运筹学胡运权第三版第三章运输问题
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运筹学胡运权第三版第三章运输问题
产销平衡运输问题的数学模型可表示如下：
§1运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
二、运输问题数学模型的特点： 运输问题一定有最优解；基变量的个数=m+n-1 运输问题约束条件的系数矩阵：
x1m
x2m
xm1
xmm
x11
x12
…
x21
x22
…
xm2
…
…
m行
n行
§1运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
解 的 最 优 性 检 验
运输问题及其数学模型
用表上作业法求解运输问题
运输问题的进一步讨论
应用问题举例
本章内容
3运输问题进一步讨论
01.
产销不平衡的运输问题 有转运的运输问题
02.
1.当产大于销时，即 产销不平衡问题 平衡后的数学模型为： 加入假想销地（假想仓库），销量为 ，由于实际并不运 送，它们的运费为 = 0；
解 的 最 优 性 检 验
解 的 最 优 性 检 验
销地产地
B1
B2
B3
B4
产量
ui
A1
16
u1(1)
A2
10
u2(0)
A3
22
u3(-4)
销量
8
14
12
14
48
vj
v1(2)
v2(9)
v3(3)
v4(10)
4
2
8
12
5
4
10
11
3
9
6
11
表3-9
1.增加一位势列和位势行并计算位势
其中
8
10
2
6
8
产量
A1
§1运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
二、运输问题数学模型的特点： 运输问题一定有最优解；基变量的个数=m+n-1 运输问题约束条件的系数矩阵：
x1m
x2m
xm1
xmm
x11
x12
…
x21
x22
…
xm2
…
…
m行
n行
§1运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
解 的 最 优 性 检 验
运输问题及其数学模型
用表上作业法求解运输问题
运输问题的进一步讨论
应用问题举例
本章内容
3运输问题进一步讨论
01.
产销不平衡的运输问题 有转运的运输问题
02.
1.当产大于销时，即 产销不平衡问题 平衡后的数学模型为： 加入假想销地（假想仓库），销量为 ，由于实际并不运 送，它们的运费为 = 0；
解 的 最 优 性 检 验
解 的 最 优 性 检 验
销地产地
B1
B2
B3
B4
产量
ui
A1
16
u1(1)
A2
10
u2(0)
A3
22
u3(-4)
销量
8
14
12
14
48
vj
v1(2)
v2(9)
v3(3)
v4(10)
4
2
8
12
5
4
10
11
3
9
6
11
表3-9
1.增加一位势列和位势行并计算位势
其中
8
10
2
6
8
产量
A1
运筹学(胡运权版)第三章运输问题课后习题答案
P66： 8.某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生产的产品由4个销售点出售，各工厂A 1， A 2，A 3的生产量、各销售点B 1，B 2，B 3，B 4的销售量（假定单位为t ）以及各工厂到销售点的单位运价（元/t ）示于下表中，问如何调运才能使总运费最小？表解：一、该运输问题的数学模型为：可以证明：约束矩阵的秩为r (A) = 6. 从而基变量的个数为 6.34333231242322213141141312116115893102114124min x x x x x x x x x x x x x c z i j ij ij +++++++++++==∑∑==⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=++=++=++=++=+++=+++=+++4,3,2,1;3,2,1,01412148221016342414332313322212312111343332312423222114131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ij 111213142122232431323334x x x x x x x x x x x x 712111111111111111111111111⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭二、给出运输问题的初始可行解（初始调运方案）1. 最小元素法思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。
其余（非基）变量全等于零。
此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6（等于m+n-1=3+4-1=6).总运费为（目标函数值） ,1013=x ,821=x ,223=x ,1432=x ,834=x ,614=x ∑∑===3141i j ijij x c Z2. 伏格尔（Vogel)法伏格尔法的基本思想：运输表中各行各列的最小运价与次小运价之差值（罚数）应尽可能地小。
或者说：优先供应罚数最大行（或列）中最小运费的方格，以避免将运量分配到该行（或该列）次小运距的方格中。
《运筹学》第三章：运输问题培训课件
确定初始可行解方法一：西北角 法
门市部 工厂
1
2
3
4 供应总计
9
12
9
6
1
50
7
3
7
7
2
60
6
5
9
11
3
50
需求总计 40 40 60 20
确定初始可行解方法一：西北角 法
门市部 工厂
1
2
3
4 供应总计
9
12
9
6
1
50
40 10
7
3
7
7
2
30 30
60
6
5
9
11
3
30 20
50
需求总计 40 40 60 20
2
34
9 12 9 6
1
40
10
U1
7
3
7
7
2
★
40
20
U2
3
6
5
9
11
40
10
U3
V1 V2 V3 V4
21 (7 6 9) (9 11 7) 5
继续求检验数
门市部
工厂
1
2
3
4
供应总 计
9 12 9 6
1
40 （12） （5）
10
50
7
3
7
7
2
(-5) 40
20 （-2） 60
3
6
计算检验数方法一：闭合回 路法
门市部 工厂
1
9 1
40
7 2
6 3
需求总计 40
2
3
运筹学基础及应用第3章-运输问题(胡运权)
产地Ai（i=1,...,n）分配到销地Bj（j=1,...,n） 物资的和=产地Ai的产量ai 销地Bj（j=1,...,n）接收到产地Ai（i=1,...,n） 分配的物资和<销地Bj的产量bj
产量<销量
1.运输规划问题的典例和数学模型 特征：
1、平衡运输问题必有可行解，也必有最优解； 2、运输问题的基本可行解中应包括 m+n－1 个 基变量。
运筹学基础及应用
Operations Research
运 筹 帷 幄 之 中
第三章
运输问题
决 胜 千 里 之
Transportation Problem
外
目
1
运输规划问题的典例和数学模型 表上作业法 运输问题的应用
录
CONTENTS
2
3
1.运输规划问题的典例和数学模型
例3.1 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1, B2, B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件 物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最 小？
48
列差额
例3.4 某运输资料如下表所示：
销地 产地 A1 2 10
2.表上作业法
B2 B3
12 4
B1
4
B4
11
产量
行差额
16 3 9
0
A2
10
1
8 A3
5
11
6 22 2
14
销量 8 2 14 12 1
8
14 3 48
列差额
2.表上作业法
例3.4 某运输资料如下表所示：
销地 产地 A1 2 10 3 9 B1 4 B2 12 B3 4 B4 11 16 0 产量
产量<销量
1.运输规划问题的典例和数学模型 特征：
1、平衡运输问题必有可行解，也必有最优解； 2、运输问题的基本可行解中应包括 m+n－1 个 基变量。
运筹学基础及应用
Operations Research
运 筹 帷 幄 之 中
第三章
运输问题
决 胜 千 里 之
Transportation Problem
外
目
1
运输规划问题的典例和数学模型 表上作业法 运输问题的应用
录
CONTENTS
2
3
1.运输规划问题的典例和数学模型
例3.1 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1, B2, B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件 物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最 小？
48
列差额
例3.4 某运输资料如下表所示：
销地 产地 A1 2 10
2.表上作业法
B2 B3
12 4
B1
4
B4
11
产量
行差额
16 3 9
0
A2
10
1
8 A3
5
11
6 22 2
14
销量 8 2 14 12 1
8
14 3 48
列差额
2.表上作业法
例3.4 某运输资料如下表所示：
销地 产地 A1 2 10 3 9 B1 4 B2 12 B3 4 B4 11 16 0 产量
二三版兼用《运筹学教程》胡运权主编课后习题答案(第三章)
表3-37
城市
电站
1
2
3
Ⅰ
15
18
22
Ⅱ
21
25
16
第三章习题解答
习题3.12的解答
城市 城市
电站
1-1
城市 1-2
城市2
城市 3-1
城市 3-2
产量
Ⅰ
150 15
15 250 18
22
22 400
Ⅱ
140 21
第三章习题解答
表3-35
食品厂
面粉厂
1
2
3
产量
Ⅰ
3 10
2 20
Ⅱ
4 11
8 30
Ⅲ
8 11
4 20
销量
15 25 20
第三章习题解答
习题3.10的解答
食品厂 面粉厂
Ⅰ Ⅱ Ⅲ 销量
1
3 15 4
8 15
2
10 5 11 20 11 25
3
20 2 8 4
20
4
0 10 0
0 10
产量
20 30 20
B3
B4 产量
A1 A2 A3 销量
3
7
6
45
2
4
3
22
4
3
8
56
3
3
2
2
第三章习题解答
习题3.9的解答
销地
产地
B1 B2 B3 B4 B5 产量A1源自33 7 6 24 0 5
A2
2 4 23 2 0 2
A3 销量
4 33 8 5 30 6 33223
第三章习题解答
3.10 某市有三个面粉厂，它们供给三个面食加工 厂所需的面粉。各面粉厂的产量、各面食加工厂加工 面粉的能力、各面食加工厂和各面粉厂之间的单位运 价，均表示于表3-35中。假定在第1，2和3面食加工厂 制作单位面粉食品的利润分别为12元、16元和11元， 试确定使总效益最大的面粉分配计划(假定面粉厂和面 食加工厂都属于同一个主管单位)。
城市
电站
1
2
3
Ⅰ
15
18
22
Ⅱ
21
25
16
第三章习题解答
习题3.12的解答
城市 城市
电站
1-1
城市 1-2
城市2
城市 3-1
城市 3-2
产量
Ⅰ
150 15
15 250 18
22
22 400
Ⅱ
140 21
第三章习题解答
表3-35
食品厂
面粉厂
1
2
3
产量
Ⅰ
3 10
2 20
Ⅱ
4 11
8 30
Ⅲ
8 11
4 20
销量
15 25 20
第三章习题解答
习题3.10的解答
食品厂 面粉厂
Ⅰ Ⅱ Ⅲ 销量
1
3 15 4
8 15
2
10 5 11 20 11 25
3
20 2 8 4
20
4
0 10 0
0 10
产量
20 30 20
B3
B4 产量
A1 A2 A3 销量
3
7
6
45
2
4
3
22
4
3
8
56
3
3
2
2
第三章习题解答
习题3.9的解答
销地
产地
B1 B2 B3 B4 B5 产量A1源自33 7 6 24 0 5
A2
2 4 23 2 0 2
A3 销量
4 33 8 5 30 6 33223
第三章习题解答
3.10 某市有三个面粉厂，它们供给三个面食加工 厂所需的面粉。各面粉厂的产量、各面食加工厂加工 面粉的能力、各面食加工厂和各面粉厂之间的单位运 价，均表示于表3-35中。假定在第1，2和3面食加工厂 制作单位面粉食品的利润分别为12元、16元和11元， 试确定使总效益最大的面粉分配计划(假定面粉厂和面 食加工厂都属于同一个主管单位)。
运筹学 第三章 运输问题
（或者在同时划去Ai行与Bj列时，在该行或该列的任意空格处填加一 个0。）
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为 m+n-1个。
2021/3/14
14
2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
同理可以求得 v4=10，u2= -1，等等见上表。
检验数的求法，即用公式 ijciju，i vj
如 1 1 c 1 1 u 1 v 1 3 0 2 1 。
2021/3/14
23
位势法计算检验数：
检验数： ijcijCBB1Pij
cijYiP jcij(u1,..u.m , ,v1,.v.n.)Pij
3
B4
ui
3 10
0
-1 8
-1
35
-5
10
B1
3
31
7
2
B2
11 9
64
9
B3
4(+1) 3 1 (-1) 2
10
3
B4
ui
3(-1) 10
0
+1 8
-1
35
-5
10
2021/3/14
26
调整运量后的新方案：
销地
产地
B1
A1
A2
3
A3
B2
B3
5
6
销量
3
6
5
B4
产量
2
7
1
4
3
9
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为 m+n-1个。
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14
2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
同理可以求得 v4=10，u2= -1，等等见上表。
检验数的求法，即用公式 ijciju，i vj
如 1 1 c 1 1 u 1 v 1 3 0 2 1 。
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23
位势法计算检验数：
检验数： ijcijCBB1Pij
cijYiP jcij(u1,..u.m , ,v1,.v.n.)Pij
3
B4
ui
3 10
0
-1 8
-1
35
-5
10
B1
3
31
7
2
B2
11 9
64
9
B3
4(+1) 3 1 (-1) 2
10
3
B4
ui
3(-1) 10
0
+1 8
-1
35
-5
10
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26
调整运量后的新方案：
销地
产地
B1
A1
A2
3
A3
B2
B3
5
6
销量
3
6
5
B4
产量
2
7
1
4
3
9
运筹学 第三版 清华大学出版社 第3章运输问题
运输问题应用—建模
1
1.运输问题的数学模型.
问题的提出 一般的运输问题就是要解决把 某种产品从若干个产地调运到若干个 销地，在每个产地的供应量与每个销 地的需求量已知，并知道各地之间的 运输单价的前提下，如何确定一个使 得总的运输费用最小的方案。
2
例3.1:某公司从两个产地A1、A2将物 品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的 产量、各销地的销量和各产地运往各销 地每件物品的运费如下表所示，问：应 如何调运可使总运输费用最小？
32
2.运输问题求解 —表上作业法
1、初始基本可行解的确定 （1）西北角法：从西北角（左上 角）格开始，在格内的右下角标上允 许取得的最大数。然后按行（列）标 下一格的数。若某行（列）的产量 （销量）已满足，则把该行（列）的 其他格划去。如此进行下去，直至得 到一个基本可行解。
33
2.运输问题求解 —表上作业法
表3-3 运输问题数据表
销地 产地
B1 c11 c21
B2 … Bn c12 … c1n c22 … c2n
产量
┇
A1 A2
┇
┇
Am
销量
cm1 b1
cm2 b2
┇ ┇ … cmn
┇
a1 a2
am
… bn
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运 输量，根据这个运输问题的要求，可以建立 9 运输变量表（表 3-4）。
2.运输问题求解 —表上作业法
一、初始基本可行解的确定
根据上面的讨论，要求得运输 问题的初始基本可行解，必须保证 找到 m + n – 1 个不构成闭回路的 基变量。 一般的方法步骤如下：
26
2.运输问题求解 —表上作业法
最新《运筹学》胡运权 第4版 第三章 运输问题培训讲学
i=1 j=1
10 x22 3 x23 9 x24 8 x31 5 x32 11x33 6x34
x11 x12 x13 x14 =1 6
x
2
1
x22
x23
x24 =10
x
31
x32
x33
x34 = 22
s
.
t
.
x11 x12
x21 x22
x31 = 8 x32 =14
始
的产量（销量）已满足，则把
基
该行（列）的其他格划去。如
可
此进行下去，直至得到一个基
行
本可行解。
解
2.西北角法
寻 找 初 始
销地
产地
B1
B2
B3 B4 产量
A1 A2 A3 销量
4
8 12
4
11 16
②
82
6 10 4 3
9 10
④
8
5 8 11 14 6 22
⑥
8
14
12
14
48
基
①
③⑤
⑥
可
34
型
§1
对产销平衡运输问题，除上述
运
两个特点外，还有以下特点：
输
(1) 所有结构约束条件都是等式
问
约束；
题
(2) 各产地产量之和等于各销地
及
销量之和。
其
数
学
模
型
§1 运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
例1 某部门有3个生产同类产品的工厂(产地)，生产
的产品由4个销售点(销地)出售，各工厂的生产量、 各销售点的销售量(假定单位均为t)以及各工厂到 各销售点的单位运价(元／t)示于表3-2中，要求研 究产品如何调运才能使总运费最小?
《运筹学》第三章 运输问题
销量 3 6 5 6
A1 A2 A3
销量
B1 B1 B3 B4
2 1
6
5
3 3
3656
产量
7 4 9
精品课件
24
例：
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 2 6 A2 3 (1) 2 (-1) 5 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 6 5
B1 B2 B3 B4 产量
(3) 在进行调运方案改进时，若沿闭合回路出现多个可作为 调出变量的数字格（即闭回路上的数字格最小值有多 个），此时，任选一个为调出变量，其余的填0，保证调 整后的调运方案中仍有m+n-1个数字格。
精品课件
23
例：
B1 B1 B3 B4 产量
A1 (0) (2) 5 2 7 A2 3 (2) (1) 1 4 A3 (9) 6 (12) 3 9
产 销 平 衡 表
单 位 运 价 表
精品课件
7
一般模 型表示 (ai=bj)
精品课件
8
三、模型的特点
1.变量数：mn个 2.约束方程数：m+n个
最大独立方程数：m+n-1 3.系数列向量结构：
0
Pij= 1 ——第i个分量
1 ——第m+j个分量 0
…… …
精品课件
9
······
······
x11 x12 ······ x1n x21 x22 ······ x2n ,············, xm1 xm2 ······ xmn
第3章 运输问题
精品课件
1
3.1 运输问题的典例和数学模型 3.2 运输问题的求解方法：表上作业 法 3.3 几类特殊的运输问题
运筹学(第三版)：第3章 运输问题
mn
min z cijxij
i1 j1
m xij bj j 1,2,, n
i 1
n
s.t.
xij
aij
i
1,2,, m
j1
xij 0
(3 1) (3 2)
清华大学出版社
4
第1节 运输问题的数学模型
❖ 这就是运输问题的数学模型。它包含m×n个变量，(m+n) 个约束方程，其系数矩阵的结构比较松散，且特殊。
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
43 7
A2
3
1
4
A3
6
39
销量
36 56
清华大学出版社
14
2.1 确定初始基可行解
用最小元素法给出的初始解是运输问题的基可行解，其理由为：
❖ (1) 用最小元素法给出的初始解，是从单位运价表中逐次地 挑选最小元素，并比较产量和销量。当产大于销，划去该 元素所在列。当产小于销，划去该元素所在行。然后在未 划去的元素中再找最小元素，再确定供应关系。这样在产 销平衡表上每填入一个数字，在运价表上就划去一行或一 列。表中共有m行n列，总共可划(n+m)条直线。但当表中只 剩一个元素时，这时当在产销平衡表上填这个数字时，而 在运价表上同时划去一行和一列。此时把单价表上所有元 素都划去了，相应地在产销平衡表上填了(m+n-1)个数字。 即给出了(m+n-1)个基变量的值。
清华大学出版社
18
2.1 确定初始基可行解
❖ 伏格尔法的步骤是：
❖ 第一步：在表3-3中分别计算出各行和各列的最小运费和次 最小运费的差额，并填入该表的最右列和最下行，见表310。
运筹学(第三章)课件
i =1
例1：
某市有三个造纸厂A1,A2和A3，其纸的产量分别为 8，5和9个单位。由各造纸厂到各用户的单位运价 如表所示，请确定总运费最少的调运方案。
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1 3 11 6
4
B2 12 2 7
3
B3 3 5 1
5
B4
产量
4 8
9 5
5 9
6
运筹学(第三章)
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1 4
8
2
8
8
B2
12
8
10
6
5
14
B3
4
3
4
11
8
12
B4
产量
11
16 ②
9
10 ④
6
14
22 ⑥
14
48
①
③
⑤
⑥
8×4+8×12 +6×10+4×3+8×11+14×6= 372（元）
运筹学(第三章)
最小元素法——每次找最小元素
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1 4
2
8
8
8
B2 12
价为 cij (i = 1,2,..., m; n = 1,2,..., n) ，又假设产销是平衡的，即：
m
n
ai = b j ，问应如何安排运输可使总运费最小？
i =1
j =1
运筹学(第三章)
二、运输问题的数学模型
假定 xij 表示由 Ai 到 B j 的运输量，则平衡条件下的运输问题可写出
用表上作业法求解运输问题
管理运筹学讲义第3章运输问题
为水平的，或为垂直的； • ② 闭回路的每一条边（水平的或垂直的）均有 且仅有两个顶点（基变量格）。
• 可以证明，如果对闭回路的方向不加区别， 对每一个非基变量可以找到而且只能找到唯一的 一个闭回路。
•38
•所谓闭回路法，就是对于代表非基变量的 空格（其调运量为零），把它的调运量调 整为1，由于产销平衡的要求,我们必须对 这个空格的闭回路的顶点的调运量加上或 减少1。最后我们计算出由这些变化给整个 运输方案的总运输费带来的变化。如果所 有代表非基变量的空格的检验数也即非基 变量的检验数都大于等于零，则已求得最 优解，否则继续迭代找出最优解。
•39
•方法：对每个非基变量 xij 其检验数为 • ij = (闭回路上的奇数次顶点单位运费之和
) - (闭回路上的偶数次顶点单位运费之和)
销
产
B1 B2 B3 B4 产量 B1 B2 B3 B4
A1
4 3 7 3 11 3 10
A2 3
1
4 19 2 8
A3
6
3 9 7 4 10 5
需求 3 6 5 6 20
•
xij ≥ 0 ( i = 1、2、3；j = 1、2、3
•6
•其系数矩阵为 ：
•共有 m+n 行，分别表示产地和销地；有 mn 列分别 表示各变量；每列只有两个 1，其余为 0 。
•7
运输问题的一般提法是：设某种物资有m个产地和n个
销地。产地Ai的产量为
；
销地Bj的销量为
。从第i个产地向
第j个销地运输每单位物资的运价为Cij，这就是由多个
上从一个代表非基变量的空格出发，沿水平或垂 直方向前进，只有遇到代表基变量的填入数字的 格才能向左或右转90度（当然也可以不改变方向 ）继续前进，这样继续下去，直至回到出发的那 个空格，由此形成的封闭折线叫做闭回路。一个 空格存在唯一的闭回路。
• 可以证明，如果对闭回路的方向不加区别， 对每一个非基变量可以找到而且只能找到唯一的 一个闭回路。
•38
•所谓闭回路法，就是对于代表非基变量的 空格（其调运量为零），把它的调运量调 整为1，由于产销平衡的要求,我们必须对 这个空格的闭回路的顶点的调运量加上或 减少1。最后我们计算出由这些变化给整个 运输方案的总运输费带来的变化。如果所 有代表非基变量的空格的检验数也即非基 变量的检验数都大于等于零，则已求得最 优解，否则继续迭代找出最优解。
•39
•方法：对每个非基变量 xij 其检验数为 • ij = (闭回路上的奇数次顶点单位运费之和
) - (闭回路上的偶数次顶点单位运费之和)
销
产
B1 B2 B3 B4 产量 B1 B2 B3 B4
A1
4 3 7 3 11 3 10
A2 3
1
4 19 2 8
A3
6
3 9 7 4 10 5
需求 3 6 5 6 20
•
xij ≥ 0 ( i = 1、2、3；j = 1、2、3
•6
•其系数矩阵为 ：
•共有 m+n 行，分别表示产地和销地；有 mn 列分别 表示各变量；每列只有两个 1，其余为 0 。
•7
运输问题的一般提法是：设某种物资有m个产地和n个
销地。产地Ai的产量为
；
销地Bj的销量为
。从第i个产地向
第j个销地运输每单位物资的运价为Cij，这就是由多个
上从一个代表非基变量的空格出发，沿水平或垂 直方向前进，只有遇到代表基变量的填入数字的 格才能向左或右转90度（当然也可以不改变方向 ）继续前进，这样继续下去，直至回到出发的那 个空格，由此形成的封闭折线叫做闭回路。一个 空格存在唯一的闭回路。
管理运筹学 第3章 运输问题
j 1
m
s.t.
xij bj ( j 1, 2,L , n)
i 1
xij 0
2.产量小于销量（
m
ai
n
＜
bj ）
i 1
j 1
mn
min z
cij xij
i 1 j 1
n
xij ai (i 1, 2,L , m)
j 1
m
s.t.
xij bj ( j 1, 2,L , n)
方法:最小元素法,即对单位运价最小的变量先分 配运输量.
例、食品公司有三个生产面包的分厂A1，A2，A3，有四个销 售公司B1，B2，B3，B4，其各分厂每日的产量、各销售公司 每日的销量以及各分厂到各销售公司的单位运价如表所示， 在表中产量与销量的单位为吨，运价的单位为百元/吨。问 该公司应如何调运产品在满足各销点的需求量的前提下总运 费最少？
季度 生产能力(台) 单位成本(万元)
1
25
10.8
2
35
11.1
3
30
11.0
4
10
11.3
解: 设xij为第i季度生产的第j季度交货的柴油机的数目 Cij为第i季度生产的第j季度交货的每台柴油机的 实际成本.
j
i
1
2
3
4
1
10.8 10.95 11.10 11.25
2
11.10 11.25 11.40
25
销量
60 40 20 15
销地 产地
A B C 销量
甲
4 2 8
8
乙
12 10 5
14
丙
4 3 11
m
s.t.
xij bj ( j 1, 2,L , n)
i 1
xij 0
2.产量小于销量（
m
ai
n
＜
bj ）
i 1
j 1
mn
min z
cij xij
i 1 j 1
n
xij ai (i 1, 2,L , m)
j 1
m
s.t.
xij bj ( j 1, 2,L , n)
方法:最小元素法,即对单位运价最小的变量先分 配运输量.
例、食品公司有三个生产面包的分厂A1，A2，A3，有四个销 售公司B1，B2，B3，B4，其各分厂每日的产量、各销售公司 每日的销量以及各分厂到各销售公司的单位运价如表所示， 在表中产量与销量的单位为吨，运价的单位为百元/吨。问 该公司应如何调运产品在满足各销点的需求量的前提下总运 费最少？
季度 生产能力(台) 单位成本(万元)
1
25
10.8
2
35
11.1
3
30
11.0
4
10
11.3
解: 设xij为第i季度生产的第j季度交货的柴油机的数目 Cij为第i季度生产的第j季度交货的每台柴油机的 实际成本.
j
i
1
2
3
4
1
10.8 10.95 11.10 11.25
2
11.10 11.25 11.40
25
销量
60 40 20 15
销地 产地
A B C 销量
甲
4 2 8
8
乙
12 10 5
14
丙
4 3 11
运筹学基础及应用运输问题胡运权
x12
…
c21
c22
A2
x21
x22
…
Bn c1n
x1n c2n
x2n
产量 a1 a2
┇
Am 销量
┇
┇
┇
cm
cm
1
2
…
xm1
xm2
b1
b1
…
┇
┇
cmn
xmn
am
bn
1.运输规划问题的典例和数学模型 运输问题的求解思路
基本可行解
是
是否最优解
结束
否
换基
2.表上作业法
计算步骤： (1) 找出初始调运方案。即在(m×n)产销平衡表上给出 m+n-1个数字格。(最小元素法、西北角法或伏格尔法）
运筹学基础及应用
Operations Research
运
第三章
决
筹
胜
帷
运输问题
千
幄
里
之
之
中
Transportation Problem
外
1 运输规划问题的典例和数学模型 2 表上作业法 3 运输问题的应用
CONTENTS
目
录
1.运输规划问题的典例和数学模型
例B33，.1各某产公地司的从产两量个、产各地销A地1、的A销2将量物和品各运产往地三运个往销各地销B地1每, B件2, 物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最 小？
步骤
描述
方法
第一步 求初始基行可行解（初始调运方案）
最小元素法、西 北角法、 伏格尔法
第二步
求检验数并判断是否得到最优解当非基变量的检验
数σi j全都非负(求min)时得到最优解，若存在检 验数σi j <0，说明还没有达到最优，转第三步。
运筹学第三版之第三章运输问题
xi1 j1 , xi1 j2 , xi2 j2 , xi2 j3 , ..., xis js , xis j1 或xi1 j1 , xi2 j1 , xi2 j2 , xi3 j2 , ..., xis js , xi1 js
其中i1 ,i2 ,...,is互不相同，j1 , j2 ,..., js互不相同形式的变量
由于cij 0 i 1,...,m , j 1,...,n，所以对于任意一个可行解xij，
问题3.1的目标函数值都大于等于零，即目标函数值
有下界零。对于求极小值问题，目标函数值有下界，则必有最优值
x11 x12 x1n x21x22 x2n xm1xm2 xmn
1 1 ... 1
A 1
1
试制定一个调运方案，使得总运费最省？
设xij为运量
min Z 2 x11 9 x12 10 x13 7 x14 x21 3x22 4 x23 2 x24
8x31 4 x32 2 x33 5x34
x11 x12 x13 x14 9
x21
x22
x23
x24
5
x31
x32
x33
x34
7
s .t
.
x11 x12
x21 x22
x31 x32
3 8
x13
x23
x33
4
x14 x24 x34 6
xij
0i
1,2,3,
j
1,2,3,4
数学模型的一般形式 已知资料如下：
单位 销 运价 地
产地
B1
Bn
产 量
A1
c11 c1n a1
Am
销量
cm1 cmn am b1 bn
其中i1 ,i2 ,...,is互不相同，j1 , j2 ,..., js互不相同形式的变量
由于cij 0 i 1,...,m , j 1,...,n，所以对于任意一个可行解xij，
问题3.1的目标函数值都大于等于零，即目标函数值
有下界零。对于求极小值问题，目标函数值有下界，则必有最优值
x11 x12 x1n x21x22 x2n xm1xm2 xmn
1 1 ... 1
A 1
1
试制定一个调运方案，使得总运费最省？
设xij为运量
min Z 2 x11 9 x12 10 x13 7 x14 x21 3x22 4 x23 2 x24
8x31 4 x32 2 x33 5x34
x11 x12 x13 x14 9
x21
x22
x23
x24
5
x31
x32
x33
x34
7
s .t
.
x11 x12
x21 x22
x31 x32
3 8
x13
x23
x33
4
x14 x24 x34 6
xij
0i
1,2,3,
j
1,2,3,4
数学模型的一般形式 已知资料如下：
单位 销 运价 地
产地
B1
Bn
产 量
A1
c11 c1n a1
Am
销量
cm1 cmn am b1 bn
运筹学课件：第三章 运输问题[1]
![运筹学课件：第三章 运输问题[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/2704103ce009581b6ad9eb1f.png)
实例
某公司下属两个工厂，生产同一种产品。产品均可运往三个中心 仓库去销售。已知每个工厂的产量，各仓库的销量及各工厂到每 个仓库的运输单价如下表所示。问如何组织调运可使生产与运输 的总费用最少?
Operation Research
运输问题的数学模型（2）
建立模型
第七讲
Operation Research
运输问题检验数的计算公式
第七讲
求解检验数的关键在于如何确定ui和vj
Operation Research 求解ui和vj
第七讲
Operation Research
表上作业法（8）
第七讲
运输问题解的讨论
有无穷多最优解
空格（非基变量）的检验数全部大于等于0，并且某个空格（非基变量） 的检验数为0。
Operation Research
运输问题的数学模型（4）
建立模型
第七讲
Operation Research
第七讲
运输问题的数学模型（5）
Operation Research
运输问题的特征（1）
产销平衡的运输问题必有可行解也必有最优解 运输问题的约束条件矩阵属于大型稀疏矩阵
第七讲
Operation Research
Operation Research
表上作业法（4）
第七讲
确定初始基可行解——伏格尔（Vogel)法
基本思路：元素差额法，在一行（或一列）中，算出最小元素和 次小元素的差额，如果差额很大，则优先用最小元素所对应的供 应关系供应。
方法：
（1）分别计算各行和各列的最小运费和次小运费差额，并填入表中；
在整个运输系统内部，各类点之间的运输关系为：
Q
某公司下属两个工厂，生产同一种产品。产品均可运往三个中心 仓库去销售。已知每个工厂的产量，各仓库的销量及各工厂到每 个仓库的运输单价如下表所示。问如何组织调运可使生产与运输 的总费用最少?
Operation Research
运输问题的数学模型（2）
建立模型
第七讲
Operation Research
运输问题检验数的计算公式
第七讲
求解检验数的关键在于如何确定ui和vj
Operation Research 求解ui和vj
第七讲
Operation Research
表上作业法（8）
第七讲
运输问题解的讨论
有无穷多最优解
空格（非基变量）的检验数全部大于等于0，并且某个空格（非基变量） 的检验数为0。
Operation Research
运输问题的数学模型（4）
建立模型
第七讲
Operation Research
第七讲
运输问题的数学模型（5）
Operation Research
运输问题的特征（1）
产销平衡的运输问题必有可行解也必有最优解 运输问题的约束条件矩阵属于大型稀疏矩阵
第七讲
Operation Research
Operation Research
表上作业法（4）
第七讲
确定初始基可行解——伏格尔（Vogel)法
基本思路：元素差额法，在一行（或一列）中，算出最小元素和 次小元素的差额，如果差额很大，则优先用最小元素所对应的供 应关系供应。
方法：
（1）分别计算各行和各列的最小运费和次小运费差额，并填入表中；
在整个运输系统内部，各类点之间的运输关系为：
Q
第三章--运输问题--运筹学
地运往B 设：诸如这类有多个不同的生产、消费者，如何合理不同的生产者和消费者之 xij—— 从Ai地运往Bj地的货物数量 诸如这类有多个不同的生产、消费者，
间的分配关系， 3x + 4x + 2x + 3x + 5x + 3x 间的分配关系，达到最小费用的问题也运筹学最重要的问题之一。 运价 min z= 达到最小费用的问题也运筹学最重要的问题之一。我们把这种 11 13 21 22 23 分派问题称为运输问题 运输问题。 分派问题称为运输问题。 12 x11 + x12 + x13 广义的 运输” = 10 在运筹学中，运输问题是一个广义 在运筹学中，运输问题是一个广义的 “运输”，即许多其它问题也可以通 x21 + x22 + x23 过适当的手段，把它们转化为运输问题加以解决。 = 4 过适当的手段，把它们转化为运输问题加以解决。这部分也是我们这学期主要 约束 st. + x21 = 3 学习内容之一。 学习内容之一。 x11 条件 x12 + x22 = 5 x13 + x23 = 6 xij ≥ 0
运输问题的数学模型（假定产销平衡）
若由以上方程组解得的某组解满足对偶问题约束条件， 若由以上方程组解得的某组解满足对偶问题约束条件，这 时可以证明： 时可以证明：
X = (X B, X
N
) = ( x x 1 j 1 , x i 2 j 2 , L x isjs , 0 , 0 , L , 0 ) T
2）运输问题系数矩阵非常特殊 ） 4）一般运输问题约束有一个多余的约束 ）
5）一般运输问题都是产销平衡的（不平衡问题要化为平衡问题） ）一般运输问题都是产销平衡的（不平衡问题要化为平衡问题） 6）一般产 、销n有（m*n）个变量和（m+n）个约束（没有去掉多余） ）一般产m、 有 ）个变量和（ ）个约束（没有去掉多余） 7）产m、销n运输问题最多有（m+n-1）个值为非零的变量 ） 运输问题最多有（ 、 运输问题最多有 ） 因为有一个约束多余， 因为有一个约束多余，既R（A）= m+n-1 （ ）
运筹学胡运权第3章课件
④
B3 3 2
① ③
B4 10 8 5
③
ai 7 4 9 20
9 4
⑥
10 5 6
6
在调运方案表中，12个格子分成两类： （1） 有数字格（基格） 填写了调运量的格子，对应 解中的基变量。（用白圈表示） （2） 空格 未填写调运量的格子，对应解中的非基变 量，其对应变量在该方案中取值为0。（用蓝圈表示）
③
ai 7 4 9 20
9 4
⑥
10 5 6
6
空格（A1,B1）的闭回路
ú µ ² Ø ú µ Ï Ø A1 A2 A3 bj 3
③
B1 3 1 7
B2 11 9
B3
④ ④ ①
B4 3 2 10
③ ③
ai 10 8 5 7 4 9 20
4
⑥
6
5
6
空格（A2,B2）的闭回路
ú µ ² Ø
ú µ Ï Ø A1 A2 A3 bj
第三章
运输问题
Transportation Problem
§3.1 运输问题的典例和数学模型
例 某食品公司经营糖果业务，公司下设三个加工厂A1、 A2、A3，四个销售门市部B1、B2、B3、B4。已知每天各自的 生产量、销售量及调运时的单位糖果的运输费用等情况。 问：如何调运可使总费用最小？ 生产量：A1——7吨，A2——4吨，A3——9吨
B1 3 1
③
B2 11
B3
④
B4 3 2 10
③ ③
ai 10 8 5 7 4 9 20
9 ① 4
⑥
7 3 6
5
6
空格（A1,B2）的闭回路
ú µ ² Ø
ú µ Ï Ø A1 A2 A3 bj
B3 3 2
① ③
B4 10 8 5
③
ai 7 4 9 20
9 4
⑥
10 5 6
6
在调运方案表中，12个格子分成两类： （1） 有数字格（基格） 填写了调运量的格子，对应 解中的基变量。（用白圈表示） （2） 空格 未填写调运量的格子，对应解中的非基变 量，其对应变量在该方案中取值为0。（用蓝圈表示）
③
ai 7 4 9 20
9 4
⑥
10 5 6
6
空格（A1,B1）的闭回路
ú µ ² Ø ú µ Ï Ø A1 A2 A3 bj 3
③
B1 3 1 7
B2 11 9
B3
④ ④ ①
B4 3 2 10
③ ③
ai 10 8 5 7 4 9 20
4
⑥
6
5
6
空格（A2,B2）的闭回路
ú µ ² Ø
ú µ Ï Ø A1 A2 A3 bj
第三章
运输问题
Transportation Problem
§3.1 运输问题的典例和数学模型
例 某食品公司经营糖果业务，公司下设三个加工厂A1、 A2、A3，四个销售门市部B1、B2、B3、B4。已知每天各自的 生产量、销售量及调运时的单位糖果的运输费用等情况。 问：如何调运可使总费用最小？ 生产量：A1——7吨，A2——4吨，A3——9吨
B1 3 1
③
B2 11
B3
④
B4 3 2 10
③ ③
ai 10 8 5 7 4 9 20
9 ① 4
⑥
7 3 6
5
6
空格（A1,B2）的闭回路
ú µ ² Ø
ú µ Ï Ø A1 A2 A3 bj
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8 14 5
11
产
B4
量
6（-2）11 16
（+2） 9 10
8 6 22
销量
8 14
12
14
48
5、需要注意的问题
解
（一）多个空格（非基变量） 的检验数为负，任一个都可作为
的
换入变量。一般σij<0中最小的对
最
应变量作为换入变量。
优
（二）最优解时，如果有某
性
非基变量的检验数为0，则说明
检
该运输问题有无穷多最有解。
§1
对产销平衡运输问题，除上述
运
两个特点外，还有以下特点：
输
(1) 所有结构约束条件都是等式
问
约束；
题
(2) 各产地产量之和等于各销地
及
销量之和。
其
数
学
模
型
§1 运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
例1 某部门有3个生产同类产品的工厂(产地)，生产
的产品由4个销售点(销地)出售，各工厂的生产量、 各销售点的销售量(假定单位均为t)以及各工厂到 各销售点的单位运价(元／t)示于表3-2中，要求研 究产品如何调运才能使总运费最小?
B1 B2 B3 B4 量 ui
A1 A2 A3 销量
4
12 10 4
11 6
16
u1(1)
2 8
10 22 3
9 10 u2(0)
8
5
11 6 8
22 u3(-4)
8
14 12 14 48
vj
v1(2) v2(9) v3(3) v4(10)
u1 v2 4 u1 v4 11
其中 u2 v1 2 u2 v3 3
解
Y = (u1 ,u2 , ..,um , v1 , v2 , ...,vn )
的
对偶规划为
m
n
最
max z= aiui bjv j
i 1
j1
优
ui + v j cij
性 检
s.t. ij==11,,2..,,.n., m
验
ui
,v
的符号不限
j
检验数：目标函数的系数减去对偶变量之和
解
的 最
寻
内的右下角标上允许取得的最大数。
找
然后按运价从小到大顺序填数。若
初
某行（列）的产量（销量）已满足，
始
则把该行（列）的其他格划去。如
基 可
此进行下去，直至得到一个基本可 行解。
行 解
1.最小元素法
寻
销地
产地
B1
B2
B3 B4 产量
找
A1
4
12 10 4 6 11 16
⑥
初 始
A2 A3 销量
2
8
10 2 3
4.解的改进——闭回路调整法
解
改进的方法是在运输表中找出这个空 格对应的闭回路Lij，在满足所有约束条件
的
的前提下，使xij尽量增大并相应调整此闭 回路上其他顶点的运输量，以得到另一个
最
更好的基可行解。
优 性 检 验
表 3-11
销地 产地
A1 A2 A3
B1
B2
B3
4 12 （+2）10 4
8 2 10 （-2） 2 3
第三章 运输问题
本章 内容
运输问题及其数学模型 用表上作业法求解运输问题 运输问题的进一步讨论 应用问题举例
2
§1 问题的提出： 运
输
一般的运输问题就是要解 决把某种产品从若干个产地调
问
运到若干个销地，在每个产地
题
的供应量与每个销地的需求量
及
已知，并知道各地之间的运输
其
单价的前提下，如何确定一个 使得总的运输费用最小的方案。
数
学
模
型
§1 1.经典运输问题——单一品种物 运 资的运输调度问题
输
问
题
及
其
数
学
模
Ai到Bj的单位运价
型
由产地Ai运往销地Bj的物品数量
§1 运 输 问 题 5,000 及 其
6,000
数 学 模 2,500 型
网络表示：
产地
A1(a1)
x11
x12 x13 x1n
A2(a2)
…
Am(am)
x21
到的方案是不是最优方案。检
解
查的方法与单纯形方法中的原
的
理相同，即计算检验数。由于
最
目标要求极小，因此，当所有
优
的检验数都大于或等于零时该 调运方案就是最优方案；否则
性
就不是最优，需要进行调整。
检
下面介绍两种求检验数的方法：
验
闭回路法和对偶变量法。
1.闭回路法
闭回路：从空格出发，遇到数
字格可以旋转90度，最后回到空
1 1 1
11 1
m行
1 1 1
1
1
1
1
1
1 1
1
n行
1
§1
运输问题具有下述特点：
运
(1) 约束条件系数矩阵的元素等
输
于0或1；
问
(2) 约束条件系数矩阵的每一列
题
有两个非零元素，这对应于每
及
一个变量在前m个约束方程中
其 数
出现一次，在后n个约束方程 中也出现一次。
学
模
型
1.闭回路法（结合最小元素法的初始解）
解
的
销地
产地
B1
B2
B3
B4 产量
最
10
A1
1
4
2
12 2
4 6 11 16
优
A2
8 2 1 10
3
9
-1
10
性
A3
10
8 14
5
12
11
8
6
22
销量
8
14
12
14
48
检
检验数
验
σ11=c11-c21+c23-c13=4-2+3-4=1
σ24=c24-c14+c13-c23=9-11+4-3=-1<0,故知该
9 10
②
8
14 5
11 8 6 22
⑤
8
14 12
14
48
基
可
①
④③
⑥
行
34
解
总费用 z=
cij xij
i=1 j=1
=10×4+6×11+8×2+2×3+14×5+8×6=
246
2.西北角法
寻
从西北角（左上角）格开
找
始，在格内的右下角标上允许
初
取得的最大数。然后按行（列） 标下一格的数。若某行（列）
min Z = c11x11 + c12 x12 +...+c1n x1n +... +cm1xm1 +cm2 xm2 +...+cmn xmn
x11 x21
+ +
x12 x22
+ +
...+ ...+
x1n x2n
...... ...... ...... ...... ...... .......
10x22 3x23 9x24 8x31 5x32 11x33 6x34
x11 x12 x13 x14 =16
x21
x22
x23
x24
=10
x31
x32
x33
x34 =22
s.
t
.
x11 x12
x21 x22
x31 =8 x32 =14
x13
x23
x33
=12
x14 x24 x34 =14
始
的产量（销量）已满足，则把
基
该行（列）的其他格划去。如
可
此进行下去，直至得到一个基
行
本可行解。
解
2.西北角法
寻 找 初 始
销地
产地
B1
B2
B3 B4 产量
A1 A2 A3 销量
4
8 12
4
11 16
②
82
6 10 4 3
9 10
④
8
5 8 11 14 6 22
⑥
8
14
12
14
48
基
①
③⑤
⑥
可
34
运
N
输
换基
问
题
§2 二、表上作业法的步骤
用 （1）寻找初始基可行解；
表 最小元素法、西北角法、沃格尔法
上
作 业
（2）求出非基变量检验数（空格检验 数），判断是否为最优解；
法 闭回路法、位势法
求 （3）换基改进，找到新的基可行解
解 运
闭回路调整法
输 （4 ）重复（2）（3）
问
题
1.最小元素法
从运价最小的格开始，在格
验
（三）退化解。
本章 内容
运输问题及其数学模型 用表上作业法求解运输问题 运输问题的进一步讨论 应用问题举例
§3
运
输
产销不平衡的运输问题
问
有转运的运输问题
题
进
一
步
讨
论
m
n
1.当产大于销时，即 ai bj
i 1