2011第三章行波法
数学物理方程第三章_行波法和积分变换法
[x − at , x + at ] 上的值,而与其他点上的初始条件无关,这个区间称为点 (x, t ) 的依赖区间,
它是过 ( x, t ) 点分别作斜率为 ±
1 的直线与 x 轴相交所截得的区间,如图 3-2 所示. a
(x,t0)
y
x O x-at0 x+at0
图 3-1
初 始 时 刻 t = 0 时 , 取 x 轴 上 的 一 个 区 间 [x1 , x 2 ] , 过 点 x1 作 斜 率 为
同理可得
2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎤ 2⎡∂ u = + a + 2 ⎢ 2 ∂ξ∂η ∂η 2 ⎥ ∂t 2 ⎣ ∂ξ ⎦
将其代入式(3.1.1),得
∂ 2u =0 ∂ξ∂η
对 ξ 积分,得
∂u = f (η ) ∂η
对此式再关于η 积分,得
u = ∫ f (η )dη + f1 (ξ ) = f1 (ξ ) + f 2 (η )
第三章 行波法与积分变换法 本章我们介绍两个常用的解题方法：行波法和积分变换法。行波法只用于求解无界区 域上的波动方程定解问题， 积分变换法不受方程类型的限制， 一般应用于无界区域的定界问 题，有时也应用于有界域的定解问题.
3.1 达朗贝尔公式及波的传播 在求解常微分方程的特解时,一般先求出方程的通解,然后利用所给的定解条件去解出 通解中含有的任意常数,最后得到了满足所给条件的特解.这个想法能否推广到求解偏微分方 程的过程中呢?一般情况下,随着自变量个数的增加,偏微分方程的通解非常难求,并且偏微分 方程的通解一般都含有任意函数,这种任意函数很难由定解条件确定为具体的函数.所以在求 解数学物理方程时,主要采用通过分析各类具体的定解问题,直接求出符合定解条件的特解的 方法.但事情没有绝对的,在有些情况下,我们可以先求出含任意函数的通解,然后根据定解条 件确定出符合要求的特解.本节我们研究一维波动方程的求解,就采用这种方式. 3.1.1 达朗贝尔公式 如果我们所考察的弦无限长,或者我们只研究弦振动刚一开始的阶段,且距弦的边界较远 的一段,此时可以认为弦的边界,对此端振动的弦不产生影响.这样,定解问题就归结为如下形 式
课件：第三章 行波法
0(3 .1)(3.2)
对于上述初值问题，由于微分方程现定解条件都是 线性的，所以叠加原理同样成立，即如果函数和 分
别是下ux述,0初 值utt问x,题aut2uxx,x0 x (3.3)
(3.4)
•和
uuxtt,0a20u,xux txf,0x((,33t..650))
的解，则 u u1x,t u2x就,t是 原初值问题 (3.1)(3.2)的解，这
1
2 1
2
x x
1
2a 1
2a
x
x0 x
x0
d d
c
2a c
2a
( 3.17)
把它们代入(3.13) 得初值问题(3.3)(3.4)的解
ux, t
x
at
2
x
at
1 2a
xat(3.1d8) xat
这个公式称为无限长弦自由振动的达朗贝尔公式，或称为达 朗贝尔解。这种求解方法称为达朗贝尔解法。
题大
有有
其局
特限
殊 的 优 点
性
， 但 对
，
内 波 动 方 程 的 定
解 问
题 ，
波 法 只 能 用 于 求
解 无
界 区
波解 法定 ，解 二问 是题 积和 分方
变法 换，
法一 。是
本 章 我 们 将 介
绍 另 外
两 个
引 言
3.2 达朗贝尔（D’Alembert）公式 波的传播
• 本章我们将介绍另外两个求解定解问题和方法， 一是行波法，二是积分变换法。行波法只能用于 求解无界区域内波动方程的定解问题，虽然有很 大有局限性，但对于波动问题有其特殊的优点， 所以该法是数理方程的基本之一。我们只注重解 决问题的思路，导出形式解，不追求分析的条件 与验证。积分变换法不受方程的类型限制，主要 用于无界区域，但对于有界区域也能应用
数学物理方程：第3章 波动问题的行波法
第3章 波动问题的行波法§3.1 二阶线性方程的分类与化简本节讨论：①两个自变量方程的分类与化简，②多个自变量方程的分类与化简⒈ 两个自变量方程的分类与化简二阶方程的一般形式 二阶变系数方程可写为1112220(,)2(,,,,)(,)xx xy yy x y Lu x y a u a u a u x y u u u f x y =+++Φ= (3.1.1)式中：11a 、12a 、22a 为x 、y 的函数，0(,,,,)x y x y u u u Φ为低阶导数项。
公式关于二阶导数项为线性的，即称方程为准线性的。
若0(,,,,)x y x y u u u Φ关于u 及其x u 、y u 为线性的，则称方程为线性的。
方程的变换 为了简化上述方程，作可逆变换：(,)(,)x y x y ξξηη=⎧⎨=⎩， (,)0(,)J x y ξη∂=≠∂， (,)(,)x x y y ξηξη=⎧⎨=⎩(3.1.2) 代入方程中，不难得到：11122212(,,,,)(,)Lu A u A u A u u u u f ξξξηηηξηξηξη=+++Φ= (3.1.3)式中： 22111112222x x y yA a a a ξξξξ=++ (3.1.4) 12111222()x x x y y x y y A a a a ξηξηξηξη=+++ (3.1.5)22221112222x x y yA a a a ηηηη=++ (3.1.6) 我们化简的目的是使得二次项的项数尽量少，并且值尽量为简单（如0ij A =或1ij A =±）。
顾及ij A 的表达式，取关于z 的一阶非线性偏微分方程2211122220x x y y a z a z z a z ++= (3.1.7)若该方程有解),(1y x z ϕ=、),(2y x z ψ=，则110A =及220A =；公式大大简化了。
数学物理方法3-3行波法
无界区域上的波动方程
第三章
偏微分方程的定解问题
第三节 行波法
2 2u 2 u x , t 0 t 2 a x 2 , u ( x,0) ( x), u ( x,0) ( x), x t
2 1 2 1 1 u 0 u 0 x a t x a t x a t 令 x at , x at x ,t 2 2a
第三节 行波法
7 非齐次问题的处理 2 2u u 2 f ( x, t ), x , t 0 a 2 2 t x u ( x, 0) ( x), u ( x, 0) ( x), x t 利用线性叠加原理将问题进行分解： u u1 u2 2 2u1 u1 2 a , x , t 0 2 t 2 x u ( x, 0) ( x), u1 ( x, 0) ( x), x 1 t 1 1 x at u1 ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d x at 2 2a 2 2 u2 2 u2 a f ( x, t ), x , t 0 2 2 t x u ( x, 0) 0, u2 ( x, 0) 0, x 2 t
第三章
偏微分方程的定解问题
第三节 行波法
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d x at 2 2a
4 解的物理意义
u ( x, t ) a. 只有初始位移时，
Chapter3.1 行波法
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 例2 − 3 2 = 0, y > 0,−∞ < x < +∞ 2 +2 ∂x ∂x∂y ∂y − x 2 ∂u ( x,0) u ( x,0) = e , = 0, − ∞ < x < +∞ ∂y 解 dy 2 − 2dxdy − 3dx 2 = (dy − 3dx)(dy + dx) = 0 ∂ 2u =0 η 令 ξ = y − 3 x， = y + x ∂ξ∂η
结论：从D`Alembert公式可以看出，前半部分表示由初始 位移激发的行波，t=0时的波形为 ϕ ( x), 以后分成两部 分，独立地以速率a向左右传播；后半部分表示由位移 速度激发的行波， t=0时的速度为ψ ( x), t时刻它将左右 扩散到 [x-at, x+at]的范围，速率为a.
u ( x, t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at ) f1 ( x + at )表示一个以速度a沿x轴负方向传播的行波，称为左行波 f 2 ( x − at )表示一个以速度a沿x轴正方向传播的行波，称为右行波
f1 (3 x) 由第二式积分可得 − + f 2 ( x) = C 3 9x2 3x2 从 而 可 得 f1 (3 x ) = − C ', f2 ( x) = + C '. 4 4
3x2 x2 即 f1 ( x ) = − C ' , f2 ( x) = + C '. 4 4
1 3 2 从而 u ( x, y ) = (3x − y ) + ( x + y ) 2 =3x 2 + y 2 4 4
第三章-行波法与积分变换法
第三章 行波法与积分变换法分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。
行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。
积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。
§3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式一、达朗贝尔公式考察如下Cauchy 问题：.- ),(u ),(u 0,,- ,0t 022222+∞<<∞==>+∞<<∞∂∂=∂∂==x x x t x x u a t u t t ψϕ （1） 作如下代换;⎩⎨⎧-=+=at x at x ηξ,（2） 利用复合函数求导法则可得22222222))((,ηηξξηξηξηξηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂uu u u u x u uu x u x u x u同理可得),2(22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u a t u 代入（1）可得ηξ∂∂∂u2＝0。
先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式)()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ这里G F ,为二阶连续可微的函数。
再由初始条件可知).()()(),()()(''x x aG x aF x x G x F ψϕ=-=+ （3）由（3）第二式积分可得C dt t a x G x F x+=-⎰0)(1)()(ψ，利用(3)第一式可得.2)(21)(21)(,2)(21)(21)(00Cdt t a x x G Cdt t a x x F x x --=++=⎰⎰ψϕψϕ所以，我们有⎰+-+-++=atx atx dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψϕϕ （4）此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。
二、特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程02=+++++Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx称下常微分方程为其特征方程0)(2)(22=+-dx C Bdxdy dy A 。
行波法
+ c2 e
px +α y − iβ y
(12)
3．1 达朗贝尔公式
本节以行波解法为依据，介绍求解定解问题的达朗贝尔公式.
例子. 一维波动方程的达朗贝尔公式
设有一维无界弦自由振动（即无强迫力）定解问题为
泛定方程 u tt − a 2 u xx = 0 初始条件
(1) (2) (3)
u t =0 = ϕ ( x ), ut
第三章 行波法与积分变换法 3.0 二阶线性偏微分方程的行波解
通解法中有一种特殊的解法―行波法, 即以 自变量的线性组合作变量代换，进行求解 的一种方法，它对波动方程类型的求解十 分有效.
1.简单的含实系数的二阶线性偏微分方程 为了方便起见，我们首先讨论如下的含实常系数的 简单二阶线性偏微分方程
au xx + bu xy + cu yy = 0
，则
u( x, y) = c1e
2
px+q1 ( p ) y
+ c2e
px+q2 ( p ) y (10)
(ii) b − 4ac = 0, 抛物型，上述方程有相等的实根
q1 ( p ) = q2 ( p )
，则
u(x, y) = c1e
px+q1 ( p) y
+ c2 xe
px+q1 ( p) y
（11）
⎧ 根据(10)得 ⎪0,( x ≤ x1 ) ⎪ x 1 ⎪1 Φ( x) = ∫−∞ψ (ξ )dξ = ⎨ 2a ( x − x1 )ψ 0 ,( x1 ≤ x ≤ x2 ) 2a ⎪ ⎪1 ⎪ 2a ( x2 − x1 )ψ 0 ,,( x ≥ x2 ) ⎩
这里
第三章行波法
（3）和（4）应满足边界条件 即
由此解得
以此代入（3）和（4）得到解答
右边第二项是反射波，要想没有反射波，应令右边第二项的系数为零，即
，
端点没有反射波，意味着电波的能量全部被电阻吸收，
这叫做阻抗匹配，这时负载阻抗R等于传输线的特性阻抗 。
5．在弦的x=0处悬挂着质量为M的载荷，有一行波 ，从x<0的区域向悬挂点行进，试求反射波和透射波，
补充：（习题2.1）
10．求解无限长理想传输线上电压和电流的传播情况，设始电压分布为 ，初始电流分布为 。
解：（1）电压的传播情况：
传输线方程： ，式中 。
初始条件：
由达朗伯公式有：
（2）电流的传播情况：
传输线方程： ，式中 ，初始条件：
应用一维无界空间解达朗伯公式：
11．在G/C=R/L条件下求无限长传输线上的电报方程的通解。
解：关于j和v的电报方程为
以j的方程为代表求其通解。直接求其通解是比较困难的，因此要作函数变换，以消去一阶微分项。
令 ，
则 ，
代入关于j的方程，并约去公共因子 后得：
+
如果选取 ， 并注意 ，
则 代入上式，方程化简为：
，即 ，其中
如果初始条件为
，
则
，
利用达朗伯公式，可以得到关于 的通解为：
∴
12．无限长弦在点x=x0受到初始冲击，冲量为I，试求解弦的振动。
解：根据三维泊松公式有：
因为：
,
,
,
所以：
4．在泊松公式中，若将球面 上的积分代一 平面上的圆 的积分，并注意球面上下两半都投影于同一圆，便可导出二维空间的泊松公式。试推导二维空间的泊松公式：
数学物理方程第三章 行波法
(1.7)
f 1 ( ), f 2 ( )是待定的任意二次连续 可微函数 .
u( x,0) f 1 ( x) f 2 ( x) ( x)
u ( x) - x (1.2) t t 0
x
1 f ( x ) f ( x ) ( )d 1 2 u( x ,0) a0 af 1( x ) af 2( x ) ( x ) t x 1 1 x f 1 ( x ) ( x ) ( )d 1 2 2a 0 f 1 ( x ) f 2 ( x ) ( )d
第三章 行波法
• • • • • 主要内容 掌握一维弦振动的解 掌握类比方法求三维、二维问题的解 了解偏微分方程的分类 会求偏微分方程的特征线
§1 弦振动的初值问题
无限长均匀细杆的振动问题，就可以表达成如下形式
2 2u 2 u x , t 0 (1.1) 2 a 2 x t u ( x ) - x (1.2) u(0, x ) ( x ), t t 0
(1.8)
（1.8）称作达朗贝尔公式。这种求解方法也称达朗贝尔解法或行波法（特征线法）。 这种方法对一般的偏微分方程来说是十分困难的。因此只适合波动方程定解问题的求解。
1.2 达朗贝尔公式的物理意义
达朗贝尔公式的物理意义
u( x, t ) f 1 ( x at) f 2 ( x at) (1.7) 先考察 u2 ( x, t ) f 2 ( x at) 的意义
2 2u u 2 a 波 动 方 程 ， 双 曲 型 方 .程 2 2 t x 2 u u 2 a 热 传 导 方 程 ， 抛 物 型程 方. 2 t x
第三章 行波法
,那么在 之间呢？我们不能回答这个问题，事实上，当 时， ，取极限就是把不等的部分补上了。不过，要严格证 明这个问题， 需要用到 函数， ， 它相当于(3.1.14)的极限形式。 直接的推导见[23]p206-210，那里也称之为冲量法。
6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
，
另一推导见[24] P58-60，[1]p54-57
在唯一解 证明 注意到 Dalembert 公式知道 Cauchy 问题(3.1.13)的解。 初始条件：显然 是
1. 一维波动方程的 Cauchy 问题
1.1 一维齐次波动方程的 Cauchy 问题
1.1.1 DAlembert 公式 考察齐次弦振动方程的 Cauchy 问题 (3.1.1) 为求此问题的解，注意到弦振动方程有两簇特征线 为新的坐标轴，则可将弦振动方程化为第一标准型，为此引进坐标变换 由链式法则可将(3.1.1)的泛定方程化为 (3.1.3) 两边对 积分再对 积分得 (3.1.4) 代回到原变量 可得原方程的一般解 (3.1.5) 其中 与 是两个任意连续可微函数。 为了求 Cauchy 问题(3.1.1)的解，还须适当地选取 使得初始条件成立，但我们实际 做的却是用初值去定出这两个任意可微函数。将初值代入通解(3.1.5)得 (3.1.6) (3.1.7) 对(3.1.7)积分得 ，若以特征线 (3.1.2)
，则
必是半无界问题(3.2.3)的解。
我们将
表为更明确的形式。
(3.2.5) 这样我们求得了半无界问题(3.2.3)的形式解。为了保证形式解(3.2.5)的确是问题(3.2.3) 的解，还须对右端函数加上一定的条件，例如，我们可以证明： 定理 3.5 如果 ， 且适 合如下的相容性条件， ，则半无界问题(3.2.3)的解 ，该解由公式(3.2.5)表出且在有限时间内按最大模一致稳定。 证明 我们只证相容性条件，其余留着习题。 注意到初始条件 ，边界条件 ， 。而 。由 的 ，由 所以 。/// 2.2 再看 的情形 ，则原问题(3.2.1)化为在 ，从而 ，从而 得
行波法积分变换法
1 u ( x, t ) ( ( x at ) ( x at )) 2 1 x at ( )d . 2a x at
这个公式称为达朗贝尔公式。
9
举例，求解弦振动方程的柯西问题
2u 2u 2 0 (t 0, x ) 2 t x t 0 : u x, u sin x ( x ) t
F ( )
1 f ( x) 2
. Fourier变换
1 设 f ( x) 是定义在R上的函数，且 f ( x) C [L, L]
则
f ( x) 可以展开为Fourier 级数 a0 n
f ( x)
n an cos x bn sin x 2 L L n 1
L
其中
1 an L 1 bn L
由达朗贝尔公式可得其解为：
1 1 x t u ( x, t ) (( x t ) ( x t )) sin d 2 2 x t 1 x t 1 x ( cos x t ) x sin x sin t 2 2
10
•第二节 一维定解问题的积分变换法
给我们以启发，通过适当的变量代换，令
x at x at
方程化为只含二阶混合偏导数的下述标准形式：
u 0
2
3
2u 0,
u 0
将方程先对积分一次，再对 积分一次， 容易看出其解的一般形式为
将（1）式两端关于 x 求导一次，得
（1） （2）
F ' ( x) G' ( x) ' ( x).
由（2）、（3）两式，解得
第三章-行波法
第三章 行波法§3.1 达朗贝尔法（行波法）考虑无界弦的自由振动问题，有定解问题如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂=∂∂)()0,()()0,(22222x x u x x u x u a t u tψϕ ∞+<∞-+∞<<∞->+∞<<∞-x x t x 0, 对于上面的标准形方程，它有两族特征曲线1c at x =+，2c at x =-作变换at x +=ξ，at x -=η由上面的方程变为：02=∂∂∂ηξu 求上面偏微分方程的解先对η积分一次得)(1ξηf u =∂∂ 再对ξ积分一次得：⎰+=+=)()()()(2ηξηξξG F f d f u其中G F ,是具有任意连续可微函数，将原自变量代回得原方程的通解为)()(),(at x G at x F t x u -++=下面通过初始条件确定上面的任意函数G F ,∵ )(0x u t ϕ==，)(0x u t t ψ==∴ )()()(x x G x F ϕ=+ （1）)()()(//x x aG x aF ψ=- （2）对（2）从0x 到x 积分得：⎰-+=-x x x G x F d ax G x F 0)()()(1)()(00ααψ （3） （1）+（3）得 )]()([21)(21)(21)(000x G x F d a x x F x x -++=⎰ααψϕ ⎰---=x x x G x F d a x x G 0)]()([21)(21)(21)(00ααψϕ ∴ ⎰+-+++-=at x atx d a at x at x t x u ααψϕϕ)(21)]()([21),( 该公式叫达朗贝尔公式例：确定初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==>∞+<∞∂∂=∂∂-122222)0,( cos )0,(0 e x u x x u ,t x -x u a tu t 解：略。
达朗贝尔方程的物理定义：先讨论0)(=x ψ （即振动只有初始位移）)]()([21),(at x at x t x u ++-=ϕϕ 先看)(at x -ϕ项：当0=t 时若观察者位于c x =处，此时 )()(c at x ϕϕ=-在x 轴上，若观察者以速度a 沿轴正方向运动，则在t 时刻观察者位于at c x +=处，此时：)()()(c at at c at x ϕϕϕ=-+=-由于t 是任意的，这说明观察者在运动过程中随时可以看到相同的波形，可见，波形和观察者一样，以速度a 沿x 轴正方向传播。
第三章行波解
第三章行波法数理方法研究物理和工程问题的三大步骤：1、写出定解问题2、求解3、分析解答我们已经学会了导出方程和写出定解条件（定解问题）的基本方法，下边的重点是求解和解答过程：各种求解数学物理方程的方法，主要包括：1、行波法2、分离变量法3、积分变换法4、格林函数法5、保角变换法本章问题的引入：1、无限长细弦的抖动（一维）2、投石入水中形成的圆形扩散波（二维）3、灯塔上的灯光（三维）若当研究问题时只关心一端时间某处发生的振动，边界的影响还来不及达到该处，波将一直向前传播，称此为行进波（行波），解决这类行波问题引入了行波法。
中心：用行波法求解无界空间波动问题。
1、掌握达朗贝尔公式的应用和行波法解题步骤；2、有源问题化为无源问题的冲量法；3、三维问题化为一维问题的平均值法。
三、分析解答：1、适定性的证明：（1）解存在：并且满足泛定方程和定解条件；利用公式（2）唯一性：因为f 1和f 2的任意性已经由定解条件确定，所以解是唯一的。
（3）稳定性：不妨设：()()()()110022|, |t t t x x u u x x ϕψϕψ==⎧⎧⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩()()()()1212||,||x x x x ϕϕδψψδ−≤−≤2、行波法：（1）它基于波动的特点；（2）引入了坐标变换简化方程；（3）优点：求解方式易于理解，求解波动方程十分方便；（4）缺点：通解不易求，有局限性。
习题 3.12232110, (,0)0, (,0)1;(3) 0, (,0), (,0);8230(,0)3(,0)0tt xx t tt xx t xx xy yy yu a u u x u x u a u u x x u x x u u u u x x u x −===−===+−=⎧⎪=⎨⎪=⎩、确定下列初值问题的解：（）、解下列初值(仅需思考，选作）问题：OXYZ(,,)M x y z 0000(,,)M x y z ϕθ处的解和xyzz ′x ′y ′ϕθ(,,)M x y z ′′′′(,,)M x y z泊松公式的物理意义：定解问题在M 点t 时刻的值与以M 点为中心，以at 为半径的球面上的初值确定的。
行波法和积分变换
2 r
u r
2u r 2
球对称波动方程
进一步有
2u t 2
a 2
2 r
u r
2u r 2
0
2 (ru) t 2
a2
2 (ru) r 2
0
3.2 三维波动方程的泊松公式
球对称情形下，三维波动方程边值问题可化为
2 (ru)
t 2
a2
2 (ru) r 2
0
ru
(ru)
|r0 |t0
0
r0
(r
at r
atr 1( )d , r at 0
3.2 三维波动方程的泊松公式
二. 一般情况
令
u(r,
t
)
1
4 r
2
SrM
u(
,
,
,
t
)
dS
1
4
S1M
u(
,,
,t)
d
u(r, t) 表示 u( x, y, z,t) 在球面 SrM上的平均值。
其中M=M (x,y,z), , , 是球面 SrM上的点,
x r sin cos, y r sin sin, z r cos
3.2 三维波动方程的泊松公式
二. 一般情况
令
u(r,
t
)
1
4 r
2
SrM
u(
,
,
,
t
)
dS
1
4
S1M
u(
,,
,t)
d
S1M 表示以 M 为中心的单位球面， d 表示单位球面上的面积元素，d sin d d dS 表示 SrM上的面积元素， dS r2 d
第三章 行波法
第三章 行波法§3.1 达朗贝尔法（行波法）考虑无界弦的自由振动问题，有定解问题如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂=∂∂)()0,()()0,(22222x x u x x u x u a t u tψϕ ∞+<∞-+∞<<∞->+∞<<∞-x x t x 0, 对于上面的标准形方程，它有两族特征曲线1c at x =+，2c at x =-作变换at x +=ξ，at x -=η由上面的方程变为：02=∂∂∂ηξu 求上面偏微分方程的解先对η积分一次得)(1ξηf u =∂∂ 再对ξ积分一次得：⎰+=+=)()()()(2ηξηξξG F f d f u其中G F ,是具有任意连续可微函数，将原自变量代回得原方程的通解为)()(),(at x G at x F t x u -++=下面通过初始条件确定上面的任意函数G F ,∵ )(0x u t ϕ==，)(0x u t t ψ==∴ )()()(x x G x F ϕ=+ （1）)()()(//x x aG x aF ψ=- （2）对（2）从0x 到x 积分得：⎰-+=-x x x G x F d ax G x F 0)()()(1)()(00ααψ （3）（1）+（3）得)]()([21)(21)(21)(000x G x F d a x x F x x -++=⎰ααψϕ ⎰---=x x x G x F d a x x G 0)]()([21)(21)(21)(00ααψϕ ∴ ⎰+-+++-=at x atx d a at x at x t x u ααψϕϕ)(21)]()([21),( 该公式叫达朗贝尔公式例：确定初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==>∞+<∞∂∂=∂∂-122222)0,( cos )0,(0 e x u x x u ,t x -x u a t u t 解：略。
达朗贝尔方程的物理定义：先讨论0)(=x ψ （即振动只有初始位移）)]()([21),(at x at x t x u ++-=ϕϕ 先看)(at x -ϕ项：当0=t 时若观察者位于c x =处，此时 )()(c at x ϕϕ=-在x 轴上，若观察者以速度a 沿轴正方向运动，则在t 时刻观察者位于at c x +=处，此时：)()()(c at at c at x ϕϕϕ=-+=-由于t 是任意的，这说明观察者在运动过程中随时可以看到相同的波形，可见，波形和观察者一样，以速度a 沿x 轴正方向传播。
第三章-行波法(1)
第三章 行波法§3.1 达朗贝尔公式（P150-152）1．确定下列初值问题的解（1）()()20,,00,,01tt xx t u a u u x u x -===解：因为()()0,1x x ϕψ==由达朗贝尔公式有：()()()()1,22x at x at x at x at u x t d aϕϕψαα+--++=+⎰ =t（2）()()220,,0sin ,,0tt xx t u a u u x x u x x -===解：因为()()2sin ,x x x x ϕψ==由达朗贝尔公式有：()()()()1,22x at x atx at x at u x t d a ϕϕψαα+--++=+⎰ =2231sin cos 626x at x at a t a⎡⎤++⎣⎦ =2231sin cos 3x at x t a t ++ （3）()()230,,0,,0tt xx t u a u u x x u x x -===解：因为()()3,x x x x ϕψ==由达朗贝尔公式有：()()()()1,22x at x atx at x at u x t d a ϕϕψαα+--++=+⎰ =()()1cos cos 122x at x at x at x at e d aα+---+++⎰ =1cos cos x at e t -+2．求解无界弦的自由振动，设弦的初始位移为()x ϕ，初始速度为()'a x ϕ-。
解：该问题的数学模型为：()()()()2',,0,0,,0tt xx t u a u x t u x x u x a x ϕϕ⎧=-∞<<+∞>⎪⎨==-⎪⎩由达朗贝尔公式：()()()()'1,22x at x atx at x at u x t a d a ϕϕϕαα+--++=+-⎰=()x at ϕ- 2．求解弦振动方程的古沙问题()()()()()(),,,,tt xx u u u x x x x u x x x x ϕψ=⎧⎪-=-∞<<+∞⎨⎪=-∞<<+∞⎩解：该方程的通解为：()()()12,u x t f x t f x t =++- （1）令：t x =-()()()1202x f f x ϕ=+令： t x =()()()1220x f x f ψ=+令2y x =，则有：()()()()12210202y f y f y f y f ψϕ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩所以：()()1102x t f x t f ψ+⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()()2202x t f x t f ϕ-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()()()12,0022x t x t u x t f f ψϕ+-⎛⎫⎛⎫=+-+⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭又 ()()121(0)(0)002f f ϕψ+=+⎡⎤⎣⎦ 所以古沙问题解为： ()()()00,222x t x t u x t ϕψψϕ++-⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．求解无限长理想传输线上电压和电流的传播情况。
第3章 行波天线2011
∴ψ p = π
λ ∴ψ = ψ i + ψ r + ψ p = −kl + kl cos arccos1 − + π 2l 2πl λ λ = -kl + kl 1 - + π = − +π = 0 λ 2l 2l
2l
上式适用于l/λ很大时的最大辐射角的计算。 上式适用于 很大时的最大辐射角的计算。 很大时的最大辐射角的计算
第3章 行波天线
行波天线的输入阻抗近似为一纯电阻， 行波天线的输入阻抗近似为一纯电阻，可以利用坡印廷矢 量在远区封闭球面上的积分求出辐射电阻，如图 所示， 量在远区封闭球面上的积分求出辐射电阻，如图3―1―3所示， 所示 与驻波天线的辐射阻抗图1―4―5对比，可以看出，行波单导线 对比，可以看出， 与驻波天线的辐射阻抗图 对比 的阻抗具有宽频带特性。 的阻抗具有宽频带特性。 行波单导线的方向系数可以用下列近似公式计算： 行波单导线的方向系数可以用下列近似公式计算：
第3章 行波天线
l
2φ0
H
接接接 电阻
接同同
图 3―1―4
第3章 行波天线
由于菱形天线两线之间的距离是变化的， 由于菱形天线两线之间的距离是变化的 ， 故菱形 线上各点的特性阻抗不等， 从锐角端的600～ 700 变 线上各点的特性阻抗不等 ， 从锐角端的 ～ 化到钝角处的1000 。 各点特性阻抗的不均匀性引起 化到钝角处的 天线上局部的反射，从而破坏行波状态。 天线上局部的反射 ， 从而破坏行波状态 。 为了使特性 阻抗变化较小，菱形的各边通常用2～ 根导线并在钝 阻抗变化较小 ， 菱形的各边通常用 ～ 3根导线并在钝 角处分开一定距离，使天线导线的等效直径增加， 角处分开一定距离 ， 使天线导线的等效直径增加 ， 以 减小天线各对应线段的特性阻抗的变化。菱形天线的 减小天线各对应线段的特性阻抗的变化。 最大辐射方向位于通过两锐角顶点的垂直平面内， 最大辐射方向位于通过两锐角顶点的垂直平面内 ， 指 向终端负载方向，具有单向辐射特性。 向终端负载方向，具有单向辐射特性。
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t =0
x=0
= ϕ ( x ) 和 ut
=0
= ψ ( x)
达朗贝尔公式是无限长弦的公式。由于自变量限制为x≥0 达朗贝尔公式是无限长弦的公式。由于自变量限制为 ≥
1 1 u( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + 2 2a
x + at x − at
x =0
和
ut
t =0
= ψ ( x)
ux
=0
ϕ ( x ) Φ( x ) = ϕ (− x )
( x ≥ 0) ( x < 0)
ψ ( x ) Ψ( x ) = ψ (− x )
x + at
( x ≥ 0) ( x < 0)
1 1 + u( x , t ) = [Φ( x + at ) + Φ( x − at )] + ∫at Ψ(ξ )dξ 2 2a x −
∂2 ∂2 ( 2 − a2 )u ( x , t ) = 0 2 ∂t ∂x
∂2 u (ξ , η ) = 0 ∂ξ∂η
3
坐标变换
x − at
∂ ∂ 看作如同数一样的算子，可以进行加减乘除： 将 ∂x 和 看作如同数一样的算子，可以进行加减乘除： ∂t ∂ ∂ ∂ ∂ ( +a )( − a )u( x , t ) = 0 ∂t ∂x ∂t ∂x x x + at
x1 ≤ x ≤ x1 + x2 2
x1 + x2 ≤ x ≤ x2 2 x < x1 , x > x2
t4 t3 t2 t1 t=0
ϕ (x)
u0
x1
x1 + x2 2
x2
x1
x2
由达朗贝尔公式
1 u( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] 2
7
依赖区间 决定区域 影响区域 特征线 特征线法
∫
ψ (ξ )d ξ
t>x/a时，上式后两项无意义，必须将 u(x,t) 延拓到这个范围 时 上式后两项无意义，
u(0, t ) = 0 ，作奇延拓： ϕ ( x ) → Φ( x ) 作奇延拓：
ϕ ( x ) Φ( x ) = −ϕ ( − x ) ( x ≥ 0) ( x < 0)
ψ ( x ) → Ψ( x )
17
3.2 三维波动方程的泊松公式
考虑在三维无限空间的波动问题
2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 2 ∂ u 2 = a ( 2 + 2 + 2 ), − ∞ < x, y, z < +∞, t > 0 ∂x ∂y ∂z ∂t u t = 0 = ϕ 0 ( x, y , z ) ∂u t = 0 = ϕ1 ( x, y , z ), − ∞ < x, y , z < +∞, t > 0 ∂t
1 3 2 u ( x, y ) = (3 x − y ) + ( x + y ) 2 = 3 x 2 + y 2 4 4
11
（二）端点的反射
∂2 ∂2 ( 2 − a2 )u ( x , t ) = 0 2 ∂t ∂x
半无限长弦的自由振动
(0 < x < ∞ )
t =0
一个端点固定
设初始条件为 u 边界条件
∂ ∂t ∂ ∂x ∂ 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂ ∂ = + =− + = − ( −a ) ∂η ∂η ∂t ∂η ∂x 2a ∂t 2 ∂x 2a ∂t ∂x
η = x − at
∂2 −4a u (ξ , η ) = 0 ∂ξ∂η
2
4
2 ∂2 2 ∂ ( 2 −a )u ( x , t ) = 0 2 ∂t ∂x
1
问题的引入
utt = a u xx u ( x, 0 ) = ϕ ( x ) ut ( x, 0 ) = ψ ( x )
2
( −∞< x < ∞, t > 0) ( −∞< x < ∞) ( −∞< x < ∞)
行波法
(1) (2) (3)
达朗贝尔公式
u ( x, t ) =
ϕ ( x + at ) +ϕ ( x − at )
x + at 1 1 (t ≤ x / a ) [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + ∫at ψ (ξ )d ξ 2a x − 2 u( x , t ) = x + at at − x 1 1 [ϕ ( x + at ) + ϕ ( at − x )] + 1 / ∫ ψ (ξ )d ξ + 2a ∫ ψ (ξ )d ξ ( t ≥ x15a ) 2 2a 0 0
ψ ( x ) Ψ( x ) = −ψ ( − x )
( x ≥ 0) ( x < 0)
12
1 1 + u( x , t ) = [Φ( x + at ) + Φ( x − at )] + ∫at Ψ(ξ )dξ 2 2a x −
x at 1 1 + [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + ∫at ψ (ξ )dξ 2a x − 2 u( x , t ) = x at 1 1 + [ϕ ( x + at ) − ϕ (at − x )] + ∫− x ψ (ξ )dξ 2 2a at
以f2为例讨论其意义
作坐标变换： 作坐标变换：
X = x − at T = t
f 2 ( x − at ) = f 2 ( X )
新坐标的时间与旧坐标同， 新坐标的时间与旧坐标同，新坐标的原点 X=0 在旧坐标 运动；函数的图像在动坐标系中保持不变。 中以速度 a 运动；函数的图像在动坐标系中保持不变。 f2(x-at) 是以速度 a 沿 x 轴正方向运动的行波 轴正方向运动的行波, f1(x+at)是以速度 a 沿 x 轴反方向运动的行波。 轴反方向运动的行波。 是以速度
x + at
∫
ψ (ξ )d ξ + [ f1 ( x0 ) − f 2 ( x0 )]
x0 x − at
∫
x0
→ u = f1 ( x + at ) + f2 ( x − at ) 1 ψ (ξ )d ξ − [ f1 ( x0 ) − f 2 ( x0 )] 2
x + x ) − f 2 ( x ) = ∫ ψ (ξ )d ξ + f1 ( x0 ) − f 2 ( x0 ) a x0
1 1 1 f1 ( x ) = ϕ ( x ) + ∫ ψ (ξ )dξ + 2 [ f1 ( x0 ) − f 2 ( x0 )] 2 2a x0
1 1 f1 ( x + at ) = ϕ ( x + at ) + 2 2a 1 1 f 2 ( x − at ) = ϕ ( x − at ) − 2 2a
这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程的特 征曲线。可以看到， 征曲线。可以看到，特征线仅与二阶导数项的系 数有关，而与低阶项系数无关。 数有关，而与低阶项系数无关。 但是，并不是任意二阶线性偏微分方程都有两 但是， 不是任意二阶线性偏微分方程都有两 族实的特征线。 族实的特征线。
9
A(dy ) − 2 Bdxdy + C (dx) = 0
x ± at = 常数
(dx) − a (dt ) = 0
2 2 2
特征方程
8
对于一般的二阶线性偏微分方程
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u A 2 + 2B +C 2 + D + E + Fu = 0 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y
来说， 来说，它的特征方程为
A(dy ) 2 − 2 Bdxdy + C (dx) 2 = 0
开始反射
无半波损失
只有初始位移， 只有初始位移，没有初始速度
16
1 1 u( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + 2 2a
x + at
x − at
∫
ψ (ξ )d ξ
从达朗贝尔公式可以看出，波动方程的解，是初始 达朗贝尔公式可以看出，波动方程的解， 可以看出 条件的演化。方程本身并不可能产生出超出初始条件的， 条件的演化。方程本身并不可能产生出超出初始条件的， 额外的形式来。 额外的形式来。 而这种演化又受到边界条件的限制。 而这种演化又受到边界条件的限制。 这就说明了初始条件和边界条件在确定波动方程的 解时的重要性。 解时的重要性。 达朗贝尔解表示沿x 轴正、 达朗贝尔解表示沿 轴正、反向传播的两列波的叠加
∂2 u (ξ , η ) = 0 ∂ξ∂η
u ( x , t ) = f (ξ )
η 积分： ∂ (1) 通解 对 积分： ∂ ξ
积分常数依赖于 ξ
再积分： 再积分：
u( x , t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
u = ∫ f (ξ )d ξ + f 2 (η ) = f1 (ξ ) + f 2 (η )
t
求导， 当a=1，相当于沿 x 和 t 求导，变 ， 成沿对角线求导。 不为1 成沿对角线求导。当 a 不为1，则 求导的线进行相应的角度变化。 求导的线进行相应的角度变化。 变换： 变换：