湖北省部分重点中学2012届高三第一次联考数学文试题答案
2012年高考文科数学湖北卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共26页） 数学试卷 第2页（共26页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学(文史类)本试卷共4页,共22题.满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★考生注意：1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型后的方框涂黑.2.选择题的作答：每小题选出答案后,用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合23 20,|} {A x x x x -+=∈R ,05 {|}B x x x =∈＜＜,N ,则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为( ) A .1B .2C .3D .42.容量为20的样本数据,分组后的频数如下表：则样本数据落在区间[10,40)的频率为( )A .0.35B .0.45C .0.55D .0.65 3.函数s ()co 2f x x x =在区间[0,2π]上的零点的个数为 ( ) A .2B .3C .4D .54.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( )A .任意一个有理数,它的平方是有理数B .任意一个无理数,它的平方不是有理数C .存在一个有理数,它的平方是有理数D .存在一个无理数,它的平方不是有理数 5.过点)(1,1P 的直线,将圆形区域22{()|+4}x y x y ,≤分为两部分,使得这两部分的面积差最大,则该直线的方程为( )A .20x y +-=B .10y -=C .0x y -=D .340x y +-=6.已知定义在区间[0,2]上的函数()y f x =的图象如图所示,则()2y f x =--的图象为( )ABCD7.定义在()(),00,-∞+∞上的函数)(f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,{)(}n f a 仍是等比数列,则称)(f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞+∞上的如下函数：①2()f x x ＝；②()2x f x ＝；③()f x =；④()ln ||f x x ＝.则其中是“保等比数列函数”的)(f x 的序号为( ) A .①②B .③④C .①③D .②④8.设ABC △的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若三边的长为连续的三个正整 数,且A B C ＞＞,320b acosA =,则sin :sin :sin A B C 为 ( ) A .4∶3∶2B .5∶6∶7C .5∶4∶3D .6∶5∶49.设a b c ∈,,R ,则“1abc =++a b c ”的()--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第3页（共26页） 数学试卷 第4页（共26页）A .充分条件但不是必要条件B .必要条件但不是充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要的条件10.如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA ,OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )A .112π-B .1πC .21π-D .2π二、填空题：本大题共7小题,每小题5分,共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.11.一支田径运动队有男运动员56人,女运动员42人.现用分层抽样的方法抽取若干人,若抽取的男运动员有8人,则抽取的女运动员有 人.12.若3+i=+i 1ib a b －（a ,b 为实数,i 为虚数单位）,则a b += . 13.已知向量0)(1,=a ,1)(1,=b ,则（Ⅰ）与2+a b 同向的单位向量的坐标表示为 ；（Ⅱ）向量3-b a 与向量a 夹角的余弦值为 .14.若变量x ,y 满足约束条件1,1,33,x y x y x y --⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≥≤则目标函数23z x y =+的最小值是 .15.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .16.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果s = .17.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10,记为数列{}n a ,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b .可以推测： （Ⅰ）2012b 是数列{}n a 中的第 项； （Ⅱ）21k b =－ .（用k 表示）三、解答题：本大题共5小题,共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题满分12分）设函数22()sin cos cos ()f x x x x x x ωωωωλ-∈++=R 的图象关于直线π=x 对称,其中ω,λ为常数,且)11(2ω∈,. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()y f x =的图象经过点π()40，,求函数()f x 的值域. 19.（本小题满分12分）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台1111A B C D ABCD －,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱2222ABCD A B C D －. （Ⅰ）证明：直线11B D ⊥平面22ACC A ；（Ⅱ）现需要对该零部件表面进行防腐处理.已知10=AB ,1120=A B ,20=3A ,113=AA （单位：厘米）,每平方厘米的加工处理费为0.20元,需加工处理费多少元？ 20.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 前三项的和为,前三项的积为.（Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2a ,3a ,1a 成等比数列,求数列{||}n a 的前n 项和.21.（本小题满分14分）设A 是单位圆221x y +=上的任意一点,l 是过点A 与x 轴垂直的直线,D 是直线l 与x 轴的交点,点M 在直线l 上,且满足|(|)|01DM m DA m m ≠=＞,且.当点A 在圆上运动时,记点M 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）求曲线C 的方程,判断曲线C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标；3-8数学试卷 第5页（共26页） 数学试卷 第6页（共26页）（Ⅱ）过原点斜率为k 的直线交曲线C 于P ,Q 两点,其中P 在第一象限,且它在y 轴上的射影为点N ,直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ,使得对任意的0k ＞,都有PQ PH ⊥？若存在,求m 的值；若不存在,请说明理由.22.（本小题满分14分）设函数()(1)()0n f x ax x b x ＝－＋＞,n 为正整数,a ,b 为常数.曲线()y f x =在(1)(1)f ,处的切线方程为1x y +=.（Ⅰ）求a ,b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值； （Ⅲ）证明：1()ef x n <.数学试卷第7页（共26页）数学试卷第8页（共26页）5 / 13数学试卷 第11页（共26页）数学试卷 第12页（共26页）3S ，4S 。
2012年湖北高考数学文科试卷带详解
2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合,,,A B C {}2320A x x x =-+=,{}05,B x x x =<<∈N ，则满足条件A B C ⊆⊆的集合C 的个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】子集的应用.【参考答案】D【试题解析】求{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4=<<∈=N B x x x .因为⊆⊆A C B ，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个.故选D.2．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：则样本数据落在区间[10,40)的频率为 ( )A ．0.35B ．0.45C ．0.55D ．0.65 【测量目标】频数分布表的应用，频率的计算,对于頻数、频率等统计问题【考查方式】通过弄清楚样本总数与各区间上样本的个数，用区间上样本的个数除以样本总数就可得到相应区间上的样本频率.【参考答案】B【试题解析】由频数分布表可知：样本数据落在区间[10,40)内的頻数为2+3+4=9，样本总数为23454220+++++=，故样本数据落在区间[10,40)内频率为90.4520=.故选B. 3．函数()cos 2f x x x =在区间上[]0,2π的零点的个数为 ( )A ．2B ．3C ．4 D.5 【测量目标】函数零点求解与判断.【考查方式】通过函数的零点，要求学会分类讨论的数学思想.【参考答案】D【试题解析】由()cos 20==f x x x ，得0=x 或cos20=x ；其中，由cos20=x ，得()π22x k k π=+∈Z ，故()ππ24k x k =+∈Z .又因为[]0,2πx ∈，所以π3π5π7π,,,4444x =.所以零点的个数为145+=个.故选D. 4．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 ( )A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数【测量目标】命题的否定.【考查方式】求解特称命题或全称命题的否定，千万别忽视了改变量词；【参考答案】B【试题解析】根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”.故选B.5．过点(1,1)P 的直线，将圆形区域分为两部分，使22{(,)4)}x y x y +得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 ( )A ．0x y += B. 10y -= C. 0x y -= D.340x y +-=【测量目标】考查直线、线性规划与圆的综合运,并学会用数形结合思想.【考查方式】通过观察图形发现当面积之差最大时，所求直线应与直线OP 垂直，利用这一条件求出斜率，进而求得该直线的方程.【参考答案】A【试题解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P 的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP 垂直即可.又已知点(1,1)P ，则1OP k =,故所求直线的斜率为1-.又所求直线过点(1,1)P ，故由点斜式得，所求直线的方程为()11y x -=--，即20+-=x y .故选A.6．已知定义在区间（0,2）上的21π-函数的图象()y f x =如图所示，则(2)y f x =--的图象为 ( )【测量目标】函数的图象的识别.【考查方式】利用特殊值法（特殊点），特性法（奇偶性，单调性，最值）结合排除法求解【参考答案】B【试题解析】排除法：当1x =时，()()()21211y f x f f =--=--=-=-，故可排除A,C 项；当2x =时，()()()22200y f x f f =--=--=-=，故可排除D 项；所以由排除法知选B.7．定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{()}n f a 仍是等比数列，则{()}n f a 称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下(,0)(0,)-∞+∞函数： ( )①2()f x x =； ②()2x f x =；③()f x =； ④()ln f x x =. 则其中是“保等比数列函数”的的()f x 序号为A ．① ②B ．③ ④C ．① ③D ．② ④ 【测量目标】等比数列的新应用，函数的概念.【考查方式】读懂题意，然后再去利用定义求解，注意数列的通项.【参考答案】C【试题解析】设数列{}n a 的公比为q .对于①，22112()()n n n nf a a q f a a ++==,是常数，故①符合条件;对于②，111()22()2n n n n a a a n a n f a f a ++-+==，不是常数，故②不符合条件;对于③，1()()n n f a f a +===;对于④, 11()ln ||()ln ||n n n n f a a f a a ++=，不是常数，故④不符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选C8．设ABC △的内,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 若三边的长为连续的三个正整数，且A B C >> ，320cos b a A =，则sin :sin :sin A B C 为 ( )A.4:3:2B.5:6:7 C ．5:4:3 D.6:5:4【测量目标】正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.【考查方式】本题需求解三个角的正弦的比值，明显是要利用正弦定理转化为边长的比值，因此必须求出三边长,注意正余弦定理与和差角公式的结合应用.【参考答案】D【试题解析】因为,,a b c 为连续的三个正整数，且>>A B C ，可得a b c >>，所以2,1=+=+a c b c ①；又因为已知320cos =b a A ，所以3cos 20b A a=②.由余弦定理可得222cos 2+-=b c a A bc ③，则由②③可得2223202b b c a a bc+-=④，联立①④，得2713600--=c c ，解得4=c 或157=-c （舍去），则6=a ，5=b .故由正弦定理可得，sin :sin :sin ::6:5:4==A B C a b c .故应选D.9．设,,R a b c ∈,“1abc =”是“a b c a b c ++++ ”的 ( )A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要的条件 【测量目标】充要条件的判断，不等式的证明.【考查方式】首先需判断条件能否推得结论，然后需判断结论能否推得条件.【参考答案】A【试题解析】1abc =时，abc abc abc ab bc ca a b c a b c++=++=++， 而()()()()2222a b c a b b c c a ab bc ca ++=+++++++（当且仅当a b c ==，且1abc =，即a b c==时等号成立），故ab bc ca a b c a b c++=++++；但当取2a b c ===,显然有a b c a b c ++++,但1abc ≠,即由a b c a b c ++++不可以推得1abc =；综上，1abc =是a b c a b c ++++的充分不必要条件,应选A.10．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 ( )A ．112π- B ．1π C ． 21π- D ． 2π【测量目标】古典概型的应用以及观察推理的能力.【考查方式】求解阴影部分的面积，将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.【参考答案】C【试题解析】如下图所示，设OA 的中点为1O ，OB 的中点为2O ，半圆1O 与半圆2O 的交点分别为,O F ，则四边形12OO FO 是正方形.不妨设扇形的半径为2，记两块白色区域的面积分别为12,S S ，两块阴影部分的面积分别为34,S S .则212341π2π4OAB S S S S S +++==⨯=扇形, ①而22132311111π,π1π2222S S S S π+=⨯=+=⨯=，即1232πS S S ++=, ② 由①-②，得34S S =.又由图象观察可知，12214OO FO OAB O FB O AF S S S S S =---正方形扇形扇形扇形 2222221111π1π1π11π11π14422=⨯-⨯-⨯-=⨯-=-. 故由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率：3442π221ππOAB OAB S S S P S S +-====-扇形扇形.故选C.二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人. 现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有 人．【测量目标】分层抽样的应用.【考查方式】分层抽样在生活中的应用.分层抽样时，各样本抽取的比例应该是一样的，即为抽样比.【参考答案】6【试题解析】 设抽取的女运动员的人数为a ，则根据分层抽样的特性，有84256a =，解得6a =.故抽取的女运动员为6人.12．若21k b -3i i 1ib a b +=+-（a ，b 为实数，i 为虚数单位），则a b += . 【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考察方式】通过考查复数相等来判断学生对复数的掌握.【参考答案】3【试题解析】因为3i i 1ib a b +=+-，所以()()()3i i 1i i b a b a b b a +=+-=++-.又因为,a b 都为实数，故由复数的相等的充要条件得3,a b b a b +=⎧⎨-=⎩解得0,3a b =⎧⎨=⎩所以3a b +=. 13已知向量(1,0)=a ，(1,1)=b ，则（Ⅰ）与2+a b 同向的单位向量的坐标表示为 ；（Ⅱ）向量与3-b a 向量a 夹角的余弦值为 .【测量目标】单位向量的概念，平面向量的坐标运算，向量的数量积运算等.【考查方式】给出两个向量，利用向量的坐标和向量的数量积来运算求值.【参考答案】（Ⅰ）1010⎛ ⎝⎭；（Ⅱ）5- 【试题解析】（Ⅰ）由()()1,0,1,1a =b =，得()23,1+a b =.设与2+a b 同向的单位向量为(),x y c =，则221,30,x y y x ⎧+=⎨-=⎩且,0x y >，解得310,1010.x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故31010,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭c =.即与2+a b 同向的单位向量的坐标为31010,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）由()()1,0,1,1a =b =，得()32,1--b a =.设向量3-b a 与向量a 的夹角为θ，则()32,11,025cos 3551θ--===--⨯b a a b a a .14．若变量,x y 满足约束条件1133x y x y x y --⎧⎪+⎨⎪-⎩,则目标函数23z x y =+的最小值是 .【测量目标】二元线性规划求目标函数最小值. 【考查方式】给出约束条件，判断可行域，利用可行域求解.【参考答案】2【试题解析】作出不等式组1133x y x y x y --⎧⎪+⎨⎪-⎩所表示的可行域(如下图的ABM △及其内部）,目标函数23z x y =+在ABM △的三个端点()()()2,3,0,1,1,0A B M 处取的值分别为13,3,2，比较可得目标函数23z x y =+的最小值为2.15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .【测量目标】考查圆柱的三视图的识别，圆柱的体积.【考查方式】在生活中要多多观察身边的实物都是由什么几何形体构成的，以及它们的三视图的画法.【参考答案】12π【试题解析】由三视图可知，该几何体是由左右两个相同的圆柱（底面圆半径为2，高为1）与中间一个圆柱（底面圆半径为1，高为4）组合而成，故该几何体的体积是22π212π1412πV =⨯⨯⨯+⨯⨯=.16．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s = .【测量目标】顺序结构框图和判断结构框图的执行求解.【考查方式】对于循环结构的输出问题，一步一步按规律写程序结果.【参考答案】9【试题解析】由程序框图可知：第一次:1,0,1,1,23a s n s s a a a ====+==+=,满足判断条件3?n <;第二次2,4,5n a a ===,满足判断条件3?n <第三次:3,9,7n s a ===,此时不满足判断条件3?n <，故终止运行，输出s 的值. 综上，输出的s 值为9.17．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b . 可以推测：（Ⅰ）2012b 是数列{}n a 中的第________项；（Ⅱ）21k b -________.（用k 表示）【测量目标】数学归纳法.【考查方式】本题考查归纳推理，猜想的能力.【参考答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）()5512k k - 【试题解析】易知(1)2n n n a +=，写出数列{}n a 的若干项依次为：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153,171,190,210，…,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120,190,210，故142510,15b a b a ====.同理，39410514615719820,,,,,b a b a b a b a b a b a ======.从而由上述规律可猜想：()255512k k k k b a +==，()()()21515151155122k k k k k k b a ----+-===（k 为正整数）.故201221006510065030b b a a ⨯⨯===,即2012b 是数列{}n a 中的第5030项.三、解答题：本大题共5小题，共65分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本小题满分12分）第17题10 6 3 1 ···设函数22()sin cos cos ()f x x x x x x ωωωλ=+-+∈R ,的图象关于直线πx =对称，其中,πω为常数，且1(,1)2ω∈（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()y f x =的图象经过点π(,0)4，求函数()f x 的值域. 【测量目标】三角函数的图象的周期性，值域，诱导公式的应用. 【考查方式】给出函数，利用三角函数的性质求最小值和周期.【试题解析】解：（Ⅰ）因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-++π=2sin(2)+6x ωλ-.由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴，可得πsin(2)16x ω-=±， 所以ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ，即1()23k k ω=+∈Z ． 又1(,1)2ω∈，k ∈Z ，所以1k =，故56ω=.所以()f x 的最小正周期是6π5. （Ⅱ）由()y f x =的图象过点π(,0)4，得π()04f =，即5πππ2sin()2sin 6264λ=-⨯-=-=，即λ=故5π()2sin()36f x x =-()f x的值域为[22-.19．（本小题满分12分）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台1111A B C D ABCD -11B D ⊥，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱.2222ABCD A B C D -AB CDCB AD（Ⅰ）证明：直线11B D ⊥平面22ACC A ；（Ⅱ）现需要对该零部件表面进行防腐处理. 已知10AB =，2220,A B =230AA =，113AA =（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？【测量目标】线面垂直，空间几何体的表面积；考查空间想象，运算求解以及转化与划归的能力.【考查方式】通过线线垂直证明面面垂直，并用公式求体积【试题解析】解：（Ⅰ）因为四棱柱2222ABCD A B C D -的侧面是全等的矩形，所以2AA AB ⊥，2AA AD ⊥. 又因为AB AD A =，所以2AA 平面ABCD .连接BD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以2AA BD ⊥.因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥ 根据棱台的定义可知，BD 与B 1 D 1共面.又已知平面ABCD ∥平面1111A B C D ，且平面11BB D D平面ABCD BD =，平面11BB D D平面111111A B C D B D =，所以B 1 D 1∥BD . 于是由2AA BD ⊥，AC BD ⊥，B 1 D 1∥BD ，可得211AA B D ⊥，.11AC B D ⊥ 又因为2AA AC A =，所以11B D ⊥平面22ACC A .（Ⅱ）因为四棱柱2222ABCD A B C D -的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以2221222()410410301300(cm )S S S A B AB AA =+=+⋅=+⨯⨯=四棱柱上底面四棱柱侧面.又因为四棱台1111A B C D ABCD -的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，所以2211111()42S S S A B AB A B h =+=+⨯+四棱台下底面四棱台侧面等腰梯形的高()221204(101120(cm )2=+⨯+.于是该实心零部件的表面积为212130*********(cm )S S S =+=+=，故所需加工处理费为0.20.22420484S =⨯=（元）.20．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 前三项的和为3-，前三项的积为8. （Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2a ，3a ，1a 成等比数列，求数列{}n a 的前n 项和. 【测量目标】本题考查等差数列的通项，求和等.【考查方式】考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式()11n a a n d =+-求解；有时需要利用等差数列的定义：1n n a a c --=（c 为常数）或等比数列的定义：1'nn a c a -=（'c 为常数，'0c ≠）来判断该数列是等差数列或等比数列，然后再求解通项；有些数列本身不是等差数列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段讨论.【试题解析】解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则21a a d =+，312a a d =+，由题意得1111333,()(2)8.a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩ 解得12,3,a d =⎧⎨=-⎩或14,3.a d =-⎧⎨=⎩所以由等差数列通项公式可得23(1)35n a n n =--=-+，或43(1)37n a n n =-+-=-.故35n a n =-+，或37n a n =-.（Ⅱ）当35n a n =-+时，2a ，3a ，1a 分别为1-，4-，2，不成等比数列；当37n a n =-时，2a ，3a ，1a 分别为1-，2，4-，成等比数列，满足条件.故37,1,2,|||37|37, 3.n n n a n n n -+=⎧=-=⎨-≥⎩记数列{||}n a 的前n 项和为n S .当1n =时，11||4S a ==；当2n =时，212||||5S a a =+=； 当3n ≥时， 234||||||n n S S a a a =++++5(337)(347)(37)n =+⨯-+⨯-++-2(2)[2(37)]311510222n n n n -+-=+=-+. 当2n =时，满足此式.综上，24,1,31110, 1.22n n S n n n =⎧⎪=⎨-+>⎪⎩.21．（本小题满分14分）设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足DM m DA (M>0,M 1)=≠且. 当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（Ⅱ）过原点斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，且它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ，使得对任意的，K>0都有PQ PH ⊥？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.【测量目标】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.【考查方式】考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论.【试题解析】解：（Ⅰ）如图1，设(,)M x y ，00(,)A x y ，则由DM m DA (m>0,1)=≠且m ，可得0x x =，0y m y =，所以0x x =，. 01y y m=① 因为A 点在单位圆上运动，所以2221(0,1)y x m m m +=>≠且 ②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为.2221(0,1)y x m m m+=>≠且因为(0,1)(1,)m ∈+∞，所以当01m <<时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0)，0)； 当1m >时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0,，(0,.（Ⅱ）1(0,1)x ∀∈，设11(,)P x y ，22(,)H x y ，则11(,)Q x y --， 1(0,)N y ，因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以222211222222,,m x y m m x y m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 两式相减可得 222221212()()0m x x y y -+-=. ③依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合， 故1212()()0x x x x -+≠. 于是由③式可得212121212()()()()y y y y m x x x x -+=--+. ④又Q ，N ，H 三点共线，所以QN QH k k =，即1121122y y y x x x +=+. 于是由④式可得211212121121212()()12()()2PQ PHy y y y y y y m k k x x x x x x x --+⋅=⋅=⋅=---+. 而PQ PH ⊥等价于1PQ PHk k ⋅=-，即212m -=-，又0m >，得m =故存在m 2212y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥.22．（本小题满分14分）设函数()(1)nf x ax x b =-+,1+1()ex y f x n =<，，n 为正整数，a ，b 为常数. 曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为.+1x y = （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值； （Ⅲ）证明：1()ef x n <. 【测量目标】函数导数的几何意义以及单调性的应用，还考查不等式的证明.【考查方式】通过转化与划归，分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程，导数的应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等.【试题解析】解：（Ⅰ）因为(1)f b =，由点(1,)b 在=1x y +上，可得11b +=，即0b =.因为1'()(1)n n f x anxa n x -=-+，所以'(1)f a =-.又因为切线1x y +=的斜率为1-，所以1a -=-，即1a =. 故1a =，0b =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1()(1)nnn f x x x x x+=-=-，1()(1)()1n nf x n xx n -'=+-+. 令()0f x '=，解得1n x n =+，即'()f x 在(0,)+1n n +(0,)+∞上有唯一零点. 在(0,)+1nn +上，()0f x '>，故()f x 单调递增； 而在(+)+1n n ∞，上，()0f x '<，()f x 单调递减. 故()f x 在(0,)+∞上的最大值为1()1(1)nn n n f n n +=++. （Ⅲ）令1()ln 1(0)t t t t ϕ'=-+>，则22111()(0)t t t t t tϕ-'=-=>. 在(0,1)上，()0t ϕ'<，故()t ϕ单调递减； 而在(1,)+∞上()0t ϕ'>，()t ϕ单调递增.故()t ϕ在(0,)+∞上的最小值为(1)0ϕ=. 所以()0(1)t t ϕ>>，即1ln 1(1)t t t>->.令11+t n =，得11ln 1n n n +>+，即11ln()ln e n n n++>， 所以11()1n n n++>，即11(1)e n n n n n +<+. 由（Ⅱ）知，1nx n =+，故所证不等式成立.。
2012年湖北高考试题(文数,word解析版)
湖北省教育考试院 保留版权 数学（文史类）试卷A 型 第1页（共9页）2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）★祝考试顺利★一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合2{|320,}A x x x x =-+=∈R ，{|05,}B x x x =<<∈N ，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．42．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：则样本数据落在区间[10,40)的频率为A ．0.35B ．0.45C ．0.55D ．0.65 3．函数()cos 2f x x x =在区间[0,2π]上的零点的个数为A ．2B ．3C ．4D ．54．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 5．过点(1,1)P 的直线，将圆形区域22{(,)|4}x y x y +≤分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-=6．已知定义在区间[0,2]上的函数()y f x =的图象如图所示，则(2)y f x =--的图象为第6题图ABC D数学（文史类）试卷A型 第2页（共9页） 7．定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{()}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞上的如下函数：①2()f x x =； ②()2x f x =；③()f x ④()ln ||f x x =. 则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为 A ．① ②B ．③ ④C ．① ③D ．② ④8．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若三边的长为连续的三个正整数，且A B C >>，320cos b a A =，则sin :sin :sin A B C 为 A ．4:3:2B ．5:6:7C ．5:4:3D ．6:5:49．设,,a b c +∈R ，则“1abc =”是“a b c +≤++”的A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要的条件10．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A ．112π- B ．1πC ．21π- D ．2π二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人. 现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有 人． 12．若3ii 1ib a b +=+-（a ，b 为实数，i 为虚数单位），则a b += . 13．已知向量(1,0)=a ，(1,1)=b ，则（Ⅰ）与2+a b 同向的单位向量的坐标表示为 ； （Ⅱ）向量3-b a 与向量a 夹角的余弦值为 .14．若变量,x y 满足约束条件1,1,33,x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩则目标函数23z x y =+的最小值是 .第10题图数学（文史类）试卷A型 第3页（共9页） 侧视图正视图俯视图第15题图15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .16．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s = .17．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数. 他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b . 可以推测： （Ⅰ）2012b 是数列{}n a 中的第________项；（Ⅱ）21k b -=________.（用k 表示） 三、解答题：本大题共5小题，共65分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）设函数22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=+⋅-+()x ∈R 的图象关于直线πx =对称，其中ω，λ为常数，且1(,1)2ω∈.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若()y f x =的图象经过点π(,0)4，求函数()f x 的值域.19．（本小题满分12分）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台1111A B C D ABCD -，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的第16题图A 2B 2C 2D 2 CBADA 1B 1C 1D 1第19题图第17题图 10 6 3 1 ···数学（文史类）试卷A型 第4页（共9页） 四棱柱2222ABCD A B C D -.（Ⅰ）证明：直线11B D ⊥平面22ACC A ；（Ⅱ）现需要对该零部件表面进行防腐处理. 已知10AB =，1120A B =，230AA =，113AA =（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？20．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 前三项的和为3-，前三项的积为8. （Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2a ，3a ，1a 成等比数列，求数列{||}n a 的前n 项和. 21．（本小题满分14分）设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足||||(0,1)DM m DA m m =>≠且. 当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ． （Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； （Ⅱ）过原点斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，且它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ，使得对任意的0k >，都有PQ PH ⊥？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.22．（本小题满分14分）设函数()(1) (0)n f x ax x b x =-+>，n 为正整数，a ，b 为常数. 曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1x y +=. （Ⅰ）求a ，b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最大值； （Ⅲ）证明：1()ef x n <. 2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题：A 卷：1．D 2．B 3．D 4．B 5．A 6．B 7．C 8．D 9．A 10．C 二、填空题：11． 6 12． 3 13．（Ⅰ）；（Ⅱ）数学（文史类）试卷A型 第5页（共9页） 14． 2 15．12π 16． 9 17．（Ⅰ）5030；（Ⅱ）()5512k k -三、解答题：18．解：（Ⅰ）因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+⋅+cos22x x ωωλ=-+π2sin(2)6x ωλ=-+.由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴，可得πsin(2π)16ω-=±，所以ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ，即1()23k k ω=+∈Z ． 又1(,1)2ω∈，k ∈Z ，所以1k =，故56ω=.所以()f x 的最小正周期是6π5. （Ⅱ）由()y f x =的图象过点π(,0)4，得π()04f =，即5πππ2sin()2sin 6264λ=-⨯-=-=λ=.故5π()2sin()36f x x =-()f x的值域为[22-.19．解：（Ⅰ）因为四棱柱2222ABCD A B C D -的侧面是全等的矩形，所以2AA AB ⊥，2AA AD ⊥. 又因为ABAD A =，所以2AA ⊥平面ABCD .连接BD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以2AA BD ⊥.因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥. 根据棱台的定义可知，BD 与B 1 D 1共面. 又已知平面ABCD ∥平面1111A B C D ，且平面11BB DD平面ABCD BD =，平面11BB D D 平面111111A B C D B D =，所以B 1 D 1∥BD . 于是由2AA BD ⊥，AC BD ⊥，B 1 D 1∥BD ，可得211AA B D ⊥，11AC B D ⊥. 又因为2AA AC A =，所以11B D ⊥平面22ACC A .（Ⅱ）因为四棱柱2222ABCD A B C D -的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以2221222()410410301300(cm )S S S A B AB AA =+=+⋅=+⨯⨯=四棱柱上底面四棱柱侧面.数学（文史类）试卷A型 第6页（共9页） 又因为四棱台1111A B C D ABCD -的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，所以2211111()42S S S A B AB A B h =+=+⨯+四棱台下底面四棱台侧面等腰梯形的高()221204(101120(cm )2=+⨯+=.于是该实心零部件的表面积为212130*********(cm )S S S =+=+=， 故所需加工处理费为0.20.22420484S =⨯=（元）.20．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则21a a d =+，312a a d =+，由题意得1111333,()(2)8.a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩ 解得12,3,a d =⎧⎨=-⎩或14,3.a d =-⎧⎨=⎩所以由等差数列通项公式可得23(1)35n a n n =--=-+，或43(1)37n a n n =-+-=-.故35n a n =-+，或37n a n =-. （Ⅱ）当35n a n =-+时，2a ，3a ，1a 分别为1-，4-，2，不成等比数列；当37n a n =-时，2a ，3a ，1a 分别为1-，2，4-，成等比数列，满足条件. 故37,1,2,|||37|37, 3.n n n a n n n -+=⎧=-=⎨-≥⎩记数列{||}n a 的前n 项和为n S .当1n =时，11||4S a ==；当2n =时，212||||5S a a =+=； 当3n ≥时， 234||||||n n S S a a a =++++5(337)(347)(37)n =+⨯-+⨯-++-2(2)[2(37)]311510222n n n n -+-=+=-+. 当2n =时，满足此式.综上，24,1,31110, 1.22n n S n n n =⎧⎪=⎨-+>⎪⎩21．解：（Ⅰ）如图1，设(,)M x y ，00(,)A x y ，则由||||(0,1)DM m DA m m =>≠且，可得0x x =，0||||y m y =，所以0x x =，01||||y y m=. ①数学（文史类）试卷A型 第7页（共9页） 因为A 点在单位圆上运动，所以22001x y +=. ②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为222 1 (0,1)y x m m m+=>≠且.因为(0,1)(1,)m ∈+∞，所以当01m <<时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0)，0)； 当1m >时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0,，(0,.（Ⅱ）解法1：如图2、3，0k ∀>，设11(,)P x kx ，22(,)H x y ，则11(,)Q x kx --，1(0,)N kx ，直线QN 的方程为12y kx kx =+，将其代入椭圆C 的方程并整理可得222222211(4)40m k x k x x k x m +++-=.依题意可知此方程的两根为1x -，2x ，于是由韦达定理可得 21122244k x x x m k-+=-+，即212224m x x m k =+. 因为点H 在直线QN 上，所以2121222224km x y kx kx m k -==+.于是11(2,2)PQ x kx =--，22112121222242(,)(,)44k x km x PH x x y kx m k m k =--=-++. 而PQ PH ⊥等价于2221224(2)04m k x PQ PH m k -⋅==+， 即220m -=，又0m >，得m =故存在m =2212y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥.解法2：如图2、3，1(0,1)x ∀∈，设11(,)P x y ，22(,)H x y ，则11(,)Q x y --， 1(0,)N y ，图2 (01)m << 图3 (1)m >图1 第21题解答图数学（文史类）试卷A型 第8页（共9页） 因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以222211222222,,m x y m m x y m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 两式相减可得 222221212()()0m x x y y -+-=. ③依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合， 故1212()()0x x x x -+≠. 于是由③式可得212121212()()()()y y y y m x x x x -+=--+. ④又Q ，N ，H 三点共线，所以QN QH k k =，即1121122y y y x x x +=+. 于是由④式可得211212121121212()()12()()2PQ PHy y y y y y y m k k x x x x x x x --+⋅=⋅=⋅=---+. 而PQ PH ⊥等价于1PQ PHk k ⋅=-，即212m -=-，又0m >，得m =故存在m =2212y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥.22．解：（Ⅰ）因为(1)f b =，由点(1,)b 在1x y +=上，可得11b +=，即0b =.因为1()(1)n n f x anx a n x -'=-+，所以(1)f a '=-.又因为切线1x y +=的斜率为1-，所以1a -=-，即1a =. 故1a =，0b =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1()(1)n n n f x x x x x +=-=-，1()(1)()1n nf x n x x n -'=+-+. 令()0f x '=，解得1n x n =+，即()f x '在(0,)+∞上有唯一零点01n x n =+. 在(0,)1nn +上，()0f x '>，故()f x 单调递增； 而在(,)1nn +∞+上，()0f x '<，()f x 单调递减. 故()f x 在(0,)+∞上的最大值为1()()(1)111(1)nn n n n n n f n n n n +=-=++++. （Ⅲ）令1()ln 1+(0)t t t t ϕ=->，则22111()= (0)t t t t t tϕ-'=->. 在(0,1)上，()0t ϕ'<，故()t ϕ单调递减；数学（文史类）试卷A型 第9页（共9页） 而在(1,)+∞上()0t ϕ'>，()t ϕ单调递增.故()t ϕ在(0,)+∞上的最小值为(1)0ϕ=. 所以()0(1)t t ϕ>>，即1ln 1(1)t t t >->.令11t n =+，得11ln 1n n n +>+，即11ln()ln e n n n++>， 所以11()e n n n++>，即11(1)e n n n n n +<+. 由（Ⅱ）知，11()(1)en n n f x n n +≤<+，故所证不等式成立.。
2012年湖北高考数学文科试卷带详解
2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合,,,A B C {}2320A x x x =-+=,{}05,B x x x =<<∈N ，则满足条件A B C ⊆⊆的集合C 的个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】子集的应用.【参考答案】D【试题解析】求{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4=<<∈=N B x x x .因为⊆⊆A C B ，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个.故选D.2．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：则样本数据落在区间[10,40)的频率为 ( )A ．0.35B ．0.45C ．0.55D ．0.65【测量目标】频数分布表的应用，频率的计算,对于頻数、频率等统计问题【考查方式】通过弄清楚样本总数与各区间上样本的个数，用区间上样本的个数除以样本总数就可得到相应区间上的样本频率.【参考答案】B【试题解析】由频数分布表可知：样本数据落在区间[10,40)内的頻数为2+3+4=9，分组[10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) 频数 2 3 4 5 4 2样本总数为23454220+++++=，故样本数据落在区间[10,40)内频率为90.4520=.故选B. 3．函数()cos 2f x x x =在区间上[]0,2π的零点的个数为 ( )A ．2B ．3C ．4 D.5【测量目标】函数零点求解与判断.【考查方式】通过函数的零点，要求学会分类讨论的数学思想.【参考答案】D【试题解析】由()cos 20==f x x x ，得0=x 或cos20=x ；其中，由cos20=x ，得()π22x k k π=+∈Z ，故()ππ24k x k =+∈Z .又因为[]0,2πx ∈，所以π3π5π7π,,,4444x =.所以零点的个数为145+=个.故选D. 4．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 ( )A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数【测量目标】命题的否定.【考查方式】求解特称命题或全称命题的否定，千万别忽视了改变量词；【参考答案】B【试题解析】根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”.故选B.5．过点(1,1)P 的直线，将圆形区域分为两部分，使22{(,)4)}x y x y +…得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 ( ) A ．0x y += B. 10y -= C. 0x y -= D.340x y +-=【测量目标】考查直线、线性规划与圆的综合运,并学会用数形结合思想.【考查方式】通过观察图形发现当面积之差最大时，所求直线应与直线OP 垂直，利用这一条件求出斜率，进而求得该直线的方程.【参考答案】A【试题解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P 的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP 垂直即可.又已知点(1,1)P ，则1OP k =,故所求直线的斜率为1-.又所求直线过点(1,1)P ，故由点斜式得，所求直线的方程为()11y x -=--，即20+-=x y .故选A.6．已知定义在区间（0,2）上的21π-函数的图象()y f x =如图所示，则(2)y f x =--的图象为 ( )【测量目标】函数的图象的识别.【考查方式】利用特殊值法（特殊点），特性法（奇偶性，单调性，最值）结合排除法求解【参考答案】B【试题解析】排除法：当1x =时，()()()21211y f x f f =--=--=-=-，故可排除A,C 项；当2x =时，()()()22200y f x f f =--=--=-=，故可排除D 项；所以由排除法知选B.7．定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{()}n f a 仍是等比数列，则{()}n f a 称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下(,0)(0,)-∞+∞U 函数： ( )①2()f x x =； ②()2x f x =； ③()f x x =； ④()ln f x x =.则其中是“保等比数列函数”的的()f x 序号为A ．① ②B ．③ ④C ．① ③D ．② ④ 【测量目标】等比数列的新应用，函数的概念.【考查方式】读懂题意，然后再去利用定义求解，注意数列的通项.【参考答案】C【试题解析】设数列{}n a 的公比为q .对于①，22112()()n n n nf a a q f a a ++==,是常数，故①符合条件;对于②，111()22()2n n n n a a a n a n f a f a ++-+==，不是常数，故②不符合条件;对于③，11||()()||n n n n a f a f a a ++= 1n na q a +==，是常数，故③符合条件;对于④, 11()ln ||()ln ||n n n n f a a f a a ++=，不是常数，故④不符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选C8．设ABC △的内,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 若三边的长为连续的三个正整数，且A B C >> ，320cos b a A =，则sin :sin :sin A B C 为 ( )A.4:3:2B.5:6:7 C ．5:4:3 D.6:5:4【测量目标】正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.【考查方式】本题需求解三个角的正弦的比值，明显是要利用正弦定理转化为边长的比值，因此必须求出三边长,注意正余弦定理与和差角公式的结合应用.【参考答案】D【试题解析】因为,,a b c 为连续的三个正整数，且>>A B C ，可得a b c >>，所以2,1=+=+a c b c ①；又因为已知320cos =b a A ，所以3cos 20b A a=②.由余弦定理可得222cos 2+-=b c a A bc③，则由②③可得2223202b b c a a bc +-=④，联立①④，得2713600--=c c ，解得4=c 或157=-c （舍去），则6=a ，5=b .故由正弦定理可得，sin :sin :sin ::6:5:4==A B C a b c .故应选D.9．设,,R a b c ∈,“1abc =”是“111a b c a b c++++„ ”的 ( ) A ．充分条件但不是必要条件 B ．必要条件但不是充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要的条件【测量目标】充要条件的判断，不等式的证明.【考查方式】首先需判断条件能否推得结论，然后需判断结论能否推得条件.【参考答案】A【试题解析】1abc =时，111abc abc abc ab bc ca a b c a b c++=++=++， 而()()()()2222a b c a b b c c a ab bc ca ++=+++++++…（当且仅当a b c ==，且1abc =，即a b c ==时等号成立），故111ab bc ca a b c a b c++=++++„；但当取2a b c ===,显然有111a b c a b c++++„,但1abc ≠,即由111a b c a b c++++„不可以推得1abc =；综上，1abc =是111a b c a b c++++„的充分不必要条件,应选A. 10．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 ( )A ．112π- B ．1π C ． 21π- D ． 2π 【测量目标】古典概型的应用以及观察推理的能力.【考查方式】求解阴影部分的面积，将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.【参考答案】C【试题解析】如下图所示，设OA 的中点为1O ，OB 的中点为2O ，半圆1O 与半圆2O 的交点分别为,O F ，则四边形12OO FO 是正方形.不妨设扇形的半径为2，记两块白色区域的面积分别为12,S S ，两块阴影部分的面积分别为34,S S .则212341π2π4OAB S S S S S +++==⨯=扇形, ① 而22132311111π,π1π2222S S S S π+=⨯=+=⨯=，即1232πS S S ++=, ② 由①-②，得34S S =.又由图象观察可知，12214OO FO OAB O FB O AF S S S S S =---正方形扇形扇形扇形 2222221111π1π1π11π11π14422=⨯-⨯-⨯-=⨯-=-. 故由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率：3442π221ππOAB OAB S S S P S S +-====-扇形扇形.故选C.二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人. 现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有 人．【测量目标】分层抽样的应用.【考查方式】分层抽样在生活中的应用.分层抽样时，各样本抽取的比例应该是一样的，即为抽样比.【参考答案】6【试题解析】 设抽取的女运动员的人数为a ，则根据分层抽样的特性，有84256a =，解得6a =.故抽取的女运动员为6人.12．若21k b -3i i 1ib a b +=+-（a ，b 为实数，i 为虚数单位），则a b += . 【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考察方式】通过考查复数相等来判断学生对复数的掌握.【参考答案】3【试题解析】因为3i i 1ib a b +=+-，所以()()()3i i 1i i b a b a b b a +=+-=++-.又因为,a b 都为实数，故由复数的相等的充要条件得3,a b b a b +=⎧⎨-=⎩解得0,3a b =⎧⎨=⎩所以3a b +=. 13已知向量(1,0)=a ，(1,1)=b ，则（Ⅰ）与2+a b 同向的单位向量的坐标表示为 ；（Ⅱ）向量与3-b a 向量a 夹角的余弦值为 .【测量目标】单位向量的概念，平面向量的坐标运算，向量的数量积运算等.【考查方式】给出两个向量，利用向量的坐标和向量的数量积来运算求值.【参考答案】（Ⅰ）31010,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）255- 【试题解析】（Ⅰ）由()()1,0,1,1a =b =，得()23,1+a b =.设与2+a b 同向的单位向量为(),x y c =，则221,30,x y y x ⎧+=⎨-=⎩且,0x y >，解得310,1010.10x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故31010,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭c =.即与2+a b 同向的单位向量的坐标为31010,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）由()()1,0,1,1a =b =，得()32,1--b a =.设向量3-b a 与向量a 的夹角为θ，则()()()32,11,025cos 3551θ--===--⨯g g b a a b a a .14．若变量,x y 满足约束条件1133x y x y x y --⎧⎪+⎨⎪-⎩……„,则目标函数23z x y =+的最小值是 .【测量目标】二元线性规划求目标函数最小值.【考查方式】给出约束条件，判断可行域，利用可行域求解.【参考答案】2【试题解析】作出不等式组1133x y x y x y --⎧⎪+⎨⎪-⎩……„所表示的可行域(如下图的ABM △及其内部）,目标函数23z x y =+在ABM △的三个端点()()()2,3,0,1,1,0A B M 处取的值分别为13,3,2，比较可得目标函数23z x y =+的最小值为2.15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .【测量目标】考查圆柱的三视图的识别，圆柱的体积.【考查方式】在生活中要多多观察身边的实物都是由什么几何形体构成的，以及它们的三视图的画法.【参考答案】12π【试题解析】由三视图可知，该几何体是由左右两个相同的圆柱（底面圆半径为2，高为1）与中间一个圆柱（底面圆半径为1，高为4）组合而成，故该几何体的体积是22π212π1412πV =⨯⨯⨯+⨯⨯=.16．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s = .【测量目标】顺序结构框图和判断结构框图的执行求解.【考查方式】对于循环结构的输出问题，一步一步按规律写程序结果.【参考答案】9【试题解析】由程序框图可知：第一次:1,0,1,1,23a s n s s a a a ====+==+=,满足判断条件3?n <;第二次2,4,5n a a ===,满足判断条件3?n <第三次:3,9,7n s a ===,此时不满足判断条件3?n <，故终止运行，输出s 的值. 综上，输出的s 值为9.17．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数. 他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，L 记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b . 可以推测：（Ⅰ）2012b 是数列{}n a 中的第________项；（Ⅱ）21k b -________.（用k 表示）【测量目标】数学归纳法.【考查方式】本题考查归纳推理，猜想的能力. 【参考答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）()5512k k - 【试题解析】易知(1)2n n n a +=，写出数列{}n a 的若干项依次为：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153,171,190,210，…,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120,190,210，故142510,15b a b a ====.同理，39410514615719820,,,,,b a b a b a b a b a b a ======.从而由上述规律可猜想：()255512k k k k b a +==，()()()21515151155122k k k k k k b a ----+-===（k 为正整数）.故201221006510065030b b a a ⨯⨯===,即2012b 是数列{}n a 中的第5030项.三、解答题：本大题共5小题，共65分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本小题满分12分）第17题图 10 6 3 1 ···设函数22()sin 23sin cos cos ()f x x x x x x ωωωλ=+-+∈R g,的图象关于直线πx =对称，其中,πω为常数，且1(,1)2ω∈（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()y f x =的图象经过点π(,0)4，求函数()f x 的值域.【测量目标】三角函数的图象的周期性，值域，诱导公式的应用. 【考查方式】给出函数，利用三角函数的性质求最小值和周期.【试题解析】解：（Ⅰ）因为22()sin cos 23sin cos f x x x x x ωωωωλ=-++π=2sin(2)+6x ωλ-.由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴，可得πsin(2)16x ω-=±， 所以ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ，即1()23k k ω=+∈Z ． 又1(,1)2ω∈，k ∈Z ，所以1k =，故56ω=.所以()f x 的最小正周期是6π5. （Ⅱ）由()y f x =的图象过点π(,0)4，得π()04f =，即5πππ2sin()2sin 26264λ=-⨯-=-=-，即2λ=-.故5π()2sin()236f x x =--，函数()f x 的值域为[22,22]---.19．（本小题满分12分）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台1111A B C D ABCD -11B D ⊥，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱.2222ABCD A B C D -（Ⅰ）证明：直线11B D ⊥平面22ACC A ；（Ⅱ）现需要对该零部件表面进行防腐处理. 已知10AB =，2220,A B = 230AA =，113AA =（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少A 2B 2C 2D 2CBADA 1B 1C 1D 1第19题图元？【测量目标】线面垂直，空间几何体的表面积；考查空间想象，运算求解以及转化与划归的能力.【考查方式】通过线线垂直证明面面垂直，并用公式求体积【试题解析】解：（Ⅰ）因为四棱柱2222ABCD A B C D -的侧面是全等的矩形，所以2AA AB ⊥，2AA AD ⊥. 又因为AB AD A =I ，所以2AA 平面ABCD . 连接BD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以2AA BD ⊥.因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥ 根据棱台的定义可知，BD 与B 1 D 1共面.又已知平面ABCD ∥平面1111A B C D ，且平面11BB D D I 平面ABCD BD =， 平面11BB D D I 平面111111A B C D B D =，所以B 1 D 1∥BD . 于是由2AA BD ⊥，AC BD ⊥，B 1 D 1∥BD ，可得211AA B D ⊥，.11AC B D ⊥ 又因为2AA AC A =I ，所以11B D ⊥平面22ACC A .（Ⅱ）因为四棱柱2222ABCD A B C D -的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以2221222()410410301300(cm )S S S A B AB AA =+=+⋅=+⨯⨯=四棱柱上底面四棱柱侧面.又因为四棱台1111A B C D ABCD -的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，所以2211111()42S S S A B AB A B h =+=+⨯+四棱台下底面四棱台侧面等腰梯形的高()222211204(1020)13[(2010)]1120(cm )22=+⨯+--=.于是该实心零部件的表面积为212130*********(cm )S S S =+=+=， 故所需加工处理费为0.20.22420484S =⨯=（元）.20．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 前三项的和为3-，前三项的积为8.（Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2a ，3a ，1a 成等比数列，求数列{}n a 的前n 项和. 【测量目标】本题考查等差数列的通项，求和等.【考查方式】考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式()11n a a n d =+-求解；有时需要利用等差数列的定义：1n n a a c --=（c 为常数）或等比数列的定义：1'nn a c a -=（'c 为常数，'0c ≠）来判断该数列是等差数列或等比数列，然后再求解通项；有些数列本身不是等差数列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段讨论.【试题解析】解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则21a a d =+，312a a d =+，由题意得1111333,()(2)8.a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩ 解得12,3,a d =⎧⎨=-⎩或14,3.a d =-⎧⎨=⎩所以由等差数列通项公式可得23(1)35n a n n =--=-+，或43(1)37n a n n =-+-=-.故35n a n =-+，或37n a n =-. （Ⅱ）当35n a n =-+时，2a ，3a ，1a 分别为1-，4-，2，不成等比数列；当37n a n =-时，2a ，3a ，1a 分别为1-，2，4-，成等比数列，满足条件. 故37,1,2,|||37|37, 3.n n n a n n n -+=⎧=-=⎨-≥⎩记数列{||}n a 的前n 项和为n S .当1n =时，11||4S a ==；当2n =时，212||||5S a a =+=； 当3n ≥时，234||||||n n S S a a a =++++L 5(337)(347)(37)n =+⨯-+⨯-++-L2(2)[2(37)]311510222n n n n -+-=+=-+. 当2n =时，满足此式.综上，24,1,31110, 1.22n n S n n n =⎧⎪=⎨-+>⎪⎩.21．（本小题满分14分）设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足DM m DA (M>0,M 1)=≠且. 当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（Ⅱ）过原点斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，且它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ，使得对任意的，K>0都有PQ PH ⊥？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.【测量目标】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.【考查方式】考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论.【试题解析】解：（Ⅰ）如图1，设(,)M x y ，00(,)A x y ，则由DM m DA (m>0,1)=≠且m ，可得0x x =，0y m y =，所以0x x =，. 01y y m=① 因为A 点在单位圆上运动，所以2221(0,1)y x m m m+=>≠且 ②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为.2221(0,1)y x m m m+=>≠且因为(0,1)(1,)m ∈+∞U ，所以当01m <<时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为2(1,0)m --，2(1,0)m -； 当1m >时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为2(0,1)m --，2(0,1)m -.（Ⅱ）1(0,1)x ∀∈，设11(,)P x y ，22(,)H x y ，则11(,)Q x y --， 1(0,)N y ，因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以222211222222,,m x y m m x y m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 两式相减可得 222221212()()0m x x y y -+-=. ③依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合， 故1212()()0x x x x -+≠. 于是由③式可得212121212()()()()y y y y m x x x x -+=--+. ④又Q ，N ，H 三点共线，所以QN QH k k =，即1121122y y y x x x +=+. 于是由④式可得211212121121212()()12()()2PQ PHy y y y y y y m k k x x x x x x x --+⋅=⋅=⋅=---+. 而PQ PH ⊥等价于1PQ PHk k ⋅=-，即212m -=-，又0m >，得2m =，故存在2m =，使得在其对应的椭圆2212y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥.22．（本小题满分14分）设函数()(1)nf x ax x b =-+,1+1()ex y f x n =<，，n 为正整数，a ，b 为常数. 曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为.+1x y =（Ⅰ）求a ，b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最大值； （Ⅲ）证明：1()ef x n <. 【测量目标】函数导数的几何意义以及单调性的应用，还考查不等式的证明.【考查方式】通过转化与划归，分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程，导数的应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等.【试题解析】解：（Ⅰ）因为(1)f b =，由点(1,)b 在=1x y +上，可得11b +=，即0b =.因为1'()(1)n n f x anxa n x -=-+，所以'(1)f a =-.又因为切线1x y +=的斜率为1-，所以1a -=-，即1a =. 故1a =，0b =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1()(1)nnn f x x x x x+=-=-，1()(1)()1n nf x n xx n -'=+-+. 令()0f x '=，解得1n x n =+，即'()f x 在(0,)+1n n +(0,)+∞上有唯一零点.在(0,)+1nn +上，()0f x '>，故()f x 单调递增； 而在(+)+1n n ∞，上，()0f x '<，()f x 单调递减. 故()f x 在(0,)+∞上的最大值为1()1(1)nn n n f n n +=++. （Ⅲ）令1()ln 1(0)t t t t ϕ'=-+>，则22111()(0)t t t t t tϕ-'=-=>. 在(0,1)上，()0t ϕ'<，故()t ϕ单调递减； 而在(1,)+∞上()0t ϕ'>，()t ϕ单调递增.故()t ϕ在(0,)+∞上的最小值为(1)0ϕ=. 所以()0(1)t t ϕ>>，即1ln 1(1)t t t>->.令11+t n =，得11ln 1n n n +>+，即11ln()ln e n n n++>， 所以11()1n n n++>，即11(1)e n n n n n +<+. 由（Ⅱ）知，1nx n =+，故所证不等式成立.。
湖北省八校2012届高三第一次联考文科综合试卷
学必求其心得，业必贵于专精鄂南高中黄冈中学黄石二中华师一附中湖北省八校荆州中学襄阳四中襄阳五中孝感高中（武汉市江夏区第一中学胡金祥上传）襄阳五中李天艳胡小英董伦玲考试时间：2011年12月16日上午9：00~11：30注意事项：⒈答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级填写在答题卷和答题卡上．⒉选择题每小题选出答案后,用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效．⒊非选择题用0.5毫米的黑色墨水签字笔答在答题卷上每题相对应的答题区域内,答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题共140分）本卷共35个小题，每小题4分．共140分。
在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的。
读北半球某陆地某时风向图,读图回答下列问题。
⒈若陆地上近地面风向与等压线大约成30°夹角.上图中风向对应近地面等压线可能是（）A．①②B．①③C．②③D．③④电线弧垂是指在平坦地面上，相邻两个电杆上电线悬挂高度相同时，电线最低点与两悬挂点间连线的垂直距离（如图所示,f为弧垂，单位:米)。
弧垂的长短与所在地的气温、降水形式、风力等气象气候条件息息相关，图1为弧垂示意图，图2为不同气温条件下。
电线最佳弧垂随气温变化曲线图。
回答2～3题。
⒉下列四个选项中,最佳弧垂的年变化幅度按由小到大的顺序排列正确是（）A.海口北京济南哈尔滨B。
上海南京武汉重庆C。
青岛郑州乌鲁木齐兰州D.昆明广州西安呼和浩特⒊我国贵州省每年冬季经常会出现电线断裂或电杆拉倒的情况，主要原因是（）A.冬季用电量大，超出电线负荷所致B。
靠近冬季风源地。
风力大C。
受冻害影响，重量过大D。
野生动物的破坏读我国东南沿海等高线地形图(右图），某研究性学习小组于10月8日在P处测得日出、日落分别在E、F方向。
读图完成4～5题.⒋河流NO段的流向为（）A.由西南向东北B．由东北向西南C．由西北向东南D．由东南向西北⒌从可持续发展考虑，该地应该：（）A。
湖北省部分重点中学2012届高三起点考试(数学)
湖北省部分重点中学2011-2012学年度高三年级起点考试数 学 试 卷本卷满分：150分 试卷用时：120分钟第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一项是符合题目要求的） 1.设全集U=R ，集合15{|||}22M x x =-≤，{|14}P x x =-≤≤，则()U C M P ⋂等于（ ） A ．}24|{-≤≤-x x B ．}31|{≤≤-x xC ．}43|{≤≤x xD ．}43|{≤<x x2.“1a =”是“直线0x y +=和直线0x ay -=相互垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.(理)定积分ln 20e xdx ⎰的值为（ ）(A)－1(B)1 (C)2e 1-(D)2e(文)抛物线28y x =-的焦点坐标是（ ） (A) (2,0)(B) (2,0)-(C) (4,0)(D) (4,0)-4．右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于 (A)34+(B)6+(C) 6+ (D)17+5．执行下面的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．109 B ．187 C ．98 D ．526． 设函数()sin(2)3f x x π=+，则下列结论正确的是( )①．()f x 的图象关于直线3x π=对称②．()f x 的图象关于点(,0)4π对称③．()f x 的图象向左平移12π个单位，得到一个偶函数的图象④．()f x 的最小正周期为π，且在[0,]6π上为增函数A. ①③B. ②④C. ①③④D. ③7．已知函数 ()xf x a x b =+-的零点(,1)()x n n n Z ∈+∈ ，其中常数,a b 满足23,32a b==，则n 的值是（ ）。
A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．18．在区间[,]22ππ-上随机抽取一个数x, cos x 的值介于0和12之间的概率为（ ）A ．12B ．23C ．13D ．6π9.直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M ，N两点，M N ≥,则k 的取值范围是（ ）3.[,0]4A -3.(,][0,)4B -∞-⋃+∞.[,33C - 2.[,0]3D - 10.已知在ABC ∆中，A C B 90∠=, BC 3AC 4==，.P 是A B 上的点，则点P 到AC BC ，的距离的积的最大值是( )A ． 2B ．3C ．2D ．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）11．某学校为了解高一男生的百米成绩，随机抽取了50人进行调查，右图是这50名学生百米成绩的频率分布直方图。
2012高考湖北文科数学试题及答案(高清版)
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(湖北卷)本试卷共22题，其中第15、16题为选考题．满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C ⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2 C．3 D．42A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.653．函数f(x)＝x cos2x在区间[0,2π]上的零点的个数为()A．2 B．3 C．4 D．54．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数5．过点P(1,1)的直线将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为()A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝06．已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为()7．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f(a n)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)f(x)＝ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为()A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ 8．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶49．设a ，b ，c ∈R ，则“abc ＝1111≤a ＋b ＋c ”的( ) A ．充分条件但不是必要条件 B ．必要条件但不是充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要的条件10．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A ．21π- B ．112π-C ．2πD ．1π二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．11．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有______人．12．若3i 1ib +-＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝______.13．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，则(1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为______； (2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为______．14．若变量x ，y 满足约束条件1133x y x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩－－，＋，－，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值是______．15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．16．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s ＝________.17．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}．可以推测：(1)b2 012是数列{a n}中的第______项；(2)b2k－1＝______.(用k表示)三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．设函数f(x)＝sin2ωx＋ωx·cosωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图象经过点(π4，0)，求函数f(x)的值域．19．某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1－ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD－A2B2C2D2.(1)证明：直线B1D1⊥平面ACC2A2；(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理．已知AB＝10，A1B1＝20，AA2＝30，AA1＝13(单位：厘米)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？20．已知等差数列{a n}前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n}的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．21．设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2)过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ，使得对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．22．设函数f (x )＝ax n(1－x )＋b (x ＞0)，n 为正整数，a ，b 为常数．曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x ＋y ＝1.(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的最大值；(3)证明：1()ef x n <.1． D 由题意可得，A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}．又∵A ⊆C ⊆B ，∴C ＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}，故选D 项．2． B 样本数据落在区间[10,40)的频数为2＋3＋4＝9，故所求的频率为90.4520=.3． D 令f (x )＝x cos2x ＝0，得x ＝0或cos2x ＝0，故x ＝0或2x ＝k π＋π2，k ∈Z ，即x＝0或ππ24k x =+，k ∈Z .又x ∈[0,2π]，故k 可取0,1,2,3，故零点的个数有5个．4． B 该特称命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．5． A 当OP 与该直线垂直时，符合题意；此时k OP ＝1，故所求直线斜率k ＝－1.又已知直线过点P (1,1)，因此，直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.6． B y ＝f (x)y ＝f (－x )y ＝f [－(x －2)]＝f (2－x)y ＝－f (2－x )，故选B 项．7．C 设等比数列{a n }的公比为q ，则对于f (x )＝x 2，f (a n )＝2n a ，由等比数列得，222211()nn n n a a q a a --==，符合题意；而对于f (x )＝2x和f (x )＝ln|x |，则f (a n )＝2a n 和f (a n )＝ln|a n |.由等比数列定义得，122n n a a -＝2a n －a n －1.1ln ||ln ||n n a a -都不是定值，故不符合题意；而对于f (x )＝则f (a n )，==，为定值，符合题意．故选C 项．8．D 由题意可设a ＝b ＋1，c ＝b －1.又∵3b ＝20a ·cos A ，∴3b ＝20(b ＋1)·222(1)(1)2(1)b b b b b +--+-，整理得，7b 2－27b －40＝0，解得b ＝5，故a ＝6，b ＝5，c ＝4，即sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.9． A111222b c a c a b a b c+++++==≤++=＋＋(当且仅当“a ＝b ＝c ”时，“＝”成立)，反之，则不成立(譬如a ＝1，b ＝2，c ＝3时，满足a b c≤＋＋，但abc ≠1)． 10． A 设OA ＝OB ＝2R ，连接AB ，如图所示．由对称性可得，阴影的面积等于直角扇形拱形的面积，S 阴＝14π(2R )2－12×(2R )2＝(π－2)R 2，S 扇＝14π(2R )2＝πR 2，故所求的概率是22(π2)21ππRR-=-.11．答案：6解析：设抽取的女运动员有x 人，由题意可得，85642x =，解得x ＝6.12．答案：3解析：由题意可得，3＋b i ＝(a ＋b i)(1－i)＝(a ＋b )＋(b －a )i ，故a ＋b ＝3.13．答案：(1)(1010 (2)5-解析：(1)由题意可得，2a ＋b ＝(3,1)，故|2a ＋b |2a ＋b 同向的单位向量为，即(1010；(2)由题意可得b －3a ＝(－2,1)，故(b －3a )·a ＝－2.又∵|b－3a |＝|a |＝1，∴cos 〈b －3a ，a 〉＝(3)|3|||5-⋅=--b a a b a a .14．答案：2解析：作出可行域如图所示，由l 0：23y x =-平移知过点A (1,0)时，目标函数取到最小值，代入可得z ＝2.15．答案：12π解析：该几何体是由3个圆柱构成的几何体，故体积V ＝2×π×22×1＋π×12×4＝12π. 16．答案：9解析：由程序框图依次可得， s ＝1，a ＝3；n ＝2，s ＝4，a ＝5； n ＝3，s ＝9，a ＝7； 结束，输出s ＝9. 17．答案：(1)5 030 (2)5(51)2k k -解析：(1)由题意可得，a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，a n－a n－1＝n.以上各式相加得，a n－a1＝2＋3＋…＋n＝(1)(2)2n n-+，故(1)2nn na+=.因此，b1＝a4＝10，b2＝a5＝15，b3＝a9＝45，b4＝a10＝55，…，由此归纳出b2 012＝a5 030.(2)b1＝a4＝452⨯，b3＝a9＝9102⨯，b5＝a14＝14152⨯，…，归纳出b2k－1＝5(51)2k k-.18．解：(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋ωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx sin2ωx＋λ＝2sin(2ωx－π6)＋λ，由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－π6)＝±1.所以2ωπ－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，即123kω=+(k∈Z)．又ω∈(12，1)，k∈Z，所以56ω=.所以f(x)的最小正周期是6π5.(2)由y＝f(x)的图象过点(π4，0)，得f(π4)＝0，即5πππ2sin()2sin6264λ=-⨯-=-=λ=.故5π()2sin()36f x x=--f(x)的值域为[22---．19．解：(1)因为四棱柱ABCD－A2B2C2D2的侧面是全等的矩形，所以AA2⊥AB，AA2⊥AD．又因为AB∩AD＝A，所以AA2⊥平面ABCD．连接BD，因为BD⊂平面ABCD，所以AA2⊥BD．因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD．根据棱台的定义可知，BD与B1D1共面又已知平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D∩平面ABCD＝BD，平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥BD．于是由AA2⊥BD，AC⊥BD，B1D1∥BD，可得AA2⊥B1D1，AC⊥B1D1.又因为AA2∩AC＝A，所以B1D1⊥平面ACC2A2.(2)因为四棱柱ABCD－A2B2C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以S1＝S四棱柱上底面＋S四棱柱侧面＝(A2B2)2＋4AB·AA2＝102＋4×10×30＝1 300(cm2)．又因为四棱台A1B1C1D1－ABCD的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，所以S2＝S四棱台下底面＋S四棱台侧面＝(A1B1)2＋4×12(AB＋A1B1)h等腰梯形的高＝202＋4×12(10＋＝1 120(cm2)．于是该实心零部件的表面积为S＝S1＋S2＝1 300＋1 120＝2 420(cm2)，故所需加工处理费为0.2S＝0.2×2 420＝484(元)．20．解：(1)设等差数列{|a n |}的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，由题意得1111333()(2)8.a d a a d a d ⎧⎨⎩＋＝－，＋＋＝解得123a d ⎧⎨⎩＝＝－或14,3.a d -⎧⎨⎩＝＝所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列，不满足条件； 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝371,237 3.n n n n ⎧⎨≥⎩－＋，＝，－，记数列{|a n |}的前n 项和为S n . 当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5； 当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝2(2)[2(37)]311510222n n n n -+-+=-+.当n ＝2时，满足此式．综上，241,31110 1.22n n S n n n =⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，，21．解：(1)如图1，设M (x ，y )，A (x 0，y 0)，则由|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)，可得x ＝x 0，|y |＝m |y 0|，所以x 0＝x ，|y 0|＝1m|y |.①因为A 点在单位圆上运动，所以x 02＋y 02＝1.② 将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x 2＋22y m＝1(m ＞0，且m ≠1)．因为m ∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以当0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0)，，0)； 当m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，，(0．(2)方法一：如图2,3，k ＞0，设P (x 1，kx 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－kx 1)，N (0，kx 1)， 直线QN 的方程为y ＝2kx ＋kx 1，将其代入椭圆C 的方程并整理可得 (m 2＋4k 2)x 2＋4k 2x 1x ＋k 2x 12－m 2＝0.依题意可知此方程的两根为－x 1，x 2，于是由韦达定理可得 －x 1＋x 2＝212244k x m k-+，即212224m x x m k=+.因为点H 在直线QN 上，所以y 2－kx 1＝2kx 2＝212224km x m k+. 于是P Q ＝(－2x 1，－2kx 1)，PH＝(x 2－x 1，y 2－kx 1)＝(212244k x m k-+，212224km x m k+)．而PQ ⊥PH 等价于2221224(2)04m k x PQ PH m k-⋅==+ ， 即2－m 2＝0.又m ＞0，所以m =，故存在m=，使得在其对应的椭圆x2＋22y＝1上，对任意的k＞0，都有PQ⊥PH.图1 图2(0＜m＜1) 图3(m＞1)方法二：如图2,3，x1∈(0,1)，设P(x1，y1)，H(x2，y2)，则Q(－x1，－y1)，N(0，y1)．因为P，H两点在椭圆C上，所以222211222222,m x y mm x y m⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减可得m2(x12－x22)＋(y12－y22)＝0.③依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且P，H不重合．故(x1－x2)(x1＋x2)≠0，于是由③式可得212121212()()()()y y y ymx x x x-+=--+.④又Q，N，H三点共线，所以k QN＝k QH，即1121122y y yx x x+=+.于是由④式可得211212121121212()()12()()2P Q P Hy y y y y y y mk kx x x x x x x--+⋅=⋅=⋅=---+.而PQ⊥PH等价于k PQ·k PH＝－1，即212m-=-.又m＞0，得m=.故存在m=，使得在其对应的椭圆x2＋22y＝1上，对任意的k＞0，都有PQ⊥PH. 22．解：(1)因为f(1)＝b，由点(1，b)在x＋y＝1上，可得1＋b＝1，即b＝0.因为f′(x)＝anx n－1－a(n＋1)x n，所以f′(1)＝－a.又因为切线x＋y＝1的斜率为－1，所以－a＝－1，即a＝1.故a＝1，b＝0.(2)由(1)知，f(x)＝x n(1－x)＝x n－x n＋1，f′(x)＝(n＋1)·x n－1()1nxn-+．令f′(x)＝0，解得1nxn=+，即f′(x)在(0，＋∞)上有唯一零点01nxn=+.在(0，1nn+)上，f′(x)＞0，故f(x)单调递增；而在(1nn+，＋∞)上，f′(x)＜0，f(x)单调递减．故f(x)在(0，＋∞)上的最大值为1()()(1)111(1)nnnn n n nfn n n n+=-=++++.(3)令φ(t)＝ln t－1＋1t(t＞0)，则22111()t'tt t tϕ-=-=(t＞0)．在(0,1)上，φ′(t )＜0， 故φ(t )单调递减；而在(1，＋∞)上，φ′(t )＞0， 故φ(t )单调递增，故φ(t )在(0，＋∞)上的最小值为φ(1)＝0， 所以φ(t )＞0(t ＞1)， 即ln t ＞1－1t (t ＞1)．令t ＝1＋1n，得11ln1n nn +>+，即11ln()ln e n n n ++>， 所以11()e n n n++>，即11(1)en n nn n +<+.由(2)知，()11(1)enn nf x n n +≤<+，故所证不等式成立．。
2012年高三一模数学试题答案(文)
数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. C ；2. D ；3. D ；4. B ；5. A ；6. B ；7. C ；8. C .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 9； 10. 54； 11. π； 12. 1； 13. 1-和0，1[,3]4-； 14. ① ② ③. 注：13题第一问2分，第二问3分; 14题少选1个序号给2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由πA B C ++=，得s i n ()s i n (π)s i n A CB B +=-=． ………………3分所以原式化为B A B sin cos sin 2=． ………………4分因为(0,π)B ∈，所以 0sin >B ， 所以 21cos =A ． ………………6分因为(0,π)A ∈， 所以 π3A =． ………………7分 （Ⅱ）解：由余弦定理，得 222222cos BC AB AC AB AC A AB AC AB AC =+-⋅⋅=+-⋅． ………………9分因为 2BC =，1πsin 23AB AC ⋅⋅= 所以 228AB AC +=． ………………11分因为 4AB AC ⋅=， 所以 2AB =. ………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设从（1）班抽取的人数为m ，依题意得 27318=m ，所以2m =， 研究性学习小组的人数为35m +=． ………………5分（Ⅱ）设研究性学习小组中（1）班的2人为12,a a ，（2）班的3人为123,,b b b ．2次交流活动中，每次随机抽取1名同学发言的基本事件为：11(,)a a ，),(21a a ，),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ， ),(12a a ，22(,)a a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ， ),(11a b ，),(21a b ，11(,)b b ，),(21b b ，),(31b b ， ),(12a b ，),(22a b ，21(,)b b ，22(,)b b ，),(32b b ，),(13a b ，),(23a b ，31(,)b b ，),(23b b ，33(,)b b ，共25种． ………………9分2次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为：),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ，),(11a b ，),(21a b ，),(12a b ，),(22a b ，),(13a b ，),(23a b ，共12种． ………………12分所以2次发言的学生恰好来自不同班级的概率为1225P =． ………………13分17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF ，EFDC 都是矩形，所以 MN ∥EF ∥CD ，MN EF CD ==． 所以 四边形MNCD 是平行四边形，……………2分 所以 NC ∥MD ， ………………3分 因为 NC ⊄平面MFD ，所以 NC ∥平面MFD ． ………………4分 （Ⅱ）证明：连接ED ，设ED FC O = ．因为平面⊥MNEF 平面ECDF ，且EF NE ⊥，所以 ⊥NE 平面ECDF ， ………………5分所以 FC NE ⊥． ………………6分又 EC CD =， 所以四边形ECDF 为正方形，所以 FC ED ⊥． ………………7分所以 ⊥FC 平面NED ， ………………8分所以 FC ND ⊥． ………………9分（Ⅲ）解：设x NE =，则x EC -=4，其中04x <<．由（Ⅰ）得⊥NE 平面FEC ， 所以四面体NFEC 的体积为11(4)32NFEC EFC V S NE x x ∆=⋅=-． ………………11分所以 21(4)[]222NFEC x x V +-≤=． ………………13分当且仅当x x -=4，即2=x 时，四面体NFEC 的体积最大． ………………14分18.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c ，则c = ………………1分由3c e a ==， 得 a =， 从而2224b a c =-=． ………………4分所以，椭圆C 的方程为141222=+y x ． ………………5分（Ⅱ）解：设),(),,(2211y x B y x A ．将直线l 的方程代入椭圆C 的方程，消去y 得 224(13)60270k x kx +-+=． ………………7分由22360016(13)270k k ∆=-+⨯>，得2316k >，且1221513kx x k +=+． …………9分设线段AB 的中点为D ，则21526D k x k =+，255226D D y kx k-=-=+． (10)分由点A ，B 都在以点(0,3为圆心的圆上，得1MD k k ⋅=-， ………………11分即22532611526k k k k ++⋅=--+， 解得 229k =，符合题意． ………………13分所以3k =±． ………………14分19.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为29C y x =-+． ………………1分点B 的横坐标B x 满足方程290B x -+=，解得3B x =，舍去3B x =-． ……………2分所以2211(||||)(223)(9)(3)(9)22C S CD AB y x x x x =+⋅=+⨯-+=+-+． ………4分由点C 在第一象限，得03x <<．所以S 关于x 的函数式为 2(3)(9)S x x =+-+，03x <<． ………………5分（Ⅱ）解：由 03,,3x x k <<⎧⎪⎨≤⎪⎩ 及01k <<，得03x k <≤． ………………6分记2()(3)(9),03f x x x x k =+-+<≤，则2()3693(1)(3)f x x x x x '=--+=--+． ………………8分令()0f x '=，得1x =． ………………9分① 若13k <，即11k <<时，()f x '与()f x 的变化情况如下：所以，当1x =时，()f x 取得最大值，且最大值为(1)32f =． ………………11分② 若13k ≥，即103k <≤时，()0f x '>恒成立， 所以，()f x 的最大值为2(3)27(1)(1)f k k k =+-． ………………13分综上，113k ≤<时，S 的最大值为32；103k <<时，S 的最大值为227(1)(1)k k +-．20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：数列:2,6,4A 不能结束，各数列依次为4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2；…．以下重复出现，所以不会出现所有项均为0的情形． ………………3分（Ⅱ）解：（ⅰ）因为B 的各项之和为2012，且a b ≥， 所以a 为B 的最大项， 所以13||a a -最大，即123a a a ≥≥，或321a a a ≥≥． ………………5分当123a a a ≥≥时，可得122313,2,.b a a a a a a a =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩由22012a b ++=，得132()2012a a -=，即1006a =，故1004b =．……………7分当321a a a ≥≥时，同理可得 1006a =，1004b =． ………………8分（ⅱ）方法一：由:B ,2,2b b +，则B 经过6次“T 变换”得到的数列分别为：2,,2b b -；2,2,4b b --；4,2,6b b --；6,8,2b b --；2,10,8b b --；12,2,10b b --．由此可见，经过6次“T 变换”后得到的数列也是形如“,2,2b b +”的数列，与数列B“结构”完全相同，但最大项减少12．因为1006128310=⨯+，所以，数列B 经过683498⨯=次“T 变换”后得到的数列为8,2,10．接下来经过“T 变换”后得到的数列分别为：6,8,2；2,6,4；4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2，……从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．所以经过4984502+=次“T 变换”得到的数列各项和最小，k 的最小值为502． ………………13分方法二：若一个数列有三项，且最小项为2，较大两项相差2，则称此数列与数列B “结 构相同”．若数列B 的三项为2,,2(2)x x x +≥，则无论其顺序如何，经过“T 变换”得到的数列的三项为,2,2x x -(不考虑顺序) ．所以与B 结构相同的数列经过“T 变换”得到的数列也与B 结构相同，除2外其余各项减少2，各项和减少4．B经过502次“T变换”一定得到各项为2,0,2(不考虑因此，数列:1004,2,1006顺序)的数列．通过列举，不难发现各项为0,2,2的数列，无论顺序如何，经过“T变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少．所以，至少通过502次“T变换”，得到的数列各项和最小，故k的最小值为502．………………13分。
2012年高考真题试卷数学文(湖北卷)详细答案解析
2012年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(供文科考生使用)解析1.D 【解析】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R{}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4=<<∈=N B x x x .因为⊆⊆A C B ，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个.故选D.【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.2.B 【解析】由频率分布表可知：样本数据落在区间[10,40)内的頻数为2+3+4=9，样本总数为23454220+++++=，故样本数据落在区间[10,40)内频率为90.4520=.故选B. 【点评】本题考查频率分布表的应用，频率的计算.对于頻数、频率等统计问题只需要弄清楚样本总数与各区间上样本的个数即可，用区间上样本的个数除以样本总数就可得到相应区间上的样本频率.来年需注意频率分布直方图与频率分布表的结合考查.3.D 【解析】由()cos 20==f x x x ，得0=x 或cos20=x ；其中，由cos 20=x ，得()22x k k ππ=+∈Z ，故()24k x k ππ=+∈Z .又因为[]0,2x ∈π，所以π3π5π7π,,,4444x =.所以零点的个数为145+=个.故选D.【点评】本题考查函数的零点，分类讨论的数学思想.判断函数的零点一般有直接法与图象法两种方法.对于三角函数的零点问题，一般需要规定自变量的取值范围；否则，如果定义域是R ,则零点将会有无数个；来年需注意数形结合法求解函数的零点个数，所在的区间等问题.4.B 【解析】根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”.故选B.【点评】本题考查特称命题的否定.求解特称命题或全称命题的否定，千万别忽视了改变量词；另外，要注意一些量词的否定的书写方法，如：“都是”的否定为“不都是”，别弄成“都不是.5.A 【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P 的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP 垂直即可.又已知点(1,1)P ，则1OP k =,故所求直线的斜率为-1.又所求直线过点(1,1)P ，故由点斜式得，所求直线的方程为()11y x -=--，即20+-=x y .故选A.【点评】本题考查直线、线性规划与圆的综合运用，数形结合思想.本题的解题关键是通过观察图形发现当面积之差最大时，所求直线应与直线OP 垂直，利用这一条件求出斜率，进而求得该直线的方程.来年需注意直线与圆相切的相关问题.6.B 【解析】特殊值法：当2x =时，()()()22200y f x f f =--=--=-=，故可排除D 项；当1x =时，()()()22111y f x f f =--=--=-=-，故可排除A,C 项；所以由排除法知选B.【点评】本题考查函数的图象的识别.有些函数图象题，从完整的性质并不好去判断，作为徐总你则提，可以利用特殊值法（特殊点），特性法（奇偶性，单调性，最值）结合排除法求解，既可以节约考试时间，又事半功倍.来年需注意含有xe 的指数型函数或含有ln x 的对数型函数的图象的识别. 7.C 同理7【解析】设数列{}n a 的公比为q .对于①，22112()()n n n nf a a q f a a ++==,是常数，故①符合条件;对于②，111()22()2n n n n a a a n a n f a f a ++-+==，不是常数，故②不符合条件;对于③，1()()n n f a f a +===;对于④, 11()ln ||()ln ||n n n n f a a f a a ++=，不是常数，故④不符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选C.【点评】本题考查等比数列的新应用，函数的概念.对于创新性问题，首先要读懂题意，然后再去利用定义求解，抓住实质是关键.来年需要注意数列的通项，等比中项的性质等. 8.D 【解析】因为,,a b c 为连续的三个正整数，且>>A B C ，可得a b c >>，所以2,1=+=+a c b c ①；又因为已知320cos =b a A ，所以3cos 20bA a=②.由余弦定理可得222cos 2+-=b c a A bc ③，则由②③可得2223202b b c a a bc +-=④，联立①④，得2713600--=c c ，解得4=c 或157=-c （舍去），则6=a ，5=b .故由正弦定理可得，sin :sin :sin ::6:5:4==A B C a b c .故应选D.【点评】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个角的正弦的比值，明显是要利用正弦定理转化为边长的比值，因此必须求出三边长.来年需注意正余弦定理与和差角公式的结合应用.9.A 【解析】当1abc ==+=，而()()()()2a b c a b b c c a ++=+++++≥a b c ==，且1abc =，即a b c ==时等号成立），a b c+=≤++；但当取2a b c ===,显然有a b c≤++,但1abc ≠,即由a b c≤++不可以推得1abc =；综上，1abc =是a b c≤++的充分不必要条件.应选A. 【点评】本题考查充要条件的判断，不等式的证明.判断充要条件，其常规方法是首先需判断条件能否推得结论，然后需判断结论能否推得条件；来年需注意充要条件与其他知识（如向量，函数）等的结合考查. 10.C 同理8【解析】如图，不妨设扇形的半径为2a,如图,记两块白色区域的面积分别为S 1,S 2,两块阴影部分的面积分别为S 3,S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4=S 扇形OAB =221(2)4a a ππ=①, 而S 1+S 3 与S 2+S 3的和恰好为一个半径为a 的圆，即S 1+S 3 +S 2+S 32a π=②. ①-②得S 3=S 4,由图可知S 3=221()2OEDC EOD S S S a a π+-=-正方形扇形扇形COD ,所以. 222S a a π=-阴影.由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率 P=222221OABS a a S a πππ-==-阴影扇形.【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积，即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用.11. 6【解析】设抽取的女运动员的人数为a ，则根据分层抽样的特性，有84256a =，解得6a =.故抽取的女运动员为6人. 【点评】本题考查分层抽样的应用.本题实际是承接2012奥运会为题材，充分展示数学知识在生活中的应用.分层抽样时，各样本抽取的比例应该是一样的，即为抽样比. 来年需注意系统抽样的考查或分层抽样在解答题中作为渗透考查. 12. 3【解析】因为31bia bi i+=+-，所以()()()31bi a bi i a b b a i +=+-=++-.又因为,a b 都为实数，故由复数的相等的充要条件得3,,a b b a b +=⎧⎨-=⎩解得0,3,a b =⎧⎨=⎩所以3a b +=.【点评】本题考查复数的相等即相关运算.本题若首先对左边的分母进行复数有理化，也可以求解，但较繁琐一些.来年需注意复数的几何意义，基本概念（共轭复数），基本运算等的考查.13.（Ⅰ）1010⎛ ⎝⎭；（Ⅱ）5- 【解析】（Ⅰ）由()()1,0,1,1a =b =，得()23,1+a b =.设与2+a b 同向的单位向量为(),x y c =，则221,30,x y y x ⎧+=⎨-=⎩且,0x y >，解得,1010x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故⎝⎭c =.即与2+a b同向的单位向量的坐标为⎝⎭.（Ⅱ）由()()1,0,1,1a =b =，得()32,1--b a =.设向量3-b a 与向量a 的夹角为θ，则()32,11,0cos 35θ--===-- b a a b a a.【点评】本题考查单位向量的概念，平面向量的坐标运算，向量的数量积等.与某向量同向的单位向量一般只有1个，但与某向量共线的单位向量一般有2个，它包含同向与反向两种.不要把两个概念弄混淆了. 来年需注意平面向量基本定理，基本概念以及创新性问题的考查.14.2 【解析】（解法一）作出不等式组1,1,33x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩所表示的可行域(如下图的ABM ∆及其内部）.可知当直线23z x y =+经过1,33x y x y +=⎧⎨-=⎩的交点()1,0M 时，23z x y =+取得最小值，且min 2z =.（解法二）作出不等式组1,1,33x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩所表示的可行域(如下图的ABM ∆及其内部）.目标函数23z x y =+在ABM ∆的三个端点()()()2,3,0,1,1,0A B M 处取的值分别为13,3,2，比较可得目标函数23z x y =+的最小值为2.【点评】本题考查线性规划求解最值的应用.运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以好确定在哪个端点，目标函数取得最大值；在哪个端点，目标函数取得最小值.来年需注意线性规划在生活中的实际应用.15.12π【解析】由三视图可知，该几何体是由左右两个相同的圆柱（底面圆半径为2，高为1）与中间一个圆柱（底面圆半径为1，高为4）组合而成，故该几何体的体积是222121412Vπππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=.【点评】本题考查圆柱的三视图的识别，圆柱的体积.学生们平常在生活中要多多观察身边的实物都是由什么几何形体构成的，以及它们的三视图的画法. 来年需注意以三视图为背景，考查常见组合体的表面积.16. 同理12【解析】由程序框图可知：第一次:a=1,s=0,n=1,s=s+a=1,a=a+2=3,n=1<3满足判断条件,继续循环;第二次:n=n+1=2,s=s+a=1+3=4,a=a+2=5,n=2<3满足判断条件，继续循环;第三次:n=n+1=3,s=s+a=4+5=9,a=a+2=11,n=3<3不满足判断条件，跳出循环，输出s的值.综上，输出的s值为9.【点评】本题考查程序框图及递推数列等知识.对于循环结构的输出问题，一步一步按规律写程序结果，仔细计算，一般不会出错，属于送分题.来年需注意判断条件的填充型问题.17.（Ⅰ）5030；（Ⅱ）()5512k k-【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…,的一个通项公式为(1)2nn na+=，写出其若干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110,故142539*********,,,,,b a b a b a b a b a b a ======.从而由上述规律可猜想：255(51)2k k k k b a +==（k 为正整数）， 2151(51)(511)5(51)22k k k k k k b a ----+-===， 故201221006510065030b a a a ⨯⨯===,即2012b 是数列{}n a 中的第5030项.【点评】本题考查归纳推理，猜想的能力.归纳推理题型重在猜想，不一定要证明，但猜想需要有一定的经验与能力，不能凭空猜想.来年需注意类比推理以及创新性问题的考查.18.【解析】【点评】本题考查三角函数的最小正周期，三角恒等变形；考查转化与划归，运算求解的能力.二倍角公式，辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛，它在三角恒等变形中占有重要的地位，可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期，一般运用公式2T πω=来求解;求三角函数的值域，一般先根据自变量x 的范围确定函数x ωϕ+的范围.来年需注意三角函数的单调性，图象变换，解三角形等考查.19.【解析】【点评】本题考查线面垂直，空间几何体的表面积；考查空间想象，运算求解以及转化与划归的能力.线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直是有关垂直的几何问题的常用转化方法；四棱柱与四棱台的表面积都是由简单的四边形的面积而构成，只需求解四边形的各边长即可.来年需注意线线平行，面面平行特别是线面平行，以及体积等的考查.20.同理18【解析】【点评】本题考查等差数列的通项，求和，分段函数的应用等；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式()11n a a n d =+-求解；有时需要利用等差数列的定义：1n n a a c --=（c 为常数）或等比数列的定义：1'nn a c a -=（'c 为常数，'0c ≠）来判断该数列是等差数列或等比数列，然后再求解通项；有些数列本身不是等差数列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质.21. 同理21 【解析】【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论，不要漏解；对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.22.【解析】七彩教育网 免费提供W ord 版教学资源七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载【点评】本题考查多项式函数的求导，导数的几何意义，导数判断函数的单调性，求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归，分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程，导数的应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值，最值等；另外，要注意含有,ln xe x 等的函数求导的运算及其应用考查.。
湖北省部分重点中学2012—2013学年度高三起点考试
湖北省部分重点中学2012—2013学年度高三起点考试文科数学试卷一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．直线06=++-y x 的倾斜角是（ ）A ．6π B ．4πC ．3πD ．34π 2．已知复数z 满足2z i i ⋅=-，i 为虚数单位，则共轭复数=Z（ ）A.2i -B.12i +C.12i -+D.12i --3．已知2log 3a =，0.78b -=，π517sin=c ，则,,a b c 的大小关系是 （ ） A.a b c >> B.a c b >> C.b a c >> D.c b a >>设函数4．2()lg(1)f x x =-，集合{}{}(),()A x y f x B y y f x ====，则右图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．[1,0]-B ．(1,0)-C ．(,1)[0,1)-∞-D ．(,1](0,1)-∞-5. 在区间[]1,1-上任取两个实数,x y ，则满足不等式2122≥+y x 的概率为 （ ）A ．4πB ．41π-C ．8πD ．81π-6. 如右图是一正方体被过棱的中点M 、N 和顶点A 、D 、C 1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为（ ）A ．B ．C ．D ．21,x x 分别表示甲7．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，乙两名运动员这项测试成绩的平均数，21,s s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，21,a a 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的中位数，则有（ ）A ． 1212,x x s s >< 21a a ≠B ． 1212,x x s s =< 21a a =C ． 1212,x x s s == 21a a ≠D ． 1212,x x s s <> 21a a =8. “b a =”是“直线2+=x y 与圆()()222=-+-b x a x 相切”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知函数3()13xxf x =+（x R ∈），正项等比数列{}n a 满足501a =，则1299(ln )(ln )(ln )f a f a f a +++=（ ）A ．99B ．101C ．992D ．101210．我们把可表示为两个连续正奇数的平方差的正整数称为“和谐数”，则在集合{}2013,,3,2,1 中，共有“和谐数”的个数是 （ ） A ．502 B ．503 C ．251 D ．252二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分．请将答案填写在答题卡对应题号的位置上。
2012全国高考湖北卷文科数学解析
2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷解析）数学（文史类）试卷一、选择题：1．已知集合2{|320,}A x x x x =-+=∈R ，{|05,}B x x x =<<∈N ，则满足条件AC B ⊆⊆的集合C 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4考点分析：本题考察集合间的关系。
难易度：★ 解析:{}{}1,2,1,2,3,4A B ==,A C B ⊆⊆,1,2C ∈,则集合C 的个数为422=，故选D2．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：则样本数据落在区间[10,40)的频率为A ．0.35B ．0.45C ．0.55D ．0.65考点分析：本题考察频率分布。
难易度：★解析：样本数据落在区间[10,40)的个数23459n =+++=，所以频率90.4520p ==， 故选B3．函数()c o s 2f x x x =在区间[0,2π]上的零点的个数为A ．2B ．3C ．4D ．5考点分析：本题考察函数与方程，函数的零点 难易度：★解析：()c o s 2f x x x =，则0x =或cos20x =， 考虑到[]0,2x π∈，则3570,,,,4444x ππππ=，所以零点的个数为5，故选D4．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 考点分析：本题考察含有全称量词与存在量词，以及命题的否定。
2难易度：★解析：对于命题的否定，既否定条件，也否定结论，故选B5．过点(1,1)P 的直线，将圆形区域22{(,)|4}xy x y +≤分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-=考点分析：本题考察直线与圆的位置关系。
2012年湖北卷(文科数学)
2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（湖北卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2320,A x x x x R =-+=∈，{}05,B x x x N =<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4则样本数据落在区间[10,40)的频率为A.0.35B.0.45C.0.55D.0.65 3.函数()cos 2f x x x =在区间[0,2]π上的零点个数为A ．2B ．3C ．4D ．5 4.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 A.任意一个有理数，它的平方是有理数 B.任意一个无理数，它的平方不是有理数 C.存在一个有理数，它的平方是有理数 D.存在一个无理数，它的平方不是有理数5.过点(1,1)P 的直线，将圆形区域22{(,)4}x y x y +≤分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A.20x y +-=B.10y -=C.0x y -=D.340x y +-=6.已知定义在区间(0,2)上的函数()y f x =的图像如图所示，则(2)y f x =--的图像为7.定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的函数)(x f ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{}()n f a 仍是等比数列，则称)(x f 为“保等比数列函数”.现有定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的如下函数：①2()f x x =；②()2x f x =；③x x f =)(；④()ln f x x =.则其中是“保等比数列函数”的)(x f 的序号为A.①②B.③④C.①③D.②④ 8.设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A B C >>，320cos b a A =，则sin :sin :sin A B C 为 A ．4:3:2 B ．5:6:7 C ．5:4:3 D ．6:5:4 9.设a ,b ，c R ∈，则“1abc =a b c ≤++”的 A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要的条件 10.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A.π21-B.π121-C.π2D.π1二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分.11.一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人.现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有 人.12.若31bi a bi i+=+-（a ，b 为实数，i 为虚数单位），则a b += . 13.已知向量(1,0)a =r ，(1,1)b =r，则（1）与2a b +r r同向的单位向量的坐标表示为 ； （2）向量3b a -r r 与向量a r夹角的余弦值为 .O14.若变量x ，y 满足约束条件1133x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y =+的最小值是 .15.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 . 16.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s = .17.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3，6,10，…，记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数按从小到g 1g g g g gg 6g gg 3gg g g g g g g g g10正视图俯视图 侧视图大的顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测： （1）2012b 是数列{}n a 中的第 项； （2）21k b -= .（用k 表示）三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本小题满分12分）设函数22()sin 23sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=+⋅-+,x R ∈的图像关于直线x π=对称，其中,ωλ为常数，且1(,1)2ω∈.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()y f x =的图像经过点(,0)4π，求函数()f x 的值域.19. （本小题满分12分）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台1111A B C D ABCD -，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱2222ABCD A B C D -. （Ⅰ）证明：直线1122B D ACC A ⊥B 1D 1；（Ⅱ）现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知10AB =，1120A B =，220AA =，130AA =（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？20.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 前三项的和为3-，前三项的积为8. （Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2a ，3a ，1a 成等比数列，求数列{}n a 的前n 项的和. 21.（本小题满分14分）设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足DM m DA =（0m >，1m ≠）.当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求焦点坐标； （Ⅱ）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H ，是否存在m ，使得对任意的0k >，都有PQ PH ⊥？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由. 22.（本小题满分14分）设函数()(1)n f x ax x b =-+（0x >），n 为正整数，a ，b 为常数，曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1x y +=.（Ⅰ）求a ，b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最大值； （Ⅲ）证明：1()f x ne<.。
湖北部分重点中学2012届高三第一次联考
湖北省部分重点中学2012届高三第一次联考英语试卷第二部分：词汇知识运用（共两节，满分40分）第一节：多项选择题（共10小题；每小题1分，满分10分）从A，B，C，D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该选项涂黑。
21. In order to protect the environment, people are greatly encouraged to travel bypublic ___.A. transportB. service C .means D. traffic22. A sense of ___ is the basic requirement for people working in the service industry，such as education and health care.A. agreementB. attentionC. carefulnessD. devotion23. Getting more information on how to use these tools can ___ your chances of success.A. raiseB. multiplyC. addD. gain24. After three weeks’ adjustment to the new environment, he managed to accustom himself to be more ____ with people.A. in reliefB. at easeC. in peaceD. at stake25. The chairman asked me to ___ the report, because he didn’t want to speak for toolong at this meeting.A. cut outB. cut awayC. cut offD. cut down26. Pollution reached ___ high levels in some urban areas, which is quite worrying.A. disturbinglyB. slightlyC. exactlyD. flexibly27. His contribution to the boy’s welfare was to ___ him for the world in which he would live.A. intendB. makeC. equipD. provide28. The government needs to ___ the interests of different groups of people to avoid conflicts and see to it that people live safe and happy lives.A. seekB. balanceC. identifyD. combine29. Poor preparations and shortage of equipment ___ their failure of climbing to the topof the mountain.A. resulted fromB. brought out C .accounted for D. approve of30. In my opinion, he is a (n) ____ person, that is, he says exactly what he thinks.A. modestB. honestC. outspokenD. easy-going第二节：完型填空（共20小题，每小题1.5分，满分30分）In the course of our lives, someone with whom we got acquainted(结识) by accidentoften inspires us.Early one morning, I opened the window to find that the sun was splashed __31_ .The sun-shine warmed my face, making it comfortable. I started to play my beloved violin. My mind was quite _32__, my spirit firm, and my mood entirely free of _33__. When I was playing the climax to the piece, a _34__ from next door _35__ my attention.I was enchanted（着迷的）and had a _36__ idea: “ How wonderful if we playedtogether!” I began to play _37__ by Beethoven with my neighbor, one piece after another.We played together so well that I was _38__ about how she or he looked. I _39__ a kind of facial tic（痉挛）. Each time I thought about our _40__ together, I would move my lip ,completely inadvertently（不经意地）.However, I couldn’t _41__ why the violinist next door never responded when I knocked on the door. I was _42__ disappointed.A year later, I took part in a violin competition. At the event, I made a new friend, whose name was Rita. Let’s welcome contestant number 10, Rita,” the master of the ceremony _43__ .This girl, who was my _44__, was deaf and dumb, but she had played the violin for eight years!I saw Rita _45__ walk onto the stage. She put the violin _46__ her neck and shoulder and began to perform.“The melody is so familiar!” I said to myself. It was unbelievable that a girl who was deaf and dumb could play such marvelous music. The audiences warmly _47_her. What was even harder to believe was that the girl was my neighbor! It was fate that we _48_ meet and become friends!Rita’s story made me _49_ that life is not always sunny or poetic: sometimes there are violent storms and setbacks. However, no matter _50__ you suffer, believe in yourself and strive. You can succeed.31. A. somewhere B. anywhere C. everywhere D. nowhere32. A. focused B. determined C. absorbed D. settled33. A. sorrow B. worry C. doubt D. imagination34. A. sound B. voice C. music D. noise35. A. paid B. got C. took D. came36. A. special B. unique C. strange D. crazy37. A. products B. Pieces C. collections D. accomplishments38. A. positive B. anxious C. eager D. curious39. A. suffered B. became C. developed D. transmitted40. A. playing B. singing C. reading D. knocking41. A. find out B. figure out C. sort out D. pick out42. A. eventually B. nearly C. extremely D. instantly43. A. declared B. claimed C. stated D. announced44. A. age B. neighbor C. friend D. idol45. A. carefully B. quickly C. slowly D. nervously46. A. on B. between C. over D. around47. A. praised B. embraced C. called D. applauded48. A. must B. would C. might D. should49. A. convince B. acquire C. suppose D. realize50. A. how B. whether C. what D. which第三部分：阅读理解（共20小题；每小题2分，满分40分）阅读下列短文，从每篇短文后所给的四个选项（A，B，C和D）中，选出最佳答案，并在答题卡上将该选项涂黑。
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湖北省部分重点中学2012届高三第一次联考
文科数学试卷参考答案
一、选择题
1.B
2.B
3.C
4. C
5.B.
6.A
7.D
8.D
9.B 10.A
二、填空题。
11. 2 12. 12
-
13.()27f x x =- 14.
16
65 15.)22,1(
三．解答题。
16、解：①12)(-∙=b a x f
2
2cos 22cos 21x x x =-⋅-
cos 442cos 43x x x π⎛
⎫=-
=+ ⎪⎝
⎭
（4分） ∴()f x 的最小值为-2，此时423
x k π
ππ
+=+，k ∈Z ，
（6分） ∴x 的取值集合为：,26k x x k Z ππ
⎧
⎫
=
+
∈⎨⎬⎩⎭
（7分）
②()f x 图象向右平移m 个单位后所得图象对应的角析式为
()2cos 42cos 4433Y x m x m ππ⎡⎤⎛
⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭
（9分）
其为偶函数，那么图象关于直线0x =对称，故：43m k π
π
-+=，k ∈Z
∴12
4
k m π
π=-
，所以正数m 的最小值为
12
π
（12分）
17. (1)过E 作EH ⊥AD ，垂足为H ，连接CH 。
tan 1D C BC
∠=
=2
22tan =
=
∠DC
HD ，
∴21∠=∠
又
9032=∠+∠，∴
9031=∠+∠，∴BD ⊥CH ， ∴BD ⊥CE 。
(6分)
2
3 1
C
D
H
B
A
(2)取PE 的中点F ，连接GF ，BF 。
∵G 为PC 的中点，∴GF//CE
∴GF//平面ACE 。
连接BD 交AC 与点O,连接OE. ∵E 为DF 的中点， ∴BF//OE
∴BF//平面ACE 。
∵F GF BF = , ∴平面BGF//平面AEC 。
又BGF BG 平面⊂∴BG//平面AEC 。
(12分) （该题还可以建立空间直角坐标系来解答。
）
18解.(1) ∵,2,021≥=+-n S S a n n n ∴0211=+---n n n n S S S S ∴
2
111
=-
-n n
S S
11
111==22a n
S S ⎧⎫∴⎨⎬
⎩⎭
是首项为，公差为的等差数列 （4分） ∴
n n S n
22)1(21
=⨯-+=
,∴n
S n 21=
(2) 当2≥n 时，)
1(21)
1(21211--
=--
=
-=-n n n n
S S a n n n ，
当1=n 时，2
111=
=S a ∴
1
12
1
22(1)
n
n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨
⎪-≥-⎪⎩ （8分） （3）当n 2≥时，)
2(12
)1(2+=
+-=
n n a n n b n n ，则
2
310 (11111111111118724)
35
911
1012
224359*********
b
b b ++=⎛⎫+
++
+
=
-+-+-+-= ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭
（12分）
19.如图，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，设抛物
F
E
P B
C
D
A
G
O
线方程为py x 22=代入点C （2，4）得2
1=
p ，
所以抛物线C 方程为()202
≤≤=
x y x
设),(2
x x P ，x PQ +=2，2
4x PN -= S=()()x x x
x
x PN PQ 428422
3
2
+--=-+=⨯ （6分）
由0443'2
=+--=x x S ，得3
21=
x 或22-=x
因为20<≤x ，所以3
2=
x
当⎪⎭
⎫
⎢⎣
⎡∈32
,0x 时，0'>S ，S 是x 的增函数
当⎪⎭⎫
⎢⎣⎡∈2,3
2
x 时，0'<S ，S 是x 的减函数
所以，当3
2=
x 时，S 取得最大值 （10分）
此时，3
83
22=
+
=PQ ，9
324322
=
-=⎪
⎭
⎫
⎝⎛PN
故把商业楼区规划成长为km
9
32，宽为km 3
8 的矩形时，用地面积可最大
（13分） 20.解（1）)0,1(),0,1(21F F -，∵
1+PF 中1,2==c a ，则3=b ， ∴C 的方程为13
4
2
2
=+
y
x
（6分）
（2）设),(00y x M ，0x d =，r
∵圆M 与y 轴有两个交点，∴r d <，即2
0200)1(y x x +-<，
∴2
02
020
)1(y x x +-<，又
13
4
2
02
0=+
y x ，即)4
1(32
020
x y
-
=，
∴)4
1(3)1(2
02
020
x x x -
+-<，∴0168302
0<-+x x ，0)4)(43(00<+-x x
∴3
440<
<-x ， （12分）
又220≤≤-x ，∴3
420<
≤-x （13分）
.
21.解：（1）1->x ，当4-=a 时，()()1ln 42+-=x x x f 1
4
221
42)('2
+-+=
+-+
=x x x x x x f （2分）
令0)('=x f ，2122021x x x x +-=⇒=-=（
舍去）或 当0)('11<<<-x f x 时， 当0)('1>>x f x 时，
()()111)(，，单调减区间为
，的单调增区间为
-∞+∴x f （5分）
（2）1
221
2)('2
+++=
++=x a
x x x a x x f （7分）
令0)('=x f ，0222=++∴a x x
2
211,2
2110
84,2
121a x a x a a -+
-=
--
-=
∴>-=∆∴<
①
当1201,0
2
2
a x x <=
<-=
>时，
x ()2,1x - 2x ()+∞,2x
)('x f - 0 + )(x f
极小值
0()a f x ∴<当时，有唯一极小值2
2112a x -+-=
（11分）
② 当2112
10x x a <<-<
<时，
x ()1,1x - 1x ()21,x x 2x ()+∞,2x
)('x f + 0 - 0 + )(x f
极大值 极小值
12()2
2
f x x x ∴=
=
有一个极大值点一个极小值点
（13分）。