《点群和空间群》PPT课件

点群和空间群
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晶体对称性
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§1 晶体的特殊对称性——对称操
作
四种基本的操作——转动（旋转）、反演、镜象（反映
）、象转轴（旋转反映）。
一、转动
1.转动对称操作
设晶体外形为一立方体，沿图中
所示转轴转动900，外形与原来重合。
操作：1，2，3，4，6，1, m, 4 。 这些基本的操
作组合起来，就可以得到32种不包括平移的宏观 操作类型。
熊夫利符号：C1 ,C2 ,C3 ,C4 ,C6 ,i, , S4
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五、晶体的微观对称操作
A4
1.n度螺旋轴
晶体绕u轴每转2/n角度后，再沿
4
A3
该轴的方向平移T/n的 l 倍，则晶体中的
合，则称u轴为n度旋转—反演轴，又称为n度象转轴。
只有1，2，3，4，6。
(2)符号表示
1，2，3， 4， 6
2.象转轴解析
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(1) 1 象转轴——实际上就是对称心i。
A点绕旋转轴(z轴)
z(u轴)
Ax, y, z
旋 转 3600 ， 在 经 过
中 心 反 演 到 A' 点 ， 晶体完全重合。实
A1Fra Baidu bibliotek
该方向上的周期矢量，n为
2或4)，晶体中的原子和相
A
同的原子重合。
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M A2
A1
A
M
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例题1：立方系的对称性简析。
(1) 三 个 相 互 垂 直 的 四 度 轴
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(2)四个三度轴(空间对角线)
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(3)六个2度轴
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3
原子和相同的原子重合(其中l为小于n的
整数；T为沿u轴方向上的周期矢量)。
A2
晶体只能有1，2，3，4，6度螺旋轴。 A1
如图所示，为4度螺旋轴。晶体绕 A
2
轴转900后，再沿该轴平移a/4，能自身
1
重合。 2021/3/26
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2.滑移反映面
经过该面的镜象操作
A2
以后,再沿平行于该面的某
个方向平移T/n的距离(T是
3.n度旋转对称轴(rotation about an axis)
(1)定义
晶体绕某一固定轴u旋转角度2/n以后，能自身重
合，则称u为n度(或n次)旋转对称轴。n只能取1，2，3
，4，6。
晶体不能有5度或6度以上的转轴。
(2)对称轴表示方式
①熊夫利(Schoenflies notation)符号表示
(4)三个和四度轴垂直的对称面
(5)六个和2度轴垂直的对称面
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例题2：金刚石的对称性简析—正四面体的对称操作
四个原子 位于正四 面体的四 个顶角上
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1.绕三个立方轴转动
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33
2. 绕4个立方体对角线轴转动 2 , 4
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cos n 1
n是整数。
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2
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cos n 1，且1 cos 1， n只能取值：3，2，1，0， 1。
2
n : 3 2 1 0 -1;
cos : 1
:0
2
1
0.5 0 - 0.5 -1
2
323
2 2 2 2
643
2
2
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n
n 1，2，3，4，6。 分别称 为1，2，3，4，6次( 度 )转轴。 8
iA
任一点A过中心 i 连线Ai并延长到A'
，使Ai = A' i, A与A'是等同点， i点
A
称为对称心。
2.表示方式
x, y, z
(1)熊夫利符号表示——i;
x, y,z
(2)国际符号表示—— 1
例：立方体的中心就是对称中心。如果将对称心放在坐
标2原021/3点/26 上，则有(x,y,z)点与(-x,-y,-z)点等同。
C1、C2、C3、C4、C6。 ②国际符号(International notation)表示
1、 2、 3、 4、 6。
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4.对称轴度数 度数 n 2
3
4
6
符号表示
符号
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5. 长方形、
正三角形、
正方形和正
六方形可以
在平面内周
期性重复排
列。正五边
形及其它正
n 边形则不
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三、镜象(镜面反映、对称面)
1.镜象 如图所示，A和A’等同，如同镜子一样。
2.表示方式
(1)熊夫利符号表示—— ;
(2)国际符号表示——m。
z A x, y, z
A
A
O
y
x2021/3/26
A x, y,z O-xy 相当于镜面。
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四、n度旋转—反演轴(象转轴)
1.象转轴
(1)定义
先绕u轴转动2/n，再经过中心反演，晶体自动重
能作周期性
重复排列。
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晶体中不可能出现5次轴或高于6次的对称轴。这是由于它们不符合空间格子
构造规律。 只有1、2、3、4、6次五种对称轴才能按空间格子中结点分布要求构成面网 网孔，不留间隙地排满整个平面。
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二、中心反演(中心反映)
1.中心反演 如图所示，有对称心i，晶体中
这样的转动称为转动对称操作。该轴
称为转动轴。如果转动1800等晶体都
保持外形重合。
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转动轴
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2.转动对称操作的种类 由于受晶格周期性的限制，转动对称操作所转动的
角度并不是任意的。而是遵循一定的规律。
B
A
B1
A
B
A1
AB是晶列上最近邻两格点的距离。
BA nAB AB AB cos BAcos AB(1 2cos )
5
3
3
5
1
1
4
6
2
4
6
2
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(3) 6 象转轴——实际上就是3度转轴＋对称面(m)
5 5
3
3
1
1
2
6
2
4
6
4
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(3) 4 象转轴
3
1 2
2
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3
1 4
4
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结论： 晶体的宏观对称性中有以下八种基本的对称
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3. 绕三个立方轴转动 , 3
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加中心反演
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4. 绕6条面对角线轴转动 加上中心反演
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例题3 正六面柱的对称性分析
O(对称心)
y
际上即为中心反演
x
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x, y,z
A
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(2) 2 象转轴——实际上就是对镜象m。
z(u轴)
A
Ax, y, z
x, y, z
和O-xy对称面 的操作相当。
O(对称心)
y
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x
x, y,z
A 17
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(3) 3 象转轴——实际上就是3度转轴＋对称心(i)