上海市高中数学竞赛试题及参考答案

上海市高中数学竞赛
一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.如图,正六边形111111A B C D E F 的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形222222A B C D E F ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 .
2.已知正整数1210,,
,a a a 满足:
3
,1102
>≤<≤j
i a i j a ,则10a 的最小可能值是 .
3.若17tan tan tan 6αβγ++=，4
cot cot cot 5αβγ++=-,cot cot αβ
17
cot cot cot cot 5βγγα++=-，则()tan αβγ++= .
4．已知关于x 的方程()()lg 2lg 1=+kx x 仅有一个实数解，则实数k 的取值范围是 .
5．如图，∆AEF 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形，已知
90∠=︒AEF ，,,==>AE a EF b a b ，则=x .
6．方程1233213+⋅-+=m n n m 的非负整数解(),=m n .
7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答）
8．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22+++===
-=++n n n n n
a a a a a n n n .若
2011
22012
>+
m a ，则正整数m 的最小值为 .
E1
C D 1
二、解答题 9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB x =，1BC =，对角线AC 与BD 的夹角45BOC ∠=︒，记直线AB 与CD 的距离为()h x ．
求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围．
10．（本题满分14分）给定实数1a >，求函数(sin )(4sin )
()1sin a x x f x x
++=+的最小
值．
11．（本题满分16分）正实数,,x y z 满足94xyz xy yz zx +++=，求证：
（1）4
3
xy yz zx ++≥
； （2）2x y z ++≥．
O
D
C
B
A
12．（本题满分16分）给定整数(3)n ≥，记()f n 为集合{}1,2,,21n -的满足如下
两个条件的子集A 的元素个数的最小值：
（a ） 1,21n A A ∈-∈；
（b ） A 中的元素（除1外）均为A 中的另两个（可以相同）元素的和． （1）求(3)f 的值； （2）求证：(100)108f ≤．
上海市高中数学竞赛答案
1、
4
2、92
3、11
4、(){},04-∞
52
6、()()3,0,2,2
7、2
5
8、4025
9．解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得
2222211
()(1)22
OB OC AB BC x +=+=+． ①
…………………（2分）
在△OBC 中，由余弦定理
2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅∠，
所以 221OB OC OC +⋅=， ②
由①，②得 2
OB OC ⋅=． ③
…………………（5分）
所以 1
44s i n 2
A B C D O B C S S O B O C B O C ∆
==⋅
⋅∠
OC =⋅21
2
x -=， 故 ()AB h x ⋅21
2
x -=，
所以 21
()2x h x x
-=． …………………（10分）
由③可得，210x ->，故1x >．
因为222OB OC OB OC +≥⋅，结合②，③可得
221(1)22x +≥
解得（结合1x >）
11x <+．
综上所述，21
()2x h x x
-=
，11x <≤． …………………（14分）
10．解 (sin )(4sin )3(1)
()1sin 21sin 1sin a x x a f x x a x x
++-==++++++．
当7
13
a <≤
时，02≤，此时
3(1)
()1sin 221sin a f x x a a x
-=++++≥++，
且当(]()sin 11,1x =∈-时不等式等号成立，
故min ()2f x a =+． …………………（6分）
当73a >
2>，此时“耐克”函数3(1)
a y t t -=+
在(
0,内是递减，故此时
min 3(1)5(1)
()(1)2222
a a f x f a -+==+++=．
综上所述，min 72,1;3()5(1)7,.
2
3a a f x a a ⎧
+<≤⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩ …………………（14分）
11．证 （1
）记t =
)
3
32
2
3xy yz zx xyz ++⎛⎫=
≤ ⎪⎝⎭
．
…………………（4分） 于是 3
2
4993xyz xy yz zx t t =+++≤+，
所以 ()()
2
323320t t t -++≥，
而2
3320t t ++>，所以320t -≥，即2
3t ≥
，从而 43
x y y z
z x ++≥． …………………（10分） （2）又因为
2()3()x y z xy yz zx ++≥++，
所以 2()4x y z ++≥，
故 2x y z ++≥． …………………（16分）
12．解 （1）设集合{}31,2,,21A ⊆-，且A 满足（a ），（b ）．则1,7A A ∈∈．由
于{}()1,,72,3,
,6m m =不满足（b ）
，故3A >． 又 {}{}{}{}{}{}{}1,2,3,7,1,2,4,7,1,2,5,7,1,2,6,7,1,3,4,7,1,3,5,7,1,3,6,7, {}{}{}1,4,5,7,1,4,6,7,1,5,6,7都不满足 （b ）
，故4A >． 而集合{}1,2,4,6,7满足（a ），（b ），所以(3)5f =．
…………………（6分） （2）首先证明
(1)()2,3,4,
f n f n n +≤+=． ①
事实上，若{}1,2,,21n A ⊆-，满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ．
令{}1
12
2,21n n B A
++=--，由于12221n n +->-，故()2B f n =+．
又111222(21),211(22)n n n n +++-=--=+-，所以，集合{}11,2,,21n B +⊆-，
且B 满足（a ），（b ）．从而
(1)()2f n B f n +≤=+． …………………（10分）
其次证明：
(2)()1,3,4,
f n f n n n ≤++=． ②
事实上，设{}1,2,
,21n A ⊆-满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ．令
{}222(2
1),2(21),
,2(21),21n
n n n n B A
=----，
由于 222(21)2(21)2(21)21n n n n n -<-<<-<-，
所以{}21,2,
,21n B ⊆-，且()1B f n n =++．而
12(21)2(21)2(21),0,1,
,1k n k n k n k n +-=-+-=-，
2212(21)(21)n n n n -=-+-，
从而B 满足（a ），（b ），于是
(2)()1f n B f n n ≤=++． …………………（14分） 由①，②得 (21)()3f n f n n +≤++． ③ 反复利用②，③可得
(100)(50)501(25)25151f f f ≤++≤+++
(12)12377(6)6192f f ≤+++≤+++
(3)3199108f ≤+++=． …………………（16分）。