第2章 电路的正弦稳态分析

I 实际应用中，模多采用有效值，符号： U 、
如：已知 u 220sin(ω t 45)V 220 j45 Um 220 j45 V U e e V 则 或 2
“j”的数学意义和物理意义 0 j 90 旋转 90 因子：
e
j90
e
cos 90 j sin 90 j
E U1 U 3 0
即

U 0
例1：已知
i1 i2 2 4 sin (314 90o ) ( A) t 2 3 sin (314 ) ( A) ，求 i3 。 t
i1
解
i3 i2
I 3 I1 I 2 j 4 3 5 53.15o
2.1正弦量的相量表示法
正弦量： 随时间按正弦规律做周期变化的量。 i u i
i
+ u _
R
正弦交流电的优越性： 正半周 便于传输；易于变换 便于运算； 有利于电器设备的运行； . . . . .
_
+
_
t
+ u _ _
R
负半周
2.1.1 正弦交流电压、电流
设正弦交流电流：
Im

i
O 2 T
i 16.8 2 sin( 314 t 10.9 ) A
例2:
图示电路是三相四线制电源，已知三个电 源的电压分别为：
uB 220 2 sin (314 t 120 )V uC 220 2 sin (314 t 120 )V
试求uAB ，并画出相量图。
解:(1) 用相量法计算：
电工与电子技术
第2章 电路的正弦稳态分析
2.1 正弦量的相量表示法 2.2 基尔霍夫定律的相量形式 2.3 电阻、电容、电感元件组成交流电路 2.4 阻抗的串联与并联 2.5 交流电路的功率和功率因数
2.6 功率因数的提高
教学要求
1. 理解正弦量的特征及其各种表示方法； 2. 理解电路基本定律的相量形式及阻抗； 熟练掌握计算正弦交流电路的相量分析法， 会画相量图； 3. 掌握有功功率和功率因数的计算,了解瞬时 功率、无功功率和视在功率的概念； 4.了解正弦交流电路中串联与并联特性； 5.了解提高功率因数的意义和方法。
AB
220 ( 1 0.5 j 0.866 )V
220 1.73 30V
UC
-U B
U AB UA
380 30 V
所以uAB 380 2 sin ( ω t 30 )V
(2) 其相量图如右所示。
30
UB
2.2
基尔霍夫定律的相量形式
2.2.1 基尔霍夫电流定律
uac
o
o
2 5.04sin(t 67.5 ) (V )
例3 在图2.2-1（a）所示的电路中，求总电流，并画出电流相量图。 i2 6 2 sin(t 60) A i1 5 2 sin(t 30) A 设
图2.2 （a）电路图
(b) 电流的相量图
解
i i2 将1 和
③ ④
cos ψ j sin ψ 指数式 A r e j ψ 极坐标式 A r ψ e
jψ
A a jb r cos j r sin re r ψ
jψ
相量: 表示正弦量的复数称相量 设正弦量: u U msin( ω t ψ ) 相量表示:
U Ue
在正弦交流电路中，基尔霍夫电压定律可表达为，对于任一 正弦交流电路中的任一回路，沿着该回路的任一循行方向，所 有支路的电压升的相量之和等于电压降的相量之和。或者说， 对任一回路而言，沿某一循行方向回路中各支路的电压降（电 压升）相量的代数和恒等于零。
在图2-5所示的电路中，对回路I逆时针方向循行，按电 压降（即电压降取正号，电压升取负号）写出基尔霍 夫电压定律的相量形式如下
有向线段与横轴夹角 = 初相位
Um
有向线段以速度ω 按逆时针方向旋转 则:该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示 相应时刻正弦量的瞬时值。
（3）正弦量的相量表示 实质：用复数表示正弦量
复数表示形式 设A为复数: ① 代数式A =a + jb
+j
b
A

0
2 2
r
a
+1
式中: a r cos ψ
0
T
2 i 2 R dt I RT
交流
直流
则有
I
1 T

T
0
i 2dt
2
Im 有效值必 0 I sin ω t dt 2 须大写 U Em 同理： U m E 2 2
1 T
T 2 m
注意： 交流电压、电流表测量数据为有效值; 交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值
（3）初相位与相位差
求：i i1 i2 。
i2 11 2 sin(314t 60 )A
12.7( cos 30 j sin 30 )A 11( cos 60 j sin 60 )A (16.5 - j3.18)A 16.8 10.9 A
有效值 I =16.8 A
图2-5
在图2-5所示的电路中，对节点a可以写出基尔霍夫电流定律的相量形式
I1 I 2 I 3 0
即
I 0
在交流电路中基尔霍夫电流定律的相量形式不仅适 用于节点，同样可推广到任一闭合面，即对任一闭合 面而言，流过该闭合面的电流的相量的代数和恒等于 零。
2.2.2 基尔霍夫电压定律 基尔霍夫电压定律的一般形式是，对于任一集中参数电路中 的任一回路，在任一时刻，沿着该回路的任一循行方向，所有 支路的电位升之和等于电位降之和。或者说，对任一回路而言， 沿某一循行方向回路中各支路的电压降（电压升）相量的代数 和恒等于零。
jψ
U ψ
相量的模=正弦量的有效值 相量辐角=正弦量的初相角
电压的有效值相量
或：
Um Ume Um ψ
jψ
相量的模=正弦量的最大值
相量辐角=正弦量的初相角
注意:电压的幅值相量相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
i Imsin(ω t ψ ) = Ime
？
jψ
Im ψ
有效值
j45 •
1.已知：
3.已知：
4 e j30 A 复数 I
4 2 sin (ω t 30 )A ？
瞬时值
220 e45 V？ Um
2.已知： I 10 60A
i 10 sin ( ω t 60 )A ？
最大值
4.已知：
U 100 15V
我们知道基尔霍夫电流定律的一般形式是，对于任一集 中参数电路中的任一节点，在任一时刻，流出该接点的 电流之和等于流进该接点的电流之和。即对任一节点而 言，流过该节点的电流的代数和恒等于零。 在正弦交流电路中，由于采用相量表示交流量，则基尔 霍夫电流定律可表达为，对于任一正弦交流电路中的任 一节点，流出该接点的电流的相量之和等于流进该接点 的电流相量之和。即流过该节点的电流的相量的代数和 恒等于零。
相位：
t ψ
i Imsin( ωt ψ ) i
ωt
反映正弦量变化的进程。 O 初相位： 表示正弦量在 t =0时的相角。
(t )
: 给出了观察正弦波的起点或参考点。
t 0
相位差 ：
两同频率的正弦量之间的初相位之差。 如： Umsin( t u ω
ψ1 ) i Imsin( ωt ψ2 )
用相量表示
I1 530 (4.33 j 2.5) A
I 2 6 60 (3 j5.2) A
根据KCL定律的相量形式得
I I1 I 2 (4.33 j 2.5) (3 j5.2)
7.33 j 2.7
2
2.7 7.33 2.7 arctan 7.33
+ UA N
–
uA 220 2 sin 314 t V
+ A
U AB N
UC +
– –
UA 220 0 V UB 220 120V UC 220 120V
UB +
–
B
C
由KVL定律可知
UAB UA UB 220 0 V 220 120 V U 220 V 220 cos (120 ) j sin (120) V
b r sin ψ
②三角式 由欧拉公式:
r a b 复数的模 b ψ arctan 复数的辐角 a
A r cos ψ j r sin ψ r (cos ψ j sin ψ )
cos ψ e
jψ
e 2
j ψ
e j ψ e j ψ , sin ψ 2j
可得:

设相量
相量 A乘以 e -j90 ， ，得到C A将顺时针旋转 90 0
o
ψ
C
， 将逆时针旋转90 0，得到 B A
re jψ A 相量 A 乘以 e j 90
B
+j
A
+1
正误判断
u 220 sin(ω t 45)V
220 U 45 V？ 2
t
i Im sin t
初相角：决定正弦量起始位置 角频率：决定正弦量变化快慢 幅值：决定正弦量的大小
幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。
（1） 频率与周期
周期T：变化一周所需的时间 （s） 1 f （Hz） 频率f： T 2π 角频率： ω 2πf （rad/s） T i