东北三省四市2018届高考第二次模拟数学试题(文)有答案
东北三省四市2018届高考第二次模拟数学试题(文)含答案
东北三省四市教研联合体2018届高三第二次模拟考试文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}(){}03,1 -==x x x B x x A ，则B A （ ） A ．（-1,0） B ．（0,1） C ．（-1,3） D ．（1,3）2.若复数aiiz ++=11为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．21- D ．-13.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”取意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代是用算筹来进行计算.算筹是将几寸长的小竹棍摆在下面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式（如下图所示).表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列.但各位数码的筹式要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示.以此类推.例如3266用箅筇表示就是，则8771用算筹可表示为（ ）中国古代的算筹数码 A ．B ．C ．D ．4.右图所示的程序框图是为了求出满足2822n n -的最小偶数n ，那么在空白框内填入及最后输出的n 值分别是（ ）A ．1+=n n 和6B ．2+=n n 和6 C.1+=n n 和8 D ．2+=n n 和85.函数xxx x f tan 1)(2++=的部分图像大致为（ ）A ．B ．C. D ．6.等差数列{}n a 的公差不为零，首项11=a ，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列{}n a 的前9项之和是（ ） A ．9B ．10C.81 D ．907.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．34B ．3310 C.32 D ．3388.已知首项与公比相等的等比数列{}n a 中，满足),(*242N n m a a a n m ∈=，则nm 12+的最小值为（ ） A ．1 B ．23 C.2 D ．29 9.已知过曲线x e y =上一点),(00y x P 做曲线的切线，若切线在y 轴上的截距小于0时，则0x 的取值范围是（ ）A ．),0(+∞B ．),1(+∞eC.),1(+∞ D ．),2(+∞10.已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将ABC ∆折成直二面角C AD B --，则过D C B A ,,,四点的球的表面积为（ ） A ．π3 B ．π4 C.π5 D ．π6 11.将函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin )(πx x f 的图像向右平移a 个单位得到函数的图象，则的值可以为（ ） A ．B ．C ．D ．12.已知焦点在轴上的双曲线的左右两个焦点分别为和，其右支上存在一点满足，且的面积为3，则该双曲线的离心率为（ ）ABC ．D ．第Ⅱ卷（共90分）()cos(2)4g x x π=+a 512π712π924π14124πx 222211x y m m -=-1F 2F P 12PF PF ⊥12PF F ∆23二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设实数，满足约束条件则的最大值为 ．14.为了了解居民天气转冷时期电量使用情况，某调查人员由下表统计数据计算出回归直线方程为，现表中一个数据为污损，则被污损的数据为 ．（最后结果精确到整数位）15.已知函数满足，当时，)9()8(f f +的值为 ．16.已知菱形ABCD 的一条对角线BD 长为2，点E 满足ED AE 21=，点F 为CD 的的中点.若2-=⋅则⋅= ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若2=b ，且A c C aB b cos cos cos 2+=.（I ）求B 的大小；（II ）求ABC ∆面积的最大值.18.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．x y 0,40,5,y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩25z x y =++2.1161.13y x =-+()f x 1()(1)1()f x f x f x ++=-(1)2f =80%[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)（I ）求出a 的值；（II ）求出这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（III ）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.19.在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，，分别是线段，的中点，．（1）证明：平面； （2）求平面与平面的距离．20.在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）已知与为平面内的两个定点，过点的直线与椭圆交于，两点，求四边形面积的最大值． 21.已知函数)()(,ln )(R m m x x g x x f ∈+==． （I ）若)(x g ≤恒成立，求实数m 的取值范围；（II ）已知21,x x 是函数)()()(x g x f x F -=的两个零点，且21x x ，求证：121 x x.ABCD PA ⊥ABCD E F AD PB 1PA AB ==//EF DCP EFC PDC C 22221(0)x y a b a b +=>>123(1,)2M C C (2,0)P -(2,0)Q (1,0)l C A B APBQ ()f x请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：，曲线：（）．（I ）求与交点的极坐标； （II ）设点在上，，求动点的极坐标方程． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数，． （I ）当时，求不等式的解集； （II ）对于都有恒成立，求实数的取值范围．xOy x 1C cos 3ρθ=2C 4cos ρθ=02πθ≤<1C 2C Q 2C 23OQ QP =P ()|2||23|f x x x m =+++m R ∈2m =-()3f x ≤(,0)x ∀∈-∞2()f x x x≥+m数学（文科）试题参考答案一、选择题1-5: 6-10: CBACC 11、12：CB 二、填空题13.14 14.38 15.3716.-7 三、解答题 17.解： （1）由正弦定理CCB b A a sin sin sin ==可得 B AC C A B B sin cos sin cos sin cos sin 2=+=∵0sin B ，故21cos =B ， ∵π B 0，∴3π=B（2）由3,2π==B b ，由余弦定理可得422-+=c a ac ，由基本不等式可得4,42422≤-≥-+=ac ac c a ac ，而且仅当2==c a 时B ac S ABC sin 21=∆取得最大值323421=⨯⨯， 故ABC ∆的面积的最大值为3.18.解：（1）由，得， （2）平均数为岁； 设中位数为，则，∴岁． （3）第1,2组抽取的人数分别为20人，30人，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为32121,,,,b b b a a .设从5人中随机抽取3人，为（121,,b a a ），（221,,b a a ），（321,,b a a ），（211,,b b a ），（311,,b b a ），（321,,b b a ），（212,,b b a ），（312,,b b a ），（322,,b b a ），（321,,b b b ），共10个基本事件， 其中第2组恰好抽到2人包含（211,,b b a ），（311,,b b a ），（321,,b b a ），（212,,b b a ），（312,,b b a ），（322,,b b a ）共6个基本事件CDCDD 10(0.0100.0150.0300.010)1a ⨯++++=0.035a =200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x 100.010100.015(35)0.0350.5x ⨯+⨯+-⨯=42.1x ≈从而第2组抽到2人的概率53106==19.解：（1）取中点，连接，，∵，分别是，中点，∴，， ∵为中点，为矩形，∴，，∴，，∴四边形为平行四边形， ∴，∵平面，平面， ∴平面．（2）∵EF ∥平面PDC ，∴F 到平面PDC 的距离等于E 到平面PDC 的距离， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴DA PA ⊥，∵1==AD PA ，在PAD Rt ∆中2=DP ， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴CB PA ⊥，∵A AB PA AB CB =⊥ ,，∴⊥CB 平面PAB ，∴⊥CB PB ，则3=PC ，∵222PC DC PD =+，∴PDC ∆为直角三角形，∴222121=⨯⨯=∆PDC S PD E C PD C E V V --=，设E 到平面PDC 的距离为h ，又∵A PA AD PA CD AD CD =⊥⊥ ,,，∴⊥CD 平面PAD 则2121131212131⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅h ∴42=h ∴F 到平面PDC 的距离为42 20.解：（1）∵，∴， 椭圆的方程为，将代入得，∴， ∴椭圆的方程为． PC M DM MF M F PC PB //MF CB 12MF CB =E DA ABCD //DE CB 12DE CB =//MF DE MF DE =DEFM //EF DM EF ⊄PDC DM ⊂PDC //EF PDC 12c a =2a c =2222143x y c c+=3(1,)222191412c c+=21c =22143x y +=（2）设的方程为，联立 消去，得，设点，， 有，， 有， 点到直线，点到直线，从而四边形的面积（或）令，，有，设函数，，所以在上单调递增，有，故， 所以当，即时，四边形面积的最大值为6． 21.解：（1）令)0(ln )()()( x m x x x g x f x F --=-=，有xxx x F-=-='111)(， 当1 x 时，0)( x F '，当10 x 时，0)( x F '，所以)(x F 在（1，+∞）上单调递减，在（0,1）上单调递增，)(x F 在1=x 处取得最大值为m --1，l 1x my =+221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x 22(34)690m y my ++-=11(,)A x y 22(,)B x y 122634m y y m -+=+122934y y m -=+2212(1)||34m AB m +==+P (2,0)-l (2,0)Q l APBQ 22112(1)234m S m +=⨯=+121||||2S PQ y y =-t 1t ≥22431t S t =+2413t t=+1()3f t t t =+21'()30f t t =->()f t [1,)+∞134t t+≥224246313t S t t t==≤++1t =0m =APBQ若)()(x g x f ≤恒成立，则m --1≤0即1-≥m ，（2）由（1）可知，若函数)()()(x g x f x F -=有两个零点，则2110x x 要证121 x x ，只需证121x x，由于)(x F 在（1，+∞）上单调递减，从而只需证()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121x F x F ，由于()()1121ln ,0x x m x F x F -===， 即证0ln 11ln 11ln111111 x x x x m x x -+-=-- 令01221)(),10(ln 21)(222 x x x x x x x h x x x x x h +-=-+='-+-=， 有)(x h 在（0,1）上单调递增，0)1()(=h x h ，所以121 x x . 22.解：（1）联立，∵，，∴所求交点的极坐标．（2）设，且，，由已知，得∴，点的极坐标方程为，． 23.解：（1）当时，当解得；当，恒成立； cos 3,4cos ,ρθρθ=⎧⎨=⎩cos θ=02πθ≤<6πθ=ρ=)6π(,)P ρθ00(,)Q ρθ004cos ρθ=0[0,)2πθ∈23OQ QP =002,5,ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩24cos 5ρθ=P 10cos ρθ=[0,)2πθ∈2m =-41,0,3()|2||23|21,0,2345,.2x x f x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=++-=-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩413,0,x x +≤⎧⎨≥⎩102x ≤≤302x -<<13≤当解得， 此不等式的解集为． （2）令 当时，，当时，，所以在上单调递增，当，所以在上单调递减， 所以，所以，当时，，所以在上单调递减， 所以， 所以， 综上，．453,3,2xx --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩322x -≤≤-1|22x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭233,0,22()()2353,,2x m x x g x f x x x x m x x ⎧--++-≤<⎪⎪=--=⎨⎪--+-≤-⎪⎩302x -≤<22'()1g x x=-+0x ≤<'()0g x ≥()g x [32x -≤≤'()0g x ≤()g x 3[,2-min ()(g x g =30m =+≥3m ≥-32x ≤-22'()50g x x =-+<()g x 3(,]2-∞-min 335()()026g x g m =-=+≥356m ≥-3m ≥-。
黑龙江省哈尔滨市2018届高考第二次模拟数学(文)试题含答案
D哈尔滨市第六中学2018届高三第二次模拟考试文科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合2{|23,},{|3}A x x x Z B y y x =-≤≤∈==-, 则A B I 的子集个数共有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2．若复数z 满足z (2－i)＝1＋7i ，则||z =( )A.B.C. D. 2 3. 已知2cos()423πθ-=，则sin θ=（ ） A.79B. 19C. 19-D. 79-4. 在ABC ∆中，,3,||1AD AB BC BD AD ⊥==uu u r uu u r uuu r ，则AC AD ⋅=uuu r uuu r（ ）A.1B.2C.3D.45．我国南宋数学家秦九韶给出了求n 次多项式1110n n n n a x a x a x a --++++L 当0x x =时的值的一种简捷算法，该算法被后人命名为“秦九韶算法”．例如，可将3次多项式改写为：323210a x a x a x a +++ ()()3210a x a x a x a =+++然后进行求值．运行如图所示的程序框图，是求哪个多项式的值（ ） A. 432234x x x x ++++ B. 4322345x x x x ++++ C. 3223x x x +++ D. 32234x x x +++ 6. 一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为（ ）A. 12B. 24C. 36D. 487．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+ (0,0,0)2A πωϕ>><<的部分图像如图所示，若将函数()f x 的图像上点的纵坐标 不变，横坐标缩短到原来的14，再向右平移6π个单位，所得到的函数()g x 的解析式为（ ）A. ()12sin4g x x = B. ()2sin2g x x = C. ()12sin 46g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D. ()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭8. 圆O ：224x y +=上到直线l ：0x y a -+=的距离等于1的点恰好有4个，则a 的取值范围为( )A. [B. (C. [1,1]-D. (1,1)-9. 已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄，则（ ）A. //αβ且//l αB. αβ⊥且l β⊥C. α与β相交，且交线垂直于lD. α与β相交，且交线平行于l10. 若新高考方案正式实施，甲、乙两名同学要从政治、历史、物理、化学四门功课中分别选取两门功课学习，则他们选择的两门功课都不相同的概率为（ ） A.16 B. 13 C. 12 D. 2311. F 是抛物线22y x =的焦点，点P 在抛物线上，点Q 在抛物线的准线上，若2PF FQ =uu u r uu u r，则||PQ =A.92B. 4C.72D. 3 12. 已知函数53()272f x x x x =---+，若2()(2)4f a f a +->，则实数a 的取值范围是（ ） A. (,1)-∞ B. (,3)-∞ C. (1,2)- D. (2,1)-第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题,每题5分.）13．已知实数,x y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值为 .14. 在一次连环交通事故中,只有一个人需要负主要责任,但在警察询问时,甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”,四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是 .15. 已知平面四边形ABCD 中，AB=AD=2，BC=CD, 90BCD ∠=︒，则四边形ABCD 面积的最大值为 .16. 已知函数()(1)||4f x x x a =--+有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．(本小题满分12分)已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，423,,S S S 成等差数列，且23418a a a ++=-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n n n b a S =⋅，求123n b b b b ++++L ．18．(本小题满分12分)某冷饮连锁店计划按天订购一种冷饮，每天的进货量相同，进货成本每杯5元，售价每杯8元，未售出的冷饮降价处理，以每杯3元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温有关．如果最高气温不低于25℃，那么需求量为600杯；如果最高气温位于区间[20,25)，那么需求量为400杯；如果最高气温低于20℃，那么需求量为300杯．为了确定九月份的订购计划，统计了前三年九月份各天的最高气温数据数据，得到下面的频数分布表：（1） 估计九月份这种冷饮一天的需求量不超过400杯的概率；（2） 设九月份一天销售这种冷饮的利润为Y （单位：元）．当九月份这种冷饮一天的进货量为500杯时，写出Y 的所有可能值并估计Y 大于500的概率．19．(本小题满分12分)如图，四棱锥E-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，M,N 分别为BC,DE 中点． （1）证明：CN//平面AEM ；（2）若ABE ∆是等边三角形，平面ABE ⊥平面BCE ，,2CE BE BE EC ⊥==，求三棱锥N AEM -的体积．20. (本小题满分12分)如图，已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>， 其左右焦点为()11,0F -及()21,0F ，过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，线段AB 的中点为G ， AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,DE 两点，且1AF 、12F F 、2AF构成等差数列.（1）求椭圆C 的方程；（2）记1G FD ∆的面积为1S ， OED ∆（O 为原点）的面积为2S ， 试问：是否存在直线AB ，使得1212S S =？说明理由．21. (本小题满分12分)已知函数2()ln (1)1()f x x x a x x a R =---+∈ （1） 当0a =时，求()f x 的极值；（2） 当(1,)x ∈+∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围．请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.22. (本小题满分10分)在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程是22(13sin )16ρθ+=，点P 是曲线1C 上的动点.点M 满足2OP OM =uu u r uuu r(O为极点). 设点M 的轨迹为曲线2C . 以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xoy ，已知直线l的参数方程是1(x tt y t =+⎧⎨=⎩为参数）. （1）求曲线2C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）设直线l 交两坐标轴于,A B 两点，求ABM ∆面积的最大值．23. (本小题满分10分)已知0a >， 0b >，且222a b +=. （1）若2214211x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围； （2）证明： ()55114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭．二模文数答案一、选择题：DBCC DCDB DAAC二、填空题：13. 5 14. 甲15. 16.三、解答题：17.解：（1）设等比数列的公比为,则.由题意得,即，解得.故数列的通项公式为.（2）由（1）有.则18.解：（1）（2）当最高气温不低于25℃，那么需求量为600杯；当最高气温位于区间，那么需求量为400杯；当最高气温低于20℃，那么需求量为300杯；故当最高气温不低于20℃时，，19.（1）证明：取中点，连结．因为中，分别为中点，所以．又因为四边形是平行四边形，所以．又是中点，所以，所以．所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）解：取中点，连结，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．又由（1）知平面，所以．又因为为中点，所以．20．（1）因为、、构成等差数列，所以，所以，又因为，所以，所以椭圆的方程为．（2）假设存在直线，使得，显然直线不能与, 轴垂直．设方程为，由消去y整理得，显然．设，，则，故点的横坐标为，所以．设,因为，所以，解得，即．∵和相似，且，则，∴，整理得，解得，所以，所以存在直线满足条件，且直线的方程为.21.解：（1）时，，由解得有极小值，无极大值.（2）由的令，①当时，，在上单调增，不合题意；当时，由解得或②当时，，，在上单调增，不合题意；③当时，，当时，，在上单调递增，不合题意；④当时，，当时，，在上单调递减，不符合题意；综上所述，的取值范围是22解：（1）在极坐标系中，设点.由，得，代入曲线的方程并整理，得，再化为直角坐标方程，即曲线的直角坐标方程为.直线的参数方程(为参数)化为普通方程是.（2）由直线的方程为，可知.因为点在曲线上，所以设，，则点到直线的距离即为底边上的高，所以，所以，所以，。
黑龙江省哈尔滨市2018届高考第二次模拟数学(文)试题含答案
哈尔滨市第六中学 2018 届高三第二次模拟考试 文科数学试卷考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分， 满分 150 分，考试时间 120 分钟． （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚； （3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1．已知集合 A {x | 2 x 3, x Z}, B {y | y x2 3} , 则 A I B 的子集个数共有( A. 1 个 C. 3 个 B. 2 个 D. 4 个 ) B. D. 2 )2．若复数 z 满足 z(2－i)＝1＋7i，则 | z | ( A.510C. 2 2 3. 已知 cos( A.7 9 1 9 2 ) ，则 sin （） 4 2 3B.1 9B7 9 uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 4. 在 ABC 中， AD AB, BC 3BD,| AD | 1 ，则 AC AD （）C. D. A.1 C.3B.2 D.4AD5．我国南宋数学家秦九韶给出了求 n 次多项式Can xn an1xn1 L a1x a0 当 x x0 时的值的一种简捷算法，该算法被后人命名为“秦九韶算法”． 例如， 可将 3 次多项式改写为：a3 x3 a2 x2 a1x a0 a3 x a2 x a1 x a0 然后进行求值．运行如图所示的程序框图，是求哪个多项式的值（） A. x4 x3 2x2 3x 4 C. x3 x2 2x 3 B. x4 2x3 3x2 4x 5 D. x3 2x2 3x 46. 一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为（） A. 12 C. 36 B. 24 D. 487．已知函数 f x Asin x ( A 0, 0, 0 2)的部分图像如图所示，若将函数 f x 的图像上点的纵坐标 不变，横坐标缩短到原来的1 ，再向右平移 个单位，所得 4 6到的函数 g x 的解析式为（） A. g x 2sin1 x 4B. g x 2sin2x D. g x 2sin 2 x C. g x 2sin 1 x 6 4 6)8. 圆 O： x2 y 2 4 上到直线 l： x y a 0 的距离等于 1 的点恰好有 4 个，则 a 的取值范围为( A. [ 2, 2] C. [1,1] B. ( 2, 2) D. ( 1,1)9. 已知 m, n 为异面直线， m 平面 ， n 平面 ，直线 l 满足 l m, l n, l , l ，则（） A. / / 且 l / / C. 与 相交，且交线垂直于 l B. 且 l D. 与 相交，且交线平行于 l10. 若新高考方案正式实施， 甲、 乙两名同学要从政治、 历史、 物理、 化学四门功课中分别选取两门功课学习， 则他们选择的两门功课都不相同的概率为（） A.1 6B.1 3C.1 2D.2 3uuu r uuu r 11. F 是抛物线 y 2 2 x 的焦点，点 P 在抛物线上，点 Q 在抛物线的准线上，若 PF 2FQ ，则 | PQ |A. C.9 2 7 2B. 4 D. 312. 已知函数 f ( x) 2 x5 x3 7 x 2 ，若 f (a2 ) f (a 2) 4 ，则实数 a 的取值范围是（） A. (,1) B. (,3) C. (1, 2) D. ( 2,1)第 II 卷（非选择题共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22 题、第 23 题 为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共 4 小题,每题 5 分.）x y 0 13．已知实数 x, y 满足约束条件 x y 4 0 ，则 z 2 x y 的最大值为 y 1 .14. 在一次连环交通事故中,只有一个人需要负主要责任,但在警察询问时,甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应 负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”,四人中只有一个人说的是真话，则该事故中 需要负主要责任的人是 .15. 已 知 平 面 四 边 形 ABCD 中 ， AB=AD=2 ， BC=CD, BCD 90 ， 则 四 边 形 ABCD 面 积 的 最 大 值 为 . .16. 已知函数 f ( x) ( x 1) | x a | 4 有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．(本小题满分 12 分) 已知 Sn 是等比数列 an 的前 n 项和， S4 , S2 , S3 成等差数列，且 a2 a3 a4 18 . （1）求数列 an 的通项公式； （2）若 bn an Sn ，求 b1 b2 b3 L bn ．18．(本小题满分 12 分) 某冷饮连锁店计划按天订购一种冷饮，每天的进货量相同，进货成本每杯 5 元，售价每杯 8 元，未售出的冷 饮降价处理，以每杯 3 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温有关．如 果最高气温不低于 25℃，那么需求量为 600 杯；如果最高气温位于区间 [20, 25) ，那么需求量为 400 杯；如果 最高气温低于 20℃，那么需求量为 300 杯．为了确定九月份的订购计划，统计了前三年九月份各天的最高气 温数据数据，得到下面的频数分布表：[15, 20)[20, 25)[25,30)[35, 40)[35, 40)最高气温（℃） 天数 （1） 估 计[10,15)117322965 九月份这种冷饮一天的需求量不超过 400 杯的概率； （2） 设九月份一天销售这种冷饮的利润为 Y（单位：元） ．当九月份这种冷饮一天的进货量为 500 杯时， 写出 Y 的所有可能值并估计 Y 大于 500 的概率．19．(本小题满分 12 分) 如图，四棱锥 E-ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，M,N 分别为 BC,DE 中点． （1）证明：CN//平面 AEM； （2）若 ABE 是等边三角形，平面 ABE 平面 BCE ， CE BE , BE EC 2 ， 求三棱锥 N AEM 的体积．20. (本小题满分 12 分)x2 y 2 如图，已知椭圆 C ： 2 2 1(a b 0) ，其左右焦点为 F 1 1,0 及 F2 1,0 ，过点 F 1 的直线交椭圆 a bC 于 A, B 两点，线段 AB 的中点为 G ， AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D, E 两点，且 AF1 、 F1F2 、AF2 构成等差数列.（1）求椭圆 C 的方程； （2）记 GFD 的面积为 S1 ， OED （ O 为原点）的面积为 S2 ， 1 试问：是否存在直线 AB ，使得 S1 12S2 ？说明理由．21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) x ln x a( x 1)2 x 1(a R) （1） 当 a 0 时，求 f ( x) 的极值； （2） 当 x (1, ) 时， f ( x) 0 恒成立，求 a 的取值范围．请从下面所给的 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.22. (本小题满分 10 分)uu u r uuur 在极坐标系中， 曲线 C1 的极坐标方程是 2 (1 3sin 2 ) 16 ， 点 P 是曲线 C1 上的动点.点 M 满足 OP 2OM(O 为极点). 设点 M 的轨迹为曲线 C2 . 以极点 O 为原点， 极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系 xoy ，已知x 1 t (t 为参数）. 直线 l 的参数方程是 y t（1）求曲线 C2 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程； （2）设直线 l 交两坐标轴于 A, B 两点，求 ABM 面积的最大值．23. (本小题满分 10 分) 已知 a 0 ， b 0 ，且 a 2 b2 2 . （1）若1 4 2 2 x 1 x 1 恒成立，求 x 的取值范围； 2 a b（2）证明： 1 1 5 5 a b 4 ． a b二模文数答案一、 二、 三、 选择题：DBCC 填空题：13. 5 解答题： 的公比为 ,则 . DCDB DAAC 14. 甲 15. 16.17.解： （1）设等比数列由题意得 故数列 的通项公式为,即 .，解得.（2）由（1）有 则.18.解： （1） （2）当最高气温不低于 25℃，那么需求量为 600 杯； 当最高气温位于区间 ，那么需求量为 400 杯；当最高气温低于 20℃，那么需求量为 300 杯；故当最高气温不低于 20℃时，，19.（1）证明：取中点 ，连结．因为中，分别为中点，所以．又因为四边形是平行四边形， 所以 ，又 平面． 又 是 ，中点， 所以 平面 ，， 所以． 所以四边形为平行四边形，所以 所以 平面 ．（2）解：取中点 ，连结 平面 ，所以 平面，则 平面 ，所以，因为平面 ．平面，平面平面，又由（1）知．又因为 为 20． （1）因为中点，所以 、 、 构成等差数列，所以． ，所以 ，又因为，所以 ，使得，所以椭圆的方程为 不能与 ,． 轴垂直．（2）假设存在直线 设 方程为，显然直线 ，由 显然消去 y 整理得 ．，设，，则，故点的横坐标为，所以．设,因为，所以，解得，即．∵和相似，且，则 整理得 所以存在直线 21.解： （1） 时，，∴ ，解得 ，所以 的方程为 ，由 x （0,1） 1 解得 ， .，满足条件，且直线↘ 有极小值 ，无极大值.0极小值+↗（2）由的令 ①当 时， ，， 在 上单调增， 不合题意；当时，由解得或②当时，，，在上单调增，不合题意；③当时， 不合题意；，当时，，在上单调递增，④当时， 不符合题意；，当时，，在上单调递减，综上所述， 的取值范围是 22 解： （1）在极坐标系中，设点 代入曲线 的方程 .由 ，得 并整理，得 ， ，再化为直角坐标方程，即曲线 直线的参数方程 （2）由直线的方程为 ，可知的直角坐标方程为. .(为参数)化为普通方程是 .因为点 在曲线上，所以设，，则点 到直线的距离 即为底边上的高，所以，所以，所以，。
2018年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2018年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{1，a}，若A∩B＝{1，3}，则a＝（）A．0B．1C．2D．32．（5分）已知复数z＝，则在复平面内，z的对应点位于（）A．第一象限内B．第二象限内C．第三象限内D．第四象限内3．（5分）某高校调查了320名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是（）A．68B．72C．76D．804．（5分）已知实数x，y满足条件，则z＝2x+3y的最大值为（）A．10B．8C．3D．25．（5分）函数y＝sin（x﹣）﹣cos（x﹣）的最大值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长大于2，则该椭圆的长轴长的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．（2，4）D．（4，8）7．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4+2πB．2+6πC．4+πD．2+4π8．（5分）执行如图的程序框图，若输入a的值为2，则输出S的值为（）A．3.2B．3.6C．3.9D．4.99．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（﹣2））＝（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的图象（）A．关于点（﹣，0）对称B．关于点（﹣，0）对称C．关于直线x＝﹣对称D．关于直线x＝﹣对称11．（5分）某广场有一个如图所示的太极八卦图案，该图案是由八个共顶点的全等且相邻的等腰三角形被一个内有阴阳鱼图案的圆覆盖的中心对称图形，且图案对角连线过圆心，长度为4m，圆直径为2m．若在图案内任取一点，则该点取自圆内黑色部分的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知对∀a∈（﹣∞，0），∀x∈（0，+∞），不等式x2+（3﹣a）x+3﹣2a2＜ke x成立，则实数k的取值范围为（）A．（3，+∞）B．[3，+∞）C．（4，+∞）D．[4，+∞）二、填空题：本题共4小题每小题5分，共2013．（5分）已知向量＝（2，5），＝（﹣5，t），若⊥，则（+）•（﹣2）＝．14．（5分）已知点P是双曲线﹣y2＝1 上的一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|+|PF2|＝4，则△PF1F2的面积为．15．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，下列命题：①若m∥β，n∥β，m⊂α，n⊂α，则α∥β；②若m⊥β，n⊥β，m⊂α，n⊄α，则n∥α；③若m⊂α，n⊂β，a∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若m，n异面，m⊂α，n⊂β，且m∥β，n∥α，则α∥β．其中正确命题的序号为（填所有正确命题的序号）16．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2sin B cos C+sin C＝2sin A，sin A+sin C＝2sin A sin C，b＝3，则a+c＝．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共6017．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝3，S n+1＝3S n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n＝，求数列{b n}的前n项和T n，并求使T n＞（m2﹣3m）对所有的n∈N*恒成立的整数m的取值集合．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝4，AB＝CD，点E为PC中点．（Ⅰ）证明：DE∥平面P AB；（Ⅱ）若P A⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，直线PB与平面ABCD所成角为60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．（12分）近年来，随着科学技术迅猛发展，国内有实力的企业纷纷进行海外布局，如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外设多个分支机构，需要国内公司外派大量80 后、90 后中青年员工，该企业为了解这两个年龄层员工对是否愿意接受外派工作的态度，随机调查了100 位员工，得到数据如表：（Ⅰ）根据调查的数据，判断能否在犯错误的概率不超过0.1 的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄层有关”，并说明理由；（Ⅱ）该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，在参与调查的80 后员工中，用分层抽样方法抽出6名员工进行海外体验活动培训，再在这6 名员工中随机选出 4 名准备参加活动时发言，求参与发言的员工愿意接受外派人数不少于不愿意接受外派人数的概率．参考数据：参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．20．（12分）设抛物线的顶点为坐标原点，焦点F在y轴的正半轴上，点A是抛物线上的一点，以A为圆心，2为半径的圆与y轴相切，切点为F．（I）求抛物线的标准方程：（Ⅱ）设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点，连接QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PQ恰与抛物线相切时，求直线m的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝klnx﹣1+，且曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）＞ax对0＜x＜1恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝sinθ+cosθ，点P的曲线C上运动．（I）若点Q在射线OP上，且|OP|•|OQ|＝4，求点Q的轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）设M（4，），求△MOP面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设a＞0，b＞0，且a2b+ab2＝2，求证：（Ⅰ）a3+b3≥2；（Ⅱ）（a+b）（a5+b5）≥4．2018年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{1，a}，若A∩B＝{1，3}，则a＝（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：∵A∩B＝{1，3}；∴3∈B；∴a＝3．故选：D．2．（5分）已知复数z＝，则在复平面内，z的对应点位于（）A．第一象限内B．第二象限内C．第三象限内D．第四象限内【解答】解：∵z＝＝，∴在复平面内z的对应点的坐标为（﹣2，﹣1），位于第三象限．故选：C．3．（5分）某高校调查了320名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是（）A．68B．72C．76D．80【解答】解：由频率分布直方图得每周的自习时间不足22.5小时的频率为：（0.02+0.07）×2.5＝0.225，∴这320 名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是：0.225×320＝72．故选：B．4．（5分）已知实数x，y满足条件，则z＝2x+3y的最大值为（）A．10B．8C．3D．2【解答】解：作出实数x，y满足条件对应的平面区域（阴影部分），由z＝2x+3y，得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象可知当直线y＝﹣x+经过点B时，直线y＝﹣x+的截距最大，此时z最大．由，解得B（2，2）．此时z的最大值为z＝2×2+3×2＝10，故选：A．5．（5分）函数y＝sin（x﹣）﹣cos（x﹣）的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵y＝sin（x﹣）﹣cos（x﹣）＝＝＝＝．∴函数y＝sin（x﹣）﹣cos（x﹣）的最大值为．故选：C．6．（5分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长大于2，则该椭圆的长轴长的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．（2，4）D．（4，8）【解答】解：根据题意，椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，即e＝＝，则c＝a，又由椭圆短轴长大于2，即2b＞2，则b＞1，则有a2﹣c2＝b2＞1，即＞1，解可得a＞2，则该椭圆的长轴长2a＞4，即该椭圆的长轴长的范围为（4，+∞）；故选：B．7．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4+2πB．2+6πC．4+πD．2+4π【解答】解：由题意可知几何体的组合体，上部是三棱柱，底面边长为2，底面三角形的高为1，棱柱的高2，下部是圆柱，高为2，底面半径为：，所以几何体的体积为：＝2+4π，故选：D．8．（5分）执行如图的程序框图，若输入a的值为2，则输出S的值为（）A．3.2B．3.6C．3.9D．4.9【解答】解：执行如图所示的程序框图，若输入a＝2，则k＝1时，S＝1+＝2；k＝2时，S＝2+＝；k＝3时，S＝+＝；k＝4时，S＝+；k＝5时，S＝+＝＝3.9；此时终止循环，输出S＝3.9．故选：C．9．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（﹣2））＝（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝，则f（﹣2）＝log2（1+2）﹣1＝log2，f（f（﹣2））＝f（log2）＝＝．故选：A．10．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的图象（）A．关于点（﹣，0）对称B．关于点（﹣，0）对称C．关于直线x＝﹣对称D．关于直线x＝﹣对称【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为T＝π，∴ω＝＝2；将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，得y＝f（x+）＝sin[2（x+）﹣]＝sin（2x+）的图象，∴函数g（x）＝sin（2x+）；g（﹣）＝sin（﹣+）≠0，图象不关于点（﹣，0）对称，A错误；g（﹣）＝sin（﹣+）＝0，图象关于点（﹣，0）对称，B正确，D错误；g（﹣）＝sin（﹣+）≠±1，图象不关于x＝﹣对称，C错误；故选：B．11．（5分）某广场有一个如图所示的太极八卦图案，该图案是由八个共顶点的全等且相邻的等腰三角形被一个内有阴阳鱼图案的圆覆盖的中心对称图形，且图案对角连线过圆心，长度为4m，圆直径为2m．若在图案内任取一点，则该点取自圆内黑色部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意知，八个全等等腰三角形的面积为8××2×2×sin45°＝8；黑色部分图案的面积为π×12＝；∴所求的概率为P＝＝．故选：D．12．（5分）已知对∀a∈（﹣∞，0），∀x∈（0，+∞），不等式x2+（3﹣a）x+3﹣2a2＜ke x成立，则实数k的取值范围为（）A．（3，+∞）B．[3，+∞）C．（4，+∞）D．[4，+∞）【解答】解：由不等式x2+（3﹣a）x+3﹣2a2＜ke x成立，即成立，令f（x）＝，则f′（x）＝＝令f′（x）＝0，可得：x1＝2a﹣1，x2＝﹣a，∵a∈（﹣∞，0），∴x1＝2a﹣1＜0，x2＝﹣a＞0∵x∈（0，+∞），∴当x∈（0，﹣a），f′（x）＞0，则f（x）在x∈（0，﹣a）单调递增∴当x∈（﹣a，+∞），f′（x）＜0，则f（x）在x∈（﹣a，+∞）单调递减当x＝﹣a时，f（x）取得最大值为f（﹣a）＝＜k，即f（a）＝＜k，∵a∈（﹣∞，0），f（a）＜f（0）≤k．即k≥3．故选：B．二、填空题：本题共4小题每小题5分，共2013．（5分）已知向量＝（2，5），＝（﹣5，t），若⊥，则（+）•（﹣2）＝﹣29．【解答】解：向量＝（2，5），＝（﹣5，t），若⊥，则•＝2×（﹣5）+5t＝0，解可得t＝2，则＝（2，5），＝（﹣5，2），则有+＝（﹣3，7），﹣2＝（12，1），则（+）•（﹣2）＝（﹣3）×12+7×1＝﹣29；故答案为：﹣2914．（5分）已知点P是双曲线﹣y2＝1 上的一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|+|PF2|＝4，则△PF1F2的面积为．【解答】解：不妨设P在双曲线的右支上，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|＝2，又|PF1|+|PF2|＝4，∴|PF1|＝3，|PF2|＝，又|F1F2|＝2c＝2，∴cos∠F1PF2＝＝，sin∠F1PF2＝，∴△PF1F2的面积为＝．故答案为：．15．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，下列命题：①若m∥β，n∥β，m⊂α，n⊂α，则α∥β；②若m⊥β，n⊥β，m⊂α，n⊄α，则n∥α；③若m⊂α，n⊂β，a∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若m，n异面，m⊂α，n⊂β，且m∥β，n∥α，则α∥β．其中正确命题的序号为②④（填所有正确命题的序号）【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在①中：若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β相交或平行，故①错误；在②中：若m⊥β，n⊥β，m⊂α⇒α⊥β且m∥n，又n⊄α，则n∥α，故②正确；在③中：若m⊂α，n⊂β，a∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α与β不一定垂直，故③错误；在④中：在①中，∵m∥β，∴在β内存在直线m1∥m，又m⊂α，∴m1∥α．∵m，n是两条异面直线，∴直线m1与n是两条相交直线，又n∥α，∴α∥β，故④正确．故答案为：②④．16．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2sin B cos C+sin C＝2sin A，sin A+sin C＝2sin A sin C，b＝3，则a+c＝3．【解答】解：∵2sin B cos C+sin C＝2sin A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴cos B＝，又B是△ABC内角，∴B＝，∵sin A+sin C＝2sin A sin C，sin B＝，∴sin B（sin A+sin C）＝3，∴b（a+c）＝3ac，又b2＝a2+c2﹣2ac cos，b＝3，∴2a2c2﹣3ac﹣9＝0，解得ac＝3，∴a+c＝＝3．故答案为：3．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共6017．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝3，S n+1＝3S n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n＝，求数列{b n}的前n项和T n，并求使T n＞（m2﹣3m）对所有的n∈N*恒成立的整数m的取值集合．【解答】解：（I）∵a1＝3，S n+1＝3S n+3．∴S n+1+＝3（S n+）．S1+＝．∴数列{S n+}是等比数列，公比为3，首项为．∴S n+＝，∴S n＝﹣．∴n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣﹣＝3n．n＝1时，也成立．∴a n＝3n．（II）b n＝＝＝2，∴数列{b n}的前n项和T n＝2+……+＝2≥1．T n＞（m2﹣3m），∴1＞（m2﹣3m），∴﹣1＜m＜4，使T n＞（m2﹣3m）对所有的n∈N*恒成立的整数m的取值集合为{0，1，2，3}．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝4，AB＝CD，点E为PC中点．（Ⅰ）证明：DE∥平面P AB；（Ⅱ）若P A⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，直线PB与平面ABCD所成角为60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取PB中点M，连结EM，AM∵E是PC的中点，∴EM∥BC，EM＝BC，∵AD∥BC，BC＝2AD，∴EM AD，∴四边形ADEM是平行四边形，∴AM∥DE，∵DE⊄平面P AB，AM⊂平面P AB，∴DE∥平面P AB．解：（Ⅱ）由条件∠ABC＝60°，BC＝2AD＝4，则△DFC是边长为2的等边三角形，四边形ABFD是边长为2的菱形，等腰梯形ABCD的面积S＝＝3，∵P A⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成角，∵P A⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，直线PB与平面ABCD所成角为60°，∴∠PBA＝60°，P A＝，∴四棱锥P﹣ABCD的体积V＝＝＝6．19．（12分）近年来，随着科学技术迅猛发展，国内有实力的企业纷纷进行海外布局，如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外设多个分支机构，需要国内公司外派大量80 后、90 后中青年员工，该企业为了解这两个年龄层员工对是否愿意接受外派工作的态度，随机调查了100 位员工，得到数据如表：（Ⅰ）根据调查的数据，判断能否在犯错误的概率不超过0.1 的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄层有关”，并说明理由；（Ⅱ）该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，在参与调查的80 后员工中，用分层抽样方法抽出6名员工进行海外体验活动培训，再在这6 名员工中随机选出 4 名准备参加活动时发言，求参与发言的员工愿意接受外派人数不少于不愿意接受外派人数的概率．参考数据：参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．【解答】解：（Ⅰ）根据调查的数据，计算K2＝＝≈2.778≥2.706，所以在犯错误的概率不超过0.1 的前提下，认为“是否愿意接受外派与年龄层有关”；（Ⅱ）由于参与调查的80 后员工愿意接受外派与不愿意接受外派人数相同，用分层抽样方法抽出6名员工，愿意接受外派与不愿意接受外派的各3名，设不愿意接受外派的3人为A、B、C，愿意接受外派的为d、e、f，现从这6人中选4人（相当于其中2人没有抽到），基本事件是AB、AC、Ad、Ae、Af、BC、Bd、Be、Bf、Cd、Ce、Cf、de、df、ef共15种，“愿意接受外派的人数不少于不愿意接受外派人数”即“愿意接受外派的人数为2人或3人”，基本事件是（转化为2人没有被抽到），即Ad、Ae、Af、Bd、Be、Bf、Cd、Ce、Cf、de、df、ef共12种，故满足题意的概率为P＝＝．20．（12分）设抛物线的顶点为坐标原点，焦点F在y轴的正半轴上，点A是抛物线上的一点，以A为圆心，2为半径的圆与y轴相切，切点为F．（I）求抛物线的标准方程：（Ⅱ）设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点，连接QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PQ恰与抛物线相切时，求直线m的方程．【解答】解：（Ⅰ）设所求抛物线方程为x2＝2px（p＞0），由以A为圆心，2为半径的圆与y轴相切，切点为F，所以p＝2，即该抛物线的标准方程为x2＝4y．（Ⅱ）由题知，直线m的斜率存在，不妨设直线m：y＝kx+6，P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消y得x2﹣4kx﹣24＝0，即 (1)抛物线在点P（）处的切线方程为，令y＝﹣1，得x＝，所以R（），而Q，F，R三点共线，所以k QF＝k FR，及F（0，1），得（）（+16x1x2＝0，整理得﹣4[（x1+x2）2﹣2x1x2]+16+16x1x2]＝0，将（1）式代入得k2＝，即k＝，故所求直线m的方程为y＝或y＝﹣．21．（12分）已知函数f（x）＝klnx﹣1+，且曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）＞ax对0＜x＜1恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝﹣＝，∵y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，∴f′（1）＝0，即k＝1，∴f′（x）＝，∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）．（II）f（x）＝lnx﹣1+，∵f（x）＞ax对0＜x＜1恒成立，∴a＜在（0，1）上恒成立，设g（x）＝＝（0＜x＜1），则g′（x）＝＝，令h（x）＝2x﹣xlnx﹣2（0＜x＜1），则h′（x）＝2﹣lnx﹣1＝1﹣lnx＞0，∴h（x）在（0，1）上单调递增，∴h（x）＜h（1）＝0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1）上单调递减，∴g（x）＞g（1）＝0，∴a≤0．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝sinθ+cosθ，点P的曲线C上运动．（I）若点Q在射线OP上，且|OP|•|OQ|＝4，求点Q的轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）设M（4，），求△MOP面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设Q（ρ，θ），P（ρ1，θ）（ρ＞0，ρ1＞0），则ρ1＝sinθ+cosθ，又|OP|•|OQ|＝4，∴ρρ1＝4，即，∴＝sinθ+cosθ，∴ρsinθ+ρcosθ＝4，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入ρsinθ+ρcosθ＝4，得点Q轨迹方程为x+y＝4；（Ⅱ）设P（ρ，θ）（ρ＞0），则ρ＝cosθ+sinθ，∵M（4，），∴△MOP面积＝+sinθ）2＝，当且仅当sin2θ＝1时，取“＝”，取即可，∴△MOP面积的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．设a＞0，b＞0，且a2b+ab2＝2，求证：（Ⅰ）a3+b3≥2；（Ⅱ）（a+b）（a5+b5）≥4．【解答】证明：（Ⅰ）设a＞0，b＞0，且a2b+ab2＝2，∴（a3+b3）﹣2＝a3+b3﹣a2b﹣ab2＝a2（a﹣b）+b2（b﹣a）＝（a﹣b）（a2﹣b2）＝（a﹣b）2（a+b）≥0，∴a3+b3≥2；（Ⅱ）（a+b）（a5+b5）＝a6+b6+a5b+ab5＝（a3+b3）2﹣2a3b3+a5+ab5＝（a3+b3）2﹣2a3b3+a5b+ab5＝（a3+b3）2+ab（a4﹣2a2b2+b4）＝（a3+b3）2+ab（a2﹣b2）2，∵a＞0，b＞0，a3+b3≥2，∴（a+b）（a5+b5）≥4．。
2018年东北三省四市高考数学二模试卷
2018年东北三省四市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U=R，集合A={x|x＞0}，B={x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩（∁U B）=（）A．（0，2]B．（﹣1，2]C．[﹣1，2]D．[2，+∞）2．若复数z=，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A．B．﹣C．﹣i D．i3．“直线y=x+b与圆x2+y2=1相交”是“0＜b＜1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．函数f（x）=满足f（x）=1的x值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣2 D．1或﹣15．已知||=1，||=2，向量与的夹角为60°，则|+|=（）A．B．C．1 D．26．已知抛物线x2=2y的焦点与椭圆+=1的一个焦点重合，则m=（）A．1 B．2 C．3 D．7．已知函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值为4，最小值为0，两个对称轴间的最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式是（）A．B．C．D．8．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．69．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=1，b=，B=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1 D．10．若正实数x，y满足x+2y+2xy﹣8=0，则x+2y的最小值（）A．3 B．4 C．D．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．4+2πD．4+π12．函数f（x）的定义域为D，对给定的正数k，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[ka，kb]，则称区间[a，b]为y=f（x）的k级“理想区间”．下列结论错误的是（）A．函数f（x）=x2（x∈R）存在1级“理想区间”B ．函数f （x ）=e x （x ∈R ）不存在2级“理想区间”C ．函数f （x ）=（x ≥0）存在3级“理想区间”D ．函数f （x ）=tanx ，x ∈（﹣，）不存在4级“理想区间”二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，其中学号为前30名的同学平均成绩为90，则后20名同学的平均成绩为 ． 14．若函数f （x ）=e x •sinx ，则f'（0）= ．15．等比数列{a n }中各项均为正数，S n 是其前n 项和，且满足2S 3=8a 1+3a 2，a 4=16，则S 4= ． 16．F 为双曲线（a ＞b ＞0）的左焦点，过点F 且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A ，B 两点，若=，则双曲线的离心率为 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程． 17．已知点P （，1），Q （cosx ，sinx ），O 为坐标原点，函数f （x ）=•．（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）若A 为△ABC 的内角，f （A ）=4，BC=3，△ABC 的面积为，求△ABC的周长．18．某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如表： 女性用户：男性用户（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不要求计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，再从这20名用户中满足评分不低于80分的用户中任意抽取2名用户，求2名用户评分都小于90分的概率．19． 如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD ，AD=AP=2，AB=2，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）证明：PD ⊥平面ABE ；（Ⅱ）求三棱锥C ﹣PBD 外接球的体积．20．已知函数f （x ）=ax ﹣lnx ．（1）过原点O 作函数f （x ）图象的切线，求切点的横坐标；（2）对∀x ∈[1，+∞），不等式f （x ）≥a （2x ﹣x 2）恒成立，求实数a 的取值范围．21．已知椭圆C ：+y 2=1（a ＞1），B 1，B 2分别是其上、下顶点，椭圆C 的左焦点F1在以B1B2为直径的圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N的横坐标的取值范围是（﹣，0），求线段AB 长的取值范围．从22、23题中任选一题作答.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]．23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．2018年东北三省四市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2018年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学二模试卷(文科)及答案
2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，集合B={x|1＜x＜4}，则A∪B=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜4}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|2＜x＜4} 3．（5分）已知平面向量，则向量=（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，2）C．（﹣1，0）D．（﹣2，1）4．（5分）设x∈R，则使lg（x+1）＜1成立的必要不充分条件是（）A．﹣1＜x＜9B．x＞﹣1C．x＞1D．1＜x＜9 5．（5分）等比数列{a n}中，a3=﹣2，a11=﹣8，则a7=（）A．﹣4B．4C．±4D．﹣56．（5分）过抛物线C：y2=4x的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且，则弦AB的长为（）A．B．4C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．B．C．D．18．（5分）如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．3B．4C．6D．89．（5分）“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折起，使面BAC⊥面DAC，则四面体A﹣BCD的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π11．（5分）双曲线C：的左顶点为A，右焦点为F，过点F作一条直线与双曲线C的右支交于点P，Q，连接PA，QA分别与直线l：交于点M，N，则∠MFN=（）A．B．C．D．12．（5分）已知定义域为R的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）＞f （x）+1，则下列正确的是（）A．f（2018）﹣ef（2017）＞e﹣1B．f（2018）﹣ef（2017）＜e﹣1 C．f（2018）﹣ef（2017）＞e+1D．f（2018）﹣ef（2017）＜e+1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数的值域为．14．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z=3x+4y的最大值为．15．（5分）写出下列命题中所有真命题的序号．①两个随机变量线性相关性越强，相关系数r越接近1；②回归直线一定经过样本点的中心；③线性回归方程，则当样本数据中x=10时，必有相应的y=12；④回归分析中，相关指数R2的值越大说明残差平方和越小．16．（5分）数列{a n}中，，，设数列的前n项和为S n，则S n=．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2a﹣2ccosB．（1）求角C的大小；（2）求的最大值，并求出取得最大值时角A，B的值．18．（12分）某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩，将数学成绩进行分组，并根据各组人数制成如下频率分布表：（1）写出a，b，c，d的值，并估计本次考试全年级学生的数学平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现从成绩在[90，100]内的学生中任选出两名同学，从成绩在[40，50）内的学生中任选一名同学，共三名同学参加学习习惯问卷调查活动．若A1同学的数学成绩为43分，B1同学的数学成绩为95分，求A1，B1两同学恰好都被选出的概率．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，，D，E分别是棱CC1、BB1的中点．（1）证明：A1E⊥AD；（2）求点A到平面A1B1D的距离．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，动点M（x，y）总满足关系式．（1）点M的轨迹是什么曲线？并写出它的标准方程；（2）坐标原点O到直线l：y=kx+m的距离为1，直线l与M的轨迹交于不同的两点A，B，若，求△AOB的面积．21．（12分）已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）=（x﹣m）e x（常数m∈R）．（1）若m=2，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）+m+1＞0恒成立，求实数m的最大整数值．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2：．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线（ρ＞0）与曲线C1的异于极点的交点为A，与曲线C2的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x﹣1|．（1）设f（x）+f（x+1）＜5的解集为集合A，求集合A；（2）已知m为集合A中的最大自然数，且a+b+c=m（其中a，b，c为正实数），设．求证：M≥8．2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数==i在复平面内对应的点位于第四象限．故选：D．2．（5分）设集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，集合B={x|1＜x＜4}，则A∪B=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜4}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|2＜x＜4}【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜4}，则A∪B={x|﹣1＜x＜4}．故选：B．3．（5分）已知平面向量，则向量=（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，2）C．（﹣1，0）D．（﹣2，1）【解答】解：向量=（，）﹣（，﹣）=（﹣，+）=（﹣1，2）．故选：B．4．（5分）设x∈R，则使lg（x+1）＜1成立的必要不充分条件是（）A．﹣1＜x＜9B．x＞﹣1C．x＞1D．1＜x＜9【解答】解：由lg（x+1）＜1得0＜x+1＜10，得﹣1＜x＜9，即不等式的等价条件是﹣1＜x＜9，则使lg（x+1）＜1成立的必要不充分条件对应范围要真包含（﹣1，9），则对应的范围为x＞﹣1，故选：B．5．（5分）等比数列{a n}中，a3=﹣2，a11=﹣8，则a7=（）A．﹣4B．4C．±4D．﹣5=﹣=﹣【解答】解：由等比数列的性质可得：奇数项的符号相同，∴a=﹣4．故选：A．6．（5分）过抛物线C：y2=4x的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且，则弦AB的长为（）A．B．4C．D．【解答】解：抛物线y2=4x，∴P=2，且经过点F的直线与抛物线相交于A、B两点，其横坐标分别为x1，x2，利用抛物线定义，则|FA|=x1﹣（﹣）=x1+1，|FB|=x2﹣（﹣）=x2+1，∴|AB|=|FA|+|FB|=（x1+x2）+2=+2=．故选：C．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．B．C．D．1【解答】解：s=﹣1，i=2≤4，a=1+1=2，s=﹣1+2=1，i=3≤4，a=1﹣=，s=1+=，i=3+1≤4，a=1﹣2=﹣1，s=﹣1=，i=4+1＞4，输出s=，故选：C．8．（5分）如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．3B．4C．6D．8【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为直角三角形，侧棱PA⊥底面ABC，则该三棱锥的体积为．故选：B．9．（5分）“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为﹣1，面积为4﹣2故飞镖落在阴影区域的概率为=1﹣．故选：A．10．（5分）矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折起，使面BAC⊥面DAC，则四面体A﹣BCD的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π【解答】解：矩形ABCD中，∵AB=4，BC=3，∴DB=AC=5，设DB交AC与O，则O是△ABC和△DAC的外心，球心一定在过O且垂直于△ABC的直线上，也在过O且垂直于△DAC的直线上，这两条直线只有一个交点O因此球半径R=2.5，四面体ABCD的外接球的体积：V=×π×（2.5）3=．故选：C．11．（5分）双曲线C：的左顶点为A，右焦点为F，过点F作一条直线与双曲线C的右支交于点P，Q，连接PA，QA分别与直线l：交于点M，N，则∠MFN=（）A．B．C．D．【解答】解：（一般方法）双曲线C：的左顶点为A（﹣1，0），右焦点为F（2，0），设直线PQ的方程为x=ky+2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）联立方程组可得，消x整理可得（3k2﹣1）y2+12ky+9=0，且k2≠，∴y1+y2=，y1•y2=，∴x1+x2=k（y1+y2）+4=，x1x2=k2y1y2+2k（y1+y2）+4=则直线PA的方程为y=•（x+1），直线QA的方程为y=•（x+1），分别令x=，可得y M=•，y N=•，∴=（，﹣•），=（，﹣•），∴•=+•=+=0，∴⊥，∴∠MFN=，（特殊方法），不妨令直线PQ为直线x=2，由，解得y=±3，∴P（2，3），Q（2，﹣3），∴直线PA的方程为y=3x+3，当x=时，y=，即M（，），同理可得N（，﹣），∴=（，﹣），=（，），∴•=﹣=0，∴⊥，∴∠MFN=，故选：C．12．（5分）已知定义域为R的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）＞f （x）+1，则下列正确的是（）A．f（2018）﹣ef（2017）＞e﹣1B．f（2018）﹣ef（2017）＜e﹣1 C．f（2018）﹣ef（2017）＞e+1D．f（2018）﹣ef（2017）＜e+1【解答】解：令g（x）=+e﹣x，则g′（x）=﹣=＞0，故g（x）在R递增，故g（2018）＞g（2017），即+e﹣2018＞+e﹣2017，故f（2018）+1＞ef（2017）+e，即f（2018）﹣ef（2017）＞e﹣1，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数的值域为（0，+∞）．【解答】解：8x＞0；∴8x+1＞1；∴；∴f（x）的值域为（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．14．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z=3x+4y的最大值为18．【解答】解：作出约束条件，所示的平面区域，让如图：作直线3x+4y=0，然后把直线L向可行域平移，结合图形可知，平移到点A时z 最大由可得A（2，3），此时z=18．故答案为：18．15．（5分）写出下列命题中所有真命题的序号②④．①两个随机变量线性相关性越强，相关系数r越接近1；②回归直线一定经过样本点的中心；③线性回归方程，则当样本数据中x=10时，必有相应的y=12；④回归分析中，相关指数R2的值越大说明残差平方和越小．【解答】解：对于①，两个随机变量线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近1，∴①错误；对于②，回归直线一定经过样本点的中心，②正确；对于③，线性回归方程，当样本数据中x=10时，则y=0.2×10+10=12，∴样本数据x=10时，预测y=12，∴③错误；对于④，回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和越小，∴④正确．综上，正确的命题是②④．故答案为：②④．16．（5分）数列{a n}中，，，设数列的前n项和为S n，则S n=．【解答】解：∵，，∴﹣=1，∴数列是等差数列，首项为2，公差为1．∴=2+n﹣1=n+1，∴a n=，∴=﹣，∴数列的前n项和为S n=+……+﹣+……+=﹣=．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2a﹣2ccosB．（1）求角C的大小；（2）求的最大值，并求出取得最大值时角A，B的值．【解答】解：（1）△ABC中，b=2a﹣2ccosB=2a﹣2c•，整理得a2+b2﹣c2=ab，即cosC===，因为0＜C＜π，则C=；（2）由（1）知，则B=π﹣A﹣，于是=cosA+sin（π﹣A）=cosA+sinA=2sin（A+），由，则0＜A＜，∴＜A+＜π，∴当时，取得最大值为2，此时B=．18．（12分）某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩，将数学成绩进行分组，并根据各组人数制成如下频率分布表：（1）写出a，b，c，d的值，并估计本次考试全年级学生的数学平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现从成绩在[90，100]内的学生中任选出两名同学，从成绩在[40，50）内的学生中任选一名同学，共三名同学参加学习习惯问卷调查活动．若A1同学的数学成绩为43分，B1同学的数学成绩为95分，求A1，B1两同学恰好都被选出的概率．【解答】解：（1）由频率分布表，得：，解得a=2，b=0.06，c=12，d=0.24，估计本次考试全年级学生的数学平均分为：45×0.04+55×0.06+65×0.28+75×0.3+85×0.24+95×0.08=73.8．（2）设数学成绩在[90，100]内的四名同学分别为B1，B2，B3，B4，成绩在[40，50）内的两名同学为A1，A2，则选出的三名同学可以为：A1B1B2、A1B1B3、A1B1B4、A1B2B3、A1B2B4、A1B3B4、A2B1B2、A2B1B3、A2B1B4、A2B2B3、A2B2B4、A2B3B4，共有12种情况．A1，B1两名同学恰好都被选出的有A1B1B2、A1B1B3、A1B1B4，共有3种情况，所以A1，B1两名同学恰好都被选出的概率为．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，，D，E分别是棱CC1、BB1的中点．（1）证明：A1E⊥AD；（2）求点A到平面A1B1D的距离．【解答】证明：（1）连接DE，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1，得CC1⊥BC，∵BC⊥AC又有CC1∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1A1∵D，E分别为CC1，BB1的中点，则DE∥BC，∴DE⊥平面ACC1A1，∴DE⊥AD∵，∴AD⊥A1D，A1D∩DE=D，AD⊥平面A1DE，∴A1E⊥AD．解：（2）设点A到平面A1B1D的距离为d，∵B1C1⊥A1C1，B1C1⊥CC1，CC1∩A1C1=C1，∴B1C1⊥平面A1DA由知，，即，解得．点A到平面A1B1D的距离为．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，动点M（x，y）总满足关系式．（1）点M的轨迹是什么曲线？并写出它的标准方程；（2）坐标原点O到直线l：y=kx+m的距离为1，直线l与M的轨迹交于不同的两点A，B，若，求△AOB的面积．【解答】解：（1）根据题意，动点M（x，y）总满足关系式，整理变形可得：，所以点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，它的标准方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由点O到直线l：y=kx+m的距离为1，得，即m2=1+k2，联立直线与椭圆的方程，可得消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=48（3+4k2﹣m2）=48（3k2+2）＞0，，==．∵，∴，解得，，∴，∴．21．（12分）已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）=（x﹣m）e x（常数m∈R）．（1）若m=2，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）+m+1＞0恒成立，求实数m的最大整数值．【解答】解：（1）当m=2时，f（x）=（x﹣2）e x（x∈（0，+∞）），∴f'（x）=（x﹣1）e x，令f'（x）＞0，有x＞1，∴f（x）在（1，+∞）上为增函数，令f'（x）＜0，有0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）上为减函数，综上，f（x）在（0，1）上为减函数，f（x）在（1，+∞）上为增函数．（2）∵f（x）+m+1＞0对于x∈（0，+∞）恒成立，即f（x）＞﹣m﹣1对于x∈（0，+∞）恒成立，由（1）知①当m≤1时，f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴f（x）＞f（0）=﹣m，∴﹣m＞﹣m﹣1恒成立∴m≤1②当m＞1时，在（0，m﹣1）上为减函数，f（x）在（m﹣1，+∞）上为增函数．∴，∴﹣e m﹣1＞﹣m﹣1∴e m﹣1﹣m﹣1＜0设g（m）=e m﹣1﹣m﹣1（m＞1），∴g'（m）=e m﹣1﹣1＞0（m＞1），∴g（m）在（1，+∞）上递增，而m∈Zg（2）=e﹣3＜0，g（3）=e2﹣4＞0，∴在（1，+∞）上存在唯一m0使得g（m0）=0，且2＜m0＜3，∵m∈Z，∴m最大整数值为2，使e m﹣1﹣m﹣1＜0，即m最大整数值为2，有f（x）+m+1＞0对于x∈（0，+∞）恒成立．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2：．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线（ρ＞0）与曲线C1的异于极点的交点为A，与曲线C2的交点为B，求|AB|．【解答】（1）曲线C1的参数方程（θ为参数）可化为普通方程x2+（y﹣1）2=1，由，可得曲线C1的极坐标方程为ρ=2sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+cos2θ）=2．（2）射线（ρ＞0）与曲线C1的交点A的极径为，射线（ρ＞0）与曲线C2的交点B的极径满足，解得，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x﹣1|．（1）设f（x）+f（x+1）＜5的解集为集合A，求集合A；（2）已知m为集合A中的最大自然数，且a+b+c=m（其中a，b，c为正实数），设．求证：M≥8．【解答】解：（1）f（x）+f（x+1）＜5，即|2x﹣1|+|2x+1|＜5；当时，不等式化为1﹣2x﹣2x﹣1＜5，∴；当时，不等式化为1﹣2x+2x+1＜5，不等式恒成立；当时，不等式化为2x﹣1+2x+1＜5，∴；综上，集合；（2）证明：由（1）知m=1，则a+b+c=1；则；同理；则；即M≥8．。
东北三省四市2018届高考第二次模拟数学试题(理)含答案
东北三省四市教研联合体2018届高三第二次模拟考试
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合03,1x x x B x x A ，则B A （）
A ．（-1,0）
B ．（0,1）
C ．（-1,3）
D ．（1,3）
2.若复数ai i
z 11为纯虚数，则实数a 的值为（）
A ．1
B ．0
C ．21
D ．-1
3.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”取意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代是用算筹来进行计算.算筹是将几寸长的小竹棍摆在下面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式（如下图所示).表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列.但各位数码的筹式要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十
位，千位，十万位数用横式表示.以此类推.例如3266用箅筇表示就是，则8771用算筹可表示为（）
中国古代的算筹数码
A ．
B ．
C ．
D ．
4.右图所示的程序框图是为了求出满足2822n n 的最小偶数n ，那么在空白框内填入及最后输出的n 值分别是（）
A ．1n n
和6 B ．2n n 和6 C.1n n 和8 D ．2n n 和
8 5.函数x x
x x f tan 1)(2的部分图像大致为（）
A ．
B ．
C. D ．6.某几何体的三视图如图所示
（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（）。
东北三省四市2018届高考第二次模拟数学试题(理)含答案
东北三省四市教研联合体2018届高三第二次模拟考试理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}(){}03,1 -==x x x B x x A ，则B A （ ） A ．（-1,0） B ．（0,1） C ．（-1,3） D ．（1,3）2.若复数aiiz ++=11为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．21- D ．-13.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”取意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代是用算筹来进行计算.算筹是将几寸长的小竹棍摆在下面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式（如下图所示).表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列.但各位数码的筹式要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示.以此类推.例如3266用箅筇表示就是，则8771用算筹可表示为（ ）中国古代的算筹数码 A ．B ．C ．D ．4.右图所示的程序框图是为了求出满足2822n n -的最小偶数n ，那么在空白框内填入及最后输出的n 值分别是（ ）A ．1+=n n 和6B ．2+=n n 和6 C.1+=n n 和8 D ．2+=n n 和85.函数xxx x f tan 1)(2++=的部分图像大致为（ ）A ．B ．C. D ．6.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．34B ．3310 C.32 D ．3387.6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种A ．24B ．36 C.48 D ．608.ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若ABC b A c C a B b ∆=+=,2,cos cos cos 2的面积最大值是（ ）A ．1B ．3 C.2 D ．49.已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将ABC ∆折成直二面角C AD B --，则过D C B A ,,,四点的球的表面积为（ ）A ．π3B ．π4 C.π5 D ．π6 10.将函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin )(πx x f 的图像向右平移a 个单位得到函数的图象，则的值可以为（ ） A ．B ．C ．D ．11..已知焦点在轴上的双曲线的左右两个焦点分别为和，其右支上存在一点满足，且的面积为3，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．12.若直线（）和曲线（）的图象交于，，（）三点时，曲线在点，点处的切线总是平行，则过点可作曲线的（ ）条切线 A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设实数，满足约束条件则的最大值为 ．14.为了了解居民天气转冷时期电量使用情况，某调查人员由下表统计数据计算出回归直线方程为，现表中一个数据为污损，则被污损的数据为 ．（最后结果精确到整数位）()cos(2)4g x x π=+a 512π712π924π14124πx 222211x y m m -=-1F 2F P 12PF PF ⊥12PF F ∆52722310kx y k --+=k R ∈:E 3253y ax bx =++0ab ≠11(,)A x y 22(,)B x y 33(,)C x y 123x x x <<E A C (,)b a E x y 0,40,5,y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩25z x y =++2.1161.13y x =-+15.已知函数满足，当时，的值为 ．16.已知腰长为2的等腰直角中，为斜边的中点，点为该平面内一动点，若，则的最小值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设数列的前项和为，且，正项等比数列的前项和为，且，．（I ）求和的通项公式；（II ）数列中，，且，求的通项．18.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）； （2）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求这2组恰好抽到2人的概率；（3）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设其中关注环境治理和保护问题的人数为随机变量，求的分布列与数学期望．19.在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，，分别是线段，的中点，．()f x 1()(1)1()f x f x f x ++=-(1)2f =(2018)(2019)f f +ABC ∆M AB P ||2PC =()()PA PB PC PM ⋅⋅⋅{}n a n n S 21n S n n =-+{}n b n n T 22b a =45b a ={}n a {}n b {}n c 11c a =1n n n c c T +=-{}n c n c 80%[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)X X ABCD PA ⊥ABCD E F AD PB 1PA AB ==（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．20.在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）已知与为平面内的两个定点，过点的直线与椭圆交于，两点，求四边形面积的最大值．21.已知函数（）． （I ）若为在上的单调递增函数，求实数的取值范围；（II ）设，当时，若（其中，），求证：． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：，曲线：（）．（I ）求与交点的极坐标； （II ）设点在上，，求动点的极坐标方程． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数，． （I ）当时，求不等式的解集； （II ）对于都有恒成立，求实数的取值范围．//EF DCP EFC PDC C 22221(0)x y a b a b+=>>123(1,)2M C C (2,0)P -(2,0)Q (1,0)l C A B APBQ 2()45xaf x x x e =-+-a R ∈()f x R a ()()xg x e f x =1m ≥12()()2()g x g x g m +=1x m <2x m >122x x m +<xOy x 1C cos 3ρθ=2C 4cos ρθ=02πθ≤<1C 2C Q 2C 23OQ QP =P ()|2||23|f x x x m =+++m R ∈2m =-()3f x ≤(,0)x ∀∈-∞2()f x x x≥+m数学（理科）试题参考答案一、选择题1-5: 6-10: 11、12： 二、填空题13.14 14.38 15. 16.22432- 三、解答题17.解：（1）∵，∴令，，，，经检验不能与（）时合并，∴又∵数列为等比数列，，，∴，∴， ∴，∴．（2）， ∵，，…，，以上各式相加得， ，∴， ∴．18.解：（1）由，得， 平均数为岁；设中位数为，则，∴岁． （2）第1,2组抽取的人数分别为2人，3人．CDCDD BABCC BC 72-21n S n n =-+1n =11a =12(1)n n n a S S n -=-=-(2)n ≥11a =n a 2n ≥1,1,2(1), 2.n n a n n =⎧=⎨-≥⎩{}n b 222b a ==458b a ==2424b q b ==2q =11b =12n n b -=122112nn n T -==--12121c c -=-23221c c -=-1121n n n c c ---=-112(12)(1)12n n c c n ---=---111c a ==121nn c n -=--21nn c =-10(0.0100.0150.0300.010)1a ⨯++++=0.035a =200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x 100.010100.015(35)0.0350.5x ⨯+⨯+-⨯=42.1x ≈设第2组中恰好抽取2人的事件为，则． （3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注环境治理和保护问题的概率为， 的所有可能取值为0，1,2,3，∴，，，，所以的分布列为：∵， ∴． 19.解：（1）取中点，连接，，∵，分别是，中点，∴，， ∵为中点，为矩形，∴，，∴，，∴四边形为平行四边形， ∴，∵平面，平面， ∴平面．（2）∵平面，且四边形是正方形，∴，，两两垂直，以为原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面法向量，，，则即取， 设平面法向量为，，，A 1223353()5C C P A C ==45P =X 03341(0)(1)5125P X C ==-=11234412(1)()(1)55125P X C ==-=2234448(2)()(1)55125P X C ==-=333464(3)()5125P X C ===X X 0123P 11251212548125641254~(3,)5X B 412()355E X =⨯=PC M DM MF M F PC PB //MF CB 12MF CB =E DA ABCD //DE CB 12DE CB =//MF DE MF DE =DEFM //EF DM EF ⊄PDC DM ⊂PDC //EF PDC PA ⊥ABC ABCD AD AB AP A AP AB AD x y z A xyz -(1,0,0)P (0,0,1)D (0,1,1)C 1(0,0,)2E 11(,,0)22F EFC 1(,,)n x y z =111(,,)222EF =-11(,,1)22FC =-110,0,EF n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0,110,22x y z x y z +-=⎧⎪⎨-++=⎪⎩1(3,1,2)n =-PDC 2(,,)n x y z =(1,0,1)PD =-(1,1,1)PC =-则即取，， 所以平面与平面． 20.解：（1）∵，∴， 椭圆的方程为，将代入得，∴， ∴椭圆的方程为． （2）设的方程为，联立 消去，得， 设点，， 有，， 有， 点到直线，点到直线，从而四边形的面积（或） 令，，有，设函数，，所以在上单调递增， 220,0,PD n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0,0,x z x y z -+=⎧⎨-++=⎩2(1,0,1)n =12121257cos ,||||142n n n n n n ⋅<>===⋅⨯EFC PDC 5712c a =2a c =2222143x y c c+=3(1,)222191412c c+=21c =22143x y +=l 1x my =+221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x 22(34)690m y my ++-=11(,)A x y 22(,)B x y 122634m y y m -+=+122934y y m -=+2222212112(1)||13434m m AB m m m ++=+=++P (2,0)-l 21m +(2,0)Q l 21m+APBQ 22222112(1)241234341m m S m m m++=⨯=+++121||||2S PQ y y =-21t m +1t ≥22431t S t =+243t t=+1()3f t t t =+21'()30f t t=->()f t [1,)+∞有，故， 所以当，即时，四边形面积的最大值为6． 21.解：（1）∵的定义域为且单调递增， ∴在上，恒成立， 即：，所以设，， ∴，∴当时，，∴在上为增函数， ∴当时，，∴在上为减函数，∴，∵，∴，即．（2）∵， ∵，，∴， ∴， ∴设，，则， ∴，∴在上递增，∴设，， ∴，∵， ∴，，∴，在上递增，134t t+≥2242461313t S t t t==≤++1t =0m =APBQ ()f x x R ∈x R ∈'()240xaf x x e =-+≥(42)x a x e ≥-()(42)x h x x e =-x R ∈'()(22)x h x x e =-(,1)x ∈-∞'()0h x >()h x (,1)x ∈-∞[1,)x ∈+∞'()0h x ≤()h x [1,)x ∈+∞max ()(1)2h x h e ==max (42)x a x e ⎡⎤≥-⎣⎦2a e ≥[2,)a e ∈+∞2()()(45)x xg x e f x x x e a ==-+-12()()2()g x g x g m +=[1,)m ∈+∞122221122(45)(45)2(45)2xxmx x e a x x e a m m e a -+-+-+-=-+-122221122(45)(45)2(45)xxmx x e x x e m m e -++-+=-+2()(45)xx x x e ϕ=-+x R ∈12()()2()x x m ϕϕϕ+=2'()(1)0xx x e ϕ=-≥()x ϕx R ∈()()()F x m x m x ϕϕ=++-(0,)x ∈+∞22'()(1)(1)m xm x F x m x e m x e +-=+----0x >0m xm x ee +->>22(1)(1)(22)20m x m x m x +----=-≥'()0F x ≥()F x (0,)x ∈+∞∴，∴，， 令，∴，即， 又∵，∴，即， ∵在上递增，∴，即得证． 22.解：（1）联立，∵，，∴所求交点的极坐标．（2）设，且，，由已知，得 ∴，点的极坐标方程为，． 23.解：（1）当时，当解得；当，恒成立；当解得， ()(0)2()F x F m ϕ>=()()2()m x m x m ϕϕϕ++->(0,)x ∈+∞1x m x =-11()()2()m m x m m x m ϕϕϕ+-+-+>11(2)()2()m x x m ϕϕϕ-+>12()()2()x x m ϕϕϕ+=12(2)2()()2()m x m x m ϕϕϕϕ-+->12(2)()m x x ϕϕ->()x ϕx R ∈122m x x ->122x x m +<cos 3,4cos ,ρθρθ=⎧⎨=⎩3cos θ=02πθ≤<6πθ=23ρ=(23,)6π(,)P ρθ00(,)Q ρθ004cos ρθ=0[0,)2πθ∈23OQ QP =002,5,ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩24cos 5ρθ=P 10cos ρθ=[0,)2πθ∈2m =-41,0,3()|2||23|21,0,2345,.2x x f x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=++-=-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩413,0,x x +≤⎧⎨≥⎩102x ≤≤302x -<<13≤453,3,2x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩322x -≤≤-此不等式的解集为． （2）令 当时，，当时，，所以在上单调递增，当，所以在上单调递减， 所以，所以，当时，，所以在上单调递减， 所以， 所以， 综上，．1|22x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭233,0,22()()2353,,2x m x x g x f x x x x m x x ⎧--++-≤<⎪⎪=--=⎨⎪--+-≤-⎪⎩302x -≤<22'()1g x x=-+20x -≤<'()0g x ≥()g x [2,0)-322x -≤≤'()0g x ≤()g x 3[,2)2-min ()(2)g x g =-2230m =+≥223m ≥-32x ≤-22'()50g x x =-+<()g x 3(,]2-∞-min 335()()026g x g m =-=+≥356m ≥-223m ≥-。
东北三省四市教研联合体2018届高三第二次模拟考试文科数学含答案
东北三省四市教研联合体2018届高三第二次模拟考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}(){}03,1 -==x x x B x x A ，则B A （ ） A ．（-1,0） B ．（0,1） C ．（-1,3） D ．（1,3）2.若复数aiiz ++=11为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．21- D ．-13.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”取意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代是用算筹来进行计算.算筹是将几寸长的小竹棍摆在下面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式（如下图所示).表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列.但各位数码的筹式要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示.以此类推.例如3266用箅筇表示就是，则8771用算筹可表示为（ ）中国古代的算筹数码 A ．B ．C ．D ．4.右图所示的程序框图是为了求出满足2822 n n -的最小偶数n ，那么在空白框内填入及最后输出的n 值分别是（ ）A ．1+=n n 和6B ．2+=n n 和6 C.1+=n n 和8 D ．2+=n n 和85.函数xxx x f tan 1)(2++=的部分图像大致为（ ）A ．B ．C. D ．6.等差数列{}n a 的公差不为零，首项11=a ，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列{}n a 的前9项之和是（ ） A ．9B ．10D ．907.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．34B ．3310 C.32 D ．3388.已知首项与公比相等的等比数列{}n a 中，满足),(*242N n m a a a n m ∈=，则nm 12+的最小值为（ ） A ．1 B ．23 D ．29 9.已知过曲线xe y =上一点),(00y x P 做曲线的切线，若切线在y 轴上的截距小于0时，则0x 的取值范围是（ ）A ．),0(+∞B ．),1(+∞eC.),1(+∞ D ．),2(+∞10.已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将ABC ∆折成直二面角C AD B --，则过D C B A ,,,四点的球的表面积为（ ） A ．π3 B ．π4 C.π5 D ．π6 11.将函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin )(πx x f 的图像向右平移a 个单位得到函数的图象，则的值可以为（ ） A ．B ．C ．D ．12.已知焦点在轴上的双曲线的左右两个焦点分别为和，其右支上存在一点满足，且的面积为3，则该双曲线的离心率为（ ）ABC ．D ．()cos(2)4g x x π=+a 512π712π924π14124πx 222211x y m m -=-1F 2F P 12PF PF ⊥12PF F ∆23第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设实数，满足约束条件则的最大值为 ．14.为了了解居民天气转冷时期电量使用情况，某调查人员由下表统计数据计算出回归直线方程为，现表中一个数据为污损，则被污损的数据为 ．（最后结果精确到整数位）15.已知函数满足，当时，)9()8(f f +的值为 ．16.已知菱形ABCD 的一条对角线BD 长为2，点E 满足21=，点F 为CD 的的中点.若2-=⋅则⋅= ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若2=b ，且A c C aB b cos cos cos 2+=.（I ）求B 的大小；（II ）求ABC ∆面积的最大值.18.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．x y 0,40,5,y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩25z x y =++2.1161.13y x =-+()f x 1()(1)1()f x f x f x ++=-(1)2f =80%[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)（I ）求出a 的值；（II ）求出这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（III ）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.19.在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，，分别是线段，的中点，．（1）证明：平面； （2）求平面与平面的距离．20.在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）已知与为平面内的两个定点，过点的直线与椭圆交于，两点，求四边形面积的最大值．21.已知函数)()(,ln )(R m m x x g x x f ∈+==． （I ）若)(x g ≤恒成立，求实数m 的取值范围；ABCD PA ⊥ABCD E F AD PB 1PA AB ==//EF DCP EFC PDC C 22221(0)x y a b a b +=>>123(1,)2M C C (2,0)P -(2,0)Q (1,0)l C A B APBQ ()f x（II ）已知21,x x 是函数)()()(x g x f x F -=的两个零点，且21x x ，求证：121 x x . 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：，曲线：（）．（I ）求与交点的极坐标； （II ）设点在上，，求动点的极坐标方程． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数，． （I ）当时，求不等式的解集； （II ）对于都有恒成立，求实数的取值范围．xOy x 1C cos 3ρθ=2C 4cos ρθ=02πθ≤<1C 2C Q 2C 23OQ QP =P ()|2||23|f x x x m =+++m R ∈2m =-()3f x ≤(,0)x ∀∈-∞2()f x x x≥+m数学（文科）试题参考答案一、选择题1-5: 6-10: CBACC 11、12：CB二、填空题15.37三、解答题17.解： （1）由正弦定理CCB b A a sin sin sin ==可得 B A C C A B B sin cos sin cos sin cos sin 2=+=∵0sin B ，故21cos =B ， ∵π B 0，∴3π=B（2）由3,2π==B b ，由余弦定理可得422-+=c a ac ，由基本不等式可得4,42422≤-≥-+=ac ac c a ac ，而且仅当2==c a 时B ac S ABC sin 21=∆取得最大值323421=⨯⨯， 故ABC ∆的面积的最大值为3.18.解：（1）由，得， （2）平均数为岁； 设中位数为，则，∴岁． （3）第1,2组抽取的人数分别为20人，30人，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为32121,,,,b b b a a .设从5人中随机抽取3人，为（121,,b a a ），（221,,b a a ），（321,,b a a ），（211,,b b a ），（311,,b b a ），（321,,b b a ），（212,,b b a ），（312,,b b a ），（322,,b b a ），（321,,b b b ），共10个基本事件， 其中第2组恰好抽到2人包含（211,,b b a ），（311,,b b a ），（321,,b b a ），（212,,b b a ），（312,,b b a ），（322,,b b a ）共6个基本事件CDCDD 10(0.0100.0150.0300.010)1a ⨯++++=0.035a =200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x 100.010100.015(35)0.0350.5x ⨯+⨯+-⨯=42.1x ≈从而第2组抽到2人的概率53106==19.解：（1）取中点，连接，，∵，分别是，中点，∴，， ∵为中点，为矩形，∴，，∴，，∴四边形为平行四边形， ∴，∵平面，平面， ∴平面．（2）∵EF ∥平面PDC ，∴F 到平面PDC 的距离等于E 到平面PDC 的距离， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴DA PA ⊥，∵1==AD PA ，在PAD Rt ∆中2=DP ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴CB PA ⊥，∵A AB PA AB CB =⊥ ,，∴⊥CB 平面PAB ，∴⊥CB PB ，则3=PC ，∵222PC DC PD =+，∴PDC ∆为直角三角形，∴222121=⨯⨯=∆PDC S PDE C PDC E V V --=，设E 到平面PDC 的距离为h ，又∵A PA AD PA CD AD CD =⊥⊥ ,,，∴⊥CD 平面PAD 则2121131212131⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅h ∴42=h ∴F 到平面PDC 的距离为42 20.解：（1）∵，∴， 椭圆的方程为，将代入得，∴， ∴椭圆的方程为． PC M DM MF M F PC PB //MF CB 12MF CB =E DA ABCD //DE CB 12DE CB =//MF DE MF DE =DEFM //EF DM EF ⊄PDC DM ⊂PDC //EF PDC 12c a =2a c =2222143x y c c+=3(1,)222191412c c+=21c =22143x y +=（2）设的方程为，联立 消去，得， 设点，， 有，， 有，点到直线点到直线从而四边形的面积（或） 令，， 有，设函数，，所以在上单调递增， 有，故， 所以当，即时，四边形面积的最大值为6． 21.解：（1）令)0(ln )()()( x m x x x g x f x F --=-=，有xxx x F -=-='111)(， 当1 x 时，0)( x F '，当10 x 时，0)( x F '，所以)(x F 在（1，+∞）上单调递减，在（0,1）上单调递增，)(x F 在1=x 处取得最大值为m --1，若)()(x g x f ≤恒成立，则m --1≤0即1-≥m ，l 1x my =+221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x 22(34)690m y my ++-=11(,)A x y 22(,)B x y 122634m y y m -+=+122934y y m -=+2212(1)||34m AB m +==+P (2,0)-l (2,0)Q l APBQ 222112(1)23434m S m m +=⨯=++121||||2S PQ y y =-t =1t ≥22431t S t =+2413t t =+1()3f t t t =+21'()30f t t =->()f t [1,)+∞134t t+≥2242461313t S t t t==≤++1t =0m =APBQ（2）由（1）可知，若函数)()()(x g x f x F -=有两个零点，则2110x x 要证121 x x ，只需证121x x，由于)(x F 在（1，+∞）上单调递减，从而只需证()⎪⎪⎭⎫⎝⎛121x F x F ，由于()()1121ln ,0x x m x F x F -===，即证0ln 11ln 11ln111111 x x x x m x x -+-=-- 令01221)(),10(ln 21)(222 xx x x x x x h x x x x x h +-=-+='-+-=， 有)(x h 在（0,1）上单调递增，0)1()(=h x h ，所以121 x x .22.解：（1）联立，∵，，，∴所求交点的极坐标．（2）设，且，，由已知，得∴，点的极坐标方程为，． 23.解：（1）当时，当解得；当，恒成立；cos 3,4cos ,ρθρθ=⎧⎨=⎩cos θ=02πθ≤<6πθ=ρ=)6π(,)P ρθ00(,)Q ρθ004cos ρθ=0[0,)2πθ∈23OQ QP =002,5,ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩24cos 5ρθ=P 10cos ρθ=[0,)2πθ∈2m =-41,0,3()|2||23|21,0,2345,.2x x f x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=++-=-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩413,0,x x +≤⎧⎨≥⎩102x ≤≤302x -<<13≤11 当解得， 此不等式的解集为． （2）令 当时，，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减， 所以，所以，当时，，所以在上单调递减， 所以， 所以， 综上，．453,3,2x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩322x -≤≤-1|22x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭233,0,22()()2353,,2x m x x g x f x x x x m x x ⎧--++-≤<⎪⎪=--=⎨⎪--+-≤-⎪⎩302x -≤<22'()1g x x=-+0x ≤<'()0g x ≥()gx [0)32x -≤≤'()0g x ≤()gx 3[,2-min ()(g x g =30m =+≥3m ≥-32x ≤-22'()50g x x =-+<()g x 3(,]2-∞-min 335()()026g x g m =-=+≥356m ≥-3m ≥-。
黑龙江省哈尔滨市2018届高考第二次模拟数学(文)试题含答案
哈尔滨市第六中学2018届高三第二次模拟考试文科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合2{|23,},{|3}A x x x Z B y y x =-≤≤∈==-, 则A B I 的子集个数共有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2．若复数z 满足z (2－i)＝1＋7i ，则||z =( )A.B.C. D. 2 3. 已知2cos()423πθ-=，则sin θ=（ ） A.79B. 19C. 19-D. 79-4. 在ABC ∆中，,3,||1AD AB BC BD AD ⊥==u u u r u u u r u u u r ，则AC AD ⋅=u u u r u u u r（ ）A.1B.2C.3D.45．我国南宋数学家秦九韶给出了求n 次多项式1110n n n n a x a x a x a --++++L 当0x x =时的值的一种简捷算法，该算法被后人命名为“秦九韶算法”．例如，可将3次多项式改写为：323210a x a x a x a +++ ()()3210a x a x a x a =+++然后进行求值．运行如图所示的程序框图，是求哪个多项式的值（ ） A. 432234x x x x ++++ B. 4322345x x x x ++++ C. 3223x x x +++ D. 32234x x x +++ 6. 一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为（ ）A. 12B. 24C. 36D. 487．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+ (0,0,0)2A πωϕ>><<的部分图像如图所示，若将函数()f x 的图像上点的纵坐标 不变，横坐标缩短到原来的14，再向右平移6π个单位，所得 到的函数()g x 的解析式为（ ）A. ()12sin4g x x = B. ()2sin2g x x = C. ()12sin 46g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D. ()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭8. 圆O ：224x y +=上到直线l ：0x y a -+=的距离等于1的点恰好有4个，则a 的取值范围为( )A. [B. (C. [1,1]-D. (1,1)-9. 已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄，则（ ）A. //αβ且//l αB. αβ⊥且l β⊥C. α与β相交，且交线垂直于lD. α与β相交，且交线平行于l10. 若新高考方案正式实施，甲、乙两名同学要从政治、历史、物理、化学四门功课中分别选取两门功课学习，则他们选择的两门功课都不相同的概率为（ ） A.16 B. 13 C. 12 D. 2311. F 是抛物线22y x =的焦点，点P 在抛物线上，点Q 在抛物线的准线上，若2PF FQ =u u u r u u u r，则||PQ =A.92B. 4C.72D. 3 12. 已知函数53()272f x x x x =---+，若2()(2)4f a f a +->，则实数a 的取值范围是（ ） A. (,1)-∞ B. (,3)-∞ C. (1,2)- D. (2,1)-第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题,每题5分.）13．已知实数,x y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值为 .14. 在一次连环交通事故中,只有一个人需要负主要责任,但在警察询问时,甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”,四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是 .15. 已知平面四边形ABCD 中，AB=AD=2，BC=CD, 90BCD ∠=︒，则四边形ABCD 面积的最大值为 .16. 已知函数()(1)||4f x x x a =--+有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．(本小题满分12分)已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，423,,S S S 成等差数列，且23418a a a ++=-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n n n b a S =⋅，求123n b b b b ++++L ．18．(本小题满分12分)某冷饮连锁店计划按天订购一种冷饮，每天的进货量相同，进货成本每杯5元，售价每杯8元，未售出的冷饮降价处理，以每杯3元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温有关．如果最高气温不低于25℃，那么需求量为600杯；如果最高气温位于区间[20,25)，那么需求量为400杯；如果最高气温低于20℃，那么需求量为300杯．为了确定九月份的订购计划，统计了前三年九月份各天的最高气温数据数据，得到下面的频数分布表：（1） 估计九月份这种冷饮一天的需求量不超过400杯的概率；（2） 设九月份一天销售这种冷饮的利润为Y （单位：元）．当九月份这种冷饮一天的进货量为500杯时，写出Y 的所有可能值并估计Y 大于500的概率．19．(本小题满分12分)如图，四棱锥E-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，M,N 分别为BC,DE 中点． （1）证明：CN//平面AEM ；（2）若ABE ∆是等边三角形，平面ABE ⊥平面BCE ，,2CE BE BE EC ⊥==，求三棱锥N AEM -的体积．20. (本小题满分12分)如图，已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>， 其左右焦点为()11,0F -及()21,0F ，过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，线段AB 的中点为G ， AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点，且1AF 、12F F 、2AF构成等差数列.（1）求椭圆C 的方程；（2）记1G FD ∆的面积为1S ， OED ∆（O 为原点）的面积为2S ， 试问：是否存在直线AB ，使得1212S S =？说明理由．21. (本小题满分12分)已知函数2()ln (1)1()f x x x a x x a R =---+∈ （1） 当0a =时，求()f x 的极值；（2） 当(1,)x ∈+∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围．请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.22. (本小题满分10分)在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程是22(13sin )16ρθ+=，点P 是曲线1C 上的动点.点M 满足2OP OM =u u u r u u u r (O为极点). 设点M 的轨迹为曲线2C . 以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xoy ，已知直线l的参数方程是1(x tt y t =+⎧⎨=⎩为参数）.（1）求曲线2C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）设直线l 交两坐标轴于,A B 两点，求ABM ∆面积的最大值．23. (本小题满分10分)已知0a >， 0b >，且222a b +=. （1）若2214211x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围； （2）证明： ()55114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭．二模文数答案一、选择题：DBCC DCDB DAAC二、填空题：13. 5 14. 甲15. 16.三、解答题：17.解：（1）设等比数列的公比为,则.由题意得,即，解得.故数列的通项公式为.（2）由（1）有.则18.解：（1）（2）当最高气温不低于25℃，那么需求量为600杯；当最高气温位于区间，那么需求量为400杯；当最高气温低于20℃，那么需求量为300杯；故当最高气温不低于20℃时，，19.（1）证明：取中点，连结．因为中，分别为中点，所以．又因为四边形是平行四边形，所以．又是中点，所以，所以．所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）解：取中点，连结，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．又由（1）知平面，所以．又因为为中点，所以．20．（1）因为、、构成等差数列，所以，所以，又因为，所以，所以椭圆的方程为．（2）假设存在直线，使得，显然直线不能与, 轴垂直．设方程为，由消去y整理得，显然．设，，则，故点的横坐标为，所以．设,因为，所以，解得，即．∵和相似，且，则，∴，整理得，解得，所以，所以存在直线满足条件，且直线的方程为.21.解：（1）时，，由解得有极小值，无极大值.（2）由的令，①当时，，在上单调增，不合题意；当时，由解得或②当时，，，在上单调增，不合题意；③当时，，当时，，在上单调递增，不合题意；④当时，，当时，，在上单调递减，不符合题意；综上所述，的取值范围是22解：（1）在极坐标系中，设点.由，得，代入曲线的方程并整理，得，再化为直角坐标方程，即曲线的直角坐标方程为.直线的参数方程(为参数)化为普通方程是.（2）由直线的方程为，可知.因为点在曲线上，所以设，，则点到直线的距离即为底边上的高，所以，所以，所以，。
2018年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷(文科)
2018年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合A={1, 2, 3}，B={1, a}，若A∩B={1, 3}，则a=()A.0B.1C.2D.32. 已知复数z=3−i−1+i，则在复平面内，z的对应点位于（）A.第一象限内B.第二象限内C.第三象限内D.第四象限内3. 某高校调查了320名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5, 30]，样本数据分组为[17.5, 20),[20, 22.5),[22.5, 25),[25, 27.5),[27.5, 30]．根据直方图，这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是（）A.68B.72C.76D.804. 已知实数x，y满足条件{x+y−4≤0x−2y+2≥0x≥0,y≥0，则z=2x+3y的最大值为（）A.10B.8C.3D.25. 函数y=14sin(x−π6)−cos(x−2π3)的最大值为（）A.1 4B.12C.34D.546. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，短轴长大于2，则该椭圆的长轴长的取值范围是（）A.(2, +∞)B.(4, +∞)C.(2, 4)D.(4, 8)7. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.4+2πB.2+6πC.4+πD.2+4π8. 执行如图的程序框图，若输入a 的值为2，则输出S 的值为（ ）A.3.2B.3.6C.3.9D.4.99. 已知函数 f(x)={log 2(1−x)−1,x ≤02x ,x >0 ，则f （f(−2)）=( )A.32 B.23C.43D.3410. 已知函数f(x)=sin(ωx −π5)(ω>0)的最小正周期为π，将函数y =f(x)的图象向左平移π5个单位后，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的图象（ ） A.关于点(−π5, 0)对称 B.关于点(−π10, 0)对称 C.关于直线x =−π5对称 D.关于直线x =−π10对称11. 某广场有一个如图所示的太极八卦图案，该图案是由八个共顶点的全等且相邻的等腰三角形被一个内有阴阳鱼图案的圆覆盖的中心对称图形，且图案对角连线过圆心，长度为4m ，圆直径为2m ．若在图案内任取一点，则该点取自圆内黑色部分的概率为（ ）A.√2π8B.√2π16C.√2π24D.√2π3212. 已知对∀a∈(−∞, 0)，∀x∈(0, +∞)，不等式x2+(3−a)x+3−2a2<ke x成立，则实数k的取值范围为（）A.(3, +∞)B.[3, +∞)C.(4, +∞)D.[4, +∞)二、填空题：本题共4小题每小题5分，共20已知向量m→=(2, 5)，n→=(−5, t)，若m→⊥n→，则(m→+n→)⋅(m→−2n→)=________．已知点P是双曲线x22−y2=1上的一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|+|PF2|=4√2，则△PF1F2的面积为________．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，下列命题：①若m // β，n // β，m⊂α，n⊂α，则α // β；②若m⊥β，n⊥β，m⊂α，nα，则n // α；③若m⊂α，n⊂β，a∩β=l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若m，n异面，m⊂α，n⊂β，且m // β，n // α，则α // β．其中正确命题的序号为________（填所有正确命题的序号）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2sinBcosC+sinC＝2sinA，sinA+sinC＝2√6sinAsinC，b＝3，则a+c＝________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60设数列{a n}的前n项和为S n，a1=3，S n+1=3S n+3．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)令b n=2log3a n log3a n+1，求数列{b n}的前n项和T n，并求使T n>14(m2−3m)对所有的n∈N∗恒成立的整数m的取值集合．在四棱锥P−ABCD中，AD // BC，BC=2AD=4，AB=CD，点E为PC中点．(Ⅰ)证明：DE // 平面PAB；(Ⅱ)若PA⊥平面ABCD，∠ABC=60∘，直线PB与平面ABCD所成角为60∘，求四棱锥P−ABCD的体积．近年来，随着科学技术迅猛发展，国内有实力的企业纷纷进行海外布局，如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外设多个分支机构，需要国内公司外派大量80后、90后中青年员工，该企业为了解这两个年龄层员工对是否愿意接受外派工作的态度，随机调查了100位员工，得到数据如表：受外派与年龄层有关”，并说明理由；(Ⅱ)该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，在参与调查的80后员工中，用分层抽样方法抽出6名员工进行海外体验活动培训，再在这6名员工中随机选出4名准备参加活动时发言，求参与发言的员工愿意接受外派人数不少于不愿意接受外派人数的概率．参考数据：，其中n=a+b+c+d．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)设抛物线的顶点为坐标原点，焦点F在y轴的正半轴上，点A是抛物线上的一点，以A 为圆心，2为半径的圆与y轴相切，切点为F．(I)求抛物线的标准方程：(Ⅱ)设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点，连接QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PQ恰与抛物线相切时，求直线m的方程．，且曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线与y轴垂直．已知函数f(x)=klnx−1+1x(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若f(x)>ax对0<x<1恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=sinθ+cosθ，点P的曲线C上运动．(I)若点Q在射线OP上，且|OP|⋅|OQ|=4，求点Q的轨迹的直角坐标方程；)，求△MOP面积的最大值．(Ⅱ)设M(4, 3π4[选修4-5：不等式选讲]设a>0，b>0，且a2b+ab2=2，求证：(Ⅰ)a3+b3≥2；(Ⅱ)(a+b)(a5+b5)≥4．参考答案与试题解析2018年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】根据A∩B={1, 3}便知3∈B，而B={1, a}，从而得出a=(3)【解答】∵A∩B={1, 3}；∴3∈B；∴a=(3)2.【答案】C【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出在复平面内所对应的点的坐标得答案．【解答】∵z=3−i−1+i =(3−i)(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−2−i，∴在复平面内z的对应点的坐标为(−2, −1)，位于第三象限．3.【答案】B【考点】频率分布直方图【解析】由频率分布直方图求出每周的自习时间不足22.5小时的频率，由此能求出这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数．【解答】由频率分布直方图得每周的自习时间不足22.5小时的频率为：(0.02+0.07)×2.5＝0.225，∴这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是：0.225×320＝72．4.【答案】A【考点】简单线性规划【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】作出实数x ，y 满足条件{x +y −4≤0x −2y +2≥0x ≥0,y ≥0 对应的平面区域（阴影部分），由z =2x +3y ，得y =−23x +z3，平移直线y =−23x +z3，由图象可知当直线y =−23x +z3经过点B 时， 直线y =−23x +z 3的截距最大，此时z 最大． 由{x +y −4≤0x −2y +2≥0，解得B(2, 2)． 此时z 的最大值为z =2×2+3×2=10， 5.【答案】 C【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】分别展开两角差的正弦、余弦，整理后再由辅助角公式化积，则答案可求． 【解答】∵ y =14sin(x −π6)−cos(x −2π3)=14sinxcos π6−14cosxsin π6−cosxcos2π3−sinxsin2π3=√38sinx −18cosx +12cosx −√32sinx =−3√38sinx +38cosx =−34sin(x −π6)．∴ 函数y =14sin(x −π6)−cos(x −2π3)的最大值为34． 6.【答案】 B【考点】 椭圆的定义 【解析】根据题意，由椭圆的离心率公式可得e =c a=√32，则c =√32a ，结合椭圆的几何性质可得a 2−c 2=b 2>1，即a 24>1，解可得a 的范围，由椭圆的长轴长为2a 分析可得答案．【解答】 根据题意，椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√32， 即e =ca=√32，则c =√32a ， 又由椭圆短轴长大于2，即2b >2，则b >1， 则有a 2−c 2=b 2>1， 即a 24>1，解可得a >2，则该椭圆的长轴长2a >4，即该椭圆的长轴长的范围为(4, +∞)；7.【答案】 D【考点】由三视图求体积 【解析】三视图的直观图是上部为三棱柱，下部是圆柱，利用三视图的数据求解几何体的体积即可． 【解答】由题意可知几何体的组合体，上部是三棱柱，底面边长为2， 底面三角形的高为1，棱柱的高2，下部是圆柱，高为2，底面半径为：√2，所以几何体的体积为：12×2×1×2+π×2×2=2+4π，8.【答案】 C【考点】 程序框图 【解析】模拟执行程序框图的运行过程，即可得出a =2时程序运行后输出的S 值． 【解答】执行如图所示的程序框图，若输入a =2， 则k =1时，S =1+22=2； k =2时，S =2+23=83； k =3时，S =83+24=196；k =4时，S =196+25； k =5时，S =10730+26=11730=3.9；此时终止循环，输出S =3.(9) 9.【答案】 A【考点】 函数的求值 求函数的值 【解析】由分段函数的解析式，先计算f(−2)，再计算f （f(−2)），结合指数、对数的运算性质，可得所求值． 【解答】函数 f(x)={log 2(1−x)−1,x ≤02x ,x >0 ， 则f(−2)=log 2(1+2)−1=log 232，f （f(−2)）=f(log 232)=2log 232=32．10.【答案】 B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】根据函数的最小正周期和图象平移求得g(x)的解析式，再判断选项中的命题是否正确． 【解答】函数f(x)=sin(ωx −π5)(ω>0)的最小正周期为T =π， ∴ ω=2πT=2；将函数y =f(x)的图象向左平移π5个单位，得y =f(x +π5)=sin[2(x +π5)−π5]=sin(2x +π5)的图象， ∴ 函数g(x)=sin(2x +π5)； g(−π5)=sin(−2π5+π5)≠0，图象不关于点(−π5, 0)对称，A 错误；g(−π10)=sin(−π5+π5)=0，图象关于点(−π10, 0)对称，B 正确，D 错误； g(−π5)=sin(−2π5+π5)≠±1，图象不关于x =−π5对称，C 错误；11.【答案】 D【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】结合图形求出八个全等等腰三角形的面积与黑色部分图案的面积，计算比值即可． 【解答】根据题意知，八个全等等腰三角形的面积为8×12×2×2×sin45∘=8√2； 黑色部分图案的面积为12π×12=π2； ∴ 所求的概率为P =π28√2=√2π32． 12.【答案】 B【考点】函数恒成立问题 【解析】利用导函数研究其单调性，求解最值即可判断．【解答】由不等式x2+(3−a)x+3−2a2<ke x成立，即x2+(3−a)x+3−2a2e x<k成立，令f(x)=x2+(3−a)x+3−2a2e，则f′(x)=−x2−(1−a)x+a(2a−1)e x =(−x+2a−1)(x+a)e x令f′(x)=0，可得：x1=2a−1，x2=−a，∵a∈(−∞, 0)，∴x1=2a−1<0，x2=−a>0∵x∈(0, +∞)，∴当x∈(0, −a)，f′(x)>0，则f(x)在x∈(0, −a)单调递增∴当x∈(−a, +∞)，f′(x)<0，则f(x)在x∈(−a, +∞)单调递减当x=−a时，f(x)取得最大值为f(−a)=3−3ae−a<k，即f(a)=3a−3e a<k，∵a∈(−∞, 0)，f(a)<f(0)≤k．即k≥(3)二、填空题：本题共4小题每小题5分，共20【答案】−29【考点】平面向量的坐标运算【解析】根据题意，由向量数量积的计算公式可得m→⋅n→=2×(−5)+5t=0，解可得t=2，即可得向量n→的坐标，进而可得m→+n→、m→−2n→的值，由数量积的计算公式计算即可得答案．【解答】向量m→=(2, 5)，n→=(−5, t)，若m→⊥n→，则m→⋅n→=2×(−5)+5t=0，解可得t=2，则m→=(2, 5)，n→=(−5, 2)，则有m→+n→=(−3, 7)，m→−2n→=(12, 1)，则(m→+n→)⋅(m→−2n→)=(−3)×12+7×1=−29；【答案】√5【考点】双曲线的特性【解析】根据双曲线定义可条件得出P到两焦点的距离，根据余弦定理求出∠F1PF2，从而得出三角形的面积．【解答】不妨设P在双曲线的右支上，由双曲线的定义可知|PF1|−|PF2|=2√2，又|PF1|+|PF2|=4√2，∴|PF1|=3√2，|PF2|=√2，又|F1F2|=2c=2√3，∴cos∠F1PF2=PF12+PF22−F1F222PF1∗PF2=23，sin∠F1PF2=√53，∴△PF1F2的面积为12×3√2×√2×√53=√5．【答案】②④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】利用空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系，对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在①中：若m⊂α，n⊂α，m // β，n // β，则α与β相交或平行，故①错误；在②中：若m⊥β，n⊥β，m⊂α⇒α⊥β且m // n，又nα，则n // α，故②正确；在③中：若m⊂α，n⊂β，a∩β=l，且m⊥l，n⊥l，则α与β不一定垂直，故③错误；在④中：在①中，∵m // β，∴在β内存在直线m1 // m，又m⊂α，∴m1 // α．∵m，n是两条异面直线，∴直线m1与n是两条相交直线，又n // α，∴α // β，故④正确．【答案】3√2【考点】解三角形三角形的面积公式【解析】由2sinBcosC+sinC＝2sinA＝2(sinBcosC+cosBsinC)，求出B=π3，从而b(a+c)＝3√2ac，进而b2＝a2+c2−2accosπ3，求出b＝3，从而2a2c2−3ac−9＝0，解得ac＝3，由此能求出a+c．【解答】∵2sinBcosC+sinC＝2sinA＝2(sinBcosC+cosBsinC)，∴cosB=12，又B是△ABC内角，∴B=π3，∵sinA+sinC＝2√6sinAsinC，sinB=√32，∴sinB(sinA+sinC)＝3√2sinAsinC，∴b(a+c)＝3√2ac，又b2＝a2+c2−2accosπ3，b＝3，∴2a2c2−3ac−9＝0，解得ac＝3，∴a+c=√2ac=3√2．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60【答案】（I ）∵ a 1=3，S n+1=3S n +(3) ∴ S n+1+32=3(S n +32)．S 1+32=92．∴ 数列{S n +32}是等比数列，公比为3，首项为92． ∴ S n +32=92×3n−1， ∴ S n =12×3n+1−32．∴ n ≥2时，a n =S n −S n−1=12×3n+1−32−(12×3n −32)=3n ．n =1时，也成立． ∴ a n =3n ． (II)b n =2log 3a n log 3a n+1=2n(n+1)=2(1n −1n+1)，∴ 数列{b n }的前n 项和T n =2[(1−12)+(12−13)+……+(1n −1n+1)brack =2(1−1n+1)≥(1)T n >14(m 2−3m)，∴ 1>14(m 2−3m)，∴ −1<m <4，使T n >14(m 2−3m)对所有的n ∈N ∗恒成立的整数m 的取值集合为{0, 1, 2, 3}． 【考点】 数列的求和 【解析】（I ）由a 1=3，S n+1=3S n +(3)变形为S n+1+32=3(S n +32)．S 1+32=92．利用等比数列的通项公式可得S n ．再利用n ≥2时，a n =S n −S n−1即可得出． (II)b n =2log 3a n log 3a n+1=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，再利用裂项求和方法即可得出数列{b n }的前n 项和T n ．再利用不等式的解法即可得出． 【解答】（I ）∵ a 1=3，S n+1=3S n +(3) ∴ S n+1+32=3(S n +32)．S 1+32=92．∴ 数列{S n +32}是等比数列，公比为3，首项为92． ∴ S n +32=92×3n−1， ∴ S n =12×3n+1−32．∴ n ≥2时，a n =S n −S n−1=12×3n+1−32−(12×3n −32)=3n ．n =1时，也成立． ∴ a n =3n ．(II)b n=2log3a n log3a n+1=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，∴数列{b n}的前n项和T n=2[(1−12)+(12−13)+……+(1n−1n+1)brack=2(1−1n+1)≥(1)T n>14(m2−3m)，∴1>14(m2−3m)，∴−1<m<4，使T n>14(m2−3m)对所有的n∈N∗恒成立的整数m的取值集合为{0, 1, 2, 3}．【答案】证明：(Ⅰ)取PB中点M，连结EM，AM∵E是PC的中点，∴EM // BC，EM=12BC，∵AD // BC，BC=2AD，∴EM // =AD，∴四边形ADEM是平行四边形，∴AM // DE，∵DE平面PAB，AM⊂平面PAB，∴DE // 平面PAB．(Ⅱ)由条件∠ABC=60∘，BC=2AD=4，则△DFC是边长为2的等边三角形，四边形ABFD是边长为2的菱形，等腰梯形ABCD的面积S=12×(2+4)×√3=3√3，∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成角，∵PA⊥平面ABCD，∠ABC=60∘，直线PB与平面ABCD所成角为60∘，∴∠PBA=60∘，PA=√3AB=2√3，∴四棱锥P−ABCD的体积V=13×S×PA=13×3√3×2√3=(6)【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】(Ⅰ)取PB中点M，连结EM，AM推导出四边形ADEM是平行四边形，从而AM // DE，由此能证明DE // 平面PAB．(Ⅱ)求出等腰梯形ABCD的面积S=3√3，由PA⊥平面ABCD，得∠PBA是PB与平面ABCD所成角，从而∠PBA=60∘，PA=√3AB=2√3，由此能求出四棱锥P−ABCD的体积．【解答】证明：(Ⅰ)取PB中点M，连结EM，AM∵E是PC的中点，∴EM // BC，EM=12BC，∵AD // BC，BC=2AD，∴EM // =AD，∴四边形ADEM是平行四边形，∴AM // DE，∵DE平面PAB，AM⊂平面PAB，∴DE // 平面PAB．(Ⅱ)由条件∠ABC=60∘，BC=2AD=4，则△DFC是边长为2的等边三角形，四边形ABFD是边长为2的菱形，等腰梯形ABCD的面积S=12×(2+4)×√3=3√3，∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成角，∵PA⊥平面ABCD，∠ABC=60∘，直线PB与平面ABCD所成角为60∘，∴∠PBA=60∘，PA=√3AB=2√3，∴四棱锥P−ABCD的体积V=13×S×PA=13×3√3×2√3=(6)【答案】(Ⅰ)根据调查的数据，计算K2=100×(20×20−40×20)260×40×60×40=100×40025760000≈2.778≥2.706，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“是否愿意接受外派与年龄层有关”；(Ⅱ)由于参与调查的80后员工愿意接受外派与不愿意接受外派人数相同，用分层抽样方法抽出6名员工，愿意接受外派与不愿意接受外派的各3名，设不愿意接受外派的3人为A、B、C，愿意接受外派的为d、e、f，现从这6人中选4人（相当于其中2人没有抽到），基本事件是AB、AC、Ad、Ae、Af、BC、Bd、Be、Bf、Cd、Ce、Cf、de、df、ef共15种，“愿意接受外派的人数不少于不愿意接受外派人数”即“愿意接受外派的人数为2人或3人”，基本事件是（转化为2人没有被抽到），即Ad、Ae、Af、Bd、Be、Bf、Cd、Ce、Cf、de、df、ef共12种，故满足题意的概率为P=1215=45．【考点】独立性检验【解析】(Ⅰ)根据调查的数据，计算观测值，对照临界值得出结论；(Ⅱ)用分层抽样方法抽出6名员工，接受愿意接受外派与不愿意接受外派的人数，用列举法求得基本事件数，计算满足题意的概率值．【解答】(Ⅰ)根据调查的数据，计算K2=100×(20×20−40×20)260×40×60×40=100×40025760000≈2.778≥2.706，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“是否愿意接受外派与年龄层有关”；(Ⅱ)由于参与调查的 80 后员工愿意接受外派与不愿意接受外派人数相同， 用分层抽样方法抽出6名员工，愿意接受外派与不愿意接受外派的各3名， 设不愿意接受外派的3人为A 、B 、C ，愿意接受外派的为d 、e 、f ， 现从这6人中选4人（相当于其中2人没有抽到），基本事件是AB 、AC 、Ad 、Ae 、Af 、BC 、Bd 、Be 、Bf 、Cd 、Ce 、Cf 、de 、df 、ef 共15种， “愿意接受外派的人数不少于不愿意接受外派人数”即“愿意接受外派的人数为2人或3人”，基本事件是（转化为2人没有被抽到），即Ad 、Ae 、Af 、Bd 、Be 、Bf 、Cd 、Ce 、Cf 、de 、df 、ef 共12种， 故满足题意的概率为P =1215=45．【答案】(Ⅰ)设所求抛物线方程为x 2=2px(p >0)，由以A 为圆心，2为半径的圆与y 轴相切，切点为F ， 所以p =2，即该抛物线的标准方程为x 2=4y ． (Ⅱ)由题知，直线m 的斜率存在，不妨设直线m:y =kx +6，P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，由{y =kx +6x 2=4y ，消y 得x 2−4kx −24=0，即{x 1+x 2=4kx 1x 2=−24 …（1） 抛物线在点P(x 1,x 124)处的切线方程为y −14x 12=12x 1(x −x 1)，令y =−1，得x =x 12−42x 1，所以R(x 12−42x 1,−1)，而Q ，F ，R 三点共线，所以k QF =k FR ，及F(0, 1)，得(x 12−4)(x 22−4)+16x 1x 2=0，整理得(x 1x 2)2−4[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+16+16x 1x 2]=0，将（1）式代入得k 2=14，即k =±12，故所求直线m 的方程为y =12x +6或y =−12x +6．【考点】 抛物线的求解 【解析】(Ⅰ)设所求抛物线方程为x 2=2px(p >0)，可得p =2，即可得抛物线的标准方程．(Ⅱ) 不妨设直线m:y =kx +6，P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，由{y =kx +6x 2=4y ，消y 得x 2−4kx −24=0，即{x 1+x 2=4k x 1x 2=−24 ．写出抛物线在点P(x 1,x 124)处的切线方程，令y =−1，得R(x 12−42x 1,−1)，利用Q ，F ，R 三点共线，所以k QF =k FR ，得k 2=14，即求直线m 的方程． 【解答】(Ⅰ)设所求抛物线方程为x 2=2px(p >0)，由以A 为圆心，2为半径的圆与y 轴相切，切点为F ， 所以p =2，即该抛物线的标准方程为x 2=4y ．(Ⅱ)由题知，直线m 的斜率存在，不妨设直线m:y =kx +6，P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，由{y =kx +6x 2=4y ，消y 得x 2−4kx −24=0，即{x 1+x 2=4kx 1x 2=−24 …（1） 抛物线在点P(x 1,x 124)处的切线方程为y −14x 12=12x 1(x −x 1)，令y =−1，得x =x 12−42x 1，所以R(x 12−42x 1,−1)，而Q ，F ，R 三点共线，所以k QF =k FR ，及F(0, 1)，得(x 12−4)(x 22−4)+16x 1x 2=0，整理得(x 1x 2)2−4[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+16+16x 1x 2]=0，将（1）式代入得k 2=14，即k =±12，故所求直线m 的方程为y =12x +6或y =−12x +6． 【答案】(I)f(x)的定义域为(0, +∞)，f′(x)=kx −1x 2=kx−1x 2，∵ y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线与y 轴垂直， ∴ f′(1)=0，即k =1， ∴ f′(x)=x−1x 2，∴ 当0<x <1时，f′(x)<0，当x >1时，f′(x)>0，∴ f(x)的单调递减区间为(0, 1)，单调递增区间为(1, +∞)． (II)f(x)=lnx −1+1x，∵ f(x)>ax 对0<x <1恒成立， ∴ a <f(x)x在(0, 1)上恒成立， 设g(x)=f(x)x=lnx x−1x+1x2(0<x <1)，则g′(x)=1−lnx x 2+1x2−2x3=2x−xlnx−2x 3，令ℎ(x)=2x −xlnx −2(0<x <1)，则ℎ′(x)=2−lnx −1=1−lnx >0， ∴ ℎ(x)在(0, 1)上单调递增，∴ ℎ(x)<ℎ(1)=0，∴ g′(x)<0， ∴ g(x)在(0, 1)上单调递减， ∴ g(x)>g(1)=0， ∴ a ≤(0) 【考点】导数求函数的最值 【解析】（I ）令f′(1)=0求出k ，再根据f′(x)的符号得出f(x)的单调区间； (II)分离参数得a <f(x)x，求出f(x)x在(0, 1)上的最小值即可得出a 的范围．【解答】(I)f(x)的定义域为(0, +∞)，f′(x)=kx −1x 2=kx−1x 2，∵ y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线与y 轴垂直， ∴ f′(1)=0，即k =1，∴f′(x)=x−1x2，∴当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递减区间为(0, 1)，单调递增区间为(1, +∞)．(II)f(x)=lnx−1+1x，∵f(x)>ax对0<x<1恒成立，∴a<f(x)x在(0, 1)上恒成立，设g(x)=f(x)x =lnxx−1x+1x2(0<x<1)，则g′(x)=1−lnxx2+1x2−2x3=2x−xlnx−2x3，令ℎ(x)=2x−xlnx−2(0<x<1)，则ℎ′(x)=2−lnx−1=1−lnx>0，∴ℎ(x)在(0, 1)上单调递增，∴ℎ(x)<ℎ(1)=0，∴g′(x)<0，∴g(x)在(0, 1)上单调递减，∴g(x)>g(1)=0，∴a≤(0)[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】(Ⅰ)设Q(ρ, θ)，P(ρ1, θ)(ρ>0, ρ1>0)，则ρ1=sinθ+cosθ，又|OP|⋅|OQ|=4，∴ρρ1=4，即ρ1=4ρ，∴4ρ=sinθ+cosθ，∴ρsinθ+ρcosθ=4，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入ρsinθ+ρcosθ=4，得点Q轨迹方程为x+y=4；(Ⅱ)设P(ρ, θ)(ρ>0)，则ρ=cosθ+sinθ，∵M(4, 3π4)，∴△MOP面积S=12×4ρ|sin(3π4−θ)|=2ρ|√22cosθ+√22sinθ|=√2(cosθ+sinθ)2=√2(1+sin2θ)≤2√2，当且仅当sin2θ=1时，取“=”，取θ=π4即可，∴△MOP面积的最大值为2√2．【考点】圆的极坐标方程【解析】(Ⅰ)设Q(ρ, θ)，P(ρ1, θ)(ρ>0, ρ1>0)，则ρ1=sinθ+cosθ，又|OP|⋅|OQ|=4，求出4ρ=sinθ+cosθ，即ρsinθ+ρcosθ=4，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入ρsinθ+ρcosθ=4，得点Q轨迹方程；(Ⅱ)设P(ρ, θ)(ρ>0)，则ρ=cosθ+sinθ，由M(4, 3π4)，得△MOP面积S=1 2×4ρ|sin(3π4−θ)|=2ρ|√22cosθ+√22sinθ|=√2(cosθ+sinθ)2=√2(1+sin2θ)≤2√2，当且仅当sin2θ=1时，取“=”，取θ=π4即可，由此能求出△MOP面积的最大值．【解答】(Ⅰ)设Q(ρ, θ)，P(ρ1, θ)(ρ>0, ρ1>0)，则ρ1=sinθ+cosθ，又|OP|⋅|OQ|=4，∴ρρ1=4，即ρ1=4ρ，∴4ρ=sinθ+cosθ，∴ρsinθ+ρcosθ=4，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入ρsinθ+ρcosθ=4，得点Q轨迹方程为x+y=4；(Ⅱ)设P(ρ, θ)(ρ>0)，则ρ=cosθ+sinθ，∵M(4, 3π4)，∴△MOP面积S=12×4ρ|sin(3π4−θ)|=2ρ|√22cosθ+√22sinθ|=√2(cosθ+sinθ)2=√2(1+sin2θ)≤2√2，当且仅当sin2θ=1时，取“=”，取θ=π4即可，∴△MOP面积的最大值为2√2．[选修4-5：不等式选讲]【答案】证明：(Ⅰ)设a>0，b>0，且a2b+ab2=2，∴(a3+b3)−2=a3+b3−a2b−ab2=a2(a−b)+b2(b−a) =(a−b)(a2−b2)=(a−b)2(a+b)≥0，∴a3+b3≥2；(Ⅱ)(a+b)(a5+b5)=a6+b6+a5b+ab5=(a3+b3)2−2a3b3+a5+ab5=(a3+b3)2−2a3b3+a5b+ab5 =(a3+b3)2+ab(a4−2a2b2+b4)=(a3+b3)2+ab(a2−b2)2，∵a>0，b>0，a3+b3≥2，∴(a+b)(a5+b5)≥(4)【考点】不等式的证明【解析】(Ⅰ)利用作差法比较即可，(Ⅱ)利用作差法比较即可【解答】证明：(Ⅰ)设a>0，b>0，且a2b+ab2=2，∴(a3+b3)−2=a3+b3−a2b−ab2=a2(a−b)+b2(b−a) =(a−b)(a2−b2)=(a−b)2(a+b)≥0，∴a3+b3≥2；(Ⅱ)(a+b)(a5+b5)=a6+b6+a5b+ab5=(a3+b3)2−2a3b3+a5+ab5=(a3+b3)2−2a3b3+a5b+ab5 =(a3+b3)2+ab(a4−2a2b2+b4)=(a3+b3)2+ab(a2−b2)2，∵a>0，b>0，a3+b3≥2，∴(a+b)(a5+b5)≥(4)。
2018年东北三省三校(辽宁省实验中学)高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，集合B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜4}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|2＜x＜4} 3．（5分）已知平面向量，则向量＝（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，2）C．（﹣1，0）D．（﹣2，1）4．（5分）设x∈R，则使lg（x+1）＜1成立的必要不充分条件是（）A．﹣1＜x＜9B．x＞﹣1C．x＞1D．1＜x＜95．（5分）等比数列{a n}中，a3＝﹣2，a11＝﹣8，则a7＝（）A．﹣4B．4C．±4D．﹣56．（5分）过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且，则弦AB的长为（）A．B．4C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S＝（）A．B．C．D．18．（5分）如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．3B．4C．6D．89．（5分）“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折起，使面BAC⊥面DAC，则四面体A﹣BCD的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π11．（5分）双曲线C：的左顶点为A，右焦点为F，过点F作一条直线与双曲线C的右支交于点P，Q，连接P A，QA分别与直线l：交于点M，N，则∠MFN＝（）A．B．C．D．12．（5分）已知定义域为R的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）＞f（x）+1，则下列正确的是（）A．f（2018）﹣ef（2017）＞e﹣1B．f（2018）﹣ef（2017）＜e﹣1C．f（2018）﹣ef（2017）＞e+1D．f（2018）﹣ef（2017）＜e+1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数的值域为．14．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z＝3x+4y的最大值为．15．（5分）写出下列命题中所有真命题的序号．①两个随机变量线性相关性越强，相关系数r越接近1；②回归直线一定经过样本点的中心；③线性回归方程，则当样本数据中x＝10时，必有相应的y＝12；④回归分析中，相关指数R2的值越大说明残差平方和越小．16．（5分）数列{a n}中，，，设数列的前n项和为S n，则S n＝．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2a﹣2c cos B．（1）求角C的大小；（2）求的最大值，并求出取得最大值时角A，B的值．18．（12分）某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩，将数学成绩进行分组，并根据各组人数制成如下频率分布表：（1）写出a，b，c，d的值，并估计本次考试全年级学生的数学平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现从成绩在[90，100]内的学生中任选出两名同学，从成绩在[40，50）内的学生中任选一名同学，共三名同学参加学习习惯问卷调查活动．若A1同学的数学成绩为43分，B1同学的数学成绩为95分，求A1，B1两同学恰好都被选出的概率．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，，D，E分别是棱CC1、BB1的中点．（1）证明：A1E⊥AD；（2）求点A到平面A1B1D的距离．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，动点M（x，y）总满足关系式．（1）点M的轨迹是什么曲线？并写出它的标准方程；（2）坐标原点O到直线l：y＝kx+m的距离为1，直线l与M的轨迹交于不同的两点A，B，若，求△AOB的面积．21．（12分）已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）＝（x﹣m）e x（常数m∈R）．（1）若m＝2，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）+m+1＞0恒成立，求实数m的最大整数值．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2：．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线（ρ＞0）与曲线C1的异于极点的交点为A，与曲线C2的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|．（1）设f（x）+f（x+1）＜5的解集为集合A，求集合A；（2）已知m为集合A中的最大自然数，且a+b+c＝m（其中a，b，c为正实数），设．求证：M≥8．2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数＝＝i在复平面内对应的点位于第四象限．故选：D．2．（5分）设集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，集合B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜4}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|2＜x＜4}【解答】解：集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B＝{x|﹣1＜x＜4}．故选：B．3．（5分）已知平面向量，则向量＝（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，2）C．（﹣1，0）D．（﹣2，1）【解答】解：向量＝（，）﹣（，﹣）＝（﹣，+）＝（﹣1，2）．故选：B．4．（5分）设x∈R，则使lg（x+1）＜1成立的必要不充分条件是（）A．﹣1＜x＜9B．x＞﹣1C．x＞1D．1＜x＜9【解答】解：由lg（x+1）＜1得0＜x+1＜10，得﹣1＜x＜9，即不等式的等价条件是﹣1＜x＜9，则使lg（x+1）＜1成立的必要不充分条件对应范围要真包含（﹣1，9），则对应的范围为x＞﹣1，故选：B．5．（5分）等比数列{a n}中，a3＝﹣2，a11＝﹣8，则a7＝（）A．﹣4B．4C．±4D．﹣5【解答】解：由等比数列的性质可得：奇数项的符号相同，∴a7＝﹣＝﹣＝﹣4．故选：A．6．（5分）过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且，则弦AB的长为（）A．B．4C．D．【解答】解：抛物线y2＝4x，∴P＝2，且经过点F的直线与抛物线相交于A、B两点，其横坐标分别为x1，x2，利用抛物线定义，则|F A|＝x1﹣（﹣）＝x1+1，|FB|＝x2﹣（﹣）＝x2+1，∴|AB|＝|F A|+|FB|＝（x1+x2）+2＝+2＝．故选：C．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S＝（）A．B．C．D．1【解答】解：s＝﹣1，i＝2≤4，a＝1+1＝2，s＝﹣1+2＝1，i＝3≤4，a＝1﹣＝，s＝1+＝，i＝3+1≤4，a＝1﹣2＝﹣1，s＝﹣1＝，i＝4+1＞4，输出s＝，故选：C．8．（5分）如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．3B．4C．6D．8【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为直角三角形，侧棱P A⊥底面ABC，则该三棱锥的体积为．故选：B．9．（5分）“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为﹣1，面积为4﹣2故飞镖落在阴影区域的概率为＝1﹣．故选：A．10．（5分）矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折起，使面BAC⊥面DAC，则四面体A﹣BCD的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π【解答】解：矩形ABCD中，∵AB＝4，BC＝3，∴DB＝AC＝5，设DB交AC与O，则O是△ABC和△DAC的外心，球心一定在过O且垂直于△ABC的直线上，也在过O且垂直于△DAC的直线上，这两条直线只有一个交点O因此球半径R＝2.5，四面体ABCD的外接球的体积：V＝×π×（2.5）3＝．故选：C．11．（5分）双曲线C：的左顶点为A，右焦点为F，过点F作一条直线与双曲线C的右支交于点P，Q，连接P A，QA分别与直线l：交于点M，N，则∠MFN＝（）A．B．C．D．【解答】解：（一般方法）双曲线C：的左顶点为A（﹣1，0），右焦点为F（2，0），设直线PQ的方程为x＝ky+2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）联立方程组可得，消x整理可得（3k2﹣1）y2+12ky+9＝0，且k2≠，∴y1+y2＝，y1•y2＝，∴x1+x2＝k（y1+y2）+4＝，x1x2＝k2y1y2+2k（y1+y2）+4＝则直线P A的方程为y＝•（x+1），直线QA的方程为y＝•（x+1），分别令x＝，可得y M＝•，y N＝•，∴＝（，﹣•），＝（，﹣•），∴•＝+•＝+＝0，∴⊥，∴∠MFN＝，（特殊方法），不妨令直线PQ为直线x＝2，由，解得y＝±3，∴P（2，3），Q（2，﹣3），∴直线P A的方程为y＝3x+3，当x＝时，y＝，即M（，），同理可得N（，﹣），∴＝（，﹣），＝（，），∴•＝﹣＝0，∴⊥，∴∠MFN＝，故选：C．12．（5分）已知定义域为R的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）＞f（x）+1，则下列正确的是（）A．f（2018）﹣ef（2017）＞e﹣1B．f（2018）﹣ef（2017）＜e﹣1C．f（2018）﹣ef（2017）＞e+1D．f（2018）﹣ef（2017）＜e+1【解答】解：令g（x）＝+e﹣x，则g′（x）＝﹣＝＞0，故g（x）在R递增，故g（2018）＞g（2017），即+e﹣2018＞+e﹣2017，故f（2018）+1＞ef（2017）+e，即f（2018）﹣ef（2017）＞e﹣1，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数的值域为（0，+∞）．【解答】解：8x＞0；∴8x+1＞1；∴；∴f（x）的值域为（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．14．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z＝3x+4y的最大值为18．【解答】解：作出约束条件，所示的平面区域，让如图：作直线3x+4y＝0，然后把直线L向可行域平移，结合图形可知，平移到点A时z最大由可得A（2，3），此时z＝18．故答案为：18．15．（5分）写出下列命题中所有真命题的序号②④．①两个随机变量线性相关性越强，相关系数r越接近1；②回归直线一定经过样本点的中心；③线性回归方程，则当样本数据中x＝10时，必有相应的y＝12；④回归分析中，相关指数R2的值越大说明残差平方和越小．【解答】解：对于①，两个随机变量线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近1，∴①错误；对于②，回归直线一定经过样本点的中心，②正确；对于③，线性回归方程，当样本数据中x＝10时，则y＝0.2×10+10＝12，∴样本数据x＝10时，预测y＝12，∴③错误；对于④，回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和越小，∴④正确．综上，正确的命题是②④．故答案为：②④．16．（5分）数列{a n}中，，，设数列的前n项和为S n，则S n＝．【解答】解：∵，，∴﹣＝1，∴数列是等差数列，首项为2，公差为1．∴＝2+n﹣1＝n+1，∴a n＝，∴＝﹣，∴数列的前n项和为S n＝+……+﹣+……+＝﹣＝．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2a﹣2c cos B．（1）求角C的大小；（2）求的最大值，并求出取得最大值时角A，B的值．【解答】解：（1）△ABC中，b＝2a﹣2c cos B＝2a﹣2c•，整理得a2+b2﹣c2＝ab，即cos C＝＝＝，因为0＜C＜π，则C＝；（2）由（1）知，则B＝π﹣A﹣，于是＝cos A+sin（π﹣A）＝cos A+sin A＝2sin（A+），由，则0＜A＜，∴＜A+＜π，∴当时，取得最大值为2，此时B ＝．18．（12分）某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩，将数学成绩进行分组，并根据各组人数制成如下频率分布表：（1）写出a，b，c，d的值，并估计本次考试全年级学生的数学平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现从成绩在[90，100]内的学生中任选出两名同学，从成绩在[40，50）内的学生中任选一名同学，共三名同学参加学习习惯问卷调查活动．若A1同学的数学成绩为43分，B1同学的数学成绩为95分，求A1，B1两同学恰好都被选出的概率．【解答】解：（1）由频率分布表，得：，解得a＝2，b＝0.06，c＝12，d＝0.24，估计本次考试全年级学生的数学平均分为：45×0.04+55×0.06+65×0.28+75×0.3+85×0.24+95×0.08＝73.8．（2）设数学成绩在[90，100]内的四名同学分别为B1，B2，B3，B4，成绩在[40，50）内的两名同学为A1，A2，则选出的三名同学可以为：A1B1B2、A1B1B3、A1B1B4、A1B2B3、A1B2B4、A1B3B4、A2B1B2、A2B1B3、A2B1B4、A2B2B3、A2B2B4、A2B3B4，共有12种情况．A1，B1两名同学恰好都被选出的有A1B1B2、A1B1B3、A1B1B4，共有3种情况，所以A1，B1两名同学恰好都被选出的概率为．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，，D，E分别是棱CC1、BB1的中点．（1）证明：A1E⊥AD；（2）求点A到平面A1B1D的距离．【解答】证明：（1）连接DE，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1，得CC1⊥BC，∵BC⊥AC又有CC1∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1∵D，E分别为CC1，BB1的中点，则DE∥BC，∴DE⊥平面ACC1A1，∴DE⊥AD∵，∴AD⊥A1D，A1D∩DE＝D，AD⊥平面A1DE，∴A1E⊥AD．解：（2）设点A到平面A1B1D的距离为d，∵B1C1⊥A1C1，B1C1⊥CC1，CC1∩A1C1＝C1，∴B1C1⊥平面A1DA由知，，即，解得．点A到平面A1B1D的距离为．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，动点M（x，y）总满足关系式．（1）点M的轨迹是什么曲线？并写出它的标准方程；（2）坐标原点O到直线l：y＝kx+m的距离为1，直线l与M的轨迹交于不同的两点A，B，若，求△AOB的面积．【解答】解：（1）根据题意，动点M（x，y）总满足关系式，整理变形可得：，所以点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，它的标准方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由点O到直线l：y＝kx+m的距离为1，得，即m2＝1+k2，联立直线与椭圆的方程，可得消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，△＝（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＝48（3+4k2﹣m2）＝48（3k2+2）＞0，，＝＝．∵，∴，解得，，∴，∴．21．（12分）已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）＝（x﹣m）e x（常数m∈R）．（1）若m＝2，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）+m+1＞0恒成立，求实数m的最大整数值．【解答】解：（1）当m＝2时，f（x）＝（x﹣2）e x（x∈（0，+∞）），∴f'（x）＝（x﹣1）e x，令f'（x）＞0，有x＞1，∴f（x）在（1，+∞）上为增函数，令f'（x）＜0，有0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）上为减函数，综上，f（x）在（0，1）上为减函数，f（x）在（1，+∞）上为增函数．（2）∵f（x）+m+1＞0对于x∈（0，+∞）恒成立，即f（x）＞﹣m﹣1对于x∈（0，+∞）恒成立，由（1）知①当m≤1时，f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴f（x）＞f（0）＝﹣m，∴﹣m＞﹣m﹣1恒成立∴m≤1②当m＞1时，在（0，m﹣1）上为减函数，f（x）在（m﹣1，+∞）上为增函数．∴，∴﹣e m﹣1＞﹣m﹣1∴e m﹣1﹣m﹣1＜0设g（m）＝e m﹣1﹣m﹣1（m＞1），∴g'（m）＝e m﹣1﹣1＞0（m＞1），∴g（m）在（1，+∞）上递增，而m∈Zg（2）＝e﹣3＜0，g（3）＝e2﹣4＞0，∴在（1，+∞）上存在唯一m0使得g（m0）＝0，且2＜m0＜3，∵m∈Z，∴m最大整数值为2，使e m﹣1﹣m﹣1＜0，即m最大整数值为2，有f（x）+m+1＞0对于x∈（0，+∞）恒成立．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2：．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线（ρ＞0）与曲线C1的异于极点的交点为A，与曲线C2的交点为B，求|AB|．【解答】（1）曲线C1的参数方程（θ为参数）可化为普通方程x2+（y﹣1）2＝1，由，可得曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+cos2θ）＝2．（2）射线（ρ＞0）与曲线C1的交点A的极径为，射线（ρ＞0）与曲线C2的交点B的极径满足，解得，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|．（1）设f（x）+f（x+1）＜5的解集为集合A，求集合A；（2）已知m为集合A中的最大自然数，且a+b+c＝m（其中a，b，c为正实数），设．求证：M≥8．【解答】解：（1）f（x）+f（x+1）＜5，即|2x﹣1|+|2x+1|＜5；当时，不等式化为1﹣2x﹣2x﹣1＜5，∴；当时，不等式化为1﹣2x+2x+1＜5，不等式恒成立；当时，不等式化为2x﹣1+2x+1＜5，∴；综上，集合；（2）证明：由（1）知m＝1，则a+b+c＝1；则；同理；则；即M≥8．。
黑龙江省哈尔滨市2018届高三二模考试数学试题Word版含解析
黑龙江省哈尔滨市2018届高三二模考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】D2. 设非空集合满足，则（）A. ，有B. ，有C. ，使得D. ，使得【答案】B【解析】试题分析：由于,因此不属于集合的元素一定不属于集合,故答案B是正确的，应选B.考点：集合的运算．3. 若过点的直线与圆的圆心距离记为，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由已知，点在圆外，当直线经过圆心时，圆心到直线的距离最小为0，圆心到点的距离，是圆心到直线的最大距离，此时，故选.考点：1.直线与圆的位置关系；2.两点间的距离公式.4. 从中随机取出一个数为，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于的概率为（）A. B. C. D.【答案】B考点：1.程序框图；2.古典概型．5. 以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（）A. 或B. 或C.D.【答案】B【解析】若双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的方程为，渐近线的方程为,由题意可得，可得，即；若双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的方程为，渐近线的方程为,由题意可得，可得,即 .综上可得或.故选：B.6. 已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】C7. 已知实数满足，则函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由，得，，.所以零点在区间.考点：零点与二分法.8. 已知过球面上三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且，则球面积是（）A. B. C. D.【答案】C9. 若实数满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：其图形如图所示,,由图形知,故选A.考点：线性规划.10. 函数的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D点睛：本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法．11. 已知抛物线的焦点为,准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，焦点为，准线为，焦点到准线的距离为.设，则，，根据抛物线的定义，到焦点的距离等于到准线的距离，有，故.12. 已知数列的通项公式为，其前项和为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由a n=（-1）n（2n-1）+1，得a1=−+1=1，a2=3cosπ+1=-2，a3=−5+1=1，a4=7cos2π+1=8，…由上可知，数列{a n}的奇数项为1，每两个偶数项的和为6，∴S60=（a1+a3+…+a59）+（a2+a4+…+a58+a60）=30+15×6=120．故选：D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，且，则实数__________．【答案】-214. 为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得如下实验数据，计算得回归直线方程为，由以上信息，得到下表中的值为__________．（天）繁殖个数【答案】6【解析】试题分析：∵，，∴代入到回归直线方程中得：，∴.考点：线性回归方程.15. 设等差数列的公差是，其前项和是，若，则的最小值是__________．【答案】【解析】等差数列{an}的公差为d，前n项和为S n，若a1=d=1，∴ ,(当且仅当n=4时取等号)．故答案为：．点睛：本题考查数列与不等式的综合,等差数列的通项公式,等差数列的前n项和数列与不等式的应用，等差数列的通项公式以及求和是的应用，考查转化思想以及计算能力．16. 设函数.其中，存在使得成立，则实数的值为__________．【答案】考点：导数在研究函数最值中的应用.【方法点睛】本题主要考查了导数在研究函数最值中的应用，考查了转化的数学思想，属于中档题.把函数看作动点与动点之间距离的平方，利用导数求出曲线上与直线平行的切线的切点，得到曲线上点到直线的距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于，然后由两直线斜率的关系式求得实数的值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设函数.（1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；（2）已知中,角的边分别为，若，求的最小值.【答案】(1) ，;(2).试题解析：（1）的最大值为2．要使取最大值，，故的集合为（2），即．化简得，只有．在中，由余弦定理，．由知，即，当时取最小值1．,考点：1．三角恒等变换；2．三角函数的图象与性质；3．余弦定理；4．基本不等式．18. 某批次的某种灯泡个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下，根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于天的灯泡是优等品，寿命小于天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.（1）根据频率分布表中的数据，写出的值；（2）某人从这个灯泡中随机地购买了个，求此灯泡恰好不是次品的概率；（3）某人从这批灯泡中随机地购买了个，如果这个灯泡的等级情況恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求的最小值.【答案】(1) ;(2) ;（3）.【方法点睛】本题主要考查互斥事件、对立事件抽样方法及古典概型概率公式，属于中档题题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和；在解古典概型概率题时，首先把所求样本空间中基本事件的总数，其次所求概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.19. 如图，四棱锥中，底面为菱形，底面.（1）求证:；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）要证AC⊥PB，可以通过证明AC⊥面PDB实现，而后者可由AC⊥BD，AC⊥PD证得；（2）求出A到平面PBC的距离为h（可以利用等体积法），再与PA作比值，即为PA与平面PBC所成角的正弦值．试题解析：(1)底面为菱形，底面面面.(2)设，设到平面的距离为，则由题意，，在等腰中，可求，，.20. 椭圆的左、右焦点分别为，且离心率为，点为椭圆上一动点，内切圆面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为，过右焦点的直线与椭圆相交于两点，连接并延长分别交直线于两点，以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1) ;(2)或.试题解析：（1）已知椭圆的离心率为，不妨设，，即，其中，又内切圆面积取最大值时，半径取最大值为，由，由为定值，因此也取得最大值，即点为短轴端点，因此，，解得，则椭圆的方程为．（2）设直线的方程为，，，联立可得，则，，直线的方程为，直线的方程为，则，，假设为直径的圆是否恒过定点，则，，，即，即，，即，若为直径的圆是否恒过定点，即不论为何值时，恒成立，因此，，或，即恒过定点和．考点：1、椭圆的几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、向量数量积的运算．【方法点睛】求解圆锥曲线中的定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向．21. 已知，函数.（1）求的单调区间；（2）当时，证明: 存在，使；（3）若存在属于区间的，且，使，证明:.【答案】(1)时，函数的单调增区间为；时，函数的单调增区间为，单调减区间为;(2).【解析】试题分析：（1）求的单调区间，由于函数含有对数函数，因此求的单调区间，可用导数法，因此对函数求导得，，令，解得，列表确定单调区间；（2）当时，证明：存在，使，可转化为在上有解，可令，有根的存在性定理可知，只要在找到两个，是得即可，故本题把代入得，由（1）知在内单调递增，在内单调递减，，故，取，则，即可证出；（3）若存在均属于区间的，且，使，由（1）知的单调递增区间是，单调递减区间是，故，且在上的最小值为，而，，只有，由单调性可知，，从而可证得结论.所以，的单调递增区间是，单调递减区间是（5分）（2）证明：当时，，由（1）知在内单调递增，在内单调递减．令．（6分）由于在内单调递增，故，即（7分）取，则.所以存在，使，即存在，使．（9分）（说明：的取法不唯一，只要满足，且即可．）考点：函数单调性，根的存在性定理.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为为参数) ，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线过曲线的左焦点.（1）直线与曲线交于两点，求；（2）设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值.【答案】(1) ;(2) .23. 选修4-5：不等式证明选讲已知函数，且恒成立.（1）求实数的最大值；（2）当取最大时，求不等式的解集.【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：（1）根据1的替换，结合基本不等式的应用求出函数f（x）的最小值即可得到结论；（2）根据绝对值的应用将不等式进行表示为分段函数形式，进行求解即可．试题解析：（1）因为，且恒成立，所以只需，又因为，所以，即的最大值为.。
2018届东北三校高三第二次高考模拟考试理科数学试题及
东北三校2018届高三第二次高考模拟考试理科数学本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色自己的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色自己的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|||3}A x x =<，{|B x y ==，则集合A B 为A ．[0,3)B ．[1,3)C ．(1,3)D ．(3,1]-2．“a = 1”是“复数21(1)a a i -++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．以下有关线性回归分析的说法不正确．．．的是 A ．通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心(,)x yB ．用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使21()niii y bx a =--∑最小的a ,b 的值C ．相关系数r 越小，表明两个变量相关性越弱D ．22121()1()niii nii y y R y y ==-=--∑∑越接近1，表明回归的效果越好4．将一枚质地均匀的硬币连掷4次，出现“至少两次正面向上”的概率为A ．14B ．34C ．38D ．11165．已知为等比数列，S n 是它的前n 项和。
若，且a 4与a 7的等差中项为98， A ．35B ．33C ．31D ．296．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所的图象的函数解析式是A ．cos 2y x =B ．22cos y x =C ．1sin(2)4y x π=++D ．22sin y x =7．某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为A．3+B．8+C．6+D．8+8．已知圆M 过定点(2,1)且圆心M 在抛物线24y x =上运动，若y 轴截圆M 所得的弦长为AB ，则弦长||AB 等于A ．4B ．3C ．2D ．与点M 位置有关的值9．当a > 0时，函数2()(2)xf x x ax e =-的图象大致是10．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n -=>>有相同的焦点(,0)c -和(,0)c ，若c 是a 与m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率为A ．12B ．14CD11．已知函数321()(1)(3)23f x x b x a b x b =+---+-的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3，则不等式组0x ay x by -≥⎧⎨-≥⎩所确定的平面区域在224x y +=内的面积为A ．3π B ．2π C ．π D ．2π12．在底面半径为3，高为4+放入一个半径为3的大球后再放入与球面、圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入的小球的个数最多的为A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
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东北三省四市教研联合体2018届高三第二次模拟考试文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}(){}03,1ππ-==x x x B x x A ，则B A Y （ ） A ．（-1,0） B ．（0,1） C ．（-1,3） D ．（1,3） 2.若复数aiiz ++=11为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．21-D ．-1 3.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”取意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代是用算筹来进行计算.算筹是将几寸长的小竹棍摆在下面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式（如下图所示).表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列.但各位数码的筹式要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示.以此类推.例如3266用箅筇表示就是，则8771用算筹可表示为（ ）中国古代的算筹数码 A ．B ．C ．D ．4.右图所示的程序框图是为了求出满足2822φn n -的最小偶数n ，那么在空白框内填入及最后输出的n 值分别是（ ）A ．1+=n n 和6B ．2+=n n 和6 C.1+=n n 和8 D ．2+=n n 和8 5.函数xxx x f tan 1)(2++=的部分图像大致为（ ）A ．B ．C. D ．6.等差数列{}n a 的公差不为零，首项11=a ，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列{}n a 的前9项之和是（ ） A ．9B ．10C.81 D ．907.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．34B ．3310 C.32 D ．3388.已知首项与公比相等的等比数列{}n a 中，满足),(*242N n m a a a n m ∈=，则nm 12+的最小值为（ ） A ．1 B ．23 C.2 D ．29 9.已知过曲线xe y =上一点),(00y x P 做曲线的切线，若切线在y 轴上的截距小于0时，则0x 的取值范围是（ ）A ．),0(+∞B ．),1(+∞eC.),1(+∞ D ．),2(+∞10.已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将ABC ∆折成直二面角C AD B --，则过D C B A ,,,四点的球的表面积为（ ）A ．π3B ．π4 C.π5 D ．π611.将函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin )(πx x f 的图像向右平移a 个单位得到函数()cos(2)4g x x π=+的图象，则a 的值可以为（ ） A ．512π B ．712π C ．924π1 D ．4124π12.已知焦点在x 轴上的双曲线222211x y m m -=-的左右两个焦点分别为1F 和2F ，其右支上存在一点P 满足12PF PF ⊥，且12PF F ∆的面积为3，则该双曲线的离心率为（ ）ABC ．2D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设实数x ，y 满足约束条件0,40,5,y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩则25z x y =++的最大值为．14.为了了解居民天气转冷时期电量使用情况，某调查人员由下表统计数据计算出回归直线方程为$ 2.1161.13y x =-+，现表中一个数据为污损，则被污损的数据为．（最后结果精确到整数位）15.已知函数()f x 满足(1)1()f x f x +=-，当(1)2f =时，)9()8(f f +的值为．16.已知菱形ABCD 的一条对角线BD 长为2，点E 满足21=，点F 为CD 的的中点.若2-=⋅则AF CD ⋅=．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若2=b ，且A c C a B b cos cos cos 2+=. （I ）求B 的大小；（II ）求ABC ∆面积的最大值.18.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示．（I ）求出a 的值；（II ）求出这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（III ）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，1PA AB ==．（1）证明：//EF 平面DCP ； （2）求平面EFC 与平面PDC 的距离．20.在平面直角坐标系中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，点3(1,)2M 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知(2,0)P -与(2,0)Q 为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值．21.已知函数)()(,ln )(R m m x x g x x f ∈+==． （I ）若()f x )(x g ≤恒成立，求实数m 的取值范围；（II ）已知21,x x 是函数)()()(x g x f x F -=的两个零点，且21x x π，求证：121πx x . 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ：cos 3ρθ=，曲线2C ：4cos ρθ=（02πθ≤<）．（I ）求1C 与2C 交点的极坐标；（II ）设点Q 在2C 上，23OQ QP =u u u r u u u r，求动点P 的极坐标方程．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||23|f x x x m =+++，m R ∈． （I ）当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集； （II ）对于(,0)x ∀∈-∞都有2()f x x x≥+恒成立，求实数m 的取值范围．数学（文科）试题参考答案一、选择题1-5:CDCDD 6-10: CBACC 11、12：CB 二、填空题13.14 14.38 15.3716.-7 三、解答题 17.解： （1）由正弦定理CCB b A a sin sin sin ==可得 B A C C A B B sin cos sin cos sin cos sin 2=+=∵0sin φB ，故21cos =B ， ∵πππB 0，∴3π=B（2）由3,2π==B b ，由余弦定理可得422-+=c a ac ，由基本不等式可得4,42422≤-≥-+=ac ac c a ac ， 而且仅当2==c a 时B ac S ABC sin 21=∆取得最大值323421=⨯⨯， 故ABC ∆的面积的最大值为3.18.解：（1）由10(0.0100.0150.0300.010)1a ⨯++++=，得0.035a =， （2）平均数为200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁； 设中位数为x ，则100.010100.015(35)0.0350.5x ⨯+⨯+-⨯=，∴42.1x ≈岁．（3）第1,2组抽取的人数分别为20人，30人，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为32121,,,,b b b a a .设从5人中随机抽取3人，为（121,,b a a ），（221,,b a a ），（321,,b a a ），（211,,b b a ），（311,,b b a ），（321,,b b a ），（212,,b b a ），（312,,b b a ），（322,,b b a ），（321,,b b b ），共10个基本事件，其中第2组恰好抽到2人包含（211,,b b a ），（311,,b b a ），（321,,b b a ），（212,,b b a ），（312,,b b a ），（322,,b b a ）共6个基本事件从而第2组抽到2人的概率53106==19.解：（1）取PC 中点M ，连接DM ，MF ， ∵M ，F 分别是PC ，PB 中点，∴//MF CB ，12MF CB =，∵E 为DA 中点，ABCD 为矩形，∴//DE CB ，12DE CB =， ∴//MF DE ，MF DE =，∴四边形DEFM 为平行四边形， ∴//EF DM ，∵EF ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ， ∴//EF 平面PDC ．（2）∵EF ∥平面PDC ，∴F 到平面PDC 的距离等于E 到平面PDC 的距离， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴DA PA ⊥，∵1==AD PA ，在PAD Rt ∆中2=DP ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴CB PA ⊥，∵A AB PA AB CB =⊥I ,，∴⊥CB 平面PAB ，∴⊥CB PB ，则3=PC ，∵222PC DC PD =+，∴PDC ∆为直角三角形，∴222121=⨯⨯=∆PDC S PDE C PDC E V V --=，设E 到平面PDC 的距离为h ，又∵A PA AD PA CD AD CD =⊥⊥I ,,，∴⊥CD 平面PAD 则2121131212131⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅h ∴42=h ∴F 到平面PDC 的距离为42 20.解：（1）∵12c a =，∴2a c =， 椭圆的方程为2222143x y c c+=，将3(1,)2代入得22191412c c+=，∴21c =， ∴椭圆的方程为22143x y +=． （2）设l 的方程为1x my =+，联立221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得22(34)690m y my ++-=， 设点11(,)A x y ，22(,)B x y ， 有122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，有2212(1)||34m AB m +==+， 点P (2,0)-到直线l点(2,0)Q 到直线l从而四边形APBQ的面积222112(1)23434m S m m +=⨯=++（或121||||2S PQ y y =-）令t =，1t ≥， 有22431t S t =+2413t t=+，设函数1()3f t t t =+，21'()30f t t =->，所以()f t 在[1,)+∞上单调递增， 有134t t+≥，故2242461313t S t t t==≤++，所以当1t =，即0m =时，四边形APBQ 面积的最大值为6． 21.解：（1）令)0(ln )()()(φx m x x x g x f x F --=-=，有xxx x F -=-='111)(， 当1φx 时，0)(πx F '，当10ππx 时，0)(φx F '，所以)(x F 在（1，+∞）上单调递减，在（0,1）上单调递增，)(x F 在1=x 处取得最大值为m --1，若)()(x g x f ≤恒成立，则m --1≤0即1-≥m ，（2）由（1）可知，若函数)()()(x g x f x F -=有两个零点，则2110x x πππ 要证121πx x ，只需证121x x π，由于)(x F 在（1，+∞）上单调递减，从而只需证()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121x F x F φ，由于()()1121ln ,0x x m x F x F -===，即证0ln 11ln 11ln111111πx x x x m x x -+-=-- 令01221)(),10(ln 21)(222φππx x x x x x x h x x x x x h +-=-+='-+-=， 有)(x h 在（0,1）上单调递增，0)1()(=h x h π，所以121πx x . 22.解：（1）联立cos 3,4cos ,ρθρθ=⎧⎨=⎩cos 2θ=±，∵02πθ≤<，6πθ=，ρ=∴所求交点的极坐标)6π．（2）设(,)P ρθ，00(,)Q ρθ且004cos ρθ=，0[0,)2πθ∈，由已知23OQ QP =u u u r u u u r ，得002,5,ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴24cos 5ρθ=，点P 的极坐标方程为10cos ρθ=，[0,)2πθ∈． 23.解：（1）当2m =-时，41,0,3()|2||23|21,0,2345,.2x x f x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=++-=-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩当413,0,x x +≤⎧⎨≥⎩解得102x ≤≤；当302x -<<，13≤恒成立；当453,3,2x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得322x -≤≤-， 此不等式的解集为1|22x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）令233,0,22()()2353,,2x m x x g x f x x x x m x x ⎧--++-≤<⎪⎪=--=⎨⎪--+-≤-⎪⎩当302x -≤<时，22'()1g x x =-+，当0x ≤<时，'()0g x ≥，所以()g x在[0)上单调递增，当32x -≤≤时，'()0g x ≤，所以()g x在3[,2-上单调递减，所以min ()(g x g =30m =+≥，所以3m ≥-， 当32x ≤-时，22'()50g x x =-+<，所以()g x 在3(,]2-∞-上单调递减， 所以min 335()()026g x g m =-=+≥，所以356m≥-，综上，3m≥-．。