2016年上海市高中数学竞赛试题及答案
2016年各省高中数学联赛预选赛试题及详解答案(最值部分)
2016年各省高中数学联赛预选赛试及详解答案（最值部分）1、 为正数y x ，，且y x a y x +≤+，则a 的最小值为（2）解：∵0y x >, ∴y x y x +，，均为正数，所以0a >y x xy 21y x yx a y x a y x 22++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++≥⇔+≤+，而1xy 2xy 2y x xy 2=≤+，所以211a 2=+≥ ∴2a ≥2、 设1x 0<<，b a ，大于零的常数，x1b x a 22-+则的最小值为（()2b a +） 解：∵1x 0<< ∴0x 1>-，又b a ,大于零的常数由柯西不等式可知：()()2222b a x1x b a x 1b x a +=-++≥-+，当且仅当b a a x +=时，等号成立。
3、 已知正实数b a ，满足36b a 9=+，则b1a 1+最小值时，=ab （27） 解：∵0b a >,，由柯西不等式可知：()943616b a 913b 1a 99b 1a 12==++≥+=+，即当且仅当b 1a 93=，代入36b a 9=+计算，得⎩⎨⎧==9b 3a 时，等号成立。
∴2793ab =⨯=4、 若正数y x ，满足xy 5y 3x =+，则y 4x 3+的最小值为（5）解：∵0y x >, ∴xy 为正数∴5x39y 445x 3y 15xy y 3xy x xy 5y 3x =+⇔=+⇔=+⇔=+ 由柯西不等式可知：()5y 4x 3x3y 432x 39y 4452≥+⇔++≥+=当且仅当x 33y 42=，代入xy 5y 3x =+计算，得⎪⎩⎪⎨⎧==21y 1x 时，等号成立。
5、 z y x ，，为正数时，222z y x yz xz 4+++的最大值为（217）。
解：思路：如果分母的最小值可以化为类似常数项×()yz xz 4+的形式，那么最大值就为此常数项的倒数。
2016年全国高中数学联赛试题及答案
事实上，当 中有某条直线斜率不存在时，则可设 ，就是前面所讨论的 的情况，这时有 若 的斜率都存在，不妨设
注意这里 （否则 将与 的渐近线平行，从而 与 只有一个交点）．
联立 与 的方程知， 即
这是一个二次方程式，其判别式为 ．故 与 有两个不同的交点 ．同样， 与 也有两个不同的交点 由弦长公式知，
又 所以 ，即 平分
四、（50分）设 是任意一个11元实数集合．令集合 求 的元素个数的最小值．
解：先证明 考虑到将 中的所有元素均变为原来的相反数时，集合 不变，故不妨设 中正数个数不少于负数个数．下面分类讨论：
情况一： 中没有负数．
设 是 中的全部元素，这里 于是
上式从小到大共有 个数，它们均是 的元素，这表明
另解：首先注意到，若 为正整数，则对任意整数 ，若 ，则 这是因为，当 时， ，这里 是一个整数，故
因此，当整数 满足 时，
容易验证，当正整数满足 时，只有当 时，等式 才成立．而 ，故当 时，满足 正整数 的个数为
二、解答题：（共3小题，共56分）
9.（16分）已知 是各项均为正数的等比数列，且 是方程
2016
一试
一、选择题：（每小题8分，共64分）
1.等比数列 的各项均为正数，且 则 的值为．
答案：6．
解：由于 且 故
另解：设等比数列的公比为 ，则 又因
而 ，从而
2.设 ，则平面点集 的面积为．
答案：7．
解：点集 如图中阴影部分所示，其面积为
3.已知复数 满足 （ 表示 的共轭复数），则 的所有可能值的积为．
用 代替 ，同理可得 于是
综上所述， 为符合条件的值．
加试
一、（40分）非负实数 和实数 满足：
上海市高中数学竞赛试题及参考答案
上海市高中数学竞赛一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.如图,正六边形111111A B C D E F 的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形222222A B C D E F ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 .2.已知正整数1210,,,a a a 满足:3,1102>≤<≤ji a i j a ,则10a 的最小可能值是 .3.若17tan tan tan 6αβγ++=，4cot cot cot 5αβγ++=-,cot cot αβ17cot cot cot cot 5βγγα++=-，则()tan αβγ++= .4．已知关于x 的方程()()lg 2lg 1=+kx x 仅有一个实数解，则实数k 的取值范围是 .5．如图，∆AEF 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形，已知90∠=︒AEF ，,,==>AE a EF b a b ，则=x .6．方程1233213+⋅-+=m n n m 的非负整数解(),=m n .7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答）8．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22+++===-=++n n n n na a a a a n n n .若201122012>+m a ，则正整数m 的最小值为 .E1C D 1二、解答题 9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB x =，1BC =，对角线AC 与BD 的夹角45BOC ∠=︒，记直线AB 与CD 的距离为()h x ．求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围．10．（本题满分14分）给定实数1a >，求函数(sin )(4sin )()1sin a x x f x x++=+的最小值．11．（本题满分16分）正实数,,x y z 满足94xyz xy yz zx +++=，求证：（1）43xy yz zx ++≥； （2）2x y z ++≥．ODCBA12．（本题满分16分）给定整数(3)n ≥，记()f n 为集合{}1,2,,21n -的满足如下两个条件的子集A 的元素个数的最小值：（a ） 1,21n A A ∈-∈；（b ） A 中的元素（除1外）均为A 中的另两个（可以相同）元素的和． （1）求(3)f 的值； （2）求证：(100)108f ≤．上海市高中数学竞赛答案1、42、923、114、(){},04-∞526、()()3,0,2,27、258、40259．解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得2222211()(1)22OB OC AB BC x +=+=+． ①…………………（2分）在△OBC 中，由余弦定理2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅∠，所以 221OB OC OC +⋅=， ②由①，②得 2OB OC ⋅=． ③…………………（5分）所以 144s i n 2A B C D O B C S S O B O C B O C ∆==⋅⋅∠OC =⋅212x -=， 故 ()AB h x ⋅212x -=，所以 21()2x h x x-=． …………………（10分）由③可得，210x ->，故1x >．因为222OB OC OB OC +≥⋅，结合②，③可得221(1)22x +≥解得（结合1x >）11x <+．综上所述，21()2x h x x-=，11x <≤． …………………（14分）10．解 (sin )(4sin )3(1)()1sin 21sin 1sin a x x a f x x a x x++-==++++++．当713a <≤时，02≤，此时3(1)()1sin 221sin a f x x a a x-=++++≥++，且当(]()sin 11,1x =∈-时不等式等号成立，故min ()2f x a =+． …………………（6分）当73a >2>，此时“耐克”函数3(1)a y t t -=+在(0,内是递减，故此时min 3(1)5(1)()(1)2222a a f x f a -+==+++=．综上所述，min 72,1;3()5(1)7,.23a a f x a a ⎧+<≤⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩ …………………（14分）11．证 （1）记t =)33223xy yz zx xyz ++⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭．…………………（4分） 于是 324993xyz xy yz zx t t =+++≤+，所以 ()()2323320t t t -++≥，而23320t t ++>，所以320t -≥，即23t ≥，从而 43x y y zz x ++≥． …………………（10分） （2）又因为2()3()x y z xy yz zx ++≥++，所以 2()4x y z ++≥，故 2x y z ++≥． …………………（16分）12．解 （1）设集合{}31,2,,21A ⊆-，且A 满足（a ），（b ）．则1,7A A ∈∈．由于{}()1,,72,3,,6m m =不满足（b ），故3A >． 又 {}{}{}{}{}{}{}1,2,3,7,1,2,4,7,1,2,5,7,1,2,6,7,1,3,4,7,1,3,5,7,1,3,6,7, {}{}{}1,4,5,7,1,4,6,7,1,5,6,7都不满足 （b ），故4A >． 而集合{}1,2,4,6,7满足（a ），（b ），所以(3)5f =．…………………（6分） （2）首先证明(1)()2,3,4,f n f n n +≤+=． ①事实上，若{}1,2,,21n A ⊆-，满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ．令{}1122,21n n B A++=--，由于12221n n +->-，故()2B f n =+．又111222(21),211(22)n n n n +++-=--=+-，所以，集合{}11,2,,21n B +⊆-，且B 满足（a ），（b ）．从而(1)()2f n B f n +≤=+． …………………（10分）其次证明：(2)()1,3,4,f n f n n n ≤++=． ②事实上，设{}1,2,,21n A ⊆-满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ．令{}222(21),2(21),,2(21),21nn n n n B A=----，由于 222(21)2(21)2(21)21n n n n n -<-<<-<-，所以{}21,2,,21n B ⊆-，且()1B f n n =++．而12(21)2(21)2(21),0,1,,1k n k n k n k n +-=-+-=-，2212(21)(21)n n n n -=-+-，从而B 满足（a ），（b ），于是(2)()1f n B f n n ≤=++． …………………（14分） 由①，②得 (21)()3f n f n n +≤++． ③ 反复利用②，③可得(100)(50)501(25)25151f f f ≤++≤+++(12)12377(6)6192f f ≤+++≤+++(3)3199108f ≤+++=． …………………（16分）。
2016年全国高中数学联合竞赛试题与解答(A卷)
2016 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次给分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、11 小题 5 分一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分1．设实数 a 满足 a < 9a 3-11a <| a | ，则 a 的取值范围是2．设复数 z , w 满足 | z |= 3，(z + w )(z - w ) = 7 + 4i ，其中 i 是虚数单位，z , w 分别表示 z , w 的共轭复数，则 (z + 2w )(z - 2w ) 的模为3．正实数 u , v , w 均不等于 1，若 log u vw + log v w = 5 ， log v u + log w v = 3 ，则 log w u 的值为4．袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1 元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 A 中剩下的纸币面值之和大于 B 中剩下的纸币面值之和的概率为5．设 P 为一圆锥的顶点，A ，B ，C 是其底面圆周上的三点，满足∠ABC =90°，M 为 AP 的中点．若 AB =1，AC =2， AP = 2 ，则二面角 M —BC —A 的大小为6 ． 设 函 数 f (x ) = sin 4 kx + cos 4kx ， 其 中 k 是 一 个 正 整 数 ． 若 对 任 意 实 数 a ， 均 有10 10{ f (x ) | a < x < a +1} = { f (x ) | x ∈ R }，则 k 的最小值为7．双曲线 C 的方程为 x 2- y 2= 1，左、右焦点分别为 F 、 F ，过点 F 作直线与双曲线 C 的右半支交于3 1 2 2点 P ，Q ，使得 ∠F 1 PQ =90°，则 ∆F 1 PQ 的内切圆半径是8．设 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 是 1，2，…，100 中的 4 个互不相同的数，满足(a 11 + a 22 + a 32 )(a 22 + a 32 + a 42 ) = (a 1a 2 + a 2 a 3 + a 3 a 4 ) 2则这样的有序数组 (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) 的个数为二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分 16 分）在 ∆ABC 中，已知 AB ∙ AC + 2BA ∙ BC = 3CA ∙ CB ．求 sin C 的最大值．10．（本题满分 20 分）已知 f (x ) 是 R 上的奇函数， f (1) = 1 ，且对任意 x < 0 ，均有 f ( x x-1) = xf (x ) ．求 f (1) f (1001) + f (12) f (991) + f (13) f (981) +… + f (501) f (511) 的值．11．（本题满分 20 分）如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是 x 轴正半轴上的一个动点．以 F 为焦点， O 为顶点作抛物线 C ．设 P 是第一象限内 C 上的一点，Q 是 x 轴负半轴上一点，使得 PQ 为 C 的切线，且｜PQ ｜=2.圆 C 1 , C 2 均与直线 OP 相切于点 P ，且均与轴相切．求点 F 的坐标，使圆 C 1 与 C 2 的面积之和取到最小值．2016 年全国高中数学联合竞赛加试一、（本题满分 40 分）设实数a,a, …,a2016满足 9a> 11a2(i= 1,2,… ,2015)。
2016年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2016年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2016A1、设实数a 满足a a a a <-<1193，则实数a 的取值范围为◆答案：)310,332(--∈a ★解析：由||a a <可得0<a ，原不等式可变形为1||11913-=>->aa a a a即111912<-<-a ，所以)34,910(2∈a ．又0<a ，故)310,332(--∈a ．2016A 2、设复数z ，w 满足3=z ，i w z w z 47))((+=-+，其中i 是虚数单位，z ，w 分别表示复数z ，w 的共轭复数，则)2)(2(w z w z -+的模为 ◆答案：65★解析：由运算性质，)(||||))((4722zw zw w z w z w z i ---=-+=+，因为2||z 与2||w 为实数，0)Re(=-zw zw ，故7||||22=-w z ，i zw zw 4-=-，又3||=z ，所以2||2=w ，从而i i zw zw w z w z w z 81889)(2||4||)2)(2(22+=+-=---=-+因此，)2)(2(w z w z -+的模为65．2016A 3、正实数u ，v ，w 均不等于1，若5l og l og =+w vw v u ，3log log =+v u w v ，则vwl og 的值为 ◆答案：54 ★解析：令a v u =log ，b w v =log ，则a u v 1log =，bv w 1log =，ab a w v v vw v u u u +=∙+=log log log log条件化为5=++b ab a ，311=+b a ，由此可得45=ab ，因此 54log log log ==∙=u v u v w w ．2016A 4、袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币，现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为 ◆答案：359 ★解析：一种取法符合要求，等价于从A 中取走的两张纸币的总面值a 小于从B 中取走的两张纸币的总面值b ，从而1055=+≤<b a ．故只能从A 中国取走两张1元纸币，相应的取法数为323=C ．又此时2=>a b ，即从B 中取走的两张纸币不能都是1元纸币，相应有182327=-C C 种取法．因此，所求的概率为3592110541832725=⨯=⨯⨯C C ．2016A 5、设P 为圆锥曲线的顶点，A ，B ，C 是其地面圆周上的三点，满足090=∠ABC ，M 为线段AP 的中点。
2016年全国高中数学联赛(B卷)试题及答案
2016年全国高中数学联赛(B卷)试题及答案2016年全国高中数学联赛（B 卷）试题及答案一试一、选择题：（每小题8分，共64分） 1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24aa +的值为．答案：6． 解：由于()2222132632424243622,a a a a a a a a a a a =++=++=+且240,a a +>故24 6.aa +=另解：设等比数列的公比为q ，则52611.a a a q a q +=+又因()()()()()22252132********2223331111112436222,a a a a a a a q a q a q a q a q a q a qa q a q a q aa =++=⋅+⋅+=+⋅⋅+=+=+而24a a+>，从而24 6.aa +=2.设{}|12A a a =-≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为 ． 答案：7．解：点集B 如图中阴影部分所示，其面积为133227.2MRSMNPQS S -=⨯-⨯⨯=正方形3.已知复数z 满足22z z z z+=≠（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为 ．答案：3．解：设()i ,.z a b a b R =+∈由22z z z +=知， 222i 22i i,a b ab a b a b -+++=-比较虚、实部得220,230.a b a ab b -+=+=又由z z ≠知0b ≠，从而有230,a +=即32a =-，进而23b a a =+=于是，满足条件的复数z 的积为3333 3.22⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，且()()391xf xg x x +=++，则()()22f g 的值为 ．答案：2016. 解：由条件知()()002,f g += ①()()22818190.f g +=++= ②由()(),f x g x 图像的对称性，可得()()()()02,024,f f g g =+=-结合①知，()()()()22400 2.f g f g --=+= ③由②、③解得()()248,242,f g ==从而()()2248422016.f g =⨯= 另解：因为()()391x f x g x x +=++， ①所以()()2290.f g += ②因为()f x 的图像关于直线1x =对称，所以()()2.f x f x =- ③又因为()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，所以函数()()12h x g x =++是奇函数，()()h x h x -=-，()()1212g x g x ⎡⎤-++=-++⎣⎦，从而()()2 4.g x g x =--- ④将③、④代入①，再移项，得()()3229 5.x f x g x x ---=++ ⑤在⑤式中令0x =，得()()22 6.f g -= ⑥由②、⑥解得()()248,246.f g ==于是()()222016.f g = 5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为 ． 解：样本空间中有35125=个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为223560.C P ⨯=过所求的概率为6012.12525p == 6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C xy a +-=关于直线l 对称的圆为222:2230,C xy x ay ++-+=则直线l 的方程为 ．答案：2450.x y -+=解：12,C C 的标准方程分别为 ()()2222212:1,:1 2.C x y C x y a a +=++-=-由于两圆关于直线l 对称，所以它们的半径相等．因此220,a a=->解得 2.a =故12,C C 的圆心分别是()()120,0,1,2.O O -直线l 就是线段12O O 的垂直平分线，它通过12O O 的中点1,12M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由此可得直线l 的方程是2450.x y -+=7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN=，则异面直线,AM BN所成角的余弦值为 ．解：如图，以底面ABCD 的中心O 为坐标原点，,,AB BC OVu u u r u u u r u u u r 的方向为,,x y z 轴的正向，V DN yxOzMCBA建立空间直角坐标系．不妨设2,AB =此时高1,VO =从而()()()()1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1.A B D V ----由条件知111112,,,,,222333M N ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此 311442,,,,,.222333AM BN ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r设异面直线,AM BN 所成的角为θ，则111cos 112AM BN AM BNθ⋅-===⋅⨯u u u u r u u u r u u u u r u u u r8.设正整数n 满足2016n ≤，且324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭．这样的n 的个数为 ．这里{}[]x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数． 解：由于对任意整数n ，有 135113,2461224612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++≤+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭ 等号成立的充分必要条件是()1mod12n ≡-，结合12016n ≤≤知，满足条件的所有正整数为()1211,2,,168,n k k =-=L 共有168个．另解：首先注意到，若m 为正整数，则对任意整数,x y ，若()mod x y m ≡，则.x y m m ⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭这是因为，当()mod x y m ≡时，x y mt =+，这里t 是一个整数，故.x x x y mt y mt y y y y y t t m m m m m m m m m m ++⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧⎫=-=-=+-+=-=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭因此，当整数12,n n 满足()12mod12n n ≡时，11112222.2461224612n n n n n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=+++⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭容易验证，当正整数满足112n ≤≤时，只有当11n =时，等式324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭才成立．而201612168=⨯，故当12016n ≤≤时，满足324612n n n n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭正整数n 的个数为168.二、解答题：（共3小题，共56分） 9.（16分）已知{}na 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程 ()2100lg lg 100x x =的两个不同的解，求12100a a a L 的值．解 对50,51k =，有()2100lg lg 1002lg ,k k k a a a ==+即()2100lg lg 20.kka a --=因此，5051lg ,lg aa 是一元二次方程210020tt --=的两个不同实根，从而()505150511lg lg lg ,100a a a a =+=即1100505110.aa =由等比数列的性质知，()501501001210050511010.a a aa a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭L 10.（20分）在ABC中，已知23.AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=；（2）求cos C 的最小值．解 （1）由数量积的定义及余弦定理知，222cos .2b c a AB AC cb A +-⋅==u u u r u u u r 同理得，222222,.22a cb a bc BA BC CA CB +-+-⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r 故已知条件化为()()22222222223,b c a a c b a b c +-++-=+-即22223.ab c +=（2）由余弦定理及基本不等式，得()2222222123cos 2223636a b a b a b c C ab ab a b a b b a b a +-++-===+≥⋅等号成立当且仅当::36 5.a b c =因此cos C 的最小值211.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C的方程为221xy -=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．解 过点(),0a 作两条互相垂直的直线1:l x a =与2:0.l y =易知，1l 与C 交于点((22001,,1P a a Q a a ---（注意这里1a >），2l 与C交于点()()001,0,1,0,R S -由条件知20000212a PQ R S -===，解得 2.a =这意味着符合条件的a 2.下面验证2a事实上，当12,l l 中有某条直线斜率不存在时，则可设12:,:0l x a l y ==，就是前面所讨论的12,l l 的情况，这时有.PQ RS =若12,l l 的斜率都存在，不妨设((()121:2,:20,l y k x l y x k k==-≠ 注意这里1k ≠±（否则1l 将与C 的渐近线平行，从而1l与C 只有一个交点）． 联立1l 与C 的方程知，(222210,x k x ---=即()2222122210,k x k x k ----=这是一个二次方程式，其判别式为2440k∆=+>．故1l与C 有两个不同的交点,P Q ．同样，2l 与C 也有两个不同的交点,.R S 由弦长公式知，2222244112.11k k PQ k k k ++=+=⋅--用1k-代替k ，同理可得()()22221122.11k k RS k k --+-+=⋅=---于是.PQ RS =综上所述，2a =加试一、（40分）非负实数122016,,,x x x L 和实数122016,,,y y yL 满足：（1）221,1,2,,2016kk xy k +==L ；（2）122016y yy +++L 是奇数．求122016x xx +++L 的最小值．解：由已知条件（1）可得：1,1,1,2,,2016,kk xy k ≤≤=L 于是（注意0ix ≥）()2016201620162016201622211111120162016.kkkkk k k k k k x xy yy =====≥=-=-≥-∑∑∑∑∑ ① 不妨设112016,,0,,,0,02016,mm y yy y m +>≤≤≤L L 则201611,2016.mkk k k m ym y m ==+≤-≤-∑∑若11m kk ym =>-∑，并且201612015,kk m ym =+->-∑令 2016111,2015,mkk k k m ym a y m b ==+=-+-=-+∑∑则0,1,a b <<于是()201620161111201522016,m kkk k k k m y yy m a m b m a b ===+=+=-+--+=-+-∑∑∑由条件（2）知，20161kk y =∑是奇数，所以a b -是奇数，这与0,1a b <<矛盾． 因此必有11m kk ym =≤-∑，或者201612015,kk m ym =+-≤-∑则201620161112015.m kk k k k k m yy y ===+=-≤∑∑∑于是结合①得201611.kk x=≥∑又当122015201612201520160,1,1,0x xx x y y y y ==========L L 时满足题设条件，且使得不等式等号成立，所以122016x x x +++L 的最小值为1．二、（40分）设,n k 是正整数，且n 是奇数．已知2n 的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：2n 有一个约数d ，满足2.k d k <≤ 证明：记{}||2,0,A d d n d k d =<≤是奇数，{}||2,0,B d d n d k d =<≤是偶数，则,2A B n =∅I 的不超过k 的正约数的集合是.A B U 若结论不成立，我们证明.A B =对d A ∈，因为d 是奇数，故2|2d n ，又22d k ≤，而2n 没有在区间(],2k k 中的约数，故2d k ≤，即2d B ∈，故.A B ≤反过来，对d B ∈，设2d d '=，则|d n '，d '是奇数，又2k d k '≤<，故,d A '∈从而.B A ≤ 所以.A B =故2n 的不超过k 的正约数的个数为偶数，与已知矛盾．从而结论成立．三、（50分）如图所示，ABCD 是平行四边形，G 是ABD 的重心，点,P Q 在直线BD 上，使得,.GP PC GQ QC ⊥⊥证明：AG 平分.PAQ ∠Q GPDBA 解：连接AC ，与BD 交于点.M 由平行四边形的性质，点M 是,AC BD 的中点．因此，GM Q PODB A点G 在线段AC 上．由于90GPC GQC ∠=∠=o，所以,,,P G Q C 四点共圆，并且其外接圆是以GC 为直径的圆．由相交弦定理知 .PM MQ GM MC ⋅=⋅ ①取GC 的中点.O 注意到::2:1:3,AG GM MC =故有1,2OC GC AG == 因此,G O 关于点M 对称．于是.GM MC AM MO ⋅=⋅ ②结合①、②，有PM MQ AM MO ⋅=⋅，因此,,,A P O Q 四点共圆．又1,2OP OQ GC ==所以PAO QAO ∠=∠，即AG 平分.PAQ ∠ 四、（50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}|,,.B uv u v A u v =∈≠求B 的元素个数的最小值．解：先证明17.B ≥考虑到将A 中的所有元素均变为原来的相反数时，集合B 不变，故不妨设A 中正数个数不少于负数个数．下面分类讨论：情况一：A 中没有负数．设1211a a a <<<L 是A 中的全部元素，这里120,0,a a ≥>于是1223242113111011,a a a a a a a a a a a a <<<<<<<L L 上式从小到大共有19818++=个数，它们均是B 的元素，这表明18.B ≥情况二：A 中至少有一个负数．设12,,,k b b b L 是A 中的全部非负元素，12,,,lc c c L 是A 中的全部负元素．不妨设110,l kc c b b <<<≤<<L L 其中,k l 为正整数，11k l +=，而k l ≥，故 6.k ≥于是有 111212,k k l kc b c b c b c b c b >>>>>>L L 它们是B 中的110k l +-=个元素，且非正数；又有 23242526364656,b b b b b b b b b b b b b b <<<<<< 它们是B 中的7个元素，且为正数．故10717.B ≥+= 由此可知，17.B ≥另一方面，令{}2340,1,2,2,2,2,A =±±±±±则{}236780,1,2,2,2,,2,2,2B =-±±±±±-L 是个17元集合．综上所述，B 的元素个数的最小值为17.。
2016年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
2016年全国高中数学联赛（B 卷）一试一、选择题：（每小题8分，共64分）1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24a a +的值为 ． 2.设{}|12A a a =−≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为 ． 3.已知复数z 满足22z z z z +=≠（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为 ． 4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x 的图像关于点()1,2−中心对称，且()()391x f x g x x +=++，则()()22f g 的值为 ． 5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为 ．6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C x y a +−=关于直线l 对称的圆为222:2230,C x y x ay ++−+=则直线l 的方程为 ．7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN =，则异面直线,AM BN 所成角的余弦值为 ．8.设正整数n 满足2016n ≤，且324612n n n n+++= ．这样的n 的个数为 ．这里{}[]x x x =−，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．二、解答题：（共3小题，共56分）9.（16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程()2100lg lg 100x x = 的两个不同的解，求12100a a a 的值．10.（20分）在ABC 中，已知23.AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=； （2）求cos C 的最小值．11.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的方程为221x y −=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l 与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．加试一、（40分）非负实数122016,,,x x x 和实数122016,,,y y y 满足： （1）221,1,2,,2016k k x y k +== ； （2）122016y y y +++ 是奇数． 求122016x x x +++ 的最小值．二、（40分）设,n k 是正整数，且n 是奇数．已知2n 的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：2n 有一个约数d ，满足2.k d k <≤三、（50分）如图所示，ABCD 是平行四边形，G 是ABD 的重心，点,P Q 在直线BD 上，使得,.GP PC GQ QC ⊥⊥证明：AG 平分.PAQ ∠四、（50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}|,,.B uv u v A u v =∈≠求B 的元素个数的最小值．QG P DCBA2016年全国高中数学联赛（B 卷）试题及答案一试一、选择题：（每小题8分，共64分）1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24a a +的值为 ． 答案：6．解：由于()2222132632424243622,a a a a a a a a a a a =++=++=+且240,a a +>故24 6.a a += 另解：设等比数列的公比为q ，则52611.a a a q a q +=+又因 ()()()()()22252132631111122223331111112436222,a a a a a a a q a q a q a q a q a q a qa q a q a q aa =++=⋅+⋅+=+⋅⋅+=+=+而240a a +>，从而24 6.a a +=2.设{}|12A a a =−≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为 ． 答案：7．解：点集B 如图中阴影部分所示，其面积为 133227.2MRS MNPQ S S −=×−××=正方形3.已知复数z 满足22z z z z +=≠（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为 ． 答案：3．解：设()i ,.z a b a b R =+∈由22z z z +=知， 222i 22i i,a b ab a b a b −+++=−比较虚、实部得220,230.a b a ab b −+=+=又由z z ≠知0b ≠，从而有230,a +=即32a =−，进而b 于是，满足条件的复数z的积为33 3.22 −+−−= 4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x的图像关于点()1,2−中心对称，且()()391x f x g x x +=++，则()()22f g 的值为 ．答案：2016. 解：由条件知()()002,f g += ①()()22818190.f g +++ ②由()(),f x g x 图像的对称性，可得()()()()02,024,f f g g =+=−结合①知， ()()()()22400 2.f g f g −−=+= ③由②、③解得()()248,242,f g ==从而()()2248422016.f g =×=另解：因为()()391x f x g x x +=++， ① 所以()()2290.f g += ②因为()f x 的图像关于直线1x =对称，所以 ()()2.f x f x =− ③又因为()g x 的图像关于点()1,2−中心对称，所以函数()()12h x g x =++是奇函数，()()h x h x −=−，()()1212g x g x −++=−++ ，从而 ()()2 4.g x g x =−−− ④ 将③、④代入①，再移项，得 ()()3229 5.x f x g x x −−−=++ ⑤ 在⑤式中令0x =，得()()22 6.f g −= ⑥由②、⑥解得()()248,246.f g ==于是()()222016.f g =5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为 ．解：样本空间中有35125=个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为223560.C P ×=过所求的概率为6012.12525p ==6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C x y a +−=关于直线l 对称的圆为222:2230,C x y x ay ++−+=则直线l 的方程为 ．答案：2450.x y −+=解：12,C C 的标准方程分别为()()2222212:1,:1 2.C x y C x y a a +=++−=−由于两圆关于直线l 对称，所以它们的半径相等．因此220,a a =−>解得 2.a =故12,C C 的圆心分别是()()120,0,1,2.O O −直线l 就是线段12O O 的垂直平分线，它通过12O O 的中点1,12M−，由此可得直线l 的方程是2450.x y −+=7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN =，则异面直线,AM BN 所成角的余弦值为 ．解：如图，以底面ABCD 的中心O 为坐标原点，,,AB BC OV 的方向为,,x y z 轴的正向，建立空间直角坐标系．不妨设2,AB =此时高1,VO =从而()()()()1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1.A B D V −−−−由条件知111112,,,,,222333M N−−，因此311442,,,,,.222333AM BN ==−设异面直线,AM BN 所成的角为θ，则cos AM BN AM BNθ⋅==⋅xA8.设正整数n 满足2016n ≤，且324612n n n n+++= ．这样的n 的个数为 ．这里{}[]x x x =−，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．解：由于对任意整数n ，有135113,2461224612n n n n +++≤+++=等号成立的充分必要条件是()1mod12n ≡−，结合12016n ≤≤知，满足条件的所有正整数为()1211,2,,168,n k k =−= 共有168个．另解：首先注意到，若m 为正整数，则对任意整数,x y ，若()mod x y m ≡，则.x y m m = 这是因为，当()mod x y m ≡时，x y mt =+，这里t 是一个整数，故.x x x y mt y mt y y y y y t t m m m m m m m m m m ++=−=−=+−+=−= 因此，当整数12,n n 满足()12mod12n n ≡时，11112222.2461224612n n n n n n n n+++=+++容易验证，当正整数满足112n ≤≤时，只有当11n =时，等式324612n n n n+++=才成立．而201612168=×，故当12016n ≤≤时，满足324612n n n n+++= 正整数n 的个数为168.二、解答题：（共3小题，共56分）9.（16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程 ()2100lg lg 100x x = 的两个不同的解，求12100a a a 的值．解 对50,51k =，有()2100lg lg 1002lg ,k k k a a a ==+即()2100lg lg 20.k k a a −−=因此，5051lg ,lg a a 是一元二次方程210020t t −−=的两个不同实根，从而 ()505150511lg lg lg ,100a a a a =+=即1100505110.a a =由等比数列的性质知，()5015010012100505110a a a a a===10.（20分）在ABC 中，已知23.AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=； （2）求cos C 的最小值．解 （1）由数量积的定义及余弦定理知，222cos .2b c a AB ACcb A +−⋅== 同理得，222222,.22a cb a bc BA BC CA CB +−+−⋅=⋅= 故已知条件化为 ()()22222222223,b c a a c b a b c +−++−=+− 即22223.a b c +=（2）由余弦定理及基本不等式，得 ()2222222123cos 2236a b a b a b c C ab ab a b b a +−++−===+≥等号成立当且仅当::a b c =因此cos C11.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的方程为221x y −=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l 与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．解 过点(),0a 作两条互相垂直的直线1:l x a =与2:0.l y =易知，1l 与C交于点((00,,P a Q a （注意这里1a >），2l 与C 交于点()()001,0,1,0,R S −由条件知00002P Q R S ==，解得a = 这意味着符合条件的a下面验证a =符合条件．事实上，当12,l l 中有某条直线斜率不存在时，则可设12:,:0l x a l y ==，就是前面所讨论的12,l l 的情况，这时有.PQ RS =若12,l l 的斜率都存在，不妨设((()121:,:0,l y k x l y x k k==−≠注意这里1k ≠±（否则1l 将与C 的渐近线平行，从而1l 与C 只有一个交点）． 联立1l 与C的方程知，(22210,x kx −−−=即()22221210,k xx k −−−−=这是一个二次方程式，其判别式为2440k ∆=+>．故1l 与C 有两个不同的交点,P Q ．同样，2l 与C 也有两个不同的交点,.R S 由弦长公式知，2212.1k PQ k +=⋅−用1k −代替k ，同理可得()()22221122.11k k RS k k −−+−+=⋅=−−−于是.PQ RS = 综上所述，a =为符合条件的值．加试一、（40分）非负实数122016,,,x x x 和实数122016,,,y y y 满足： （1）221,1,2,,2016k k x y k +== ； （2）122016y y y +++ 是奇数．求122016x x x +++ 的最小值．解：由已知条件（1）可得：1,1,1,2,,2016,k k x y k ≤≤= 于是（注意0i x ≥）()2016201620162016201622211111120162016.k kkk k k k k k k x xy y y =====≥=−=−≥−∑∑∑∑∑ ①不妨设112016,,0,,,0,02016,m m y y y y m +>≤≤≤ 则201611,2016.mkk k k m ym y m ==+≤−≤−∑∑若11m k k y m =>−∑，并且201612015,k k m y m =+−>−∑令 2016111,2015,mk k k k m y m a y m b ==+=−+−=−+∑∑则0,1,a b <<于是()201620161111201522016,m kkk k k k m y yy m a m b m a b ===+=+=−+−−+=−+−∑∑∑由条件（2）知，20161k k y =∑是奇数，所以a b −是奇数，这与0,1a b <<矛盾．因此必有11m k k y m =≤−∑，或者201612015,k k m y m =+−≤−∑则201620161112015.m kk k k k k m yy y ===+=−≤∑∑∑于是结合①得201611.k k x =≥∑又当122015201612201520160,1,1,0x x x x y y y y ========== 时满足题设条件，且使得不等式等号成立，所以122016x x x +++ 的最小值为1．二、（40分）设,n k 是正整数，且n 是奇数．已知2n 的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：2n 有一个约数d ，满足2.k d k <≤证明：记{}||2,0,A d d n d k d =<≤是奇数，{}||2,0,B d d n d k d =<≤是偶数，则,2A B n =∅ 的不超过k 的正约数的集合是.A B若结论不成立，我们证明.A B =对d A ∈，因为d 是奇数，故2|2d n ，又22d k ≤，而2n 没有在区间(],2k k 中的约数，故2d k ≤，即2d B ∈，故.A B ≤反过来，对d B ∈，设2d d ′=，则|d n ′，d ′是奇数，又2kd k ′≤<，故,d A ′∈从而.B A ≤ 所以.A B =故2n 的不超过k 的正约数的个数为偶数，与已知矛盾．从而结论成立． 三、（50分）如图所示，ABCD 是平行四边形，G 是ABD 的重心，点,P Q 在直线BD 上，使得,.GP PC GQ QC ⊥⊥证明：AG 平分.PAQ ∠解：连接AC ，与BD 交于点.M 由平行四边形的性质，点M 是,AC BD 的中点．因此，点G 在线段AC 上．由于90GPC GQC ∠=∠= ，所以,,,P G Q C 四点共圆，并且其外接圆是以GC 为直径的圆．由相交弦定理知QG P DCBA.PM MQ GM MC ⋅=⋅ ①取GC 的中点.O 注意到::2:1:3,AG GM MC =故有1,2OCGC AG == 因此,G O 关于点M 对称．于是.GM MC AM MO ⋅=⋅ ②结合①、②，有PM MQ AM MO ⋅=⋅，因此,,,A P O Q 四点共圆． 又1,2OP OQ GC ==所以PAO QAO ∠=∠，即AG 平分.PAQ ∠ 四、（50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}|,,.B uv u v A u v =∈≠求B 的元素个数的最小值．解：先证明17.B ≥考虑到将A 中的所有元素均变为原来的相反数时，集合B 不变，故不妨设A 中正数个数不少于负数个数．下面分类讨论：情况一：A 中没有负数．设1211a a a <<< 是A 中的全部元素，这里120,0,a a ≥>于是 1223242113111011,a a a a a a a a a a a a <<<<<<<上式从小到大共有19818++=个数，它们均是B 的元素，这表明18.B ≥情况二：A 中至少有一个负数．设12,,,k b b b 是A 中的全部非负元素，12,,,l c c c 是A 中的全部负元素．不妨设 110,l k c c b b <<<≤<<其中,k l 为正整数，11k l +=，而k l ≥，故 6.k ≥于是有 111212,k k l k c b c b c b c b c b >>>>>> 它们是B 中的110k l +−=个元素，且非正数；又有 23242526364656,b b b b b b b b b b b b b b <<<<<< 它们是B 中的7个元素，且为正数．故10717.B ≥+=由此可知，17.B ≥ 另一方面，令{}2340,1,2,2,2,2,A =±±±±±则{}236780,1,2,2,2,,2,2,2B =−±±±±±− 是个17元集合．综上所述，B 的元素个数的最小值为17.。
2016年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
C2 : x2 + y2 + 2x − 2ay + 3 =0, 则直线 l 的方程为
．
答案： 2x − 4 y + 5 =0. 解： C1,C2 的标准方程分别为
C1 : x2 + y2 = 1,C2 : ( x + 1)2 + ( y − a)2 = a2 − 2.
由于两圆关于直线 l 对称，所以它们的半径相等．因此 a = a2 − 2 > 0, 解得 a = 2. 故 C1,C2
a2 − b2 + 2abi + 2a + 2bi =a − bi, 比较虚、实部得 a2 − b2 +=a 0, 2ab + = 3b 0. 又由 z ≠ z 知 b ≠ 0 ，从而有
2a + 3 =0, 即 a = − 3 ，进而 b =± a2 + a =± 3 .
2
2
于是，满足条件的复数
z
的积为
11.（20 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C 的方程为 x2 − y2 = 1 ．求符合以下要
求的所有大于1的实数 a ：过点 (a, 0) 任意作两条互相垂直的直线 l1 与 l2 ，若 l1 与双曲线 C 交
于 P,Q 两点， l2 与 C 交于 R, S 两点，则总有 PQ = RS 成立．
的两个不同的解，求 a1a2 a100 的值．
10.（20 分）在 ABC 中，已知 AB ⋅ AC + 2BA ⋅ BC = 3CA ⋅ CB. （1）将 BC,CA, AB 的长分别记为 a,b, c ，证明： a2 + 2b2 = 3c2 ； （2）求 cos C 的最小值．
2016年上海市高中数学竞赛试题及标准答案
２016年上海市高中数学竞赛试题及答案一、填空题（本题满分６0分，前4小题每小题７分,后4小题每小题8分）1.已知函数()2f x ax bx c =++(0a ≠,,,a b c 均为常数)，函数()1f x 的图象与函数()f x 的图象关于y 轴对称，函数()2f x 的图象与函数()1f x 的图象关于直线1y =对称，则函数()2f x 的解析式为 .答案：()22 2.f x ax bx c =-+-+解 在函数()y f x =的表达式中用x -代替x ,得()21f x ax bx c =-+，在函数()1y f x =的表达式中用2y -代替y ，得()22 2.f x ax bx c =-+-+2.复数z 满足1z =,2223w z z=-在复平面上对应的动点W 所表示曲线的普通方程是 ．答案:221.25y x += 解 设,z a bi w x yi =+=+，则221a b +=，()()()()()()()()()222222222222333210.a bi x yi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a bi ab abi -+=+-=+-++-=+--=-+从而22,10x a b y ab =-=，于是()22222224 1.25y x a b a b +=-+= ３.关于x 的方程arctan 2arctan 26x xπ--=的解是 ．答案:2log x = 解 因为()()tan arctan 2tan arctan 2221xx x x --⋅=⋅=，所以arctan 2arctan 22x x π-+=，解得arctan 2,arctan 236xx ππ-==,则22log x x ==4.红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为1,2,3,4,5,6,则同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于36,共有 种可能． 答案：４8.解 四颗骰子乘积等于36，共有四种情形:（1)两个1,两个6，这种情形共246C =种可能； （2）两个2,两个３，这种情形共246C =种可能；（3)两个3,一个1，一个４，这种情形共214212C C =种可能； (4)，1,2,3,6各一个,这种情形共4424A =种可能.综上，共有66122448+++=种可能． 5.已知函数()()()()1cos ,202xf x xg x a a π==-≠,若存在[]12,0,1x x ∈,使()()12f x g x =成立,则实数a 的取值范围为 ．答案；13,00,.22⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦解 易知[]0,1x ∈时，()[]1,1.f x ∈-只需求a 的取值范围,使得()g x 能取到[]1,1-中的值．（1)当0a >时,()g x 单调递增,因为()12g x >-,故只需()01g ≤，解得30.2a <≤ （2)当0a <时,()g x 单调递减，因为()12g x <-，故只需()01g ≥-,解得10.2a -≤<6.如图，有1６间小三角形的房间,甲、乙两人被随机地分别安置在不同的小三角形房间，那么他们在不相邻（指没有公共边）房间的概率是 （用分数表示）.答案:17.20解法一 如图1，将小三角形房间分为三类:与第一类(红色）房间相邻的房子恰有一间，与第二类（绿色)房间相邻的房间恰有两间,与第三类（白色)房间相邻的房间恰有三间,从而满足条件的安置方法共有()()()316261637164204⨯-+⨯-+⨯-=种.从而所求概率为20417.161520=⨯。
2016年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
2016年全国高中数学联赛（B 卷）一试一、选择题：（每小题8分，共64分）1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24a a +的值为 ． 2.设{}|12A a a =−≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为 ． 3.已知复数z 满足22z z z z +=≠（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为 ． 4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x 的图像关于点()1,2−中心对称，且()()391x f x g x x +=++，则()()22f g 的值为 ． 5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为 ．6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C x y a +−=关于直线l 对称的圆为222:2230,C x y x ay ++−+=则直线l 的方程为 ．7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN =，则异面直线,AM BN 所成角的余弦值为 ．8.设正整数n 满足2016n ≤，且324612n n n n+++= ．这样的n 的个数为 ．这里{}[]x x x =−，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．二、解答题：（共3小题，共56分）9.（16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程()2100lg lg 100x x = 的两个不同的解，求12100a a a 的值．10.（20分）在ABC 中，已知23.AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=； （2）求cos C 的最小值．11.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的方程为221x y −=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l 与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．加试一、（40分）非负实数122016,,,x x x 和实数122016,,,y y y 满足： （1）221,1,2,,2016k k x y k +== ； （2）122016y y y +++ 是奇数． 求122016x x x +++ 的最小值．二、（40分）设,n k 是正整数，且n 是奇数．已知2n 的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：2n 有一个约数d ，满足2.k d k <≤三、（50分）如图所示，ABCD 是平行四边形，G 是ABD 的重心，点,P Q 在直线BD 上，使得,.GP PC GQ QC ⊥⊥证明：AG 平分.PAQ ∠四、（50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}|,,.B uv u v A u v =∈≠求B 的元素个数的最小值．QG P DCBA2016年全国高中数学联赛（B 卷）试题及答案一试一、选择题：（每小题8分，共64分）1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24a a +的值为 ． 答案：6．解：由于()2222132632424243622,a a a a a a a a a a a =++=++=+且240,a a +>故24 6.a a += 另解：设等比数列的公比为q ，则52611.a a a q a q +=+又因 ()()()()()22252132631111122223331111112436222,a a a a a a a q a q a q a q a q a q a qa q a q a q aa =++=⋅+⋅+=+⋅⋅+=+=+而240a a +>，从而24 6.a a +=2.设{}|12A a a =−≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为 ． 答案：7．解：点集B 如图中阴影部分所示，其面积为 133227.2MRS MNPQ S S −=×−××=正方形3.已知复数z 满足22z z z z +=≠（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为 ． 答案：3．解：设()i ,.z a b a b R =+∈由22z z z +=知， 222i 22i i,a b ab a b a b −+++=−比较虚、实部得220,230.a b a ab b −+=+=又由z z ≠知0b ≠，从而有230,a +=即32a =−，进而b 于是，满足条件的复数z的积为33 3.22 −+−−= 4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x的图像关于点()1,2−中心对称，且()()391x f x g x x +=++，则()()22f g 的值为 ．答案：2016. 解：由条件知()()002,f g += ①()()22818190.f g +++ ②由()(),f x g x 图像的对称性，可得()()()()02,024,f f g g =+=−结合①知， ()()()()22400 2.f g f g −−=+= ③由②、③解得()()248,242,f g ==从而()()2248422016.f g =×=另解：因为()()391x f x g x x +=++， ① 所以()()2290.f g += ②因为()f x 的图像关于直线1x =对称，所以 ()()2.f x f x =− ③又因为()g x 的图像关于点()1,2−中心对称，所以函数()()12h x g x =++是奇函数，()()h x h x −=−，()()1212g x g x −++=−++ ，从而 ()()2 4.g x g x =−−− ④ 将③、④代入①，再移项，得 ()()3229 5.x f x g x x −−−=++ ⑤ 在⑤式中令0x =，得()()22 6.f g −= ⑥由②、⑥解得()()248,246.f g ==于是()()222016.f g =5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为 ．解：样本空间中有35125=个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为223560.C P ×=过所求的概率为6012.12525p ==6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C x y a +−=关于直线l 对称的圆为222:2230,C x y x ay ++−+=则直线l 的方程为 ．答案：2450.x y −+=解：12,C C 的标准方程分别为()()2222212:1,:1 2.C x y C x y a a +=++−=−由于两圆关于直线l 对称，所以它们的半径相等．因此220,a a =−>解得 2.a =故12,C C 的圆心分别是()()120,0,1,2.O O −直线l 就是线段12O O 的垂直平分线，它通过12O O 的中点1,12M−，由此可得直线l 的方程是2450.x y −+=7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN =，则异面直线,AM BN 所成角的余弦值为 ．解：如图，以底面ABCD 的中心O 为坐标原点，,,AB BC OV 的方向为,,x y z 轴的正向，建立空间直角坐标系．不妨设2,AB =此时高1,VO =从而()()()()1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1.A B D V −−−−由条件知111112,,,,,222333M N−−，因此311442,,,,,.222333AM BN ==−设异面直线,AM BN 所成的角为θ，则cos AM BN AM BNθ⋅==⋅xA8.设正整数n 满足2016n ≤，且324612n n n n+++= ．这样的n 的个数为 ．这里{}[]x x x =−，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．解：由于对任意整数n ，有135113,2461224612n n n n +++≤+++=等号成立的充分必要条件是()1mod12n ≡−，结合12016n ≤≤知，满足条件的所有正整数为()1211,2,,168,n k k =−= 共有168个．另解：首先注意到，若m 为正整数，则对任意整数,x y ，若()mod x y m ≡，则.x y m m = 这是因为，当()mod x y m ≡时，x y mt =+，这里t 是一个整数，故.x x x y mt y mt y y y y y t t m m m m m m m m m m ++=−=−=+−+=−= 因此，当整数12,n n 满足()12mod12n n ≡时，11112222.2461224612n n n n n n n n+++=+++容易验证，当正整数满足112n ≤≤时，只有当11n =时，等式324612n n n n+++=才成立．而201612168=×，故当12016n ≤≤时，满足324612n n n n+++= 正整数n 的个数为168.二、解答题：（共3小题，共56分）9.（16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程 ()2100lg lg 100x x = 的两个不同的解，求12100a a a 的值．解 对50,51k =，有()2100lg lg 1002lg ,k k k a a a ==+即()2100lg lg 20.k k a a −−=因此，5051lg ,lg a a 是一元二次方程210020t t −−=的两个不同实根，从而 ()505150511lg lg lg ,100a a a a =+=即1100505110.a a =由等比数列的性质知，()5015010012100505110a a a a a===10.（20分）在ABC 中，已知23.AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=； （2）求cos C 的最小值．解 （1）由数量积的定义及余弦定理知，222cos .2b c a AB ACcb A +−⋅== 同理得，222222,.22a cb a bc BA BC CA CB +−+−⋅=⋅= 故已知条件化为 ()()22222222223,b c a a c b a b c +−++−=+− 即22223.a b c +=（2）由余弦定理及基本不等式，得 ()2222222123cos 2236a b a b a b c C ab ab a b b a +−++−===+≥等号成立当且仅当::a b c =因此cos C11.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的方程为221x y −=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l 与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．解 过点(),0a 作两条互相垂直的直线1:l x a =与2:0.l y =易知，1l 与C交于点((00,,P a Q a （注意这里1a >），2l 与C 交于点()()001,0,1,0,R S −由条件知00002P Q R S ==，解得a = 这意味着符合条件的a下面验证a =符合条件．事实上，当12,l l 中有某条直线斜率不存在时，则可设12:,:0l x a l y ==，就是前面所讨论的12,l l 的情况，这时有.PQ RS =若12,l l 的斜率都存在，不妨设((()121:,:0,l y k x l y x k k==−≠注意这里1k ≠±（否则1l 将与C 的渐近线平行，从而1l 与C 只有一个交点）． 联立1l 与C的方程知，(22210,x kx −−−=即()22221210,k xx k −−−−=这是一个二次方程式，其判别式为2440k ∆=+>．故1l 与C 有两个不同的交点,P Q ．同样，2l 与C 也有两个不同的交点,.R S 由弦长公式知，2212.1k PQ k +=⋅−用1k −代替k ，同理可得()()22221122.11k k RS k k −−+−+=⋅=−−−于是.PQ RS = 综上所述，a =为符合条件的值．加试一、（40分）非负实数122016,,,x x x 和实数122016,,,y y y 满足： （1）221,1,2,,2016k k x y k +== ； （2）122016y y y +++ 是奇数．求122016x x x +++ 的最小值．解：由已知条件（1）可得：1,1,1,2,,2016,k k x y k ≤≤= 于是（注意0i x ≥）()2016201620162016201622211111120162016.k kkk k k k k k k x xy y y =====≥=−=−≥−∑∑∑∑∑ ①不妨设112016,,0,,,0,02016,m m y y y y m +>≤≤≤ 则201611,2016.mkk k k m ym y m ==+≤−≤−∑∑若11m k k y m =>−∑，并且201612015,k k m y m =+−>−∑令 2016111,2015,mk k k k m y m a y m b ==+=−+−=−+∑∑则0,1,a b <<于是()201620161111201522016,m kkk k k k m y yy m a m b m a b ===+=+=−+−−+=−+−∑∑∑由条件（2）知，20161k k y =∑是奇数，所以a b −是奇数，这与0,1a b <<矛盾．因此必有11m k k y m =≤−∑，或者201612015,k k m y m =+−≤−∑则201620161112015.m kk k k k k m yy y ===+=−≤∑∑∑于是结合①得201611.k k x =≥∑又当122015201612201520160,1,1,0x x x x y y y y ========== 时满足题设条件，且使得不等式等号成立，所以122016x x x +++ 的最小值为1．二、（40分）设,n k 是正整数，且n 是奇数．已知2n 的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：2n 有一个约数d ，满足2.k d k <≤证明：记{}||2,0,A d d n d k d =<≤是奇数，{}||2,0,B d d n d k d =<≤是偶数，则,2A B n =∅ 的不超过k 的正约数的集合是.A B若结论不成立，我们证明.A B =对d A ∈，因为d 是奇数，故2|2d n ，又22d k ≤，而2n 没有在区间(],2k k 中的约数，故2d k ≤，即2d B ∈，故.A B ≤反过来，对d B ∈，设2d d ′=，则|d n ′，d ′是奇数，又2kd k ′≤<，故,d A ′∈从而.B A ≤ 所以.A B =故2n 的不超过k 的正约数的个数为偶数，与已知矛盾．从而结论成立． 三、（50分）如图所示，ABCD 是平行四边形，G 是ABD 的重心，点,P Q 在直线BD 上，使得,.GP PC GQ QC ⊥⊥证明：AG 平分.PAQ ∠解：连接AC ，与BD 交于点.M 由平行四边形的性质，点M 是,AC BD 的中点．因此，点G 在线段AC 上．由于90GPC GQC ∠=∠= ，所以,,,P G Q C 四点共圆，并且其外接圆是以GC 为直径的圆．由相交弦定理知QG P DCBA.PM MQ GM MC ⋅=⋅ ①取GC 的中点.O 注意到::2:1:3,AG GM MC =故有1,2OCGC AG == 因此,G O 关于点M 对称．于是.GM MC AM MO ⋅=⋅ ②结合①、②，有PM MQ AM MO ⋅=⋅，因此,,,A P O Q 四点共圆． 又1,2OP OQ GC ==所以PAO QAO ∠=∠，即AG 平分.PAQ ∠ 四、（50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}|,,.B uv u v A u v =∈≠求B 的元素个数的最小值．解：先证明17.B ≥考虑到将A 中的所有元素均变为原来的相反数时，集合B 不变，故不妨设A 中正数个数不少于负数个数．下面分类讨论：情况一：A 中没有负数．设1211a a a <<< 是A 中的全部元素，这里120,0,a a ≥>于是 1223242113111011,a a a a a a a a a a a a <<<<<<<上式从小到大共有19818++=个数，它们均是B 的元素，这表明18.B ≥情况二：A 中至少有一个负数．设12,,,k b b b 是A 中的全部非负元素，12,,,l c c c 是A 中的全部负元素．不妨设 110,l k c c b b <<<≤<<其中,k l 为正整数，11k l +=，而k l ≥，故 6.k ≥于是有 111212,k k l k c b c b c b c b c b >>>>>> 它们是B 中的110k l +−=个元素，且非正数；又有 23242526364656,b b b b b b b b b b b b b b <<<<<< 它们是B 中的7个元素，且为正数．故10717.B ≥+=由此可知，17.B ≥ 另一方面，令{}2340,1,2,2,2,2,A =±±±±±则{}236780,1,2,2,2,,2,2,2B =−±±±±±− 是个17元集合．综上所述，B 的元素个数的最小值为17.。
2016年高中数学联赛试题答案
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3. 正实数 u , v, w 均不等于 1，若 log u vw log v w 5 ， log v u log w v 3 ，则 ． log w u 的值为 4 答案： ． 5 解：令 log u v a, log v w b ，则 1 1 log v u , log w v ， log u vw log u v log u v log v w a ab ， a b 1 1 5 条 件 化 为 a ab b 5, 3 ， 由 此 可 得 ab ． 因 此 a b 4 1 4 log w u log w v log v u ． ab 5 4. 袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币 和 3 张 1 元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 A 中剩下的纸币面值
M 为 AP 的中点．若 AB 1, AC 2, AP 2 ，则二面角 M BC A 的大小 为 ． 2 答案： arctan ． 3 解：由 ABC 90 知， AC 为底面圆的直径． 设 底 面 中 心 为 O ， 则 PO 平 面 ABC ． 易 知 1 AO AC 1 ，进而 PO AP 2 AO 2 1 ． 2 设 H 为 M 在底面上的射影，则 H 为 AO 的中 点．在底面中作 HK BC 于点 K ，则由三垂线定理 知 MK BC ，从而 MKH 为二面角 M BC A 的平面角． 3 1 HK HC 3 因 MH AH ，结合 HK 与 AB 平行知， ，即 HK ， 4 2 AB AC 4 MH 2 2 这样 tan MKH ．故二面角 M BC A 的大小为 arctan ． 3 HK 3 kx kx 6. 设函数 f ( x) sin 4 cos 4 ，其中 k 是一个正整数．若对任意实数 a ， 10 10 均有 f ( x) a x a 1 f ( x) x R ，则 k 的最小值为 ．
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2016年上海市高中数学竞赛试题及答案一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1.已知函数()2f x ax bx c =++（0a ≠，,,a b c 均为常数），函数()1f x 的图象与函数()f x 的图象关于y 轴对称，函数()2f x 的图象与函数()1f x 的图象关于直线1y =对称，则函数()2f x 的解析式为 ．答案：()22 2.f x ax bx c =-+-+解 在函数()y f x =的表达式中用x -代替x ，得()21f x ax bx c =-+，在函数()1y f x =的表达式中用2y -代替y ，得()22 2.f x ax bx c =-+-+2.复数z 满足1z =，2223w z z=-在复平面上对应的动点W 所表示曲线的普通方程是 ．答案：221.25y x += 解 设,z a bi w x yi =+=+，则221a b +=，()()()()()()()()()222222222222333210.a bi x yi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a bi ab abi -+=+-=+-++-=+--=-+从而22,10x a b y ab =-=，于是()22222224 1.25y x a b a b +=-+= 3.关于x 的方程arctan 2arctan 26x xπ--=的解是 ．答案：2log x = 解 因为()()tan arctan 2tan arctan 2221xx x x --⋅=⋅=，所以arctan 2arctan 22x x π-+=，解得arctan 2,arctan 236xx ππ-==，则22log x x ==4.红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为1,2,3,4,5,6，则同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于36，共有 种可能． 答案：48．解 四颗骰子乘积等于36，共有四种情形：（1）两个1，两个6，这种情形共246C =种可能； （2）两个2，两个3，这种情形共246C =种可能；（3）两个3，一个1，一个4，这种情形共214212C C =种可能； （4），1,2,3,6各一个，这种情形共4424A =种可能．综上，共有66122448+++=种可能． 5.已知函数()()()()1cos ,202xf x xg x a a π==-≠，若存在[]12,0,1x x ∈，使()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围为 ．答案；13,00,.22⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦U 解 易知[]0,1x ∈时，()[]1,1.f x ∈-只需求a 的取值范围，使得()g x 能取到[]1,1-中的值．（1）当0a >时，()g x 单调递增，因为()12g x >-，故只需()01g ≤，解得30.2a <≤ （2）当0a <时，()g x 单调递减，因为()12g x <-，故只需()01g ≥-，解得10.2a -≤<6.如图，有16间小三角形的房间，甲、乙两人被随机地分别安置在不同的小三角形房间，那么他们在不相邻（指没有公共边）房间的概率是 （用分数表示）．答案：17.20解法一 如图1，将小三角形房间分为三类：与第一类（红色）房间相邻的房子恰有一间，与第二类（绿色）房间相邻的房间恰有两间，与第三类（白色）房间相邻的房间恰有三间，从而满足条件的安置方法共有()()()316261637164204⨯-+⨯-+⨯-=种．从而所求概率为20417.161520=⨯解法二 我们从反面考虑问题，如图2，每一对相邻房间对应着一条黄色的邻边，故所求概率为18231711.16152020⨯-=-=⨯7.在空间，四个不共线的向量,,,OA OB OC OD u u u r u u u r u u u r u u u r，它们两两的夹角都是α，则α的大小是． 答案：1arccos .3π-解 如图，ABCD 为正四面体，角α即为AOD ∠，设,E M 分别为BC 和AD 的中点，则,AE DE OA OD ==，则中心O 在EM 上，从而O 为△ADE 的垂心，11sin sin cos .33EH ODE EAH DOH AE ∠=∠==⇒∠= 所以，1arccos .3απ=-8.已知330,0,1b a b α>>+=，则a b +的取值范围为 ．答案：(．解 注意到()204a b ab +<≤，及()()()()2332213,a b a b a ab b a b a b ab ⎡⎤=+=+-+=++-⎣⎦我们有()()33114a b a b +≤<+，所以1a b <+≤ 二、解答题（本题满分60分，每小题15分）9.如图，已知五边形11111A B C D E 内接于边长为1的正五边形ABCDE ．求证：五边形11111A B C D E 中至少有一条边的长度不小于cos .5π证 设1111111111,,,,,,,,,E A AA A B BB B C CC C D DD D E EE 的长分别为12121,,,,,a ab bc 21212,,,,,cd de e 则()()()()()()()()()()12121212121221212121 5.a ab bc cd de e a e a b b c c d d e +++++++++=+++++++++=由平均数原理，1212121212,,,,a a b b c c d d e e +++++中必有一个大于1，不妨设121a a +≥，则2110.a a ≥-≥此时()()22222111212111122111212322cos121cos 5522221cos 21cos 21cos 1555211221cos 1cos 5225121cos cos .255A E a a a a a a a a a a a a πππππππππ=+-≥+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-----+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫≥+= ⎪⎝⎭所以，11cos.5A E π≥命题得证．10.设,p q 和r 是素数，且|1,|1,|1p qr q rp r pq ---，求pqr 的所有可能的值．解 由题设可得()()()|111pqr qr rp pq ---，因为()()()()2221111,qr rp pq p q r pqr p q r pq qr rp ---=-+++++-所以，| 1.pqr pq qr rp ++-于是11111pq qr rp pqr p q r pqr++-=++-为正整数．记1111k p q r pqr =++-，注意到,,2p q r ≥，则32k <从而 1.k = 由对称性，不妨设.p q r ≤≤ 若3p ≥，则1111k p q r<++≤，矛盾，故 2.p = 若3q >，则5q ≥，12125k =+<，矛盾． 若2q =，则11111224k r r ⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭，也矛盾．故 3.q = 最后，由11111236r r=++-，得 5.r = 综上，30.pqr =11.已知数列{}n a 满足递推关系()*11123n n n a a n N +=-+∈，求所有1a 的值，使{}n a 为单调数列，即{}n a 为递增数列或递减数列．解 由11123n n n a a +=-+得，1113332n n n n a a +++=-+，令3n n n b a =，则 1136363,2525n n n n b b b b ++⎛⎫=-+⇒-=-- ⎪⎝⎭从而，11663,552n n b b -⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则1111111116633335522121535212221.25352n n n n n n n n n nb a a a a T -----⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+--⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦若125a ≠，注意到213-<，则当2/31521log 25n a ⎛⎫>+-⎪⎝⎭时，T 与125a -同号，但112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭正负交替，从而n a 正负交替，{}n a 不为单调数列．当125a =时，12153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭为递减数列．综上，当且仅当125a =时，{}n a 为单调数列． 12.已知等边三角形ABC 的边长为5，延长BA 至点P ，使得9AP =，D 是线段BC 上一点（包括端点）．直线AD 与△BPC 的外接圆交于,E F 两点，其中.EA ED < （1）设BD x =，试将EA DF -表示为关于x 的函数()f x ； （2）求()f x 的最小值．解 （1）设,,u EA v AD w DF ===，则().f x u w =- 在△ABD 中，由余弦定理，得v == 在△PBC 的外接圆中运用相交弦定理，得()()()5945,5.u v w u v w x x +=⨯=+=-两式相减，得()2545,v u w x x -=-+故())2254505.x x f x u w x v -+=-==≤≤（2）设0t =≥，则()222020t f x t t t +===+≥=当且仅当20t t=时等号成立，此时t ==解得x =所以，当52x =()f x 取到最小值。