空间群1平移群

§4.3 布洛赫定理
4.3.1 倒格矢
为晶了体讨点论阵方基便矢ai ·，abij引i入21倒,2,点i3j 阵按，下倒i列, j点关= 阵1系, 的2式, 基3定矢义为的b：i i 1,2,3 是由
{IC2Z 0}({ h 0}); { d1 0}({IC2xy 0}),{ d 2 0}({IC2xy 0});
{C4
z
}及{C
1 4
z
};
{S
4
}({IC4
z
}),{S
1 4
}({IC
1 4
z
});
{C2x }及{C2y };
{ v1 }({IC2y }),{ v2 }({IC2x });
六角密积结构的空间群D6h4（P63/mmc) 简单六角结构固体学原胞基矢为：
矢，只是次序重排了一下。
∴
E
Rtn
E
tn
∴平移群是空间群的正规子群
其实，正因为Rtn必须仍是格矢，所以R所属的旋转轴度数只
能是1, 2, 3, 4, 6。
了R所由属于的点点群群操，作就R对有一tn 定及其的基性矢质（a1,Ratn2必, a须3 是施格加矢了）严，格如的果限制确，定
那么，和可能的三十二个点群配合的基矢或基胞（即可能的晶格 排列）只能有十四种（属七个晶系）叫做14种布拉菲晶格 ( Bravais Lattice )。
a1
ck
a2 ai
a3
a 2
i
3 2
aj
为了实用，定义第四个矢量：
a4
a2
a3
a 2
i
3 2
aj
六角密积格子是由两个简单六角 格子相互移动而套构成的，平 移矢量为：
1 2
1 2
ai
3 6
aj
c 2
k
D6h4的点群是D6h， D6h由12个正当转动和12个非正当转动组 成，共12个类。
平移群是空间群的正规子群 空间群的商群：空间群G按平移群T的陪集分解得商群G/T
G T {R2 2}T {R3 3}T {Rp p}T
可以是零矢量
只要知道了空间群G关于平移群T的陪集代表元{R }（可以
不是唯一的），空间群G就可以确定了。 空间群G的阶g：g=iN= g0N i为陪集的个数，N为平移群的阶，g0为商群的阶。
上，如金刚石晶体的原胞图如下：
z A8
z
A7
A5
A8
A5
A6
F3
F2
A7
A6
F6
y
F4
y
A4
A3
A1
A1
A2
x
其中，在A1~A8立主体构成惯用元胞， 各点有一个碳原子，在六个面心位置
上：F1~F6也各有一个碳原子，在四
个对角线的
1 4
处：D1~D4也各有一个
碳原子。
A4F5 F1
A3
A2
x
z A5
A8
z A5
A8
D3
F2 D4
A6
A7
F3
F6
A1
y
D1 A4
F5
F1
F4 D2 A3
A2
x
D'1
晶体的一切空间群操作可以表为：
r
Ri
i
tn
r
其中i=1,2,……h，h为空间群的阶，而转动操作（真转动和非真转
动）Ri的集合（i=1,2,…… h'）则构成一个点群，叫做空间群的点 群。
一般用：G
{E 0},{R2 0}, ,{R48 0}, 构成点群Oh
Oh5 {E 0}Tf {R2 0}Tf {R48 0}Tf
金刚石结构的空间群Oh7 （Fd3m） （面心立方格子）
金刚石结构的群Oh7是非简单空 间群，按平移群Tf作陪集分解 时，陪集代表元分成两类：
一类是由Oh群的子群Td群同构 的24个转动所构成的陪集代表
{IC6Z
0},{I
C
1 6Z
0};
{IC2Z 0};
{IC2x 0},{IC2A 0},{IC2B 0};
第二类，包含 非格矢平移
{C6
z
},{C
1 6
z
};
{C2z };
{C2x },{C2A },{C2B };
{I };
{I
C3
z
},{IC
1 3z
};
{IC2y },{IC2C },{IC2D };
a1
,
a2
和a3
组成一个最
小的元胞（基胞：primitive unit cell）基胞无限重复平移形成的
晶体，周期条件为：Φr
N1a1
Φr
r
N
2
a2
r
r
N
3a3
r
定义操作：其中Tnrtn
r n1a1 n2a2 n3a3
n1a1 n2a2 n3a3
(1
r tn
ni
元。这一类代表元中没有非格矢平移出现。
一类是由Oh群余下的24个群元构成的陪集代表元，它们都有
一个相同的非格矢平移
1
a 4
i
j k
空间群Oh7按平移群Tf的陪集分解为：
Oh7 {E 0}Tf {R24 0}Tf {I 1}Tf {R48 1}Tf
金红石（TiO2）结构的空间群D4h14（P42/mnm)
点群元素不一定是晶格的对称操作
从已知的点群(32种)出发，分析与之相适合的可能的晶格排 列，即可能的晶格基矢选择，从而对可能的晶格类型进行分类， 得到晶体理论中的七个晶系，十四种布拉伐格子。
空间群的分类：
简单空间群：群中各元都是 Ri tn 非简单空间群：群中的元可以是
类型的算符。
Ri
i
tn
4.2.4 晶体空间群实例
氯化钠结构的空间群Oh5（Fm3m） （面心立方格子）
基矢：晶体学原胞 t1 ai t2 aj
t3 ak
固体物理学原胞
a1
a 2
i
j
a2
a 2
j k
a3
a 2
k i
他们的幂生成面心立方平移群Tf
氯化钠结构的群Oh5是简单空间群，按平移群Tf作陪集分解， 陪集代表元为：
4.2.5 二维空间群
三维 七个晶系 14种布拉菲格子
二维 四个晶系 5种布拉菲格子
晶系
单胞
点群 点群的阶 空间群数
斜形 矩形 正方形 六角形
总数
简单斜形 简单矩形 有心矩形 简单正方 简单六方
5
C1
1
2
C2
2
C1h
2
4
C2v
4
C4
4
2
C4v
8
C3
3
4
C3v
6
C6
6
C6v
12
10
12
10个点群和5种二维布拉菲格子可组成12个简单空间群。由于 六角形晶系中镜面取向不同，可多组成一个简单空间群。二维 简单空间群总数为13个。 二维点阵中，非格矢平移只能在ab面的某直线方向上，可组合 出4个非简单空间群，故二维空间群总共有17个。
D4h14空间群，按平移群T作陪集分解时，陪集代表元分成两类：
一类是由与D2h群同构的8代表元 (没有非格矢平移出现)。
一类是由D4h群余下的8个群元构成的复合操作，它们包含非格
矢平移：
1 2
a1i a2 j a3k
类别
算符
第一类，不包 含非格矢平移
第二类，包含 非格矢平移
{E 0};
{C2Z 0}; {C'2x 0}({C2 y 0}),{C'2 y 0}({C2x 0}); {I 0};
z A5
A8
D3
F2 D4
A6
A7
F3
F6
A1
y
D1 A4
F5
F1
F4 D2 A3
A2
x
D'1
但是中心反演后再作平移操作:
a
i
j k
4
就能使D1处的原子搬到A1处，而A1处的原子搬到D1处等等。
∴反演J+平移τ就是一个可以使晶体结构保持不变的操作，不
过这已不是点群操作，而是空间群操作了。
基矢相互垂直，且 a1 a2 a3
不是体心四方格子，而是由两 个四方格子套构而成。布拉菲 格子为简单四方格子。成生四 方格子的平移群T。 D4h14为非简单空间群，空间群 的点群是D4h
具有一个垂直于纸面的二度 轴及水平镜像，所以有点群 D2h的对称性。 D2h是D4h14的 子群，但D4h不是D4h14的子群。
E Rtn r g
E Rtn
也是属于N1N2N3个平移操作的，空间群应是封闭的，
含E在RtnE也tn应中是了空，间所群以的E操R作tn ，和但E空tn间必群代的表平同移一操个作平已移经群全，部即包R
作用在格矢上时，只能将它搬到另一个格矢上去，（周期条件
必须具备）， E Rtn 和 E tn 中，各格矢都是同一组N1N2N3个格
而且该子群是一个正规子群。
证：①
E tn
= g已经包括了空间群的所有N1N2N3个平移对称操
作，它是空间群的一个子群。
② a）
Ri
ti
1
Ri1 Ri1ti
Ri
ti
1
Ri
ti
r
Ri
ti
1
Rir ti
Ri1 Ri1ti
Rir ti
Ri1
Ri
Ni
, i=1,2,3)
称作格矢。