江西省中考数学 第一部分 考点研究 第三章 函数 反比例函数综合题巩固集训 新人教版

第三章 函数反比例函数综合题巩固集训 (建议时间：60分钟 分值：56分)类型一 反比例函数与几何图形结合1. (6分)(2015德州)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的对角线OB ，AC 相交于点D ，且BE ∥AC ，AE ∥OB .(1)求证：四边形AEBD 是菱形；(2)如果OA ＝3，OC ＝2，求出经过点E 的反比例函数解析式．第1题图2. (6分)(2016株洲)平行四边形ABCD 的两个顶点A 、C 在反比例函数y ＝k x(k ≠0)的图象上，B 、D 是x 轴上的点，且点B 、D 关于原点O 对称，AD 交y 轴于P 点．(1)已知点A 坐标是(2，3)，求k 的值及C 点的坐标． (2)若△APO 的面积是2，求点D 到直线AC 的距离．第2题图3. (8分)如图，反比例函数y ＝kx(x >0)的图象与Rt △OAB 的两边OA ，AB 分别交于C ，D 两点，∠OBA ＝90°，点B 坐标为(2，0)，且BD ∶OB ＝1∶2，BD ∶AD ＝1∶3，连接CD ，DO .(1)求反比例函数的解析式； (2)求点C 的坐标；(3)将△OCD 先沿x 轴的正方向平移3个单位长度，再沿y 轴的正方向平移3个单位长度，得到△O ′C ′D ′，要使反比例函数y ＝m x(x >0)的图象与△O ′C ′D ′有公共点，请求出m 的取值范围．第3题图4. (8分)(2016兰州)如图，在平面直角坐标系中，OA ⊥OB ，AB ⊥x 轴于点C ，点A (3，1)在反比例函数y ＝kx的图象上．(1)求反比例函数y ＝k x的表达式；(2)在x 轴的负半轴上存在一点P ，使得S △AOP ＝12S △AOB ，求点P 的坐标；(3)若将△BOA 绕点B 按逆时针方向旋转 60°得到△BDE ，直接写出点E 的坐标，并判断点E 是否在该反比例函数的图象上，说明理由．第4题图类型二 反比例函数与一次函数结合5. (6分)(2016资阳)如图，在平行四边形ABCD 中，点A 、B 、C 的坐标分别是(1，0)、(3，1)、(3，3)，双曲线y ＝k x(k ≠0，x ＞0)过点D .(1)求双曲线的解析式；(2)作直线AC 交y 轴于点E ，连接DE ，求△CDE 的面积．第5题图6. (6分)(2016赤峰)如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y ＝mx的图象与一次函数y ＝k (x －2)的图象交点为A (3，2)，B (x ，y )．(1)求反比例函数与一次函数的解析式及B 点坐标；(2)若C 是y 轴上的点，且满足△ABC 的面积为10，求C 点坐标．第6题图7. (8分)如图，在直角坐标系中，点A 是反比例函数y 1＝kx 图象上一点，AB ⊥x 轴的正半轴于点B ，点C 是OB 的中点，一次函数y 2＝Ax ＋B 的图象经过A 、C 两点，交y 轴于点D (0，－2)，△OAB 的面积为4.(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)若x 轴上存在点M (不与点C 重合)，使得△AOC 和△AOM 相似，求点M 的坐标．第7题图8. (8分)(2016泰州)如图，点A (m ，4)，B (－4，n )在反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象上，经过点A 、B 的直线与x 轴相交于点C ，与y 轴相交于点D .(1)若m ＝2，求n 的值； (2)求m ＋n 的值；(3)连接OA 、OB ，若tan ∠AOD ＋tan ∠BOC ＝1，求直线AB 的函数关系式．第8题图【答案】1. (1)证明：∵BE ∥AC ，AE ∥OB ，∴四边形AEBD 是平行四边形， ∵四边形OABC 是矩形， ∴DA ＝DB ，∴四边形AEBD 是菱形；(2分)第1题解图(2)解：如解图，连接DE ，交AB 于点F ， ∵四边形AEBD 是菱形， ∴AB 与DE 互相垂直平分，(3分) 又∵OA ＝3，OC ＝2，∴EF ＝DF ＝12OA ＝32，AF ＝12AB ＝12OC ＝1，∴x E ＝OA ＋EF ＝3＋32＝92，y E ＝AF ＝1，∴点E 的坐标为(92，1)．(4分)设经过点E 的反比例函数解析式为y ＝kx (k ≠0)，将点E (92，1)代入，得k ＝92，∴经过点E 的反比例函数解析式为y ＝92x.(6分)2. 解： (1)∵点A 的坐标是(2，3)，平行四边形ABCD 的两个顶点A 、C 在反比例函数y ＝kx (k ≠0)图象上，点B 、D 在x 轴上，且B 、D 两点关于原点对称，∴3＝k2，点C 与点A 关于原点O 对称，∴k ＝6，C (－2，－3)，即k 的值是6，C 点的坐标是(－2，－3)；(2分) (2)∵△APO 的面积为2，点A 的坐标是(2，3)， ∴2＝OP ×22，得OP ＝2，设过点P (0，2)，点A (2，3)的直线解析式为y ＝ax ＋B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝22a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝2，(4分) 即直线PA 的解析式为y ＝12x ＋2，将y ＝0代入y ＝12x ＋2，得x ＝－4，∴OD ＝4，∵A (2，3)，C (－2，－3)，∴AC ＝（－3－3）2＋（－2－2）2＝213， 设点D 到AC 的距离为m ， ∵S △ACD ＝S △ODA ＋S △ODC ， ∴213·m 2＝4·32＋4·32， 解得m ＝121313，即点D 到直线AC 的距离为121313.(6分)3. 解：(1)D 点的坐标是(2，1)，代入y ＝kx，得k ＝2， 则反比例函数的解析式为y ＝2x；(2分)(2)设直线OA 的解析式为y ＝kx ，把A (2，4)代入得k ＝2， 则直线OA 的解析式为y ＝2x ， 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x y ＝2x，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－2(舍去)，(4分)则C 点的坐标为(1，2)；(5分)(3)点O ′、C ′、D ′的坐标分别为(3，3)，(4，5)和(5，4)， 当反比例函数y ＝mx经过点(3，3)时，m 最小，最小值是9. 设经过点(4，5)和(5，4)直线的解析式为y ＝kx ＋B ，则⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝55k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝9， 则该直线的解析式为y ＝－x ＋9.根据题意得－x ＋9＝m x ，即x 2－9x ＋m ＝0，Δ＝81－4m ＝0， 解得m ＝814，则m 的取值范围是9≤m ≤814.(8分)4. 解：(1)∵点A (3，1)在反比例函数y ＝k x的图象上， ∴k ＝3×1＝3， ∴反比例函数的表达式为y ＝3x；(2分) (2)∵A (3，1)， ∴OC ＝3，AC ＝1，易证△AOC ∽△OBC ，可得OC 2＝AC ·BC ， ∴BC ＝3，∴B (3，－3)，∴S △AOB ＝12OC ·AB ＝12×3×4＝23，∵S △AOP ＝12S △AOB ＝3，(4分)设P (m ，0)， ∴12·|m |·AC ＝3，∴|m |＝23，∵P 是x 轴负半轴上一点， ∴m ＝－23，第4题解图∴P (－23，0)；(5分)(3)将△BOA 绕点B 按逆时针方向旋转60°得到△BDE ，如解图． 此时E (－3，－1)，点E 在反比例函数y ＝3x的图象上，理由如下： ∵(－3)×(－1)＝3，∴点E 在反比例函数y ＝k x的图象上．(8分)5. 解：(1)∵在平行四边形ABCD 中，点A 、B 、C 的坐标分别是(1，0)、(3，1)、(3，3)，∴点D 的坐标是(1，2)，∵双曲线y ＝kx (k ≠0，x ＞0)过点D ，∴2＝k1，得k ＝2，即双曲线的解析式为y ＝2x ；(3分)(2)∵直线AC 交y 轴于点E ，∴S △CDE ＝S △EDA ＋S △ADC ＝（2－0） ×12＋（2－0）×（3－1）2＝1＋2＝3，即△CDE 的面积为3.(6分)6. 解：(1)∵点A (3，2)在反比例函数y ＝mx和一次函数y ＝k (x －2)上； ∴2＝m3，2＝k (3－2)，解得m ＝6，k ＝2；(1分)∴反比例函数的解析式为y ＝6x ，一次函数解析式为y ＝2x －4；(2分)∵点B 是一次函数与反比例函数的另一个交点，∴6x＝2x －4，解得x 1＝3，x 2＝－1； ∴B 点的坐标为(－1，－6)；(3分)(2)∵如解图，设点M 是一次函数y ＝2x －4与y 轴的交点，第6题解图∴点M 的坐标为(0，－4)，设C 点的坐标为(0，y C )，由题意知12×3×|y C －(－4)|＋12×1×|y C －(－4)|＝10，解得|y C ＋4|＝5，当y C ＋4≥0时，y C ＋4＝5，解得y C ＝1，当y C ＋4≤0时，y C ＋4＝－5，解得y C ＝－9，(5分) ∴点C 的坐标为(0，1)或(0，－9)．(6分) 7. 解：(1)∵AB ⊥OB ，点C 为OB 的中点， ∴∠DOC ＝∠ABC ＝90°，OC ＝BC ，∠OCD ＝∠BCA ， ∴Rt △DOC ≌Rt △ABC (ASA)， ∴AB ＝OD ＝2.如解图，过点A 作AE ⊥y 轴于点E ， ∵AB ⊥x 轴， ∴AE ＝OB ，∴S △AOD ＝12OD ·AE ＝12AB ·OB ＝S △AOB ＝4.又∵OD ＝2， ∴AE ＝4.∴A (4，2)．(2分)将点A (4，2)代入y 1＝kx中，得k ＝8， ∴反比例函数的解析式为y 1＝8x.将点A (4，2)和点D (0，－2)分别代入y 2＝Ax ＋B ，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝2b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2，∴一次函数的解析式为y 2＝x －2；(5分)(2)在x 轴正半轴上存在点M (A ，0)，使得△AOC ∽△MOA . 则有OA OM ＝OC OA， 即OA 2＝OM ·OC ，又∵在Rt △OAB 中，OA 2＝42＋22＝20，OM ＝A ，OC ＝2，∴20＝2A ， ∴A ＝10.即m 点坐标为(10，0)．(8分) 8. 解：(1)当m ＝2，则A (2，4)， 把A (2，4)代入y ＝k x得k ＝2×4＝8， ∴反比例函数解析式为y ＝8x，(2分)把B (－4，n )代入y ＝8x得－4n ＝8，解得n ＝－2；(3分)(2)∵点A (m ，4)，B (－4，n )在反比例函数y ＝kx(k ＞0)的图象上， ∴4m ＝k ，－4n ＝k ，∴4m ＋4n ＝0，即m ＋n ＝0；(5分)(3)如解图，作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ， 在Rt △AOE 中，tan ∠AOE ＝AE OE ＝m4，在Rt △BOF 中，tan ∠BOF ＝BF OF ＝－n4，而tan ∠AOD ＋tan ∠BOC ＝1， ∴m 4＋－n4＝1， 而m ＋n ＝0，解得m ＝2，n ＝－2，(6分) 则A (2，4)，B (－4，－2)， 设直线AB 的解析式为y ＝Px ＋q ，把A (2，4)，B (－4，－2)代入得⎩⎪⎨⎪⎧2p ＋q ＝4－4p ＋q ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1q ＝2，∴直线AB 的解析式为y ＝x ＋2.(8分)。