分层抽样11.4用样本估计总体11.4.1用样本的频率分布估计总体的分布11.4.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 11.5一元线性回归分析第十二章 三角计算及其应用 （第三册） 12.1和角公式12.1.1两角和与差的余弦12.1.2两角和与差的正弦12.1.3两角和与差的正切12.2倍角公式12.3正弦函数)sin(ϕω+=x A y 的图像和性质 12.4解三角形12.4.1余弦定理12.4.2三角形的面积12.4.3正弦定理12.5三角计算及应用举例第十三章圆锥曲线与方程13.1椭圆13.1.1椭圆的标准方程13.1.2椭圆的几何性质13.2双曲线13.2.1双曲线的标准方程13.2.2双曲线的几何性质13.3抛物线13.3.1抛物线的标准方程13.3.2抛物线的几何性质第十四章坐标变换与参数方程14.1坐标变换14.1.1坐标轴的平移14.1.2利用坐标轴的平移化简二元二次方程14.1.3坐标轴的旋转14.1.4利用坐标轴的旋转化简二元二次方程14.2一般二元二次方程的讨论14.2.1化一般二元二次方程为标准式14.2.2一般二元二次方程的讨论14.3参数方程14.3.1曲线的参数方程14.3.2圆的参数方程14.3.3直线的参数方程14.3.4圆锥曲线的参数方程14.4参数方程的应用举例第十五章逻辑代数基础15.1常用逻辑用语15.1.1命题15.1.2量词15.1.3逻辑联结词15.2数制15.2.1十进制与二进制15.2.2十进制与二进制之间的转换15.3逻辑代词15.3.1基本概念与基本逻辑运算15.3.2逻辑代数的运算律和基本定理15.3.3逻辑函数15.3.4逻辑函数的表示方法15.3.5逻辑函数的化简15.3.6逻辑图第十六章算法与程序框图16.1算法的概念16.2程序框图与算法的基本逻辑结构16.2.1程序框图的基本图例16.2.2顺序结构及其框图16.2.3条件分支结构及其框图16.2.4循环结构及其框图16.3条件判断16.4算法案例第十七章数据表格信息处理17.1数组、数据表格的概念17.2数组的代数运算17.3用软件处理数据表格17.4数据表格的图示第十八章编制计划的原理与方法18.1编制计划的有关概念18.2关键路径法18.3统筹图18.3.1网络图18.3.2横道图18.4进度计划的编制18.4.1网络图的时间参数18.4.2时间优化的方法第十九章线性规划初步19.1线性规划问题19.2二元一次不等式表示的区域19.3线性规划问题的图解法19.4线性规划问题的应用举例19.5用Excel解线性规划问题第二十章复数20.1复数的概念20.1.1复数的有关概念20.1.2复数的几何意义20.2复数的运算20.2.1复数的加法和减法20.2.2复数的乘法和除法20.3实系数一元二次方程的解法20.4复数的三角形式20.4.1复数的三角形式20.4.2复数三角形式的乘法与乘方运算20.4.3复数三角形式的除法运算20.4.4复数的开方运算20.5复数的指数形式20.6复数的应用第二十一章概率分布初步21.1排列与组合21.1.1排列与排列数公式21.1.2组合与组合数公式21.2二项式定理21.2.1二项式定理21.2.2二项式系数的性质21.3离散型随机变量及其分布21.3.1离散型随机变量21.3.2二项分布21.4正态分布。
第1章 高等数学规划预备知识
第1章 预备知识§1.1 基本概念与术语1.1.1 数学规划问题举例例1 食谱（配食）问题● 假设市场上有n 种不同的食物，第j 种食物每个单位的销售价为),,2,1(n j c j =。
● 人体在正常生命活动过程中需要m 种基本的营养成分。
为了保证人体的健康，一个人每天至少需要摄入第i 种营养成分),,2,1(m i b i =个单位。
● 第j 种食物的每个单位包含第i 种营养成分ij a 个单位。
食谱（配食）问题就是要求在满足人体基本营养需求的前提下，寻找最经济的配食方案（食谱）。
建立食谱的数学模型引入决策变量i x ：食谱中第i 种食物的单位数量i ni i x c ∑=1mins.t. m i b x a i j nj ij ,,2,1,1=≥∑= n j x j ,,2,1 ,0 =≥例2 选址与运输问题● 假设某大型建筑公司有m 个项目在不同的地点同时开工建设.记工地的位置分别为m i b a P i i i ,,2,1),,( ==. ● 第i 个工地对某种建筑材料的日用量是已知的（比如水泥的日用量（单位：t ）为i D ）． ● 该公司准备分别在),(111y x T =和),(222y x T =两个地点建造临时料场，并且保证临时料场对材料的日储量（单位：t ）分别为1M 和2M ．如何为该公司确定临时料场的位置，并且制订每天的材料供应计划，使建筑材料的总体运输负担最小？建立选址与运输问题的数学模型引入决策变量：位置变量),(k k y x ,从临时料场向各工地运送的材料数量),,2,1 ;2,1(m i k z ki ==.∑∑-+-==21122)()(min k mi i k i k ki b y a x zs.t. 2,1 ,1=≤∑=k M z k mi kim i D z i k ki ,,2,1 ,21==∑=m i k y x z k k ki ,,2,1,2,1 , R ),( ,02 ==∈≥例3 生产计划问题● 某企业向客户提供一种机器，第1季度末需要交货1c 台，第2季度末需要交货2c 台，第3季度末需要交货3c 台．● 该企业最大生产能力是每季度生产b 台.● 若用x 表示该企业在某季度生产的机器台数，则生产费用（单位：元）可以用函数αx a x a x f 21)(+=来描述.● 企业需为每台机器在每个季度多支付p 元的存储费． ● 假设在第一个季度开始时无存货，不允许缺货.如何制订生产计划，确定在每个季度应该生产多少台机器，才能既履行交货合同，又使企业总体费用最少？建立生产计划的数学模型决策变量：用)3,2,1(=i x i 表示企业在第i 个季度生产的机器数量． 合同规定的总数量：321321c c c x x x ++=++每个季度生产数量要求：每个季度生产数量j x 不大于最大生产能力b ，不少于该季度末的交货量j c 与该季度初的库存量j I 之差.第j 个季度初库存量：3,2,1 ,)(=∑-=<j c x I ji i i j （1I =0）变量隐含要求：)3,2,1(0=≥j x j ，并且取整数． 企业总费用：所有季度生产与存储费用之和∑+∑===3231)()(i i i i pI x f x F)2()))3(()(min 213121c c p x a x p i a x F i i i +-∑+-+==αs.t. ∑=∑==3131j j j j c x11c x ≥2121c c x x +≥+3,2,1,,0=∈≤≤j Z x b x j j (Z 表示所有整数的集合)1.1.2 数学规划问题的模型与分类● 形成一个最优化问题的数学模型⏹ 首先需要辨识目标，确定优化标准，即待研究系统的性能定量描述，如成本、数量、利润、时间、能量等；⏹ 其次用合适的决策变量描述系统的特征量，并将目标表示成决策变量的函数（目标函数，objective function )；⏹ 此外需确定变量所受的范围限制，由若干个函数的等式或者不等式来定义（约束函数，constraint functions )．● 最优化问题指在决策变量所受限制范围内，对相关的目标函数进行极小化或者极大化.)(min nRx f x ∈ s.t. I i x g i ∈≥ ,0)(E j x h j ∈= ,0)(满足约束条件的点称为可行点（feasible point ) ，所有可行点的集合称为可行域（feasible region ) ，记为S .- 当nS R =，无约束优化问题;否则,约束优化问题．- i g f ,和i h 都是线性函数，为线性规划（linear programming ，LP );否则为非线性规划（nonlinear programming, NLP ）.- 所有变量取整数，称为整数规划（integer programming );允许一部分变量取整数，另一部分变量取实数，为混合整数规划（mixed integer programming, MIP ）.- 从一个连通无限集合（可行域）中寻找最优解, 称为连续优化(continuous optimization )问题；从一个有限的集合或者离散的集合中寻找最优解，称为组合优化（combinatorial optimization)，或者离散优化（discrete optimization ）．- 存在多个目标，即目标函数)(x f 取一个向量值函数，称多目标规划（multi-objective programming)，或多目标优化．- 最优化问题中出现的参数是完全确定的，称为确定型优化（deterministic optimization ）问题;否则称为非确定型优化（uncertain optimization) 问题，包括了随机规划（stochastic programming ）、模糊规划（fuzzy programming ) 等特殊情形．1.1.3 最优解的概念定义: 设)(x f 为目标函数，S 为可行域，S x ∈，若对每个S x ∈，成立)()(x f x f ≥，则称x 为)(x f 在S 上的全局极小点。
北航数学规划基础答案 最新
刘红英 2016.4 于北京
目录
第一章 引言
1
第二章 线性规划: 基本理论与方法
3
第三章 线性规划：应用及扩展
2u1 − 2v1 + u3 − v3 = 3, ui, vi, s ≥ 0, i = 1, 2, 3.
方法2: 引入非负变量 t1, t2, t3 ，将原问题转化成等价问题
minimize t1 + t2 + t3 subject to x + y ≤ 1,
2x + z = 3, |x| = t1, |y| = t2, |z| = t3.
1.3 利用图解法和优化软件两种方法求解下列问题
minimize subject to
(x1 − 2)2 + (x2 − 1)2 x21 − x2 ≤ 0, x1 + x2 ≤ 2.
1.4 确定下列 n 元函数的梯度向量和 Hessian 阵：
(a) aT x: a 是常向量；
(b) xT Ax: A 是非对称的常矩阵；
(c)
1 2
xT
Ax
−
bT
x:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A 是对称的常矩阵，b 是常向量；
(d) r(x)T r(x): r(x) = (r1(x), · · · , rm(x))T 是依赖于 x 的 m 维向量，记 ∇rT 为 AT ，
它一般不是常量.
1
2
第一章 引言
解:
(a) ∇f (x) = a, ∇2f (x) = 0n×n; (b) ∇f (x) = (A + AT )x, ∇2f (x) = A + AT ;
CH6规划的基础
6
6.2 規劃的程序
情境分析並建立規劃前提
擬 定 目 標 發展替代方案
評估與選擇替代方案 發展細部計畫
6-7
6.2.1 情境分析並建立規劃前提
組織所面對的主要情境，一方面是組織目前的 現況，另一方面則是組織所面臨的環境。 情境分析的主要目的係基於對這些情境的瞭解 與預估後，據以發展出一套規劃的前提；而規 劃的前提，是整個計畫所植基的假設。 預測是情境分析中常用的一種工具。
8
6.2.2 擬定目標
決定目標的優先順序。 目標的權重與替換比率往往比優先順序 更難拿捏。 不同的時間，因為情境改變，目標的優 先順序與權重也會隨之改變。
9
6.2.3 發展替代方案
只有一個替代方案存在，是無法做決策的 腦力激盪術 創造力技術 逐步激盪術
10
6.2.4 評估與選擇替代方案
從成本效益的觀點來比較各個替代方案。
植基於某一最大可能狀況下，所 擬定的一套主要行動方案。
應變計畫
針對一些來自環境或組織內部所未預 期的快速變革，致使當初所預先擬好 的計畫無法順利進行或受到干擾而中 斷時，所做的替代計畫。
23
6.5 目標管理
6.5.1
目標管理的內涵
目標管理的程序 目標管理的效用 對於目標管理的批評
6.5.2
6.5.3 6.5.4
企圖達成基於策略目標所衍 涵蓋整個組織，建立組織整 支持達成上述策略性目標與 伸出來的戰術性目標的一套 體的策略性目標，並企圖達 戰術性目標的一套日常性計畫。 計畫。 成該策略目標的計畫。
19
6.4.2 依時間幅度
短期計畫 中期計畫 長期計畫
20
6.4.3 依計畫的明確度
特定性 計畫
第1章运筹学基础及应用-第六版
约束条件：
a11x1 a12x2 a1nxn （或,）b1
s.t.
a21x1 a22x2
a2nxn （或,）b2
am1x1 am2x2 amnxn （或,）bm
x1, x2, , xn 0
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线性规划模型的简写形式(求和符号)
n
2.目标函数:指问题要达到的目的要求，表示为决 策变量的函数。
3.约束条件:指决策变量取值时受到的各种可用资 源的限制，表示为含决策变量的等式或不等式。
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线性规划的数学模型由三个要素构成
决策变量 Decision variables 目标函数 Objective function
热 量 蛋 白 质 钙 价格
序号 食品名称 （千卡） （克） （毫克） (元/kg）
x1 1 猪肉 1000 50 400 14
x2 2 鸡蛋
800 60 200
6
x3
3
大米
900 20 300
3
x4 4
白菜
200 10 500
2
每天需要
3000
55
800
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解：设xj为第j种食品每天的购入量，则配餐问题 的线性规划模型为：
式来表示; 都有一个达到某一目标的要求，可用决策变量的线性函数(称为目标函数)
来表示。按问题的要求不同，要求目标函数实现最大化或最小化。
防灾科技学院
11
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1.2 线性规划问题的数学模型
数学规划基础-10(全集)
Tianjin University 例7：我们希望改变一个非基变量的列。假设一张饭 桌售价43美元，使用5板英尺木材，2个油漆工时 和2个木匠工时。当前基还是最优的吗？ 解：改变非基变量“饭桌”的列使得第一和第三对 偶约束不变，但将第二个对偶约束变为 由于 不满足新的第二个对偶约束 ，对偶可行不能维持，当前基不再是最优的。
Tianjin University
由4.3节敏感度分析，对于 ，当前基仍为 最优。像前面说的，碳约束的影子价格为0。这表 明如果我们增大碳要求，钢厂的利润不会变化。 直观地看，这是因为我们目前的最优解只包含 2.75<3吨的碳。这样，放宽碳要求不会使钢厂减 少成本，因此钢厂的利润仍保持不变。 由敏感度分析，如果 ，当前基仍是最优 的。由于第三个（锰）约束的影子价格是200， 我们知道只要锰的要求保持在这个范围内，增加 数量将使利润增加200 。例如，如果锰的需 求是4.05吨（ =0.05 ），利润将增加sity 最优解是 在最优解中，唯一的非基决策变量是 家具公司问题的对偶是 （饭桌）。
回想最优对偶解（和由此得出的影子价格）是 。我们现在演示如何将对偶的 知识应用于敏感度分析。
Tianjin University 例6：我们希望改变一个非基变量的目标函数系数。 设 是家具公司问题中 （饭桌）的目标函数系 数。换句话说， 是饭桌的出售价格。 取什么 值将使当前基仍为最优？ 解：如果 仍是对偶可行的，当 前基（和所有变量的值）保持不变。注意如果 的目标函数系数改变，第一和第三个对偶约束保 持不变，但是第二个（饭桌）对偶约束变为 如果 满足这个不等式，对偶可 行（和由此得到的原始最优）保持不变。
Tianjin University
在每种情况下，变化不改变BV的可行性。如果BV 的row0保持非负，BV仍是最优的。由于原始最优 性和对偶可行性是等价的，我们可以得到当且仅 当对偶解 仍对偶可行，上面的变化将使当 前基仍是最优的。如果当前对偶解不再对偶可行 ，BV将是次优的，必须求取一个新的最优解。 回想家具公司问题：
第1章 高等数学规划预备知识-推荐下载
例 2 选址与运输问题 假设某大型建筑公司有 m 个项目在不同的地点同时开工建设.记工地的位置分别为
Pi (ai ,bi ), i 1,2,, m . 第 i 个工地对某种建筑材料的日用量是已知的（比如水泥的日用量（单位：t）为 Di ）
．
该公司准备分别在 T1 (x1, y1) 和 T2 (x2, y2 ) 两个地点建造临时料场，并且保证临时
§1.1 基本概念与术语
1.1.1 数学规划问题举例
例 1 食谱（配食）问题
第 1 章 预备知识
假设市场上有 n 种不同的食物，第 j 种食物每个单位的销售价为 c j ( j 1,2,, n) 。
人体在正常生命活动过程中需要 m 种基本的营养成分。为了保证人体的健康，一个人
每天至少需要摄入第 i 种营养成分 bi (i 1,2,, m) 个单位。 第 j 种食物的每个单位包含第 i 种营养成分 aij 个单位。
函数，constraint functions)． 最优化问题指在决策变量所受限制范围内，对相关的目标函数进行极小化或者极大化.
min f (x)
xR n
s.t. gi (x) 0, i I hj (x) 0, j E
满足约束条件的点称为可行点（feasible point ) ，所有可行点的集合称为可行域
3
j 1
min
F ( x)
3
i1
(a1
x1 c1 x1 x2 c1 c2 0 x j b, x j Z , j 1,2,3 (Z 表示所有整数的集合)
1.1.2 数学规划问题的模型与分类
形成一个最优化问题的数学模型
高等数学自学教材目录
高等数学自学教材目录第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质1.1.1 函数的定义1.1.2 函数的分类1.1.3 函数的图像与性质1.2 极限的概念与性质1.2.1 极限的定义1.2.2 极限的性质1.2.3 极限存在的判定方法第二章导数与微分2.1 导数的定义与性质2.1.1 导数的定义2.1.2 导数的性质与运算法则2.1.3 导数存在的条件2.2 微分的概念与应用2.2.1 微分的定义2.2.2 微分的应用：局部线性化与近似计算 2.2.3 高阶导数与高阶微分第三章微分中值定理与导数应用3.1 微分中值定理3.1.1 罗尔定理3.1.2 拉格朗日中值定理3.1.3 柯西中值定理3.2 函数的单调性与曲线的凹凸性3.2.1 函数的单调性及其判定方法3.2.2 曲线的凹凸性及其判定方法3.3 各种中值定理的应用3.3.1 利用中值定理证明不等式3.3.2 利用中值定理证明函数性质第四章不定积分与定积分4.1 不定积分的概念与性质4.1.1 不定积分的定义4.1.2 不定积分的基本性质与运算法则4.2 定积分的概念与性质4.2.1 定积分的定义4.2.2 定积分的性质与运算法则4.3 牛顿-莱布尼茨公式与变限积分4.3.1 牛顿-莱布尼茨公式的推导与应用4.3.2 变限积分的概念与性质第五章微分方程5.1 微分方程的基本概念与解法5.1.1 微分方程的定义与分类5.1.2 一阶常微分方程的解法5.1.3 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 5.2 高阶线性常系数微分方程5.2.1 特征根与齐次线性微分方程的解5.2.2 叠加原理与非齐次线性微分方程的解 5.2.3 欧拉方程及其特解的求法第六章无穷级数6.1 数项级数的概念与性质6.1.1 数项级数的定义6.1.2 数项级数的收敛与发散6.1.3 常用数项级数的性质6.2 幂级数与泰勒级数6.2.1 幂级数的概念与性质6.2.2 幂级数的收敛域与求和6.2.3 泰勒级数的推导与应用第七章多元函数微分学7.1 多元函数的概念与性质7.1.1 多元函数的定义7.1.2 多元函数的极限与连续性 7.1.3 多元函数的偏导数与全微分 7.2 方向导数与梯度7.2.1 方向导数的概念与计算7.2.2 梯度的定义与性质7.2.3 梯度的应用与几何意义7.3 隐函数与参数方程7.3.1 隐函数定理与求导公式7.3.2 参数曲线方程与对弧长的求解第八章重积分8.1 二重积分的概念与性质8.1.1 二重积分的定义8.1.2 二重积分的计算与性质8.1.3 二重积分的应用8.2 三重积分与坐标变换8.2.1 三重积分的定义与计算8.2.2 三重积分的性质8.2.3 坐标变换与积分域的变换第九章曲线积分与曲面积分9.1 第一类曲线积分9.1.1 第一类曲线积分的概念与性质 9.1.2 第一类曲线积分的计算9.2 第二类曲线积分9.2.1 第二类曲线积分的概念与性质9.2.2 第二类曲线积分的计算9.3 曲面积分9.3.1 曲面积分的概念与性质9.3.2 曲面积分的计算与应用第十章空间解析几何10.1 空间直线与平面的方程10.1.1 点、直线与平面的方程10.1.2 直线与平面的位置关系与夹角 10.2 空间曲线与曲面10.2.1 参数方程与直纹面10.2.2 旋转曲面与曲线的切线与法平面 10.3 二次曲面与空间直角坐标系10.3.1 二次曲面的方程与图像10.3.2 空间直角坐标系第十一章向量代数与空间解析几何11.1 向量的概念与运算11.1.1 向量的定义与性质11.1.2 向量的线性运算与数量积11.2 平面与空间解析几何11.2.1 向量方程与点、向量与直线的位置关系 11.2.2 点、向量与平面的位置关系与夹角11.3 空间平面与直线的方程11.3.1 空间平面的方程11.3.2 空间直线的方程与位置关系第十二章广义重积分12.1 重积分的概念与性质12.1.1 重积分的定义12.1.2 重积分的性质与计算12.2 多元函数的均值与中值定理12.2.1 平均值定理与均值公式12.2.2 中值定理与均值不等式12.3 可积函数与不可积函数12.3.1 可积函数与不可积函数的定义12.3.2 可积函数的判定与性质第十三章常微分方程初值问题的解法13.1 齐次线性常微分方程13.1.1 一阶齐次线性常微分方程的解法13.1.2 二阶齐次线性常微分方程的解法13.1.3 高阶齐次线性常微分方程的解法13.2 非齐次线性常微分方程13.2.1 一阶非齐次线性常微分方程的通解与特解 13.2.2 二阶非齐次线性常微分方程的通解与特解 13.3 可降阶的高阶常微分方程13.3.1 可降阶的高阶常微分方程的解法13.3.2 高阶常微分方程的特解与通解第十四章偏微分方程14.1 偏导数与偏微分方程的概念14.1.1 偏导数的定义与性质14.1.2 偏微分方程的定义与分类14.2 常见偏微分方程的解法14.2.1 齐次线性偏微分方程的特征曲线法14.2.2 分离变量法与变数分离法 14.3 热传导方程与波动方程14.3.1 热传导方程的解法与应用 14.3.2 波动方程的解法与应用。
数学规划基础
天津大学建筑工程学院目录第一章运筹学及其研究方法 (1)第二章线性规划 (4)2.1 线性规划问题 (4)2.2 两变量线性规划问题的图解法 (8)2.3 特例 (13)2.4 一个食谱问题 (17)第三章单纯形法 (21)3.1 将线性规划化转成标准形式 (21)3.2 单纯形法的预备知识 (23)3.3 单纯形法 (27)3.4 使用单纯形法解最小化问题 (34)3.5 多个最优解 (36)3.6 无界线性规划 (38)3.7 LINDO程序包 (39)3.8 退化和单纯形法的收敛 (43)3.9 大M法 (45)3.10 两阶段单纯形法 (50)3.11 无符号变量 (55)3.12 使用Excel的“规划求解”解线性规划 (57)第4章灵敏度分析和对偶 (65)4.1 图说敏感度分析 (65)4.2一些重要的公式 (68)4.3 敏感度分析 (74)4.4 求一个线性规划的对偶 (85)4.5 对偶问题的经济学解释 (90)4.6 对偶法则和结果 (92)4.7 影子价格 (99)4.8 对偶和敏感度分析 (105)4.9 互补松弛 (107)4.10 对偶单纯形法 (110)第5章整数规划 (118)5.1 整数规划简介 (118)5.2 建立整数规划问题 (120)5.3 解纯整数规划问题的分支定界法 (123)5.4 使用分支定界法解混合整数规划 (131)5.5 使用分支定界法解0-1整数规划 (132)5.6 割平面法 (133)第6章确定型动态规划 (138)6.1 两个智力测验 (138)6.2 网络问题 (138)第一章运筹学及其研究方法在第二次世界大战期间，英国军事将领邀请了一批科学家和工程师帮助分析一些军事问题：雷达布置，护航、轰炸和反潜作战的组织，矿山开采等。
在军事活动中，数学与科学方法的应用称为“操作研究”（operation research），我国则意译为“运筹学”。
数学(基础模块)全册
数学(基础模块)全册简介数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念的学科。
它不仅是一门学科，同时也是一种思维方式和工具，被广泛应用于科学、工程、经济学等领域。
数学的基础模块主要包括整数、分数、小数、代数、几何、概率和统计等内容。
本文档将介绍数学基础模块全册的内容，帮助读者全面理解和掌握这些基础知识。
内容大纲1.整数–正整数与负整数–加法与减法–乘法与除法–整数的应用2.分数–分数的概念–分数的简化与扩展–分数的加法与减法–分数的乘法与除法–分数的应用3.小数–小数的概念–小数的加法与减法–小数的乘法与除法–小数的应用4.代数–代数表达式–代数运算–一元一次方程–二元一次方程5.几何–点、线、面的概念–直线与曲线–多边形与圆形–三角形与四边形–平行线与垂直线–梯形与棱柱–几何的应用6.概率–概率的基本概念–事件与样本空间–概率的计算方法–事件的组合与排列–概率的应用7.统计–统计的基本概念–数据的收集与整理–数据的表示与分析–均值、中位数与众数–统计的应用具体内容介绍整数整数是自然数、0和负整数的集合。
在整数的运算中，加法和减法是基本的运算。
乘法和除法是辅助的运算。
整数的概念和运算方法在解决实际问题中具有重要作用。
分数分数是整数部分和分数部分组成的数，可以表示部分数量和部分关系。
分数在表示比例、比较大小和解决实际问题中经常被使用。
小数小数是整数部分和小数部分组成的数，可以表示精确的数量和连续变化的关系。
小数在计算、测量和科学实验中被广泛应用。
代数代数是以字母和符号表示数和数的运算关系的数学分支。
代数的基础包括代数表达式、代数运算和方程的解法。
几何几何研究空间和形状的属性，是一门直观的数学学科。
几何的基本概念包括点、线、面以及相应的运算。
几何在建筑、工程和艺术等领域有重要应用。
概率概率是研究随机事件发生可能性的数学分支。
概率的基本概念包括样本空间、事件和概率的计算方法。
概率在统计、科学研究和风险评估中具有广泛应用。
数学规划及其应用1-7
(C A) X 0
(c j 0 p j ) x 0 j 0
j 1,2,, n
证明：
0 0
(c p ) x
0 j 1 j j
n
0 j
0
0 0 设 X , 分别是(P)和(D)的最优解，由定理1-8有
0 0 AX CX b
(C A) X 0
三.松紧定理： ( P ) min S CX AX b X 0 定理1-9：
0 0 设 X , 分别是(P)和(D)的可行解，
( D) max Z b
A C C 0A 0 c j 0 pj 0
0 0
则 X , 分别是(P)和(D)的最优解
第一章 线性规划
第七节 对偶理论 原规划和对偶规划最优解 之间的关系 弱对偶定理 强对偶定理 松紧定理
一.弱对偶定理： ( D) max Z b ( P ) min S CX AX b A C X 0 b CX 定理1-7： 设X 和 分别是(P)和(D)的可行解，则有CX b. 证明： A C , X 0 AX CX b CX 推论1：
b
若 X 0和 0 分别是(P)和(D)的可行解，且 CX 0 0b, 则 X 0和 0 分别是(P)和(D)的最优解。
线性规划1-7
弱对偶定理： ( D) max Z b ( P ) min S CX AX b A C X 0 b CX 定理1-7： 设X 和 分别是(P)和(D)的可行解，则有CX b. 推论1： 若 X 0和 0 分别是(P)和(D)的可行解，且 CX 0 0b, 则 X 0和 0 分别是(P)和(D)的最优解。 证明： 设X 是(P)的任意可行解，由定理1-7知：
06第6章 数学规划模型
第6章 数学规划模型现实世界中广泛存在着一类所谓的优化问题，在一系列既定条件的限制下，如何使所关注的预定目标达到最优，这就是数学规划模型。
本章介绍数学规划中的线性规划、整数规划和非线性规划。
另外介绍多目标规划的序贯解法。
6.1 线性规划线性规划（Linear Programming 简记LP ）是运筹学的一个重要分支。
自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实际中的应用日益广泛。
6.1.1 线性规划的基本概念1.线性规划的一般模型 线性规划模型的一般形式为1max(min)nj j j z c x ==∑；(6.1)1(,),1,2,,,s.t.0,1,2,,.nij j i j ja xb i m x j n =⎧≤≥==⎪⎨⎪≥=⎩∑ (6.2)也可以表示为矩阵形式max(min)T z =c x ；(,),s.t.0.≤≥=⎧⎨≥⎩Ax b x 向量形式max(min)T z =c x ；1(,),s.t.0.nj j j x =⎧≤≥=⎪⎨⎪≥⎩∑p b x 上面的表达式中，式(6.1)称为目标函数，式(6.2)称为约束条件；其中12[,,,]T n c c c =c ，称其为价值向量（或目标向量）；12[,,,]T n x x x =x ，称其为决策向量；12[,,,]T m b b b =b ，称其为资源向量；()ij m n a ⨯=A ，称其为约束条件的系数矩阵；12[,,,]T j j j mj a a a =p （1,2,,j n =），称其为约束条件的系数向量。
从上面的模型可以看出，线性规划的目标函数可以是最大化问题，也可以是最小化问题；约束条件有的是“≤”，有的是“≥”，也可以是“=”。
在一些实际问题中决策变量可以是非负的，也可以是非正的，甚至可以是无约束（即可以取任何值）。
为了便于研究，在此规定线性规划模型的标准型为max T z =c x ； (6.3),s.t.0.=⎧⎨≥⎩Ax b x (6.4)2.线性规划解的概念线性规划所研究的内容是线性代数的应用和发展，属于线性不等式组理论，或者说是高维空间中凸多面体理论。
数学规划法资料
II. 数学规划问题的分类
(1) 按约束的有无，可分为： 无约束最优化问题
有约束最优化问题
准无约束最优化问题
(2) 按目标函数和约束函数是否为线性，可分为：
线性规划
非线性规划 如果目标函数与约束函数都是凸函数，则称为凸规划
如果目标函数是二次函数而约束函数是一次函数，则称 为二次规划
如果设计变量只允许取整数，则称为整数规划 如果在目标函数和约束函数中包含具有随机性质的参数 则称为随机规划
• 这两个条件的几何意义是: 目标函 数梯度向量和约束条件梯度向量与 方向向量之间的夹角均大于900. • 根据上述要求, 可以有三条路线来 完成调参: 1. 沿等重线(面)侧移； 2. 沿约束边界侧移－梯度投影 法( Gradient projection method )； 3. 沿可用可行方向 P 侧移－可 行方向法 ( Feasible directional method )。 由此构成三种不同形式的可行方向 法。
H(k)的产生采用迭代法逐步构成 先给定H(0)，一般取单位矩阵，则 H(1)= H(0)+E(0), H(2)= H(1)+E(1), H(3)= H(2)+E(2),…… 对于DFP算法
对于BFGS算法
3.4 可行方向法
I. 概述
结构优化的一般数学规划表达式： 寻找一组设计变量 X = ( X1 , X2, ……, Xn )T min f( X ) X E n s. t. g i (X) 0 i =1, m 设计变量的迭代公式 ----- X ( +1) = X ( ) + P ( ) 从 X ( ) 调参至 X ( +1) , 要求设计点可行, 并且目标函数还要下降, 即满足可用可行性条件: 1. 满足可用性条件 ( Usability condition ) f ( X ( ) )T p ( ) 0 2. 满足可行性条件 ( Feasibility condition ) g i (X ( ) + P ( ) ) 0 或者 g i (X ( ) )T P ( ) 0
2017年数学一轮复习课件：第六章 第4讲 简单的线性规划
内求得使目标函数取得最值的解.
(3)还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的 解，即结合实际情况求得最优解.
约束条件 目标函数中的变量所要满足的不等式组
线性约束条件 由 x，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组
线性目标函数 目标函数是关于变量的一次函数
可行解 满足线性约束条件的解
可行域 由所有可行解组成的集合
最优解 使目标函数取得最大值或最小值的点的坐标
在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值 线性规划问题 或__最__小__值__问题
第二十六页，编辑于星期六：二点 三十八分。
【互动探究】
3.(2013 年山东)在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 为不等式
组2x＋x＋y－3y2－≥60≤，0， y≥0，
所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值
为__________.
第二十七页，编辑于星期六：二点 三十八分。
解析：不等式组表示的区域如图D29，则|OM|的最小值就
答案：4
图 D27
第十七页，编辑于星期六：二点 三十八分。
【规律方法】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，
其步骤是：①在平面直角坐标系内作出可行域； ②考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；
③确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直 线，从而确定最优解；
④求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小
x≤3，
则z＝2x－3y 的最小值是(
A.－7 C.－5
) B.－6 D.－3
第七页，编辑于星期六：二点 三十八分。
解析：作出不等式组表示的可行域，如图D24(阴影部分).
数学基础模块(下册)第六章 数列
【课题】6．1 数列的概念【教学目标】知识目标：（1）了解数列的有关概念；（2）掌握数列的通项（一般项）和通项公式．能力目标：通过实例引出数列的定义,培养学生的观察能力和归纳能力．【教学重点】利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项．【教学难点】根据数列的前若干项写出它的一个通项公式．【教学设计】通过几个实例讲解数列及其有关概念：项、首项、项数、有穷数列和无穷数列．讲解数列的通项（一般项）和通项公式．从几个具体实例入手,引出数列的定义.数列是按照一定次序排成的一列数．学生往往不易理解什么是“一定次序”．实际上，不论能否表述出来，只要写出来，就等于给出了“次序”，比如我们随便写出的两列数：2，1，15，3，243，23与1，15，23，2，243，3，就都是按照“一定次序”排成的一列数，因此它们就都是数列，但它们的排列“次序”不一样，因此是不同的数列．例1和例3是基本题目,前者是利用通项公式写出数列中的项；后者是利用通项公式判断一个数是否为数列中的项,是通项公式的逆向应用．例2是巩固性题目,指导学生分析完成.要列出项数与该项的对应关系，不能泛泛而谈,采用对应表的方法比较直观,降低了难度,学生容易接受.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】【教师教学后记】【课题】 6．2 等差数列（一）【教学目标】知识目标：（1）理解等差数列的定义； （2）理解等差数列通项公式． 能力目标：通过学习等差数列的通项公式,培养学生处理数据的能力．【教学重点】等差数列的通项公式．【教学难点】等差数列通项公式的推导．【教学设计】本节的主要内容是等差数列的定义、等差数列的通项公式.重点是等差数列的定义、等差数列的通项公式；难点是通项公式的推导．等差数列的定义中,应特别强调“等差”的特点:d a a n n =-+1(常数).例1是基础题目,有助于学生进一步理解等差数列的定义.教材中等差数列的通项公式的推导过程实际上是一个无限次迭代的过程,所用的归纳方法是不完全归纳法.因此,公式的正确性还应该用数学归纳法加以证明.例2是求等差数列的通项公式及其中任一项的巩固性题目,注意求公差的方法.等差数列的通项公式中含有四个量：,,,,1n a n d a 只要知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】【教师教学后记】【课题】 6．2 等差数列【教学目标】知识目标：理解等差数列通项公式及前n 项和公式． 能力目标：通过学习前n 项和公式,培养学生处理数据的能力．【教学重点】等差数列的前n 项和的公式．【教学难点】等差数列前n 项和公式的推导．【教学设计】本节的主要内容是等差数列的前n 项和公式,等差数列应用举例.重点是等差数列的前n 项和公式；难点是前n 项和公式的推导以及知识的简单实际应用．等差数列前n 项和公式的推导方法很重要,所用方法叫逆序相加法，应该让学生理解并学会应用．等差数列中的五个量1a 、d 、n 、n a 、n S 中,知道其中三个,可以求出其余两个,例5和例6是针对不同情况,分别介绍相应算法．例7将末项看作是首项的思想是非常重要的,以这类习题作为载体,对培养学生的创新精神是十分重要的．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】【教师教学后记】【课题】6．3 等比数列【教学目标】知识目标：（1）理解等比数列的定义；（2）理解等比数列通项公式． 能力目标：通过学习等比数列的通项公式,培养学生处理数据的能力．【教学重点】等比数列的通项公式．【教学难点】等比数列通项公式的推导．【教学设计】本节的主要内容是等比数列的定义,等比数列的通项公式.重点是等比数列的定义、等比数列的通项公式；难点是通项公式的推导．等比数列与等差数列在内容上相类似，要让学生利用对比的方法去理解和记忆，并弄清楚二者之间的区别和联系.等比数列的定义是推导通项公式的基础，教学中要给以足够的重视.同时要强调“等比”的特点:q a a nn =+1(常数). 例1是基础题目,有助于学生进一步理解等比数列的定义.与等差数列一样，教材中等比数列的通项公式的归纳过程实际上也是不完全归纳法，公式的正确性也应该用数学归纳法加以证明，这一点不需要给学生讲.等比数列的通项公式中含有四个量：1a ，q ,n , n a , 只有知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量.教材中例2、例３都是这类问题.注意:例3中通过两式相除求公比的方法是研究等比数列问题常用的方法.从例4可以看到,若三个数成等比数列,则将这三个数设成是aq a qa,,比较好,因为这样设了以后,这三个数的积正好等于,3a 很容易将a 求出.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】【教师教学后记】【课题】 6．3 等比数列【教学目标】知识目标：理解等比数列前n 项和公式． 能力目标：通过学习等比数列前n 项和公式,培养学生处理数据的能力．【教学重点】等比数列的前n 项和的公式．【教学难点】等比数列前n 项和公式的推导．【教学设计】本节的主要内容是等比数列的前n 项和公式,等比数列应用举例.重点是等比数列的前n 项和公式；难点是前n 项和公式的推导、求等比数列的项数n 的问题及知识的简单实际应用．等比数列前n 项和公式的推导方法叫错位相减法，这种方法很重要，应该让学生理解并学会应用．等比数列的通项公式与前n 项和公式中共涉及五个量：n n S a n q a 、、、、1，只要知道其中的三个量，就可以求出另外的两个量.教材中例6是已知n n S a a 、、1求n q 、的例子．将等号两边化成同底数幂的形式,利用指数相等来求解n 的方法是研究等比数列问题的常用方法.【教学备品】教学课件．【课时安排】3课时．(135分钟)【教学过程】【教师教学后记】−。
第六章线性规划基础
12x1 3x2 4
s.t.
2 x1 3x1
3x2 15x2
2 36
x1 x2 1
x1 0, x2 0 max z' 3x1 2x2
12x1 3x2 x3
4
s.t.
2 x1 3x1
3x2 15x2
x4
2
x5 5
x1
x2
1
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
x1 +2x2≤ 8
s.t.
x2≤ 3
x1≥0, x2 ≥0
线性规划的数学表达
即求一组变量x1 , x2 ,…, xn ,在满足约束条件： a11x1 + a12x2 + … +a1nxn≤b1 a21x1 + a22x2 + … +a2nxn≤b2 ……
am1x1 + am2x2 + … +amnxn≤bm x1 , x2 , … , xn ≥0 的情况下，使目标函数：
XB所含 分量个
数恰为 阶数m， XN含nm个0分 量
线性规划解的性质
• 性质1：LP问题的可行域R为一凸集 • 性质2：LP问题的一个基本可行解与可行域R的一
个极点互相对应 • 性质3：线性规划的基本定理：对于任何一个给定
的标准形LP问题M来说，若M有可行解，则必有基 本可行解；如M有最优解，则必有最优基本可行解。 • 性质4：若LP问题的可行域R≠Ф，则R至少有一极 点 • 性质5：LP问题可行域R的极点数量必为有限多个
基本解
可行解 基本可行解
约束矩阵A中
基的数目最多 为Cnm，因而 基本解的个数
最多也只能有 Cnm个，所以 基本可行解的
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Tianjin University 例5：首先我们使用两阶段单纯形法解3.9节的饮料 公司问题。回想该问题为：
min ������ = 2������1 + 3������2 s.t.
1
������ + 2 1
1
������ 4 2
≤4
������1 + 3������2 ≥ 20 ������1 + ������2 = 10 ������1 , ������2 ≥ 0
1 1 1
− 2 ������2 = 5 + ������2 = 5
2 1
1
表 29 饮料公司Ⅰ阶段的最优单纯形表 ������������ 0 −
1 8 1
������������ -1
1 8 1 2
������������ -1 −
5 8 1
rhs 0
1 4
基变量 ������ ′ = 0 ������1 =
表 29 饮料公司Ⅰ阶段的第一个单纯形表 ������ ′ 1 0 0 0 ������������
2 3 5 12 1 3 2 3
������������ 0 0 1 0
������������ 0 1 0 0
������������
1 3 1 12
������������ −
4 3 1
������������ 0 0 0
min ������ = 2������1 + 3������2 s.t.
1
������ + 2 1
1
������ 4 2
≤4
������1 + 3������2 ≥ 36 ������1 + ������2 = 10 ������1 , ������2 ≥ 0
Tianjin University 解：完成两阶段单纯形的步骤1—4后，我们得到如下 Ⅰ阶段问题：
min ������ ′ = ������2 + ������3 s.t.
1
������ + 2 1
1
������ 4 2
+ ������1 − ������2 + ������2
=4 = 20 + ������3 = 10
������1 + 3������2 ������1 + ������2
这个表的row0（ ������ ′ − ������2 − ������3 = 0）包含基变量 ������2 和 ������3 。 为了从row0中消去 ������2和 ������3 ，可简单地将row2和row3 加到row0上：
Tianjin University 情况2 ������ ′ 的最优解等于0，没有人工变量在Ⅰ阶段的最 优基中。在这种情况下，我们移去Ⅰ阶段最优单纯 形表中所有与人工变量对应的列。我们现在将原始 目标函数同Ⅰ阶段最优单纯形表的约束相组合。这 样得到Ⅱ阶段线性规划。Ⅱ阶段线性规划的最优解 就是原始线性规划的最优解。
Ⅱ阶段 row0：������ − 2������1 − 3������2 +3 row 2 ： +2 row 3 ： ＝新Ⅱ阶段 row0： ������ 2������1
3
=0
3������2 − 2 ������2 = 15 + ������2 = 10 − 2 ������2 = 25
1
我们现在以如下方程组开始Ⅱ阶段
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min ������ − 2 ������2 = 25 ������1 − 8 ������2 = 4 ������2 ������1
������ ′ 1 0 0 0 ������������ 0 0 0 1 ������������ 0 0 1 0 ������������ 0 1 0 0
Tianjin University 步骤3 如果（已经完成步骤1）约束i是≥或=约束， 增加一个人工变量 ������������ 。同时，加上符号约束 ������������ ≥ 0 步骤4 现在，忽略原始线性规划的目标函数，而是 解一个目标函数为 min ������ ′ = 所有人工变量的和 的 线性规划。这称为Ⅰ阶段线性规划。解Ⅰ阶段线 性规划的行为将强迫人工变量等于0。 由于每个������������ ≥ 0 ，解Ⅰ阶段线性规划将得到如下三 种情况之一： 情况1 ������ ′ 的最优解大于0。在这种情况下，原始线 性规划没有可行解。
解：如同大M法一样，步骤1—3将约束变换为
1
������ + 4 ������2 + ������1 2 1 ������1 + 3������2 ������1 + ������2 − ������2 + ������2
1
=4 = 20 + ������3 = 10
Tianjin University 由步骤4得到如下Ⅰ阶段线性规划
min ������ = 2������1 + 3������2 或 ������ − 2������1 − 3������2 = 0
Tianjin University 由于 ������1 和������2 都在Ⅰ阶段的最优基中，必须从Ⅱ阶段的 row0中消去它们。我们将Ⅰ阶段单纯形表中的 3 row 2 + 2 row 3 加到row0中。
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Row0： ������ ′ ＋Row2： ������1 + 3������2 ＋Row3： ������1 + ������2 ＝New row0： ������ ′ + 2������1 + 4������2 − ������2 − ������3 = 0 − ������2 + ������2 = 36 + ������3 = 10 − ������2 = 46
Tianjin University 将new row0与Ⅰ阶段的约束组合得到Ⅰ阶段的初始单 纯形表见表28。
表 28 饮料公司Ⅰ阶段初始单纯形表 ������ ′ 1 0 0 0 ������������ 2 0.5 1 1 ������������ 4 0.25 3 ○ 1 ������������ 0 1 0 0 ������������ -1 0 -1 0 ������������ 0 0 1 0 ������������ 0 0 0 1 rhs 30 4 20 10 基变量 ������ ′ = 30 ������1 = 4 ������2 = 20 ������3 = 10 比率 \ 4/.25=16 20/3∗ 10
1 4
−2
1 2
−2
1 2 3 2
5 5
������2 = 5 ������1 = 5
−
Tianjin University 例6：为了演示情况1，我们现在修改饮料公司问题使 它满足36mg维生素C。从3.9节我们知道这个问题是 不可行的。这意味着Ⅰ阶段最优解应该有 ������ ′ > 0 （ 情况1）。为了说明这是正确的，我们从原始问题开 始：
Tianjin University Ⅰ阶段和Ⅱ阶段可行解 假设原始线性规划不可行。那么，得到Ⅰ阶段一个 可行解的唯一方法就是至少允许一个人工变量为 正。在这种情况下，将得到 ������ ′ > 0 （情况1）。另 一方面，如果原始线性规划有一个可行解，那么 这个可行解（所有 ������������ = 0）在Ⅰ阶段线性规划是可 行的，并得到 ������ ′ = 0 。这意味着如果原始线性规 划有一个可行解，Ⅰ阶段的最优解将有 ������ ′ = 0 。 我们现在看一下两阶段单纯形法的具体例子。
rhs
10 3 7 3 20 3 10 3
基变量 ������ ′ =
10 3 7
比率 \
28 5
− 12
1 3
������1 = 3 ������2 = ������3 =
20 3 10 3
−3
1 3
1
20 5∗
−
1 3
1
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表 29 饮料公司Ⅰ阶段的最优单纯形表 ������ ′ 1 0 0 0 ������������ 0 0 0 1 ������������ 0 0 1 0 ������������ 0 1 0 0 ������������ 0 −
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表 31 饮料公司（不可行）Ⅰ阶段不可行单纯形表 ������ ′ 1 0 0 0 ������������ -2 0.25 -2 1 ������������ 0 0 0 1 ������������ 0 1 0 0 ������������ -1 0 -1 0 ������������ 0 0 1 0 ������������ -4 -0.25 -3 1 rhs 6 1.5 6 10 基变量 ������ ′ = 6 ������1 = 1.5 ������2 = 6 ������2 = 10
同新row0一起，Ⅰ阶段初始单纯形表见表30。
表 30 饮料公司（不可行）Ⅰ阶段初始单纯形表 ������ ′ 1 0 0 0 ������������ 2 0.5 1 1 ������������ 4 0.25 3 1 ○ ������������ 0 1 0 0 ������������ -1 0 -1 0 ������������ 0 0 1 0 ������������ 0 0 0 1 rhs 46 4 36 10 基变量 ������ ′ = 46 ������1 = 4 ������2 = 36 ������3 = 10 比率 \ 4/.25=16 36/3 = 12 10∗