高考数学-捆绑法解决排列组合问题 素材

捆绑法解决排列组合问题（北京2020）
一、基本知识
捆绑法是解决排列组合中“相邻问题”的基本方法。

二、应用背景：（题眼）
应用背景1：在题目中出现“相邻、挨着、在一起”的时候应用捆绑法，将相邻元素看成一个整体，在做题时需要注意相邻的元素有没有顺序是问题的关键。

应用背景2：在题目中出现“不相邻问题”虽然一般选择插空法，但是在题目中只有两个元素不相邻的时候也可以采用“正难则反”的原则先算出两个特殊元素相邻的情况，再用总情况减去不符合题意的情况，往往能减少问题的思考量。

三、注意事项
1.注意捆绑的小团体是否存在内在顺序
2.在一个题目中出现多个小团体（多次捆绑）需要将所有元素进行分组，注意平均分组问题、不平均分组问题、部分平均分组问题的分组情况。

3.正难则反，捆绑问题（相邻问题）和插空问题（不相邻问题）相辅相成，综合进行解答。

四、排列、组合中的分组分配问题知识点：
在排列、组合的学习中分组分配问题经常遇到，本文谈一谈几种常见问题。

实例：6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法
(1)分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本；
(2)平均分成三堆；
(3)分成三堆，一堆四本，另两堆各一本；
(4)分成四堆，两堆各一本，另两堆各两本；
(5)分给甲、乙、丙三个人，甲得一本，乙得两本，丙得三本；
(6)分给甲、乙、丙三个人，一人得一本，一人得两本，一人得三本；
(7)平均分给甲、乙、丙三个人；
(8)分给甲、乙、丙三个人，甲得四本，乙、丙各得一本；
(10) 分给甲、乙、丙、丁四个人 ，甲、乙各得一本，丙、丁各得两本；
(11) 分给甲、乙、丙、丁四个人 ，两人各得一本，另两人各得两本；
分析：在排列、组合中分组分配问题一般按照“先分组再分配”的原则，但不排除其他途径。

在分组时要区分是均分还是非均分或部分均分，在分配时要区分是定向分配还是非定向分配。

（1）非均匀分组,分步产生每一组不会造成重复:
1
23653C C C
（2）均匀分组,分步产生每一组会造成重复,应消去步骤造成的重复计数： 22264233
C C C A
（3）部分均匀分组，应消去均匀分组时步骤上造成的重复计数：
411621
22
C C C A （4）同（3）： 11226542
2222C C C C A A
（5）非均匀定向分配，等同于非均匀分组：
1
23653C C C
（6）非均匀不定向分配，分组后再分配：
1
2336533C C C A
（7）均匀分配，分组后再分配：
2223642
333C C C A A 亦可理解为甲、乙、丙依次选择:222642C C C
（8）部分非均匀定向分配，均匀部分要分配：
4112621
222C C C A A 亦可理解为甲、乙、丙依次选择:411621C C C
（9）部分非均匀不定向分配，分组后再分配：
4113621232
C C C A A
（10）同（8）：:11222265422222
22C C C C A A A A
亦可理解为甲、乙、丙依次选择:11226542
C C C C （11）同（9）112246542
22422C C C C A A A
小结：（1）分组时应注意消去均匀部分的重复计数。

（2）分组分配时为使思路明了，一般按照“先分组再分配”的原则。

（3）定向分配时可理解为依次选择。

五、北京市2020年试题部分例题
1．【北京市房山区2019年第二次高考模拟检测高三数学（理科)试题】
五名同学相约去国家博物馆参观“伟大的变革：庆祝改革开放40周年大型展览”，参观结束后五名同学排成一排照相留念，若甲、乙二人不相邻，则不同的排法共有( ) A ．36种
B ．48种
C ．72种
D ．120种 【答案】C
【解析】
除甲、乙二人外，其他3个同学先排成一排，共有3
3A ＝6种，
这3个同学排好后，留下4个空位，排甲、乙，共有24A ＝12种，
所以，不同排法有：6×
12＝72种， 选C ．
2．【2020届北京市通州区高三第一学期期末考试数学试题】
甲､乙､丙､丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中间,甲同学不与老师相邻,乙同学与老师相邻,则不同站法种数为( )
A ．24
B ．12
C ．8
D ．6 【答案】C
第一步：排乙，乙与老师相邻，2种排法；
第二步：排甲，此时甲有两个位置可以站，2种排法；
第三步：排剩下两位同学，2种排法，
所以共8种.
故选：C
3．【2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考数学（理)试题】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是( ) A．3600种B．1440种C．4820种D．4800种【答案】A
【解析】第一步，先将除甲乙外的其他5人全排列，5
554321120
A=⨯⨯⨯⨯=种
第二步，将甲乙2人插入6个空中，2
66530
A=⨯=种
则不同的排法种数是52
56120303600
A A=⨯=
g种
故选：A
4、（房山区2019届高三第二次模拟）五名同学相约去国家博物馆参观“伟大的变革——庆祝改革开放40周年大型展览”，参观结束后五名同学排成一排照相留念，若甲、乙二人不相邻，则不同的排法共有（ C ）
(A) 36种(B) 48种(C)72种(D)120种
5、（丰台区2019届高三5月综合练习（二模））把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法有____种．(36)
捆绑法解决排列组合问题（北京2020)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2019·北京101中学高二期末）5名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有
A ．24种
B ．48种
C ．96种
D ．120种
2．（2017·北京高二期中）将不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种商品必须排在一起，丙、丁两种商品不能排在一起，则不同的排法共有（ ）．
A ．12种
B ．20种
C ．24种
D ．48种
3．（2018·北京高三期中）一排9个座位坐了3个口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）．
A ．333A ⨯
B ．3333(A )⨯
C ．343(A )
D ．9 4．（2019·北京临川学校高三月考）七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是( )
A ．3600种
B ．1440种
C ．4820种
D ．4800种 5．（2007·北京高考真题）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）
A ．1440种
B ．960种
C ．720种
D ．480种 6．（2020·北京高三期末）甲､乙､丙､丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中间,甲同学不与老师相邻,乙同学与老师相邻,则不同站法种数为( ) A ．24
B ．12
C ．8
D ．6
7．（2018·北京高二期中）甲、乙等5人排一排照相，要求甲、乙2人相邻但不排在两端，那么不同的排法共有（）
A．36种B．24种C．18种D．12种8．（2019·北京高三）五名同学相约去国家博物馆参观“伟大的变革：庆祝改革开放40周年大型展览”，参观结束后五名同学排成一排照相留念，若甲、乙二人不相邻，则不同的排法共有( )
A．36种B．48种C．72种D．120种9．（2011·北京高二期末）一个停车场有5个排成一排的空车位，现有2辆不同的车停进这个停车场，若停好后恰有2个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有
A．6种B．12种C．36种D．72种
10．（2019·北京四中高一期中）A，B，C，D，E五人站成一排，如果A，B必须相邻且B 在A的右边，那么不同的排法种数有( )
A．24种B．36种C．48种D．60种11．（2018·北京市十一学校高三）有6个座位连成一排现有3人就坐，则恰有两个空位相邻的概率为（）
A．1
5
B．
2
5
C．
3
5
D．以上都不对
12．（2017·北京高二期中）某单位安排7位员工在春节期间大年初一到初七值班，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在初一，丁不排在初七，则不同的安排方案共有（）
A．504种B．960种C．1008种D．1108种13．（2017·北京高三）小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排.若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为
A．60B．72C．84D．96
二、填空题
14．（2019·北京高二期末）5位同学排成一排照相，若甲与乙相邻，则不同的排法有
________种．
15．（2019·北京101中学高二期中）将2红2白共4个球随机排成一列，则同色球均相邻的概率为__________．
16．（2019·北京师大附中高二期中）只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有个．17．（2020·北京高三期末）2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有155个国家和地区，26个国际组织参加.现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位.在排成一排的6个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有________种.
18．（2019·北京八中高一期末）5人排成一行合影，甲和乙不相邻的排法有______种．（用数字回答）
19．（2016·北京高三期末）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为．20．（2019·北京清华附中高三）《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有__________种．（用数字作答）
参考答案1．B
2．C
3．C
4．A
5．B
6．C
7．B
8．C
9．B
10．A
11．C
12．C
13．C
14．48
15．1 3
16．17．144 18．72 19．12．20．144。