2016年上海市高中数学竞赛试题及答案

2016年上海市高中数学竞赛试题及答案

一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）

1.已知函数()2f x ax bx c =++（0a ≠，,,a b c 均为常数），函数()1f x 的图象与函数()f x 的图象关于y 轴对称，函数()2f x 的图象与函数()1f x 的图象关于直线1y =对称，则函数

()2f x 的解析式为 ．

答案：()22 2.f x ax bx c =-+-+

解 在函数()y f x =的表达式中用x -代替x ，得()2

1f x ax bx c =-+，在函数()1y f x =的

表达式中用2y -代替y ，得()2

2 2.f x ax bx c =-+-+

2.复数z 满足1z =，2

22

3w z z

=-在复平面上对应的动点W 所表示曲线的普通方程是 ．

答案：2

2

1.25

y x += 解 设,z a bi w x yi =+=+，则22

1a b +=，

()()()()

()()()()()2

2

2

2

2

2

22

2222

333210.

a bi x yi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a

b abi -+=+-

=+-

++-=+--=-+

从而2

2

,10x a b y ab =-=，于是()22

2

22224 1.25

y x a b a b +=-+= 3.关于x 的方程arctan 2arctan 26

x x

π

--=

的解是 ．

答案：2log x = 解 因为(

)()tan arctan 2tan arctan 2221x

x x x --⋅=⋅=，所以arctan 2arctan 22

x x π

-+=

，

解得arctan 2,arctan 23

6

x

x π

π

-=

=

，则22log x x ==

4.红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为1,2,3,4,5,6，则同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于36，共有 种可能． 答案：48．

解 四颗骰子乘积等于36，共有四种情形：

（1）两个1，两个6，这种情形共2

46C =种可能； （2）两个2，两个3，这种情形共2

46C =种可能；

（3）两个3，一个1，一个4，这种情形共21

4212C C =种可能； （4），1,2,3,6各一个，这种情形共4

424A =种可能．

综上，共有66122448+++=种可能． 5.已知函数()()()()1

cos ,202

x

f x x

g x a a π==-

≠，若存在[]12,0,1x x ∈，使()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围为 ．

答案；13,00,.22⎡⎫⎛⎤

-

⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦

U 解 易知[]0,1x ∈时，()[]1,1.f x ∈-只需求a 的取值范围，使得()g x 能取到[]1,1-中的值．

（1）当0a >时，()g x 单调递增，因为()12g x >-

，故只需()01g ≤，解得3

0.2a <≤ （2）当0a <时，()g x 单调递减，因为()12g x <-，故只需()01g ≥-，解得1

0.2

a -≤<

6.如图，有16间小三角形的房间，甲、乙两人被随机地分别安置在不同的小三角形房间，

那么他们在不相邻（指没有公共边）房间的概率是 （用分数表示）．

答案：

17.20

解法一 如图1，将小三角形房间分为三类：与第一类（红色）房间相邻的房子恰有一间，与第二类（绿色）房间相邻的房间恰有两间，与第三类（白色）房间相邻的房间恰有三间，从而满足条件的安置方法共有()()()316261637164204⨯-+⨯-+⨯-=种．从而所求概率为

20417

.161520

=⨯

解法二 我们从反面考虑问题，如图2，每一对相邻房间对应着一条黄色的邻边，故所求概率为

182317

11.16152020

⨯-

=-=⨯

7.在空间，四个不共线的向量,,,OA OB OC OD u u u r u u u r u u u r u u u r

，它们两两的夹角都是α，则α的大小是

． 答案：1

arccos .3

π-

解 如图，ABCD 为正四面体，角α即为AOD ∠，设,E M 分别为BC 和AD 的中点，则

,AE DE OA OD ==，则中心O 在EM 上，从而O 为△ADE 的垂心，

11

sin sin cos .33

EH ODE EAH DOH AE ∠=∠=

=⇒∠= 所以，1arccos .3

απ=-

8.已知33

0,0,1b a b α>>+=，则a b +的取值范围为 ．

答案：(

．

解 注意到()2

04

a b ab +<≤

，及

()()()()2

332213,a b a b a ab b a b a b ab ⎡⎤=+=+-+=++-⎣⎦