1980-2005年上海市高中数学竞赛试题
2005年上海数学高考考试试题及答案
2005年上海高考数学考试试卷考生注意：1． 答卷前，考生务必讲姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2． 本试卷共22道试题，满分150分．考试时间120分钟，请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 一、填空题：（本题满分48分）本大题共12小题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1． 函数4()log (1)f x x =+的反函数1()fx -=____________________．2． 方程4220xx+-=的解是____________________．3． 直角坐标平面xOy 中，若定点(1,2)A 与动点(,)P x y 满足4OP OA ⋅=，则点P 的轨迹方程是____________________．4． 在10()x a -的展开式中，7x 的系数是15，则实数a =____________________． 5． 若双曲线的渐近线的方程为3y x =±，它的一个焦点是(10,0)，则双曲线的方程是____________________． 6． 将参数方程12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）化为普通方程，所得方程是____________________．7． 计算：1132lim 32n nnn n +-→∞-=+____________________． 8． 某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程．从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是____________________．（结果用分数表示） 9． 在△ABC 中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则△ABC 的面积S =____________________．10．函数()sin 2sin f x x x =+，[]0,2x π∈的图象与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是____________________． 11．有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为3a 、4a 、5a （0a >）．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是____________________．12．用个n 不同的实数1a ，2a ，…，n a 可得到个!n 不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵．对第i 行1i a ，2i a ，…，in a ，记12323(1)n i i i i in b a a a na =-+-++-，1,2,3,,!i n =．例如：用1，2，3可得数阵如右，由于此数阵中每一列各书数之和都是12，所以，1261221231224b b b ++=-+⨯-⨯=-，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12120b b b ++=____________________．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选，选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分． 13．若函数1()21xf x =+，则该函数在(,)-∞+∞上是 （A ）单调递减无最小值（B ）单调递减有最小值 （C ）单调递增无最大值 （C ）单调递增有最大值[答]（ ）14．已知集合{}12,M x x x R =-≤∈，51,1P x x Z x ⎧⎫=≥∈⎨⎬+⎩⎭，则MP 等于（A ）{}03,x x x Z <≤∈ （B ）{}03,x x x Z ≤≤∈ （C ）{}10,x x x Z -≤≤∈ （C ）{}10,x x x Z -≤<∈[答]（）15．过抛物线24y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（A ）有且仅有一条（B ）有且仅有两条 （C ）有无穷多条 （C ）不存在[答]（ ）16．设定义域为R 的函数lg 1,1()0,1x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，则关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有7个不同实数解的充要条件是（A ）0b >且0c > （B ）0b >且0c < （C ）0b <且0c = （C ）0b ≥且0c = [答]（ ） 三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分12分）已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，底面ABCD 是直角梯形，A ∠为直角，//AB CD ，4AB =，2AD =，1DC =，求异面直线1BC 与DC 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）[解] 18．（本题满分12分）证明：在复数范围内，方程255(1)(1)2iz i z i z i-+--+=+（i 为虚数单位）无解． [解] 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，点A 、B 分别是椭圆2213620x y +=长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA PF ⊥． （1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值． [解] 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年后，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%．另外，每年新建住房中，中底价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底 （1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？ （2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？ 21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．对定义域分别是f D 、g D 的函数()y f x =、()y g x =，规定：函数()()()()()f g f g f gf xg x x D x Dh x f x x D x D g x x D x D ⎧⋅∈∈⎪=∈∉⎨⎪∉∈⎩当且当且当且． （1）若函数1()1f x x =-，2()g x x =，写出函数()h x 的解析式；（2）求问题（1）中函数()h x 的值域；（3）若()()g x f x α=+，其中α是常数，且[]0,απ∈，请设计一个定义域为R 的函数()y f x =，及一个α的值，使得()cos 4h x x =，并予以证明．22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．在直角坐标平面中，已知点1(1,2)P ，22(2,2)P，33(3,2)P ，…，(,2)nn P n ，其中n 是正整数．对平面上任一点0A ，记1A 为0A 关于点1P 的对称点，2A 为1A 关于点2P 的对称点，……，n A 为1n A -关于点n P 的对称点．（1） 求向量02A A 的坐标；（2） 当点0A 在曲线C 上移动时，点2A 的轨迹是函数()y f x =的图象，其中()f x 是以3为周期的周期函数，且当(]0,3x ∈时，()lg f x x =，求以曲线C 为图象的函数在(]1,4的解析式；（3） 对任意偶数n ，用n 表示向量0n A A 的坐标．数学（理）参考答案说明1，本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同.可参照解答中评分标准的精神进行评分.2．评阅试卷，应坚持每题阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分. 一、（第1题至第12题）1．14-x2．x =0 3．x +2y －4=0 4．21- 5．1922=-y x 6．4)1(22=+-y x 7．3 8．73 9．341510．31<<k 11．3150<<a 12．－1080 二、（第13题至16题） 13.A 14.B 15.B 16.C 三、（第17题至第22题）17．[解法一]由题意AB//CD ，BA C 1∠∴是异面直线BC 1与DC 所成的角.连结AC 1与AC ，在Rt △ADC 中，可得5=AC ，又在Rt △ACC 1中，可得AC 1=3.在梯形ABCD 中，过C 作CH//AD 交AB 于H ， 得13,3,2,90=∴==︒=∠CB HB CH CHB 又在1CBC Rt ∆中，可得171=BC ，在.17173arccos ,171732cos ,112121211=∠∴=⋅-+=∠∆ABC BC AB AC BC AB ABC ABC 中∴异而直线BC 1与DC 所成角的大小为.17173arccos[解法二]如图，以D 为坐标原点，分别以AD 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立直 角坐标系.则C 1（0，1，2），B （2，4，0） ),2,3,2(1--=∴BCCD BC CD 与设1),0,1,0(-=所成的角为θ，则,17173arccos .17173||||cos 11===θθCD BC CD BC ∴异面直线BC 1与DC 所成角的大小为.17173arccos18．[证明]原方程化简为.31)1()1(||2i z i z i z -=+--+设yi x z += x (、)R y ∈，代入上述方程得.312222i yi xi y x -=--+⎩⎨⎧=+=+∴)2(322)1(122y x y x 将（2）代入（1），整理得.051282=+-x x )(,016x f 方程∴<-=∆ 无实数解，∴原方程在复数范围内无解.19．[解]（1）由已知可得点A （－6，0），F （4，0）设点P 的坐标是},4{},,6{),,(y x FP y x AP y x -=+=则，由已知得.623,018920)4)(6(120362222-===-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+x x x x y x x y x 或则 由于).325,23(,325,23,0的坐标是点于是只能P y x y ∴==> （2）直线AP 的方程是.063=+-y x设点M 的坐标是（m ，0），则M 到直线AP 的距离是2|6|+m ， 于是,2,66|,6|2|6|=≤≤--=+m m m m 解得又 椭圆上的点),(y x 到点M 的距离d 有,15)29(94952044)2(222222+-=-++-=+-=x x x x y x d由于.15,29,66取得最小值时当d x x =∴≤≤-20．解：（1）设中低价房面积形成数列{}n a ，由题意可知{}n a 是等差数列，其中a 1=250，d=50，则 ,22525502)1(2502n n n n n S n +=⨯-+= 令,4750225252≥+n n 即.10,,019092≥∴≥-+n n n n 是正整数而 ∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.（2）设新建住房面积形成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列，其中b 1=400，q=1.08， 则b n =400·(1.08)n －1 由题意可知n n b a 85.0>有250+(n －1)50>400 · (1.08)n －1 · 0.85.由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6， ∴到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.21．解（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+∞⋃-∞∈-=11),1()1,(1)(2x x x x x h（2）当.21111)(,12+-+-=-=≠x x x x x h x 时 若,4)(,1≥>x h x 则其中等号当x =2时成立， 若,4)(,1≤<x h x 则其中等号当x =0时成立， ∴函数),4[}1{]0,()(+∞⋃⋃-∞的值域x h （3）[解法一]令,4,2cos 2sin )(πα=+=x x x f则,2sin 2cos )4(2cos )4(2sin )()(x x x x x f x g -=+++=+=ππα于是.4cos )2sin 2)(cos 2cos 2(sin )()()(x x x x x x f x f x h =-+=+⋅=α [解法二]令2,2sin 21)(πα=+=x x f ，则,2sin 21)2(2sin 21)()(x x x f x g -=++=+=πα于是.4cos 2sin 21)2sin 21)(2sin 21()()()(2x x x x x f x f x h =-=-+=+⋅=α22．[解]（1）设点),(0y x A ，A 0关于点P 1的对称点A 1的坐标为),4,2(1y x A --A 1关于点P 2的对称点A 2的坐标为)4,2(2y x A ++，所以，}.4,2{20=A A （2）[解法一])(},4,2{20x f A A ∴= 的图象由曲线C 向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到.因此，基线C 是函数)(x g y =的图象，其中)(x g 是以3为周期的周期函数，且当.4)1lg()(,]4,1(,,4)2lg()(,]1,2(--=∈-+=-∈x x g x x x g x 时当于是时[解法二]设⎩⎨⎧=-=-42),,(),,(222220y y x x y x A y x A 于是若).3lg()3()(,330,6322222-=-=≤-<≤<x x f x f x x 于是则当),1lg(4.63,412-=+≤<≤<x y x x 则时 .4)1lg()(,]4,1{--=∈∴x x g x 时当 （3）n n n A A A A A A A A 242200-+++=由于)(2,2143210212222n n n k k k k P P P P P P A A P P A A ---+++== 得，}.3)12(4,{}3)12(2,2{2})2,1{}2,1{}2,1({213-=-=+++=-n n n n n。
2005年上海高考数学试题及答案(理科)
2005年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学(理工农医类)、填空题(本大题满分48分)1•函数f (x)1log 4(x 1)的反函数f (x)= .2. 方程4x2x2 0的解是___________ .3. 直角坐标平面xoy中，若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足O P?O A 4，则点P的轨迹方程是___________________ 4•在(x a)10的展开式中，x7的系数是15,则实数a= _______________ .5•若双曲线的渐近线方程为y 3x，它的一个焦点是<10,0，则双曲线的方程是__________________ .x 1 2 cos6.将参数方程(为参数)化为普通方程，所得方程是_________________ .y 2si n7.计算：lim 3n 寫3 2&某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程.从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是 _______________________ .(结果用分数表示)9.在ABC 中，若A 120 , AB=5 , BC=7，贝y ABC 的面积S= ______________ .10.函数f(x) sinx 2 | sinx|,x 0,2 的图象与直线y k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是 __________ .211.有两个相同的直三棱柱，高为一，底面三角形的三边长分别为a3a,4a,5a(a 0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是 ___________12•用n个不同的实数a1,a2, ,a n可得到n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个n!行的数阵•对第i行a i1 , a i2 , , a in，记b an 2a i2 3a i3 (1)n na in , i 1,2,3, ,n!•例如：用1, 2, 3可得数阵1 2 31 3 22 1 32 3 123 13 2 1么，在用1, 2, 3, 4, 5形成的数阵中，b2 b i20 =如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12,所以，b1 b2b612 2 12 3 12 24，那二、选择题（本大题满分16分）113.若函数f （x ）-，则该函数在2x 1A .单调递减无最小值 C .单调递增无最大值三、解答题（本大题满分86分）17.（本题满分12分）已知直四棱柱 ABCD AB 1CQ 1中，AA 1 2 ,底面ABCD 是直角梯形，/ A 是直角,AB||CD , AB=4 , AD=2 , DC=1，求异面直线 B 。
上海市第05届“金桥杯”中学生数学知识应用竞赛决赛试题(Word版,含答案)
上海市第05届“金桥杯”中学生数学知识应用竞赛决赛试题一、在气象台A的正东方向300千米处有一台风中心．该台风中心正以每小时40千米的速度向西北方向移动，离台风中心250千米以内的地方将受其影响．问大约经过多少时间气象台所在地将受到台风影响？影响的持续时间将是多少？二、股票交易的开盘价是这样决定的：每天开盘前由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数．然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多．试根据以下数据，确定该种股票的开盘价以及能即时成交的股数．(注：当卖方意向价低于开盘价以及买方意向价高于开盘价时即可成交)三、水上游乐场的人工瀑布是在离地面10米处建造一段水平的水槽．在水槽的末端设置一个坡度为30°，坡长为60厘米的挑水坎．用水泵把水抽入水槽中，冲上挑水坎，最后在空中下落形成美丽的瀑布(见图3－69)．已知槽内水的流速为6米/秒，试分析出槽水流曲线的类型，并计算人工瀑布下端与水槽基底的水平距离S．四、图画挂在墙上，它的下缘在观察者的眼睛上方a米处，而上边缘在b米处，问观察者在离墙多远的地方，才能使视角最大(从而看得最清楚)？五、附表给出五位工人完成五种工作所能取得的效益，试求出分配该五位工人分别担任一项工作的方案，使取得的效益最大．六、如图3－70所示的镀锌铁皮材料ABCD，上沿AD为圆弧，其圆心O在BC上．圆半径为2米，AB、CD均垂直于BC，且BO＝CD＝1m．现要用这材料裁一个矩形做圆柱的侧面，裁一个圆做圆柱的底，做一个有底无盖的圆柱形桶(这里不考虑拚接、裁剪的损耗)．试问怎样落料能使水桶体积最大？并求出材料的利用率．七、一零件的轮廓由边长为a的正三角形ABC的等距曲线构成，等距为r(如图3－71)．为了用数控机床加工，要求出轮廓线的精确公式．设坐标原点O与三角形的重心重合，x轴与AB平行．试求曲线的七个工件安排在同一台机床上加工．设各工件的加工时间依次为14，6，24，12，6，18，12(分钟)．该机床一次只能加工一个工件，每一工件加工完毕即可运走投入下一工序．(1)试安排一个加工次序，使各工件的加工和等待时间之总和最小并说明理由．(2)若工件6，7必须先于工件2加工，工件1，2，4必须先于工件3加工，工件7必须先于工件4加工，工件3必须先于工件5加工，试找出使各工件的加工和等待时间之总和最短的加工次序．决赛试题解答要点与参考答案一、以气象台A为坐标原点，正东方向为x轴正向建立平面直角坐标系，则台风中心B坐标参数方程为时气象台将受到台风的影响．解此不等式，得即 1.99≤t≤8.61．约经过2小时后，气象台所在地将开始受到台风的影响，持续时间大约7小时．二、可确定开盘价为2.20，可能成交股数为600．三、以挑水坎末端A为坐标原点，以水平方向和垂直方向分别为x 轴和y轴建立平面直角坐标系．水离开A点时的速度Vt可由下式求得．方向沿挑水坎方向．设当时间t＝0时，某个水质点D在A处，则当时间为t时，D点坐标满足方程得人工瀑布下端与水槽基底的水平距离S＝8.3米．四、由题意，观察者的视角θ＝∠BPA＝∠BPH－∠APH．显然0＜θ＜90°，故tgθ＝tg(∠BPH－∠APH)五、首先取附表中每一列之最大值，如下页表所示．表中有“*”号的数字为所在列蝗最大值，显然．这些有“*”号的数字和(最后一列有两个带“*”号的数字，求和时取一个)是进行五项工作的最大效益．但不满足每人一项工作的要求．以此表为基础进行调整，使调整后满足每人一项工作的要求，且与上表的差值最小．容易验证下表所示为调整后的最佳方案．即最佳方案为A→4(A做第四项工作)，B→2，C→1，D→3，E→5．六、根据经验可按下图所示裁剪矩形与圆．第一种方法：以BE为圆柱底周长进行裁剪．此时应满足可见按第一种方法进行裁剪所得圆柱之体积最大．裁BE＝2.07，EG ＝1.69的矩形．剩下材料裁半径为0.33的圆．得到的圆柱体积为0.58m3．七、弧段LM由直线部分LN与圆弧NM构成．圆弧NM的表示式为八、(1)因为加工和等待时间的总和为T＝∑(8－i)Ti ，其中Ti为安排在第i位加工的工件的加工时间．因此使其总和最小的加工顺序应是2→5→4→7→1→6→3其中2和5，4和7的位置可以对调．(2)根据给出的条件可画出下面的网络：据此网络图，可先对工件1，2，4，6，7进行排序．首先，4，2，7，6这四个工件可有以下几种排序法：6→7→4→2，7→6→4→2，7→4→6→2，6→7→2→4，7→6→2→4．由于t6＝18＞t7＝12，6→7→4→2和6→7→2→4两种情况可不考虑．又因t4＝12＞t2＝6，7→6→4→2情况也可不考虑．这样就剩下以下两种情况：7→4→6→2，7→6→2→4．再考虑工件1的位置．对7→4→6→2情况，可有以下几种情形：(a)1→7→4→6→2，(b)7→1→4→6→2，(c)7→4→1→6→2，(d)7→4→6→1→2，(e)7→4→6→2→1．由于t1＝14＞t7＝12，t1＝14＞t4＝12知(b)优于(a)，(c)优于(b)；又由于t1＝14＞t2＝6，可知(e)优于(d)．比较(e)与(c)两种情况下的等待与加工的总耗时：(e)5t7＋4t4＋3t6＋2t2＋t1，(c)5t7＋4t4＋3t1＋2t6＋t2，可知(e)优于(c)也就是说情形7→4→6→2→1→3→5耗时最少．同理可判定情形7→4→6→2→1→3→5耗时也最少．最少的耗时为T＝7t7＋6t4＋5t6＋4t2＋3t1＋2t3＋t5＝366(分钟)．。
2005年高考.上海卷.理科数学试题精析详解
2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（上海理工农医类）试题精析详解一、填空题（4分⨯12=48分）1、函数)1(log )(4+=x x f 的反函数)(1x f -=__________.【思路点拨】本题考查了互为反函数的概念，只要根据求反函数的三步曲即可.【正确解答】4log (1)y x =+，41y x =+，得41yx =-（1x >-）.所求反函数为：1()41x f x -=-（x R ∈）.【解后反思】要会求一个函数的反函数，并注意定义域.2、方程4220x x+-=的解是__________.【思路点拨】本题考查了指数方程的求法，通过换元法求解.【正确解答】令2(0)x t t =>，原方程化为：220t t +-=，得1t =或2t =-（舍）.由此可得0x =.解法2：0120)22)(12(0224=⇒=⇒=+-⇒=-+x x x x x x【解后反思】用换元的方法时，注意定义域的变化，求出解后要进行验证，以免出错.3、直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=∙，则点P 的轨迹方程是__________.【思路点拨】本题考查了数量积的坐标表示，可根据其定义来解.【正确解答】设(,)P x y ，由数量积公式及4=∙知04242=-+⇒=+y x y x 为所求轨迹方程.【解后反思】一般地11(,)A x y ，22(,)B x y 则2121(,)AB x x y y =--，11221212(,)(,)OA OB x y x y x x y y ∙==+.4、在10)(a x -的展开式中，7x 的系数是15，则实数a =__________.【思路点拨】本题考查了二项式定理的指定项的系数，可根据通项公式处理.【正确解答】展开式的一般项为10110()r r r r T C x a -+=-，令r=7,7x 的系数为73310()12015C a a -=-=，解得12a =-. 【解后反思】要注意二项式展开式的二项式系数r n C 和某一项系数的区别与联系.5、若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________. 【思路点拨】本题考查了双曲线的几何性质，因为已知了焦点坐标，就确定了实轴，由渐近线方程可确定b a，联想隐含条件222a b c +=的运用就可解决. 【正确解答由双曲线的渐近线方程为x y 3±=，知3=ab ， 它的一个焦点是()0,10，知c =，即1022=+b a ，因此3,1==b a 双曲线的方程是1922=-y x 【解后反思】圆锥曲线的定义及简单性质是考查的基础知识，因此，夯实基础是取得好成绩的必要条件.6、将参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x （θ为参数）化为普通方程，所得方程是__________.【思路点拨】本题考查了参数方程，化为普通方程，直接消元，产生x,y 的关系式，化简即可.【正确解答】22221cos 12cos 12(cos )(sin )()()12sin 22sin 2x x x y y y θθθθθθ-⎧=⎪=+⎧-⎪⇒⇒+=+=⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩， 整理后得：22(1)4x y -+=【解后反思】按大纲要求，要掌握圆和椭圆的参数方程并能进行简单的应用，一般地与圆和椭圆上的点有关问题时，用参数方程能达到消元的目的，便于问题的解决，有时还要理解参数的几何意义及取值范围. 7、计算：112323lim -+∞→+-n n nn n =__________. 【思路点拨】本题考查了数列的极限求法，是属于lim 0n q →∞=（1q <）型，由分母分子都除以3n进行求极限. 【正确解答】1123()323lim lim 312321()23n n nn n n n n+-→∞→∞--==++. 【解后反思】要掌握数列常规极限的方法.8、某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程.从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________.（结果用分数表示）【思路点拨】本题考查了等可能事件的概率的求法.可直接根据定义，找到基本事件数代入公式便得. 【正确解答】11153525037C C P C == 解法2：734915503549355015=⨯+⨯ 【解后反思】要了解等可能事件概率的定义，会用排列、组合的基本公式计算的一些等可能事件的概率.9、在ABC ∆中，若︒=120A ，AB=5，BC=7，则ABC ∆的面积S=__________.【思路点拨】本题主要考查解斜三角形的相关知识和运算能力.可画出草图，设法求出AC.【正确解答】由余弦定理︒⨯⨯-+=120cos 2222AC BC AC BC AB解得8AC =-（舍）或AC=3，因此ABC ∆的面积4315120sin 21S =︒⨯⨯⨯=AC AB 【解后反思】要注意正、余弦定理的灵活运用.本题可视为关于AC 的方程，求出AC 的目的，在于求ABC ∆的面积，若利用正弦定理求AC 就较繁了.最优解总是我们追求的目标.10、函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________.【思路点拨】本题考查区间上的三角函数的图象和性质，考查数形结合的能力.可通过[]0,2π正弦值的符号写出分段函数，再通过数形结分析出k 的取值范围.【正确解答】3sin [0,]()sin 2|sin |sin (,2]x x f x x x x x πππ∈⎧=+=⎨-∈⎩， 从图象可以看出于直线k y =有且仅有两个不同的交点时, 31<<k123123123123123123【解后反思】要熟悉含有绝对值的函数图象的作法.即由函数()y f x =的图象作出(),()y f x y f x ==的图象.11、有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3>a a a a .用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是__________.【思路点拨】借助棱柱的拼接的可能性考查学生的分析问题和解决问题的能力，而拼接中底面积不变是关键，只要考虑侧面积的可能情形中最小的一种图形即可.【正确解答】显然，直三棱柱底面为直角三角形，面积为26a ，每个侧面的面积分别为6，8，10，拼接后每个三棱柱或四棱柱底面积是相同的，只需要比较侧面积.拼接为三棱柱的可能的总侧面积为32或36，拼接为四棱柱后可能的总侧面积为28解法2：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：四棱柱有一种，就是边长为a 5的边重合在一起，表面积为242a +28三棱柱有两种，边长为a 4的边重合在一起，表面积为242a +32边长为a 3的边重合在一起，表面积为242a +36两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况表面积为122a +48最小的是一个四棱柱，这说明 201248122824222<⇒+<+a a a 3150<<⇒a 【解后反思】本题考查学生空间想象能力，逻辑思维能力和动手能力的实验题，具有开放性，不确定性等特点，是培养创新能力的好题，也是研究性学习成果的展示题.12、用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵.对第i 行in i i a a a ,,,21 ，记12323(1)n i i i i i nb a a a n a =-+-++-，!,,3,2,1n i =.例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=⨯-⨯+-=+++b b b ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12021b b b +++=__________.【思路点拨】本题借助数阵考查学生的观察能力和运算能力，要抓住逐项特征：第一行的和相等，探索其规律，符号因子()1n-的处理是一难点.【正确解答】由题意可知，每一行的和为相等的 12!11121312122232!1!2!3!1121!11222!212!1121!1(23(1))(23(1))(23(1))()2()(1)()(123(1))()n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b b b a a a na a a a na a a a na a a a a a a n a a a n a a a +++=-+-++-+-+-++-++-+-++-=-+++++++++-+++=-+-++-+++=1111(1)(221(1)()()22n n n n n n n A n n n n n A n ----+⎧⨯⨯⎪⎪⎨-+⎪-⨯⨯⎪⎩为偶数）为奇数 5n =时，412120456310802b b b A ⨯+++=-⨯⨯=-. 解法2：在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360，1080360536043603360236012021-=⨯-⨯+⨯-⨯+-=+++b b b【解后反思】数学学习中的数感很重要，变化中不变的探索与发现是当今高考的一个方向，它是培养创新人才的一个重要载体，在学习中要留心，遇到此类问题时要细心品味.二、选择题（4分⨯4=16分）13、若函数121)(+=x x f ，则该函数在()+∞∞-,上是（ ） A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值【思路点拨】本题是考查复合函数性质，只要理清构成复合的各个函数的性质就不难解决.【正确解答】21x y =+为增函数，1y x =在(1,)+∞上是减函数，因此121)(+=x x f 是减函数，没有最大值和最小值，选A.【解后反思】函数的图象和性质是高考的一个重点，通过复合可考多个知识点，达到考一查多的功能，要注意复合函数的定义域的变化，教材中的练习题要理解，把握基础，发展能力.14、已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=Z x x x P ,115|，则P M 等于（ ）A ．{}Z x x x ∈≤<,30|B ．{}Z x x x ∈≤≤,30|C ．{}Z x x x ∈≤≤-,01|D ．{}Z x x x ∈<≤-,01|【思路点拨】本题是考查具有绝对值不等式的解法和集合的运算.【正确解答】{}R x x x M ∈≤≤-=,31|， {}Z x x x P ∈≤≤=,40|P M ={}Z x x x ∈≤≤,30|，选B【解后反思】可采用直接法化简各个集合并注意10x +>的隐含条件.在计算P 时，注意10x +>的提示作用.，如果去分母时忽视了10x +>，就会造成错误，而求交集时可用数轴标或文氏图求解.15、过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在【思路点拨】本题考查抛物线过焦点弦的性质.而过此点弦的最小值是通径长（2p ）然后与之比较.【正确解答】当过焦点的直线与x 轴垂直时，与抛物线两焦点的横坐标之和为4<5，因此横坐标之和为5这样的直线有且仅有两条.选B.解法2：x y 42=的焦点是(1，0)，设直线方程为0)1(≠-=k x k y (1)将(1)代入抛物线方程可得0)42(2222=++-k x k x k ，x 显然有两个实根，且都大于0，它们的横坐标之和是33243542222±=⇒=⇒=+k k k k ，选B 【解后反思】一般地，过抛物线22(0)y px p =>焦点弦11(,)A x y 、22(,)A x y 的所在直线的一些特殊性质要理解和记住：22sin p AB α=，12AB x x p =++，双曲线和椭圆也有类似的性质. 16、设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是（ ）A ．0<b 且0>cB ．0>b 且0<cC ．0<b 且0=cD ．0≥b 且0=c【思路点拨】本题是综合考查函数的图象和性质和一元二次方程根的分布的思维能力题，本题的突破口在于有奇数根，必有0c =，这时()0f x =，其根均在()0f x b +=中，就不难解决.【正确解答】令()y f x =，则关于x 的方程可以写为关于y 的方程20y by c ++=. 方程有7个不同的实数解，则方程必有一个解为1x =，即0y =，代入方程得0c =.而且另一个根的取值范围是(0,)+∞，即0y b =->，得0b <，选C解法2：个不同实数解有个不同实数解有3,0)2(4,0)1()(=>=a a a x f没有实数解,0)3(<a0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是方程02=++c bx x 有两个根，一个等于0，一个大于0。
2005年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
2005年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。
2005*1、使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解得实数k 的最大值为A.36- B.3C.36+ D.6◆答案：D ★解析：令=y x x -+-63，63≤≤x，可得62≤y，即6max =y，所以6≤k 2005*2、空间四点D C B A ,,,3=7=11=9=，则BD AC ⋅的取值A.只有一个B.有二个C.有四个D.有无穷多个◆答案：A★解析：注意到,9711301132222+==+由于,0 =+++则22DA DA ==-=⋅+⋅+⋅+++=++22222)(2)(AB AB CD CD BC BC AB CD BC AB CD BC AB +++-=⋅+⋅+⋅+++CD BC AB BC CD BC (2)(2222222),()CD BC BC +⋅即,022222=--+=⋅CD AB BC AD BD AC ⋅∴只有一个值为0，故选A。
2005*3、ABC ∆内接于单位圆，三个内角C B A ,,的平分线延长后分别交此圆于111,,C B A .则CB AC CC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos111++++的值为A.2B.4C.6D.8◆答案：A★解析：如图，连1BA ，则12sin()2sin()2222A A B C B C AA B ++=+=+-2cos().22B C =-所以B C B C A C B A A C B A AA sin sin 2cos 2cos 2cos 22cos 22cos 1+=-++-+=⎪⎭⎫⎝⎛-=，C A B BB sin sin 2cos 1+=,B A CCC sin sin 2cos 1+=。
所以()C B A CCC B BB A AA sin sin sin 22cos 2cos 2cos 111++=++，即可求得。
2005年高考.上海卷.文科数学试题精析详解
2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（上海文史类）试题精析详解一、填空题（4分⨯12=48分）1、函数)1(log )(4+=x x f 的反函数)(1x f -=__________.【思路点拨】本题考查了互为反函数的概念，只要根据求反函数的三步曲即可.【正确解答】4log (1)y x =+，41y x =+，得41yx =-（1x >-）.所求反函数为：1()41x f x -=-（x R ∈）.【解后反思】要会求一个函数的反函数，并注意定义域.2、方程4220x x+-=的解是__________.【思路点拨】本题考查了指数方程的求法，通过换元法求解.【正确解答】令2(0)x t t =>，原方程化为：220t t +-=，得1t =或2t =-（舍）.由此可得0x =.解法2：0120)22)(12(0224=⇒=⇒=+-⇒=-+x xx x x x【解后反思】用换元的方法时，注意定义域的变化，求出解后要进行验证，以免出错. 3、若y x ,满足条件⎩⎨⎧≤≤+x y y x 23，则y x z 43+=的最大值是__________. 【思路点拨】本题考查线性规划的基础知识，画出可行域，寻求目标函数的最大值.【正确解答】求y x z 43+=的最大值，即求y 轴上的截距最大值，由图可知，过点（1，2）时有最大值，为11【解后反思】线性规划是直线方程的应用，是新增的教学内容.要了解线性不等式表示的平面区域，了解线性规划的定义，会求在线性约束条件下的目标函数的最优解.4、直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=∙，则点P 的轨迹方程是__________.【思路点拨】本题考查了数量积的坐标表示，可根据其定义来解.【正确解答】设(,)P x y ，由数量积公式及4=∙知04242=-+⇒=+y x y x 为所求轨迹方程.【解后反思】一般地11(,)A x y ，22(,)B x y 则2121(,)AB x x y y =--，11221212(,)(,)OA OB x y x y x x y y ∙==+.5、函数x x x y cos sin 2cos +=的最小正周期T=__________.【思路点拨】本题考查二倍角公式等基础知识和变换能力，角的差异（由异角化同角）在同角的条件下，利用三角恒等式化成正弦函数，就可求出最小正周期.【正确解答】1cos 2sin cos cos 2sin 2)22y x x x x x x ϕ=+=+=+，得最小正周期为π【解后反思】三角函数的变换要注意变换的方向，消除差异，达到转化.6、若71cos =α，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+3cos πα=__________. 【思路点拨本题考查两个角和的余弦的求法.熟记公式结构，根据条件求出运用公式必需值，再考虑三角函数的符号.【正确解答】⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，∴sin α== 11cos cos cos sin sin 33314πππααα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭. 【解后反思】在三角函数的公式运用过程中取决于满足运用公式的条件，已知三角函数值求同角的其它三角函数值时必须注意符号，否则就无所谓解决三角函数问题.7、若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是()0,152，则椭圆的标准方程是__________.【思路点拨】本题考查椭圆的基础知识，数形的等价转换是解决此类型的关键.【正确解答】由题意可知，2ab =，c =又222a b c =+，解得2280,20a b ==， 所求椭圆的标准方程为2218020x y +=. 【解后反思】在求椭圆方程和研究性质时，要深刻理解确定椭圆的形状及大小的主要特征数，如a 、b 、c 、p 、e 的几何意义及它们的关系式，熟练运用这些公式解决有关问题..8、某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程.从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________.（结果用分数表示）【思路点拨】本题考查了等可能事件的概率的求法.可直接根据定义，找到基本事件数代入公式便得. 【正确解答】11153525037C C P C == 解法2：734915503549355015=⨯+⨯ 【解后反思】要了解等可能事件概率的定义，会用排列、组合的基本公式计算的一些等可能事件的概率.9、直线x y 21=关于直线1=x 对称的直线方程是__________. 【思路点拨】本题考查一条直线关于已知直线对称的直线方程，可取两个特殊点求出关于直线的对称点的坐标，再由两点式求出直线方程即可. 【正确解答】直线x y 21=上的点（0，0）关于1=x 对称的点是（2，0），且所求方程的斜率为－12，因此，直线x y 21=关于直线1=x 对称的直线方程是： 1(2)2y x =--，整理后得220x y +-=. 解法2设所求直线上任意点(,)P x y '''关于直线x=1对称点为(,)P x y 则22x x x x y y y y''+==-⎧⎧⇒⎨⎨''==⎩⎩∵12y x ''=∴1(2)2y x =-即x+2y-2=0 【解后反思】解法2是通法，要会求某一点关于一已知点成中心对称的坐标，和已知直线成轴对称的坐标.如点(,)P x y 关于点(,)M a b 对称的坐标为(2,2)P a x b y '--；，由点的可推广到曲线关于某一点的对称.如曲线(,)0f x y =关于点(,)M a b 对称的曲线为(2,2)0f a x b y --=，类似地，点(,)P x y 关于直线x m =对称的点的坐标为(2,)P a x y '-，曲线(,)0f x y =关于直线x m =对称的曲线为(2,)0f m x y -=.更一般地，利用定义可解决有关对称问题.10、在ABC ∆中，若︒=120A ，AB=5，BC=7，则AC=__________.【思路点拨】本题主要考查解斜三角形的相关知识和运算能力.可画出草图，设法求出AC.【正确解答】由余弦定理︒⨯⨯-+=120cos 2222AC BC AC BC AB解得8AC =-（舍）或AC=3，因此ABC ∆的面积4315120sin 21S =︒⨯⨯⨯=AC AB 【解后反思】要注意正、余弦定理的灵活运用.本题可视为关于AC 的方程，求出AC 的目的，在于求ABC ∆的面积，若利用正弦定理求AC 就较繁了.最优解总是我们追求的目标.11、函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________.【思路点拨】本题考查区间上的三角函数的图象和性质，考查数形结合的能力.可通过[]0,2π正弦值的符号写出分段函数，再通过数形结分析出k 的取值范围.【正确解答】3sin [0,]()sin 2|sin |sin (,2]x x f x x x x x πππ∈⎧=+=⎨-∈⎩，从图象可以看出于直线k y =有且仅有两个不同的交点时, 31<<k【解后反思】要熟悉含有绝对值的函数图象的作法.即由函数()y f x =的图象作出(),()y f x y f x ==的图象.12、有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3>a a a a .用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是__________.【思路点拨】借助棱柱的拼接的可能性考查学生的分析问题和解决问题的能力，而拼接中底面积不变是关键，只要考虑侧面积的可能情形中最小的一种图形即可.【正确解答】显然，直三棱柱底面为直角三角形，面积为26a ，每个侧面的面积分别为6，8，10，拼接后每个三棱柱或四棱柱底面积是相同的，只需要比较侧面积.拼接为三棱柱的可能的总侧面积为32或36，拼接为四棱柱后可能的总侧面积为28解法2：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：四棱柱有一种，就是边长为a 5的边重合在一起，表面积为242a +28三棱柱有两种，边长为a 4的边重合在一起，表面积为242a +32边长为a 3的边重合在一起，表面积为242a +36两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况表面积为122a +48最小的是一个四棱柱，这说明 201248122824222<⇒+<+a a a 3150<<⇒a 【解后反思】本题考查学生空间想象能力，逻辑思维能力和动手能力的实验题，具有开放性，不确定性等特点，是培养创新能力的好题，也是研究性学习成果的展示题.二、选择题（4分⨯4=16分）13、若函数121)(+=x x f ，则该函数在()+∞∞-,上是（ ） A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值【思路点拨】本题是考查复合函数性质，只要理清构成复合的各个函数的性质就不难解决.【正确解答】21x y =+为增函数，1y x =在(1,)+∞上是减函数，因此121)(+=x x f 是减函数，没有最大值和最小值，选A.【解后反思】函数的图象和性质是高考的一个重点，通过复合可考多个知识点，达到考一查多的功能，要注意复合函数的定义域的变化，教材中的练习题要理解，把握基础，发展能力.14、已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=Z x x x P ,115|，则P M 等于（ ）A ．{}Z x x x ∈≤<,30|B ．{}Z x x x ∈≤≤,30|C ．{}Z x x x ∈≤≤-,01|D ．{}Z x x x ∈<≤-,01|【思路点拨】本题是考查具有绝对值不等式的解法和集合的运算.【正确解答】{}R x x x M ∈≤≤-=,31|， {}Z x x x P ∈≤≤=,40| P M ={}Z x x x ∈≤≤,30|，选B【解后反思】可采用直接法化简各个集合并注意10x +>的隐含条件.在计算P 时，注意10x +>的提示作用.，如果去分母时忽视了10x +>，就会造成错误，而求交集时可用数轴标或文氏图求解.15、条件甲：“1a >”是条件乙：“a >”的（ ）A ．既不充分也不必要条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件【思路点拨】本题考查了充要条件的定义及其判定只要判断甲⇒乙和乙⇒甲的真假性，利用充要条件将条件乙进行化简是解决这类问题的关键.【正确解答】解法1：甲⇒乙：11a a >⇒>⇒>，乙⇒甲：1)0101a a >⇒>⇒><⇒>因此是充要条件，选B解法2：∵201a a a a a >⎧>⇔⇔>⎨>⎩，∴选B【解后反思】对命题的充要条件、必要条件可以从三个方面理解：①定义法，②等价法，即利用A B ⇒与B A ⌝⌝⇒，B A ⇒与A B ⌝⌝⇒的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题一般采用等价法，③利用集合间的包含关系判断：若A B ⊆则A 是B 的充分条件或B 是A 必要条件；若A B =则A 是B 的充要条件，另外，对于确定条件的不充分性或不必要性往往用构造反例的方法来说明.16、用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵.对第i 行in i i a a a ,,,21 ，记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，!,,3,2,1n i =.例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=⨯-⨯+-=+++b b b ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12021b b b +++ 等于（ ）A ．—3600B ．1800C ．—1080D ．—720【思路点拨】本题借助数阵考查学生的观察能力和运算能力，要抓住逐项特征：第一行的和相等，探索其规律，符号因子()1n -的处理是一难点.【正确解答】由题意可知，每一行的和为相等的 12312312312312312312!11121312122232!1!2!3!1121!11222!212!1121!1(23(1))(23(1))(23(1))()2()(1)()(123(1))()n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b b b a a a na a a a na a a a na a a a a a a n a a a n a a a +++=-+-++-+-+-++-++-+-++-=-+++++++++-+++=-+-++-+++=1111(1)(221(1)()()22n n n n n n n A n n n n n A n ----+⎧⨯⨯⎪⎪⎨-+⎪-⨯⨯⎪⎩为偶数）为奇数 5n =时，412120456310802b b b A ⨯+++=-⨯⨯=-. 解法2：在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360，1080360536043603360236012021-=⨯-⨯+⨯-⨯+-=+++b b b【解后反思】数学学习中的数感很重要，变化中不变的探索与发现是当今高考的一个方向，它是培养创新人才的一个重要载体，在学习中要留心，遇到此类问题时要细心品味.三、解答题（本大题满分86分）17、（本题满分12分）已知长方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是1BB 和BC 的中点，AB=4，AD=2，D B 1与平面ABCD 所成角的大小为︒60，求异面直线D B 1与MN 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）【思路点拨】本题考查直四棱柱的性质和异面直线所成角的求法，考查空间想象能力和运算能力，可根据定义找出异面直线所成角，转化到平面图形解决，而本题的图形结构，具有空间向量处理的特点，故还可利用空间向量的数量积来解决.【正确解答】联结B 1C,由M 、N 分别是BB 1和BC 的中点,得B 1C ∥MN,∴∠DB 1C 就是异面直线B 1D 与MN 所成的角.联结BD,在Rt △ABD 中,可得BD=25,又BB 1⊥平面ABCD,∠B 1DB 是B 1D 与平面ABCD 所成的角, ∴∠B 1DB=60°.在Rt △B 1BD 中, B 1B=BDtan60°=215,又DC ⊥平面BB 1C 1C, ∴DC ⊥B 1C,在Rt △DB 1C 中, tan ∠DB 1C=212121=+=BB BC DC C B DC ,∴∠DB 1C=arctan 21. 即异面直线B 1D 与MN 所成角的大小为arctan21. 【解后反思】求异面直线所成角的一般步骤是：①利用定义构造问题，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某一特殊的位置，顶点选在特殊的位置上，②证明所作出的角（或补角）即为所的求角，③利用解三角形求角.异面范围是(0,]2π.若能建立空间直角坐标系，利用向量求异面直线所成的角的大小是十分快捷方便的.18、（本题满分12分）在复数范围内解方程ii i z z z +-=++23)(||2（i 为虚数单位）. 【思路点拨】本题考查共轭复数的模的概念和运算能力，可根据复数的代数形式进行处理. 【正确解答】原方程化简为i i z z z -=++1)(2,设z=x+yi(x 、y ∈R),代入上述方程得 x 2+y 2+2xi=1-i,∴x 2+y 2=1且2x=-1,解得x=-21且y=±23, ∴原方程的解是z=-21±23i. 【解后反思】近几年看，高考中常见与复数相关问题难度有下降的趋势，仅以中档题为主，侧重于复数的代数运算，而复数问题实数化的最佳形式是它的代数形式表示.19、（本题满分14分）已知函数b kx x f +=)(的图象与y x ,轴分别相交于点A 、B ，22+=（,分别是与y x ,轴正半轴同方向的单位向量），函数6)(2--=x x x g . （1）求b k ,的值；（2）当x 满足)()(x g x f >时，求函数)(1)(x f x g +的最小值. 【思路点拨】本题是以向量为背景，解析法为手段，考查解析思想的运用和处理函数性质的方法，考查运算能力和运用数学模型的能力.【正确解答】 (1)由已知得A(k b -,0),B(0,b),则AB ={k b ,b},于是kb =2,b=2. ∴k=1,b=2. (2)由f(x)> g(x),得x+2>x 2-x-6,即(x+2)(x-4)<0, 得-2<x<4,)(1)(x f x g +=252+--x x x =x+2+21+x -5 由于x+2>0,则)(1)(x f x g +≥-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立 ∴)(1)(x f x g +的最小值是-3. 【解后反思】要熟悉在其函数的定义域内，常见模型函数求最值的常规方法.如1(0)y x x x=+≠型. 20、（本题满分14分）假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4780万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？【正确解答】[解] (1)设中低价房面积形成数列{a n },由题意可知{a n }是等差数列,其中a 1=250,d=50,则S n =250n+502)1(⨯-n n =25n 2+225n, 令25n 2+225n≥4750,即n 2+9n-190≥0,而n 是正整数, ∴n≥10.到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设新建住房面积形成数列{b n },由题意可知{b n }是等比数列,其中b 1=400,q=1.08,则b n =400·(1.08)n-1·0.85.由题意可知a n >0.85 b n ,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.【解后反思】数学应用问题是近几年高考的热点之一，似乎是每年的必考题，平时要注意数学应用意识的培养，碰到这类问题时不要被繁琐的数据和冗长的文字说明所惧，应“取其精华”读通读懂题目，即解题的归宿应该在回答实际问题上.21、（本题满分16分）已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M.（1）求抛物线方程；（2）过M 作FA MN ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标；（3）以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当)0,(m K 是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系.【思路点拨】本题考查直线与抛物线、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运用解析几何的方法分析问和解决问题的能力.第（1）（2）问是定量分析，难度不大，而解决（3）的常规方法之一就是利用点M 到直线AK 的距离d 与圆的半径比较为宜.【正确解答】 (1) 抛物线y 2=2px 的准线为x=-2p ,于是4+2p =5, ∴p=2. ∴抛物线方程为y 2=4x.(2)∵点A 是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2),又∵F(1,0), ∴k FA =34;MN ⊥FA, ∴k MN =-43, 则FA 的方程为y=34(x-1),MN 的方程为y-2=-43x,解方程组得x=58,y=54, ∴N 的坐标(58,54). (1) 由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,当m=4时, 直线AK 的方程为x=4,此时,直线AK 与圆M 相离.当m ≠4时, 直线AK 的方程为y=m-44(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0, 圆心M(0,2)到直线AK 的距离d=2)4(1682-++m m ,令d>2,解得m>1∴当m>1时, AK 与圆M 相离;当m=1时, AK 与圆M 相切;当m<1时, AK 与圆M 相交.【解后反思】解答圆锥这部分试题需准确地把握数与形的语言转换能力，推理能力，本题计算量并不大，但步步等价转换的意识要准确无误.22、（本题满分18分）对定义域是f D 、g D 的函数)(x f y =、)(x g y =，规定：函数⎪⎩⎪⎨⎧∈∉∉∈∈∈=g f g f g f D x D x x g D x D x x f D x D x x g x f x h 且当且当且当),(),(),()()(.（1）若函数11)(-=x x f ，2)(x x g =，写出函数)(x h 的解析式； （2）求问题（1）中函数)(x h 的值域；（3）若)()(α+=x f x g ，其中α是常数，且[]πα,0∈，请设计一个定义域为R 的函数)(x f y =，及一个α的值，使得x x h 4cos )(=，并予以证明.【思路点拨】本题通过自定义函数考查学生如何理解函数，如何在给出具体函数下处理相关函数性质的能力，只要遵循其规则，借助给定函数的性质即可解决.【正确解答】（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+∞⋃-∞∈-=11),1()1,(1)(2x x x x x h（2）当.21111)(,12+-+-=-=≠x x x x x h x 时 若,4)(,1≥>x h x 则其中等号当x =2时成立，若,4)(,1≤<x h x 则其中等号当x =0时成立，∴函数),4[}1{]0,()(+∞⋃⋃-∞的值域x h（3）[解法一]令,4,2cos 2sin )(πα=+=x x x f 则,2sin 2cos )4(2cos )4(2sin )()(x x x x x f x g -=+++=+=ππα 于是.4cos )2sin 2)(cos 2cos 2(sin )()()(x x x x x x f x f x h =-+=+⋅=α[解法二]令2,2sin 21)(πα=+=x x f ， 则,2sin 21)2(2sin 21)()(x x x f x g -=++=+=πα 于是.4cos 2sin 21)2sin 21)(2sin 21()()()(2x x x x x f x f x h =-=-+=+⋅=α【解后反思】自定义函数是近年高考常见题型，必须深刻理解其定义的含义就不难解决.。
2005年上海市TI杯高二年级数学竞赛
4 ,0 的 直 线 l 5
图5
交椭圆于点 A 、 B. 求 ∠AOB 的大小范围 .
1 = x 0 < x ≤ . 过点 E 、 F、 G、 H 分别作射 2
参考答案
个 人 赛
一、 1. 31141 5 2. 365 5 48 45 3. > 4. 5 5. 01024 1 5155 6. 8 191 7. 337 8. 7 210 489 2 1 二、 因为 an + 1 = a + ,所以 , 3 n 3 2 2 2 ( an - 1) . an + 1 - 1 = a = 3 n 3 3 2 因此 ,{ an - 1} 是以 为公比的等比数列 . 3 n- 1 2 又 an - 1 = 1 ,所以 , an - 1 = ,即 3 n- 1 2 an = 1 + . 3 故| an + 1 - an | < 10 - 9 ,即
其中 n ∈Z + . 则 g ( 12) 的值是
2 3
.
7. 一个三位数 abc满足 a - b + c = abc .
则这个三位数是
.
天 ,一个平太阳日分为 24 个平太阳小时 , 一 个平太阳小时分为 60 个平太阳分 ,一个平太 阳分分为 60 个平太阳秒 . 天文学计算地球的 一个回归年等于 S 个平太阳日是用下面公 式进行计算的 :
2005 年第 11 期
25
2005年上海市 TI杯高二年级数学竞赛
个 人 赛
一、 填空题 ( 第 1 ～ 4 题每小题 6 分 , 第 5 ～8 题每小题 9 分 ,共 60 分)
1. 计算 3 1 +
2 2 2
我国人口以这个年均增长率增长 ,从 1974 年 底到 2004 年 底 , 我 国 人 口 将 比 13 亿 多 出 亿 ( 精确到百万) .
2005年高考理科数学（上海卷）试题及答案
2005年高考理科数学上海卷试题及答案源头学子小屋一、填空题（41248´=） 1.函数()()4log 1f x x =+的反函数()1fx -=________________2.方程4220xx+-=的解是___________________ 3.直角坐标平面xOy 中，若定点()1,2A 与动点(),P x y 满足4O P O A ×=，则点P 的轨迹方程是______________4.在()10x a -的展开式中，7x 的系数是15，则实数a =______________5.若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点是()10,0，则双曲线的方程是____6.将参数方程12cos 2sin x y q q=+ìí=î（q 为参数）化为普通方程，所得方程是______7.计算：1132lim32n nnn n ++®¥-=+______________8.某班有50名学生，其15人选修A 课程，另外35人选修B 课程从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是____________（结果用分数表示）（结果用分数表示）9.在A B C D 中，若120A Ð= ，5A B =，7B C =，则A B C D 的面积S=_________10.函数()[]sin 2sin 0,2f x x x x p =+Î的图像与直线y k =又且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是____________ 11.有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为3a 、4a 、5a ()0a >用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的一个是四棱柱，全面积最小的一个是四棱柱，则则a 的取值范围是_______12.用n 个不同的实数12,,,n a a a 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵对第i 行12,,,i i in a a a ，记()123231n i i i i in b a a a na =-+-++- ()1,2,3,,!i n = 例如：用1，2，3可得数阵如下，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，1261221231224b b b +++=-+´-´=- 那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12120b b b +++= ___________________ 二、选择题（4416´=）13.若函数()121xf x =+，则该函数在(),-¥+¥上是上是 (A)单调递减无最小值单调递减无最小值 (B)单调递减有最小值单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值单调递增无最大值 (D)单调递增有最大值单调递增有最大值14.已知集合{}12,M x x x R =-£Î，51,1P xx Z x ìü=³Îíý+îþ，则M P 等于等于 (A){}03,x x x Z <£Î (B){}03,x x x Z ££Î (C){}10,x x x Z -££Î (D){}10,x x x Z -£<Î4a 5a3a2a4a 5a3a2a123132213231312321æöç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èø15.过抛物线24y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线，则这样的直线 (A)又且仅有一条又且仅有一条 (B)有且仅有两条有且仅有两条 (C)有无穷多条有无穷多条 (D)不存在不存在 16.设定义域为为R 的函数()lg 1,10,1x x f x x ì-¹ï=í=ïî，则关于x 的方程()()20fx bf x c ++=有7个不同的实数解得充要条件是个不同的实数解得充要条件是(A)0b <且0c > (B)0b >且0c < (C)0b <且0c = (D)0b ³且0c =三、解答题三、解答题17.已知直四棱柱1111C A B CD D A B C D -中，12A A =，底面A B C D 是直角梯形，90A Ð= ，//A B C D ，4A B =，2A D =，1D C =，求异面直线1B C 与D C 所成的角的大小（结果用反三角函数表示）三角函数表示）18.证明：在复数范围内，方程()()255112i z i z i z i-+--+=+（i 为虚数单位）无解19.点A 、B 分别是椭圆2213620x y +=长轴的左、右焦点，点F 是椭圆的右焦点点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A P F ^ （1）求P 点的坐标；点的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于M B ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值FAPB M oyxD 1C 1B 1A 1D CBA20.假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米那么，到那一年底，那么，到那一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分对定义域是f D .g D 的函数)(x f y =.)(x g y =，规定：函数ïîïíìÎÏÏÎÎÎ=gf g f g f D x D x x g D x D x x f D x D x x g x f x h 且当且当且当),(),(),()()(（1）若函数11)(-=x x f ，2)(x x g =，写出函数)(x h 的解析式；的解析式； （2）求问题（1）中函数)(x h 的值域；的值域；（3）若)()(a +=x f x g ，其中a 是常数，且[]p a ,0Î，请设计一个定义域为R 的函数)(x f y =，及一个a 的值，使得x x h 4cos )(=，并予以证明22.在直角坐标平面中，已知点()11,2P ，()222,2P ，()333,2P ，(),,2nn P n ，其中n 是正整数对平面上任一点0A ，记1A 为0A 关于点1P 的对称点，2A 为1A 关于点2P 的对称点，, n A 为1n A -关于点n P 的对称点（1）求向量02A A的坐标；的坐标；（2）当点0A 在曲线C 上移动时，点2A 的轨迹是函数()y f x =的图像，其中()f x 是以3位周期的周期函数，且当(]0,3x Î时，()lg f x x =求以曲线C 为图像的函数在(]1,4上的解析式；解析式；（3）对任意偶数n ，用n 表示向量0n A A 的坐标学卷315121551317HD 1C 1B 1D C在△ABC 1中,cos∠C 1BA =17173,∴∠C 1BA =a r c cos17173异面直线BC 1与DC 所成角的大小为a r c cos17173另解另解::如图如图,,以D 为坐标原点为坐标原点,,分别以DA 、DC 、DD 1所在所在直线为x 、y 、z 轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系.. 则C 1(0,1,2),B (2,4,0), ∴1BC =(=(－－2,2,－－3,2),CD =(0,=(0,－－1,0),1,0),设设1BC 与CD 所成的角为θ,则cos θ=CDBC CD BC ××11=17173,θ= a r c cos17173.异面直线BC 1与DC 所成角的大小为a r c cos 1717318. [18. [解解] ] 原方程化简为原方程化简为i i z z z-=++1)(2,设设z =x +yi (x 、y ∈R),代入上述方程得∈R),代入上述方程得 x 22+y 22+2xi =1=1－－i ,∴∴x 22+y 22=1且2x =－1,1,解得解得x =－21且y =±23,∴原方程的解是∴原方程的解是z =－21±23i .19. [19. [解解]（1）由已知可得点A (－6,0),F (0,4) 设点设点P (x ,y ),),则则AP ={x +6,y },FP ={x －4,y },由已知可得由已知可得 22213620(6)(4)0x y x x y ì+=ïíï+-+=î则则2x 22+9x －18=0,18=0,解得解得x =23或x =－6.由于由于y >0,>0,只能只能x =23,于是y =235.∴点∴点P 的坐标是的坐标是((23,235)(2) (2) 直线直线AP 的方程是x －3y +6=0.D 1C 1B 1A1DCBAxzy6+m 6+m 915)=1x =1+11x +2,=4p+4p)+cos2(+4p)=cos2)=1+2sin2=2p,)= 1+2sin2()=1－－2sin2)= (1+2sin2)( 1－－2sin2∴∴20A A ={2,4}. (2) ∵(2) ∵20A A ={2,4},∴f (x )的图象由曲线C 向右平移2个单位个单位,,再向上平移4个单位得到个单位得到. .因此因此, , , 曲线曲线C 是函数y =g (x )的图象的图象,,其中g (x )是以3为周期的周期函数为周期的周期函数,,且当x ∈(－∈(－2,1]2,1]时,g (x )=lg(x +2)+2)－－4.4.于是于是于是,,当x ∈(1,4]时∈(1,4]时,,g (x )=lg(x －1)1)－－4. 另解设点A 0(x ,y ), A 2(x 2,y 2),),于是于是x 2－x =2,y 2－y =4,若3< x 2≤6,则0< x 2－3≤3,于是f (x 2)=f (x 2－3)=lg(x 2－3). 当1< x ≤4时, , 则则3< x 2≤6,y +4=lg(x －1). ∴当x ∈(∈(1,4]1,4]1,4]时时,g (x )=lg(x －1)1)－－4. (3)n A A 0 =n n A A A A A A 24220-+++ , 由于k k k k P P A A 2122222--=,得n A A 0 =2(nn P P P P P P 14321-+++ ) =2({1,2}+{1,23}+┄+{1,2n －1})=2{2n ,3)12(2-n}={n ,3)12(4-n}。
2005年 上海高考数学试题及答案 (理科)
阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。
——培根2005年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理工）一、填空题（本大题满分48分）1．函数)1(log )(4+=x x f 的反函数)(1x f-=__________.2．方程0224=-+xx的解是__________.3．直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=∙OA OP ，则点P 的轨迹方程是__________.4．在10)(a x -的展开式中，7x 的系数是15，则实数a =__________.5．若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________.6．将参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x （θ为参数）化为普通方程，所得方程是__________.7．计算：112323lim ++∞→+-n n nn n =__________.8．某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程.从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________.（结果用分数表示）9．在ABC ∆中，若︒=120A ，AB=5，BC=7，则ABC ∆的面积S=__________.10．函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________.11．有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为 )0(5,4,3>a a a a .用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是__________.12．用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵.对第i 行in i i a a a ,,,21 ，记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-= ，!,,3,2,1n i =.例如：用1，2，3可得数阵123123123123123123如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=⨯-⨯+-=+++b b b ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12021b b b +++ =__________.二、选择题（本大题满分16分）13．若函数121)(+=x x f ，则该函数在()+∞∞-,上是 （ ）A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值14．已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=Z x x x P ,115|，则P M 等于（ ） A ．{}Z x x x ∈≤<,30| B ．{}Z x x x ∈≤≤,30| C ．{}Z x x x ∈≤≤-,01|D ．{}Z x x x ∈<≤-,01|15．过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在16．设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是（ ）A ．0<b 且0>cB ．0>b 且0<cC ．0<b 且0=cD ．0≥b 且0=c三、解答题（本大题满分86分）17．（本题满分12分）已知直四棱柱1111D C B A ABCD -中，21=AA ，底面ABCD 是直角梯形，∠A 是直角，AB||CD ，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线1BC 与DC 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）18．（本题满分12分）证明：在复数范围内，方程iiz i z i z +-=+--+255)1()1(||2（i 为虚数单位）无解.19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥.（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？21．（本题满分16分）（4+6+6=16分）对定义域是f D 、g D 的函数)(x f y =、)(x g y =，规定：函数⎪⎩⎪⎨⎧∈∉∉∈∈∈=g f g f gf Dx D x x g D x D x x f D x D x x g x f x h 且当且当且当),(),(),()()(.（1）若函数11)(-=x x f ，2)(x x g =，写出函数)(x h 的解析式； （2）求问题（1）中函数)(x h 的值域；（3）若)()(α+=x f x g ，其中α是常数，且[]πα,0∈，请设计一个定义域为R 的函数)(x f y =，及一个α的值，使得x x h 4cos )(=，并予以证明.22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分.在直角坐标平面中，已知点()()()()n n n P P P P 2,,,2,3,2,2,2,133221 ，其中n 是正整数，对平面上任一点0A ，记1A 为0A 关于点1P 的对称点，2A 为1A 关于点2P 的对称点，．．．，n A 为1-n A 关于点n P 的对称点.（1）求向量20A A 的坐标；（2）当点0A 在曲线C 上移动时，点2A 的轨迹是函数)(x f y =的图象，其中)(x f 是以3为周期的周期函数，且当(]3,0∈x 时，x x f lg )(=.求以曲线C 为图象的函数在(]4,1上的解析式；（3）对任意偶数n ，用n 表示向量n A A 0的坐标.数学（理）参考答案一、（第1题至第12题）1．14-x2．x =0 3．x +2y －4=0 4．21- 5．1922=-y x 6．4)1(22=+-y x 7．3 8．73 9．341510．31<<k 11．3150<<a 12．－1080 二、（第13题至16题） 13.A 14.B 15.B 16.C 三、（第17题至第22题）17．[解法一]由题意AB//CD ，BA C 1∠∴是异面直线BC 1与DC 所成的角.连结AC 1与AC ，在Rt △ADC 中，可得5=AC ，又在Rt △ACC 1中，可得AC 1=3.在梯形ABCD 中，过C 作CH//AD 交AB 于H ， 得13,3,2,90=∴==︒=∠CB HB CH CHB又在1CBC Rt ∆中，可得171=BC ，在.17173arccos ,171732cos ,112121211=∠∴=⋅-+=∠∆ABC BC AB AC BC AB ABC ABC 中∴异而直线BC 1与DC 所成角的大小为.17173arccos[解法二]如图，以D 为坐标原点，分别以AD 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立直角坐标系.则C 1（0，1，2），B （2，4，0） ),2,3,2(1--=∴BCCD BC 与设1),0,1,0(-=所成的角为θ，则,17173arccos .17173cos 11==⋅=θθ ∴异面直线BC 1与DC 所成角的大小为.17173arccos18．[证明]原方程化简为.31)1()1(||2i z i z i z -=+--+设yi x z += x (、)R y ∈，代入上述方程得.312222i yi xi y x -=--+⎩⎨⎧=+=+∴)2(322)1(122y x y x 将（2）代入（1），整理得.051282=+-x x )(,016x f 方程∴<-=∆ 无实数解，∴原方程在复数范围内无解.19．[解]（1）由已知可得点A （－6，0），F （4，0）设点P 的坐标是},4{},,6{),,(y x FP y x AP y x -=+=则，由已知得.623,018920)4)(6(120362222-===-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+x x x x y x x y x 或则 由于).325,23(,325,23,0的坐标是点于是只能P y x y ∴==> （2）直线AP 的方程是.063=+-y x设点M 的坐标是（m ，0），则M 到直线AP 的距离是2|6|+m ， 于是,2,66|,6|2|6|=≤≤--=+m m m m 解得又 椭圆上的点),(y x 到点M 的距离d 有,15)29(94952044)2(222222+-=-++-=+-=x x x x y x d由于.15,29,66取得最小值时当d x x =∴≤≤-20．解：（1）设中低价房面积形成数列{}n a ，由题意可知{}n a 是等差数列，其中a 1=250，d=50，则 ,22525502)1(2502n n n n n S n +=⨯-+= 令,4750225252≥+n n 即.10,,019092≥∴≥-+n n n n 是正整数而 ∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.（2）设新建住房面积形成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列，其中b 1=400，q=1.08， 则b n =400·(1.08)n －1由题意可知n n b a 85.0>有250+(n －1)50>400 · (1.08)n －1 · 0.85.由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，∴到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.21．解（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+∞⋃-∞∈-=11),1()1,(1)(2x x x x x h（2）当.21111)(,12+-+-=-=≠x x x x x h x 时 若,4)(,1≥>x h x 则其中等号当x =2时成立， 若,0)(,1≤<x h x 则其中等号当x =0时成立， ∴函数),4[}1{]0,()(+∞⋃⋃-∞的值域x h （3）[解法一]令,4,2cos 2sin )(πα=+=x x x f则,2sin 2cos )4(2cos )4(2sin )()(x x x x x f x g -=+++=+=ππα 于是.4cos )2sin 2)(cos 2cos 2(sin )()()(x x x x x x f x f x h =-+=+⋅=α[解法二]令2,2sin 21)(πα=+=x x f ，则,2sin 21)2(2sin 21)()(x x x f x g -=++=+=πα于是.4cos 2sin 21)2sin 21)(2sin 21()()()(2x x x x x f x f x h =-=-+=+⋅=α22．[解]（1）设点),(0y x A ，A 0关于点P 1的对称点A 1的坐标为),4,2(1y x A --A 1关于点P 2的对称点A 2的坐标为)4,2(2y x A ++，所以，}.4,2{20=A A （2）[解法一])(},4,2{20x f A A ∴= 的图象由曲线C 向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到.因此，曲线C 是函数)(x g y =的图象，其中)(x g 是以3为周期的周期函数，且当.4)1lg()(,]4,1(,,4)2lg()(,]1,2(--=∈-+=-∈x x g x x x g x 时当于是时[解法二]设⎩⎨⎧=-=-42),,(),,(222220y y x x y x A y x A 于是若).3lg()3()(,330,6322222-=-=≤-<≤<x x f x f x x 于是则当),1lg(4.63,412-=+≤<≤<x y x x 则时 .4)1l g ()(,]4,1{--=∈∴xx g x 时当 （3）n n n A A A A A A A A 242200-+++=由于)(2,2143210212222n n n k k k k P P P P P P A A P P A A ---+++== 得，}.3)12(4,{}3)12(2,2{2)]2,1()2,1()2,1[(213-=-=+++=-n n n n n。
2005年普通高等学校招生全国统一考试上海卷数学理科
2005年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理工农医类）考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚.2．本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟.请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．函数)1(log )(4+=x x f 的反函数)(1x f-=__________.2．方程0224=-÷xx的解是__________.3．直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=∙OA OP ，则点P 的轨迹方程是__________.4．在10)(a x -的展开式中，7x 的系数是15，则实数a =__________. 5．若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________. 6．将参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x （θ为参数）化为普通方程，所得方程是__________.7．计算：112323lim -+∞→+-n n nn n =__________.8．某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程.从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________.（结果用分数表示） 9．在ABC ∆中，若︒=120A ，AB=5，BC=7，则ABC ∆的面积S=__________.10．函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________.11．有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边 长分别为)0(5,4,3>a a a a .用它们拼成一个三棱柱 或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的 是一个四棱柱，则a 的取值范围是__________.12．用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵.对第i 行in i i a a a ,,,21 ，记in ni i i i na a a a b )1(32321-++-+-= ，!,,3,2,1n i =.例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=⨯-⨯+-=+++b b b ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12021b b b +++ =__________.123123123123123123二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分. 13．若函数121)(+=xx f ，则该函数在()+∞∞-,上是 （ ）A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值 14．已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=Z x x x P ,115|，则P M 等于（ ） A ．{}Z x x x ∈≤<,30| B ．{}Z x x x ∈≤≤,30| C ．{}Z x x x ∈≤≤-,01|D ．{}Z x x x ∈<≤-,01|15．过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在16．设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是 （ ） A ．0<b 且0>c B ．0>b 且0<c C ．0<b 且0=c D ．0≥b 且0=c 三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（本题满分12分）已知直四棱柱1111D C B A ABCD -中，21=AA ，底面ABCD 是直角梯形，∠A 是直角，AB||CD ，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线1BC 与DC 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）18．（本题满分12分）证明：在复数范围内，方程iiz i z i z +-=+--+255)1()1(||2（i 为虚数单位）无解.如图，点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥.（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？题满分6分.对定义域是f D 、g D 的函数)(x f y =、)(x g y =，规定：函数 ⎪⎩⎪⎨⎧∈∉∉∈∈∈=g f g f g f Dx D x x g D x D x x f D x D x x g x f x h 且当且当且当),(),(),()()(.（1）若函数11)(-=x x f ，2)(x x g =，写出函数)(x h 的解析式； （2）求问题（1）中函数)(x h 的值域；（3）若)()(α+=x f x g ，其中α是常数，且[]πα,0∈，请设计一个定义域为R 的函数)(x f y =，及一个α的值，使得x x h 4cos )(=，并予以证明.题满分6分.在直角坐标平面中，已知点()()()()nn n P P P P 2,,,2,3,2,2,2,133221 ，其中n 是正整数，对平面上任一点0A ，记1A 为0A 关于点1P 的对称点，2A 为1A 关于点2P 的对称点，．．．，n A 为1-n A 关于点n P 的对称点.（1）求向量20A A 的坐标；（2）当点0A 在曲线C 上移动时，点2A 的轨迹是函数)(x f y =的图象，其中)(x f 是以3为周期的周期函数，且当(]3,0∈x 时，x x f lg )(=.求以曲线C 为图象的函数在(]4,1上的解析式；（3）对任意偶数n ，用n 表示向量n A A 0的坐标.数学（理）参考答案说明1，本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同.可参照解答中评分标准的精神进行评分.2．评阅试卷，应坚持每题阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分. 一、（第1题至第12题）1．14-x2．x =0 3．x +2y －4=0 4．21- 5．1922=-y x 6．4)1(22=+-y x 7．3 8．73 9．341510．31<<k 11．3150<<a 12．－1080 二、（第13题至16题） 13.A 14.B 15.B 16.C 三、（第17题至第22题）17．[解法一]由题意AB//CD ，BA C 1∠∴是异面直线BC 1与DC 所成的角.连结AC 1与AC ，在Rt △ADC 中，可得5=AC ，又在Rt △ACC 1中，可得AC 1=3.在梯形ABCD 中，过C 作CH//AD 交AB 于H ， 得13,3,2,90=∴==︒=∠CB HB CH CHB 又在1CBC Rt ∆中，可得171=BC ，在.17173arccos ,171732cos ,112121211=∠∴=⋅-+=∠∆ABC BC AB AC BC AB ABC ABC 中∴异而直线BC 1与DC 所成角的大小为.17173arccos[解法二]如图，以D 为坐标原点，分别以AD 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立直 角坐标系.则C 1（0，1，2），B （2，4，0） ),2,3,2(1--=∴BCBC 与设1),0,1,0(-=所成的角为θ，则,17173arccos .17173cos 11===θθ ∴异面直线BC 1与DC 所成角的大小为.17173arccos18．[证明]原方程化简为.31)1()1(||2i z i z i z -=+--+设yi x z += x (、)R y ∈，代入上述方程得.312222i yi xi y x -=--+⎩⎨⎧=+=+∴)2(322)1(122y x y x 将（2）代入（1），整理得.051282=+-x x )(,016x f 方程∴<-=∆ 无实数解，∴原方程在复数范围内无解.19．[解]（1）由已知可得点A （－6，0），F （4，0）设点P 的坐标是},4{},,6{),,(y x y x y x -=+=则，由已知得.623,018920)4)(6(120362222-===-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+x x x x y x x y x 或则 由于).325,23(,325,23,0的坐标是点于是只能P y x y ∴==> （2）直线AP 的方程是.063=+-y x设点M 的坐标是（m ，0），则M 到直线AP 的距离是2|6|+m ， 于是,2,66|,6|2|6|=≤≤--=+m m m m 解得又 椭圆上的点),(y x 到点M 的距离d 有,15)29(94952044)2(222222+-=-++-=+-=x x x x y x d 由于.15,29,66取得最小值时当d x x =∴≤≤- 20．解：（1）设中低价房面积形成数列{}n a ，由题意可知{}n a 是等差数列，其中a 1=250，d=50，则 ,22525502)1(2502n n n n n S n +=⨯-+= 令,4750225252≥+n n 即.10,,019092≥∴≥-+n n n n 是正整数而∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.（2）设新建住房面积形成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列，其中b 1=400，q=1.08， 则b n =400·(1.08)n －1由题意可知n n b a 85.0>有250+(n －1)50>400 · (1.08)n －1 · 0.85.由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，∴到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 21．解（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+∞⋃-∞∈-=11),1()1,(1)(2x x x x x h（2）当.21111)(,12+-+-=-=≠x x x x x h x 时 若,4)(,1≥>x h x 则其中等号当x =2时成立，若,4)(,1≤<x h x 则其中等号当x =0时成立，∴函数),4[}1{]0,()(+∞⋃⋃-∞的值域x h（3）[解法一]令,4,2cos 2sin )(πα=+=x x x f 则,2sin 2cos )4(2cos )4(2sin )()(x x x x x f x g -=+++=+=ππα 于是.4cos )2sin 2)(cos 2cos 2(sin )()()(x x x x x x f x f x h =-+=+⋅=α[解法二]令2,2sin 21)(πα=+=x x f ，则,2sin 21)2(2sin 21)()(x x x f x g -=++=+=πα 于是.4cos 2sin 21)2sin 21)(2sin 21()()()(2x x x x x f x f x h =-=-+=+⋅=α22．[解]（1）设点),(0y x A ，A 0关于点P 1的对称点A 1的坐标为),4,2(1y x A --A 1关于点P 2的对称点A 2的坐标为)4,2(2y x A ++，所以，}.4,2{20=A A（2）[解法一])(},4,2{20x f A A ∴= 的图象由曲线C 向右平移2个单位，再向上平移 4个单位得到.因此，基线C 是函数)(x g y =的图象，其中)(x g 是以3为周期的周期函数，且当 .4)1lg()(,]4,1(,,4)2lg()(,]1,2(--=∈-+=-∈x x g x x x g x 时当于是时[解法二]设⎩⎨⎧=-=-42),,(),,(222220y y x x y x A y x A 于是 若).3lg()3()(,330,6322222-=-=≤-<≤<x x f x f x x 于是则当),1lg(4.63,412-=+≤<≤<x y x x 则时 .4)1l g ()(,]4,1{--=∈∴xx g x 时当 （3）n n n A A A A A A A A 242200-+++= 由于)(2,2143210212222n n n k k k k P P P P P P A A P P A A ---+++== 得，}.3)12(4,{}3)12(2,2{2})2,1{}2,1{}2,1({213-=-=+++=-n n n n n。
高中数学历届全国高中数学联赛一试解析版
19 1999 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 97
20 2000 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 102
21 2001 年全国高数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 107
和 AB′ 相交的直线有 4 条，共面 (相交或平行)
C. 24
的直线有 2 条，与其异面的直线有 5 条：
CD′, DA′, BC′, BD, A′C′.
于是异面直线的对数为 12 ·5 2
= 30. 所以选
A.
D. 48
6. 在坐标平面上有两个区域 M 和 N . M 是由 y ⩾ 0, y ⩽ x 和 y ⩽ 2 − x 这三个
7 1987 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 33
8 1988 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 37
9 1989 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 42
解答
S△ABC =
1 2 ab
sin C
⇒ C1 =Biblioteka C2 或C1 = π
− C2，于是甲
⇏
乙，乙
⇒
甲.
甲是乙的必要条件，所以选 B.
2. 条件甲：√1 + sin θ = a；条件乙：sin θ + cos θ = a. 则
2
2
()
A. 甲是乙的充分必要条件
B. 甲是乙的必要条件
C. 甲是乙的充分条件
2005年全国高中数学联赛试题及参考答案
1 AC 2 ，则 CD=_________。 ，∠ACB=45° ， AD BC 6 2 2 11. 正方形 ABCD 的一条边在直线 y 2 x 17 上，另外两顶点在 y x 上，则正方
10. 如图，四面体 DABC 的体积为 形面积的最小值为_____________。 12. 若自然数 a 的各位数字之和为 7，则称 a 是“吉祥数” 。将所有“吉祥数”从小 到大排成一列：a1、a2、a3„，若 an=2005，则 a5n=______。
2 3 . 2 4
即 sin 2 sin 3 cos 2 cos 3. 曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆，选 C。 6.记集合 T {0,1,2,3,4,5,6}, M {
a1 a 2 a3 a 4 | ai T , i 1,2,3,4}, 将 M 中的元素按从 7 7 2 73 7 4
a1 a2 a3 a4 2 3 4 ai T , i 1,2,3,4 ，将 M 中的元素按从大 7 7 7 7
D.
5 5 6 3 2 3 4 7 7 7 7
B.
5 5 6 2 1 1 0 4 2 3 4 C. 2 3 4 7 7 7 7 7 7 7 7
A A B C B C ) 2sin( ) 2 2 2 2
学数学 用数学
2 cos(
B C ). 2 2
AA1 cos
A B C A A B C AC B 2 cos( ) cos cos cos cos( C ) cos( B) 2 2 2 2 2 2 2 2 B C A sin C sin B,同理BB1 cos sin A sin C , CC1 cos sin A sin B, AA1 cos BB1 2 2 2 B C 2(sin A sin B sin C ) cos CC1 cos 2(sin A sin B sin C ), 原式 2.选A. 2 2 sin A sin B sin C
2005年全国高中数学联赛试卷及解答
2005年全国高中数学联赛试卷(2005年10月16日上午8∶00－9∶40)一、选择题：1．使关于x 的不等式x －3+6－x ≥k 有解的实数k 的最大值是 ( ) A ．6－ 3 B ． 3 C ．6+ 3 D ． 62．空间四点A 、B 、C 、D 满足|→AB |＝3，|→BC |＝7，|→CD |＝11，|→DA |＝9．则→AC ·→BD 的取值( ) A ．只有一个 B ．有二个 C ．有四个 D ．有无穷多个3．△ABC 内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线延长后分别交此圆于A 1、B 1、C 1，则AA 1·cos A 2+BB 1·cos B 2+CC 1·cosC2sin A +sin B +sin C的值为 ( )A ．2B ．4C ．6D ．84．如图，ABCD －A 'B 'C 'D '为正方体，任作平面α与对角线AC '垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则 ( ) A ．S 为定值，l 不为定值 B ．S 不为定值，l 为定值 C ．S 与l 均为定值 D ．S 与l 均不为定值5．方程x 2sin 2－sin 3+y 2cos 2－cos 3＝1表示的曲线是 ( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线6．记集合T ＝{0，1，2，3，4，5，6}，M ＝{a 17+a 272+a 373+a 474| a i ∈T ，i ＝1，2，3，4}，将M 中的元素按从大到小排列，则第2005个数是 ( )A ．57+572+673+374B ．57+572+673+274C ．17+172+073+474D ．17+172+073+374二、填空题：7．将关于x 的多项式f (x )＝1－x +x 2－x 3+…－x 19 +x 20表为关于y 的多项式g (y )＝a 0+a 1y +a 2y 2+…+a 19y 19+a 20y 20，其中y ＝x －4，则a 0+a 1+…+a 20＝ ；8．已知f (x )是定义在(0，+∞)上的减函数，若f (2a 2+a +1)＜f (3a 2－4a +1)成立，则a 的取值范围是 ；9．设α、β、γ满足0＜α＜β＜γ＜2π，若对于任意x ∈R ，cos(x +α)+cos(x +β)+cos(x +γ)＝0，则γ－α＝ ；10．如图，四面体DABC 的体积为16，且满足∠ACB ＝45︒，AD +BC +AC2＝3，则CD ＝ ；11．若正方形ABCD 的一条边在直线y ＝2x －17上，另外两个顶点在抛物线y ＝x 2上，则该正方形面积的最小值为 ；12．如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a 1，a 2，a 3，…，若a n ＝2005，则a 5n ＝ ．三、解答题：A'B'C'D'DCBA45°ADCB13．数列{a n }满足a 0＝1，a n +1＝7a n +45a n 2－362，n ∈N ，证明：⑴ 对任意n ∈N ，a n 为正整数；⑵ 对任意n ∈N ，a n a n +1－1为完全平方数．14．将编号为1，2，3，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各放一个小球，设圆周上所有相邻两个球号码之差的绝对值之和为S ，求使S 达到最小值的放法的概率．(注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后与另一种放法重合，则认为是相同的放法)15．过抛物线y ＝x 2上一点A (1，1)作抛物线的切线，分别交x 轴于点D ，交y 轴于点B ，点C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足AE EC ＝λ1；点F 在线段BC 上，满足BF FC＝λ2，且λ1+λ2＝1，线段CD 与EF 交于点P ，当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程．加试卷一、如图，在△ABC 中，设AB ＞AC ，过点A 作△ABC 的外接圆的切线l ，又以点A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于点D ；交直线l 于点E 、F ．证明：直线DE 、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心．二、设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足cy +bz ＝a ，az +cx ＝b ，bx +ay ＝c ．求函数f (x ，y ，z )＝x 21+x +y 21+y +z 21+z的最小值．三、对每个正整数n ，定义函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，当n 为完全平方数， [1{n }]，当n 不为完全平方数．(其中[x ]表示不超过x 的最大整数，{x }＝x －[x ])．试求k ＝1∑240f (k )的值．呜呼！不怕繁死人，就怕繁不成！2005年全国高中数学联赛试卷(2005年10月16日上午8∶00－9∶40)一、选择题：1．使关于x 的不等式x －3+6－x ≥k 有解的实数k 的最大值是 ( ) A ．6－ 3 B ． 3 C ．6+ 3 D ． 6 选D ．解：3≤x ≤6，令x －3＝3sin α(0≤α≤π2)，则x ＝3+3sin 2α，6－x ＝3cos α．故6≥3(sin α+cos α)≥3．故选D ．2．空间四点A 、B 、C 、D 满足|→AB |＝3，|→BC |＝7，|→CD |＝11，|→DA |＝9．则→AC ·→BD 的取值( ) A ．只有一个 B ．有二个 C ．有四个 D ．有无穷多个 选A ．解：→AB +→BC +→CD +→DA ＝→0．DA 2＝→DA 2＝(→AB +→BC +→CD )2＝AB 2+BC 2+CD 2+2(→AB ·→BC +→AB ·→CD +→BC ·→CD )＝AB 2+BC 2+CD 2+2(→AB ·→BD +→BC ·→BD －→BC 2)，(其中→BC +→CD ＝→BD ，→CD ＝→BD －→BC ) ＝AB 2+BC 2+CD 2－2BC 2+2(→AC ·→BD )．故2→AC ·→BD ＝DA 2+BC 2－AB 2－CD 2＝92+72－32－112＝0⇒→AC ·→BD ＝0．选A ．3．△ABC 内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线延长后分别交此圆于A 1、B 1、C 1，则AA 1·cos A 2+BB 1·cos B 2+CC 1·cosC2sin A +sin B +sin C的值为 ( )A ．2B ．4C ．6D ．8 选A ．解：AA 1·cos A 2＝2sin(B +A 2)cos A2＝sin(A +B )+sin B ＝sin C +sin B ．AA 1·cos A 2+BB 1·cos B 2+CC 1·cos C2＝2(sin A +sin B +sin C )．故原式＝2．选A ．4．如图，ABCD －A 'B 'C 'D '为正方体，任作平面α与对角线AC '垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则 ( )A ．S 为定值，l 不为定值B ．S 不为定值，l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值 选B ．解：设截面在底面内的射影为EFBGHD ，设AB ＝1，AE ＝x (0≤x ≤12)，则l ＝3[2x +2(1－x )]＝32为定值；而S ＝[1－12x 2－12(1－x )2]sec θ＝(12－x －x 2)sec θ(θ为平面α与底面的所成角)不为定值．故选B ．ACBA1B 1C 1IE FGHA'B'C'D'D CB A5．方程x 2sin 2－sin 3+y 2cos 2－cos 3＝1表示的曲线是 ( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线 选C ．解：由于3+2＞π⇒π2＞3－π2＞π2－2＞0⇒cos(3－π2)＜cos(π2－2)⇒sin 2－sin 3＞0；又，0＜2＜3c ＜π⇒cos 2－cos 3＞0，⇒曲线为椭圆． sin 2－sin 3－(cos 2－cos 3)＝2[sin(2－π4)－sin(3－π4)]．而0＜2－π4＜3－π4＜π2⇒sin 2－sin 3＜cos 2－cos 3⇒焦点在y 轴上．故选C ．6．记集合T ＝{0，1，2，3，4，5，6}，M ＝{a 17+a 272+a 373+a 474| a i ∈T ，i ＝1，2，3，4}，将M 中的元素按从大到小排列，则第2005个数是 ( )A ．57+572+673+374B ．57+572+673+274C ．17+172+073+474D ．17+172+073+374选C ．解：M ＝{174(a 1×73+a 2×72+a 3×7+a 4)| a i ∈T ，i ＝1，2，3，4}，a 1×73+a 2×72+a 3×7+a 4可以看成是7进制数，(a 1a 2a 3a 4)7，其最大的数为(6666)7＝74－1＝2400．从而从大到小排列的第2005个数是2400－2004＝396，即从1起从小到大排的第396个数，396＝73+72+4⇒(1104)7，故原数为17+172+073+474．故选C ．二、填空题：7．将关于x 的多项式f (x )＝1－x +x 2－x 3+…－x 19 +x 20表为关于y 的多项式g (y )＝a 0+a 1y +a 2y 2+…+a 19y 19+a 20y 20，其中y ＝x －4，则a 0+a 1+…+a 20＝ ；填521+16解：f (x )＝a 0+a 1(x －4)2+a 2(x －4)2+…+a 20(x －4)20．令x ＝5得f (5)＝1－5+52－53+…－519+520＝(－5)21－1(－5)－1＝521+16＝a 0+a 1+…+a 20．8．已知f (x )是定义在(0，+∞)上的减函数，若f (2a 2+a +1)＜f (3a 2－4a +1)成立，则a 的取值范围是 ；填(0，13)∪(1，5)．解：⎩⎨⎧2a 2+a +1＞0，3a 2－4a +1＞0．⇒a ∈(－∞，13)∪(1，+∞)．2a 2+a +1＞3a 2－4a +1⇒a 2－5a ＜0⇒0＜a ＜5． 故所求取值范围为(0，13)∪(1，5)．9．设α、β、γ满足0＜α＜β＜γ＜2π，若对于任意x ∈R ，cos(x +α)+cos(x +β)+cos(x +γ)＝0，则γ－α＝ ；填43π． 解：由f (x )≡0，得f (－α)＝f (－β)＝f (－γ)＝0：cos (β－α)+cos(γ－α)＝cos(β－α)+cos(γ－β)＝cos(γ－α)+cos(γ－β)＝－1． 故cos(β－α)＝cos(γ－β)＝cos(γ－α)＝－12，由于0＜α＜β＜γ＜2π，故β－α，γ－β，γ－α∈{23π，43π}．从而γ－α＝43π．10．如图，四面体DABC 的体积为16，且满足∠ACB ＝45︒，AD +BC +AC2＝3，则CD ＝ ；填3．解：V ＝13×12AC ×BC sin45︒×h ≤16AC ×BC ×AD sin45︒．即AC ×BC ×AD sin45︒≥1⇒AC2×BC ×AD ≥1．而3＝AD +BC +AC2≥33AD ·BC ·AD2＝3，等号当且仅当AD ＝BC ＝AC2＝1时成立，故AC ＝2，且AD ＝BC ＝1，AD ⊥面ABC ．⇒CD ＝3．11．若正方形ABCD 的一条边在直线y ＝2x －17上，另外两个顶点在抛物线y ＝x 2上，则该正方形面积的最小值为 ；填80．解：设正方形ABCD 的顶点A 、B 在抛物线上，C 、D 在直线上． 设直线AB 方程为y ＝2x +b ， ⑴ 求AB 交抛物线y ＝x 2的弦长：以y ＝2x +b 代入y ＝x 2，得x 2－2x －b ＝0．△＝4+4b ⇒l ＝25(b +1)．⑵ 两直线的距离＝|b +17|5．⑶ 由ABCD 为正方形得，25(b +1)＝|b +17|5⇒100(b +1)＝b 2+34b +289⇒b 2－66b +189＝0． 解得b ＝3，b ＝63．正方形边长＝45或165⇒正方形面积最小值＝80．12．如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a 1，a 2，a 3，…，若a n ＝2005，则a 5n ＝ ．填52000．解：一位的吉祥数有7，共1个；二位的吉祥数有16，25，34，43，52，61，70，共7个；三位的吉祥数为x 1+x 2+x 3＝7的满足x 1≥1的非负整数解数，有C 82＝28个(也可枚举计数)．一般的，k 位的吉祥数为x 1+x 2+…+x k ＝7的满足x 1≥1的非负整数解数，令x i '＝x i +1(i ＝2，3，…，k )，有x 1+x 2'+…+x k '＝7+k －1．共有解C k +5k －1＝C k +56组．45°ADCB4位吉祥数中首位为1的有28个，2005是4位吉祥数中的第29个．故n ＝1+7+28+28+1＝65．5n ＝325．C 66+C 76+C 86+C 96+C 106＝1+7+28+84+210＝330．即是5位吉祥数的倒数第6个：5位吉祥数从大到小排列：70000，61000，60100，60010，60001，52000，…． 三、解答题：13．数列{a n }满足a 0＝1，a n +1＝7a n +45a n 2－362，n ∈N ，证明：⑴ 对任意n ∈N ，a n 为正整数；⑵ 对任意n ∈N ，a n a n +1－1为完全平方数． 证明：⑴ a 1＝5，且a n 单调递增．所给式即 (2a n +1－7a n )2＝45a n 2－36⇒a n +12 －7a n +1a n +a n 2+9＝0． ①下标加1： a n +22 －7a n +2a n +1+a n +12+9＝0． ②相减得： (a n +2－a n )(a n +2－7a n +1+a n )＝0．由a n 单调增，故a n +2－7a n +1+a n ＝0⇒a n +2＝7a n +1－a n ． ③因a 0、a 1为正整数，且a 1＞a 0，故a 2为正整数，由数学归纳法，可知，对任意n ∈N ，a n 为正整数．⑵ 由①：a n +12 +2a n +1a n +a n 2＝9(a n +1a n －1)⇒a n +1a n －1＝(a n +a n +13)2④由于a n 为正整数，故a n +1a n －1为正整数，从而(a n +a n +13)2为正整数．但a n 、a n +1均为正整数，于是a n +a n +13必为有理数，而有理数的平方为整数时，该有理数必为整数，从而a n +a n +13是整数．即a n +1a n －1是整数的平方，即为完全平方数．故证．原解答上有一段似无必要：记f (n )＝a n +1a n －(a n +a n +13)2，则f (n )－f (n －1)＝(a n +1a n －a n a n －1)－19(2a n +a n +1+a n －1)(a n +1－a n －1)＝19(a n －1－a n +1)(a n +1－7a n +a n －1)＝0．即f (n )＝f (n －1)＝…＝f (0)＝1，故④式成立．故a n a n +1－1为完全平方数．又证：由上证，得③式后：a n +2－7a n +1+a n ＝0．特征方程为 x 2－7x +1＝0．解得： x ＝7±352＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3±522＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5±124．令 a n ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124n +β⎝ ⎛⎭⎪⎫5－124n．由a 0＝1，a 1＝5解得 α＝5+125，β＝5－125； 得 a n ＝15[⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124n +1+⎝ ⎛⎭⎪⎫5－124n +1] ⑤注意到5+12·5－12＝1，5+12+5－12＝5． 有， a n a n +1－1＝15[⎝ ⎛⎭⎪⎫5－124n +1+⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124n +1]·[⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124n +5+⎝ ⎛⎭⎪⎫5－124n +5]－1＝15[⎝ ⎛⎭⎪⎫5+128n +6+⎝ ⎛⎭⎪⎫5－128n +6+⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124+⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124－5]＝15[⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124n +3+⎝ ⎛⎭⎪⎫5－124n +3]2由二项式定理或数学归纳法知⎝⎛⎭⎪⎫5+124n +3+⎝ ⎛⎭⎪⎫5－124n +3为k 5型数(k ∈N *)，故a n a n +1－1为完全平方数． (用数学归纳法证明：n ＝0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫5+123+⎝ ⎛⎭⎪⎫5－123＝25．设当n ≤m (m ∈N *)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124n +3+⎝ ⎛⎭⎪⎫5－124n +3＝k n 5(k n ∈N *)，且k 1＜k 2＜…＜k m ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124(m +1)+3+⎝ ⎛⎭⎪⎫5－124(m +1)+3＝[⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124m +3+⎝ ⎛⎭⎪⎫5－124m +3]·[⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124+⎝ ⎛⎭⎪⎫5－124]－[⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124m －1+⎝⎛⎭⎪⎫5－124m －1]． ＝7k m 5－k m －15＝(7k m －k m －1)5．由归纳假设知k m +1＝7k m －k m －1∈N *，且k m ＜k m +1成立． 得证．14．将编号为1，2，3，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各放一个小球，设圆周上所有相邻两个球号码之差的绝对值之和为S ，求使S 达到最小值的放法的概率．(注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后与另一种放法重合，则认为是相同的放法)解：9个有编号的小球放在圆周的九个九等分点上，考虑镜面反射的因素，共有8!2种放法；为使S 取得最小值，从1到9之间应按增序排列：设从1到9之间放了k 个球，其上的数字为x 1，x 2，…，x k ，则|1－x 1|+|x 1－x 2|+…+|x k －9|≥|1－x 1+x 1－x 2+…+x k －9|＝8．当且仅当1－x 1、x 1－x 2、…、x k －9全部同号时其和取得最小值，即1，x 1，x 2，…，x k ，9递增排列时其和最小．故S ≥2×8＝16．当S 取得最小值时，把除1、9外的7个元素分成两个子集，各有k 及7－k 个元素，分放1到9的两段弧上，分法总数为C 70+C 71+…+C 76种，考虑镜面因素，共有64种方法．所求概率P ＝64×28!＝1315．15．过抛物线y ＝x 2上一点A (1，1)作抛物线的切线，分别交x 轴于点D ，交y 轴于点B ，点C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足AEEC ＝λ1；点F 在线段BC 上，满足BF FC＝λ2，且λ1+λ2＝1，线段CD 与EF 交于点P ，当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程．解：过点A 的切线方程为y ＝2x －1．交y 轴于点B (0，－1)．AB 与x 轴交于点D (12，0)．设点C 坐标为C (x 0，y 0)，CDCP＝λ，点P 坐标为(x ，y )．由AE EC ＝λ1⇒AC CE ＝1+λ1，同理，CBCF＝1+λ2； 而CA CE 、CD CP 、CBCF成等差数列(过A 、B 作CD 的平行线可证)． 得2λ＝1+λ1+1+λ2＝3，即λ＝32．从而点P 为△ABC 的重心．x ＝1+0+x 03，y ＝1+(－1)+y 03．y 0＝x 02．解得x 0＝3x －1，y 0＝3y ，代入y 0＝x 02得，y ＝13(3x －1)2． 由于x 0≠1，故x ≠23．所求轨迹方程为y ＝13(3x －1)2(x ≠23)．又解：过点A 的切线方程为y ＝2x －1．交y 轴于点B (0，－1)．AB 与x 轴交于点D (12，0)．设点C 坐标为C (t ，t 2)，CD 方程为x －12t －12＝y t 2，即y ＝t 22t －1(2x －1)．点E 、F 坐标为E (1+λ1t 1+λ1，1+λ1t 21+λ1)；F (λ2t 1+λ2，λ2t 2－11+λ2)．从而得EF 的方程为：y －1+λ1t 21+λ1λ2t 2－11+λ2－1+λ1t 21+λ1＝x －1+λ1t1+λ1λ2t 1+λ2－1+λ1t1+λ1． 化简得：[(λ2－λ1)t －(1+λ2)]y ＝[(λ2－λ1)t 2－3]x +1+t －λ2t 2． ① 当t ≠12时，直线CD 方程为： y ＝2t 2x －t22t －1 ②联立①、②解得⎩⎨⎧x ＝t +13，y ＝t 23． 消去t ，得点P 的轨迹方程为y ＝13(3x －1)2．当t ＝12时，EF 方程为：－32y ＝(14λ2－14λ1－3)x +32－14λ2，CD 方程为：x ＝12，联立解得点(12，112)，此点在上述点P 的轨迹上，因C 与A 不能重合，故t ≠1，x ≠23．故所求轨迹为 y ＝13(3x －1)2(x ≠23)．加试卷一、如图，在△ABC 中，设AB ＞AC ，过点A 作△ABC 的外接圆的切线l ，又以点A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于点D ；交直线l 于点E 、F ．证明：直线DE 、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心．证明：连DC 、DE ，作∠BAC 的平分线交DE 于点I ，交CD 于G ． 由AD ＝AC ，∠DAI ＝∠CAI ，AI ＝AI ⇒△ADI ≌△ACI ． 故∠ADI ＝∠ACI ，但∠FAD ＝∠ACB (弦切角)；∠FAD ＝2∠ADE (等腰三角形顶角的外角)所以∠FAD ＝2∠ACI ⇒∠ACB ＝2∠ACI ，即CI 是∠ACB 的平分线．故点I 是△ABC 的内心． 连FD 并延长交AI 延长线于点I '，连CI '．由于AD ＝AE ＝AF ⇒∠EDF ＝90︒⇒∠IDI '＝90︒．而由△ADI ≌△ACI 知，∠AID ＝∠AIC ⇒∠DII '＝∠CII '，又ID ＝IC ，II '为公共边．故△IDI '≌△ICI '，⇒∠ICI '＝90︒．由于CI 是∠ACB 的平分线，故CI '是其外角的平分线，从而I '为△ABC 的一个旁心．又证：⑴ 连DE 、DC ，作∠BAC 的平分线分别交DE 于I ，DC 于G ，连IC ，则由AD ＝AC ，得AG ⊥DC ，ID ＝IC ．又D 、C 、E 在⊙A 上，故∠IAC ＝12∠DAC ＝∠IEC ．故A 、I 、C 、E 四点共圆．所以∠CIE ＝∠CAE ＝∠ABC ，而∠CIE ＝2∠ICD ，故∠ICD ＝12∠ABC ．所以，∠AIC ＝∠IGC +∠ICG ＝90︒+12∠ABC ，所以∠ACI ＝12∠ACB ．故I 为△ABC 的内心．⑵ 连FD 并延长交∠ABC 的外角平分线于I 1，连II 1，BI 1、BI ，则由⑴知，I 为△ABC 的内心，故∠IBI 1＝90︒＝∠EDI 1．故D 、B 、I 1、I 四点共圆．故∠BII 1＝∠BDI 1＝90︒－∠ADI ＝(12∠BAC +∠ADG )－∠ADI ＝12∠BAC +∠IDG ，故A 、I 、I 1共线．所以，I 1是△ABC 的BC 边外的旁心．二、设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足cy +bz ＝a ，az +cx ＝b ，bx +ay ＝c ．求函数f (x ，y ，z )＝x 21+x +y 21+y +z 21+z的最小值．解：解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧cy +bz ＝a ，az +cx ＝b ，bx +ay ＝c ．得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b 2+c 2－a 22bc ，y ＝c 2+a 2－b22ac，z ＝a 2+b 2－c 22ab．由于x 、y 、z 为正数，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2+b 2＞c 2，b 2+c 2＞a 2，c 2+a 2＝b 2．⇒⎩⎪⎨⎪⎧a +b ＞c ，b +c ＞a ，c +a ＝b ．即以a 、b 、c 为边可以构成锐角三角形．记边a 、b 、c 的对角分别为∠A 、∠B 、∠C ．则cos A ＝x ，cos B ＝y ，cos C ＝z ．(A 、B 、C 为锐角)f (x ，y ，z )＝f (cos A ，cos B ，cos C )＝cos 2A 1+cos A +cos 2B 1+cos B +cos 2C1+cos C．令u ＝cot A ，v ＝cot B ，w ＝cot C ，则u ，v ，w ∈R +，且uv +vw +wu ＝1．于是，(u +v )(u +w )＝u 2+uv +uw +vw ＝u 2+1．同理，v 2+1＝(v +u )(v +w )，w 2+1＝(w +u )(w +v )．cos 2A ＝sin 2A cot 2A ＝cot 2A 1+cot 2A ＝u 21+u 2，所以，cos 2A 1+cos A ＝u 21+u 21+u 1+u 2＝u 21+u 2(1+u 2+u )＝u 2(1+u 2－u )1+u 2＝u 2－u 31+u 2＝u 2－u 3(u +v )(u +w )≥u 2－u 32(1u +v +1u +w )． 同理cos 2B 1+cos B ≥v 2－v 32(1v +u +1v +w )，cos 2C 1+cos C ≥w 2－w 32(1w +u +1w +v)．于是f ≥u 2+v 2+w 2－12(u 3+v 3u +v +v 3+w 3v +w +w 3+u 3w +u)＝u 2+v 2+w 2－12(u 2－uv +v 2+v 2－vw +w 2+w 2－wu +u 2)＝12(uv +vw +wu )＝12(等号当且仅当u ＝v ＝w ，即a ＝b ＝c ，x ＝y ＝z ＝12时成立．)故知[f (x ，y ，z )]min ＝12．又证：由约束条件可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b 2+c 2－a 22bc ，y ＝a 2+c 2－b 22ac ，z ＝a 2+b 2－c 22ab．故⎩⎪⎨⎪⎧1+x ＝(a +b +c )(－a +b +c )2bc，1+y ＝(a +b +c )(a －b +c )2ac，1+z ＝(a +b +c )(a +b －c )2ab．得，f (x ，y ，z )＝12(a +b +c )⎣⎢⎡⎦⎥⎤(b 2+c 2－a 2)2bc (b +c －a )+(c 2+a 2－b 2)2ac (c +a －b ) +(a 2+b 2－c 2)2ab (a +b －c )． ⑴ 显然有a +b －c ＞0，a －b +c ＞0，－a +b +c ＞0．由Cauchy 不等式有，⎣⎢⎡⎦⎥⎤(b 2+c 2－a 2)2bc (b +c －a )+(c 2+a 2－b 2)2ac (c +a －b ) +(a 2+b 2－c 2)2ab (a +b －c )·[bc (b +c －a )+ca (c +a －b )+ab (a +b －c )]≥(a 2+b 2+c 2)2．故f (x ，y ，z )≥(a 2+b 2+c 2)22(a +b +c )(b 2c +bc 2+ac 2+a 2c +a 2b +ab 2－3abc )＝12·a 4+b 4+c 4+2a 2b 2+2b 2c 2+2a 2c 22a 2b 2+2b 2c 2+2c 2a 2+b 3c +b 3c +a 3b +a 3c +c 3a +c 3b －abc (a +b +c )． 下面证明a 4+b 4+c 4+2a 2b 2+2b 2c 2+2a 2c 22a 2b 2+2b 2c 2+2c 2a 2+b 3c +b 3c +a 3b +a 3c +c 3a +c 3b －abc (a +b +c )≥1．即证a 4+b 4+c 4≥a 3b +a 3c +b 3c +b 3a +c 3a +c 3b －(a +b +c )abc ． ⑵ 由于，a 4－a 3b －a 3c +a 2bc ＝a 2(a 2－ab －ac －bc )＝a 2(a －b )(a －c )．故⑵式即a 2(a －b )(a －c )+b 2(b －a )(b －c )+c 2(c －a )(c －b )≥0．不妨设a ≥b ≥c ．则a 2(a －b )(a －c )+b 2(b －a )(b －c )≥a 2(a －b )(b －c )－b 2(a －b )(b －c )＝(a 2－b 2)(a －b )(b －c )≥0， 又，c 2(c －a )(c －b )≥0于是a 2(a －b )(a －c )+b 2(b －a )(b －c )+ c 2(c －a )(c －b )≥0成立．等号当且仅当a ＝b ＝c 时成立．所以，f (x ，y ，z )≥12，且f (12，12，12)＝12．又证：令p ＝12(a +b +c )，⑴式即f (x ，y ，z )＝18p ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(b 2+c 2－a 2)2bc (p －a )+(c 2+a 2－b 2)2ac (p －b ) +(a 2+b 2－c 2)2ab (p －c )(由Cauchy 不等式)≥18p ·(a 2+b 2+c 2)2bc (p －a )+ca (p －b )+ab (p －c )＝18p ·(a 2+b 2+c 2)2p (ab +bc +ca )－3abc ．而a 2+b 2+c 2＝2(p 2－4Rr －r 2)，ab +bc +ca ＝p 2+4Rr +r 2，abc ＝4Rrp ．(*) 故，f (x ，y ，z )≥12p ·(p 2－4Rr －r 2)2p (p 2+4Rr +r 2)－12pRr ＝12p 2·(p 2－4Rr －r 2)2p 2－8Rr +r 2． 而(p 2－4Rr －r 2)2p 2－8Rr +r 2≥p 2⇔p 4+16R 2r 2+r 4－8p 2Rr －2p 2r 2+8Rr 3≥p 4－8p 2Rr +p 2r 2⇔16R 2+8Rr +r 2≥3p 2⇔4R +r ≥3p ． (**)最后一式成立．故得结论．关于(*)式：由△＝rp ，得 r 2＝△2p 2＝p (p －a )(p －b )(p －c )p 2＝(p －a )(p －b )(p －c )p＝p 3－(a +b +c )p 2+(ab +bc +ca )p －abc p ＝－p 3+(ab +bc +ca )p －abcp； ①又由△＝abc 4R ，得4Rr ＝abc p．故4Rr +r 2＝－p 2+(ab +bc +ca )．就是 ab +bc +ca ＝p 2+4Rr +r 2；a 2+b 2+c 2＝(a +b +c )2－2(ab +bc +ca )＝4p 2－2p 2－8Rr －2r 2＝2(p 2－4Rr －r 2)； abc ＝4R △＝4Rrp ． 关于(**)式：由r ＝4R sin A 2sin B 2sin C2，故4R +r ＝4R +4R sin A 2sin B 2sin C2＝4R +4R (cos A +cos B +cos C －1)＝R (3+ cos A +cos B +cos C )＝2R (cos 2A2+cos 2B2+cos 2C2)．而p =R sin A +R sin B +R sin C ＝4R cos A 2cos B 2cos C2．故4R +r ≥3p ⇔cos 2A2+cos 2B2+cos 2C 2≥23cos A 2cos B 2cos C2．又cos 2A2+cos 2B2+cos 2C2≥33cos 2A2cos 2B2cos 2C2，而33cos 2A2cos 2B2cos 2C 2≥23cos A 2cos B 2cos C2⇔32≤3cos A 2cos B 2cos C 2⇔ cos A 2cos B 2cos C 2≥338⇔ sin A +sin B +sin C ≤3sin π3．(由琴生不等式可证)三、对每个正整数n ，定义函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，当n 为完全平方数， [1{n }]，当n 不为完全平方数．(其中[x ]表示不超过x 的最大整数，{x }＝x －[x ])．试求k ＝1∑240f (k )的值．解：对于任意n (n 不是完全平方数)，存在k ，满足k 2＜n ＜(k +1)2，则1≤n －k 2≤2k ．此时n ＝k +{n }．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1{n }＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n －k ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n +k n －k 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k +{n }n －k 2． 由于2k ＜2k +{n }＜2k +1．故2k n －k 2＜2k +{n }n －k 2＜2k +1n －k 2．从而在2k n －k 2与2k +1n －k 2之间没有整数．即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k +{n }n －k 2=⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k n －k 2．若记n －k 2＝i (i ＝1，2，…，2k )，又240＝152+15． 于是，k ＝1∑240f (k )＝k ＝1∑14i ＝1∑2k⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k i +i ＝1∑15⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×15i ．由于k ＜i ≤2k 时⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k i ＝1故i ＝k +1∑2k⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k i ＝k ．于是 k ＝1∑240f (k )＝k ＝1∑15i ＝1∑k⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k i +k ＝1∑14k ＝(2+6+11+16+22+29+34+42+49+56+63+72+78+87+96)+105＝768．即所求值为768． 又解：为计算i ＝1∑2k⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k i ，画一2k ×2k 的表格，在第i 行中，凡i 的倍数处填写*号，则这行的*号共有⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k i个，全表共有i ＝1∑2k⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k i 个．另一方面，第j 列中的*号个数等于j 的约数的个数T (j )，从而全表中的*号个数等于j ＝1∑2kT (j )．故i ＝1∑2k⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k i ＝j ＝1∑2kT (j )．以2k ＝6为例：故a ＝1∑(n+1)2f (a )＝k ＝1∑n j ＝1∑2kT (j )＝n [T (1)+T (2)]+(n －1)[T (3)+T (4)]+…+[T (2n －1)+T (2n )]． ③由此，k ＝1∑162f (k )＝k ＝1∑16(16－k )[T (2k －1)+T (2k )] ④记a n ＝T (2k －1)+T (2k )．可得a k 的取值如下表(k ＝1，2，…15)：k ＝1∑162f (k )＝k ＝1∑16(16－k )a k＝783． ⑤又当k ∈{241，242，…，255}时，设k ＝152+r (r ＝16，17，…30)．则k －15＝152+r －15＝r152+r +15，从而r 31＜r 152+r +15＜r 30，于是1≤30r ＜1{k }＜31r ＜2． 故，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1{k }＝1，k ∈{241，242，…，255}，又f (256)＝0， 所以k ＝1∑240f (k )＝783－15＝768．呜呼！不怕繁死人，就怕繁不成！。
上海市高中数学竞赛试卷及答案
2005年上海市高中数学竞赛试卷（2005年3月27日 星期日 上午8：30～10：30）【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空（前4小题每小题7分，后4小题每小题8分，供60分） 1．计算：0!1!2!100!i +i +i ++i = 95+2i ．（i 表示虚数单位）2．设θ是某三角形的最大内角，且满足sin 8sin 2θθ=，则θ可能值构成的集合是279,,,,3321010πππππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭．（用列举法表示） 3．一个九宫格如图，每个小方格内都填一个复数，它的每行、每列及对角线上三个格内的复数和都相等，则x 表示的复数是 1122i + ．4．如图，正四面体ABCD 的棱长为6cm ，在棱AB 、CD 上各有一点E 、F ，若1AE =cm ，2CF =cm ，则线段EF．5．若关于x 的方程4(3)250x xa ++⋅+=至少有一个实根在区间[1,2]内，则实数a 的取值范围为8.25,3⎡---⎣ ．6．a 、b 、c 、d 、e 是从集合{}1,2,3,4,5中任取的5个元素（允许重复），则abcd e +为奇数的概率为17943125． 7．对任意实数x 、y ，函数()f x 满足()()()1f x f y f x y xy +=+--，若(1)1f =，则对负整数n ，()f n的表达式 2322n n +- ．8．实数x 、y 、z 满足0x y z ++=，且2221x y z ++=，记m 为2x 、2y 、2z 中最大者，则m 的最小值为12． i x 1A B FD E二、（本题满分14分）设()f x =a 的值：至少有一个正数b ，使()f x 的定义域和值域相同．解：若a ＝0，则对每个正数b，()f x =[)0,+∞，故a ＝0满足条件若a ＞0，则对每个正数b，()f x =D ＝{}[)20,0,b x a x bx a⎛⎤+≥=-∞-+∞ ⎥⎝⎦，但()f x =A [)0,⊆+∞故D ≠A ，即a ＞0不合条件 若a ＜0，则对每个正数b，()f x =D ＝0,b a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，由于此时()max 2b f x f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故()f x =⎡⎢⎣所以，04a b a a a <⎧⎪-=⇔⇔=-⎨=-⎪⎩综合所述，a 的值为0或－4三、（本题满分14分）已知双曲线22221x y a b-=（a 、b ∈+R ）的半焦距为c ，且2b ac =．,P Q 是双曲线上任意两点，M为PQ 的中点，当PQ 与OM 的斜率PQ k 、OM k 都存在时，求PQ OM k k ⋅的值．解：∵M 是PQ 的中点，设M （x 0，y 0），P （x 0＋α，y 0＋β－），Q （x 0－α，y 0－β） 于是00,OM PQ y k k x βα== ∵P 、Q 都在双曲线上，所以()()()()2222220022222200220020220440OM PQb x a y a b b x a y a b b x a y y b ac ck k x a a aαβαβαββα+-+=---=-=∴⋅====相减得： 又由)222212c a bc a b ac⎧=+⎪⇒=⎨=⎪⎩舍负根∴12OM PQ k k ⋅=四、（本题满分16分）设[]x 表示不超过实数x 的最大整数．求集合2|,12004,2005k n n k k ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=≤≤∈⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭N 的元素个数． 解：由()2212111002200520052005k k k k ++-=≤≤，解得即当()()2222111,2,3,,100212005200520052005k k k k k ⎡⎤⎡⎤++⎡⎤⎡⎤===+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦时或22210021500,0,1,2,,1002,0,1,,500200520052005k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦当时能取遍()()222222222211003,1004,,2004,1,2005200511003100420041,,,,2005200520052005200520041002100210031002501,200520052k k k k k k n n +=->⎡⎤+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤≥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=⎡⎤⎡⎤>⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=另外,当时由于故即各不相同，这些数有个注意到＝就知集合,12004,50110021503005k k N ⎧⎫⎡⎤⎪⎪≤≤∈⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭共有＋＝个元素.五、（本题满分16分）数列{}n f的通项公式为n nn f ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，n ∈+Z ． 记1212C +C +C nn n n n n S f f f =，求所有的正整数n ，使得n S 能被8整除．解：记αβ==则()()()()1000S11n ni i i i i in n ni in nn ni i i in ni in nC CC Cαβαβαβαβ=====--⎫⎤=-=+-+⎪⎦⎭⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦∑∑注意到3553,12222+=⋅=，可得()1121S3S Sn n n n nn n++++⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥=-+--⎢⎥⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎭=-*因此，S n+2除以8的余数，完全由S n+1、S n除以8的余数确定11211122122,3S C f S C f C f==+=，故由(*)式可以算出{}n S各项除以8的余数依次是1,3，0,5，7,0，1,3，……，它是一个以6为周期的数列，从而83nS n⇔故当且仅当38nn S时，。