2014年高考数学(理)数列

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2014理科数学高考解答题基本题型---数列(广东)

理科数学高考解答题基本题型---数列一、考试大纲（1）数列的概念和简单表示法① 了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式） ② 了解数列是自变量为正整数的一类函数。

（2）等差数列、等比数列① 理解等差数列、等比数列的概念② 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式③ 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系二、考情分析数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，因此在高考中占有重要地位。

高考对数列的考察比较全面，一方面考查等差、等比数列的基础知识和基本技能，另一方面常和函数、导数、方程、不等式等内容交汇在一起，综合性强。

1、分组转化求和法考向：把数列求和转化为几组分别求和，分段后求和，分类后求和等. 2、裂项相消求和法考向：通过对数列的通项公式的分解（裂项），使之产生相互抵消的项，达到数列求和的目的.3、错位相减求和法考向：在等差数列、等比数列的混合问题中，出现一个等差数列与一个等比数列对应项相乘后的新数列，这个数列的求和使用乘等比数列的公比后，错位相减的方法.4、数列的简单应用考向：数列在解决实际问题中的应用. 5、数列证明问题中的运算考向：①在数学证明中，证明过程往往是以计算为主的，即通过计算的结果达到证明的目的，这说明运算求解能力在数学证明中具有重要地位．典型的是函数导数试题中不等式的证明、数列问题中不等式的证明．②数列中的证明问题有等式的证明、不等式的证明、数列性质的证明等，在数列的证明问题中计算是完成证明的关键，运算求解能力是数列证明的核心．6、递推关系考向：多种递推关系，大家要熟悉。

三、高考原题1.（2011广东理数20）设0>b ，数列}{n a 满足b a =1,)2(2211≥-+=--n n a nba a n n n ．(1)求数列}{n a 的通项公式； (2)证明：对于一切正整数n ,1112n n n ba ++≤+．解：方法1：∵)2(2211≥-+=--n n a nba a n n n ，∴11)1(2--=-+n n n n nba a n a a ，∴b a n b a n n n 1)1(21+-=-，当2=b 时， ∴2111=---n n a n a n ， ∴当2≥n 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是以21111==b a 为首项，公差为1的等差数列， ∴211)1(21-=⨯-+=n n a n n ， ∴122-=n n a n ．∵21=a 也符合， ∴122-=n na n ，N n ∈．当2≠b 时，令 ∴)1(21t a n b t a n n n +-=+-， ∴)12()1(21-+-⋅=-b t a n b a n n n ，∴bt -=21， ∴)211(2211b a n b b a n n n -+-=-+- ∴b ba nb a n n n 2211)21(1=-+--+-， ∴当2≥n 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+b a n n 21是以)2(22112111b b b b b a -=-+=-+为首项，公比为b 2的等比数列， ∴n n nb b b b b b a n )2()2(1)2()2(2211-=-=-+-， ∴n n n n b b b n a --=2)2( ． ∵b a =1也符合， ∴nn nn bb b n a --=2)2(，N n ∈．综上：当2=b 时，1=n a ，N n ∈．当1≠b 时，nnn bb b n a --=1)1(，N n ∈．方法2：（ⅰ）当2b =时，{}n b 是以12为首项，12为公差的等差数列，即111(1)222n b n n =+-⨯=，∴2n a = （ⅱ）当2b ≠时，1a b =，2222222(2)22b b b a b b -==+-，33223333(2)242b b b a b b b -==++-，猜想(2)2n n n nnb b a b -=-，下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，猜想显然成立；②假设当n k =时，(2)2k k k kkb b a b -=-，则1111(1)(1)(2)(1)(2)2(1)(2)2(2)2k k k k k k k k k k k b a k b kb b k b b a a n kb b k b b +++++⋅+⋅-+-===+--+⋅--，所以当1n k =+时，猜想成立，由①②知，*n N ∀∈，(2)2n n n nnb b a b -=-．（2）证明：当2=b 时，21211121112112122=-+≤-+=-+-=-=n n n n n a n ，1111211222n n n n b +++++=+=． ∴对于一切正整数n ,1112n n n b a ++≤+．当2≠b 时， ∴nn nn b b b n a --=2)2(, ∴要证1112n n n b a ++≤+．即证≤--nn n b bb n 2)2(1112n n b +++．即证n n n n b b bb n 12221+≤--+．即证n n n n n n n b b b b b b n 1222221122321+≤+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅++-----．即证n b b b b b b n n n n n n n ≥+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅++-----+)2222)(12(1223211．设)2222)(12(1223211-----++⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅++=n n n n n n n b b b b bb S ,∴)1222()2222(23121143322b b b b b b b b S n n n n n n n n +⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-----+)22()22()22()12(1132432322+-++⋅⋅⋅++++++=n nn n b b b b b b b b∴根据均值不等式得：1132432322222222222122+-⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅≥n nnn b b b b b b b b S n =+⋅⋅⋅+++=1111．∴当2≠b 时，对于一切正整数n ,1112n n n ba ++≤+．综上：对于一切正整数n ,1112n n n ba ++≤+．2.（2012广东理数19）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11221n n n S a ++=-+，*n ∈N ，且1a ，25a +，3a 成等差数列.（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a +++< . 解：（1）当1n =时，21122221S a a ==-+，得2123a a =+当2n =时，3212322()21S a a a =+=-+，得31613a a =+ 因为1a ，25a +，3a 成等差数列所以2132(5)a a a +=+，即1112(235)613a a a ++=++，解得11a = （2）11221n n n S a ++=-+……①当2n ≥时，1221nn n S a -=-+……② ①-②得122nn n n a a a +=-- 整理得132nn n a a +=+ 则1123(2)n n n n a a +++=+即11232n n nn a a +++=+(2)n ≥ 由（1）得25a =，所以当1n =时，2211232a a +=+ 所以{2}nn a +是以3为首项，3为公比的等比数列所以1233nn n a -+=⋅所以32nnn a =-，*n ∈N（3）证明：当1n =时，11312a =<当2n ≥时，132n n +>所以1111132222n n n n nn a +=<=-- 所以12311211(1)1111111131342111(1)12222222212n n n n n a a a ---+++<++++=+=+-=-<- .所以对一切正整数n ，有1211132n a a a +++< .3．（2013广东理数19）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< . 解：(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =； (Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---,()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111na n n n=+-⨯=,所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< .四、拓展训练1、在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N *)，且a 1a 3＝4，a 3＋1是a 2和a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝a n ＋1＋log 2a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .解：（1）由a n >0可知公比q >0，则可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1a 3＝4，2（a 3＋1）＝a 2＋a 4⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 22＝4，2（a 3＋1）＝a 2＋a 4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2，2（a 2q ＋1）＝a 2＋a 2q 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2，q ＝2⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，故a n ＝2n －1. （2）∵b n ＝a n ＋1＋log 2a n ＝2n ＋（n －1），∴S n ＝（21＋22＋23＋…＋2n ）＋［0＋1＋2＋…＋（n －1）］＝2（1－2n ）1－2＋n （n －1）2＝2n ＋1＋n （n －1）2－2.2、已知函数f (x )＝xx ＋3，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝3n 2a n a n ＋1，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求证：S n <12.解：（1）由已知a n ＋1＝a n a n ＋3，取倒数得1a n ＋1＝3a n ＋1，变形为1a n ＋1＋12＝31a n ＋12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋12是首项为1a 1＋12＝32，公比为3的等比数列，所以1a n ＋12＝32×3n －1＝3n 2，所以a n ＝23n －1.（2）证明：由（1）知b n ＝2×3n （3n －1）（3n ＋1－1）＝13n －1－13n ＋1－1，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝131－1－132－1＋132－1－133－1＋…＋13n －1－13n ＋1－1＝12－13n ＋1－1<12.3、已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2且n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S n ，并证明：S n2n >2n －3.解：（1）∵a n ＝2a n －1＋2n （n ≥2且n ∈N *）， ∴a n 2n ＝a n －12n －1＋1，即a n 2n －a n －12n －1＝1（n ≥2，且n ∈N *），∴数列a n 2n 是等差数列，公差d ＝1，首项为12，于是a n 2n＝12＋（n －1）·1＝n －12，∴a n ＝n －12·2n . （2）由（1）得S n ＝12·21＋32·22＋…＋n －12·2n ，①2S n ＝12·22＋32·23＋52·24＋…＋n －12·2n ＋1，②①－②得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －n －12·2n ＋1＝2＋22＋23＋…＋2n －n －12·2n ＋1－1＝2（1－2n ）1－2－n －12·2n ＋1－1＝（3－2n ）·2n －3. ∴S n ＝（2n －3）·2n ＋3.∵S n ＝（2n －3）·2n ＋3>（2n －3）·2n ，∴S n2n >2n －3.4、某校高一学生1000人，每周一次同时在两个可容纳600人的会议室开设“音乐欣赏”与“美术鉴赏”的本校课程．要求每个学生都参加，且第一次听“音乐欣赏”课的人数为m (400<m <600，其余的人听“美术鉴赏”课；从第二次起，学生可从两个课中自由选择．据往届经验，凡是这一次选择“音乐欣赏”的学生，下一次会有20%改选“美术鉴赏”，而选“美术鉴赏”的学生，下次会有30%改选“音乐欣赏”，用a n ，b n 分别表示在第n 次选“音乐欣赏”课的人数和选“美术鉴赏”课的人数．(1)若m ＝500，分别求出第二次、第三次选“音乐欣赏”课的人数a 2，a 3； (2)①证明数列{a n －600}是等比数列，并用n 表示a n ；②若要求前十次参加“音乐欣赏”课的学生的总人次不超过5 800，求m 的取值范围．解：（1）由已知a n ＋b n ＝1000，又a 1＝500，所以b 1＝500. a 2＝0.8a 1＋0.3b 1＝550，b 2＝450. a 3＝0.8a 2＋0.3b 2＝575.（2）①由题意得a n ＋1＝0.8a n ＋0.3b n ，又a n ＋b n ＝1 000，所以a n ＋1＝0.8a n ＋0.3（1000－a n ）＝0.5a n ＋300. a n ＋1－600＝0.5a n －300＝0.5（a n －600）. 由于a 1＝m ∈（400，600），所以a 1－600≠0.所以数列{a n －600}是首项为m －600，公比为12的等比数列.所以a n －600＝（m －600）×12n －1，即a n ＝600＋（m －600）×12n －1.②前十次听“音乐欣赏”课的学生总人次即为数列{a n }的前10项和S 10.S 10＝600×10＋（m －600）×1－12101－12＝6000＋（m －600）×1023512.由已知S 10≤5800，即6000＋（m －600）×1023512≤5800，即200≤（600－m ）×1023512，即600－m ≥200×5121023，即m ≤600－200×5121023≈499.9，故m ≤499.所以m 的取值范围是（400，499］且m ∈N *.5、（2013·江西卷）正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1（n ＋2）2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564. 解：(1)由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得 [S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n .于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n . 综上，数列{a n }的通项为a n ＝2n .(2)证明：由于a n ＝2n ，b n ＝n ＋1（n ＋2）2a 2n，则b n ＝n ＋14n 2（n ＋2）2＝116⎣⎡⎦⎤1n 2－1（n ＋2）2. T n ＝116⎣⎡1－132＋122－142＋132－152＋…＋1（n －1）2－⎦⎤1（n ＋1）2＋1n 2－1（n ＋2）2＝1161＋122－1（n ＋1）2－1（n ＋2）2<116⎝⎛⎭⎫1＋122＝564.。

三年高考(2014-2016)数学(理)真题分项版解析_专题06数列

三年高考（2014-2016）数学（理）试题分项版解析第六章数列一、选择题1. 【2014高考理第5题】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】试题分析：对等比数列}{n a ，若1>q ，则当01<a 时数列}{n a 是递减数列；若数列}{n a 是递增数列，则}{n a 满足01<a 且10<<q ，故当“1>q ”是”数列}{n a 为递增数列的既不充分也不必要条件.故选C.考点：等比数列的性质，充分条件与必要条件的判定，容易题.【名师点睛】本题考查充要条件，本题属于基础题，充要条件问题主要命题方法有两种，一种为判断条件是结论的什么条件？第二种是寻求结论成立的某种条件是什么？近几年高考充要条件命题以选填题为主，表面看很简单。

但由于载体素材丰富，几何、代数、三角可以随意选材，所以涉及知识较多，需要扎实的基本功，本题以数列有关知识为载体，考查了数列的有关知识和充要条件.2. 【2015高考，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C考点定位：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重点是对知识本质的考查.【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和比较法，本题属于基础题，由于前两个选项无法使用公式直接做出判断，因此学生可以利用举反例的方法进行排除，这需要学生不能死套公式，要灵活应对，作差法是比较大小常规方法，对判断第三个选择只很有效.3.【2016高考新课标1卷】已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = （）（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 【答案】C 【解析】试题分析：由已知,1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C.考点：等差数列及其运算【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.4. 【2016高考理数】如图，点列{A n}，{B n}分别在某锐角的两边上，且1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ，1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）.若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则（）A ．{}n S 是等差数列B ．2{}nS 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列D ．2{}nd 是等差数列【答案】A 【解析】考点：等差数列的定义．【思路点睛】先求出1n n n +∆A B B 的高，再求出1n n n +∆A B B 和112n n n +++∆A B B 的面积n S 和1n S +，进而根据等差数列的定义可得1n n S S +-为定值，即可得{}n S 是等差数列．5. 【2016年高考理数】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ) （参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）（ A ）2018年（B ）2019年（C ）2020年（D ）2021年【答案】B 【解析】试题分析：设第n 年的研发投资资金为n a ，1130a =，则1130 1.12n n a -=⨯，由题意，需1130 1.12200n n a -=⨯≥，解得5n ≥，故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200万，选B.考点：等比数列的应用.【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作是等比数列的应用，解题时要注意把哪个作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可解得结论．6. 【2015高考，理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（）A.140,0a d dS >>B.140,0a d dS <<C.140,0a d dS ><D.140,0a d dS <> 【答案】B.【解析】∵等差数列}{n a ，3a ，4a ，8a 成等比数列，∴d a d a d a d a 35)7)(2()3(11121-=⇒++=+，∴d d a a a a S 32)3(2)(211414-=++=+=，∴03521<-=d d a ，03224<-=d dS ，故选B.【考点定位】1.等差数列的通项公式及其前n 项和；2.等比数列的概念【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列的概念等知识点，同时考查了学生的运算求解能力，属于容易题，将1a d ，4dS 表示为只与公差d 有关的表达式，即可求解，在解题过程中要注意等等差数列与等比数列概念以及相关公式的灵活运用.7.【2014高考理第2题】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( )139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列【答案】D 【解析】试题分析：因为数列{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则()22852391116a a a q a q a q a ⋅=⋅⋅⋅=⋅= 所以，369,,a a a 一定成等比数列，故选D.考点：1、等比数列的概念与通项公式；2、等比中项.【名师点睛】本题考查了等比数列的概念与通项公式，等比数列的性质，本题属于基础题，利用下标和相等的两项的积相等更能快速作答.8. 【2015高考，理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a =（）A 、-1B 、0C 、1D 、6【答案】B【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=⨯-=，选B .【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质. 【名师点晴】本题可以直接利用等差数列的通项公式求解，也可应用等差数列的性质求解，主要考查学生灵活应用基础知识的能力.是基础题.9.【2014，理3】等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D【答案】C 【解析】试题分析：假设公差为d ,依题意可得1323212,22d d ⨯+⨯⨯=∴=.所以62(61)212a =+-⨯=.故选C.考点：等差数列的性质.【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及简单的计算问题，等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.10.【2015高考，理8】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】D【考点定位】等差中项和等比中项．【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等差数列或等比数列，项与项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进行讨论，属于难题．11. 【2014理8】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}na a 为递减数列，则（）A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d >【答案】C 【解析】试题分析：因为{}n a 是等差数列，则2(1)1111(1)22a a a a n dnna a n d +-=+-∴=，又由于1{2}n a a 为递减数列，所以1-01111221202a a na da a n a d +=>=∴<，故选C .考点：1.等差数列的概念；2.递减数列.【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式、数列的性质等，解答本题的关键，是写出等差数列的通项，利用1{2}na a 是递减数列，确定得到1-011122122a a na da a n +=>=，得到结论.本题是一道基础题.在考查等差数列等基础知识的同时，考查考生的计算能力.12. 【2015课标2理4】已知等比数列{}n a 满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++=( )A ．21B ．42C ．63D ．84 【答案】B【解析】设等比数列公比为q ，则2411121a a q a q ++=，又因为13a =，所以4260q q +-=，解得22q =，所以2357135()42a a a a a a q ++=++=，故选B ．【考点定位】等比数列通项公式和性质．【名师点睛】本题考查等比数列的通项公式和性质，通过求等比数列的基本量，利用通项公式求解，若注意到项的序号之间的关系，则可减少运算量，属于基础题．二、填空题1. 【2016高考理数】设数列{a n}的前n 项和为S n.若S 2=4，an +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1=，S 5=.【答案】1121 【解析】试题分析：1221124,211,3a a a a a a +==+⇒==，再由111121,21(2)23(2)n n n n n n n n n a S a S n a a a a a n +-++=+=+≥⇒-=⇒=≥，又213a a =，所以515133(1),S 121.13n n a a n +-=≥==-考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的前n 项和．【易错点睛】由121n n a S +=+转化为13n n a a +=的过程中，一定要检验当1n =时是否满足13n n a a +=，否则很容易出现错误．2. 【2014高考理第12题】若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n =时，{}n a 的前n 项和最大.【答案】8考点：等差数列的性质，前n 项和的最值，容易题.【名师点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列的通项公式及前n 项和公式，本题属于基础题，由于题目提供a 7＋a 8＋a 9＞0，a 7＋a 10＜0，推出890,0a a ><，从而说明数列{a n }的前8项和最大.这个题目命题角度新颖，不需死套公式，重视对知识的理解和对知识本质的考查.3.【2016年高考理数】已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______.【答案】6【解析】试题分析：∵{}n a 是等差数列，∴35420a a a +==，40a =，4136a a d -==-，2d =-，∴616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-=，故填：6．考点：等差数列基本性质.【名师点睛】在等差数列五个基本量1a ，d ，n ，n a ，n S 中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前n 项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换及方程思想的应用.4. 【2014高考卷.理.13】若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++=.【答案】50.【解析】由题意知51011912101122a a a a a a e +==，所以51011a a e =，因此()()()()()101055012201202191011101110a a a a a a a a a a a e e ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅===对，因此()1250122020ln ln ln ln ln 50a a a a a a e ⋅⋅⋅+=++==.【考点定位】本题考查等比数列的基本性质与对数的基本运算，属于中等偏难题. 【名师点晴】本题主要考查的是等比数列的性质和对数的基本运算，属于中等偏难题．解题时要抓住关键字眼“正数”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等比数列的性质和对数的基本运算，即等比数列{}n a 中，若m n p q +=+（m 、n 、p 、q *∈N ），则m n p q a a a a =，()log log log a a a MN =M +N （0a >，1a ≠，0M >，0N >）．5. 【2015高考，理10】在等差数列中，若，则=.【答案】．【解析】因为是等差数列，所以，即，所以，故应填入．【考点定位】等差数列的性质．【名师点睛】本题主要考查等差数列性质及其简单运算和运算求解能力，属于容易题，解答{}n a 2576543=++++a a a a a 82a a +10{}n a 37462852a a a a a a a +=+=+=345675525a a a a a a ++++==55a =285210a a a +==10此题关键在于熟记，及其熟练运用．6.【2016高考新课标1卷】设等比数列{}na满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为．【答案】64考点：等比数列及其应用【名师点睛】高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应用,尽量避免小题大做.7.【2016高考卷】已知{}na是等差数列，{S}n是其前n项和.若21253,S=10a a+=-，则9a 的值是▲ .【答案】20.【解析】由510S=得32a=，因此2922(2d)33,23620.d d a-+-=-⇒==+⨯=考点：等差数列性质【名师点睛】本题考查等差数列基本量，对于特殊数列，一般采取待定系数法，即列出关于首项及公差的两个独立条件即可.为使问题易于解决，往往要利用等差数列相关性质，如*1()(),(1,)22n m tnn a a n a aS m t n m t n N++==+=+∈、、及等差数列广义通项公式().n ma a n m d=+-8.【2014，理7】在各项均为正数的等比数列{}na中，若21a=，8642a a a=+，则6a的值是.【答案】4．【解析】设公比为q，因为21a=，则由8642a a a=+得6422q q a=+，4220q q--=，()*,,,m n p qa a a a m n p q N m n p q+=+∈+=+且()*2,,2m n pa a a m n p N m n p+=∈+=且解得22q =，所以4624a a q ==．【考点定位】等比数列的通项公式．【名师点晴】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为1a 和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-及前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+，共涉及五个量1,,,,n n a d n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量1a 、d ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．9. 【2015高考，11】数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为【答案】2011【解析】由题意得：112211(1)()()()1212n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-++-+=+-+++=所以1011112202(),2(1),11111n n n S S a n n n n =-=-==+++ 【考点定位】数列通项，裂项求和【名师点晴】由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝f (n )·a n ，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，转化为特殊数列求通项．数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用.10. 【2015高考，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．【答案】5【解析】设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5．【考点定位】等差中项．【名师点晴】本题主要考查的是等差中项，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“中位数”和“等差数列”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等差中项的概念，即若a ，A ，b 成等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项，即2a b A =+．11.【2015高考新课标2，理16】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．【答案】1n-【考点定位】等差数列和递推关系．【名师点睛】本题考查数列递推式和等差数列通项公式，要搞清楚项n a 与n S 的关系，从而转化为1n S +与n S 的递推式，并根据等差数列的定义判断1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，属于中档题． 12. 【2014，理12】数列{}n a 是等差数列，若1351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列，则q =________．【答案】1．【解析】试题分析：∵1351,3,5a a a +++成等比，∴2111(1)[14(1)][12(1)]a a d a d ++++=+++，令11,1a x d y +=+=，则2(4)(2)x x y x y +=+，即222444x xy x xy y +=++，∴0y=，即10d +=，∴1q =．考点：1．等差，等比数列的性质．【名师点睛】对于等差数列与等比数列综合考查的问题，要做到：①熟练掌握等差或等比数列的性质，尤其是m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+（等差数列），m n p q a a a a ⋅=⋅（等比数列）；②注意在平时提高自己的运算求解能力，尤其是换元法在计算题中的应用；③要熟练掌握数列中相关的通项公式，前n 项和公式等.13. 【2015高考，理14】已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于. 【答案】21n-【考点定位】1.等比数列的性质；2.等比数列的前n 项和公式.【名师点睛】对于等差数列与等比数列综合考查的问题，要做到：①熟练掌握等差或等比数列的性质，尤其是m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+（等差数列），m n p q a a a a ⋅=⋅（等比数列）；②注意题目给定的限制条件，如本题中“递增”，说明1q >；③要熟练掌握数列中相关的通项公式，前n 项和公式等.14. 【2014，理11】设na 是首项为1a ，公差为1的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________．【答案】12-．【解析】试题分析：依题意得2214S S S ，∴21112146a a a ，解得112a ．考点：1．等差数列、等比数列的通项公式；2．等比数列的前n 项和公式．【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，本题属于基础题，利用等差数列的前n 项和公式表示出，，，421S S S 然后依据，，，421S S S 成等比数列，列出方程求出首项.这类问题考查等差数列和等比数列的基本知识，大多利用通项公式和前n 项和公式通过列方程或方程组就可以解出.15. 【2015理14】设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且13S ，22S ，3S 成等差数列，则n a =. 【答案】13-n .【解析】试题分析：∵13S ，22S ，3S 成等差数列，∴333)(2223321121=⇒=⇒+++=+⨯q a a a a a a a a ，又∵等比数列}{n a ，∴1113--==n n n q a a . 【考点定位】等差数列与等比数列的性质.【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列基本量q 的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.三、解答题 1.【2016高考新课标2理数】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，．（Ⅰ）求111101b b b ，，；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和．【答案】（Ⅰ）10b =，111b =，1012b =；（Ⅱ）1893. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先用等差数列的求和公式求公差d ，从而求得通项n a ，再根据已知条件[]x 表示不超过x 的最大整数，求111101b b b ，，；（Ⅱ）对n 分类讨论，再用分段函数表示n b ，再求数列{}n b 的前1 000项和．试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，据已知有72128d +=，解得 1.d = 所以{}n a 的通项公式为.n a n =111101[lg1]0,[lg11]1,[lg101] 2.b b b ======（Ⅱ）因为0,110,1,10100,2,1001000,3,1000.n n n b n n ≤<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪=⎩所以数列{}n b 的前1000项和为1902900311893.⨯+⨯+⨯= 考点：等差数列的的性质，前n 项和公式，对数的运算.【名师点睛】解答新颖性的数学题，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点.于是，B m ＝A m －d m ＞2－1＝1，B m －1＝min{a m ，B m }≥2. 故d m －1＝A m －1－B m －1≤2－2＝0，与d m －1＝1矛盾．所以对于任意n ≥1，有a n ≤2，即非负整数列{a n }的各项只能为1或2. 因为对任意n ≥1，a n ≤2＝a 1，所以A n ＝2.故B n ＝A n －d n ＝2－1＝1.因此对于任意正整数n ，存在m 满足m ＞n ，且a m ＝1，即数列{a n }有无穷多项为1. 考点定位：本题考查新定义信息题，考查学生对新定义的理解能力和使用能力。

2014高考数学理(真题讲练规律总结名师押题)热点专题突破：第九讲等差数列、等比数列

第九讲等差数列、等比数列数列等差数列通项公式定义前n 项和公式性质等比数列通项公式定义前n 项和公式性质1．(等比数列的前n 项和)(2013·北京高考)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝______；前n 项和S n ＝________.【解析】设出等比数列的公比，利用已知条件建立关于公比的方程求出公比，再利用前n 项和公式求S n .设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则：由a 2＋a 4＝20得a 1q (1＋q 2)＝20.① 由a 3＋a 5＝40得a 1q 2(1＋q 2)＝40.② 由①②解得q ＝2，a 1＝2.故S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.【答案】 2 2n ＋1－22．(等差数列的性质)在等差数列{a n }中，若a 2，a 2 014为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 1＋a 1 008＋a 2 015＝________.【解析】由题意知a 2＋a 2 014＝10，所以a 1 008＝5. 所以a 1＋a 1 008＋a 2 015＝3a 1 008＝3×5＝15. 【答案】 153．(等比数列的性质)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝________.【解析】在等比数列{a n }中，a 3a 7＝a 25；a 2a 6＝a 3a 5，所以a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝(22)2＝8.【答案】 84．(等差数列的通项公式)若数列{a n }满足1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，且a 1＝3，则a n ＝________ .【解析】由1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，得1a n ＋1－1a n＝2，∴数列{1a n }是首项为13，公差为2的等差数列．∴1a n ＝13＋(n －1)×2＝2n －53， ∴a n ＝36n －5.【答案】36n －55．(等差数列前n 项和)已知正数组成的等差数列{a n }，其前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是__________．【解析】 ∵S 20＝20(a 1＋a 20)2＝100，∴a 1＋a 20＝10. ∵a n >0，∴a 7·a 14≤(a 7＋a 142)2＝(a 1＋a 202)2＝25，当且仅当a 7＝a 14时取“＝”．【答案】 25(1)(2013·课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)(2013·湖北高考)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125. ①求数列{a n }的通项公式．②是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．【思路点拨】 (1)先求a m ，a m ＋1，再根据a m ，a m ＋1，S m 列方程组求m .(2)①先求得a 1和公比q ，再求通项公式；②根据数列 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 仍然构成等比数列可求得数列 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前m 项和，进而作出判断．【自主解答】 (1)∵{a n }是等差数列，S m －1＝－2，S m ＝0， ∴a m ＝S m －S m －1＝2.∵S m ＋1＝3，∴a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， ∴d ＝a m ＋1－a m ＝1.又S m ＝m (a 1＋a m )2＝m (a 1＋2)2＝0，∴a 1＝－2，∴a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，∴m ＝5. 【答案】 C(2)①设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝53，q ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，q ＝－1.故a n ＝53·3n －1，或a n ＝－5·(－1)n －1.②若a n ＝53·3n －1，则1a n ＝35·⎝⎛⎭⎫13n －1，故数列 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为35，公比为13的等比数列．从而∑n ＝1m 1a n＝35·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m 1－13＝910·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m <910<1.若a n ＝(－5)·(－1)n －1，则1a n ＝－15(－1)n －1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列，从而∑n ＝1m 1a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ＝2k －1(k ∈N ＋)，0，m ＝2k (k ∈N ＋).故∑n ＝1m 1a n <1.故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1成立．1．本例(2)中，通项公式含(－1)n －1，故需分n 为奇数与偶数两种情况讨论．2．涉及等差(比)数列的运算，一般是利用等差(比)数列的通项公式、求和公式“知三求二”．体现了方程思想的应用．3．在使用等比数列前n 项和公式时，若公比q 不能确定是否为1，应分q ＝1和q ≠1两种情况讨论．变式训练1 (2013·潍坊模拟)在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m,92m )内的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m 项和S m .【解】 (1)因为{a n }是一个等差数列，所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝84，所以a 4＝28. 设数列{a n }的公差为d ，则5d ＝a 9－a 4＝73－28＝45，故d ＝9. 由a 4＝a 1＋3d 得28＝a 1＋3×9，即a 1＝1，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋9(n －1)＝9n －8(n ∈N *)． (2)对m ∈N *，若9m <a n <92m ，则9m ＋8<9n <92m ＋8，因此9m －1＋1≤n ≤92m －1，故得b m ＝92m －1－9m －1.于是S m ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b m＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1)＝9×(1－81m )1－81－(1－9m )1－9＝92m ＋1－10×9m ＋180.【命题要点】 ①利用等差数列的性质求某一项，求和；②利用等比数列的性质，求值.(1)等差数列{a n }中，如果a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，数列{a n }前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．66(2)(2013·三门峡模拟)在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( )A ．9B ．1C ．2D ．3【思路点拨】 (1)先求a 4和a 6，然后再根据a 1＋a 9＝a 4＋a 6求S 9.(2)先求a 7，再利用a 29＝a 11·a 7求解．【自主解答】 (1)由a 1＋a 4＋a 7＝39，得3a 4＝39，a 4＝13. 由a 3＋a 6＋a 9＝27，得3a 6＝27，a 6＝9. 所以S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝9×(13＋9)2＝99.(2)由a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243得a 7＝3，所以a 29a 11＝a 11·a 7a 11＝a 7＝3.【答案】 (1)C (2)D1．本例(2)用a 29＝a 11a 7求解，过程简单，当然也可以把a 9、a 11用a 7、公比q 表示出来，求解．2．等差、等比数列的性质n 123345＝18，则a 2a 3a 4＝( ) A ．512 B ．64 C ．1 D.1512【解析】因为a 1a 2a 3＝a 32＝8，a 3a 4a 5＝a 34＝18. 由题意知数列{a 3n }也是等比数列，且各项为正．故a 2a 3a 4＝a 33＝1.【答案】 C【命题要点】 ①判定或证明一个数列是等差数列；②判定或证明一个数列是等比数列.(2013·北京高考)给定数列a 1，a 2，…，a n ，对i ＝1,2，…，n －1，该数列前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项a i ＋1，a i ＋2，…，a n 的最小值记为B i ，d i ＝A i －B i .(1)设数列{a n }为3,4,7,1，写出d 1，d 2，d 3的值；(2)设a 1，a 2，…，a n (n ≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1>0，证明：d 1，d 2，…，d n－1是等比数列；(3)设d 1，d 2，…，d n －1是公差大于0的等差数列，且d 1>0，证明：a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．【思路点拨】 (1)根据d i 的定义求解．(2)需根据题意求出d n 的通项公式后利用定义证明． (3)利用等差数列的定义证明．【自主解答】 (1)d 1＝2，d 2＝3，d 3＝6. (2)证明：因为a 1>0，公比q >1，所以a 1，a 2，…，a n 是递增数列．因此，对i ＝1,2，…，n －1，A i ＝a i ，B i ＝a i ＋1. 于是对i ＝1,2，…，n －1， d i ＝A i －B i ＝a i －a i ＋1＝a 1(1－q )q i －1.因此d i ≠0且d i ＋1d i ＝q (i ＝1,2，…，n －2)，即d 1，d 2，…，d n －1是等比数列．(3)证明：设d 为d 1，d 2，…，d n －1的公差．对1≤i ≤n －2，因为B i ≤B i ＋1，d >0，所以A i ＋1＝B i ＋1＋d i ＋1≥B i ＋d i ＋d >B i ＋d i ＝A i . 又因为A i ＋1＝max{A i ，a i ＋1}，所以a i ＋1＝A i ＋1>A i ≥a i .从而a 1，a 2，…，a n －1是递增数列．因此A i ＝a i (i ＝1,2，…，n －2)．又因为B 1＝A 1－d 1＝a 1－d 1<a 1，所以B 1<a 1<a 2<…<a n －1. 因此a n ＝B 1.所以B 1＝B 2＝…＝B n －1＝a n . 所以a i ＝A i ＝B i ＋d i ＝a n ＋d i .因此对i ＝1,2，…，n －2都有a i ＋1－a i ＝d i ＋1－d i ＝d ，即a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．1．等差数列的判断方法：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)． 2．等比数列的判定方法：(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2≠0(n ∈N *)． (3)通项公式：a n ＝cq n －1(c 、q 均为非零的常数，n ∈N *)．3．要证明一个数列是等差(比)数列必须用定义法或等差(比)中项法．变式训练3 已知数列{a n }满足a 1＝14，a 2＝34，a n ＋1＝2a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b 1＝12，3b n －b n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{b n －a n }为等比数列，并求出数列{b n }的通项公式．【解】 (1)由a n ＋1＝2a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，可得a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)．∴数列{a n }是首项为a 1＝14，公差为d ＝a 2－a 1＝12的等差数列．∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12n －14(n ∈N *)，即a n ＝12n －14(n ∈N *)．(2)由3b n －b n －1＝n ，得b n ＝13b n －1＋13n (n ≥2，n ∈N *)，∴b n －a n ＝13b n －1＋13n －12n ＋14＝13b n －1－16n ＋14＝13(b n －1－12n ＋34) ＝13[b n －1－12(n －1)＋14] ＝13(b n －1－a n －1)．又b 1－a 1＝14≠0，∴b n －a n ≠0(n ∈N *)，得b n －a n b n －1－a n －1＝13(n ≥2，n ∈N *)，即数列{b n －a n }是首项为b 1－a 1＝14，公比为13的等比数列．于是，b n －a n ＝14·(13)n －1，即b n ＝2n －14＋14·(13)n －1＝14[(13)n －1＋2n －1](n ∈N *).等差、等比数列的通项公式a n 与前n 项和S n 是高考必考内容，其中把非等差、等比数列的求和问题转化为等差、等比数列的求和问题，体现了转化与化归的数学思想，是高考命题的生长点．可转化为等差、等比数列的求和问题(12分)等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列．n (2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 【规范解答】 (1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意；当a 1＝10时，不合题意．因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18，所以公比q ＝3. 故a n ＝2·3n －1.4分(2)因为b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n [ln 2＋(n －1)ln 3]＝2·3n －1＋(－1)n (ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，所以S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n ](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)n n ]ln 3.8分所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n 1－3＋n 2ln 3＝3n ＋n2ln 3－1；10分当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n 1－3－(ln 2－ln 3)＋(n －12－n )ln 3＝3n －n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n＝⎩⎨⎧3n ＋n2ln 3－1，n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1，n 为奇数.12分【阅卷心语】易错提示 (1)在确定a 1，a 2，a 3的值时，不会分类讨论导致无法求解．(2)在求数列{b n }的前n 项和S n 时，不会把S n 拆分成几个可求和的数列的和的形式，从而无法求解．(3)在求数列{b n }的前n 项和S n 时，对n 没分偶数和奇数两种情况求解导致答案错误．防范措施 (1)当a 1的值不确定时，应对a 1的所有可能取值逐一进行讨论．(2)当通项公式a n 是多项和的形式时，常把前n 项和S n 拆分成几个等差(比)数列和的形式求解．(3)数列问题中若遇到(－1)n 则需考虑n 的奇偶性对所求数值的影响．必要时应分n 为奇数和n 为偶数两种情况讨论．1．若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝－36，S 13＝－104，则a 5与a 7的等比中项为( ) A ．42 B ．±42 C ．4 D ．±4 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由题意知 ⎩⎨⎧S 9＝9a 1＋9×82d ＝－36，S 13＝13a 1＋13×122d ＝－104，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝－2.∴a 5＝a 1＋4d ＝－4，a 7＝a 1＋6d ＝－8， ∴a 5a 7＝32，故a 5与a 7的等比中项为±4 2. 【答案】 B2．数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n， 0≤a n＜12，2a n－1， 12≤a n＜1，若a 1＝35，则数列的第2 013项为( )A.15B.25C.35D.45【解析】由题意知a 2＝2a 1－1＝2×35－1＝15，a 3＝2a 2＝25，a 4＝2a 3＝45，a 5＝2a 4－1＝2×45－1＝35，a 6＝2a 5－1＝2×35－1＝15，…从而数列{a n }的各项周期性出现，周期为4，故a 2 013＝a 1＝35.【答案】 C第11 页共11 页。

2014年辽宁省高考数学试卷(理科)答案与解析

2014年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•辽宁）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：先求A∪B，再根据补集的定义求C U（A∪B）．解答：解：A∪B={x|x≥1或x≤0}，∴C U（A∪B）={x|0＜x＜1}，故选：D．点评：本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法．2．（5分）（2014•辽宁）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z可求．解答：解：由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得：，∴z=2+3i．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．3．（5分）（2014•辽宁）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a考点：对数的运算性质．专题：计算题；综合题．分析：利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．解答：解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：C．点评：本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．4．（5分）（2014•辽宁）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．解答：解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选B．点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．5．（5分）（2014•辽宁）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）考点：复合命题的真假；平行向量与共线向量．专题：简易逻辑．分析：根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．解答：解：若•=0，•=0，则•=•，即（﹣）•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题，若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，故选：A．点评：本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假是解决本题的关键．6．（5分）（2014•辽宁）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．24考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理可得结论．解答：解：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理，6×4=24．故选：D．点评：本题考查排列知识的运用，考查乘法原理，先排人，再插入椅子是关键．7．（5分）（2014•辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣D．8﹣考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．解答：解：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π．故选：B．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．8．（5分）（2014•辽宁）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞0考点：数列的函数特性．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：由于数列{2}为递减数列，可得=＜1，解出即可．解答：解：∵等差数列{a n}的公差为d，∴a n+1﹣a n=d，又数列{2}为递减数列，∴=＜1，∴a1d＜0．故选：C．点评：本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识与基本技能方法，属于中档题．9．（5分）（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．解答：解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．即y=3sin（2x﹣）．当函数递增时，由，得．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：B．点评：本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．10．（5分）（2014•辽宁）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意先求出准线方程x=﹣2，再求出p，从而得到抛物线方程，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线AB的斜率，再由两点的斜率公式得到方程，解出方程求出切点，再由两点的斜率公式求出BF的斜率．解答：解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，即准线方程为：x=﹣2，∴p＞0，=﹣2即p=4，∴抛物线C：y2=8x，在第一象限的方程为y=2，设切点B（m，n），则n=2，又导数y′=2，则在切点处的斜率为，∴即m=2m，解得=2（舍去），∴切点B（8，8），又F（2，0），∴直线BF的斜率为，故选D．点评：本题主要考查抛物线的方程和性质，同时考查直线与抛物线相切，运用导数求切线的斜率等，是一道基础题．11．（5分）（2014•辽宁）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3] A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣]考点：函数恒成立问题；其他不等式的解法．专题：综合题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．解答：解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，令f（x）=，则f′（x）==﹣（*），当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤，由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．故选：C．点评：本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集．12．（5分）（2014•辽宁）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：①f（0）=f（1）=0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（）A．B．C．D．考点：函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：依题意，构造函数f（x）=（0＜k＜），分x∈[0，]，且y∈[0，]；x∈[0，]，且y∈[，1]；x∈[0，]，且y∈[，1]；及当x∈[，1]，且y∈[，1]时，四类情况讨论，可证得对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜恒成立，从而可得m≥，继而可得答案．解答：解：依题意，定义在[0，1]上的函数y=f（x）的斜率|k|＜，依题意，k＞0，构造函数f（x）=（0＜k＜），满足f（0）=f（1）=0，|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．当x∈[0，]，且y∈[0，]时，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣ky|=k|x﹣y|≤k|﹣0|=k×＜；当x∈[0，]，且y∈[，1]，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣（k﹣ky）|=|k（x+y）﹣k|≤|k（1+）﹣k|=＜；当y∈[0，]，且x∈[，1]时，同理可得，|f（x）﹣f（y）|＜；当x∈[，1]，且y∈[，1]时，|f（x）﹣f（y）|=|（k﹣kx）﹣（k﹣ky）|=k|x﹣y|≤k×（1﹣）=＜；综上所述，对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜，∵对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，∴m≥，即m的最小值为．故选：B．点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查构造函数思想、分类讨论思想、函数方程思想与等价转化思想的综合运用，考查分析、推理及运算能力，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2014年全国统一高考数学试卷(理科)及答案

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•河南）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2）C．[﹣1，1]D．[1，2）2．（5分）（2014•河南）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）（2014•河南）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．f（x）g（x）是偶函数B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（x）|g（x）|是奇函数D．|f（x）g（x）|是奇函数4．（5分）（2014•河南）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m5．（5分）（2014•河南）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）（2014•河南）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）（2014•河南）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．8．（5分）（2014•河南）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=9．（5分）（2014•河南）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p310．（5分）（2014•河南）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．211．（5分）（2014•河南）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）12．（5分）（2014•河南）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（2014•河南）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为_________．（用数字填写答案）14．（5分）（2014•河南）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为_________．15．（5分）（2014•河南）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为_________．16．（5分）（2014•河南）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为_________．三、解答题17．（12分）（2014•河南）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．18．（12分）（2014•河南）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z﹣N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．19．（12分）（2014•河南）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．（12分）（2014•河南）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．21．（12分）（2014•河南）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：集合证明选讲22．（10分）（2014•河南）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2014•河南）已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．选修4-5：不等式选讲24．（2014•河南）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•河南）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2）C．[﹣1，1]D．[1，2）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：A={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≥3或x≤﹣1}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B={x|﹣2≤x≤﹣1}，故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）（2014•河南）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．解答：解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，故选：D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）（2014•河南）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．f（x）g（x）是偶函数B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（x）|g（x）|是奇函数D．|f（x）g（x）|是奇函数考点：函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，从而得出结论．解答：解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f（x）|g（x）|为奇函数，故选：C．点评：本题主要考查函数的奇偶性，注意利用函数的奇偶性规律，属于基础题．4．（5分）（2014•河南）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．解答：解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C 的一条渐近线的距离为=．故选：A．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．5．（5分）（2014•河南）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：计算题；概率与统计．分析：求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．解答：解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故选：D．点评：本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．6．（5分）（2014•河南）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x 的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P 做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x 的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．考点：抽象函数及其应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．解答：解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选C．点评：本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．7．（5分）（2014•河南）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：概率与统计．分析：根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．解答：解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．故选：D．点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．8．（5分）（2014•河南）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．解答：解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα．由等式右边为单角α，左边为角α与β的差，可知β与2α有关．排除选项A，B后验证C，当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故选：C．点评：本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．9．（5分）（2014•河南）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3考点：命题的真假判断与应用．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．解答：解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，显然，区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故A：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；在直线x+2y=2的右上方区域，：∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；由图知，p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误；x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．10．（5分）（2014•河南）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．2考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．解答：解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴直线PF的斜率为﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．点评：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．11．（5分）（2014•河南）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，由于而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，可知：存在x0＞0，使得f（x0）=0，要使满足条件f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则必须极小值＞0，解出即可．解答：解：当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：x （﹣∞，0）0f′（x）+0 ﹣0 +f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵x→+∞，f（x）→+∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：0 （0，+∞）x（﹣∞，）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值=，化为a2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：C．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．12．（5分）（2014•河南）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．解答：解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，∴．AC==6，AD=4，显然AC最长．长为6．故选：B．点评：本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（2014•河南）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为﹣20．（用数字填写答案）考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．解答：解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：=8．含x2y6的系数是=28，∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．故答案为：﹣20点评：本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．14．（5分）（2014•河南）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为A．考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．解答：解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．点评：本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．15．（5分）（2014•河南）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为90°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．解答：解：在圆中若=（+），即2=+，即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为临边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°点评：本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）（2014•河南）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理可得b2+c2﹣bc=4．再利用基本不等式可得bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得它的面积的值．解答：解：△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，∴利用正弦定理可得4﹣b2=（c﹣b）c，即b2+c2﹣bc=4．再利用基本不等式可得4≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，它的面积为==，故答案为：．点评：本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．三、解答题17．（12分）（2014•河南）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．考点：数列递推式；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，相减即可得出；（Ⅱ）对λ分类讨论：λ=0直接验证即可；λ≠0，假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．可得λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，．得到λS n=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ即可．解答：（Ⅰ）证明：∵a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，∴a n+1（a n+2﹣a n）=λa n+1∵a n+1≠0，∴a n+2﹣a n=λ．（Ⅱ）解：①当λ=0时，a n a n+1=﹣1，假设{a n}为等差数列，设公差为d．则a n+2﹣a n=0，∴2d=0，解得d=0，∴a n=a n+1=1，∴12=﹣1，矛盾，因此λ=0时{a n}不为等差数列．②当λ≠0时，假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．则λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，∴．∴，，∴λS n=1+=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，a n=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{a n}为等差数列．点评：本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．18．（12分）（2014•河南）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z﹣N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．解答：解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．点评：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．19．（12分）（2014•河南）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；空间向量的夹角与距离求解公式．专题：空间向量及应用．分析：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．解答：解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为点评：本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）（2014•河南）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设F（c，0），利用直线的斜率公式可得，可得c．又，b2=a2﹣c2，即可解得a，b；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出S△OPQ．通过换元再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（Ⅰ）设F（c，0），∵直线AF的斜率为，∴，解得c=．又，b2=a2﹣c2，解得a=2，b=1．∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2．联立，化为（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0时，即时，，．∴|PQ|===，点O到直线l的距离d=．∴S△OPQ==，设＞0，则4k2=t2+3，∴==1，当且仅当t=2，即，解得时取等号．满足△＞0，∴△OPQ的面积最大时直线l的方程为：．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、椭圆的方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了换元法和转化方法，属于难题．21．（12分）（2014•河南）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x ﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h（x）max；解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx+，从而f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．设函数h（x）=，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．点评：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：集合证明选讲22．（10分）（2014•河南）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；几何证明．分析：（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE 为等边三角形．解答：证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．点评：本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2014•河南）已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．解答：解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．点评：本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．选修4-5：不等式选讲24．（2014•河南）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．考点：基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥4，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根据ab≥4及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．解答：解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）由（1）可知，2a+3b≥2=2≥4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．点评：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．参与本试卷答题和审题的老师有：lincy；caoqz；wyz123；刘长柏；sxs123；wfy814；孙佑中；minqi5；清风慕竹；maths；qiss（排名不分先后）菁优网2014年6月23日。

2014年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2} 2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．54．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．15．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.456．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．78．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．39．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．210．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．【解答】解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A．【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．5【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．【解答】解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．1【考点】HR：余弦定理．【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．7【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．3【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】52：导数的概念及应用．【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．【解答】解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故选：D．【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．2【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（5，2）代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B 两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．【解答】解：由y2=2px，得2p=3，p=，则F（，0）．∴过A，B的直线方程为y=（x﹣），即x=y+．联立，得4y2﹣12y﹣9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y 1+y 2=3，y 1y 2=﹣．∴S△OAB =S △OAF +S△OFB =×|y 1﹣y 2|==×=．故选：D ．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．11．（5分）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为（） A ．B ．C ．D ．【考点】LM ：异面直线及其所成的角．【专题】5F ：空间位置关系与距离．【分析】画出图形，找出BM 与AN 所成角的平面角，利用解三角形求出BM 与AN 所成角的余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，如图：BC 的中点为O ，连结ON ，，则MN0B 是平行四边形，BM 与AN 所成角就是∠ANO ，∵BC=CA=CC 1，设BC=CA=CC 1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO 中，由余弦定理可得：cos ∠ANO===．故选：C ．【点评】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈Z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围．【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，即=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为T r=•x10﹣r•a r，+1令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为1．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．【解答】解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos （x+φ）=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，故函数f（x）的最大值为1，故答案为：1．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2）是解决本题的关键．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和．【专题】14：证明题；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．【解答】证明（Ⅰ）==3，∵≠0，∴数列{a n+}是以首项为，公比为3的等比数列；∴a n+==，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴＜=，∴当n=1时，成立，当n≥2时，++…+＜1+…+==＜．时，++…+＜．∴对n∈N+【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∴CD⊥MD．∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，=×（1+2+3+4+5+6+7）=4，=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，∴== =0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．【点评】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g′（x）＞0是否成立”的问题；对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法利用的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=e x+e﹣x﹣2，即f′（x）≥0，当且仅当e x=e﹣x即x=0时，f′（x）=0，∴函数f（x）在R上为增函数．（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，则g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（e x+e﹣x）2﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（e x+e﹣x﹣2）（e x+e﹣x+2﹣2b）．①∵e x+e﹣x＞2，e x+e﹣x+2＞4，∴当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．②当b＞2时，若x满足2＜e x+e﹣x＜2b﹣2即，得，此时，g′（x）＜0，又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．（Ⅲ）∵1.4142＜＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（x）的解析式中，得．当b=2时，由g（x）＞0，得，从而；令，得＞2，当时，由g（x）＜0，得，得．所以ln2的近似值为0.693．【点评】1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．3．本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值，达到了估值的目的．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【考点】N4：相似三角形的判定；NC：与圆有关的比例线段．【专题】17：选作题；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程．（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=，t=．故D的直角坐标为，即（，）．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2014年高考全国卷1理科数学试题及答案-

2014年普通高等学校招生全国统一考试一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1. 已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2）2. 32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i -- 3. 设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4. 已知F 是双曲线C ：223(0)x m y m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A .3 B .3 C .3m D .3m5. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .786. 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线O A ，终边为射线O P ，过点P 作直线O A 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线O P 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为7. 执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .1588. 设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1s in ta n c o s βαβ+=，则 A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=9. 不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x yD x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x yD x y ∃∈+≤-. 其中真命题是 A .2p ，3P B .1p ，4p C .1p ，2p D .1p ，3P10. 已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4F P F Q =，则||QF =A .72 B .52C .3D .2 11. 已知函数()f x =3231a x x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为 A .（2，+∞） B .（-∞，-2） C .（1，+∞） D .（-∞，-1）12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A .62B .42C .6D .4二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

2014年安徽高考理科数学试题及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间为120分钟。

参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 与B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷（选择题共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若z=1+I,则iz +i ·z = （A ）-2 （B ）-2i（C ）2 （D ）2i（2）“x ＜0”是ln （x+1）＜0的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ）34（B ）55（C ）78（D ）89(4) 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。

已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=3,1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（A ）14 （B ）214（C ）2 （D ）22（5）x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为（A ）21 或-1 （B ）2或21 （C ）2或1 （D ）2或-1 （6）设函数f(x)（x ∈R ）满足f(x+π)=f(x)+sinx.当0≤x ≤π时，f(x)=0，则)623(πf = （A ）21 （B ）23 （C ）0 （D ）21- （7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（A ）321+ （B ）318+ （C ）21 （D ）18（8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（A ）24对（B ）30对（C ）48对（D ）60对（9）若函数f(x)=| x+1 |+| 2x+a |的最小值为3，则实数a 的值为（A ）5或8 （B ）-1或5（C ）-1或 -4 （D ）-4或8（10）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量啊a , b , | a | = | b | = 1 , a ·b = 0,点Q 满足OQ =2( a + b ).曲线C={ P | =a cos θ + b sin θ ,0≤θ<2π},区域Ω={ P | 0 < r ≤| | ≤ R , r < R },若C ⋂Ω为两段分离的曲线，则（A ）1 < r < R <3 （B ）1 < r < 3 ≤ R（C ）r ≤ 1 < R <3 （D ）1 < r < 3 < R2014普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅱ卷（非选择题共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．。

2014届高考数学(理)第一轮复习学案——等比数列及其前n项和含解析

等比数列及其前n 项和[知识能否忆起]1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列{a n }的常用性质(1)在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2r (m ，n ，p ，q ，r ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r . 特别地，a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2＝….(2)在公比为q 的等比数列{a n }中，数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列，公比为q k ；数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时q ≠－1)； a n ＝a m q n－m.[小题能否全取]1．(教材习题改编)等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16D ．32解析：选C a 2·a 6＝a 24＝16.2．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝( )A ．4·⎝⎛⎭⎫32nB ．4·⎝⎛⎭⎫23nC ．4·⎝⎛⎭⎫32n －1D ．4·⎝⎛⎭⎫23n －1 解析：选C (a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)⇒a ＝5， a 1＝4，q ＝32，故a n ＝4·⎝⎛⎭⎫32n －1. 3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( ) A ．64 B ．81 C ．128D ．243解析：选A q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝2，故a 1＋a 1q ＝3⇒a 1＝1，a 7＝1×27－1＝64.4．(2011·北京高考)在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝4，则公比q ＝________；a 1＋a 2＋…＋a n ＝________.解析：a 4＝a 1q 3，得4＝12q 3，解得q ＝2，a 1＋a 2＋…＋a n ＝12(1－2n )1－2＝2n －1－12.答案：2 2n －1－125．(2012·新课标全国卷)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.解析：∵S 3＋3S 2＝0，∴a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0， ∴a 1(4＋4q ＋q 2)＝0. ∵a 1≠0，∴q ＝－2. 答案：－2 1.等比数列的特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非零常数． (2)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. 2．等比数列的前n 项和S n(1)等比数列的前n 项和S n 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．(2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误．等比数列的判定与证明典题导入[例1] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n . (1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[自主解答] (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12. ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1， ∴a 1＝12，c 1＝－12.又c n ＝a n －1，故{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)可知c n ＝⎝⎛⎭⎫－12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n ， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝⎛⎭⎫12n.在本例条件下，若数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，证明{b n }是等比数列．证明：∵由(2)知a n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n ， ∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1 ＝1－⎝⎛⎭⎫12n －⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －1 ＝⎝⎛⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫12n .又b 1＝a 1＝12也符合上式，∴b n ＝⎝⎛⎭⎫12n . ∵b n ＋1b n ＝12，∴数列{b n }是等比数列．由题悟法等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．以题试法1． (2012·沈阳模拟)已知函数f (x )＝log a x ，且所有项为正数的无穷数列{a n }满足log a a n ＋1－log a a n ＝2，则数列{a n }()A ．一定是等比数列B ．一定是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列又不是等比数列解析：选A 由log a a n ＋1－log a a n ＝2，得log aa n ＋1a n ＝2＝log a a 2，故a n ＋1a n＝a 2.又a >0且a ≠1，所以数列{a n }为等比数列．等比数列的基本运算典题导入[例2] (2011·全国高考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .[自主解答] 设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3. 当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3×(2n －1)；当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n －1.由题悟法1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，切不可忽视q 的取值而盲目用求和公式．以题试法2．(2012·山西适应性训练)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝2，且a 2，a 4，a 8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{3a n }的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)．因为a 2，a 4，a 8成等比数列，所以(2＋3d )2＝(2＋d )·(2＋7d )，解得d ＝2.所以a n ＝2n (n ∈N *)．(2)由(1)知3a n ＝32n ，设数列{3a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝32＋34＋ (32)＝9(1－9n )1－9＝98(9n －1)．等比数列的性质典题导入[例3] (1)(2012·威海模拟)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )A.12 B.32C ．1D ．－32(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( ) A ．1∶2 B ．2∶3 C ．3∶4D ．1∶3[自主解答] (1)因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3.log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7 ＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74 ＝7log 33π3＝7π3，故sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. (2)由等比数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34.[答案] (1)B (2)C由题悟法等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式a n ＝f (n )的下标n 的大小关系，可简化题目的运算．以题试法3．(1)(2012·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5D ．－7(2)(2012·成都模拟)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n )C.323(1－4－n )D.323(1－2－n ) 解析：(1)选D 法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.则⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.(2)选C ∵a 2＝2，a 5＝14，∴a 1＝4，q ＝12，a n a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫122n －5. 故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n )．1．设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q 为( )A ．－12 B ．1C ．－12或1D.14解析：选C 当q ＝1时，满足S 3＝3a 1＝3a 3. 当q ≠1时，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1＋q ＋q 2)＝3a 1q 2，解得q ＝－12，综上q ＝－12或q ＝1.2．(2012·东城模拟)设数列{a n }满足：2a n ＝a n ＋1(a n ≠0)(n ∈N *)，且前n 项和为S n ，则S 4a 2的值为( )A.152 B.154 C ．4D ．2解析：选A 由题意知，数列{a n }是以2为公比的等比数列，故S 4a 2＝a 1(1－24)1－2a 1×2＝152.3．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B ∵a 3·a 11＝16，∴a 27＝16. 又∵等比数列{a n }的各项都是正数，∴a 7＝4. 又∵a 10＝a 7q 3＝4×23＝25，∴log 2a 10＝5.4．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A 显然，n ∈N *，a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，则a 2n ＋1＝a n a n ＋2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1,0,0,0，…5．(2013·太原模拟)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16解析：选B 设S 2n ＝a ，S 4n ＝b ，由等比数列的性质知： 2(14－a )＝(a －2)2，解得a ＝6或a ＝－4(舍去)，同理(6－2)(b －14)＝(14－6)2，所以b ＝S 4n ＝30.6．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则mn ＝( )A.32 B.32或23C.23D ．以上都不对解析：选B 设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a <c <d <b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到c ＝1，d ＝2，则m ＝a ＋b ＝92，n ＝c ＋d ＝3，或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，则m n ＝32或m n ＝23.7．已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.解析：由题意可知，b 6b 8＝b 27＝a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7，∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝16. 答案：168．(2012·江西高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.解析：由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0.由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，则S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝1－(－2)53＝11.答案：119．(2012·西城期末)已知{a n }是公比为2的等比数列，若a 3－a 1＝6，则a 1＝________；1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n＝________. 解析：∵{a n }是公比为2的等比数列，且a 3－a 1＝6，∴4a 1－a 1＝6，即a 1＝2，故a n ＝a 12n －1＝2n ，∴1a n ＝⎝⎛⎭⎫12n ，1a 2n ＝⎝⎛⎭⎫14n ，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 是首项为14，公比为14的等比数列， ∴1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ＝14⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝13⎝⎛⎭⎫1－14n . 答案：2 13⎝⎛⎭⎫1－14n 10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.解：(1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列，∴S n ＝2n －1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列， ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝2(1－4n )1－4＝2(4n －1)3.∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋2(4n －1)3＝22n ＋1＋13.11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ≠0，a 1为常数，且－a 1，S n ，a n ＋1成等差数列． (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－S n ，问：是否存在a 1，使数列{b n }为等比数列？若存在，求出a 1的值；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，得2S n ＝a n ＋1－a 1.当n ≥2时，有⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－a 1，2S n －1＝a n －a 1.两式相减，得a n ＋1＝3a n (n ≥2)．又因为a 2＝2S 1＋a 1＝3a 1，a n ≠0，所以数列{a n }是首项为a 1，公比为3的等比数列．因此，a n ＝a 1·3n －1(n ∈N *)．(2)因为S n ＝a 1(1－3n )1－3＝12a 1·3n －12a 1，b n ＝1－S n ＝1＋12a 1－12a 1·3n .要使{b n }为等比数列，当且仅当1＋12a 1＝0，即a 1＝－2.所以存在a 1＝－2，使数列{b n }为等比数列．12． (2012·山东高考)已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和S m .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，前n 项和为T n ，由T 5＝105，a 10＝2a 5，得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×(5－1)2d ＝105，a 1＋9d ＝2(a 1＋4d )，解得a 1＝7，d ＝7.(2)对m ∈N *，若a n ＝7n ≤72m ，则n ≤72m －1.因此b m ＝72m －1.所以数列{b m }是首项为7，公比为49的等比数列，故S m ＝b 1(1－q m )1－q ＝7×(1－49m )1－49＝7×(72m －1)48＝72m ＋1－748.1．若数列{a n }满足a 2n ＋1a 2n＝p (p 为正常数，n ∈N *)，则称数列{a n }为“等方比数列”．甲：数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若a 2n ＋1a 2n ＝p ，则a n ＋1a n ＝±p ，不是定值；若a n ＋1a n ＝q ，则a 2n ＋1a 2n＝q 2，且q 2为正常数，故甲是乙的必要不充分条件．2．(2012·浙江高考)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.解析：法一：S 4＝S 2＋a 3＋a 4＝3a 2＋2＋a 3＋a 4＝3a 4＋2，将a 3＝a 2q ，a 4＝a 2q 2代入得， 3a 2＋2＋a 2q ＋a 2q 2＝3a 2q 2＋2，化简得2q 2－q －3＝0，解得q ＝32(q ＝－1不合题意，舍去)．法二：设等比数列{a n }的首项为a 1，由S 2＝3a 2＋2，得 a 1(1＋q )＝3a 1q ＋2.①由S 4＝3a 4＋2，得a 1(1＋q )(1＋q 2)＝3a 1q 3＋2.② 由②－①得a 1q 2(1＋q )＝3a 1q (q 2－1)． ∵q >0，∴q ＝32.答案：323．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：依题意S n ＝4a n －3(n ∈N *)， n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1.因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1. 又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列． (2)因为a n ＝⎝⎛⎭⎫43n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，得b n ＋1－b n ＝⎝⎛⎭⎫43n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－⎝⎛⎭⎫43n －11－43＝3·⎝⎛⎭⎫43n －1－1(n ≥2)，当n ＝1时也满足，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3·⎝⎛⎭⎫43n －1－1.1．(2012·大纲全国卷)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1 B.⎝⎛⎭⎫32n －1C.⎝⎛⎭⎫23n －1D.12n －1 解析：选B ∵S n ＝2a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＝2a n ，∴a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n ，∴3a n ＝2a n ＋1，∴a n ＋1a n ＝32. 又∵S 1＝2a 2，∴a 2＝12，∴a 2a 1＝12， ∴{a n }从第二项起是以32为公比的等比数列， ∴S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫32n －11－32＝⎝⎛⎭⎫32n －1. ( 也可以先求出n ≥2时，a n ＝3n －22n －1，再利用S n ＝2a n ＋1，求得S n ＝⎝⎛⎭⎫32n －1 ) 2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列．(1)求{a n }的公比q ；(2)若a 1－a 3＝3，求S n .解：(1)依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)．由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0，又q ≠0，从而q ＝－12. (2)由(1)可得a 1－a 1⎝⎛⎭⎫－122＝3. 故a 1＝4，从而S n ＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭⎫－12＝83⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n . 3．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013. 解：(1)∵a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ， ∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )．∵d >0，故解得d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1. 又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，∴数列{b n }的公比为3， ∴b n ＝3·3n －2＝3n －1. (2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n＝a n ＋1得当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n －1b n －1＝a n. 两式相减得：n ≥2时，c n b n＝a n ＋1－a n ＝2. ∴c n ＝2b n ＝2·3n －1(n ≥2)．又当n ＝1时，c 1b 1＝a 2，∴c 1＝3. ∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2·3n －1，n ≥2. ∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013＝3＋6－2×32 0131－3＝3＋(－3＋32 013)＝32 013.。

2014年全国高考大纲版数学(理)试卷及答案【精校版】

2014年普通高等学校统一考试（大纲）理科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设103iz i=+，则z 的共轭复数为（）A ．13i -+B ．13i --C ．13i +D ．13i - 【答案】D ．2.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N =（）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)-D ．(1,0]- 【答案】B.3.设sin33,cos55,tan35,a b c =︒=︒=︒则（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >> 【答案】C ．4.若向量,a b 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥则b = （）A ．2BC ．1D ．2【答案】B ．5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种【答案】C ．6.已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F 2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（）A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 【答案】A ． 7.曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于（）A ．2eB ．eC ．2D ．1 【答案】C ．8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（） A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π【答案】A ．9.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（）A ．14 B ．13C ．4D ．3【答案】A ．10.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（）A ．6B ．5C ．4D ．3 【答案】C ．11.已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A ．14 BCD ．12【答案】B.12.函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（）A ．()y g x =B ．()y g x =-C ．()y g x =-D ．()y g x =-- 【答案】D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.8⎛⎫的展开式中22x y 的系数为 .（用数字作答）【答案】70.14.设,x y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .【答案】5.15．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于 . 【答案】43． 16.若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 . 【答案】(],2-∞．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B .解：由题设和正弦定理得13sin cos 2sin cos ,3tan cos 2sin .tan ,cos 2sin ,3A C C A A C C A C C =\==\= ()()1tan tan tan ,tan tan 180tan 1,2tan tan 1A C CB AC A C A C +轾\=\=?+=-+==-臌-又0180,135B B?<癨??．18. （本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 解：（I ）由110a =，2a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数．又4n S S ≤，故450,0,a a ≥≤于是1030,1040d d +≥+≤，解得10532d -＃-，因此3d =-，故数列{}n a 的通项公式为133n a n =-．（II ）()()11111331033103133n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，于是()12111111111137104710313331031010103n n n T b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（I ）证明：11AC A B ⊥；（II ）设直线1AA 与平面11BCC B ，求二面角1A AB C --的大小.1解：解法一：（I ）1A D ^平面ABC ，1A D Ì平面11AAC C ，故平面11AAC C ^平面ABC ．又BC AC ^，BC \^平面11AAC C ．连结1AC ，∵侧面11AAC C 为菱形，故11AC AC ^，由三垂线定理得11AC A B ^；（II ）BC ^平面11,AAC C BC Ì平面11BCC B ，故平面11AAC C ^平面11BCC B ．作11,A E CC E ^为垂足，则1A E ^平面11BCC B ．又直线1AA ∥平面11BCC B ，因而1AE 为直线1AA 与平面11BCC B 的距离，1AE =．∵1AC 为1ACC Ð的角平分线，故11A D A E ==．作,DF AB F ^为垂足，连结1A F ，由三垂线定理得1A F AB ^，故1AFD Ð为二面角1A ABC --的平面角．由1AD =得D 为AC 的中点，111tan 2A DAC BCDF A FD AB DF´=??=∴二面角1A AB C --的大小为1解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -．由题设知1A D 与z 轴平行，z 轴在平面11AAC C 内．（I）设()1,0,A a c，由题设有()()2,2,0,0,0,1,a A B £则()()()()()11112,1,0,2,0,0,2,0,,4,0,,,1,.AB AC AA a c AC AC AA a c BA a c =-=-=-=+=-=-由12AA =得2，即2240a a c -+=（①）．于是22111140,AC BA a a c AC A B ?-+=\^．（II ）设平面11BCC B 的法向量(),,,m xy z =则1,,m CB m BB ^^即10,0m CBm BB ??．()0,1,0,CB =()112,0,,BB AA a c ==-故0y =，且()20a x cz -+=．令x c =，则()2,,0,2z a m c a =-=-，点A到平面11BCC B 的距离为c os ,C A m C A mC A c m×?==．又依题设，点A 到平面11BCC B的距离为,c \=3a =（舍去）或1a =．于是(11,0AA =-．设平面1ABA 的法向量(),,n p q r =，则1,n AA n AB ^^，即10,0,0n AA n AB p r ??\-=，故且20p q -+=．令p =则1,q r ==()3,23n =．又()0,0,1p =为平面ABC 的法向量，故1cos ,4n p n p n p⋅==⋅，∴二面角1A AB C --的大小为1arccos 4．20. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.（I ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（II ）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望.解：记i A 表示事件：同一工作日乙、丙恰有i 人需使用设备，0,1,2i =；B 表示事件：甲需使用设备；C 表示事件：丁需使用设备；D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．（I ）122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅，又()()()()220.6,0.4,0.5,0,1,2.ii P B P C P A C i P D ===⨯=∴=()()()()()()()()()()()()1221221220.31.P A B C A B A B C P A B C P A B P A B C P A P B P C P A P B P A P B P C ⋅⋅+⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅+⋅⋅=++=（II ）X 的可能取值为0，1，2，3，4．()()()()()()()200010.60.510.40.06P X P B A C P B P A P C ==⋅⋅==-⨯⨯-=，()()()()()()()()()()()200100110.60.5P X P B A C B A C B A C P B P A P C P B P A P C P B P A P C ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=⨯()()()()()()22210.410.60.50.410.620.510.40.25,4P X P A B C ⨯-+-⨯⨯+-⨯⨯⨯-===⋅⋅=()()()()()()()(220.50.60.40.06,340.25,210P A P B P C P X P D P X P X P X =⨯⨯===-====-=()()()13410.060.250.250.060.38.P X P X P X -=-=-==----=∴数学期望()()()()()00112233440.2520.3830.2540.062.EX P XP XP XP XP X=?+?+?+?+?=+???21. （本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （I ）求C 的方程；（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程. 解：（I ）设()0,4Q x ，代入22y px =，得00888,,.22p p x PQ QF x p p p=\==+=+．由题设得85824p p p+=?，解得2p =-（舍去）或2p =，∴C 的方程为24y x =；（II ）由题设知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为()10x my m =+?，代入24y x =得2440y my --=．设()()1122,,,,A x y B x y 则124,y y m +=124y y =-．故AB 的中点为()()221221,2,41D m m AB y m +=-=+．又l ¢的斜率为,m l ¢-\的方程为2123x y m m=-++．将上式代入24y x =，并整理得()2244230y y m m+-+=．设()()3344,,,,M x y Bx y 则()234344,423y y y y m m+=-=-+．故MN的中点为(223422412223,,m E m MN y mmm+骣÷ç++-=-=÷ç÷ç桫由于MN 垂直平分线AB ，故,,,A M B N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，从而22211,44AB DE MN +=即()()()2222222244121224122m m m m m m m ++骣骣鼢珑+++++=鼢珑鼢珑桫桫，化简得210m -=，解得1m =或1m =-．所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．22. （本小题满分12分）函数()()()ln 11axf x x a x a=+->+. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：23+22n a n n <≤+. 解：（I ）()f x 的定义域为()()()()()2221,,1x x a a f x x x a ⎡⎤--⎣⎦'-+∞=++．（i ）当12a <<时，若()21,2x a a ∈--，则()()0,f x f x '>在()21,2a a --上是增函数；若()22,0,x a a ∈-则()()0,f x f x '<在()22,0aa -上是减函数；若()0,,x ∈+∞则()()0,f x f x '>在()0,+∞上是增函数．（ii ）当2a =时,()()0,0f x f x ⅱ?成立当且仅当()0,x f x =在()1,-+?上是增函数．（iii ）当2a >时，若()1,0x ?，则()()0,f x f x '>在是()1,0-上是增函数；若()20,2x a a ∈-，则()()0,f x f x '<在()20,2a a -上是减函数；若()22,x a a ∈-+∞，则()()0,f x f x '>在()22,a a -+∞上是增函数．（II ）由（I ）知，当2a =时，()f x 在()1,-+?是增函数．当()0,x ??时，()()00f x f >=，即()()2ln 102xx x x +>>+．又由（I ）知，当3a =时，()f x 在[)0,3上是减函数；当()0,3x Î时，()()00f x f <=，即()()3l n 1033xx x x +<<<+．下面用数学归纳法证明2322n a n n <?++．（i ）当1n =时，由已知1213a <=，故结论成立；（ii ）假设当n k =时结论成立，即2322k a k k <?++．当1n k =+时，()()112323223322ln 1ln 1,ln 1ln 12323232322k k k k k k a a a a k k k k k k ++创骣骣++鼢珑=+>+>==+?<=鼢珑鼢珑桫桫++++++++，即当1n k =+时有2333k a k k <?++，结论成立．根据（i ）、（ii ）知对任何n N *Î结论都成立．。

2014年高考数学_理科_数列试题分析及教学建议

列，若ａ１＋１，ａ３＋３，ａ５＋５构成公比为ｑ的等比
数列，则ｑ＝
．
评析本题考查等差等比数列基本运算和
性质．从基本量计算的角度看，可以列方程求解，
这是通法，有一定的运算量；从性质的角度看，数
列ａ１，ａ３，ａ５成等差数列，数列１，３，５也成等差数
列，故ａ１＋１，ａ３＋３，ａ５＋５仍然成等差数列，又ａ１
１２
２选择题１７
２２解答题
１９解答题
１２
等差中项等比中项等比数列的性质等差数列的概念数列的通项公式
等差、等比数列的基本公式
三角函数
不等式函数、导数的
几何意义
转化化归
构造法；归纳猜想；数学归纳法
错位相减法
广东
１３填空题１９
１９解答题
等比数列的性质数列的前ｎ项和
从试题难度设置上，所有试题都属于常规题，尤其是以选择题填空题形式出现的数列题，都是用解决数列问题的通性通法可以解决的问题．除此以外，数列题还被放置到了压轴位置，对
学生能力要求较高．
２高考数列问题典型考题分析
从考查的知识点的角度，统计分析数列考点相关高考试题，考查的知识点中，有１１份试卷考查数列的综合应用．试题形式中，出现次数最多的解答题基本上都是设置两小问形式，求通项公式和前ｎ项或者证明等差等比数列相关的不等式．

2014年陕西理科数学高考试卷(带详解)

2014年陕西高考数学试题(理)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(本大题共10小题，每小题5分，共50分).1.已知集合，则( )【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】用描述法写出两集合，求其交集.【难易程度】容易【参考答案】B【试题分析】2.函数的最小正周期是( )【测量目标】三角函数的基本性质.【考查方式】已知三角函数表达式求其周期.【难易程度】容易【参考答案】B【试题分析】.3.定积分的值为( )【测量目标】定积分.【考查方式】给出解析式求定积分【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】=.4.根据右边框图，对大于2的整数，得出数列的通项公式是( )【测量目标】等比数列的通项公式、程序框图得出程序运算【考查方式】利用程序框图求等比数列【难易程度】中等【参考答案】C【试题分析】∴是=2，q=2的等比数列.选C.5.已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )【测量目标】空间几何体体积的运算.【考查方式】给出正四棱锥在球上，求球的体积【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】侧棱长为底面边长为1的正四棱柱.底面对角线长为，中点为.所以其半径为，所以其体积为V==.6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )【测量目标】随机事件概率【考查方式】给出随机事件求其概率【难易程度】容易【参考答案】B【试题分析】5中取2个有10种，距离小于边长只能是中心到4的顶点共4种，7.下列函数中，满足“”的单调递增函数是( )A. B. C. D.【测量目标】函数的基本性质.【考查方式】给出一特点，求满足特点的增函数【难易程度】中等【参考答案】B【试题分析】只有D不是递增函数.对B来说，.8.原命题为“若互为共轭复数，则”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A.真，假，真B.假，假，真C.真，真，假D.假，假，假【测量目标】命题的判断【考查方式】对某一命题的逆命题、否命题、逆否命题的真假性判断.【难易程度】中等【参考答案】A【试题分析】原命题和逆否命题等价，逆命题和否命题等价.因为为递减数列，∴原命题为真，逆命题为真∴四个命题全真，选A.9.设样本数据的均值和方差分别为1和4，若(为非零常数， )，则的均值和方差分别为( )A. B. C. D.【测量目标】样本数据的均值和方差的性质.【考查方式】给出数据关系求数据均值和方差关系.【难易程度】容易【参考答案】A【试题分析】样本数据加同一个数，均值也加此数，方差不变10.如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为( )A. B. C. D.【测量目标】函数的解析式、导数的意义【考查方式】以图片形式给出条件求出函数解析式【难易程度】中等【参考答案】A【试题分析】由题意可知(-5,2)和(2，-5)和(0,0)在函数中，将三点带入等式成立的有A、B、D，再由(-5,2)和(2，-5)处为极值点，即有只有A 符合条件故选A.二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分).11.已知则=________.【测量目标】指数与对数函数【考查方式】给出指数和对数函数求未知数【难易程度】容易【参考答案】【试题分析】.12.若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.【测量目标】圆的标准方程、对称的意义.【考查方式】给出圆心点关于直线的对称点以及半径求圆的标准方程【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】因为(1,0)关于y=x对称的点为(0，1)，所以其圆心点为(1,0)，且半径为1所以圆的标准方程为.13.设，向量，若，则_______.【测量目标】三角函数的计算、向量的基本性质.【考查方式】用三角函数值来表示向量，利用其关系求正切值【难易程度】中等【参考答案】【试题分析】∵，,∴即解得.14.观察分析下表中的数据：多面体面数()顶点数() 棱数()三棱锥 5 6 9五棱锥 6 6 10立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________.【测量目标】类比推理.【考查方式】给出几个同类事物推理关系式【难易程度】容易【参考答案】F+V-E=2【试题解析】由题目归类推理容易的F+V-E=2.15.(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)(不等式选做题)设，且，则的最小值为 .【测量目标】最值【考查方式】给出限定条件求最小值【难易程度】中等【参考答案】【试题分析】∵∴,则,∴.(几何证明选做题)如图，中，，以为直径的半圆分别交于点，若,则 .【测量目标】几何图形【考查方式】给出图形，给出关系式求未知量【难易程度】中等【参考答案】3【试题分析】∵△AEF与△ACB相似∵且BC=6，AC=2AE,∴EF=3.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点到直线的距离是 .【测量目标】极坐标、点到直线距离.【考查方式】给出直线极坐标及极坐标点的坐标求点到直线距离.【难易程度】容易【参考答案】1【试题分析】∵极坐标点对应直角坐标系点,直线=即对应，∴点到直线的距离.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)16.(本小题满分12分)的内角所对的边分别为.(I)若成等差数列，证明：；(II)若成等比数列，且a=2c求的最小值.【测量目标】等差数列、等比数列、正弦定理、余弦定理.【考查方式】(1)用等差数列根据正弦定理证明三角函数关系(2)等比数列根据余弦定理求最值.【难易程度】中等【试题分析】(Ⅰ)因为a,b,c成等差，所以2b=a+c，即2sin B=sin A+sin C因为sin B=sin(A+C)所以Sin A+sin C=2sin(A+C).(Ⅱ)∵a,b,c成等比，且c=2a∴∴cos B=.17.(本小题满分12分)四面体及其三视图如图所示，过棱的中点作平行于，的平面分别交四面体的棱于点.(1)证明：四边形是矩形；(2)求直线与平面夹角的正弦值.【测量目标】空间几何体、线面的夹角大小【考查方式】计算集合体体积、计算线面夹角的正弦值.【难易程度】中等【试题分析】(1)证明：由该四面体的三视图可知,，,由题设，∥面,面面,面面,∥，∥，∥.同理∥，∥，∥.四边形是平行四边形,又,平面,,∥,∥,,四边形是矩形.(2)如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的一个法向量，∥,∥，，即得，取，=.18.(本小题满分12分)在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域(含边界)上.(1)若，求；(2)设，用表示，并求的最大值.【测量目标】平面坐标系，向量的基本运算.【考查方式】在平面坐标系中给出相关点并给出约束条件利用向量的基本运算求向量的模、根据相关关系式求最值问题【难易程度】较难【试题解析】(1)因为,所以,即得,所以.(2),,即,两式相减得：,令，由图可知，当直线过点时，取得最大值1，故的最大值为1.19.(本小题满分12分)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：300500作物产物（kg）概率0.50.5610作物市场价格（元/kg）概率0.40.6(1)设表示在这块地上种植1季此作物的利润，求的分布列；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.【测量目标】随机事件分布列.【考查方式】根据给出的条件写出分布列，计算不同季节不少于产量的概率【难易程度】中等【试题解析】设A表示事件“作物产量为300kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知，,因为利润=产量市场价格-成本,所以所有可能的取值为:，,，,,,,所以的分布列为:400020008000.30.50.2(2)设表示事件“第季利润不少于2000元”，由题意知相互独立，由(1)知，.3季利润均不少于2000元的概率为;3季中有2季利润不少于2000元的概率为.所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为. 20.(本小题满分13分)如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为.(1)求的值；(2)过点的直线与分别交于(均异于点)，若，求直线的方程.【测量目标】椭圆与抛物线性质.直线与椭圆的关系【考查方式】给出约束条件利用椭圆和抛物线的性质求椭圆的标准方程，利用直线特点及与椭圆关系求直线解析式.【难易程度】较难【试题解析】(1)在，方程中，令，可得b=1,且得是上半椭圆的左右顶点，设的半焦距为，由及，解得,所以，,由(1)知，上半椭圆的方程为，易知，直线与轴不重合也不垂直，设其方程为,代入的方程中，整理得：(*),设点的坐标,由韦达定理得,又，得，从而求得,所以点的坐标为,同理，由得点的坐标为,，,,,即,，，解得,经检验，符合题意，故直线的方程为.21.(本小题满分14分)设函数，其中是的导函数.(1)，求的表达式；(2)若恒成立，求实数的取值范围；(3)设，比较与的大小，并加以证明.【测量目标】导函数、等差数列、函数的单调性、类比推理【考查方式】根据给出的条件解得函数解析式，推到取值范围、证明先关命题.【难易程度】较难【试题解析】，，.(1),，，，，即，当且仅当时取等号,当时，,当时,,，，即,数列是以为首项，以1为公差的等差数列,,,当时，,.(2)在范围内恒成立，等价于成立,令，即恒成立，,令，即，得,当即时，在上单调递增,,所以当时，在上恒成立；当即时，在上单调递增，在上单调递减，所以,设,,因为，所以，即，所以函数在上单调递减,所以，即,所以不恒成立,综上所述，实数的取值范围为.(3)由题设知：，,比较结果为：,证明如下：上述不等式等价于,在(2)中取，可得,令，则，即,故有,,,,上述各式相加可得：,结论得证.。

2014年高考数学数列

2014年全国高考数学试题分类汇编（数列）1.【2014·全国卷Ⅱ（文5）】等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（A ） ()1n n + （B ）()1n n - （C ）()12n n + (D)()12n n -【答案】A2.【2014·全国大纲卷（理10）】等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（）A ．6B ．5C ．4D ．3 【答案】C ．3.【2014·全国大纲卷（文8）】设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=3，S 4=15，则S 6=( ) A. 31 B. 32 C. 63 D. 64 【答案】C4.【2014·北京卷（理5）】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件【答案】D5.【2014·天津卷（文5）】设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a =（）（A ）2 （B ）-2 （C ）12 （D ）12- 【答案】D .6.【2014·福建卷（理3）】等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ) .8A .10B .12C .14D 【答案】C7.【2014·辽宁卷（文9）】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（）A ．0d >B ．0d <C ．10a d >D ．10a d <【答案】D8.【2014·陕西卷（理文4）】根据右边框图，对大于2的整数N ，得出数列的通项公式是（）.2n A a n = .2(1)n B a n =- .2n n C a = 1.2n n D a -=【答案】C9.【2014·重庆卷（理2）】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（）139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列【答案】D10.【2014·重庆卷（文2）】在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（）.5A .8B .10C .14D【答案】B11.【2014·全国卷Ⅱ（文16）】数列{}n a 满足1+n a =n a -11，2a =2，则1a =_________.【答案】2112.【2014·安徽卷（理12）】数列{}a n 是等差数列，若1a 1+，3a 3+，5a 5+构成公比为q 的等比数列，则q =________. 【答案】1q =。

2014高考数学理(真题讲练规律总结名师押题)热点专题突破：第十讲数列求和及数列的综合应用

第十讲数列求和及数列的综合应用与不等式的综合应用与实际生活问题的综合应用1．(等差数列的前n 项和)(2013·上海高考)若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和S n ＝________.【解析】设S n ＝An 2＋Bn ，则有⎩⎪⎨⎪⎧36A ＋6B ＝23，81A ＋9B ＝57，解得⎩⎨⎧A ＝56，B ＝－76，故S n ＝56n 2－76n .【答案】 56n 2－76n2．(裂项求和)数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n ＝________.【解析】由a n ＝n ＋1－n (n ＋n ＋1)(n ＋1－n )＝n ＋1－n ，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝10，即n ＋1－1＝10，即n ＋1＝11，解得n ＋1＝121，n ＝120.【答案】 1203．(错位相减法求和)化简S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n－1的结果是________．【解析】 S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1， 2S n ＝2n ＋(n －1)×22＋(n －2)×23＋…＋2×2n －1＋2n ，两式作差S n ＝2n ＋2n －1＋2n －2＋…＋2－n ＝2n ＋1－2－n . 【答案】 2n ＋1－2－n4．(数列的通项公式)如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为3的等比数列，则a n ＝________.【解析】 a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1－3n 1－3＝3n －12.【答案】 3n －125．(数列的实际应用)(2013·江西高考)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．【解析】每天植树的棵树构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.由2n ＋1－2≥100，得2n ＋1≥102.由于26＝64,27＝128，则n ＋1≥7，即n ≥6.【答案】 6【命题要点】 ①求和式的值；②已知和式的值，求项数.(2013·潍坊模拟)已知数列{a n }的各项排成如图3－2－1所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成等差数列{b n }，S n 是{b n }的前n 项和，且b 1＝a 1＝1，S 5＝15.图3－2－1(1)若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知a 9＝16，求a 50的值．(2)设T n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n ，当m ∈[－1,1]时，对任意n ∈N *，不等式t 2－2mt －83＞T n 恒成立，求t 的取值范围．【思路点拨】 (1)先求b n 及公比q ，再确定a 50在数阵中的位置，再根据等比数列求a 50. (2)先用裂项法求T n ，再利用导数求T n 的最大值，最后把问题转化为关于m 的函数求解．【自主解答】 (1)因为{b n }为等差数列，设公差为d ，b 1＝1，S 5＝15，所以S 5＝5＋10d ＝15，d ＝1，所以b n ＝1＋(n －1)×1＝n .设从第3行起，每行的公比是q ，且q ＞0，a 9＝b 4q 2,4q 2＝16，q ＝2， 1＋2＋3＋…＋9＝45，故a 50是数阵中第10行第5个数，则a 50＝b 10q 4＝10×24＝160.(2)因为S n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，所以T n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝2(n ＋1)(n ＋2)＋2(n ＋2)(n ＋3)＋…＋22n (2n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－12n ＋1＝2n (n ＋1)(2n ＋1). 令f (x )＝2x(x ＋1)(2x ＋1)(x ≥1)，f ′(x )＝2－4x 2(x ＋1)2(2x ＋1)2，当x ≥1时，f ′(x )＜0，f (x )在[1，＋∞)上为减函数，所以T n 为递减数列，T n 的最大值为T 1＝13.所以不等式变为t 2－2mt －3＞0恒成立，设g (m )＝－2tm ＋t 2－3，m ∈[－1,1]，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)＞0，g (1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧2t ＋t 2－3＞0，－2t ＋t 2－3＞0，解得t ＞3或t ＜－3.即t 的取值范围为(－∞，－3)∪(3，＋∞)．1．裂项相消法求和主要应用在数列通项公式为分式结构时，其关键在于裂项后系数的确定．2．裂项求和的几种常见类型：(1)1n (n ＋k )＝1k (1n －1n ＋k )； (2)1n ＋k ＋n ＝1k(n ＋k －n )；(3)1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)； (4)若{a n }是公差为d 的等差数列，则1a n a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)．变式训练1 等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{1b n }的前n 项和．【解】 (1)设数列{a n }的公比为q . 由a 23＝9a 2a 6，得a 23＝9a 24，所以q 2＝19. 由条件可知q >0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2.故1b n ＝－2n (n ＋1)＝－2(1n －1n ＋1)，1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝－2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝－2nn ＋1.所以数列{1b n}的前n 项和为－2nn ＋1.【命题要点】 ①求和式的值；②证明等式成立.(2013·山东高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋12n ＝λ(λ为常数)，令c n ＝b 2n (n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和R n .【思路点拨】 (1)利用等差数列的通项公式，前n 项和公式，建立方程组求解．(2)由已知求T n ，进而求b n ，c n ，用错位相减法求{c n }的前n 项和．【自主解答】 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋(2n －1)d ＝2a 1＋2(n －1)d ＋1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.因此a n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由题意知T n ＝λ－n2n －1，所以当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝－n2n －1＋n －12n －2＝n －22n －1.故c n ＝b 2n ＝2n －222n －1＝(n －1)⎝⎛⎭⎫14n －1，n ∈N *. 所以R n ＝0×⎝⎛⎭⎫140＋1×⎝⎛⎭⎫141＋2×⎝⎛⎭⎫142＋3×⎝⎛⎭⎫143＋…＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n －1，则14R n ＝0×⎝⎛⎭⎫141＋1×⎝⎛⎭⎫142＋2×⎝⎛⎭⎫143＋…＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n . 两式相减得34R n ＝⎝⎛⎭⎫141＋⎝⎛⎭⎫142＋⎝⎛⎭⎫143＋⎝⎛⎭⎫144＋…＋⎝⎛⎭⎫14n －1－(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n ＝14－⎝⎛⎭⎫14n1－14－(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n ＝13－1＋3n 3⎝⎛⎭⎫14n ，整理得R n ＝19⎝⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1.所以数列{c n }的前n 项和R n ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1.1．错位相减只是实现求和的途径，其本质是相减后利用等比数列求和公式求和．在构造方程时，S n 的左右两边同乘以等比数列的公比．2．错位相减法的难点在于运算，为力求运算准确，要注意两式相减时幂指数相同的项要对齐，同时注意剩余的项．3．当{a n }为等差数列，{b n }为等比数列时，求数列{a n b n }的前n 项和，可用错位相减法．变式训练2 (2013·济南模拟)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1－3a n ＝3n (n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝a n3n .(1)证明数列{b n }是等差数列并求数列{b n }的通项公式． (2)求数列{a n }的前n 项和S n .【解】 (1)由b n ＝a n3n ，得b n ＋1＝a n ＋13n ＋1，所以b n ＋1－b n ＝a n ＋13n ＋1－a n 3n ＝13，所以数列{b n }是等差数列，首项b 1＝1，公差为13，所以b n ＝1＋13(n －1)＝n ＋23(n ∈N *)．(2)a n ＝3n b n ＝(n ＋2)×3n －1，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝3×1＋4×3＋…＋(n ＋2)×3n －1，① 所以3S n ＝3×3＋4×32＋…＋(n ＋2)×3n .② ①－②得－2S n ＝3×1＋3＋32＋…＋3n －1－(n ＋2)×3n ＝2＋1＋3＋32＋…＋3n －1－(n ＋2)×3n ＝3n ＋32－(n ＋2)×3n ，所以S n ＝－3n ＋34＋(n ＋2)3n2.【命题要点】 ①证明不等式；②比较大小；③数列的单调性.(2013·宁波模拟)设公比大于零的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 4＝5S 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，满足b 1＝1，T n ＝n 2b n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设c n ＝(S n ＋1)(nb n －λ)，若数列c n 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．【思路点拨】 (1)求a n 时，先求公比q ；求b n 时，先根据前n 项和求b n 与b n －1的关系，再用累乘法求b n .(2)把数列{c n }是单调递减数列转化为c n ＋1－c n ＜0恒成立问题，再分离λ，转化为求最值问题．【自主解答】 (1)由S 4＝5S 2，a 1＝1得1－q 41－q ＝5(1－q 2)1－q，又q ＞0，所以q ＝2，a n ＝2n－1.由⎩⎪⎨⎪⎧T n ＝n 2b n ，T n －1＝(n －1)2b n －1，得b n b n －1＝n －1n ＋1(n ＞1)，又b 1＝1.则b n b n －1·b n －1b n －2·b n －2b n －3·…·b 2b 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13＝2n (n ＋1).所以n ＞1时，b n ＝2n (n ＋1)，当n ＝1时，b 1＝1也满足，故b n ＝2n (n ＋1)(n ∈N *)．(2)S n ＝2n－1，所以c n ＝2n⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1－λ，若数列{c n }是单调递减数列，则c n ＋1－c n ＝2n⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋2－2n ＋1－λ＜0对n ∈N *都成立，即4n ＋2－2n ＋1－λ＜0⇒λ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋2－2n ＋1max ， 4n ＋2－2n ＋1＝2n (n ＋1)(n ＋2)＝2n ＋3＋2n ，当n ＝1或2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋2－2n ＋1max ＝13，所以λ＞13. 即系数λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，＋∞1．本例(1)中求数列{b n }的通项公式时利用累乘法，但需注意验证n ＝1时，b 1是否满足通项公式．2．数列与不等式的综合应用问题主要涉及两种题型： (1)比较大小，常采用作差比较法和放缩法；(2)证明不等式及不等式的应用，常采用比较法、分析综合法、基本不等式法、放缩法、最值法、反证法等．变式训练3 (2013·潍坊模拟)各项均为正数的数列{a n }中，前n 项和S n ＝⎝⎛⎭⎫a n ＋122.(1)求数列{a n }的通项公式． (2)若1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＜k 恒成立，求k 的取值范围．【解】 (1)因为S n ＝⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋122，所以S n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫a n －1＋122，n ≥2，两式相减得a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋122，n ≥2，整理得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0，因为数列{a n }的各项均为正数，所以a n －a n －1＝2，n ≥2，所以{a n }是公差为2的等差数列．又S 1＝⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋122，得a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)由题意得k ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1max ，因为1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＜12，所以k ≥12. 即k 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，＋∞.数列求和是历年高考必考内容之一，同时数列与不等式，数列与函数、方程的综合应用也是课标区高考的热点，这类题目往往涉及面较广，运算比较复杂，方法比较灵活，较好地考查了学生分析问题、解决问题的能力，其中利用函数的思想求数列的最大项与最小项问题应引起高度重视．利用单调性求数列问题的最值(12分)已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．【规范解答】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.3分又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12，故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .6分(2)由(1)得S n＝1－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎨⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1＜S n ≤S 1＝32，故第 11 页共 12 页0＜S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56；9分当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n ＜1，故0＞S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.11分所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.12分【阅卷心语】易错提示 (1)不会处理S n 中的(－1)n ，导致思维受阻，无法求解． (2)不能根据S n 的范围，求S n －1S n的范围，解答失误或无法求解．防范措施 (1)当a n 或S n 中含有(－1)n 时，n 的奇偶性影响结果，故应分类讨论． (2)把S n 看作自变量，则S n －1S n 是增函数(或减函数)，故可根据S n 的范围，求S n －1S n的范围．1．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15【解析】由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1，即log 3a n ＋1a n＝1，解得a n ＋1a n ＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列．因为a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3，所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35.所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1335＝－log 335＝－5.【答案】 B2．在如图3－2－2的表格中，每格填上一个数字后，使得每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为________．。

2014年高考真题(北京卷)数学(理科) 答案解析版

2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(理科)第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(2014北京,理1)已知集合A={x|x 2-2x=0},B={0,1,2},则A ∩B=( ).A .{0}B .{0,1}C .{0,2}D .{0,1,2}【答案】C【解析】解x 2-2x=0,得x=0,x=2,故A={0,2},所以A ∩B={0,2},故选C .2.(2014北京,理2)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ).A .y=√x +1B .y=(x-1)2C .y=2-xD .y=log 0.5(x+1)【答案】A【解析】A 项,y=√x +1为(-1,+∞)上的增函数,故在(0,+∞)上递增;B 项,y=(x-1)2在(-∞,1)上递减,在(1,+∞)上递增;C 项,y=2-x =(12)x 为R 上的减函数;D 项,y=log 0.5(x+1)为(-1,+∞)上的减函数.故选A .3.(2014北京,理3)曲线{x =-1+cosθ,y =2+sinθ(θ为参数)的对称中心( ). A .在直线y=2x 上 B .在直线y=-2x 上 C .在直线y=x-1上 D .在直线y=x+1上【答案】B【解析】由已知得{cosθ=x +1,sinθ=y -2, 消参得(x+1)2+(y-2)2=1.所以其对称中心为(-1,2).显然该点在直线y=-2x 上.故选B .4.(2014北京,理4)当m=7,n=3时,执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( ).A .7B .42C .210D .840【答案】C【解析】开始:m=7,n=3.计算:k=7,S=1.第一次循环,此时m-n+1=7-3+1=5,显然k<5不成立,所以S=1×7=7,k=7-1=6.第二次循环,6<5不成立,所以S=7×6=42,k=6-1=5.第三次循环,5<5不成立,所以S=42×5=210,k=5-1=4.显然4<5成立,输出S 的值,即输出210,故选C .5.(2014北京,理5)设{a n }是公比为q 的等比数列,则“q>1”是“{a n }为递增数列”的( ).A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】D【解析】等比数列{a n }为递增数列的充要条件为{a 1>0,q >1或{a 1<0,0<q <1.故“q>1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D .6.(2014北京,理6)若x ,y 满足{x +y -2≥0,kx -y +2≥0,y ≥0,且z=y-x 的最小值为-4,则k 的值为( ).A .2B .-2C .12D .-12【答案】D【解析】如图,作出{x +y -2≥0,y ≥0所表示的平面区域,作出目标函数取得最小值-4时对应的直线y-x=-4,即x-y-4=0.显然z 的几何意义为目标函数对应直线x-y+z=0在x 轴上的截距的相反数,故该直线与x 轴的交点(4,0)必为可行域的顶点,又kx-y+2=0恒过点(0,2),故k=2-00-4=-12.故选D .7.(2014北京,理7)在空间直角坐标系Oxyz 中,已知A (2,0,0),B (2,2,0),C (0,2,0),D (1,1,√2).若S 1,S 2,S 3分别是三棱锥D-ABC 在xOy ,yOz ,zOx 坐标平面上的正投影图形的面积,则( ).A .S 1=S 2=S 3B .S 2=S 1且S 2≠S 3C .S 3=S 1且S 3≠S 2D .S 3=S 2且S 3≠S 1【答案】D【解析】三棱锥的各顶点在xOy 坐标平面上的正投影分别为A 1(2,0,0),B 1(2,2,0),C 1(0,2,0),D 1(1,1,0).显然D 1点为A 1C 1的中点,如图(1),正投影为Rt △A 1B 1C 1,其面积S 1=12×2×2=2.三棱锥的各顶点在yOz 坐标平面上的正投影分别为A 2(0,0,0),B 2(0,2,0),C 2(0,2,0),D 2(0,1,√2).显然B 2,C 2重合,如图(2),正投影为△A 2B 2D 2,其面积S 2=12×2×√2=√2.三棱锥的各顶点在zOx 坐标平面上的正投影分别为A 3(2,0,0),B 3(2,0,0),C 3(0,0,0),D 3(1,0,√2),由图(3)可知,正投影为△A 3D 3C 3,其面积S 3=12×2×√2=√2.综上,S 2=S 3,S 3≠S 1.故选D .图(1) 图(2) 图(3)8.(2014北京,理8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( ).A .2人B .3人C .4人D .5人【答案】B【解析】用A,B,C 分别表示优秀、及格和不及格.显然,语文成绩得A 的学生最多只有一人,语文成绩得B 的也最多只有1人,得C 的也最多只有1人,所以这组学生的成绩为(AC),(BB),(CA)满足条件,故学生最多为3人.。

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数学D 单元数列D1 数列的概念与简单表示法17．、、[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0. (1)令c n ＝a nb n，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .17．解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即c n ＋1－c n ＝2，所以数列{c n }是以c 1＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n －1，知a n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n，将两式相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n＝－2－(2n －2)×3n，所以S n ＝(n －1)3n＋1.17．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ.(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．17．解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 因为a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得 a 2＝λ－1，由(1)知，a 3＝λ＋1.若{a n }为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4，故a n ＋2－a n ＝4. 由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．17．、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.17．解：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋12.又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝3n2，因此数列{a n }的通项公式为a n＝3n－12.(2)证明：由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n－1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1，即1a n ＝23n－1≤13n －1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n <32.所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.22．，，[2014·重庆卷] 设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式．(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论． 22．解：(1)方法一：a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知 (a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.从而{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列，故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．方法二：a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式．当n ＝1时，结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．(2)方法一：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.下面用数学归纳法证明命题a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1.易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即1>c >a 2k ＋2>a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1，故c <a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，存在 c ＝14使a 2n <C <a 2a ＋1对所有n ∈N *成立．方法二：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)． ① 当n ＝1时，结论明显成立．假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1.即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．故①成立．再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)． ②当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，所以a 2<a 3，即n ＝1时②成立．假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1. 由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2， a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立．所以②对一切n ∈N *成立．由②得a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1，即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2，因此a 2n <14. ③又由①②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2. 所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1，解得a 2n ＋1>14. ④综上，由②③④知存在c ＝14使a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．D2 等差数列及等差数列前n 项和12．、[2014·安徽卷] 数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________. 12．112．[2014·北京卷] 若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．12．83．[2014·福建卷] 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 3．C18．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．18．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0，解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41.20．、[2014·湖南卷] 已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n ＋1－a n |＝p n ，n ∈N *. (1)若{a n }是递增数列，且a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求p 的值；(2)若p ＝12，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式．20．解：(1)因为{a n }是递增数列，所以a n ＋1－a n ＝|a n ＋1－a n |＝p n.而a 1＝1，因此 a 2＝p ＋1，a 3＝p 2＋p ＋1.又a 1，2a 2，3a 3成等差数列，所以4a 2＝a 1＋3a 3，因而3p 2－p ＝0，解得p ＝13或p ＝0.当p ＝0时，a n ＋1＝a n ，这与{a n }是递增数列矛盾，故p ＝13.(2)由于{a 2n －1}是递增数列，因而a 2n ＋1－a 2n －1>0，于是(a 2n ＋1－a 2n )＋(a 2n －a 2n －1)>0.① 因为12<12，所以|a 2n ＋1－a 2n |<|a 2n －a 2n －1|.②由①②知，a 2n －a 2n －1>0，因此a 2n －a 2n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1＝（－1）2n22n －1.③因为{a 2n }是递减数列，同理可得，a 2n ＋1－a 2n <0，故a 2n ＋1－a 2n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n＝（－1）2n ＋122n.④由③④可知，a n ＋1－a n ＝（－1）n ＋12n.于是a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋12－122＋…＋（－1）n2n －1＝1＋12·1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11＋12＝43＋13·（－1）n2n －1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝43＋13·（－1）n2n －1. 8．[2014·辽宁卷] 设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0 D ．a 1d >0 8．C18．、[2014·全国卷] 等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .18．解：(1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数．又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0，解得－103≤d ≤－52，因此d ＝－3.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n 10（10－3n ）. 17．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ.(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．17．解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 因为a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得 a 2＝λ－1，由(1)知，a 3＝λ＋1.若{a n }为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4，故a n ＋2－a n ＝4. 由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．19．，，[2014·山东卷] 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .19．解： (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)由题意可知，b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1＝(－1)n －14n（2n －1）（2n ＋1）＝(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…＋⎝⎛12n －3＋⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.⎝ ⎛⎭⎪⎫或T n＝2n ＋1＋（－1）n －12n ＋116．，，[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 16．解：(1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立， ∴cos B 的最小值为12.11．、[2014·天津卷] 设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．11．－1222．，，[2014·重庆卷] 设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式．(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论． 22．解：(1)方法一：a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知 (a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.从而{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列，故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．方法二：a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式．当n ＝1时，结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．(2)方法一：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.下面用数学归纳法证明命题a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即1>c >a 2k ＋2>a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1，故c <a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，存在 c ＝14使a 2n <C <a 2a ＋1对所有n ∈N *成立．方法二：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)． ① 当n ＝1时，结论明显成立．假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1.即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．故①成立．再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)． ②当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，所以a 2<a 3，即n ＝1时②成立．假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1. 由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2， a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立．所以②对一切n ∈N *成立．由②得a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1，即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2，因此a 2n <14. ③又由①②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2. 所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1，解得a 2n ＋1>14. ④综上，由②③④知存在c ＝14使a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．D3 等比数列及等比数列前n 项和2．[2014·重庆卷] 对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9，成等比数列 2．D12．、[2014·安徽卷] 数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________. 12．113．、[2014·广东卷] 若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________．13．5010．[2014·全国卷] 等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 10．C18．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．18．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0，解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41.综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41.17．、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.17．解：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋12.又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝3n2，因此数列{a n }的通项公式为a n＝3n－12.(2)证明：由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n－1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1，即1a n ＝23n－1≤13n －1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n <32.所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.19．，，[2014·山东卷] 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .19．解： (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)由题意可知，b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1＝(－1)n －14n（2n －1）（2n ＋1）＝(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…＋⎝⎛12n －3＋⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1 ＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.⎝ ⎛⎭⎪⎫或T n＝2n ＋1＋（－1）n －12n ＋116．，，[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 16．解：(1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立， ∴cos B 的最小值为12.11．、[2014·天津卷] 设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．11．－1219．、、[2014·天津卷] 已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n qn －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }．(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A . (2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n qn －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n qn －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n .证明：若a n <b n ，则s <t .19．解：(1)当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}，可得A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2)证明：由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n qn －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n －1≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)q n －2－qn －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q －q n －1＝－1<0，所以s <t .D4 数列求和17．、、[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0. (1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .17．解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即c n ＋1－c n ＝2，所以数列{c n }是以c 1＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n －1，知a n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n，将两式相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n＝－2－(2n －2)×3n，所以S n ＝(n －1)3n＋1.18．、[2014·全国卷] 等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .18．解：(1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数．又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0，解得－103≤d ≤－52，因此d ＝－3.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n 10（10－3n ）.19．，，[2014·山东卷] 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .19．解： (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)由题意可知，b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1＝(－1)n －14n（2n －1）（2n ＋1）＝(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…＋⎝⎛12n －3＋⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1 ＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.⎝ ⎛⎭⎪⎫或T n＝2n ＋1＋（－1）n －12n ＋1D5 单元综合20．、[2014·湖南卷] 已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n ＋1－a n |＝p n ，n ∈N *. (1)若{a n }是递增数列，且a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求p 的值；(2)若p ＝12，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式．20．解：(1)因为{a n }是递增数列，所以a n ＋1－a n ＝|a n ＋1－a n |＝p n.而a 1＝1，因此 a 2＝p ＋1，a 3＝p 2＋p ＋1.又a 1，2a 2，3a 3成等差数列，所以4a 2＝a 1＋3a 3，因而3p 2－p ＝0，解得p ＝13或p ＝0.当p ＝0时，a n ＋1＝a n ，这与{a n }是递增数列矛盾，故p ＝13.(2)由于{a 2n －1}是递增数列，因而a 2n ＋1－a 2n －1>0，于是(a 2n ＋1－a 2n )＋(a 2n －a 2n －1)>0.① 因为122n <122n －1，所以|a 2n ＋1－a 2n |<|a 2n －a 2n －1|.②由①②知，a 2n －a 2n －1>0，因此a 2n －a 2n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1＝（－1）2n22n －1.③ 因为{a 2n }是递减数列，同理可得，a 2n ＋1－a 2n <0，故a 2n ＋1－a 2n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n＝（－1）2n ＋122n.④由③④可知，a n ＋1－a n ＝（－1）n ＋12n.于是a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋12－122＋…＋（－1）n2n －1＝1＋12·1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11＋12＝43＋13·（－1）n2n －1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝43＋13·（－1）n2n －1.21．、、[2014·安徽卷] 设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N *. (1)证明：当x ＞－1且x ≠0时，(1＋x )p＞1＋px ；(2)数列{a n }满足a 1＞c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n ，证明：a n ＞a n ＋1＞c 1p.21．证明：(1)用数学归纳法证明如下．①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立． ②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k>1＋kx 成立．当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x .所以当p ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p>1＋px 均成立． (2)方法一：先用数学归纳法证明a n >c 1p.①当n ＝1时，由题设知a 1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >c 1p 成立．由a n ＋1＝p －1p a n ＋c pa 1－p n 易知a n >0，n ∈N *. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1a k ＝p －1p ＋c pa －pk ＝1＋1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p k －1.由a k >c 1p >0得－1<－1p <1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p k－1<0.由(1)中的结论得⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k p＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p k －1p>1＋p · 1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p k －1＝c a p k . 因此a pk ＋1>c ，即a k ＋1>c 1p，所以当n ＝k ＋1时，不等式a n >c 1p也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >c 1p均成立．再由a n ＋1a n ＝1＋1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p n －1可得a n ＋1a n<1，即a n ＋1<a n .综上所述，a n >a n ＋1>c 1p，n ∈N *.方法二：设f (x )＝p －1p x ＋c p x 1－p ，x ≥c 1p，则x p ≥c ，所以f ′(x )＝p －1p ＋c p (1－p )x －p＝p －1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c x p >0. 由此可得，f (x )在[c 1p，＋∞)上单调递增，因而，当x >c 1p时，f (x )>f (c 1p)＝c 1p. ①当n ＝1时，由a 1>c 1p>0，即a p1>c 可知a 2＝p －1p a 1＋c p a 1－p 1＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a p 1－1<a 1，并且a 2＝f (a 1)>c 1p ，从而可得a 1>a 2>c 1p ，故当n ＝1时，不等式a n >a n ＋1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >a k ＋1>c 1p 成立，则当n ＝k ＋1时，f (a k )>f (a k ＋1)>f (c 1p)，即有a k ＋1>a k ＋2>c 1p，所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >a n ＋1>c 1p均成立．18．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．18．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0，解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41.17．、、[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0. (1)令c n ＝a nb n，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .17．解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即c n ＋1－c n ＝2，所以数列{c n }是以c 1＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n －1，知a n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n，将两式相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n＝－2－(2n －2)×3n，所以S n ＝(n －1)3n＋1.17．、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.17．解：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋12.又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝3n2，因此数列{a n }的通项公式为a n＝3n－12.(2)证明：由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n－1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1，即1a n ＝23n－1≤13n －1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n <32.所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.19．，[2014·四川卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x的图像上(n ∈N *)． (1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的前n 项和T n .19．解：(1)由已知得，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，所以 2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，其在x 轴上的截距为a 2－1ln 2. 由题意有a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以d ＝a 2－a 1＝1. 从而a n ＝n ，b n ＝2n，所以数列{a n b n }的通项公式为a n b n ＝n2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1，因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n. 所以，T n ＝2n ＋1－n －22n. 19．[2014·浙江卷] 已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n (n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求a n 与b n .(2)设c n ＝1a n －1b n(n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n .(i)求S n ；(ii)求正整数k ，使得对任意n ∈均有S k ≥S n . 19．解：(1)由题意a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6，知a 3＝(2)b 3－b 2＝8.又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)，所以数列{a n }的通项为a n ＝2n(n ∈N *)．所以，a 1a 2a 3…a n ＝2n （n ＋1）2＝(2)n (n ＋1)．故数列{b n }的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．(2)(i)由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)．所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *)． (ii)因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0，当n ≥5时，c n ＝1n （n ＋1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）2n －1，而n （n ＋1）2n－（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1＝（n ＋1）（n －2）2n ＋1>0，得n （n ＋1）2n≤5×（5＋1）25<1，所以，当n ≥5时，c n <0.综上，若对任意n ∈N *恒有S k ≥S n ，则k ＝4.。