一阶线性微分方程的积分因子解法

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线性常微分方程的解法

线性常微分方程的解法线性常微分方程（Linear Ordinary Differential Equation, 简称LODE）是微积分中重要的基础概念之一，它在多个领域中具有广泛的应用。

本文将介绍线性常微分方程的解法，并探讨其中的一些基本原理和方法。

一、一阶线性常微分方程的解法一阶线性常微分方程的一般形式可以表示为:\[\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)\]其中P(x)和Q(x)是已知函数。

为了求解这个方程，我们可以借助于积分因子的方法。

假设积分因子是μ(x)，则两边同时乘以μ(x)后，上述方程可以变形为:\[\mu(x)\frac{{dy}}{{dx}} + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x)\]左边的第一项可以通过乘积法则进行展开得到:\[\frac{{d}}{{dx}}(\mu(x)y) = \mu(x)Q(x)\]再对上式两边同时积分，得到:\[\mu(x)y = \int \mu(x)Q(x)dx\]最后将上式两边除以μ(x)，即可得到y的解:\[y = \frac{{1}}{{\mu(x)}}\int \mu(x)Q(x)dx\]二、二阶线性常微分方程的解法二阶线性常微分方程的一般形式可以表示为:\[y'' + P(x)y' + Q(x)y = R(x)\]其中P(x)，Q(x)和R(x)是已知函数。

通常情况下，我们可以先找到该方程的齐次线性方程的解，即P(x)、Q(x)和R(x)都等于零的情况。

这个方程可以表示为:\[y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0\]假设方程的一个解是y1(x)，我们可以根据叠加原理得到方程的通解:\[y(x) = c_1y_1(x) + c_2y_2(x)\]然后我们需要找到该方程的特解，即当P(x)，Q(x)和R(x)都不等于零的情况。

根据经验，我们通常可以猜测特解的形式，并将猜测的特解代入原方程，通过比较系数的方式求解。

微分方程的积分因子

在求解某些类型的微分方程时，可以使用积分因子（integrating factor）来简化方程的求解过程。

积分因子是一个乘法因子，可以乘以微分方程的两边，使其变为可积分的形式。

对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x) 的一阶线性常微分方程，其中P(x) 和Q(x) 是已知函数，可以使用积分因子来求解。

积分因子的计算步骤如下：
1.将方程写成标准形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)。

2.计算积分因子μ(x) = exp(∫P(x)dx)。

3.将积分因子乘以原方程的两边，得到μ(x)dy/dx + μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x)。

4.左侧的第一项可以通过链式法则化简为d(μ(x)y)/dx。

5.整理得到d(μ(x)y)/dx = μ(x)Q(x)。

6.对上述等式两边同时积分，得到μ(x)y = ∫μ(x)Q(x)dx。

7.最后，解出y = (1/μ(x)) ∫μ(x)Q(x)dx。

通过引入积分因子，原本的一阶线性常微分方程可以转化为可积分的形式。

积分因子的选择依赖于方程中的函数P(x) 和Q(x)，使得乘以积分因子后，方程的左侧可以写成导数的形式，从而方便求解。

需要注意的是，不是所有的一阶线性常微分方程都可以使用积分因子法求解，这种方法适用于特定类型的方程。

在具体求解时，还需要根据具体方程形式和条件进行判断和处理。

2.2-线性微分方程(积分因子法)

s
x Q(s)ex P(t)dt ds
x0
(3)
二伯努利(Bernoulli )方程
形如 dy p(x) y Q(x) yn n 0,1是常数 dx
的方程,称为伯努利方程. 这里P(x), Q(x)为x的连续函数。
解法: 10 引入变量变换 z y1n ,方程变为
dz (1 n)P(x)z (1 n)Q(x) dx 20 求以上线性方程的通解
§2.2 线性微分方程与积分因子法
一阶线性微分方程的一般形式为
a(x) dy b(x) y c(x) dx
在a(x) 0的区间上可写成 dy P(x) y Q(x) (1)L L 标准形式 dx
这里假设P(x), Q(x)在考虑的区间上是 x的连续函数若Q(x) 0,则(1)变为
dy P(x) y 0 (2)L L 齐次线性方程 dx
若Q(x) 0,则(1)称为非齐次线性方程。
一一阶线性微分方程的解法-----积分因子法
dy P(x) y Q(x) (1) dx
求解思想：方程两边乘一个函数，使得左边变成一个函数的导数
y e p(x)dx ( Q(x)e p(x)dxdx c)
(3)
注: (i) 求(1)的通解可直接用公式(3) (ii) 课本用的是常数变易法，方程整理的形式不同
解: 原方程不是未知函数 y的线性方程，但将它改写为
dx 2x y2
dy y
即
dx 2 x ，
故其通解为 x e p( y)dy ( Q( y)e p( y)dydy c)
e
2 y
dy
(
(
y)e
2 y
dy
dy
c)

三种形式的一阶线性微分方程

三种形式的一阶线性微分方程一阶线性微分方程是一种最基本的微分方程形式，通常可表示为dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)是关于自变量x的函数。

该形式的一阶线性微分方程可表示为：dy/dx + 2x*y = x^2这里P(x) = 2x，Q(x) = x^2、对于这个方程，我们可以使用线性微分方程的一般解法，首先求出积分因子μ(x) = e^(∫P(x)dx) =e^(x^2)，然后将原方程乘以μ(x)得：e^(x^2)dy/dx + 2x*e^(x^2)y = x^2*e^(x^2)对于左边第一项使用乘积法则，可得(d(e^(x^2)*y)/dx =x^2*e^(x^2)。

因此，我们有：d(e^(x^2)*y)/dx = x^2*e^(x^2)积分两边得：e^(x^2)*y = ∫x^2*e^(x^2)dx + C解方程得：y=x^2/2+C*e^(-x^2)其中C是一个任意常数。

一阶线性微分方程中的非齐次项Q(x)可以是除了常数外的任何函数形式。

如果Q(x)是sin(x)这样的特殊函数形式，原方程可以表示为dy/dx + 2x*y = sin(x)。

对于这个方程，我们同样可以使用乘以积分因子的方法，首先求出μ(x) = e^(∫P(x)dx) = e^(x^2)，然后将原方程乘以μ(x)得：e^(x^2)dy/dx + 2x*e^(x^2)y = e^(x^2)sin(x)对于这个方程，我们需要对方程的右边进行特殊处理。

我们可以使用积分技巧来求解该方程，首先将右边的sin(x)表示为e^(ix) = sin(x) + icos(x)，然后将其带入原方程得：e^(x^2)dy/dx + 2x*e^(x^2)y = e^(x^2)(sin(x) + icos(x))对右边的每一项使用乘法法则，得：d(e^(x^2)*y)/dx = e^(x^2)sin(x) + ie^(x^2)cos(x)因此我们有：d(e^(x^2)*y)/dx = e^(x^2)sin(x) + ie^(x^2)cos(x)积分两边解方程得：e^(x^2)*y = ∫e^(x^2)sin(x)dx + ∫ie^(x^2)cos(x)dx + C由此我们可以求出y的通解。

求解一阶线性微分方程的方法

求解一阶线性微分方程的方法对于一阶线性微分方程，
)()(x q y x p dx
dy =+有如下的一般求解方法（摘自普林斯顿大学微积分读本）：1将包含y 的部分放在左边，包含x 的部分放在右边，然后两边除以dy/dx 的系数得到一个标准形式的方程
)()(x q y x p dx
dy =+2两边乘积分因子，我们称其为f(x)，它由
积分因子⎰=dx
x p e x f )()(给出，这里不需要为指数上的积分+C ，左边变为))((y x f dx
d ，其中f(x)为积分因子，用这个新的左边重写方程()()()()()()()()()p x dx
p x dx p x dx p x dx p x dx dy e e p x y e q x dx
d e y e q x dx ⎰⎰⎰+=⎰⎰=3两边积分，这次必须在右边+C
()()()()()()=()dx C p x dx p x dx p x dx p x dx d e y e q x dx
e y q x e ⎰⎰=⎰⎰+⎰4两边再除以积分因子f(x)来解出y.
()()()()=()dx C
1
(()dx C)p x dx p x dx p x dx p x dx e y q x e y q x e e ⎰⎰+⎰=+⎰⎰⎰。

第四节一阶线性微分方程

ln | x + y + 1 |= y + ln | C |,
通解为
x = Ce − y − 1.
y
小结
1.一阶线性齐次微分方程一阶线性齐次微分方程 2.一阶线性非齐次微分方程 2.一阶线性非齐次微分方程 3.伯努利方程伯努利方程
令 y1−n = z;
思考与练习
判别下列方程类型: 判别下列方程类型 dy dy (1) x + y = xy dx dx dy (2) x =y (ln y − ln x) dx 提示: 提示 y −1 dx 可分离 dy = 变量方程 y x dy y y = ln 齐次方程 dx x x dy 1 x2 一阶线性非 − y =− dx 2x 2 齐次方程 2 dx 1 y 一阶线性非 − x = − 齐次方程 dy 2 y 2 dy 2 ln x 2 伯努利 + y= y 方程 dx x x
∫ P ( x ) dx + y(e ∫ P ( x )dx )′ = 0, y′e
∫ P ( x )dx )′ = 0, ( ye
故通解为
∫ P ( x ) dx = C , ye
− P( x )dx
∫ y = Ce
.
dy + P(x) y = Q(x) 2. 解非齐次方程 dx −∫ P( x) d x 常数变易法: 用常数变易法作变换 y(x) = u(x) e ,则 −∫ P( x) d x −∫ P( x) d x −∫ P( x) d x + P(x) u e = Q(x) u′ e − P(x) u e
所求通解为
ye
x y
=C
可化为一阶线性的微分方程 -------伯努利方程伯努利方程

一阶线性微分方程

一阶线性微分方程在数学的领域中，微分方程是一种描述函数关系的方程。

一阶线性微分方程是其中一种常见的微分方程类型，其具有如下的一般形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)在这个方程中，y是未知函数，x是自变量。

P(x)和Q(x)是已知函数。

解决一阶线性微分方程的方法之一是使用积分因子的方法。

通过适当选择一个积分因子来将方程转化为可积的形式，从而得到其解。

具体地，我们可以按照以下步骤来解决一阶线性微分方程：步骤1：将方程转化为标准形式需要将一阶线性微分方程转化为以下形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)通过移项，得到：dy/dx = -P(x)y + Q(x)步骤2：确定积分因子确定积分因子μ(x)的一种常用方法是将方程乘以一个因子，并使乘积的系数等于∂(μ(x)y)/∂x。

因此，我们可以通过以下公式来确定积分因子：μ(x) = e^∫P(x)dx步骤3：将方程乘以积分因子将方程乘以积分因子μ(x)：μ(x)dy/dx + μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x)得到：d[μ(x)y]/dx = μ(x)Q(x)步骤4：对方程进行积分对上述方程两边进行积分，得到：∫d[μ(x)y]/dx dx= ∫μ(x)Q(x) dx化简后得到：μ(x)y = ∫μ(x)Q(x) dx + C其中，C是常数。

步骤5：解出未知函数y解方程μ(x)y = ∫μ(x)Q(x) dx + C，求出未知函数y的表达式。

以上就是解决一阶线性微分方程的步骤。

通过选取适当的积分因子，将方程转化为可积的形式，并通过积分求解得到未知函数的表达式。

总结起来，一阶线性微分方程的求解过程可以分为五个步骤：将方程转化为标准形式、确定积分因子、将方程乘以积分因子、对方程进行积分、解出未知函数y。

这些步骤能够帮助我们解决一阶线性微分方程的问题。

通过学习和掌握一阶线性微分方程的方法，我们可以应用它们解决各种实际问题，如物理学、生物学、经济学等领域中的相关问题。

关于一阶常微分方程积分因子的求法

关于一阶常微分方程积分因子的求法摘要目前关于一阶常微分方程积分因子的求解方法介绍比较零散，一般的教科书中大都局限在一些简单的情况，如公式法一般只给出含有x或y的一元函数的积分因子的情形，很少涉及到二元的情况，对积分因子的求法并没有一个系统全面的总结，故积分因子的求法有广阔的研究空间.一阶常微分方程灵活多变，有多种不同的方程类型，因而可针对不同类型的方程，研究与其适应的求解方法. 本课题将根据积分因子的定义及性质，通过不同的分类方法，在原有求积分因子方法的基础上，对多种求法进行加深和扩充，系统地总结出一些较为规律的求解方法：观察法、公式法和分组法，给出这些方法的使用条件，并对方法的可行性进行证明，结合具体问题进行分析讨论，通过对这三种方法的研究，解决了某些一阶常微分方程的求解问题.关键词一阶，积分因子，全微分方程，观察，公式，分组，通解The Solution about First Order DifferentialEquation of Intergral FactorABSTRACTAt present about first order differential equations solving method of integral factor is introduced, the comparison scattered in general mostly confined to a textbook, such as some simple formula general give only contain x or y unary function of integral factor of the situation, rarely involve the condition of dual integral factor of sapce and no system, so overall summary of integral factor of sapce has broad research space. A flexible and order ordinary differential equations, and there are many different types of the equation, thus the equation of different types, with the solving method to study. This topic will be based on the definition and properties of integral factor, through different classification method andway of integrating factors in original for the foundation, on the various sapce for deepening and expanded, systematically summarizes some relatively regular solution: observation, formula and grouping law, given these methods using conditions, and feasibility of the method is proved that combined with concrete problems are discussed, based on the three methods to study and resolve some of the first order differential equation problem solving.KEYWORDS first-order,Integral factor, observation,formula,grouping,general solution.目录1 引言 (1)2 几种变系数齐次线性方程的求解方法 (1)2.1 降阶法 (1)2.2 常系数化法 (8)2.3 幂级数法 (17)2.4 恰当方程法 (20)3 结束语 (23)4 致谢语 (23)参考文献 (24)1 引言常微分方程是数学科学联系实际的主要桥梁之一。

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有关一阶线性微分方程积分因子的解法摘要：当一阶线性微分方程不是恰当微分方程或不存在只含有一个未知数的积分因子时，微分方程的积分因子不易求得. 本文给出了三种特殊形式的积分因子并证明了这三种积分因子存在的充分必要条件.关键词：偏导数；偏微分方程；线性微分方程；积分因子一引言对于一阶微分方程，(1)0),(),(=+dy y x Q dx y x P 若存在连续可微的函数，使得，则方程 (1)0),(≠y x u 0),(),(),(),(=+dy y x Q y x u dx y x P y x u 为一阶恰当微分方程，即存在函数，使),(y x v ,(2)),(),(),(),(),(y x dv dy y x Q y x u dx y x P y x u =+且称非零函数为方程(1)的积分因子．),(y x u 若找到方程(1)的积分因子，就设法求得式(2)的一个原函数，从而是),(y x v c y x v =),(方程(1)的通解．引理1 设,,在单连通区域内连续且有连续一阶偏导数，且),(y x P ),(y x Q ),(y x u G ,则函数为（1）的积分因子的充分必要条件是0),(≠y x u ),(y x u，(3)u x Q y P y u P x u Q⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂-∂∂式（3）是一个以为未知数函数的一阶线性偏微分方程，通常情况下，要想通过具),(y x u 体求解方程(3)而求得积分因子是比较困难的．但某些特殊情况下，不难求得(3)的),(y x u 一个特解，而作为积分因子．文献[1]给出了结论，方程(1)有只与有关的积分因),(y x u x 子的充分必要条件是，这里仅为的函数.方程⎰=dxx e x u )()(ϕ)(1x Q x Q y P ϕ=⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂-)(x ϕx(1)有只与有关的积分因子的充分必要条件是y ⎰=dyy e y u )()(ϕ,)()(1y P x Q y P ϕ=-⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂-这里仅为的函数.)(y ϕy 当微分方程不存在只与或有关的积分因子，用此方法无法求解.本文给出 3 种只x y 依赖,形式的积分因子存在的充分必要条件，这有助于积分因)(,b a b a y x y x +))()((y g x f u 子的求解.二一阶微分方程积分因子的解法定理1 方程（1）有一个只依赖形式的积分因子的充分必要条件是b a y x , (4))()(11b a b a y x f ybP x aQ x Q y P y x =-⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂-此时是方程 (1) 的一个积分因子,（是的一个原函数）.)(),(ba y xF e y x u =)(t F )(t f 证明必要性，设是方程（1）的一个积分因子，则)(),(b a y x F ey x u =,.))((1)(b a b a y x F y ax y x f e xub a -=∂∂))((1)(a b b a y x F x by y x f e y u b a -=∂∂代入式 ,可得u x Q y P y u P x u Q⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂-∂∂= ))(())((1)(1)(---b abay x F b aba y x F ybx y x f Peybx y x f Qeb a b a )(b a y x F e x Q y P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂消去,并化简可得)(ba y xF e ,即(4)式成立..)()(11b a b a y x f ybP x aQ x Q y P y x =-⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂-充分性，若式（4）成立，则，整理得01)(=⎪⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛y P x Q y x y bP xaQ y x f b a b a ,则有0)(=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛y P x Q y bP xaQ y x f y x b a b a. (5)0)()(11=⎪⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂---y P x Q P y bx y x f Q y ax y x f b a b a b a b a 设是的一个原函数,式（5）两边同乘以,则式)(t F )(t f )(),(ba y xF e y x u =u x Q y P y u P x u Q⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂-∂∂成立.即是方程（1）的一个积分因子. 证毕)(),(b a y x F ey x u =定理2 方程（1）有一个只依赖形式的积分因子的充分必要条件)(b a y x + . (6))()(111ba b a y x f P by Q ax xQ y P +=-⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂---此时是方程（1）的一个积分因子（是的一个原函数）.)(),(b a y x F ey x u +=)(t F )(t f 证明必要性，设是方程(1)的一个积分因子，则)(),(b ay xF e y x u +=,.1)()(-++=∂∂a b a y x F ax y x f e xub a 1)()(-++=∂∂b b a y x F by y x f e y u b a 代入式,可得u x Q y P y u P x u Q⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂-∂∂)(1)(1)()()(b a b ab ay x F b b a y xF a b a y xF ex Q y P by y x f Pe ax y x f Qe +-+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+-+消去,整理可得)(b ay xF e +,即(6)式成立..)()(111ba b a y x f P by Q ax xQ y P +=-⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂---充分性，若(6)式成立，则整理可得下式. (7)xQy P Pby Qax y x f b a b a ∂∂-∂∂=-+--))((11设是的一个原函数,式(7)两边乘以，则(3)式成立.即)(t F )(t f )(),(b ay xF e y x u +=是方程(1)的一个积分因子.证毕.)(),(b ay xF e y x u +=定理3 若方程(1)中,在内连续且有连续偏导数,，且满足),(y x P ),(y x Q D y P ∂∂xQ∂∂,. 则方程(1)存在形如积分因子的充要条件是 xQy P ∂∂≠∂∂D y x ∈),())()((y g x f u，(8)))()((y g x f yg Pfx f Qg xQy P Φ=∂∂-∂∂∂∂-∂∂并且积分因子由下式确定),(y x u ,.(9)dzz e y x u ⎰=Φ)(),()()(y g x f z =(9)中由(8)给出.)(z Φ证明必要性，设,是方程(1)的积分因子，,)(),(z y x u ϕ=)()(y g x f z =xQy P ∂∂=∂∂ϕϕ.D y x ∈),(即得，从而整理得ϕϕϕϕxNQ y g x f z y P P x f y g z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂)()(,yg Pfx f Qg x Qy P z x Q y P y g Pf x f Qg z ∂∂-∂∂∂∂-∂∂= ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫∂∂-∂∂= ⎝⎛⎪⎪⎭⎫∂∂-∂∂∂∂ϕϕϕϕ1取，则有ϕϕ)()(z z '=Φ，，可得(8).)(z yg Pfx f Qg xQy P Φ=∂∂-∂∂∂∂-∂∂)()(y g x f z =充分性，若,,)(z yg Pfx f Qg xQy P Φ=∂∂-∂∂∂∂-∂∂)()(y g x f z =令,.则⎰=Φdzz e y x u )(),()()(y g x f z = =∂∂+∂∂=∂∂y P u P y u y uP )(+∂∂Φ⎰ΦP y zz e dz z )()(yP e dz z ∂∂⎰Φ)(,⎢⎣⎡⎥⎦⎤∂∂+∂∂Φ⎰=Φy P fP y g z e dzz )()(,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂Φ⎰=∂∂Φx Q gQ x f z e x uQ dz z )()()(所以 .从而(9)为积分因子.0)()()()(=⎢⎢⎣⎡ ⎝⎛ ⎝⎛⎥⎦⎤⎪⎭⎫∂∂-∂∂+⎪⎭⎫∂∂-∂∂Φ⎰=∂∂-∂∂Φx Q y P x f Qg y g Pf z e x uQ y uP dz z 三应用举例例1 解方程. （10）dx xy ydy x xdy ydx 22-=+解方程（10）可化为，此时,0)()(22=-++dy y x x dx xy y 2),(xy y y x P +=，则,，y x x y x Q 2),(-=xy y P 21+=∂∂xy xQ 21-=∂∂所以不存在只与或有关的积分因子．由于x y ，)1()1(14)(11xy b xy a y x xy y bP x aQ x Q y P y x b a ba +--=-⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂-取,,则有.3=a 3=b )(64(133331y x f y x y bP x aQ x Q y P y x ba =-=-⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂-则根据定理1，方程（10）有只依赖于形式的积分因子.于是方程（10）有积分因子33y x .33),(y x y x u =例2 求解方程. （11）ydx xdy dx y x 22)33(22-=+解方程（11）可化为令,,02)233(22=-++xdy dx y y x y y x y x P 233),(22++=,x y x Q 2),(-=则,，所以不存在只与或有关的积分因子．由26+=∂∂y y P 2-=∂∂xQx y ，)233(21)46()(221111y y x by ax y P by Q ax x Q y P b a b a +++-+=-⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂----取，，则有2=a 2=b.)(1)(2222111y x f y x P by Q ax x Q y P b a +=+-=-⎪⎭⎫∂∂- ⎝⎛∂∂---根据定理2,方程（11）有只依赖于形式的积分因子.设，求得原函数22y x +1)(--=t t f .于是方程（11）有积分因子，进而可求得其通解为Int t f -=)(122)(),(-+=y x y x u .c xy x =+-1arctan 例3 求解方程. (12)0)3()6(322=+-++dy xy x dx y yx 解 ,,则226y yx P +=xy x Q +-=33,,可得y x y P 262+=∂∂y x xQ +-=∂∂29.x y xQ y P --=∂∂-∂∂215取,.则有x x f =)(2)(y y g =xy y yx y xy x y x dydg Pfdx df Qg xQ y P 2)6()3(1522232+-+-+=-∂∂-∂∂ yx 21-=从而由定理知方程有积分因子 .yx y x u 21),(-=文章虽给出了一些以特殊积分因子解线性微分方程的方法，但是在学习中依然存在许多其它特殊的积分因子用以上方法难以解决，还需要继续探索．参考文献：[1] 石瑞青，闫晓红，郭红建，等．常微分方程全程导学及习题全解[M]．北京：中国时代经济出版社，2009．[2] 赵临龙．常微分方程研究新论[M]．西安：西安地图出版社，2000．[3] 刘许成.复合型积分因子的存在定理及应用[j].阜阳师范学院学报.2003,20(6)39-41[4] 高正辉.一阶微分方程三类积分因子的计算[J].衡阳师范学院学报(自然科学版),2002(3)[5] 东北师范大学数学系.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,1982.35-48Method of Solution Integrating Factor of Linear First-order DifferentialEquationAbstract: As for linear first-order differential equation and it will not exist if it has only one unknown number of integrating factor. So the differential equation will be difficult to solve. This thesis gives three particular forms of integrating factors which proves the sufficient and necessary condition of existence.Keywords:Partial derivative, Partial differential equation, linear differential equation, integrating factor。

一阶微分方程解法

一阶微分方程解法在数学的领域中，一阶微分方程是一个重要的研究对象，它在物理学、工程学、经济学等众多学科中都有着广泛的应用。

那么，什么是一阶微分方程呢？简单来说，一阶微分方程就是指方程中只含有一阶导数的微分方程。

一阶微分方程的一般形式可以表示为：＄y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄，其中$y'＄表示$y$对$x$的一阶导数，＄P(x)＄和$Q(x)＄是关于$x$的已知函数。

接下来，我们就来探讨一下一阶微分方程的常见解法。

一、可分离变量的一阶微分方程如果一阶微分方程可以写成$g(y)y' ＝ f(x)＄的形式，那么我们就称它为可分离变量的一阶微分方程。

对于这种类型的方程，我们可以通过将变量分离，然后两边积分来求解。

具体的求解步骤如下：首先，将方程变形为$＼frac{g(y)｝｛y'｝＝ f(x)＄。

然后，将两边分别积分：＄＼int ＼frac{g(y)｝｛y'｝dx ＝＼intf(x)dx$。

最后，经过积分运算，求出$y$的表达式。

例如，对于方程$y' ＝ 2xy$，我们可以将其变形为$＼frac{dy}｛y} ＝ 2xdx$，然后两边积分得到$＼ln|y| ＝ x^2 ＋ C$，进而得到$y ＝ Ce^｛x^2}＄（其中$C$为常数）。

二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程是形如$y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄的方程。

对于这种类型的方程，我们可以使用积分因子法来求解。

首先，求出积分因子$＼mu(x) ＝ e^｛＼int P(x)dx}＄。

然后，将原方程两边同时乘以积分因子$＼mu(x)＄，得到：＄e^｛＼int P(x)dx}y' ＋ P(x)e^｛＼int P(x)dx}y ＝ Q(x)e^｛＼intP(x)dx}＄此时，左边可以变形为$（ye^｛＼int P(x)dx}）＇＄。

于是，原方程就变成了$（ye^｛＼int P(x)dx}）＇＝ Q(x)e^｛＼int P(x)dx}＄。

一阶微分方程三类积分因子的计算

（令“＝２，ｂ＝１）
一（２ｘ十ｙ）３（ｚ一２ｙ）十：ｃｙ（ｙ２—４ｘ２）
５—（２ｘ辈ｙ蔫［－（２并ｘ焘券ｙ器‰ｘｙ一一（２ｘ＋ｙ）［（２ｚ＋ｙ）２（２ｙ—ｚ）＋ｘｙ（２ｘ—ｙ）］
ａＮａＭ
熹ｂＭ一要ａＮ一＋）
一志２ｘ＋ｙ刈２ｚ州＋ｖ）２（２一ｚ）＋（２ｚ—ｖ）］一——一一Ｊ¨ｚ１＿ｙ７
１．卢（ｚ，ｙ）＝Ｆ（ｎｚ十６ｙ），２．Ｐ（ｚ，ｙ）＝Ｇ（ｚｙ）．３．户（ｚ，ｙ）＝ｅｘｐＦｆｆ（ｚ）如＋Ｊ’ｇ（ｙ）出］三种形式的积分因子的
充要条件．
关键词恰当方程；积分因子
中图分类号：０１７５
文献标识码：Ａ
文章编号：１００２－－０７３Ｘ（２００２）０３一００５２一０４
一阶微分方程Ｍ（ｚ，ｙ）ｄｚ＋Ｎ（ｚ，ｙ）ｄｙ：Ｏ（１）当百ａＭ一百ａＮ时，称方程（１）为恰当方程。对于恰当方
Ｇ（ｘｙ）Ｍ（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｇ（ｘｙ）Ｎ（ｘ，ｙ）ｄｙ＝０
即
ｚｚ－，！ｖ－－（ｘｙ２一ｙ）ｄｘ＋击‘ｚ≯，３，一３ｘ）ｄｙ２ｏ
（ｙ－－Ｚ去）出＋（Ｐ３Ｖｙ）ｄｙ２。舛ｚ＋斑ｙ－土。ｄｚ一专ｄｙ＝ｏ
得全微分方程ｄ（ｘｙ—ｌｎｘｙ３）＝０所以．得方稗的诵锶．ｚｖ—ｌｎｘｖ３＝Ｃ
３．具有形为ｐ（ｘ。ｙ）＝ｅｘＰｉｌｌ（ｘＩ出＋ｆｇ（ｙ）ｄｙ］积分因子的条件命题３一阶微分方程Ｍ（ｚ，ｙ）如＋Ｎ（ｚ，３，）出一ｏ，具有形为Ｐ（ｚ，ｊ，）一ｅｘｐ［ｆｆ（ｚ）出＋Ｊ－ｇ（ｙ）出］积
第２３卷第３期２００２年６月
衡阳师范学院学报（自然科学）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｅｎｇｙａｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）
ＮＯ．３Ｖ０１．２３ＪＵＢ．２００２

微分方程积分因子的求法

微分方程积分因子的求法罗伟东【摘要】利用积分因子，可以对一个一阶微分方程的求解进行统一处理。

因此，如何求解积分因子就成为解一阶微分方程的一个重点了。

但对于一个具体的方程，如何求出它的积分因子呢，一般的方法是解一个一阶偏微分方程，不过那是比较不容易的。

但是，对于某些特殊的情况，却可以简单地得出积分因子。

通过查找我们发现，在大多数《常微分方程》的教材中都只给出了只与x 或y 有关的积分因子的求法，但这是不够的。

所以我们在这里来讨论一下关于求解()x y αβμ和()m n ax by μ+这两类积分因子的充要条件及部分例题，由此我们就可以得到形式相近的积分因子。

如：通过x y μ=+，可以得到x y μ=-的积分因子。

如此举一反三，力求使得求积分因子的问题变的简便易行。

同时，还对积分因子的求法进行了推广，总结出几类方程积分因子的求法。

【关键字】微分方程，积分因子，求解方法【目录】引言 (1)目录 (2)一、()x y αβμ和()m n ax by μ+两类积分因子§ 1、与()x y αβμ有关的积分因子 (3)§ 2、与()m n ax by μ+有关的积分因子 (4)二、微分方程积分因子求法的推广§ 1、满足条件()P Q P Qf x y x y∂∂-=-∂∂的积分因子求法 (7)§ 2、方程1123422(3)36330m m m m x mx y xy dx y x y x y dy +-⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦积分因子 (10)§ 3、方程13()30m m m x m x y x dx x dy -⎡⎤+++=⎣⎦积分因子 (12)§ 4、方程1(4)4450m m m m x mx y y dx x x y dy -⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦积分因子 (13)参考文献 (15)一、()x y αβμ和()m n axby μ+两类积分因子引言：微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言。

解一阶线性微分方程

解一阶线性微分方程
一阶线性微分方程是数学分析中常见的微分方程，它可以用求解特定的函数在特定的区域内的行为和变化。

由于该方程的简单性，在实际应用中得到了广泛的运用。

一阶线性微分方程的形式通常为：
dy/dt + p(t)y = q(t)
其中，p(t)和q(t)为未知函数，满足可积性，t为时间变量。

在该方程中，解y=y(t)是满足方程的函数，称为精确解。

一阶线性微分方程的解有两种方法：一种是积分法，另一种是特殊解法，即特殊积分法和积分因子方法。

一般来说，解微分方程所需的步骤如下：首先，确定解的形式，比如指数形式的解；其次，把微分方程化为可积微分方程，在此过程中，可以借助积分因子方法；最后，解可积微分方程，使用积分法来导出解。

特殊积分法是一种常用的使用积分表求解微分方程的方法。

它的基本步骤是：先把微分方程化简成一重积分的形式，再查积分表求解。

例如，若是可积的单重积分，则可以利用积分表求出积分因子，进而求解微分方程。

积分因子方法是解决一阶线性微分方程的另一种比较有效的方法。

该方法的基本思路是：将微分方程化为两个线性微分方程，其中一个微分方程的系数具有某种特殊形式，比如指数形式，而另一方程的系数可以被定义为积分因子。

如果能确定该积分因子，就可以求解微分方程，从而得到完整的解。

- 1 -。

高数下册第七章第四、五节一阶线性方程全微分方程

17
2) 再解定解问题
y′ + y = 0 , x > 1
y x =1 = y(1) = 2 − 2e−1
此齐次线性方程的通解为 y = C2e−x ( x ≥ 1) 利用衔接条件得 C2 = 2(e − 1) y = 2(e − 1) e−x ( x ≥ 1) 因此有 3) 原问题的解为 2(1 −e−x ), 0 ≤ x ≤ 1 y= −x 2(e − 1) e , x ≥ 1
4.求微分方程 x ln xdy + ( y − ln x)dx = 0 满足条件求微分方程 1 1 y = (ln x + ) y x=e = 1 的解。 2 ln x 19
= 0 的解。 x 1 y= − 2 x
2
x y′ + y = xex 满足条件 y x=1 = 1的特解。 5.求微分方程 1 1 x −1 x 1 6. y = x ln x − x y= e + x x 3 9 1 6.求微分方程 xy′ + 2 y = xln x , y x=1 = − 求微分方程的特解。的特解。 9 y 1 7.过点 ( , 0 ) 且满足关系式 y′ arcsin x + 1 − x2 = 1 过点 1− 2 1 yarcsin x = x − 的曲线方程为 2 的一个解， y = ex 是微分方程 x y′ + p( x) y = x 的一个解，则 8.设设
1 2y + − 3x = 0 y
21
练习题
一、求下列微分方程的通解: 求下列微分方程的通解: 1、 1、 y ′ + y cos x = e − sin x ； 2、 2、 y ln ydx + ( x − ln y )dy = 0 ； dy 2 3、 3、( y − 6 x ) + 2 y = 0 . dx 二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解: 求下列微分方程满足所给初始条件的特解: dy 1、 1、 + y cot x = 5e cos x , y π = −4 ； x= dx 2

一阶常微分方程的积分因子法求解

一阶常微分方程的积分因子法求解
一阶常微分方程是数学中一种很重要的概念，可以用来描述多个系统中物理、化学等科学
方面的物理量之间的关系。

一阶常微分方程最常见的解法，就是利用积分因子法来求解。

积分因子法是一阶常微分方程求解另外一个常用的方法，它主要是将原方程按照特定的方法改写为一个积分因子和一阶常微分方程的乘积的形式，然后再求解。

这种求解方法对于一般性的一阶常微分方程可以给出一般解。

它相对于其他方法更为灵活，解决起来也比较容易，可以应用于许多不同的一阶常微分方程。

首先，应当确定合适的积分因子，即微分方程右侧的一项项。

积分因子的选取与方程的形
式有关，一般而言，原方程的形式为dydx = f(x,y)，积分因子可以是e^(int(f)dx)，其中
int(f)为原方程右侧函数的积分，这样可以使积分因子和积分的二阶线性常微分方程的乘积形式符合题意。

其次，要将原一阶常微分方程改写成由积分因子乘以一个积分形式的形式。

改写的具体步骤是，将原方程化简为M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0，然后将其乘以积分因子，得到：
M(x,y)e^(int(f)dx)dx + N(x,y)e^(int(f)dx)dy = 0.
最后，要将该方程积分，得到一般解。

即：int Mdx + int Ndy = c（c为积分常量）。

以上便是积分因子法求解一阶常微分方程的基本步骤，积分因子法求解一阶常微分方程的
具体过程并不复杂，广泛应用于求解一阶常微分方程的实际问题，得到一般解。

一阶线性非齐次微分方程

一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程是微分方程中的一种重要类型，它具有以下形式：$$\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)$$其中，$P(x)$和$Q(x)$是已知的函数。

解一阶线性非齐次微分方程的方法是利用积分因子法和常数变易法。

一、积分因子法对于形如$M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$的一阶非齐次线性微分方程，我们可以通过引入积分因子$\mu(x)$将其转化为齐次线性微分方程。

而积分因子$\mu(x)$的选择与方程的系数有关。

对于一阶线性非齐次微分方程$\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)$，我们可以选择积分因子$\mu(x) = e^{\int P(x) dx}$。

这样，原方程可以变形为$\frac{{d}}{{dx}}(e^{\int P(x) dx}y) = e^{\int P(x) dx}Q(x)$。

通过对上述方程两边同时积分，可以得到解$y = e^{-\int P(x)dx}(\int e^{\int P(x)dx}Q(x)dx + C)$，其中$C$为任意常数。

二、常数变易法对于一阶线性非齐次微分方程$\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)$，我们可以通过常数变易法来求解。

假设原方程的解为$y = u(x)v(x)$，其中$u(x)$和$v(x)$是待定的函数。

利用求导法则，将$y = u(x)v(x)$代入原方程，可以得到$u'(x)v(x) +u(x)v'(x) + P(x)u(x)v(x) = Q(x)$。

将上式重新整理，可以得到$u(x)v'(x) + u(x)P(x)v(x) = Q(x) -u'(x)v(x)$。

根据等式两边函数对$x$的导数的性质，我们可以得到$u(x)v'(x) =Q(x) - u'(x)v(x) - u(x)P(x)v(x)$。

微分方程中的一阶线性微分方程求解

微分方程中的一阶线性微分方程求解微分方程在科学领域中有着重要的应用，可以用来描述许多物理现象和化学反应，其中一阶线性微分方程是最基础的一种。

本文将介绍一阶线性微分方程的求解方法。

1. 原理概述一阶线性微分方程的一般形式为：$$y'+p(x)y=q(x)$$其中$p(x)$，$q(x)$均为已知函数。

为了方便求解，我们可以把方程写成以下形式：$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$这一方程的求解，需要使用一种特殊的方法——积分因子法。

积分因子法的基本思路是将原方程乘以一个函数$\mu(x)$，得到：$$\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)p(x)y=\mu(x)q(x)$$这样，$\mu(x)$就称为方程的积分因子。

根据乘积法则，上式左边可以看作是$\frac{d}{dx}(\mu(x)y)$，于是将上式两边同时对$x$进行积分可得：$$\mu(x)y=\int\mu(x)q(x)dx+C$$其中$C$为常数。

化简即可得到：$$y=\frac{1}{\mu(x)}\int\mu(x)q(x)dx+\frac{C}{\mu(x)}$$这就是一阶线性微分方程的通解式。

2. 求解步骤接下来，我们将结合一个例子，来具体解释求解一阶线性微分方程的步骤。

例题：$y'+\frac{y}{x}=\frac{1}{x}$步骤1：判断方程是否为一阶线性微分方程可以看出，方程的形式为$y'+p(x)y=q(x)$，故为一阶线性微分方程。

步骤2：求解积分因子在本例中，$p(x)=\frac{1}{x}$，将$p(x)$带入积分因子的公式可得：$$\mu(x)=e^{\int p(x)dx}=e^{\ln x}=x$$因此，积分因子$\mu(x)=x$。

步骤3：将原方程乘以积分因子，并化简将原方程乘以积分因子$x$，得到：$$xy'+y=x$$将上式转化为$\frac{d}{dx}(xy)=x$，两边对$x$积分得到：$$xy=\int xdx+\tilde{C}$$即：$$xy=\frac{1}{2}x^2+\tilde{C}$$其中$\tilde{C}$为常数。

一阶线性微分方程的解与应用

一阶线性微分方程的解与应用一阶线性微分方程是微积分学中的重要内容，广泛应用于各个科学领域，特别是物理学和工程学。

它们的解法相对简单，且具有丰富的实际应用价值。

本文将介绍一阶线性微分方程的解法以及其在实际问题中的应用。

一、一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的一般形式为：dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)都是已知函数。

我们的目标是找到其解y(x)。

首先，我们可以将这个方程变形为dy/dx = -P(x)y + Q(x)。

接下来，我们使用一个重要的积分技巧——乘积法则。

将方程两边同时乘以一个称为积分因子的函数μ(x)，得到μ(x)dy/dx + μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x)。

为了使得左边能够变成一个恰当微分，我们需要选择一个适当的积分因子μ(x)。

一种常见的选择是μ(x) = exp[∫P(x)dx]，即取积分因子为P(x)的指数函数形式。

这样，原方程变为d[μ(x)y]/dx = μ(x)Q(x)。

对上述方程两边同时积分，我们得到μ(x)y = ∫μ(x)Q(x)dx + C，其中C是常量。

最后，我们将μ(x)代回方程中，得到y(x) = exp[-∫P(x)dx] [∫μ(x)Q(x)dx + C]。

至此，我们已经得到了一阶线性微分方程的解的通解形式。

通过选取不同的积分因子和积分常数C，我们可以得到不同的特解，满足具体条件的问题。

二、一阶线性微分方程的应用一阶线性微分方程在各个领域都有广泛的应用。

以下是一些具体的应用实例：1.增长与衰减问题：对于一些与时间有关的增长或衰减过程，可以建立一阶线性微分方程描述其变化规律。

比如，放射性元素的衰变过程、细胞的增殖过程等。

2.电路问题：电路中的电流、电压的变化可以用一阶线性微分方程来描述。

对电路中的各个元件进行建模时，可以利用该方程求解电流或电压的变化。

3.人口动态问题：人口学中的人口增长与迁移等问题，可以通过建立一阶线性微分方程来研究。

解一阶线性常微分方程的积分因子法

解一阶线性常微分方程的积分因子法*陈伟(辽东学院基础部辽宁丹东 118001)摘要介绍求解一阶线性常微分方程的积分因子法,有助于解决学生学习任意常数变易法中的存疑.关键词一阶线性;常微分方程;积分因子;常数变易中图分类号 O175 1我们知道,形如:y !+p (x )y =q(x )(1)的微分方程称为一阶线性微分方程.如果q(x )=0,称为一阶线性齐次方程;而当q (x )∀0,时,称为一阶线性非齐次方程.对于这种方程,可用多种方法求解,如Lang rag e 常数变易法,积分因子法,积分变换法,或幂级数解法等.由于后两种解法相对要求较高,所以在一些高等数学的教材中未予介绍,而在一般的微积分或微分方程的教学中所采用的多是任意常数变易法.为此,先简单对它作一介绍.1 任意常数变易法对于一阶线性齐次方程y !+p (x )y =0它的通解为:y =c e -#p(x )d x (c 为任意常数)从此出发,将通解中的任意常数c 换成待定函数u (x ),假设y =u(x )e -#p(x)d x (2)为一阶线性非齐次方程y !+p (x )y =q(x )(3)的解.为了确定u(x ),将(2)代入(1)的左边,得到:y !+p (x )y =u !(x )e -#p (x)d x -u(x )p (x )e -#p(x )d x +p (x )u(x )e -#p(x)d x从而得到u !(x )e -#p (x)d x =q(x )即u !(x )=q(x )e #p (x)d x 积分后得:u(x )=#q(x )e #p(x )d x d x +c其中c 为任意常数,把这个u(x )代入(2)中,得到方程(3)的通解为:y =e -#p(x )d x (#q(x )e #p(x)d x d x +c)这是一种相当简洁的解法,并且在解二阶常微分方程时,这种方法也将发挥作用,所以在教学中常介绍它.但是在多年的教学中却发现,由于它过于巧妙,以至于学生往往觉得这种方法来的突兀,不易理解,总是会问:怎么想到把这个任意c 变易为待定函数u(x )的呢?为了避免学生在这里把思路卡住,应正确对学生加以引导,而不是单纯介绍方法.经过几年的探索,我采用了先以介绍下述积分因子法为过渡,然后再介绍任意常数变易法的方法,效果很好.27V ol 11,No 3M a y,2008 高等数学研究ST U DIES IN CO L LEG E M AT HEM A T ICS *收稿日期:07-01-0528高等数学研究 2008年5月2 积分因子法上述的任意常数变易法是从给定的非齐次方程所对应的齐次方程的通解出发的.如果在这里,我们换一个思路,不从它出发,而是直接从非齐次方程(3)出发看看会有什么发现.下面我们来仔细观察一下非齐次方程y!+p(x)y=q(x)我们的目的是求它的解.按照通常的思路只需积分就可以求解,而此式明显不能积分,其原因在于方程左端的两项:y!+p(x)y,一般说来这样的和式不是一个完全微分式,不可直接积分,但并不是所有这样的形式都不可积分,我们熟知的乘积的导数公式:(uv)!=u!v+uv!(4)就是一个很好的例子.由此,我们受到启发.可以试想在(2)式的两端乘以一个适当的函数因子 (x),( (x)∀0),使之成为:(x)y!+ (x)p(x)y= (x)q(x)(5)此时比较(4)的右端与(5)的左端,可知 (x)应满足:!(x)= (x)p(x)(6)这样(5)可以写成( (x)y)!= (x)q(x)(7)此时,两边同时积分,得:(x)y=# (x)q(x)d x+c(8)其中c为任意常数.现在问题已归结为求解齐次方程(6),而(6)的通解大家熟知,为:(x)=e#p(x)d x将此式代入(8),则得到所求的非齐次方程(3)的通解为:y=e-#p(x)d x(#q(x)e#p(x)d x d x+c)在这里我们称 (x)为积分因子,因此上述方法称为积分因子法.以上的解法,目的明确,方法自然,学生很容易接受.所以在多年的教学中,逐步改变了一上来就直接向学生介绍任意常数变易法解一阶线性微分方程的教法,取而代之的是先按上述方法一步一步的引导学生,直至问题解决.这一过程既使学生顺利地掌握了一阶线性微分方程的通解,同时又不觉得太突然.在此基础上,再向学生介绍用任意常数变易法求解一阶线性微分方程.这样一来,学生在顺利掌握这一问题的同时,又因从不同角度,用不同方法解决了同一问题,大大激发了学生探究问题的热情,学生的学习积极性提高,课堂效果很好.与此同时,学生们也更深刻地体会到了任意常数变易法的巧妙之处.应该说,对学生能力的培养和发掘,是一件比单纯某个知识的传授更为重要的工作.(上接5页)关解.如果(8)有重根,得出(7)的一个解y1=x1-a2p-1,第二个解 y2=y1ln x=x1-a2p-1ln x.例3 在方程(7)中如果p=常数,就是Euler二阶线性方程.参考文献[1]何众琦.合成法解含指数函数的一类二阶线性方程.平顶山学院学报,2006.21(5):4。

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ｃ４
证明
必要性．设（）＝Ｆ，，ｅ（ｙ是方程（）的一个积分因子，则：Ｆ）（ａｂ（ａｙ），）ｘｂ＇１ｅ（ｆｘｙ）ｘ－ｂ，ａＩ
，
＝ｅ（Ｙｆ（ａ，）ｘｙ－）代入式（）Ｆ￣）ｘ）（＂ｂＩｘｂｂ３，消去ｅ（Ｆ “，并化简可得式（４）．
Ｍａ．ｒ
２００１
文章编号：１０ — ８２１０ — ０３００７９３ｉ（００）２０５ — ３
一
阶线性微分方程的积分因子解法
刘海浪，赵临龙
（安康学院数学系，陕西安康７５０）２００
摘要：对于一阶线性常微分方程Ｐｙｄ（，）ｘ＋Ｑ（，）ｙ＝０，给出２种只依赖ＸＹ和（。＋Ｙ）ｘｙｄａ．形式的积分因子存在的充分必要条件，有助于积分因子的求解．关键词：常微分方程；积分因子；通解中图分类号：Ｏ７．１５１文献标识码：Ａｄｉ０３６￣ｉｎ１０— ８１０００．１ｏ：１．９．ｓ．０７９３．１．０５９ｓ２２
高师理科学刊
第３Ｏ卷
２主要结果及证明
定理１方程（）有一个只依赖ＸＹ形式的积分Ｉ的充分必要条件是１ａ子
专（，等＝ａ一～一））ｘｔ
ｌＯ（，）＝ｅ（是方程（）的一个积分因子（Ｆ（是，（的一个原函数）ｌＣｕｘ，Ｆ￣）１）ｆ）．
／
（５）
设Ｆｆ是，ｆ的一个原函数，式（）（）（）５两边同乘以ｕｘｙ＝ｅ‘ ，（，）则式（）３成立．即ｕｘ）＝ｍ ’ 是（，＇ｅ） ’ 方程（）的一个积分因子．１证毕．
（３）
式（）３是一个以ｕｘＹ为未知数函数的一阶线性偏微分函数，通常情况下，（，）要想通过具体求解方程（）３而求得积分因子ｕｘ）比较困难的．但某些特殊情况下，不难求得（３）（，是的一个特解ｕｘ），而（，，）作为积分因子．文献［给出了结论：方程（）有只与有关的积分因子 “ ）ｅ出的充分必要条件是１］１（：ｊ
第３卷０
２１年００
第２期
３月
高师理科学刊
ＪｕｎｌｆＳｉｎｅｏａｈｒＣｌｅｅａｄｏｒａｏｃｅｃｆＴｅｃｅｓｏｌｇｎＵｎｖｒｉｉｅｓｔｙ
Ｖｏ．０Ｎｏ．１３２

ｆ一～）这）为的数方（有与有的分子（：的分１：里（函．程１只Ｙ关积因，ｅ）充０ｏＱ（，１ｙ＇仅））』田）
必条是ａ１）＇这）￣＇数要件ｆＧ（一（，里（／２函．一／：）ｙＸ一Ｐ）ｙ（）ｔ的Ｙｔ
ｕｘｙＰｘｙｄ（，）（，）ｘ＋ｕｘｙＱｘ）ｄ（，）（，，ｙ＝ｄ（，））ｖｘ，）
（２）
且称不取零值ｕｘＹ为方程（）的积分因子．（，）１旦找到方程（）的积分因子，１就很容易求得式（）的原函数ｖｘＹ，２（，）从而ｖｘ＝Ｃ（，）是方程（）１的通解．
ｃｒｙ
、、
●
允・（成，，ｂ一＋［爹。理・分若４立有ｘ（等署ｊ，得性式）则（）ｊ１一整＂ａｙ－．ｘＱ
ａ）－ａｆａ）ｙＰｆｖ：）ｘｙ —（ｂａ－＋ｏ一ｏ，ａｂｘｂｂ１１ａｙｘＩＯｙａＸ
一
引理ｕ设Ｐｘ），Ｑ五），ｕｘＹ在单连通区域Ｇ内连续且有连续一阶偏导数，且（，，（，（，）））
则函数ｕｘ）（）的积分因子的充分必要条件是（，Ｙ为１
ｙ≠ ）０，
Ｑ：ｙ一０ｆｏＰ，一ｘ３１ｏ
当微分方程不存在只与ＸＹ或有关的积分因子，用此方法无法求解．本文给出２种只依赖ＸＹ和ａ
“ ＋Ｙ形式的积分因子存在的充分必要条件，这有助于积分因子的求解．
收稿日期：２０— ０１０９１— １
基金项目：安康学院大学生科技创新项目（０８ｋｙｘ０；２ＤＡＸＤＳ６；安康学院重点扶持学科《２０ａｘｄｓ３０９ＫＹＸ０）基础数学》建设项目（ＺＺ１７）ＡＸ００；安康学院重点项目（０８ｋｙ２）２０ａｘ０９
１引言及预备知识
对于一阶微分方程
（）１Ｐｘｙｄ（，）ｘ＋Ｑ）ｙ＝０ｄ若存在连续可微的函数ｕｘＹ ≠ （，）０，使得ｕｘｙＰｘｙｄｕｘｙＱｘｙｄ＝称方程（）为一阶（，）（，）ｘ＋（，）（，）０，ｙ则１恰当微分方程，即存在函数ｖｘＹ，使（，）
作者简介：刘海浪（９９）１８一，男，陕西榆林人，安康学院数学系２０级本科学生．Ｅｍｉａｔｌ６＿ｎ０７－ａ：ｋｚ＠１３０ｌｃｌｃ－
通讯作者：赵临龙（１６一，男，陕西西安人，教授，从事微分方程研究．Ｅｉｉｋｚ＠１３ｃｎ９ｏ） —１ｌｔ１６．ｌ１：ａｃ１ａ０