新利息理论教案第3章
三章利息与利率
2、官方利率（official interest rate）——央行 拟定; 由一国货币管理当局或中央银行所要求 旳利率。
3、公定(行业)利率——行业协会拟定，由银行 公会拟定旳各会员银行必须执行旳利率。
第二节 利 率
（五）按计息期限分为 1、年利率（annual interest rate），一般以百分之几来
期限内不作调整旳利率。它对于借贷双方精确 计算成本与收益十分以便。适应于短期借款。 2、浮动利率（floating rate）：指借贷期限内， 随市场利率旳变化情况而定时进行调整旳利率， 多用于长久旳借贷及国际金融市场。
第二节 利 率
(四)按利率形成机制分为 1、市场利率（market interest rate）——市场
财政政策方面对利息税旳调整等。
第三节 利率旳决定
（二）利率管制 利率管制旳基本特征是：政府有关部门
直接制定利率或波动界线。
第四节 利率旳风险构造与期限构造
一、债券旳收益率 （一）到期收益率 债券一般具有票面利率，但债券旳票面利率和
实际收益率往往不一致。一般，收益率是指年 收益率。 计算债券持有期旳收益率有复利和单利两种方 式。到期收益率是用复利措施计算从买入债券 开始至债券偿还这段时间旳收益率。
地反应了资金旳时间价值，一般适于长 久借贷。
第二节 利 率
四、现值与终值 任何一笔货币金额都可根据利率计算出在将来旳某一时点
上将会是多少金额。这个将来旳金额就是终值，即本利和， 而最初旳本金即现值。 单利现值公式：P=S/(1+ n× r) 复利现值公式：P=S/(1+r)n 连续复利现值公式：P=S/(1+r/m)n×m S：终值，P：现值，r：利息率，n：借贷期限。 一次支付现值系数 =1/(1+r)·n 用现值推导终值旳过程叫复利过程，用终值换算现值旳过 程称折现过程。应用于投资项目旳比较、年金旳支付方式、 银行贴现票据等。
教案《金融学》——第三章利息与利率(中职教育).docx
第三章利息与利率•吴小勇【教学目的】通过分析知道利息和利率的含义、资木化的意义和利率的主要种类。
掌握主要的利率决定理论之基本思想、影响利率的主要因索。
了解无风险利率、利率期限结构等。
【教学重点】利率的种类、计息方法和利率决定理论。
【教学难点】利率决定理论I教学方法及手段人讲授法，讨论法。
【教学内容】第一节利息一、利息的概念利息是资金所有者因贷出货币而向借款人索要的一种报酬、补偿。
理论上，这种补偿应该由机会成本和风险溢价所组成。
二、利息来源（实质）利息来源于利润，是劳动者创造价值的一部分。
三、收益资本化㈠资本化的前提现实经济生活中，人们已经把利息视为收益的一般形态，此为资本化的前捉。
㈡资木化任何具冇收益的事物，均可以通过收益与利率的对比而倒算出它相当于多大的资木额。
这就是资木化的含义。
计算公式：R二P*tf P=R/r式中的R、1\ r分别表示收益、本金和利率。
第二节利率及种类一、利率的概念利率是指一定时期内的利息额与借贷本金的比率。
二、利率的种类可以按不同的标准类进行分类。
㈠按利率体系中的地位与作用分为1 •基准利率——关键地位、主导作用市场经济条件下，基准利率是通过帀场机制形成的无风险利率。
现实中，常用：国债利率、再贴现率、再贷款利率、联邦基金利率等代替之。
理论上，利率二机会成本补偿水平+风险溢价水平。
2•非基准利率㈡按是否考虑物价波动分为1 •名义利率；2 •实际利率设名义利率、实际利率和物价变动率分别为r、i、P,则有：①i=(l*)/(l+p)-1 该式为国际通用计算实际利率的公式②i=r-p 该式是简化算式㈢按借贷期限内利率是否调整分为1 •固定利率；2 •浮动利率㈣按利率形成机制分为1•市场利率——市场机制；2•官方利率——央行确定；3•公定(行业)利率——行业协会确定㈤按计息期限分为年、月、日利率三、单利和复利㈠计息应考虑的主要因素1.木金；2 •期限；3•利率；4 •偿还方法；5 •计息方法等㈡通用计息方法1 •单利法公式:R 二P*r*n S 二P+R2 •复利法公式:S 二P*(l+r)n R=S-P第三节利率的决定一、马克思的利率决定论通常,0 < r < F.具体定位取决于:1•借贷资本供求状况；2.传统习惯;3.法律规定等因素.二、古典利率理论古典利率理论是传统的利率决定理论.㈠古典利率论的基本思想该理论认为:在利率决定中，实际因素起根本作用，即利率取决于实物市场上的投资与储蓄——生产率、节约。
第三章 利息和利息率
第一节 利息(interest)
一、利息概念及其本质 利息是投资人让渡资本使用权而索要的 补偿。 补偿由两部分组成：对机会成本的补偿和对 风险的补偿。
（一）关于利息本质理论的几种观点
利息报酬理论，配第、洛克认为，利息是因 暂时放弃货币的使用权而获得的报酬。 资本生产力论，萨伊认为，资本具有生产力， 利息是资本生产力的产物。 节欲论。西尼尔认为，利息是资本家节欲行 为的补偿。
收益资本化规律发挥作用的主要领域
收益资本化普遍存在于市场经济社 会，债券、股票、土地、技术、劳 动力等都是可以被作为资本品进行 交易的，这些资本品都有特定的预 期收益，其资本化的价格是由预期 收益与利率的比值所确定的。
收益资本化规律发挥作用的主要领域
1、有些本身不存在一种内在规律可以决定其 相当于多大资本的实物，也可取得一定的资 本价格，如土地 2、本来不是资本的东西也因此可以视为资本。 如人力资本……工资 3、在有价证券价格形成中更突出的发挥作用。
三、利率体系和基准利率
（一）利率体系 是指各类利率之间和各类利率内部都有 一定的联系并相互制约，从而构成有机整体。 主要包括利率结构、各利率间的传导机制和 利率监管体系。 基准利率是能带动和影响其他利率的基 础性利率。
（二）利率结构
在不同类型的融资中，有不同的利率水平， 就存在着利率的结构问题。其中最典型的是利率 的风险结构和利率的期限结构。 利率的风险结构指的是期限相同的融资而利 率却不同的现象，这主要是由于违约风险、流动 性风险及税收等因素引起的。 利率的期限结构指的是利率与期限之间的变 化关系。一般来说，利率随期限的延长而增加。
一、决定和影响利率的主要因素 社会平均利润率 借贷资金的供求状况 物价水平 国家经济政策 国际利率水平、汇率水平 银行成本 利率管制
新利息理论教案第3章
第3章：变额年金本课程第2章讨论的都是等额支付的年金问题。
本章将讨论年金不相等的情况。
如果每次支付的金额没有任何变化规律，那么只好分别计算每次付款的现值与终值，然后将其相加求得年金的现值与终值。
但某些变额年金仍然是有规律可循的，本节将讨论这方面的年金。
第3.1节：递增年金本节内容：3.1.1期末付递增年金假设第一期末支付1元，第二期末支付2元，…，第n 期末支付n 元，那么这项年金就是按算术级数递增的。
一、年金现值()nIa如果用()nIa 表示其现值，则有2323...()nnv v v nv Ia =++++（1）公式推导过程：上式两边同乘（1+i ）21(1)123...()n ni v v nv Ia -+=++++用第二式减去第一式231(1...)()n nni v v v v nv Ia -=+++++-nn nv a =-所以：()nIa n nnv ia-=（2）公式的另一种推导思路（略） 二、年金终值()nIs1(1)(1)()()nn n n ns ns n i Ia i i Is +--+=+==三、例题例1、一项20年期的递增年金，在第1年末支付65元，第2年末支付70元，第3年末支付75元，以此类推，最后一次支付发生在第20年末，假设年实际利率为6%，求此项年金在时刻零的现值。
解：最后一次支付的金额应该为65195160+⨯=元。
将此年金分解成一项每年末支付60元的等额年金和一项第1年末支付5，每年递增5元的递增年金。
这时：上述年金的现值为：202051181.70()60Ia a+=例2、一项递增年金，第1年末支付300元，第2年末支付320元，第3年末支付340元，以此类推，直到最后一次支付600元，假设年实际利率为5%，试计算此项年金在最后一次支付时刻的终值。
解：支付金额每次递增20元，因为6003001520=+⨯，所以一共支付了16次。
最后一次支付发生在第16年末。
货币金融学教案(第3-4章) 货币金融学 蒋先玲版
6、98.10各商业银行、城市信用社对小型企业贷款利率最高上浮幅度由10％扩大为20％，最低下浮幅度10％不变；农村信用社贷款利率最高上浮幅度由40％扩大为50％。
7、1999年4月1日起，各金融机构（不含农村信用社）县以下（不含县城）营业机构贷款利率最高上浮幅度扩大到30％。
3、熟悉几种重要的利率决定理论的主要内容；
4、熟悉利率的划分标准及其主要分类，能应用单利法和复利法进行计算；
5、了解利息的来源。
教学重点及难点提示：
1、重点掌握利息的本质、利息率的计算；
2、影响利息率的主要因素；
3、本章的难点在于理解利率发挥作用的原理，能够运用理论对我国利率市场化改革进行分析。
教学主要内容：
二、利率市场化的客观必要性
1、利率市场化是引导货币资金合理流动、实现社会资源优化配置的重要条件。
2、利率市场化是不完善间接调控体系的重要条件，有利于中央银行宏观调控。
3、利率市场化有利于推进资金商品化和融资市场化。
4、利率市场化有利于推进金融体制和信贷资金经营方式的转变。
我国目前存在的问题也要求利率市场化
（五）国内利率与国际利率
国内利率是反映一个国家金融市场资金供求总体状况的利率；国际利率是比较宽泛的概念，一般意义上是指国际金融市场的利率水平。在国际金融领域，习惯把伦敦同业拆借利率（LIBOR）、纽约同业拆借利率（NIBOR）、新加坡同业拆借利率（CIBOR）、香港同业拆借利率（HIBOR）看作是该国际金融市场的基准利率。国际金融市场的利率水平逐步趋向一致。
浮动利率是指在借贷关系存续期内，利率水平可随市场变化而定期变动的利率。
（四）名义利率和实际利率
名义利率，是指没有剔除通货膨胀因素的利率，即包括补偿通货膨胀风险的利率。
利息理论-教学大纲
《利息理论》教学大纲课程编号：113652A课程类型：专业课总学时：32讲课学时：32实验（上机）学时：0学分：2适用对象：保险精算专业先修课程：金融学、微积分、线性代数、概率与数理统计一、教学目标《利息理论》是保险、精算专业的一门专业必修课程。
本课程教学的主要内容是介绍利息理论的基本知识，包括：利息的基本概念、年金、收益率、债务偿还、债券与其他证券、利息理论的应用与金融分析。
二、教学内容及其与毕业要求的对应关系（一）教学内容通过本课程的学习，使学生掌握应用数学工具对金融保险业务中与利息有关的方面进行定量分析的一些方法，并为今后对现代金融业务作进一步研究或实务打下坚实的基础。
作为保险精算专业学生培养，涉及到金融领域的许多计算问题具有共同的数学特征和模型，大量的计算和分析实践的基础是现金流分析和货币的时间价值（累积和贴现）计算。
本课程的基本理念是使学生掌握基本的投资和金融计算的术语、概念及计算原则。
理论与实际联系起来，更好的让学生掌握一些基础性的金融工具的现金流价值分析。
要求教师用多媒体的形式，结合投资学，保险学的知识基础，掌握金融产品的定量分析方法。
本课程采用闭卷方式考核。
（三）毕业要求利息理论是精算专业的专业基础课。
课程要求学生掌握基本的投资和金融计算的术语、概念及计算原则，并为学生今后学习现代金融业务作及寿险精算的学习工作打下坚实的基础。
三、各教学环节学时分配教学课时分配四、教学内容第一章利息理论的基础概念第一节利息度量第二节利息问题求解教学重点、难点：利息度量和求解课程考核要求：掌握实际利率、实际贴现率、名义利率、名义贴现率、利息效力、贴现效力的概念；理解利息度量中所涉及的基本原则与基本假设；应用会用时间图建立价值方程，从而求出原始投资的本金、投资时期的长度、利率或本金在投资期末的积累值。
掌握：是指学生能根据不同情况对某些概念、定律、原理、方法等在正确理解的基础上结合实例加以运用。
第二章年金第一节年金的标准型第二节年金的一般型教学重点、难点：年金的含义及计算方法课程考核要求：掌握标准年金、一般年金和永续年金的概念；理解推演年金在任意时刻现时值的代数表达式的方法；应用会求在任意时刻的年金值，会求解年金的未知时间、未知利率问题。
第三章 利息与利息率(修改)
当前影响我国利率的主要因素
国民经济发展状况 市场物价水平的变化 金融机构的成本和收益 国际金融市场利率
第二章34
§4
利率在市场经济中的作用
一、利率发挥作用的条件
1、利率市场化 2、存在闲置或同质的生产资源 3、利率具有弹性
二、利率发挥作用的原理
1、利差变动对资金供求的影响 2、存贷利差对商业银行经营的影响 3、存贷利差对投资消费的影响
这样，在有了利息的概念之后，任何一笔货币金 额，我们都可以根据公式知道它将来会变成怎样 一笔金额。同理，如果我们想要在未来有一笔金 额，我们也可以根据公式知道现在得有多少钱， 将来才能得到那笔金额。换句话说，任何金额都 可以在不同时点之间进行换算。 同时，我们又知道不同时点上的金额是没法比较 的，要想比较就要先换算为同一时点上的金额。
2、固定利率和浮动利率
按资金借贷关系存续期内利率水平是否变动来划分。 固定利率是指借贷期内不做调整的利率。适用于短期资 金借贷。 浮动利率是一种在借贷期内可随市场利率的变化而定期 调整的利率。适合于市场变动大，而借贷期限又长的融 资活动。
国际金融市场上，多数浮动利率都以LIBOR（伦敦银 行间同业拆借利率interbank offered rate）为参 照指标而规定其上下幅度。 中国人民银行授权某一级行、处或专业银行在法定利 率水平上和规定幅度内根据不同情况上下浮动，目的 是充分发挥利率的经济杠杆作用。
2、现值与终值
通俗地说，一段时期内的资金在将来某一 时点值多少钱是“终值”。而将来一段时 期内的资金在现在值多少钱是“现值”。
复利终值的计算公式：S＝P· (1+r)n
3 第三章 利息与利息率
（二）利率对信贷规模和结构的作用 在投量上： 利率水平↑——企业经营成本↑——企业收益率↓ ——投资规模↓ 在投向上： 差别利率↑——信贷资金流向↓——部门投资规模↓—— —产业规模合理——经济协调发展
（三）利率对资金使用效益的作用 1、利息影响利润，对企业形成压力，促使企业提高资 金使用效益。 2、通过差别利率扶优限劣，提高全社会资金使用效益。 （有利于生产要素的优化配置）
复苏阶段：→ 经济开始恢复，但借贷资本充足，利率不会上升。
繁荣阶段： → ↑ （先平后升）
繁荣初期，生产迅速发展，但信用周转灵活，商业信 用扩大，利率平稳。 繁荣后期，生产规模扩大，信用投机出现，资本需求 增加，利率迅速上升。
（四）物价对利率的影响
1、利率是政府调节货币供应量、稳定物价的手段。 2、确定利率水平必须考虑物价的变动。利率与物价 具有同方向运动趋势。 3、有通货膨胀预期时，银行会提高利率。
第三节 决定利率的因素
一、决定利率的因素
●平均利润率 ●供求和竞争 ●社会再生产状况 ●物价 ●国家经济政策 ●国际利率水平 ●利率期限与结构 ●银行经营成本 ●其他因素
（一）平均利润率是决定利息率的基本因素
平均利润率是利息率的最高限。 平均利润率＞利息率＞0
平均利润率20%
5%
银 行
银 15% 行
我国存贷款 利率期限
利率结构
是指一国在一定时期内，各种利率 按一定的规则所构成的一个体系。 中央银行利率（再贴现利率、再贷款 利率、证券回购利率、法定存款准备 金利率） 商业银行利率（存款利率、贷款利率） 同业拆借利率 政府债券利率 公司债券利率
基本的利率 结构形式
利息理论与应用教学设计
利息理论与应用教学设计前言利息是财务管理中的一个重要概念，它指的是借入或投入资金所产生的收益或成本。
利息理论和应用在金融、财务、会计等领域都有着广泛的应用。
因此，对于金融、财务类专业的学生，掌握利息理论和应用是非常重要的。
在本文中，我们将介绍利息理论和应用的教学设计，为金融、财务类专业的教师提供一些参考。
课程目标本课程旨在让学生掌握以下知识和能力：1.理解利息的基本概念和计算方法；2.理解不同类型的利率，并能进行比较和计算；3.理解利息计算的时间价值和复利效应；4.掌握利息计算的应用技巧，能在实际情况中进行利息计算和分析。
教学内容第一章利息基本概念本章介绍利息的基本概念，包括利息的定义、计算公式和计算方法。
同时，介绍不同类型的利率，例如年利率、月利率、日利率等，并进行比较和计算。
第二章时间价值和复利效应本章介绍利息计算中的重要概念——时间价值和复利效应。
时间价值指的是同一金额的资金在不同时期的价值不同。
而复利效应指的是利息以及利息的利息对资金的增值影响。
本章通过实例讲解，帮助学生理解时间价值和复利效应的概念以及计算方法。
第三章利息计算的应用技巧本章介绍一些利息计算的实际应用技巧，包括贷款利息计算、投资收益计算、债券估价等。
通过实例讲解，让学生熟悉利息计算的应用场景，并能够独立进行利息计算和分析。
教学方法本课程采用项目教学和案例教学相结合的教学方法。
具体包括以下几个步骤：1.学生分组，每组选定一个具体的实际案例，例如购车贷款、信用卡分期付款等；2.学生根据案例要求，进行利息计算和分析；3.学生进行小组讨论，汇报分析结果，并进行课堂展示；4.教师对学生的分析结果进行点评和讲解，帮助学生深入了解利息计算的实际应用。
教学评估本课程采用多种评估方式，包括考试、作业、小组讨论和课堂展示等。
具体评估内容如下：1.考试：考查学生对本课程知识点的掌握程度；2.作业：要求学生完成课堂练习和独立计算练习；3.小组讨论和课堂展示：评估学生在分组案例分析和课堂展示中的表现和能力。
3 利息和利率
第三章 目录
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 利息 利率及其种类 单利与复利 利率的决定 利率的作用
第三章 利息和利率
第一节
利
息
P83
第三章第一节 利息
人类对利息的认识
1. 现代西方经济学对于利息的基本观点，是把利 现代西方经济学对于利息的基本观点， 息理解为： 息理解为：投资人让渡资本使用权而索要的补 偿。 2. 补偿由两部分组成： 补偿由两部分组成： 对机会成本的补偿；对风险的补偿。 对机会成本的补偿；对风险的补偿。
第三章第一节 利息
收益资本化
1. 任何有收益的事物，即使它并不是一笔贷放出 任何有收益的事物， 去的货币， 去的货币，甚至也不是真正有一笔现实的资本存 在，都可以通过收益与利率的对比而倒算出它相 当于多大的资本金额。这称之为“资本化” 当于多大的资本金额。这称之为“资本化”。 2. 资本化公式： 资本化公式：
•
第三章第四节 利率的决定
利率管制
1. 利率管制的基本特征是由政府有关部门直接制 定利率或利率变动的界限。 定利率或利率变动的界限。 2. 利率管制的实施均有其历史背景。 利率管制的实施均有其历史背景。 3. 管制利率与提高资金效率存在矛盾。 管制利率与提高资金效率存在矛盾。 4. 中国的利率管制和利率管理体制的改革（在金 中国的利率管制和利率管理体制的改革（ 融与发展一章讨论） 融与发展一章讨论） 。
第三章 利息和利率
第五节 利率的作用
P104P10ห้องสมุดไป่ตู้-106
第三章第五节 利率的作用
对利率作用的一般估价
1. 在市场经济中，利率的作用相当广泛： 在市场经济中，利率的作用相当广泛： 从微观角度说， 从微观角度说，对个人收入在消费与储蓄之间的分 配，对企业的经营管理和投资决策，利率的影响非常直 对企业的经营管理和投资决策， 接；影响的大小取决于利率弹性。 影响的大小取决于利率弹性。 从宏观角度说，对货币需求与供给， 从宏观角度说，对货币需求与供给，对市场总供给 与总需求，对物价水平，对国民收入分配， 与总需求，对物价水平，对国民收入分配，对汇率和资 本的国际流动，进而对经济成长和就业等，利率都是重 本的国际流动，进而对经济成长和就业等， 要的经济杠杆。 要的经济杠杆。
新版《金融理论与实务》第三章讲义
第三章利息与利率一、复习建议本章属于金融理论与实务课程的基础性章节，主要介绍利息和利率的基础知识和基本计算原理，建议学员在学习中抓住重点，将知识点融会贯通，灵活运用。
从题型来讲，本章题型主要包括单项选择题、多项选择题、名词解释题、计算题以及简答题。
二、本章重要知识点第一节利息与收益的一般形态一、货币的时间价值与利息概念：所谓货币的时间价值，就是指同等金额的货币其现在的价值要大于其未来的价值。
利息是货币时间价值的体现。
货币为什么具有时间价值呢？理论界对此的解释是：货币的时间价值来源于对现在消费推迟的时间补偿。
马克思对利息来源的阐述：利息来源于再生产过程，是生产者使用借入资金发挥营运职能而形成的利润的一部分。
二、利息与收益的一般形态（一）利息转化为收益的一般形态作为货币时间价值的外在表现形式，利息通常被人们看作是收益的一般形态，用来衡量投资收益的高低，（二）收益的资本化概念：利息转化为收益的一般形态发挥着非常重要的作用，它可以将任何有收益的事物通过收益与利率的对比倒算出该事物相当于多大的资本金额，这便是收益的资本化。
收益资本化公式：P= r/ C （本金P等于利率r除以收益C）收益资本化规律（公式）作用的领域非常广泛，土地交易、证券买卖、人力资本的衡量等，都是这一规律发挥作用的场所。
第二节利率的计量与种类概念：利率是利息率的简称，指借贷期内所形成的利息额与所贷资金额的比率。
一、利率的计量（一）单利与复利单利计息是指只按本金计算利息，而不将已取得的利息额加入本金再计算利息。
其计算公式是：C=P×r×n（利息=本金×利率×年限）复利计息与单利计息相对应，它要将上一期按本金计算出来的利息额并入本金，再一并计算利息。
其计算公式是：S=P×(1+r)n（二）现值与终值任何一笔货币资金无论其将来会被怎样运用，都可以按一定的利率水平计算出来其在未来某一时点上的金额，这个金额通常被称作终值，也即本利和。
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第3章：变额年金本课程第2章讨论的都是等额支付的年金问题。
本章将讨论年金不相等的情况。
如果每次支付的金额没有任何变化规律，那么只好分别计算每次付款的现值与终值，然后将其相加求得年金的现值与终值。
但某些变额年金仍然是有规律可循的，本节将讨论这方面的年金。
第3.1节：递增年金本节内容：3.1.1期末付递增年金假设第一期末支付1元，第二期末支付2元，…，第n 期末支付n 元，那么这项年金就是按算术级数递增的。
一、年金现值()nIa如果用()nIa 表示其现值，则有2323...()nnv v v nv Ia =++++（1）公式推导过程： 上式两边同乘（1+i ）21(1)123...()n ni v v nv Ia -+=++++用第二式减去第一式231(1...)()n nni v v v v nv Ia -=+++++-n nnv a =-&&所以：()nIa nnnv ia-=&&（2）公式的另一种推导思路（略） 二、年金终值()nIs1(1)(1)()()nnn n ns n s n i Ia i i Is +--+=+==&&三、例题例1、一项20年期的递增年金，在第1年末支付65元，第2年末支付70元，第3年末支付75元，以此类推，最后一次支付发生在第20年末，假设年实际利率为6%，求此项年金在时刻零的现值。
解：最后一次支付的金额应该为65195160+⨯=元。
将此年金分解成一项每年末支付60元的等额年金和一项第1年末支付5，每年递增5元的递增年金。
这时：上述年金的现值为：202051181.70()60Ia a+=例2、一项递增年金，第1年末支付300元，第2年末支付320元，第3年末支付340元，以此类推，直到最后一次支付600元，假设年实际利率为5%，试计算此项年金在最后一次支付时刻的终值。
解：支付金额每次递增20元，因为6003001520=+⨯，所以一共支付了16次。
最后一次支付发生在第16年末。
将此年金分解成一项每年末支付280元的等额年金和一项第1年末支付20，每年递增20元的递增年金。
这时：上述年金的终值为：16162010160.25()280Is s +=3.1.2 期初付递增年金假设第一期初支付1元，第二期初支付2元，…，第n 期初支付n 元，那么这项年金就是按算术级数递增的。
一、年金现值如果用()nIa &&表示其年金现值，则有()nIa &&(1)()nnnnv i Ia da -=+=&&二、年金终值 如果用()nIs &&表示年金现值，则有1(1)(1)()()nn nns n s n i Is d d Is +--+=+==&&&&三、永续年金当n 趋于无穷大时：()Ia ∞111(1)di i i ==+ ()Ia ∞&&2211(1)d i ==+四、例题1、确定期末付永续年金的现值，每次付款为1、2、3、…。
设实际利率为i=5%。
解：()Ia ∞111(1)di i i ==+=420本节重点： 年金现值()nIa 的计算公式。
本节难点： 年金现值()nIa 的公式推导。
第3.2节：递减年金本节内容：3.2.1 期末付递减年金假设第一期末支付n 元，第二期末支付n-1元，…，第n 期末支付1元，那么这项年金就是按算术级数递减的。
一、年金现值()nDa如果用()nDa 表示其现值，则有23(1)(2)...()nnnv n v n v n Da =+-+-++（1）公式推导过程： 上式两边同乘（1+i ）21(1)(1)(2)...()n ni n n v n v v Da -+=+-+-++用第二式减去第一式23(...)()n nni n v v v v n a Da =-++++=-所以：()nDa nn a i-=（2）公式的另一种推导思路（略） 二、年金终值()nDs(1)(1)()()n n nn nn i s i Da i Ds +-=+=3.2.2 期初付递减年金假设第一期初支付n 元，第二期初支付n-1元，…，第n 期初支付1元，那么这项年金就是按算术级数递减的。
一、公式1、如果用()nDa &&表示其年金现值，则有()nDa &&(1)()nn n a i Da d-=+=2、如果用()nDs &&表示年金现值，则有(1)(1)()()n nnnn i s i Ds dDs +-=+=&&说明 ：递减年金不存在永续年金的情况。
二、例题本节重点：年金现值()nDa 和()nDa &&的计算公式。
本节难点：年金现值()nDa 公式的证明。
第3.3节：付款金额按几何级数变化的年金（复递增年金）本节内容：3.3.1 期末付复递增年金假设第一年末付款1元，第二年末付款(1+r)元，第三年末付款2(1)r +元,…，第n 年末付款1(1)n r -+元，那么这项年金就是按几何级数增长，其中(1)0r +>。
当r>0时，年金为递增的，当r<0时，年金为递减的。
1、如果用A 表示其年金现值，则有A 11()1n r i i r +-+=-（推导过程略）2、如果用S 表示年金终值，则有11()(1)(1)1(1)[]n n n n r i r i S i i r i r +-+-++=+=--3.3.2 期初付复递增年金假设第一年初付款1元，第二年初付款(1+r)元，第三年初付款2(1)r +元,…，第n 年初付款1(1)n r -+元，那么这项年金就是按几何级数增长，其中(1)0r +>。
当r>0时，年金为递增的，当r<0时，年金为递减的。
1、如果用A &&表示其年金现值，则有 A&&11()1(1)nr i i i r +-+=+- 2、如果用S &&表示年金终值，则有(1)(1)(1)n n i r S i i r +-+=+-&&3、关于永续年金在A 11()1nr i i r +-+=-中，当r<i 时极限存在，永续年金的现值为1i r -；当r>i 时极限不存在。
4、例题例1、20年期末付年金，首次付款1000元，以后每年递增4%，如果年利率为7%，计算年金现值。
解：i=7%，r=4%现值1011()11000r i i r +-+=-=14459元 本节重点：A 11()1nr i i r +-+=-。
本节难点：A 11()1n r i i r +-+=-的推导。
第3.4节：每年支付m 次的变额年金本节讨论的年金属于广义变额年金。
本节内容：本部分内容以期末付为例进行分析本部分为确定年金中最复杂的情况，主要以下述年金为例说明。
假设利息结转周期为n ，每个利息结转周期支付款项m 次，那么总的付款次数为mn 。
如果每个利息结转周期支付款项m 次，付款又是逐期递增的，在第一个利息结转周期末支付1/m 元，在第二个利息结转周期末支付2/m 元，…，在第n 个利息结转周期末支付n/m 元。
下面分两种情况讨论：一、在同一个利息结转周期内付款相同，但后一个利息结转周期比前一个利息结转周期每次多付1/m 元。
这样在第一个利息结转周期内每次付款1/m 元，在第二个利息结转周期内每次付款2/m 元，…，在第n 个利息结转周期内每次付款n/m 元。
年金现值记为()()m nIa 。
可以推导出计算公式。
1、()()211(123..)()m m n na v v nv Ia -=++++()n nm a nv i -=&&同里也可以推出终值的计算公式。
2、例题二、在同一个利息结转周期内付款也是逐期递增。
为了保证在第一个利息结转周期末付款1/m 元，在第二个利息结转周期末付款2/m 元，…，在第n 个利息结转周期末付款n/m 元，假设第一次付款21m 元，第二次付款22m 元，第三次付款23m 元，…，第mn 次付款2mn n m m =元。
年金现值记为()()()m n m I a 。
可以推导出计算公式。
1、()()()()()m nm nm na nv m i I a -=&&2、例题本节重点：递增年金的计算公式。
本节难点：()()()()()m n m nm na nv m i I a -=&&的推导。
第3.5节：连续支付的变额年金本节内容：3.5.1 连续支付的变额年金 一、连续支付的递增年金1、现值()n nnnv a Ia δ-=&&2、终值()nnn s Is δ-=&&3、永续年金现值1()dIa δ∞=二、连续支付的递减年金1、现值()nnn a Da δ=-2、终值(1)()nnnn i sDs δ=+-3.5.2 连续支付连续递增的年金一、由()()()()()m nm nm na nv m i I a -=&&推出()nIa 公式二、()nIa 公式的直接推导3.5.3 连续支付连续递减的年金 （略）3.5.4一般连续变额年金一、现值00exp[]ntt s PV ds dtρδ=-⎰⎰二、终值exp[]nnt s tFV ds dtρδ=⎰⎰本节重点：连续变额年金公式的推导。
本节难点：一般连续变额年金现值的表示。
第3.6节：年金问题的案例一、固定养老金计划1.一般情景责任：退休前时，每月初存入一定的金额，具体方式为，25-29岁，月付x1元；30-39岁，月付x2元；40-49岁，月付x3元；50-59岁，月付x4元。
权益：从60岁（退休）开始每月初领取p 元，一直进行20年。
问题：在给定年利率i 情况下，分析x1、x2、x3、x4与p 的关系。
2.（1）假设某人25岁参加保险，则基本价值方程为(12)(12)30(12)2012205101212(1)12(1)pa x s i x s i =+++&&&&&&(12)10(12)34101012(1)12x s i x s +++&&&&于是，12132433530201020()()()x x x x x x x p s s s s a+-+-+-=若i=10%，x1=200元，x2=300元，x3=500元，x4=1000元。
353020102022510580.48p s s s s a+++==（2）如果从30岁开始加入，则302010203251008077.89p s s s a++==（3）如果从40岁开始加入，则2010205004299.73p ss a+==二、购房分期付款某人采用贷款方式购房。