第四章变量数列分析
第四章数列小结复习 课件——2021-2022学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
有限次步骤后，必进入1→4 →2 →1. 这就是数学史上著名
的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）. 如取正整数
= 3，根据上述运算法则得出3 →10 →5 →16 →8 →4
→2 →1，共需经过7个步骤变成1（简称为7步“雹程”）.
(1) 请给出冰雹猜想的递推公式；
1 2 3 4
追问1：等差数列、等比数列的通项公式分别是什么？如
何根据定义进行推导？它们与函数有什么关系？
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等
于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数
叫做等比数列的公比，公比常用字母表示.
= ≥ 2且 ∈ ∗ .
−1
等差数列
解析
式
不同
点
相同
点
一次函数
= +
= +
∈ ∗ .
≠0 .
定义域是 ∗ ，图象 定义域是，图
是一系列孤立的点. 象是一条直线.
都是关于自变量的一次整式，
当 ≠ 0时，等差数列的图象是相应
的一次函数图象上的一系列孤立的点.
()
4
3
2
1
的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个球.
记第堆的球的总数为().
(1) 求出(3)；
(2) 求()的表达式.
1
6
其中12 + 22 + 32 + ⋯ + 2 = ( + 1)(2 + 1).
追问：根据图形特征，你能发现什么规律呢？
问题2：如何研究数列？
函数
统计学第四章分组和次数分布
重点、难点
1、统计分组的概念和作用 2、统计分组的原则 3、 分组标志选择及界限的确定（统计分组的
关键）（单选、判断） 4、统计分组的方法（单选、判断） 5、变量数列的编制（计算）（难点）
第一节 统计分组（统计整理的关键）
五、 统计分组的方法
1、品质标志分组 组数的确定取决于事物的特
点和统计研究的任务 2、数量标志分组（补充）
单项式分组（变动范围不大 的离散变量）
组距式分组（连续性变量和 变动范围较大的离散变量）
数量标志分组，不是简单的确 定各组间的数量差异，而是通过 分组体现数量变化来确定现象的 不同性质和类型。
（对总体而言是分，对个体而言是合） ● 统计分组的作用主要体现在以下三个方面：
1．划分事物的类型 2．反映现象总体的内部结构 3．分析现象之间的依存关系
二、统计分组的种类（p90—94）
1．按分组的作用或目的不同，分为类型分组、结构 分组和分析分组。 (补充)
2．按分组标志的多少及其排列形式，可分为简单分组、 复合分组和分组体系 平行分组体系(p93)
体是次数分布图的直方图。 连接各矩形顶边的中点（即各组的组中值），形成一
条折线，并在直方图的左右两边各假设有一个组，将折 线与两个假设组的中点连接，就形成次数分布曲线（次 数分布图）
标准组距次数=该组次数密度*标准组距（书55页实例3.3） 次数密度=各组的次数/各组的组距 标准组距是异距变量数列组距中最小的组距
（3）按其分组方法的不同，可以分为单项式变量数列和 组距式变量数列。 （p100，表4-9和表4-10）
三、累计次数（频数）分布（书100—101）
（１）向上累计 (上限以下) （２）向下累计(下限以上)
2022年秋高中数学第四章数列4.1数列的概念第1课时数列的概念与简单表示课件新人教A版选择性必修第
1
1
1
1
(5)-1×2 , 2×3,-3×4 , 4×5,…;
(6)4,0,4,0,4,0,….
分析观察、分析项的特征,寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系.
解 (1)数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察,
1 4 9 16 25
1
所以 是数列的第
10
4
令 2
+3
解得
=
16
,则
27
3
n=2或
5 项.
4n2+12n-27=0,
9
n=-2,
注意到 n∈N
16
,所以27 不是此数列中的项.
*
探究点四 数列的单调性及其应用
角度1 数列单调性判断
【例4】已知数列{an}的通项公式
an=2+3 (k∈R).
(1)当k=1时,判断数列{an}的单调性;
2 ++1
.
2-1
(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项
1
n
为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是 an=(-1) ·(+1).
(6)由于该数列中,奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段函数
的形式表示通项公式,即 an=
4,为奇ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,
0,为偶数.
得原数列的一个通项公式为an=10n-1.
(4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为
2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,其通项公式为(n+1)2,分
统计学第四章课后题及答案解析
统计学第四章课后题及答案解析第四章⼀、单项选择题1.由反映总体单位某⼀数量特征的标志值汇总得到的指标是（）A.总体单位总量B.质量指标C.总体标志总量D.相对指标2.各部分所占⽐重之和等于1或100%的相对数（）A．⽐例相对数B．⽐较相对数C．结构相对数D．动态相对数3.某企业⼯⼈劳动⽣产率计划提⾼5%，实际提⾼了10%，则提⾼劳动⽣产率的计划完成程度为（）A.104.76%B.95.45%C.200%D.4.76%4.某企业计划规定产品成本⽐上年度降低10%实际产品成本⽐上年降低了14.5%，则产品成本计划完成程度（）A.14.5%B.95%C.5%D.114.5%5.在⼀个特定总体内,下列说法正确的是( )A.只存在⼀个单位总量，但可以同时存在多个标志总量B.可以存在多个单位总量，但必须只有⼀个标志总量C.只能存在⼀个单位总量和⼀个标志总量D.可以存在多个单位总量和多个标志总量6.计算平均指标的基本要求是所要计算的平均指标的总体单位应是（）A.⼤量的B.同质的C.有差异的D.不同总体的7.⼏何平均数的计算适⽤于求（）A.平均速度和平均⽐率B.平均增长⽔平C.平均发展⽔平D.序时平均数8.⼀组样本数据为3、3、1、5、13、12、11、9、7这组数据的中位数是（）A.3B.13C.7.1D.79.某班学⽣的统计学平均成绩是70分，最⾼分是96分，最低分是62分，根据这些信息，可以计算的测度离散程度的统计量是（）A.⽅差B.极差C.标准差D.变异系数10.⽤标准差⽐较分析两个同类总体平均指标的代表性⼤⼩时，其基本的前提条件是( )A.两个总体的标准差应相等B.两个总体的平均数应相等C.两个总体的单位数应相等D.两个总体的离差之和应相等11.已知4个⽔果商店苹果的单价和销售额，要求计算4个商店苹果的平均单价，应采⽤（）A.简单算术平均数B.加权算术平均数C.加权调和平均数D.⼏何平均数12.算术平均数、众数和中位数之间的数量关系决定于总体次数的分布状况。
统计学第4章变量数列上
调和平均数有简单调和平均数和加权调和平均数两种形式。
1.简单调和平均数 简单调和平均数是标志值倒数的简单算术平均数的倒数，适用于未分组的
f1 f2 L fn
30
即甲车间工人的平均日产量为80件/人。
注意：以各组组中值来代替各组的变量值会产生误差，
所以，由组距数列计算的加权算术平均数只是实际平均数 的近似值或大约数。
（二）调和平均数
调和平均数是变量数列中各变量值倒数的算术平均数的 倒数。它是根据变量值的倒数计算的，故又称倒数平均数，通 常用字母H表示，但计算结果并不是算术平均数的倒数。
x
x1 x 2...... x n
x
n
n
简单算术平均数适用于总体未分组的统计资料。如果已知 总体各单位的标志值和总体单位数，可采用简单算术平均法计 算平均值。
▪ 【例】某车间有五00元。则其平均 工资为：
x 2500 2520 2550 2580 2600 2550(元 / 人)
算。
加权调和平均数的计算公式为：
H
m1 m2 L mn
m
m1 m2 L mn m
x1
x2
xn
x
▪ 在统计工作中，加权调和平均数是作为加权算术平均数的一种变 形来使用的，在经济内容和计算结果上与加权算术平均数一样， 加权调和平均数和加权算术平均数的计算公式可以相互推算，前 者是后者的变形。
【例】甲车间有30名工人，按其日产产品数分组如 下表，求该车间工人的平均日产量。
《变量分析》课件
回归分析是用于研究一个因变量 与一个或多个自变量之间关系的
统计方法。
通过回归分析可以建立回归方程 ，描述因变量与自变量之间的数
量关系，并预测因变量的值。
回归分析不仅可以用于预测，还 可以用于解释和预测变量之间的
因果关系。
因子分析
因子分析是用于探索多个变量 之间潜在结构的统计方法。
通过因子分析可以将多个变量 简化为少数几个公共因子，这 些公共因子反映了原始变量之 间的共同特征。
线性判别分析法
总结词
线性判别分析法是一种有监督的降维技术， 通过投影将高维数据降到低维空间，使得同 一类别的数据尽可能聚集，不同类别的数据 尽可能分离。
详细描述
线性判别分析法寻找一个投影方向，使得投 影后的数据在不同类别之间有最大的可分性 。该方法假设数据服从高斯分布，通过求解 广义特征值问题来得到投影矩阵。线性判别 分析法广泛应用于人脸识别、图像分类、语
《变量分析》ppt课件
目录 CONTENT
• 变量分析概述 • 变量类型与特征 • 变量之间的关系分析 • 变量选择与降维 • 变量分析的统计方法 • 变量分析的软件实现
01
变量分析概述
定义与概念
变量分析的定义
变量分析是一种统计学方法，用于研究变量之间的关系、变化和预测。它涉及 到对数据的收集、整理、描述和推断，以揭示变量之间的内在联系和规律。
详细描述
R语言是统计学家和数据分析师广泛使用的一种编程语言 ，拥有丰富的统计和机器学习库，如base R、ggplot2 、caret等。R语言在数据可视化、统计建模和机器学习 等领域具有广泛的应用。
感谢您的观看
THANKS
主成分分析法
总结词
主成分分析法是一种降维技术，通过将多个相关变量转换为少数几个不相关的主 成分，简化数据集的结构，揭示数据的主要特征。
第四章 数列(单元解读)(人教A版2019选择性必修第二册)
约2课时 约4课时 约4课时 约2课时 约2课时
四、本章知识网络
五、本章重点
数列的概念是研究数列的基础，因此是本章教学的重点. 此外，等差数列、等比数列是两种 “最基本”的数列，对它 们的概念、取值规律与应用的研究，将为学生今后进一步学习 其他类型 的数列打下基础，因此等差数列、等比数列的概念、 性质与应用也是本章的重点内容.
十一、本章知识梳理
4.项的个数的“奇偶”性质： (1)若等差数列的项数为 2n，则 S 偶－S 奇＝nd，SS偶奇＝aan＋n 1. (2)若等差数列的项数为 2n－1，则 S 奇－S 偶＝an，SS奇偶＝n－n 1(S 奇＝nan，S 偶 ＝(n－1)an). 5.已知等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，则abnn＝TS22nn－－11，abmn＝ 2n－1 S2m－1 2m－1·T2n－1.
十一、本章知识梳理
等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中，
an≥0， 当a1>0，d<0时，Sn有最 大 值，使Sn取得最值的n可由不等式组__a_n_＋_1≤__0__ 确定；
an≤0， 当a1<0，d>0时，Sn有最 小 值，使Sn取得最值的n可由不等式组__a_n_＋_1≥__0__ 确定.
人教版 高中数学选择性必修二
第四章 《数列》 单元解读
一、总体设计
数列是一类特殊的函数，是数学重要的研究对象，是研究其他函数 的基本工具，在日常生活中也有着广泛的应用。
本章通过对具体例子的分析，抽象出了数列的概念，通过数学运算、 逻辑推理等研究了两类特殊的数列——等差数列和等比数列的取值规律 ，并运用它们解决了一些问题。因为数列是一类特殊的函数，所以本章 注重函数思想和方法的应用。
4.1数列的概念课件(人教版)
2n2
30n
2(n2
15n)
2 n
15 2
2
225 2
，
因为 n N* ，所以当 n 7 或 n 8 时， Sn 取最小值.
（2）当 n 1 时， a1 S1 2 30 28 .
当 n 2 时， an Sn Sn1 2n2 30n [2(n 1)230(n 1)] 4n 32 .
， Sn1
n ，n
1 2
.
例 6 已知数列an 的前 n 项和公式为 Sn n2 n ，求an 的通项公式.
解：因为 a1 S1 2 ， an Sn Sn1 n2 n [(n 1)2 (n 1)] 2n(n 2) ， 并且当 n 1 时， a1 21 2 依然成立.
所以an 的通项公式是 an 2n .
特别地，各项都相等的数列叫做常数列.
如果数列{an} 的第 n 项 an 与它的序号 n 之间的对应关系可以用一个式子来 表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项.
例 l 根据下列数列{an} 的通项公式，写出数列的前 5 项，并画出它们的图象.
解析：因为 Sn 3n 2 ，所以 Sn1 3n1 2(n 1) ，则 an 3n 3n1 23n1 . 1，n 1
当 n 1 时， a1 S1 3 2 1，不符合上式，所以 an 2 3n1 ，n 2 .
-4 7.数列an 中， a1 1， a2 5 ， an2 an1 an (nN*) ，则a2022 __________.
验证得当 n 1 时， a1 28 满足上式，所以 an 4n 32 .
1.数列的相关概念及分类 2.数列的符号表示 3.从函数角度看数列 4.数列的通项公式 5.数列的递推公式 6.数列的前n项和
数学人教A版(2019)选择性必修第二册第四章数列章复习(共55张ppt)
和，则 S 2023 =
*
解析： an 1 an an 1 (n 2, n N ) ， a1 1 ， a2 2 ，
取值范围是________．
（一）数列概念
应用举例
1．已知{an}是递增数列，且对于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的
取值范围是________．
解析：（法一）因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，
都有an＋1>an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，整理，
得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1)．(*)
问题4：数列可以通过哪些角度分类？
（一）数列概念
问题4：数列可以通过哪些角度分类？
与函数的单调性分类类似，数列按项与项间的大小关系分类：
递增数列、递减数列、常数列、摆动数列；按项数分类：有穷数
列、无穷数列；按其他标准分类：有界数列和无界数列等。
（一）数列概念
应用举例
1．已知{an}是递增数列，且对于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的
追问：数列是特殊的函数，特殊在哪？
（一）数列概念
问题2：为什么数列是一种特殊的函数？
追问：数列是特殊的函数，特殊在哪？
以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的。比如：
f x 2 x 3 的图象是直线，而 an 2n 3 的图象是直线上孤立的点。
（一）数列概念
得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1)．(*)
因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.
2
（法二）观察数列{an}通项公式 an＝n2＋λn，联想到二次函数 f x x x ，所以可
《变量数列分析》课件
3
人力资源管理
分析员工绩效数据，了解员工的工作表现和潜力 ，为员工的选拔、培训和晋升提供依据。
在经济预测中的应用
宏观经济预测
通过对宏观经济指标的时间序列分析，预测未来的经济发展趋势 ，为国家制定经济政策提供依据。
行业发展趋势
通过对行业数据的分析，了解行业的竞争格局和发展趋势，为企 业制定投资决策提供支持。
价格水平预测
通过分析历史价格数据，预测未来商品和服务价格的变化趋势， 为企业的价格策略提供参考。
感谢您的观看
THANKS
利用变量数列分析消费者购买行为和偏好，为企 业制定营销策略提供依据。
产品定位与定价
通过分析竞争产品的销售数据，了解市场格局， 为自己的产品制定合理的定价策略。
在企业管理中的应用
1 2
销售数据分析
分析销售数据的变化，了解销售业绩的波动，为 制定销售计划和调整销售策略提供支持。
库存管理
通过分析历史库存数据，预测未来的库存需求， 合理安排进货计划，避免库存积压和浪费。
变量数列
变量数列
01
按照数量标志分组形成的数列。
变量数列的分组标准
02
根据研究目的和任务，选择最能反映研究对象数量特征的数量
标志作为分组依据。
变量数列的分组方式
03
可采用不重叠的分组方式，也可采用重叠的分组方式。
动态数列
动态数列
将同一指标在不同时间上的数值按时 间先后顺序排列形成的数列。
动态数列的编制方法
和平均数、几何平均数等。
中位数
将一组数据从小到大排列后，位于 中间位置的数值即为中位数，适用 于异常值较多或数据分布偏斜的情 况。
众数
在一组数据中出现次数最多的数值 即为众数，反映数据的普遍性和代 表性。
变量数列的两个构成要素
变量数列的两个构成要素1.引言1.1 概述在数学中，我们经常会遇到各种数列的问题。
而要理解和研究数列，我们首先需要了解其中的两个构成要素：变量和数列。
变量在数学中是一个非常基础的概念，它代表着可以改变的数。
通俗地说，变量就像是一个箱子，可以装进各种数值。
我们可以用字母来表示一个变量，比如常见的x、y等。
变量可以代表任意实数或者一组实数，它的值可以在一定的范围内变化。
在数列中，变量起到了非常重要的作用，它可以帮助描述数列中的每一项。
数列是由一系列数字按照一定的规律排列组成的序列。
比如，1，2，3，4，5就是一个简单的数列，它的规律是每个数字比前一个数字大1。
数列既可以是有限的，也可以是无限的。
我们可以通过一个公式来表示数列的一般项，这个公式被称为数列的通项公式。
通过这个公式，我们就可以根据数列中的项数来求出任意一项的值。
总的来说，变量和数列是数学中非常重要且密切相关的概念。
变量可以看作是数列中每一项的代表，而数列则是由变量按照一定规律排列组成的序列。
对于数列的研究和分析，我们需要了解和掌握这两个构成要素的概念和性质。
只有对变量和数列有着深入的理解，我们才能更好地解决与数列相关的各种问题。
1.2 文章结构文章结构部分内容如下:文章结构部分是对整篇文章的组织和框架进行介绍和概述。
本文的结构主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要包括概述、文章结构和目的三个方面的内容。
首先，我们会对变量数列的重要性和应用进行概述，引入读者对该主题的兴趣。
然后，介绍文章的结构，明确本文的思路和论证方式，使读者能够清晰地了解整篇文章的逻辑结构。
最后，明确本文的目的，即通过对变量数列构成要素的探讨，加深对变量数列的理解和应用能力。
正文部分主要分为变量和数列两个部分。
在变量部分，我们会详细介绍变量的定义、种类、性质和作用，以及变量在数学和实际问题中的应用。
通过对变量的深入讨论，读者将对变量的概念和特性有更加全面的了解。
在数列部分，我们会着重介绍数列的定义、类型和性质。
分析变量关系的教案方法
分析变量关系的教案方法教学目标通过本节课的教学，学生应该能够了解方差分析方法与递归分析方法的区别，并能够掌握如何用SPSS软件进行方差分析和递归分析的操作。
二、教学重点与难点（一）教学重点1、理解变量关系分析的概念及意义；2、掌握方差分析和递归分析的操作方法；3、实现数据的输入，输出和变量关系分析的绘制。
（二）教学难点1、方差分析与递归分析的区别和优缺点；2、用SPSS软件进行数据分析的操作方法。
三、教学过程1、引入（1）通过实例引入变量关系分析的概念。
（2）引导学生思考变量关系分析的意义。
2、方差分析（1）方差分析概念及模型。
（2）单因素方差分析的基本假设和检验方法。
（3）方差分析的结果分析及实现。
3、递归分析（1）递归分析的概念及模型。
（2）递归分析的基本假设和检验方法。
（3）递归分析的结果分析及实现。
4、数据分析实例（1）数据输入及描述性统计。
（2）单因素方差分析。
（3）递归分析。
5、总结（1）总结方差分析和递归分析的区别和优缺点。
（2）总结数据分析中变量关系分析的应用。
四、教学方法与过程1、讲解法运用演示、讲解PPT等方式，讲解方差分析和递归分析的基本概念、原理、操作方法及应用。
2、实践法通过实际案例-根据含氧量和磷酸盐浓度对进化试验产生的作用和频率可观察到的联合效应，模拟实现数据分析的步骤，让学生掌握具体操作，提高分析能力与数据分析技能。
3、翻转课堂教学法老师提前准备好教学视频，并将其发布在网络上，让学生在课前预习。
在课堂上，以带领解答问题和开展探索为主，帮助学生更深入地了解数据分析方法和技巧。
在课后再发放其他资料，让学生深化理解。
反复训练，帮助学生更好地掌握操作技巧，提升分析能力。
五、教学过程质量保证在整个教学过程中，应该重点关注以下方面来保证教学质量：1、确保输入的数据具有系统性和纵向性。
2、同时，需要注意数据的离散性和出现异常值的情况，在对数据进行初步分析后，可对异常值进行删除或修正。
统计学 第4章变量数列(下)
2
9 4 1 0 1 4 9 28
2
100 36 9 0 9 36 100 290
甲
乙
x x
n
28 2 （件） 7
290 6.44 （件） 7
x x
n
2
2．加权标准差
x x f
2
f
式中： f 代表权数
【例】某村劳动力全年劳动情 表7-5 某村劳动力全年劳动情况 况
2.平均差（A.D）
• 平均差：是指总体各单位的标志值与其算术 平均数的离差绝对值的算术平均数。
• 作用：它反映各标志值与其平均数的平均差
异程度。
• 种类：根据所掌握的资料不同，平均差的计
算有“简单式”和“加权式”两种方式。
（1）简单式 计算公式为：A.D
xx n
• 为避免正负离差相互抵消，所以，先取离差的绝对值，然后再求离差绝对值 的平均数。 • 该公式适用于：统计资料未经分组的情况。
例如，某市6岁男童体重与身高资料如下： 平均数 标准差 体重： 19.39千克 2.16千克 身高： 115.87厘米 4.86厘米
标准差系数为： 体重： Vσ = 2.16/19.39×100% = 11.14% 身高： Vσ = 4.86/115.87×100% = 4.19% 计算表明体重变异大于身高变异。
一、标志变异指标概述
• （一）标志变异指标的概念和作用 P126
• 1.概念
• 标志变异指标是综合反映总体各单位标志值差异程度或 离散程度的指标，也叫标志变动度，简称变异指标。
• 2.作用
• （1）可以反映总体标志值的离中趋势。 （2）可以衡量平均指标代表性的高低。 平均指标代表性的高低取决于总体各单位标志值 的差异程度，而变异指标正是用于测定这种差异程度， 一般来说，标志变异指标的数值越大，说明总体各单位 标志值的差异程度越大，分布越分散，平均数的代表性 越低；反之，标志变异指标的数值越小，说明总体各单 位标志值的差异程度越小，分布越集中，平均数的代表 性越高。
组距式变量分布数列
确定组数：组数应 根据数据分布特征 和实际需要来确定， 组数过多会导致数 据分布过于分散， 组数过少则会导致 数据分布过于集中
确定组限：组限 的确定应遵循不 重复、不遗漏的 原则，同时也要 考虑数据的实际
分布情况
确定组中值：组 中值是组距式变 量分布数列中的 重要概念，应根 据数据的实际分
用于确定未来事件发生的 概率
用于评估未来事件的影响 和结果
用于制定针对未来事件的 策略和措施
能够反映变量分 布的集中趋势
能够反映变量分 布的离散程度
能够反映变量分 布的偏态和峰度
能够根据需要灵 活地分组，适应 性强
计算复杂：组距式变量分布数列的 计算过程相对复杂，需要更多的时 间和精力。
无法准确反映数据分布情况：由于组 距的存在，组距式变量分布数列无法 准确反映数据分布情况，可能会产生 误导。
连续变量数列： 适用于连续变 量，按其取值 范围分组形成
的数列
组距相等：各 组的组距相等， 组数越多，组
距越小
变量取值范围： 变量取值范围 较小，各组频
数相差不大
适用于大量数 据：适用于大 量数据的整理
和分析
确定组距：根据变 量分布特征和数据 个数，确定合适的 组距
确定组数：根据数 据个数和组距，确 定合适的组数
添加标题
累积频率：指将各组的频率逐一相加求和，得到总频率。
添加标题
累积频数与累积频率的关系：累积频数等于各组频数的累加和，而累积频率等于各组频率的 累加和。
添加标题
累积频数与累积频率的应用：在组距式变量分布数列中，累积频数和累积频率可以用于描述 数据的分布情况，帮助我们更好地了解数据的特征和规律。
频数分布图：以频数分布表为基础，将频数分布情况用直方图或折线图表示，用以描述变量分布 情况。
变量数据的整理
变量数据的整理回顾：统计整是的概念：统计整理是指根据统计的研究的目的和任务，对统计调查或科学试验获得的大量原始资料进行科学的分类、汇总，或对已经加工过的资料进行再加工，使之成为系统化、条理化、标准化的能反映总体特征的综合统计资料的工作过程。
注意概念的重点：大量原始资料→分类、汇总→系统化、标准化变量数据的整理恰恰体现了这样一个工作过程有一组数据：对某班40名学生某科某次考试成绩按试卷登记得到如下资料：54 60 62 97 85 52 83 7995 80 89 85 77 68 86 9370 81 78 89 71 89 80 8575 78 90 66 78 73 82 8299 77 88 84 75 88 76 80分类整理后得到某班40名学生成绩情况由此可以看出变量数据整理的结果下面介绍如何完成这一过程，只看基本概念。
（一）变量分布数列的概念变量分布数列：用数理标志进行分组所得到的分布数列。
单项式变量分布数列：若每一组别都是由单个的组值（整数或小数）表示。
如表：某班学生按年龄分组15 16 16 15 1617 16 16 17 1616 17 17 17 1615 16 17 17 17经分组组距式变量分布数列：若每一组都是由数域（区间）表示。
如前面40名学生成绩由简单到复杂可看（二）单项式变量分布数列的编制某生产组20名工人同种产品日产量如下（单位：件）1613 18 15 19 14 17 13 15 1719 15 17 18 14 16 15 16 17 16这是一个离散型变量，其变量值不多，变动范围不大，宜编制单项式变量分布数列。
离散性变量（没有小数）注意这组数据的特点：变量不多（20个）变动范围不大（13—19）所以适合编制单项式变量分布数列。
步骤如下：（1）按变量值大小顺序排列：13 13 14 14 15 15 15 15 16 1616 16 17 17 17 17 18 18 19 19（2）每种变量值为一组（重复者只取一个），顺序排列为7组：13 14 15 16 17 18 19（3）列入表中并汇总出各组频数，如表所示。
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众
数
中位数
平均发展水平
•
动态平均数
平均增长水平
•
（序时平均数）
平均发展速度
图6-1
平均增长速度
二、算术平均数
•
（一）概念和基本公式
•
算术平均数是指总体标志总量与总体单
位总量对比所得之比值。一般用符号 X 表示。
其基本公式为：
•
算术平均数总 总体 体单 标位 志总 总量 量
•
• 在计算算术平均数时应注意：
220、240、240、240、260、280元，则其
平均工资为：
X 1 5 10 5 10 8 0 26 4 02 2 2(1 元 01 ）
20
20
2、加权算术平均法。 （1）适用对象。加权算术平均法适
用于对已分组的资料求平均数。
（2）计算公式。 ① 当权数为绝对数 f 时。
180
3
540
93
2883
200
4
800
44
484
220
6
1320
54
486
240
3
720
87
2523
260
1
260
49
2401
280
1
280
69
4761
20
4220
518
20980
x xff42202021(元 1 ）
②当权数为频率f/∑f时。
x x1 f1 x2 f2 x3 f3 xn fn
f
x1
f1 f
x2
f2 f
x3
f3 f
xn
fn f
x
f
f
=211(元）
（三）关于加权算术平均数的几点说明
•
1、加权算术平均数同时受变量值x和权数f或f/∑f两个因
素的影响。
•
2、权数从形式上讲可以是频数f，也可以是频率f/∑f。
•
3、对同一原始资料而言，用频数f与用频率f/∑f求出的平
36
260
5
13
280
5
14
∑
100
x x1 f1 x2 f2 x3 f3 xn fn
f
x1
f1 f
x2
f2 f
x3
f3 f
xn
fn f
x
f
f
211
x x1 f1 x2 f2 x3 f3 xn fn
第四章 变量数列分析
第一节 变量数列分析概述
•
一、变量数列分析的内容
•
1、总体结构与分布特征分析。
•
2、集中趋势分析。
•
3、离中趋势分析。
•
4、偏度与峰度分析。
•
二、变量数列分析的作用
•
1、认识作用。
•
2、比较作用。
•
3、数量标准作用。
•
4、推断作用。
三、变量数列分析的原则
•
1、注意总体各单位的同质性。
所以说简单平均数是加权平均数在权数相等是的一个特例。
• 若各组单位数相同，即ｆ1=ｆ2=---=ｆn=ｆ, • 则加权算术平均数计算公式与简单算术平均数存在下面的
关系式：
XXffXX f nf n
• 所以简单算术平均数是加权算术平均数的一个特例，是权 数相等条件下的加权算术平均数。
f
x1
f1 f
x2
f2 f
x3
f3 f
xn
fn f
x
f
f
例6-3 某班组若干名工人按周工资分组的资料如下表： 表6-2
按周工资分组（元） 各组人数占总人数比
x
重（%）f/∑f
x﹡f/∑f
150
10
15
180
15
27
200
20
40
220
30
66
240
15
（二）计算方法
•
1、简单算术平均法。
•
（1）适用对象。简单算术平均法适用于
求未分组资料的平均数。
（2）计算公式。
X X1 X2 X3 XN N
X N
例6-1 某班组20名工人的周工资分别为：
150、150、180、180、180、200、200、
200、200、220、220、220、220、220、
• 分子、分母必须同属于同一总体，且具有 一一对应的关系，即：有一个总体单位必 须有一个标志值与之对应。只有这样计算 出来的平均指标才能表明总体的一般水平。 这正是平均指标与强度相对指标的区别， 强度相对指标是两个有联系的不同总量指 标对比的结果，这两个总量指标没有依附 关系，而只是经济内容上存在客观联系。
均数始终是相等的。
f
•
4、权数对平均数的大小有 权f 衡轻重的作用，即哪一个组
的权数最大，计算出来的平均数就与该组的变量值最接近。
•
5、各组频率没变，不论频数是否变化，平均数始终都不
变；各组频率发生变化，不论频数是否变化，平均数也发生
变化。
•
• 例如，某建筑工地上，各种起重机和起重 机台数构成资料如下：
•
2、用组平均数补充说明总平均数。
•
3、用分配数列补充说明总平均数。
•
4、集中趋势与离中趋势结合应用。
•
5、一般与个别结合应用。
第二节 集中趋势分析
一、平均指标的意义
•
（一）平均指标的概念
•
平均指标又称平均数，是指某一数
量标志在总体各单位上所达到的一般水
平。
•
（二）平均指标的特点
•
将具体数值抽象化，用一个代表性
起重量（吨） 起重机台数（台） 各组起重机占 起重总量（吨） 比重％
４０
２
１０
８０
２５
４
２０
１００
１０
６
３０
６０
５
８
４０
４０
合计
２０
１００
２８０
平均起重量X￣= 40＊10%+25＊20%+10＊30%+5＊40%=14吨
•
6、当个组频数或频率相等时，权数就失去了其应有
的作用，此时，加权算术平均数就变成了简单算术平均数，
的数字来代表总体的一般水平。
•
（三）平均指标的作用
•
1、反映总体分布的集中趋势。
•
2、比较同类现象在同一时间、不
同空间上的水平。• Nhomakorabea3、比较同类现象在同一空间、不
同时间上的水平。
•
• • • • 平均数
（四）平均指标的种类
一般平均数 （静态平均数）
计算平均数 （数值平均数）
位置平均数
算数平均数 调和平均数 几何平均数
x x1 f1 x2 f2 x3 f3 xn fn f1 f2 f3 fn
x f f
例6-2 某班组20名工人按周工资分组资料如下表：
表6-1
按周工资分 工人人数 组（元）x （人）f
xf
x x f (xx)2 f
x
150
2
300
122
7442
起重 （吨）
４０
起重机台数 （台）
１
各组所占比重 ％
１０
起重总量（吨）
４０
２５
２
２０
５０
１０
３
３０
３０
５
４
４０
２０
合计
１０
１００
１４０
平均起重量 x =
40＊10%+25＊20%+10＊30%+5＊40%=14吨
• 权数对平均数的大小不取决于它的绝对值的大小 而取决于它的比重大小，若各组单位数与总体单 位数同时发生变化，各组比重不变，则平均数不 变。