2006年上海市高中数学竞赛试卷及答案
2006年全国普通高等学校招生统一考试(上海卷)数学(文史类)
考试结束前★机密2006年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学（文史类）考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚。
2．本试卷共有22道试题，满分 150分，考试时间 120分钟。
请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
一、填空题（本大题满分 48 分）本大题共有 12 题。
只要求直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分。
1．已知集合{}1,3,A m =-, 集合{}3,4B =,若A B ⊆.则实数m =______. 2．已知两条直线12:330.:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ,则a =______. 3．若函数()(0.1)x f x a a a =>≠且的反函数的图像过点（2，－1），则 a=______.4．计算： 23(1)lim61n n n n →∞+=+______. 5．若复数(2)(1)z m m i =-++为纯虚数（i 为虚数单位），其中m R ∈，则z = ______. 6．函数sin cos y x x =的最小正周期是______.7．已知双曲线的中心原点，一个顶点的坐标是（3，0），且焦距与虚轴长之比为 5：4则双曲线的标准方程是______.8．方程233log (10)1log x x -=+的解是______.9．已知实数,x y 满足3025000x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩.则y -2x 的最大值是 .10．在一个小组中有 8名女同学和 4名男同学，从中任意地挑选 2名同学担任交通安全宣 传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是______（结果用分数表示）。
11．若曲线21xy =+与直线y b =没有公共点，则 b 的取值范围是______.12．如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点 O ，对于平面上任意一点 M ，若 p 、q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对 （p 、q ）是点 M 的“距离坐标”。
2006年全国高中数学联赛一、二试试题及答案[1]
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2006年全国高中数学联赛试题第一试（考试时间：上午8：00—9：20）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 已知△ABC ，若对任意R t ∈≥-，则△ABC 一定为A ．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答】 （ ） 2. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为A ．112x << B ．1, 12x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 【答】（ ） 3. 已知集合{}05≤-=a x x A ，{}06>-=b x x B ,N b a ∈,，且{}2,3,4A B N ⋂⋂=，则整数对()b a ,的个数为 A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【答】 （ ） 4. 在直三棱柱111A B C ABC -中，2B AC π∠=，11AB AC AA ===. 已知Ｇ与Ｅ分别为11A B 和1C C 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段A C 和A B 上的动点（不包括端点）. 若G D E F ⊥，则线段D F 的长度的取值范围为A. 1⎫⎪⎭B.1, 25⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 1,⎡⎣D. 【答】 （ ） 5.设(32()log f x x x =++，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答】 （ ） 6. 数码1232006,,,,a a a a 中有奇数个9的2007位十进制数12320062a a a a 的个数为A ．200620061(108)2+ B ．200620061(108)2- C ．20062006108+ D ．20062006108- 【答】（ ）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 设x x x x x f 44cos cos sin sin )(+-=，则)(x f 的值域是 。
2006年上海市高中数学竞赛试卷及解析
2006年上海市高中数学竞赛试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明第II卷（非选择题）一、解答题1.如图,已知抛物线2px(p>0),其焦点为F,一条过焦点F且倾斜角为θ(0<θ<π)的直线交抛物线于点A、B,联结AO (O为坐标原点),交准线于点B′,联结BO,交准线于点A′，求四边形ABB′A′的面积.2.数列{a n}定义如下: a1=1,且当n≥2时, a n={a n2+1, 当n为偶数时1a n−1, 当n为奇数时.已知a n=3019求正整数n.3.对一个边长互不相等的凸n(n≥3)边形的边染色,每条边可染红、黄、蓝三种颜色中的一种,但不允许相邻的边有相同的颜色.问:共有多少种不同的染色方法?4.设a、b∈[0,1].求S=a1+b+b1+a+(1−a)(1−b)的最大值和最小值二、填空题5.设x、y、z是正实数,满足xy+z=(x+z)(y+z).则xyz的最大值是______.6.设从正整数k开始的201个连续正整数中,前101个正整数的平方和等于后100个正整数的平方和.则k的值为______.7.设n(n≥2)是给定的整数, x1,x2,…,x n是实数.则sinx1cosx2+sinx2cosx3+⋯+sinx n cosx 1的最大值是______.8.在△ABC 中, ∠A=30°,∠B =105°,过边AC 上一点D 作直线DE,与边AB 或边BC相交于点E,使得∠CDE=60°,且DE 将△ABC 的面积二等分,则(CD AC)2=______. 9.对于任意实数a 、b,不等式max {|a+b |,|a −b |,|2006−b |}≥c 恒成立,则常数c的最大值是______ (其中,max {x,y,z }表示x 、y 、z 中的最大者). 10.设f (x )=x 2+ax +bcosx,{x|f (x )=0,x ∈R }={x|f(f (x ))=0,x ∈R}≠∅.则满足条件的所有实数a 、b 的值分别为______.11.在直三棱柱中,已知底面积为sm 2,三个侧面面积分别为mm 2,nm 2,pm 2.则它的体积为______m 3. 12.已知函数f:R +→R 满足:对任意x 、y ∈R +,都有f (x )f (y )=f (xy )+2006(1x+1y+2005).则所有满足条件的函数f 为______.参考答案1.2p2(1+1k2)32=2p2(1+cot2θ)32【解析】1.当θ=π2时,S四边形ABB′A′=2p2.当θ≠π2时,令k=tanθ.设A(x1,y1)、B(x2,y2)由y=k(x−p2),y2=2px,消去x得y2−2pky−p2=0.则y1+y2=2p k,y1y2=−p2. ①又直线AO的方程为y=y1x1x,即y=2py1x,所以,AO与准线的交点的坐标为B′(−12,−p2y1).而由式①知y2=−p2y1,则点B和B′的纵坐标相等. 从而,BB′∥x轴同理,AA′∥x轴故四边形ABB′A′是直角梯形,其面积为S四边形ABB′A]=12(|AA′|+|BB′|)°|A′B′|=12|AB|⋅|A′B′|=12√(x2−x1)2+(y2−y1)|y2−y1|=12(y2−y1)2√1+1k2 =1√1+1[(y1+y2)2−4y1y2]=2p2(1+1k2)32=2p2(1+cot2θ)32.2.238【解析】2.由题设易知,a n>0(n=1,2…)又由a1=1,可知,当n为偶数时,a n>1.当n (n >1)是奇数时, a n =1a n−1<1.由于a n=3019>1.所以,n 为偶数. 从而,a n2=3019−1=1119<1.因此, n 2是奇数 于是，依次可得a n 2−1=1911>1,n2−1是偶数； a n−24=1911−1=811,n−24是奇数； a n−24−1=118>1,n−64是偶数；a n−68=118−1=38<1,n−68是奇数；a n−68−1=83>1,n−148是偶数；a n−1416=83−1=53>1,n−1416是偶数；a n−1432=53−1=23<1,n−1432是奇数； a n−1432−1=32>1,n−4632是偶数； a n−4664=32−1=12<1,n−4664是奇数； a n−4664−1=2>1,n−11064是偶数； a n−110128=2−1=1.所以，a n−110128=1，解得n=238.3.2n +(−1)n ×2【解析】3.设不同的染色方法有p n 种.易知p 3=6.当n≥4时,首先对于边a 1有3种不同的染法。
2006年全国普通高等学校招生统一考试数学理试卷参考答案答案(上海卷)
2006年全国普通高等学校招生统一考试 上海数学试卷（理工农医类）答案要点及评分标准说明1． 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2． 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．解答 一、（第1题至第12题）1．1 2．23．12 4．165．1i -+ 6．57．221164x y += 8．5 9．13510．36 11．011k b =-<<，12．10a ≤ 二、（第13题至第16题）三、（第17题至第22题）17．解：ππ2cos cos 244y x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos22x x = ·························································································· 6分 π2sin 26x ⎛⎫=+⎪⎝⎭． ····························································································· 8分∴函数ππ2cos cos 244y x x x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域是[]22-，，最小正周期是π． ·········· 12分 18．解：连接BC ，由余弦定理得222201022010cos120700BC =+-⨯⨯⨯=，于是，BC = ····································································································· 4分s i n 12020ACB ∠=sin ACB ∴∠=， ························································ 8分 90ACB ∠<，41ACB ∴∠≈， ············································································ 10分 所以，乙船应朝北偏东71方向沿直线前往B 处救援． ············································ 12分 19．解：（1）在四棱锥P ABCD -中，由PO ⊥平面ABCD ，得PBO ∠是PB 与平面ABCD 所成角，60PBO ∠=． ··············································· 2分在Rt AOB △中，sin301BO AB ==，又PO BO ⊥，于是，tan 60PO BO ==ABCD S =∴四棱锥P ABCD -的体积123P ABCD V -=⨯=． ··············································· 6分 （2）解法一：以O 为坐标原点，射线OB OC OP ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系． ··········································································································· 7分 在Rt AOB △中，OA =于是，点AB D P ，，，的坐标分别是(0(100)(100)(00A B D P -，，，，，，．E 是PB 的中点，则点E 的坐标是1022⎛ ⎝⎭，，，于是，30(02DE AP ⎛== ⎝⎭，，． ····································································· 11分设DE 与AP的夹角为θ，有3cos 4θ==，arccos 4θ= ∴异面直线DE 与PA所成角的大小是． ························································ 14分A解法二：取AB 的中点F ，连接EF DF ，．由E 是PB 的中点，得EF PA ∥，∴FED ∠是异面直线DE 与PA 所成角（或它的补角）． ··································· 8分 在Rt AOB △中，cos30OA AB OP ===，于是，在等腰直角POA △中，PA =2EF =． 而在正ABD △和正PBD △中，DE DF == ························································ 11分12cos EFFED DE ∠===，∴异面直线DE 与PA所成角的大小是arccos4． ························································ 14分 20．证明：（1）设过点(30)T ，的直线l 交抛物线22y x =于点1122()()A x y B x y ，，，． 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =，此时，直线l与抛物线相交于点(3(3A B ，，3OA OB ∴=． ···························································· 1分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠．由22(3)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，，得2260ky y k --=，则126y y =-． ····················································· 3分又221221122x y x y == 1，， 2121212121()34OA OB x x y y y y y y ∴=+=+= ．综上所述，命题“如果直线l 过点(30)T ，，那么3OA OB =”是真命题． ······················ 6分解：（2）逆命题是：设直线l 交抛物线22y x =于A B ，两点，如果3OAOB =·，那么该直线过点(30)T ，．该命题是一个假命题． ··············································································· 8分CBFAPEDO例如：取抛物线上的点1(22)12A B ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，此时3OAOB = ·， ········································ 11分 直线AB 的方程是2(1)3y x =+，而(30)T ，不在直线AB 上． ········································· 14分 说明：由抛物线22y x =上的点1122()()A x y B x y ，，，满足3OA OB = ·，可得126y y =-或122y y =．如果126y y =-，可证得直线AB 过点(30)，；如果122y y =，可证得直线AB 过点(10)-，，而不过点(30)，． 21．证明：（1）当1n =时，22a a =，则21a a a =； ··························································· 1分 当221n k -≤≤时，1(1)2n n a a S +=-+，1(1)2n n a a S -=-+，1(1)n n n a a a a +-=-，1n na a a +∴=． ∴数列{}n a 是等比数列． ······································································································ 4分 解：（2）由（1）得12n n a a -=， (1)(1)12(1)21212222n n n n n nn nk n a a a aa--++++--∴===……， ·················································· 8分1(1)11(122)2121n n n n b n n k n k k --⎡⎤=+=+=⎢⎥--⎣⎦ ，，， ． ······················································ 10分 （3）设32n b ≤，解得12n k +≤，又n 是正整数，于是当n k ≤时，32n b <； 当1n k +≥时，32n b >． ··································································································· 12分原式12123333322222k k k b b b b b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……121()()k k k b b b b +=++-++……211(21)(01)22212121k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥=+-+=⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． ··············································· 14分由2421k k -≤，得2840k k -+≤，44k -+≤，又2k ≥，∴当234567k =，，，，，时，原不等式成立． ··········································································· 16分 22．解：（1）函数2(0)by x x x=+>的最小值是6=， 2log 9b ∴=． ························································································································ 3分 （2）设120x x <<，222221212122222112()1c c c y y x x x x x x x x ⎛⎫-=+--=-- ⎪⎝⎭·． ··················· 5分12x x <时，21y y >，函数22c y x x =+在)+∞上是增函数；当120x x <<21y y <，函数22c y x x=+在(0上是减函数．又22c y x x=+是偶函数，于是，该函数在(--，∞上是减函数，在)⎡⎣上是增函数．（3）可以把函数推广为nn ay x x=+（常数0a >），其中n 是正整数． 当n 是奇数时，函数nn a y x x=+在(0上是减函数，在)⎡+⎣∞上是增函数；在(--，∞上是增函数，在)⎡-⎣上是减函数．当n 是偶数时，函数nn a y x x =+在(上是减函数，在)⎡+⎣∞上是增函数；在(--，∞上是减函数，在)⎡-⎣上是增函数． ······················································ 12分2211()nnF x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0212323223231111n n r n rn nn n n n n n n r n C x C x C x C x x x x x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……， 因此，()F x 在112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，在[]12，上是增函数． ················································· 16分 所以，当12x =或2x =时，()F x 取得最大值9924n n⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当1x =时，()F x 取得最小值12n +． ······································································ 18分。
2006年全国高中数学联赛试题及答案(一试)
, a2006 中有奇数个 9 的 2007 位十进制数 2a1a2 a3
C． 10
2006
a2006 的个数为
【答】 （ B ）
1 2006 2006 1 (10 + 8 ) B． (102006 − 82006 ) 2 2
+ 82006 D． 102006 − 82006
2005 3 + C2006 92003 +
-1-
4. 在直三棱柱 A1 B1C1 − ABC 中， ∠BAC =
π
2
， AB = AC = AA1 = 1 . 已知Ｇ与Ｅ分别为 A1 B1 和
CC1 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段 AC 和 AB 上的动点（不包括端点）. 若 GD ⊥ EF ，则线段 DF 的
长度的取值范围为 A. ⎢
⎡ 1 ⎞ , 1⎟ ⎣ 5 ⎠
3. 已知集合 A = x 5 x − a ≤ 0 ， B = x 6 x − b > 0 , a, b ∈ N ，且 A ∩ B ∩ N = {2,3, 4} ，则整数 对 (a, b ) 的个数为 A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【答】 （ C ）
{
}
{
}
【解】
5x − a ≤ 0 ⇒ x ≤
+ x 2004 ) = 2006 x 2005 的实数解的个数为 1 . + x 2004 ) = 2006 x 2005
2006
+ 1)(1 + x 2 + x 4 +
⇔ (x +
1
x
2005
)(1 + x 2 + x 4 +
+ x 2004 ) = 2006
2006年 上海 数学试卷(理工农医类)题及答案
2006年 上海 数学试卷 （理工农医类）题及答案一、填空题：（4分⨯12=48分）1、已知集合{}1,3,21A m =--，集合{}23,B m =。
若B A ⊆，则实数_____________m =解：222321110B A m A m B B m m m ⎫⊆⎫⇒∈⎪⎬∈⎭⎪⎪∈⇒=-⇒=⎬⎪-<⎪⎪⎭2、已知圆22440x x y --+=的圆心是点P ，则点P 到直线10x y --=的距离是_________________ 解：2222440(2)8x x y x y --+=⇒-+=(2,0)P ⇒。
故点P 到直线10x y --=的距离2d ==。
3、若函数()(0,1)xf x a a a =>≠且的反函数的图象过点21-（，），则 __________a = 解：因为函数()(0,1)xf x a a a =>≠且的反函数的图象过点21-（，），所以函数()(0,1)xf x a a a =>≠且的图象过点2（-1,），即1122aa -=⇒=。
4、计算：33lim __________1nn C n →∞=+ 解：333(1)(2)1321lim lim 116nn n n n n C n n →∞→∞--⨯⨯==++ 5、若复数z 同时满足2,z z i z iz -==（i 为虚数单位），则_________z =解：222(1)211z z ii z iz i i z i z i i z iz⎧-=⎪⇒-=⇒-=⇒==-+⎨-=⎪⎩。
6、如果1cos 5α=，且α是第四象限的角，那么cos()______________2πα+= 解：1cos 5α=，且α是第四象限的角，sin α∴=。
cos()sin 2παα∴+=-=7、已知椭圆中心在原点，一个焦点为(F -，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是____________________________解：因为椭圆中心在原点，一个焦点为(F -，所以所求椭圆的标准方程是22221x y a b+=且c =。
2006年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
2006年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准说 明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次.三. 解答题（本题满分60分，每小题20分）13. 给定整数2n ≥，设 ),(000y x M 是抛物线12-=nx y 与直线x y =的一个交点. 试证明对于任意正整数m ，必存在整数2k ≥，使),(00mmy x 为抛物线12-=kx y 与直线x y =的一个交点.【证明】 因为12-=nx y 与x y =的交点为002n x y ±==.显然有001x n x +=。
…（5分）若),(00mmy x 为抛物线12-=kx y 与直线x y =的一个交点，则001mmk x x =+. …（10分） 记001mm mk x x =+，则 101101()m m m m m k k x k nk k x +--=+-=-， (2)m ≥ （13.1） 由于1k n =是整数，22220020011()22k x x n x x =+=+-=-也是整数，所以根据数学归纳法，通过（13.1）式可证明对于一切正整数m ，001mm m k x x =+是正整数. 现在对于任意正整数m ，取001m mk x x =+，使得12-=kx y 与x y =的交点为),(00m m y x . ………………… （20分）14. 将2006表示成5个正整数12345,,,,x x x x x 之和. 记15i j i j S x x ≤<≤=∑. 问：（1） 当12345,,,,x x x x x 取何值时，S 取到最大值；（2） 进一步地，对任意1,5i j ≤≤有2i j x x -≤，当12345,,,,x x x x x 取何值时，S 取到最小值. 说明理由.【解】 （1） 首先这样的S 的值是有界集，故必存在最大值与最小值。
上海市高中数学竞赛试题及答案
2016年上海市高中数学竞赛试题及答案一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1.已知函数()2f x ax bx c =++（0a ≠，,,a b c 均为常数），函数()1f x 的图象与函数()f x 的图象关于y 轴对称，函数()2f x 的图象与函数()1f x 的图象关于直线1y =对称，则函数()2f x 的解析式为 ．答案：()22 2.f x ax bx c =-+-+解 在函数()y f x =的表达式中用x -代替x ，得()21f xax b x c =-+，在函数()1y f x =的表达式中用2y -代替y ，得()22 2.f x ax bx c =-+-+ 2.复数z 满足1z =，2223w z z=-在复平面上对应的动点W 所表示曲线的普通方程是 ．答案：221.25y x += 解 设,z a bi w x yi =+=+，则221a b +=，()()()()()()()()()222222222222333210.a bi x yi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a bi ab abi -+=+-=+-++-=+--=-+从而22,10x a b y ab =-=，于是()22222224 1.25y x a b a b +=-+= 3.关于x 的方程arctan 2arctan 26x xπ--=的解是 ．答案：2log x =解 因为()()tan arctan 2tan arctan 2221xxx x --⋅=⋅=，所以arctan 2arctan 22x x π-+=，解得arctan 2,arctan 236xx ππ-==，则22log x x ==4.红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为1,2,3,4,5,6，则同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于36，共有 种可能． 答案：48．解 四颗骰子乘积等于36，共有四种情形：（1）两个1，两个6，这种情形共246C =种可能； （2）两个2，两个3，这种情形共246C =种可能；（3）两个3，一个1，一个4，这种情形共214212C C =种可能；（4），123,6各一个，这种情形共4424A =种可能．综上，共有66122448+++=种可能． 5.已知函数()()()()1c o s ,202xfx x g xa a π==-≠，若存在[]12,0,1x x ∈，使()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围为 ．答案；13,00,.22⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦解 易知[]0,1x ∈时，()[]1,1.f x ∈-只需求a 的取值范围，使得()g x 能取到[]1,1-中的值．（1）当0a >时，()g x 单调递增，因为()12g x >-，故只需()01g ≤，解得30.2a <≤ （2）当0a <时，()g x 单调递减，因为()12g x <-，故只需()01g ≥-，解得10.2a -≤<6.如图，有16间小三角形的房间，甲、乙两人被随机地分别安置在不同的小三角形房间，那么他们在不相邻（指没有公共边）房间的概率是 （用分数表示）．答案：17.20解法一 如图1，将小三角形房间分为三类：与第一类（红色）房间相邻的房子恰有一间，与第二类（绿色）房间相邻的房间恰有两间，与第三类（白色）房间相邻的房间恰有三间，从而满足条件的安置方法共有()()()316261637164204⨯-+⨯-+⨯-=种．从而所求概率为20417.161520=⨯解法二 我们从反面考虑问题，如图2，每一对相邻房间对应着一条黄色的邻边，故所求概率为18231711.16152020⨯-=-=⨯7.在空间，四个不共线的向量,,,OA OB OC OD ，它们两两的夹角都是α，则α的大小是 ． 答案：1arccos .3π-解 如图，ABCD 为正四面体，角α即为AOD ∠，设,E M 分别为BC 和AD 的中点，则,AE DE OA OD ==，则中心O 在EM 上，从而O 为△ADE 的垂心，11sin sin cos .33EH ODE EAH DOH AE ∠=∠==⇒∠= 所以，1arccos .3απ=-8.已知330,0,1b a b α>>+=，则a b +的取值范围为 ．答案：(．解 注意到()204a b ab +<≤，及()()()()2332213,a b a b a ab b a b a b ab ⎡⎤=+=+-+=++-⎣⎦我们有()()33114a b a b +≤<+，所以1a b <+≤ 二、解答题（本题满分60分，每小题15分）9.如图，已知五边形11111A B C D E 内接于边长为1的正五边形ABCDE ．求证：五边形11111A B C D E 中至少有一条边的长度不小于cos .5π证设1111111111,,,,,,,,,E A AA A B BB B C CC C D DD D E EE 的长分别为12121,,,,,a a b b c 21212,,,,,c d d e e 则()()()()()()()()()()12121212121221212121 5.a ab bc cd de e a e a b b c c d d e +++++++++=+++++++++=由平均数原理，1212121212,,,,a a b b c c d d e e +++++中必有一个大于1，不妨设121a a +≥，则2110.a a ≥-≥此时()()22222111212111122111212322cos121cos 5522221cos 21cos 21cos 1555211221cos 1cos 5225121cos cos .255A E a a a a a a a a a a a a πππππππππ=+-≥+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-----+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫≥+= ⎪⎝⎭所以，11cos.5A E π≥命题得证．10.设,p q 和r 是素数，且|1,|1,|1p qr q rp r pq ---，求pqr 的所有可能的值．解 由题设可得()()()|111pqr qr rp pq ---，因为()()()()2221111,qr rp pq p q r pqr p q r pq qr rp ---=-+++++-所以，| 1.pqr pq qr rp ++-于是11111pq qr rp pqr p q r pqr++-=++-为正整数．记1111k p q r pqr =++-，注意到,,2p q r ≥，则32k <从而 1.k = 由对称性，不妨设.p q r ≤≤ 若3p ≥，则1111k p q r<++≤，矛盾，故 2.p = 若3q >，则5q ≥，12125k =+<，矛盾． 若2q =，则11111224k r r ⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭，也矛盾．故 3.q = 最后，由11111236r r=++-，得 5.r = 综上，30.pqr =11.已知数列{}n a 满足递推关系()*11123n n n a a n N +=-+∈，求所有1a 的值，使{}n a 为单调数列，即{}n a 为递增数列或递减数列．解 由11123n n n a a +=-+得，1113332n n n n a a +++=-+，令3n n n b a =，则 1136363,2525n n n n b b b b ++⎛⎫=-+⇒-=-- ⎪⎝⎭从而，11663,552n n b b -⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则1111111116633335522121535212221.25352n n n n n n n n n nb a a a a T -----⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+--⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦若125a ≠，注意到213-<，则当2/31521log 25n a ⎛⎫>+-⎪⎝⎭时，T 与125a -同号，但112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭正负交替，从而n a 正负交替，{}n a 不为单调数列．当125a =时，12153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭为递减数列．综上，当且仅当125a =时，{}n a 为单调数列． 12.已知等边三角形ABC 的边长为5，延长BA 至点P ，使得9AP =，D 是线段BC 上一点（包括端点）．直线AD 与△BPC 的外接圆交于,E F 两点，其中.EA ED < （1）设BD x =，试将EA DF -表示为关于x 的函数()f x ； （2）求()f x 的最小值．解 （1）设,,u EA v AD w DF ===，则().f x u w =- 在△ABD 中，由余弦定理，得v == 在△PBC 的外接圆中运用相交弦定理，得()()()5945,5.u v w u v w x x +=⨯=+=-两式相减，得()2545,v u w x x -=-+故())2254505.x x f x u w x v -+=-==≤≤（2）设0t =，则()222020t f x t t t +===+≥=当且仅当20t t=时等号成立，此时t ==解得x =所以，当x =()f x 取到最小值。
2006年高考数学(上海)卷
2006年全国高等学校招生统一考试数学（上海）试题一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 计算：=+-∞→3423limn n n .2. 方程1)12(log 3=-x 的解=x .3. 函数]1,0[,53)(∈+=x x x f 的反函数=-)(1x f.4. 不等式0121>+-x x的解集是 . 5. 已知圆)0()5(:222>=++r r y x C 和直线053:=++y x l . 若圆C 与直线l 没有公共点，则r 的取值范围是 .6. 已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则 当),0(∞+∈x 时，=)(x f .7. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首 尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）. 8. 正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 . 9. 在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos .10. 若向量b a、的夹角为 150，4,3==b a ，则=+b a2 .11. 已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原 点，则三角形OAB 面积的最小值为 .12. 同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低； 反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列n a a a ,,,21 满足n a a a ≤≤≤ 21，则 （结论用数学式子表示）.二．选择题（本大题满分16分） 13. 抛物线x y 42=的焦点坐标为（A ）)1,0(. （B ）)0,1(. （C ）)2,0(. （D ）)0,2(. 14. 若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是 （A ）ba 11<. （B ）22b a >. （C ）1122+>+c b c a .（D ）||||c b c a >.15. 若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的 （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.16. 若集合131,11,2,01A y y x x B y y x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪==-≤≤==-<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭，则A ∩B 等于( )（A ）]1,(∞-. （B ）[]1,1-. （C ）∅. （D ）}1{.三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. (本题满分12分)在长方体1111D C B A ABCD -中，已知3,41===DD DC DA ，求异面直线B A 1与CB 1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.18. (本题满分12分)已知复数w 满足i (i )23(4w w -=-为虚数单位），|2|5-+=w wz ，求一个以z 为根的实系数一元二次方程.19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.已知函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πππ,2,cos 26sin 2)(x x x x f . （1）若54sin =x ，求函数)(x f 的值； （2）求函数)(x f 的值域.20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为12510022=+y x ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、⎪⎭⎫ ⎝⎛764,0M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为)0,8(D . 观测点)0,6()0,4(B A 、同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； （2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点B A 、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.设函数54)(2--=x x x f .（1）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像； （2）设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A . 试判断集合A 和B 之间的关系，并给出证明；（3）当2>k 时，求证：在区间]5,1[-上，3y kx k =+的图像位于函数)(x f 图像的上方.22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分. 第3小题满分6分.已知数列3021,,,a a a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0≠d ）.（1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？参考答案一． 1.43. 2. 2. 3. []8,5),5(31∈-x x . 4. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,1. 5. )10,0(. 6. 4x x --.7. 48. 8.316. 9. 257. 10. 2. 11. 4.12.)1(2121n m na a a m a a a nm <≤+++≤+++ 和)1(2121n m na a a m n a a a nn m m <≤+++≥-+++++二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.三．（第17至22题） 17. [解法一] 连接D A 1，D BA C B D A 111,//∠∴ 为异面直线B A 1与C B 1所成的角. ……4分 连接BD ，在△DB A 1中，24,511===BD D A B A ， ……6分则DA B A BD D A B A D BA 112212112cos ⋅⋅-+=∠259552322525=⋅⋅-+=. ……10分 ∴ 异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为259arccos. ……12分 [解法二] 以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系. ……2分 则 )0,4,0()3,4,4()0,4,4()3,0,4(11C B B A 、、、， 得)3,0,4(),3,4,0(11--=-=C B B A . …6分设A 1与B 1的夹角为θ，则259cos =θ， ……10分 ∴ A 1与B 1的夹角大小为259arccos， 即异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为259arccos . 12分18. [解法一] i 2i21i34,i 34)i 21(-=++=∴+=+w w ， ……4分 i 3|i |i25+=-+-=∴z . ……8分 若实系数一元二次方程有虚根i 3+=z ，则必有共轭虚根i 3-=z . 10,6=⋅=+z z z z ，∴ 所求的一个一元二次方程可以是01062=+-x x . ……12分 [解法二] 设ib a w +=R)(∈b a 、b a b a 2i 2i 34i +-=-+，得 ⎩⎨⎧-==-,23,24a b b a ∴ ⎩⎨⎧-==,1,2b ai 2-=∴w ， ……4分 以下解法同[解法一]. 19. [解]（1）53cos ,,2,54sin -=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=x x x ππ ， ……2分x x x x f cos 2cos 21sin 232)(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+= ……4分 x x cos sin 3-=53354+=. ……8分 （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin 2)(πx x f ， ……10分ππ≤≤x 2， 6563πππ≤-≤∴x ， 16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤πx ，∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[. ……14分20. [解]（1）设曲线方程为7642+=ax y ， 由题意可知，764640+⋅=a .71-=∴a . ……4分∴ 曲线方程为764712+-=x y . ……6分（2）设变轨点为),(y x C ，根据题意可知 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+)2(,76471)1(,125100222x y y x 得 036742=--y y ，4=y 或49-=y （不合题意，舍去）. 4=∴y . ……9分得 6=x 或6-=x （不合题意，舍去）.∴C 点的坐标为)4,6(， ……11分4||,52||==BC AC .答：当观测点B A 、测得BC AC 、距离分别为452、时，应向航天器发出变轨指令. ……14分 21. [解]（1）……4分（2）方程5)(=x f 的解分别是4,0,142-和142+，由于)(x f 在]1,(-∞-和]5,2[上单调递减，在]2,1[-和),5[∞+上单调递增，因此(][)∞++-∞-=,142]4,0[142, A . ……8分由于A B ⊂∴->-<+,2142,6142. ……10分（3）[解法一] 当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f .)54()3()(2++--+=x x x k x g )53()4(2-+-+=k x k x436202422+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=k k k x ， ……12分 ∴>,2k 124<-k. 又51≤≤-x ， ① 当1241<-≤-k ，即62≤<k 时，取24kx -=， min )(x g ()[]6410414362022---=+--=k k k . 064)10(,64)10(1622<--∴<-≤k k ，则0)(min >x g . ……14分② 当124-<-k，即6>k 时，取1-=x ， min )(x g ＝02>k . 由 ①、②可知，当2>k 时，0)(>x g ，]5,1[-∈x .因此，在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方. ……16分 [解法二] 当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f .由⎩⎨⎧++-=+=,54),3(2x x y x k y 得0)53()4(2=-+-+k x k x ， 令 0)53(4)4(2=---=∆k k ，解得 2=k 或18=k ， ……12分在区间]5,1[-上，当2=k 时，)3(2+=x y 的图像与函数)(x f 的图像只交于一点)8,1(； 当18=k 时，)3(18+=x y 的图像与函数)(x f 的图像没有交点. ……14分如图可知，由于直线)3(+=x k y 过点)0,3(-，当2>k 时，直线)3(+=x k y 是由直线)3(2+=x y 绕点)0,3(-逆时针方向旋转得到. 因此，在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方. ……16分 22. [解]（1）3,401010.102010=∴=+==d d a a . …… 4分（2）())0(11010222030≠++=+=d d d d a a ， …… 8分⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230d a ，当),0()0,(∞+∞-∈ d 时，[)307.5,a ∈+∞. …… 12分（3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n 时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a 是公差为n d 的等差数列. …… 14分 研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a 的取值范围.…… 16分 研究的结论可以是：由()323304011010d d d d a a +++=+=， 依次类推可得 ()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--⨯=+++=++.1),1(10,1,11101101)1(10d n d d d d d a n nn 当0>d 时，)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等. …… 18分。
2006年 上海 数学试卷(文史类)答案
2006年 上海 数学试卷 （文史类） 试题及答案一、填空题：（4分⨯12=48分）1、已知集合{}1,3,A m =-，集合{}3,4B =。
若B A ⊆，则实数_____________m =解： {}4441,3,B A A B m A m ⊆⎫⎫⇒∈⎬⎪∈⇒=⎭⎬⎪=-⎭。
2、已知两条直线1:330l ax y +-=，2:4610l x y +-=。
若12//l l ，则__________a = 解：1233//2461a l l a -⇒=≠⇒=-。
3、若函数()(0,1)xf x a a a =>≠且的反函数的图象过点21-（，），则 __________a = 解：因为函数()(0,1)xf x a a a =>≠且的反函数的图象过点21-（，），所以函数()(0,1)xf x a a a =>≠且的图象过点2（-1,），即1122aa -=⇒=。
4、计算：23(1)lim__________61n n n n →∞+=+ 解：23222333111lim(1)(1)101lim lim lim 1161616066lim(6)n n n n n n n n n n n n n n n→∞→∞→∞→∞→∞+++++=====+++++。
5、若复数(2)(1)z m m i =-++为纯虚数（i 为虚数单位），其中m R ∈，则____________z = 解：复数(2)(1)z m m i =-++为纯虚数20210m m m -=⎧⇒⇒=⎨+≠⎩，代入已知，得333z i z i =⇒==。
6、函数sin cos y x x =的最小正周期是_______________________ 解：1sin cos sin 22y x x x ==，222T πππω===。
7、已知双曲线的中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)，且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是____________________________解：由已知，所求双曲线的标准方程为22221x y a b -=。
2006年全国高中数学联赛试题及解答
2006年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1． 答C ．解：令∠ABC ＝α，过A 作AD ⊥BC 于D ，由||→BA －t →BC ≥||→AC ，推出||→BA 2－2t →BA · →BC ＋t 2||→BC 2≥||→AC 2,令t ＝→BA · →BC ||→BC2，代入上式，得||→BA 2－2||→BA 2cos 2α＋||→BA 2cos 2α≥||→AC 2，即 ||→BA 2sin 2α≥||→AC 2,也即||→BA sin α≥||→AC ．从而有||→AD ≥||→AC ．由此可得∠ACB ＝π2．2． 答B ．解：因为⎩⎨⎧x ＞0，x ≠12x 2＋x －1＞0，解得x ＞12且x ≠1．由log x (2x 2＋x －1)＞log x 2－1，⇒ log x (2x 3＋x 2－x )＞log x 2⇒ ⎩⎨⎧0＜x ＜1，2x 3＋x 2－x ＜2或⎩⎨⎧x ＞1，2x 3＋x 2－x ＞2．解得0＜x ＜1或x ＞1．所以x 的取值范围为x ＞12且x ≠1．3 答C ．解：5x －a ≤0⇒x ≤a 5；6x －b ＞0⇒x ＞b6．要使A ∩B ∩N ＝{2，3，4}，则⎩⎨⎧1≤b6＜2，4≤a 5＜5，即⎩⎨⎧6≤b ＜12，20≤a ＜25．所以数对(a ，b )共有C 61C 51＝30个． 4．答A ．解：建立直角坐标系，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，则F (t 1，0，0)(0＜t 1＜1)，E (0，1，12)，G (12，0，1)，D (0，t 2，0)(0＜t 2＜1)．所以→EF ＝(t 1，－1，－12)，→GD ＝(－12，t 2，－1)．因为GD ⊥EF ，所以t 1＋2t 2＝1，由此推出0＜t 2＜12．又→DF ＝(t 1，－t 2，0)，||→DF ＝t 12＋t 22＝5t 22－4t 2＋1＝5(t 2－25)2＋15，从而有15≤||→DF ＜1．5．答A ．解：显然f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)为奇函数，且单调递增．于是若a ＋b ≥0，则a ≥－b ，有f (a )≥f (－b )，即f (a )≥－f (b )，从而有f (a )＋f (b )≥0． 反之，若f (a )＋f (b )≥0，则f (a )≥－f (b )＝f (－b ),推出a ≥－b ，即a ＋b ≥0． 6． 答B ．解：出现奇数个9的十进制数个数有A ＝C 20061 92005＋C 20063 92003＋…＋C 200620059．又由于(9＋1)2006＝k ＝0Σ2006C 2006k 92006－k 以及(9－1)2006＝k ＝0Σ2006C 2006k (－1)k 92006－k 从而得A ＝C 20061 92005＋C 20063 92003＋…＋C 200620059＝12(－82006)． 二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7. 填[0，98]．解：f (x )＝sin 4x －sin x cos x ＋cos 4x ＝1－12sin2x －12sin 22x ．令t ＝sin2x ，则f (x )＝g (t )＝1－12t －12t 2＝98－12(t ＋12)2．因此－1≤t ≤1min g (t )＝g (1)＝0，－1≤t ≤1max g (t )＝g (－12)＝98． 故，f (x )∈[0，98]．8. 填[－55，55]．解：依题意，得|z |≤2⇔(a ＋cos θ)2＋(2a －sin θ)2≤4⇔2a (cos θ－2sin θ)≤3－5a 2． ⇔－25a sin(θ－φ)≤3－5a 2(φ＝arcsin 55)对任意实数θ成立． ⇔25|a |≤3－5a 2⇒|a |≤55，故 a 的取值范围为[－55，55]． 9．填3－1．.解：由平面几何知，要使∠F 1PF 2最大，则过F 1，F 2，P 三点的圆必定和直线l 相切于点P ．直线l 交x 轴于A (－8－23，0)，则∠APF 1＝∠AF 2P ，即∆APF 1∽∆AF 2P ，即|PF 1||PF 2|＝|AP ||AF 2|⑴ 又由圆幂定理，|AP |2＝|AF 1|·|AF 2|⑵而F 1(－23，0)，F 2(23，0)，A (－8－23，0)，从而有|AF 1|＝8，|AF 2|＝8＋43． 代入⑴，⑵得，|PF 1||PF 2|＝|AF 1||AF 2|＝88＋43＝4－23＝3－1．10． 填(13＋22)π． 解：设四个实心铁球的球心为O 1，O 2，O 3，O 4，其中O 1，O 2为下层两球的球心，A ，B ，C ，D 分别为四个球心在底面的射影．则ABCD 是一个边长为22的正方形。
2006年上海高考数学试卷与详细解答(理科)
2006年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（理工农医类）一．填空题（本大题满分48分）1．已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2m }．若B ⊆A ，则实数m ＝ ．2．已知圆2x －4x －4＋2y ＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是 ．3．若函数)(x f ＝xa （a ＞0，且a ≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则a ＝ ．4．计算：1lim 33+∞→n C nn ＝ ．5．若复数z 同时满足z －-z ＝2i ，-z ＝iz （i 为虚数单位），则z ＝ ． 6．如果αcos ＝51，且α是第四象限的角，那么)2cos(πα+＝ ．7．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ． 8．在极坐标系中，O 是极点，设点A （4，3π），B （5，－65π），则△OAB 的面积是 ．9．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）．10．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ．11．若曲线2y ＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是 ．12．三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ．二．选择题（本大题满分16分）13．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是 [答]（ ）（A ）→--AB ＝→--DC ；（B ）→--AD ＋→--AB ＝→--AC ； （C ）→--AB －→--AD ＝→--BD ；（D ）→--AD ＋→--CB ＝→0．14．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的[答]（ ）（A ）充分非必要条件；（B ）必要非充分条件；（C ）充要条件；（D ）非充分非必要条件．15．若关于x 的不等式x k )1(2+≤4k ＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有[答]（ ）（A ）2∈M ，0∈M ； （B ）2∉M ，0∉M ； （C ）2∈M ，0∉M ；A BD（D ）2∉M ，0∈M ．16．如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p 、q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”．已知常数p ≥0，q ≥0，给出下列命题：①若p ＝q ＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点 有且仅有1个；②若pq ＝0，且p ＋q ≠0，则“距离坐标”为 （p ，q ）的点有且仅有2个；③若pq ≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有4个．上述命题中，正确命题的个数是 [答]（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3．三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分12分） 求函数y ＝2)4cos()4cos(ππ-+x x ＋x 2sin 3的值域和最小正周期．[解]18．（本题满分12分）如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1）？ [解]1l 2lOM （p ，q ）北19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60 ，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60 ．（1）求四棱锥P －ABCD 的体积； （2）若E 是PB 的中点，求异面直线 DE 与PA 所成角的大小（结果用反 三角函数值表示）． [解]（1） （2）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分P ABCDO E在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点． （1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解]（1） （2）21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知有穷数列{n a }共有2k 项（整数k ≥2），首项1a ＝2．设该数列的前n 项和为n S ，且1+n a ＝n S a )1(-＋2（n ＝1，2，┅，2k －1），其中常数a ＞1． （1）求证：数列{n a }是等比数列；（2）若a ＝2122-k ，数列{n b }满足n b ＝)(log 1212n a a a n⋅⋅⋅（n ＝1，2，┅，2k ），求数列{n b }的通项公式；（3）若（2）中的数列{n b }满足不等式|1b －23|＋|2b －23|＋┅＋|12-k b －23|＋|k b 2－23|≤4，求k 的值．（2） （3）22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）已知函数y ＝x ＋xa有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．（1）如果函数y ＝x ＋xb2（x ＞0）的值域为[6，＋∞)，求b 的值；（2）研究函数y ＝2x ＋2x c（常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由； （3）对函数y ＝x ＋x a 和y ＝2x ＋2xa （常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F ＝n x x )1(2+＋n x x)1(2+（n 是正整数）在区间[21，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）． [解]（1）（2） （3）上海数学(理工农医类)参考答案2006年高考上海 数学试卷（理）一．填空题1． 解：由2211m m m =-⇒=，经检验，1m =为所求；2． 解：由已知得圆心为：(2,0)P ，由点到直线距离公式得：211d ==+； 3．解：由互为反函数关系知，)(x f 过点(1,2)-，代入得：1122a a -=⇒=；4．解：33223333321(1)(2)321lim lim limlim 161(1)3!(1)3!(1)3!n n n n n C n n n n n n n n n n n n→∞→∞→∞→∞-+---+====++++； 5． 解：已知2211i Z iZ i Z i i⇒-=⇒==--；6． 解：已知226cos()sin (1cos )25πααα⇒+=-=---=；7．解：已知222222242,23161164(23,0)b a bc y x a a b cF =⎧⎪==⎧⎪⎪⇒⇒=⇒+=⎨⎨-=⎪⎪⎩-⎪⎩为所求； 8． 解：如图△OAB 中，554,5,2(())366OA OB AOB ππππ==∠=---= 1545sin 526AOB S π∆⇒== (平方单位)；9． 解：分为二步完成： 1) 两套中任取一套，再作全排列，有124C P 种方法； 2) 剩下的一套全排列，有4P 种方法；所以，所求概率为：12448135C P P P =； 10．解：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”；11．解：作出函数2||1=+y x 的图象， 如右图所示：所以，0,(1,1)k b =∈-；12．解：由2x ＋25＋|3x －52x |≥225,112|5|ax x a x x x x≤≤⇒≤++-，而252510x x x +≥=，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；且2|5|0x x -≥，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；所以，2min 25[|5|]10a x x x x≤++-=，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；故(,10]a ∈-∞；二．选择题（本大题满分16分）13． 解：由向量定义易得， （C ）选项错误；AB AD DB -=；14．解： 充分性成立： “这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况： 1）第四点在共线三点所在的直线上，可推出“这四个点在同一平面上”； 2）第四点不在共线三点所在的直线上，可推出“这四点在唯一的一个平面内”；必要性不成立：“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上”；故选（A ） 15．解：选（A ）方法1：代入判断法，将2,0x x ==分别代入不等式中，判断关于k 的不等式解集是否为R ；方法2：求出不等式的解集； 16．解：选（D ）① 正确，此点为点O ② 正确，注意到,p q 为常数，由,p q 中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为q （或p ）； ③ 正确，四个交点为与直线1l 相距为p 的两条平行线和与直线2l 相距为q 的两条平行线的交点；三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分12分）求函数2cos()cos()44y x x x ππ=+-的值域和最小正周期．[解] 2cos()cos()44y x x x ππ=+-BD22112(cos sin )3sin222cos23sin22sin(2)6x x xx x x π=-+=+=+∴ 函数2cos()cos()3sin244y x x x ππ=+-+的值域是[2,2]-,最小正周期是π；18．（本题满分12分）如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1︒）？ [解] 连接BC,由余弦定理得BC 2=202+102－2×20×10COS120°=700.于是,BC=107. ∵710120sin 20sin ︒=ACB , ∴sin ∠ACB=73,∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B 处救援.19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60 ．（1）求四棱锥P －ABCD 的体积； （2）若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的大小（结果用 反三角函数值表示）．[解]（1）在四棱锥P-ABCD 中,由PO ⊥平面ABCD,得 ∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角, ∠PBO=60°. 在Rt △AOB 中BO=ABsin30°=1, 由PO ⊥BO,PAB CDOE于是,PO=BOtg60°=3,而底面菱形的面积为23. ∴四棱锥P-ABCD 的体积V=31×23×3=2. （2）解法一：以O 为坐标原点,射线OB 、OC 、OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立 空间直角坐标系.在Rt △AOB 中OA=3,于是,点A 、B 、 D 、P 的坐标分别是A(0,－3,0),B (1,0,0), D (－1,0,0), P (0,0, 3).E是PB的中点,则E(21,0,23) 于是DE =(23,0,23),AP =(0, 3,3). 设AP与DE 的夹角为θ,有cos θ=4233434923=+⋅+,θ=arccos 42,∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是arccos 42； 解法二：取AB 的中点F,连接EF 、DF.由E 是PB 的中点,得EF ∥PA ， ∴∠FED 是异面直线DE 与PA 所成 角(或它的补角)，在Rt △AOB 中AO=ABcos30°=3=OP ， 于是, 在等腰Rt △POA 中， PA=6，则EF=26. 在正△ABD 和正△PBD 中,DE=DF=3，cos ∠FED=34621=DE EF=42∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是arccos42.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点． （1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解]（1）设过点T(3,0)的直线l 交抛物线y 2=2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2).当直线l 的钭率不存在时,直线l 的方程为x=3,此时,直线l 与抛物线相交于点A(3,6)、B(3,－6). ∴OB OA ⋅=3；当直线l 的钭率存在时,设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠，由22(3)y xy k x =⎧⎨=-⎩得 2122606ky y k y y --=⇒=-又 ∵ 22112211,22x y x y ==，∴2121212121()34OA OB x x y y y y y y =+=+=，综上所述，命题“如果直线l 过点T(3,0)，那么OB OA ⋅=3”是真命题； (2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果⋅=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(21,1)，此时OA OB =3, 直线AB 的方程为：2(1)3y x =+，而T(3,0)不在直线AB 上；说明：由抛物线y 2=2x 上的点 A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2) 满足⋅=3，可得y 1y 2=－6，或y 1y 2=2，如果y 1y 2=－6，可证得直线AB 过点(3,0)；如果y 1y 2=2，可证得直线AB 过点(－1,0),而不过点(3,0).21．（本题满分16分，本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知有穷数列{n a }共有2k 项（整数k ≥2），首项1a ＝2．设该数列的前n 项和为n S ，且1+n a ＝n S a )1(-＋2（n ＝1，2，┅，2k －1），其中常数a ＞1． （1）求证：数列{n a }是等比数列； （2）若a ＝2122-k ，数列{n b }满足n b ＝)(log 1212n a a a n⋅⋅⋅（n ＝1，2，┅，2k ），求数列{n b }的通项公式；（3）若（2）中的数列{n b }满足不等式|1b －23|＋|2b －23|＋┅＋|12-k b －23|＋|k b 2－23| ≤4，求k 的值．(1) [证明] 当n=1时,a 2=2a,则12a a =a ； 2≤n≤2k －1时, a n+1=(a －1) S n +2, a n =(a －1) S n －1+2,a n+1－a n =(a －1) a n , ∴nn a a 1+=a, ∴数列{a n}是等比数列. (2)解：由(1) 得a n =2a1-n ,∴a 1a 2…a n =2n a)1(21-+++n =2n a2)1(-n n =212)1(--+k n n n ,b n =1121]12)1([1+--=--+k n k n n n n(n=1,2,…,2k).（3）设b n≤23,解得n≤k+21,又n 是正整数,于是当n≤k 时, b n<23；当n≥k+1时, b n>23.原式=(23－b 1)+(23－b 2)+…+(23－b k)+(b k+1－23)+…+(b 2k－23)=(b k+1+…+b 2k )－(b 1+…+b k )=]12)10(21[]12)12(21[k k kk k k k k k +--+-+--+=122-k k . 当122-k k ≤4,得k 2－8k+4≤0, 4－23≤k≤4+23,又k≥2,∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.22．（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分） 已知函数y ＝x ＋xa有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．（1）如果函数y ＝x ＋xb2（x ＞0）的值域为[6，＋∞)，求b 的值；（2）研究函数y ＝2x ＋2x c（常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由； （3）对函数y ＝x ＋x a 和y ＝2x ＋2xa （常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F＝n x x )1(2+＋n x x)1(2+（n 是正整数）在区间[21，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．[解]（1）函数y=x+xb2(x>0)的最小值是2b 2，则2b 2=6,∴b=log 29. (2) 设0<x 1<x 2,y 2－y 1=)1)((2221212221212222x x c x x x c x x c x ⋅--=--+. 当4c <x 1<x 2时, y 2>y 1, 函数y=22xc x +在[4c ,+∞)上是增函数；当0<x 1<x 2<4c 时y 2<y 1, 函数y=22xcx +在(0,4c ]上是减函数.又y=22x cx +是偶函数，于是， 该函数在(－∞,－4c ]上是减函数, 在[－4c ,0)上是增函数；(3) 可以把函数推广为y=n nx ax +(常数a>0),其中n 是正整数. 当n 是奇数时,函数y=n nxa x +在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数,在(－∞,－n a 2]上是增函数, 在[－n a 2,0)上是减函数； 当n 是偶数时,函数y=n nxax +在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数,在(－∞,－n a 2]上是减函数, 在[－n a 2,0)上是增函数； F(x)=n x x )1(2++n x x)1(2+=)1()1()1()1(323232321220n nn n r n r n r n n n n n n n xx C x x C x x C x x C ++++++++---- 因此F(x) 在 [21,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数.所以，当x=21或x=2时，F(x)取得最大值(29)n+(49)n；当x=1时F(x)取得最小值2n+1；。
2006年高中一年级数学竞赛试题及解析
2006年高中一年级数学竞赛试题及解析（总分：150分，时量：120分钟）第一卷 选择题、填空题一、选择题（第小题7分）1、已知函数y=log 2x 的反函数是y=f -1(x)，则函数y= f -1(1-x)的图象是（C ）解析：由已知可得，x x f2)(1=-，)1(1122)1(----==-x xx f ，xx g -=2)(与x x f2)(1=-关于y 轴对称（或)1(1122)1(----==-x x x f 为减函数），排出A 、B ， 又)1(1122)1(----==-x x x f 相当于x x g -=2)(向右平移了1个单位而得（或)1(1122)1(----==-x x x f 不过原点，排出D ），故选C. 2、在（0，2π），使sinx>cosx 成立的x 的取值范围为（ C ）A 、45,()2,4(ππππ B 、),4(ππ C 、45,4(ππ D 、)23,45(),4(ππππ 解法一：运用特殊值法； 解法二：利用三角函数的图象； 解法三：画单位圆3、方程2sin xx =解的个数是（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4解析：先构造函数x y sin 1=和22x y =， 再画出它们的图象，即可得交点个数.选C.4、在直角坐标系中，已知两点A （cos80°,sin80°），B （cos20°,sin20°），则|AB|的值是（ D ）A 、21B 、22C 、23 D 、1解法一：运用两点间的距离公式；解法二：作单位圆，则A 、B 是单位圆上位于第一象限的两点，∠AOB=80°-20°=60°，所以△AOB 是边长为1的等边三角形.故选D.5、已知二次函数f(x) =（x-a ）（x-b ）-2，m 、n 是方程f(x) =0的两根，则a 、b 、m 、n 的大小关系可能是（ A ） A 、m<a<b<n B 、a<m<n<b C 、a<m<b<n D 、m<a<n<b解法一：特殊值法；解法二：设g(x)=（x-a ）（x-b ），则a 、b 就是g(x)与x 轴的两个交点的横坐标，f(x) = g(x)-2的图象，相当于g(x)的图象向下平移了2个单位，则m 、n 就是f(x)与x 轴的两个交点的横坐标，由函数图象即可得xyoABy出结果.选A.6、设0＜x ＜π，则函数xxy sin cos 2-=的最小值是 ( C )A ．3B ．2C ．3D ．2-3解法一： 因y sin x +cos x =2，故2)sin(12=ϕ++x y ．由1)sin(≤ϕ+x ，得212≥+y ，于是32≥y ．因0＜x ＜π，故y ＞0．又当3=y 时，)6sin(2cos sin 3π+=+x x x ．若x =3π,有2)6sin(2=π+x ， 故y m in =3，选C ．解法二： 设tan 2x t =，则22212121tt t y t --+=+13t 2t 2=+≥=当且仅当13t 2t 2=，即t =332tan =x ，亦即x =3π时，取“=”，故y m in =3，选C ．解法三： 如图，单位圆中，∠MOt =),0(π∈x ，P (2,0)， M (cos x ，sin x )为圆上的任意一点，)0,[cos 2sin 0PA PM k xxk ∈--=，即为圆上一点M 与P 点的连线的斜率，当MP 与圆相切时，斜率最大. 因AP OA OP OA ⊥==,2,1，故∠AOP =3π，∠APt =65π，33tan -=∠=APt k PA ， 因x x y sin cos 2-=PM k 1-=， 故y m in = (- 1k PM )min = - 1k P A3，选C ．二、填空题（每小题7分）1、若直线y=2a ，与函数y=|a x —1|（a >0，且a ≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是 （0，21） 解析：若a >1，画出y=|a x —1|的图象，因为a >1，2a >2，所以y=2a 与y=|a x —1|只有一个交点.若0<a <1，画出y=|ax —1|的图象，若0<a <2，2a <1，所以y=2a 与y=|a x —1|有二个交点. 故a 的取值范围是（0，21）. 2、计算89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=____44.5________解析：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.53、函数)2(x f 的定义域是[-1，1]，则)(log 2x f 的定义域是______42≤≤x ______解析：42)(log 2log 222)(22211)2(22212121≤≤⇒≤≤⇒≤≤⇒≤≤⇒≤≤----x 是的定义x f x x 是的定义x f x 是的定义f x x 域域域4、函数312)(-+=x x x f 的值域是______y ≠2________ 解析：，x x x f x x x f 213)(312)(1-+=⇒-+=- 所以312)(-+=x x x f 的值域是y ≠2的实数5、设)(x f 是（-∞，+∞）上周期为2的奇函数，当x ，x ，f x =≤≤)(10时则)5.7(f = -0.5 解析：由题意可知， )2(x f +=)(x f)5.7(f ∴＝)5.08(-f ＝)5.0(-f ＝－)5.0(f ＝－０.５6、设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时, f(x)的图象如右图,则不等式 f(x)<0的解集是 (－2,0)∪(2,5] .解析：因为f(x)为奇函数，所以其图象关于 原点对称，画出其图象后，即可得f(x)<0的解集 为(－2,0)∪(2,5].第二卷 解答题1、已知0132=--x x ，求198757623+-+x x x 的值.解：198757623+-+x x x =（132--x x ）（2x+3）+1990=19902、已知：61=+x x 求30122-+x x 的值. 解：⇒=+226)1(x x 362122=++x x 34122=+⇒x x 430122=-+⇒xx3、已知函数)34lg(2++-=m mx mx y 的定义域为R ，求实数m 的取值范围.解：函数)34lg(2++-=m mx mx y 的定义域为R ，即0342>++-m mx mx 恒成立，当0>m 时,100)3(4)4(△2<<⇒<+--=m m m m 时，0342>++-m mx mx 恒成立，当0=m 时，0342>++-m mx mx 恒成立，所以m 的取值范围是10<≤m .4、北京和上海分别有多余的精密仪器10台和4台，调配到武汉和广州，武汉要6台，广州要8台.预计每台运费为：北京到武汉400元，北京到广州800元，上海到武汉200元，上海到广州500元，问怎样调配可使运费最少？并求出最少的运费.解析：设从北京调往武汉x 台，则从北京调往广州（10-x ）台，设从上海调往武汉（6-x ）台，设从上海调往广州[8-（10-x ）]台，设总运费为y ，由题意可得：y=400x+800（10-x ）+200（6-x ）+500[8-（10-x ）]=400x+8000-800x+1200-200x-1000+500x=8200-100x 因为0≤x ≤10，0≤6-x ≤6， 0≤[8-（10-x ）]≤8，所以0≤x ≤6由此可得，当x=6时，（100x ）最大=600，y 最小=8200-600=7600答：设从北京调往武汉6台，则从北京调往广州4台，设从上海调往武汉0台，设从上海调往广州4台，最少的运费7600元。
2006年上海普通高等学校招生考试数学模拟试卷
2006年上海市普通高等学校招生考试数学模拟试卷（三）、填空题（本大题满分 48分，每小题4分，共12小题）不等式(x-a)(x-b) °的解集是[_1,2] (3,=)，则不等式口 0的解x —c(x —a)(x —b)集为 已知O 是坐标原点，经过 P （3,2）且与OP 垂直的直线方程是2 1 关于x 的方程x 2 -(2 • i)x • 1 • mi =0 (m • R)有一实根为n ，贝V m + ni若正整数 m 满足10md ：：：2512 ：：：10m ，则m =1已知函数 y =f '（x ）的图象过（1,0），贝U y=f （ x-1）的反函数的图象一定过2占 八、、题作答，选甲题答对得 100分，答错得—100分；选乙题答对得 90分，答错得—90分. 若四位同学的总分为 0,则这4位同学不同得分情况的种数是10. 2004年元月9日，第十届全国运动会筹备委员会正式成立，由二名主任和组成主席团成员•若章程规定：表决一项决议必须在二名主任都同意，且副主任同意的 人数超过半数才能通过•一次主席团全体成员表决一项决议，结果有 1 的面积为-，则实数a 二 .412•某纺织厂的一个车间有 nn ・7, n ・N 台织布机，编号分别为间有技术工人n 名，编号分别为1, 2, 3，…，n 。
定义记号a ij ,如果第i 名工人操作了 第j 号织布机，此时规定a j -1,否则a j =0。
例如第3号织布机有且仅有一个人操作， 则a 13 a 23 -a 3^' ■ a n3 =1，那么，7号工人操作了二台机器，请用一个等式来表示1. 复数的共轭复数是1 +2i3.4.5. 函数y 二sin 4 x cos 2 x 的最小正周期为6. 若规定a 2 bc ac cd ab +bd be +d 2』，计算:9. 四位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定: 每位同学必须从甲•乙两道题中任选6名副主任6人同意，则决议通过的概率是（结果用分数表示）11 •若A,B 分别是椭圆 2 a 2 +12-—y 2 =1 (a 0)与x , y 正半轴的交点,F 是右焦点，且.AFB1, 2, 3，…，n ；该车二、选择题(本大题满分 16分，每小题4分，共4小题) 13.满足“对任意实数 x,y , f(x f(x) f(y)都成立”的函数可以是((A ) f(x)=3x(B) f(x)=log 3X (C) f(x) = x 3 (D)等式f (x 1^0的解集为((A ) [2,3] (D) (_：: , 一2] [ _1,：:)17. (本小题满分12分)・44・22求函数f (x)二sin x cosXsin xcosX 的最小正周期、最大值和最小值14.设 f (x)二ax 2 bx c ,若关于X 的不等式f(x —1)_0的解集为［0,1］,则关于X 的不f (x) Jx(C ) [ -2, -1]15•已知惊［是单调增的等比数列, q 为公比•若印=2., 3 -3., 2，则((A ) q 1(B) 0 ■ q ：：：1 (C) _1 ：：： q :：: 0(D ) q -1 16.若 a 、b R ，且 a -b =1, 则 a 2 b 2 ((A )既有最大值，也有最小值; (B )有最大值，无最小值; (C )有最小值，无最大值;(D )既无最大值，也无最小值。
2006年全国高中数学联赛试题及解答
Σ
xixj＝x1x2＋(x1＋x2)(x3＋x4＋x5)＋x3x4＋x3x5＋x4x5
同时有 S＝x1x2＋(x1＋x2)((x3＋x4＋x5)＋x3x4＋x3x5＋x4x5．于是有 S－S＝x1x2－x1x2＞0．这与 S 在 x1，
x2，x3，x4，x5 时取到最大值矛盾．所以必有|xi－xj|≤1，(1≤i，j≤5)．
x0
14．将 2006 表示成 5 个正整数 x1，x2，x3，x4，x5 之和．记 S＝ ⑴ 当 x1，x2，x3，x4，x5 取何值时，S 取到最大值；
1≤i＜j≤5
Σ
xixj．问：
⑵ 进一步地，对任意 1≤i，j≤5 有|xi－xj|≤2，当 x1，x2，x3，x4，x5 取何值时，S 取到最小值. 说明理由． 解：(1) 首先这样的 S 的值是有界集，故必存在最大值与最小值。 若 x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝2006，且 使 S＝
|→ DF |＝
3
2 t2 5t2 1 ＋t 2 ＝ 2 －4t2＋1＝
2 2 1 1 → 5ห้องสมุดไป่ตู้t2－ ) ＋ ，从而有 ≤ DF ＜1． 5 5 5
| |
5．设 f(x)＝x ＋log2(x＋ x ＋1)，则对任意实数 a，b，a＋b≥0 是 f(a)＋f(b)≥0 的
2
A. 充分必要条件 C. 必要而不充分条件
2
1 B．x＞ 且 x≠1 2
C． x＞1
D． 0＜x＜1
1 所以 x 的取值范围为 x＞ 且 x≠1． 2 3．已知集合 A＝{x|5x－a≤0}，B＝{x|6x－b＞0}，a，b∈N，且 A∩B∩N＝{2，3，4}，则整数对(a，b) 的个数为 A．20 答 C． 解：5x－a≤0x≤ ；6x－b＞0x＞ ．要使 A∩B∩N＝{2，3，4}，则 5 6 B．25 C．30 D．42
2006年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案
2006年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1.已知△ABC，若对任意t∈R，，则△ABC()A.必为锐角三角形B.必为钝角三角形C.必为直角三角形D.答案不确定2.设logx (2x2+x-1)＞logx2-1，则x的取值范围为( )A.＜x＜1B.x＞，x≠1C.x＞1D.0＜x＜13.已知集合A={x|5x-a≤0}，B={x|6x-b＞0}，a,b∈N，且A∩B∩N={2,3,4}，则整数对(a,b)的个数为( )A.20B.25C.30D.424.在直三棱柱中，，，已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GD⊥EF，则线段DF长度的取值范围为( )A. B. C.[1,) D.5.设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f(a)+f(b)≥0的( )A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.数码a1,a2,a3,…,a2006中有奇数个9的2007位十进制数的个数为( )A. B.C.102006+82006D.102006-82006二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7.设f(x)=sin4x-sinxcosx+cos4x，则f(x)的值域是____.8.若对一切θ∈R，复数z=(a+cosθ)+(2a-sinθ)i的模不超过2，则实数a的取值范围为____.9.已知椭圆的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l：x-y+8+2=0上，当∠F1PF2取最大值时，比的值为____.10.底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水____cm3.11.方程(x2006+1)(1+x2+x4+…+x2004)=2006x2005实数解的个数为____.12.袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为____.三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13.给定整数n≥2，设M0(x，y)是抛物线y2=nx-1与直线y=x的一个交点.试证明对于任意正整数m，必存在整数k≥2，使(x0m, ym)为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点.14.将2006表示成5个正整数x1,x2,x3,x4,x5之和，记，问：(1)当x1,x2,x3,x4,x5取何值时，S取到最大值；(2)进一步，设对任意1≤i，j≤5有|xi -xj|≤2，问当x1,x2,x3,x4,x5取何值时，S取到最小值.说明理由.15.设f(x)=x2+a，记f1(x)=f(x)，f n(x)=f(f n-1(x))，n=2,3,…，M={a∈R|对所有正整数n，|f n(0)| ≤2}.证明：.参考答案一、选择题1. 已知△ABC，若对任意t∈R，，则△ABC一定为（C）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.答案不确定[解]令∠ABC=α，过A作AD⊥BC于D，由，推出，令，代入上式，得，即，也即.从而有.由此可得.2.设logx (2x2+x-1)＞logx2-1，则x的取值范围为(B)A.＜x＜1B.x＞，且x≠1C.x＞1D.0＜x＜1 [解]因为，解得x＞，x≠1，由，解得0＜x＜1；或，解得x＞1，所以x的取值范围为x＞，且x≠1.3.已知集合A={x|5x-a≤0}，B={x|6x-b＞0}，a,b∈N，且A∩B∩N={2,3,4}，则整数对(a,b)的个数为(C)A.20B.25C.30D.42[解].要使A∩B∩N={2,3,4}，则，即，所以数对(a,b)共有.4.在直三棱柱中，，，已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GD⊥EF，则线段DF长度的取值范围为(A)A. B. C.[1,) D.[解]建立直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，则F(t1,0,0)(0＜t1＜1)，E(0,1,)，G(,0,1)，D(0,t2,0)(0＜t2＜1).所以，.因为GD⊥EF，所以t1+2t2=1，由此推出0＜t2＜.又，，从而有.5.设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f(a)+f(b)≥0的(A)A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件[解]显然为奇函数，且单调递增.于是若a+b≥0，则a≥-b，有f(a)≥f(-b)，从而有f(a)+f(b)≥0.反之，若f(a)+f(b)≥0，则f(a)≥-f(b)=f(-b)，推出a≥-b，即a+b≥0.6.数码a1,a2,a3,…,a2006中有奇数个9的2007位十进制数的个数为(B)A. B.C.102006+82006D.102006-82006[解]出现奇数个9的十进制数个数有.又由于以及，从而得.二、填空题7.设f(x)=sin4x-sinxcosx+cos4x，则f(x)的值域是[0,].[解].令t=sin2x，则.因此，，即得.8.若对一切θ∈R，复数z=(a+cosθ)+(2a-sinθ)i的模不超过2，则实数a的取值范围为[-,].[解]依题意，得(对任意实数θ成立)故a的取值范围为[-,].9.已知椭圆的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l：x-y+8+2=0上，当∠F1PF2取最大值时，比的值为.[解]由平面几何知，要使∠F1PF2最大，则过F1，F2，P三点的圆必定和直线l相切于P点.设直线l交x轴于A(-8-2,0)，则∠APF1=∠AF2P，即△APF1∽△AF2P，即.(1)又由圆幂定理，|AP|2=|AF1|·|AF2|.(2)而从而有.代入(1),(2)得.10.底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水（)πcm3.[解]设四个实心球的球心为O1,O2,O3,O4，其中O1,O2为下层两球的球心，A，B，C，D分别为四个球心在底面的射影.则ABCD是一个边长为的正方形.所以注水高为1+.故应注水.11.方程(x2006+1)(1+x2+x4+…+x2004)=2006x2005实数解的个数为1.[解](x2006+1)(1+x2+x4+…+x2004)=2006x2005.要使等号成立，必须，即x=±1.但是x≤0时，不满足原方程.所以x=1是原方程的全部解.因此原方程的实数解个数为1.12.袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为0.0434.[解]第4次恰好取完所有红球的概率为.三、解答题13.给定整数n≥2，设M0(x，y)是抛物线y2=nx-1与直线y=x的一个交点.试证明对于任意正整数m，必存在整数k≥2，使(x0m, ym)为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点.[证明]因为y2=nx-1与y=x的交点为，显然有.若(x0m,ym)为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点，则.记，则，(m≥2)(13.1)由于是整数，也是整数，所以根据数学归纳法，通过(13.1)式可证明对于一切正整数m，是正整数.现在对于任意正整数m，取，使得y2=kx-1与y=x的交点为(xm，ym).14.将2006表示成5个正整数x 1,x 2,x 3,x 4,x 5之和，记，问：(1)当x 1,x 2,x 3,x 4,x 5取何值时，S 取到最大值；(2)进一步地，设对任意1≤i，j≤5有|x i -x j |≤2，问当x 1,x 2,x 3,x 4,x 5取何值时，S 取到最小值. 说明理由.[解](1)首先这样的S 的值是有界集，故必存在最大值与最小值.若x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=2006，且使取到最大值，则必有|x i -x j |≤1，(1≤i，j≤5). (*)事实上，假设(*)不成立，不妨假设x 1-x 2≥2.则令，有.将S 改写成.同时有.于是有.这与S 在x 1,x 2,x 3,x 4,x 5时取到最大值矛盾.所以必有|x i -x j |≤1，(1≤i,j≤5).因此当x 1=402，x 2=x 3=x 4=x 5=401取到最大值. (2)当x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=2006且|x i -x j |≤2时，只有 (I)402，402，402，400，400； (II)402，402，401，401，400； (III)402，401，401，401，401； 三种情形满足要求.而后面两种情形是在第一组情形下作调整下得到的.根据上一小题的证明可以知道，每调整一次，和式变大.所以在x 1=x2=x3=402，x4＝x5=400情形取到最小值.15.设f(x)=x2+a，记f1(x)=f(x)，f n(x)=f(f n-1(x))，n=2,3,…，M={a∈R|对所有正整数n，|f n(0)| ≤2}.证明：.[证明](1)如果a＜-2，则.(2)如果-2≤a≤，由题意f1(0)=a，f n(0)=(f n-1(0))2+a，n=2,3,…，则①当0≤a≤时，().事实上，当n=1时，，设n=k-1时成立(k≥2为某整数)，则对n=k，.②当-2≤a＜0时，().事实上，当n=1时，，设n=k-1时成立(k≥2为某整数)，则对n=k，有-|a|=a≤f k(0)=(f k-1(0))2+a≤a2+a，注意到当-2≤a＜0时，总有a2≤-2a，即a2+a≤-a=|a|，从而有|f k(0)|≤|a|，由归纳法，推出.=f n(0)，则对于任意n≥1，且(3)当a＞时，an.对于任意n≥1，，则. 所以，.当时，，即f n+1(0)＞2.因此.综合(1)(2)(3)，我们有.。
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2006年上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷（2006年3月26日 星期日 上午8：30～10：30）【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1．设x ，y ，z 是正实数，满足()()xy z x z y z +=++，则xyz 的最大值是 ．2．设从正整数k 开始的201个连续正整数中，前101个正整数的平方和等 于后100个正整数的平方和，则k 的值为 ．3．设(2)n n ≥是给定的整数，12,,,n x x x 是实数，则1223sin cos sin cos x x x x ++ 1sin cos n x x + 的最大值是．4．在△ABC 中，已知30,105A B ∠=︒∠=︒，过边AC 上一点D 作直线DE ， 与边AB 或者BC 相交于点E ，使得60C D E ∠=︒，且DE 将△ABC 的面积两等分，则2C D A C ⎛⎫= ⎪⎝⎭．5．对于任意实数a ，b ，不等式{}max ,,2006a b a b b C +--≥恒成立，则 常数C 的最大值是 ．（注：{}max ,,x y z 表示x ，y ，z 中的最大者．）6．设2()c o s f x x a x b x =++，{}{}()0,R (())0,R x f x x x f f x x =∈==∈≠∅，则满足条件的所有实数a ，b 的值分别为 ．7．在直三棱柱中，已知底面积为s 平方米，三个侧面面积分别为m 平方米， n 平方米，p 平方米，则它的体积为 立方米．8．已知函数:f R +→R 满足：对任意,x y ∈R +，都有()(f x f 则所有满足条件的函数f二、解答题9．（本题满分1422(0)y px p =>点F ，倾斜角为θ(0θ<<物线于A ，B 两点，连接点），交准线于点B '于点A '，求四边形A B B A ''10．（本题满分14分） 数列{}n a 定义如下：11a =，且当2n ≥时，211,1,n n n a n a n a -+⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩当为偶数时，当为奇数时． 已知3019n a =，求正整数n ．n n 边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？12．（本题满分16分） 设]1,0[,∈b a ，求)1)(1(11b a ab ba S --++++=的最大值和最小值．2006年上海市高中数学竞赛参考答案一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1、1272、201003、2n4、65、10036、04a ≤<，b ＝0 7、28、1()2006f x x=+二、解答题9．（本题满分14分） 已知抛物线22(0)y px p =>，其焦点为F ，一条过焦点F ，倾斜角为θ(0)θπ<<的直线交抛物线于A ，B 两点，连接AO （O 为坐标原点），交准线于点B '，连接BO ，交准线于点A '，求四边形A B B A ''的面积．解 当2πθ=时，22ABB A S p ''=．当2πθ≠时，令t a n k θ=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则由 ()2p y k x =-，①22y px=， ②消去x 得，2220p y y p k--=，所以122p y y k+=， 212y y p =-． ③又直线AO 的方程为：11y y x x =，即为12p y x y =，所以，AO 与准线的交点的坐标为21(,)2p pB y '--，而由③知，221py y =-，所以B 和B '的纵坐标相等，从而BB x ' 轴．同理AA x ' 轴，故四边形A B B A ''是直角梯形．………………（9分）所以，它的面积为11()22A B B A S A A B B A B A B A B ''''''''=+⋅=⋅21y y =-211()2y y =-21212()4y y y y ⎡⎤=+-⎣⎦332222221212(1cot )p p k θ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．………………（14分）10．（本题满分14分） 数列{}n a 定义如下：11a =，且当2n ≥时，211,1,n n n a n a n a -+⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩当为偶数时，当为奇数时． 已知3019n a =，求正整数n ．解 由题设易知，0,1,2,n a n >= ．又由11a =，可得，当n 为偶数时，1n a >；当(1)n >是奇数时，111n n a a -=<． ………………（4分）由3019n a =1>，所以n 为偶数，于是23011111919n a =-=<，所以，2n 是奇数．于是依次可得：1219111na -=>，12n -是偶数，24198111111n a -=-=<，24n -是奇数，2141118n a --=>，64n -是偶数，681131188n a -=-=<，68n -是奇数，618813n a --=>，148n -是偶数，1416851133n a -=-=>，1416n -是偶数，1432521133n a -=-=<，1432n -是奇数， ……………（9分）14132312n a --=>，4632n -是偶数，4664311122n a -=-=<，4664n -是奇数，4616421n a --=>，11064n -是偶数，110128211n a -=-=，所以，1101128n -=，解得，n ＝238． ……………… （14分）11．（本题满分16分） 对一个边长互不相等的凸(3)n n ≥边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？解 设不同的染色法有n p 种．易知36p =． ………………（4分） 当4n ≥时，首先，对于边1a ，有3种不同的染法，由于边2a 的颜色与边1a 的颜色不同，所以，对边2a 有2种不同的染法，类似地，对边3a ，…，边1n a -均有2种染法．对于边n a ，用与边1n a -不同的2种颜色染色，但3是，这样也包括了它与边1a 颜色相同的情况，而边1a 与边n a 颜色相同的不同染色方法数就是凸n －1边形的不同染色方法数的种数1n p -，于是可得1132n n n p p --=⨯-， ………………（10分） ()1122n n n n p p ---=--．于是 ()33232(1)2(1)2n n n n p p ---=--=-⋅， 2(1)2n n n p =+-⋅，3n ≥．综上所述，不同的染色方法数为2(1)2n n n p =+-⋅． ………………（16分）12．（本题满分16分） 设]1,0[,∈b a ，求)1)(1(11b a ab ba S --++++=的最大值和最小值．解 因为)1)(1(11b a ab ba S --++++=)1)(1()1(1)1)(1(122b a ab ab b a b a b a ++--=+++++=1≤ ，当0=ab 或1=ab 时等号成立，所以S 的最大值为1． ………………（6分）令)1)(1()1(b a ab ab T ++-=，abx =，则abab ab ab abb a ab ab T ++-≤+++-=21)1(1)1(xx x x x x +-=+-=1)1()1()1(2222． ………………（10分）下证211551)1(2-≤+-x x x ． ①① 0)25()215(2≥-+--⇔x x ，所以21155-≤T，从而25513-≥S，当215-==ba时等号成立，所以S的最小值为25513-．……………（16分）。