新课标2016年高三数学寒假作业10

【KS5U 】新课标2016年高三数学寒假作业10一、选择题.1.已知集合A={（x ，y ）|x 2+y 2=1}，B={（x ，y ）|kx ﹣y≤2}，其中x ，y ∈R ，若A ⊆B ，则实数k 的取值范围是( )A ．[0，]B ．[﹣，0]C ．[﹣，]D ．[﹣，+∞）2.已知向量•（+2）=0，||=2，||=2，则向量，的夹角为( )A ．B ．C ．D ．3.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A ．-21B ． 32C ．3D ．23 4.在区间内随机取两个实数x ，y ，则满足y≥x 2﹣1的概率是( )A ．B ．C ．D ．5.已知i 是虚数单位，复数z=，则|z ﹣2|=( )A ．2B ．2C ．D ．1 6.函数f （x ）=2cos （ωx+）（ω＞0）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g （x ）=2sinωx 的图象，只需将函数f （x ）的图象( )A ．向左平移个单位长度 B ．向右平移个单位长度 C ．向右平移个单位长度 D ．向左平移个单位长度7.已知数列{a n}的通项公式是a n=，其前n项和S n=，则项数n等于( )A．13 B．10 C．9 D．68.已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是( )A．6 B．0 C．2 D．29.定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=( )A．1 B．C．﹣1 D．﹣10.设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，3]上有三个零点，则实数a的取值范围是( )A．（0，）B．（，e）C．（0，] D．[，）二．填空题.11.△ABC中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为．12.已知函数f（x）=x3+x2+mx+1在区间（﹣1，2）上不是单调函数，则实数m的取值范围是．13.某班有学生55人，现将所有学生按1，2，3，…，55随机编号．若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知编号为6，a，28，b，50号学生在样本中，则a+b= ．14.已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2，则三棱锥P﹣ABC的内切球的体积为．三、解答题.15.已知等差数列{a n}满足a2=4，a6+a8=18．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）求数列{}的前n项和．16.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为B．Q为抛物线y2=12x 的焦点，且•=0，2+=0．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过定点P（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点（M在P，N之间），设直线l的斜率为k （k＞0），在x轴上是否存在点A（m，0），使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．17.已知函数（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y﹣1=0平行，求a的值（2）求y=f（x）的单调区间和极值（3）当a=1，且x≥1时，证明：f（x）≤1．【KS5U】新课标2016年高三数学寒假作业101.C【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】集合A和B均为点的集合，所以可以考虑用数形结合求解．【解答】解：集合A为单位圆上的点，集合B表示恒过（0，﹣2）点的直线一侧的区域，若A⊆B，如下图所示：当直线kx﹣y﹣2=0与圆相切时，k=±，故k的范围为故选C【点评】本题考查集合的关系问题，注意数形结合思想的运用．2.B【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】由条件可得+2=0，求得 cos＜，＞的值．再由＜，＞∈，可得＜，＞的值．【解答】解：由已知||=2，||=2，向量•（+2）=0，可得+2=0，即4+2×2×2cos＜，＞=0，求得 cos＜，＞=﹣．再由＜，＞∈，可得＜，＞=，故选B．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，根据三角函数的值求角，属于中档题．3.C考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：根据所给数值执行循环语句，然后判定是否满足判断框中的条件，一旦满足条件就退出循环，输出结果．解答：解：模拟执行程序框图，可得i=0，A=3i=1，A=不满足条件i＞2015，i=2，A=不满足条件i＞2015，i=3，A=3不满足条件i＞2015，i=4，A=…不满足条件i＞2015，i=2015=3×671+2，A=不满足条件i＞2015，i=2016=3×672，A=3满足条件i＞2015，退出循环，输出A的值为3．故选：C．点评：本题主要考查了循环结构，是直到型循环，先执行循环，直到满足条件退出循环，属于基础题4.D【考点】几何概型．【专题】计算题；概率与统计．【分析】该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可．【解答】解：由题意可得，的区域为边长为2的正方形，面积为4，满足y≥x2﹣1的区域为图中阴影部分，面积为2+=∴满足y≥x2﹣1的概率是=．故选：D．【点评】本题主要考查了与面积有关的几何概率的求解，解题的关键是准确求出区域的面积，属于中档题．5.C【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的公式求模．【解答】解：∵z﹣2=﹣2=，∴|z﹣2|=．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6.C【考点】余弦函数的图象．【专题】数形结合；三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得函数的周期，可得ω值，由函数图象变换的规律可得．【解答】解：∵函数f（x）=2cos（ωx+）（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，∴函数f（x）=2cos（ωx+）的周期为π，∴=π，解得ω=2，∴f（x）=2cos（2x+），g（x）=2sin2x=2cos（2x﹣）=2cos，∴要得到函数g（x）=2sinωx的图象，只需将函数f（x）的图象向右平移个单位．故选：C【点评】本题考查正余弦函数的图象，涉及周期性和图象变换，属基础题．7.D【考点】数列的求和．【专题】计算题．【分析】先将数列的通项变形，再求和，利用已知条件建立方程，即可求得数列的项数n【解答】解：∵数列{a n}的通项公式是a n=，∴a n=1﹣，∴S n=（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）+…+（1﹣）=n﹣（+++…+）=n﹣=n﹣1+．由S n==n﹣1+，∴可得出n=6．故选D【点评】本题考查了数列的通项，考查数列的求和，解题时掌握公式是关键，属于基础题．8.A【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为4的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由作出可行域如图，由图可得A（a，﹣a），B（a，a），由，得a=2．∴A（2，﹣2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9.C【考点】函数的周期性；奇偶函数图象的对称性．【专题】计算题．【分析】根据对数函数的单调性，我们易判断出log220∈（4，5），结合已知中f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，利用函数的周期性与奇偶性，即可得到f（log220）的值．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数又∵f（x﹣2）=f（x+2）∴函数f（x）为周期为4是周期函数又∵log232＞log220＞log216∴4＜log220＜5∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）=﹣f（log2）又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，∴f（log2）=1故f（log220）=﹣1故选C【点评】本题考查的知识点是函数的周期性和奇偶函数图象的对称性，其中根据已知中f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）判断函数的奇偶性，并求出函数的周期是解答的关键．10.D【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先，画出函数f（x）=|lnx|的图象，然后，借助于图象，结合在区间（0，3]上有三个零点，进行判断．【解答】解：函数f（x）=|lnx|的图象如图示：当a≤0时，显然，不合乎题意，当a＞0时，如图示，当x∈（0，1]时，存在一个零点，当x＞1时，f（x）=lnx，可得g（x）=lnx﹣ax，（x∈（1，3]）g′（x）==，若g′（x）＜0，可得x＞，g（x）为减函数，若g′（x）＞0，可得x＜，g（x）为增函数，此时f（x）必须在[1，3]上有两个零点，∴解得，，在区间（0，3]上有三个零点时，，故选D．【点评】本题重点考查函数的零点，属于中档题，难度中等．11.【考点】正弦定理的应用；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】先利用余弦定理和已知条件求得BC，进而利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：由余弦定理可知cosB==﹣，求得BC=﹣8或3（舍负）∴△ABC的面积为•AB•BC•sinB=×5×3×=故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在求三角形面积过程中，利用两边和夹角来求解是常用的方法．12.﹣16＜m＜【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题．【分析】对函数进行求导，令导函数等于0在区间（﹣1，2）上有解，然后建立关系式，解之即可．【解答】解：y′=3x2+2x+m∵函数f（x）=x3+x2+mx+1在区间（﹣1，2）上不是单调函数∴y′=3x2+2x+m=0在区间（﹣1，2）上有解，即△=4﹣12m＞0，f（2）＞0∴﹣16＜m＜．故答案为：﹣16＜m＜．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．即当导数大于0是原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减，在区间（a，b）上存在极值，则在区间（a，b）上不单调．13.56【考点】系统抽样方法．【专题】计算题；概率与统计．【分析】求出样本间隔即可得到结论．解：∵样本容量为5，∴样本间隔为55÷5=11，∵编号为6，a，28，b，50号学生在样本中，∴a=17，b=39，∴a+b=56，故答案为：56．【点评】本题主要考查系统抽样的应用，根据条件求出样本间隔即可，比较基础．14.π【考点】球内接多面体．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据平面图形外接圆的半径求出三棱锥的棱长，再根据棱长求出高，然后根据体积公式计算即可．【解答】解：三棱锥P﹣ABC展开后为一等边三角形，设边长为a，则4=，∴a=6，∴三棱锥P﹣ABC棱长为3，三棱锥P﹣ABC的高为2，设内切球的半径为r，则4×=，∴r=，∴三棱锥P﹣ABC的内切球的体积为=π．故答案为：π．【点评】本题考查锥体的体积，考查等体积的运用，比较基础．15.【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（I）利用等差数列的通项公式即可得出；（II）利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=4，a6+a8=18．∴，解得：a1=3，d=1，故数列{a n}的通项公式为a n=3+（n﹣1）=2+n．（II）设数列的前n项和为S n，，∴，∴，化为．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）由已知Q（3，0），F1B⊥QB，|QF1|=4c=3+c，解得c=1．在Rt△F1BQ中，|BF2|=2c=2，所以a=2，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设l：y=kx+2（k＞0），M（x1，y1），N（x2，y2），取MN的中点为E（x0，y0）．假设存在点A（m，0），使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形，由，由此利用韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知Q（3，0），F1B⊥QB，|QF1|=4c=3+c，所以c=1．…在Rt△F1BQ中，F2为线段F1Q的中点，故|BF2|=2c=2，所以a=2．…于是椭圆C的标准方程为．…（Ⅱ）设l：y=kx+2（k＞0），M（x1，y1），N（x2，y2），取MN的中点为E（x0，y0）．假设存在点A（m，0），使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形，则AE⊥MN．，，又k＞0，所以．…因为，所以，．…因为AE⊥MN，所以，即，整理得．…因为时，，，所以．…【点评】本题考查椭圆C的标准方程的求法，考查在x轴上是否存在点A（m，0），使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形的确定与实数m的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．17.【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）欲求a的值，根据在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．再列出一个等式，最后解方程组即可得．（2）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，最后求出极值即可．（3）由（2）知，当a=1时，函数在[1，+∞）上是单调减函数，且，从而证得结论．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，所以．又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y﹣1=0平行，所以f'（1）=1﹣a=1，即a=0．（2）令f'（x）=0，得x=e1﹣a．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：由表可知：f（x）的单调递增区间是（0，e1﹣a），单调递减区间是（e1﹣a，+∞）．所以f（x）在x=e1﹣a处取得极大值，f（x）极大值=f（e1﹣a）=e a﹣1．（3）由（2）知，当a=1时，函数在[1，+∞）上是单调减函数，且，∴x≥1时，f（x）≤f（1）=1．【点评】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、导数的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查归与转化思想．属于基础题．。