习题六(A)4

习题六（A ）27. 比较下列二重积分的大小： (1) 22sin sin DI x y dxdy =⎰⎰ ()ln Dx y d σ+⎰⎰与()2ln Dx y d σ+⎡⎤⎣⎦⎰⎰，其中D 是三角形区域，三顶点分别为(1,0),(1,1),(2,0) ; (2)()ln Dx y d σ+⎰⎰与()2ln Dx y d σ+⎡⎤⎣⎦⎰⎰，其中D 是矩形闭区域：53≤≤x ，10≤≤y . 28. 估计下列积分的值 (1) 22sin sin DI x y dxdy =⎰⎰，其中D 是矩形闭区域：π≤≤x 0，π≤≤y 0; (2) ()DI x y x y d σ=+⎰⎰，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .29. 分别对下列积分区域将二重积分 (),DI f x y dxdy =⎰⎰按两种次序化为累次积分：(1) D 由22y x x y ==和所围成；解：D 是由抛物线22y x x y ==和所围成的平面闭区域，如图29-1，解方程22y xx y⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得交点(0,0)(1,1)， 将积分化为先y 后x 的二次积分，得210()()x Df x y dxdy dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰，，将积分化为先x 后y 的二次积分，得210()()y Df x y dxdy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰，，.(2) D 由23y x =及y =解：D 是由曲线2y x =及园222x y +=所围成的平面闭区域，解方程2322+2y x x y ⎧⎪=⎨=⎪⎩ 得交点(0,0)(1,1)(1,1)-，，图29-1将积分化为先y 后x 的二次积分，由D ：x : -1→1，2:y x2311()()x Df x y dxdy dx f x y dy -=⎰⎰⎰⎰，，将积分化为先x 后y 的二次积分，由12D D D =+，223312:01::1:D y x y y D y x →-→：，；：2323101()()()y y Df x y dxdy dy f x y dx dx f x y dy -=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰，，，.(3) D 由1232y x y x x y ==+=，，及所围成；解：解方程122y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩、123y xx y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩、23y x x y =⎧⎨+=⎩得交点(0,0)(1,2)(2,1)，， 将积分化为先y 后x 的二次积分，由12D D D =+，1211:01:2:12:322D x y x x D x y x x →→→→-：，；：，得122311122()()()x x xxDf x y dxdy dx f x y dy dy f x y dx -=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰，，，将积分化为先x 后y 的二次积分，由12D D D =+，121:01:2:12:232D y x y y D y x y y →→→→-：，；：，得122311122()()()y y yyDf x y dxdy dy f x y dx dx f x y dy -=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰，，，.(4) D 由cos 12y x y x x π==+=，，及所围成； 解：解方程cos 1y x y x =⎧⎨=+⎩、cos 2y x x π=⎧⎪⎨=⎪⎩、12y x x π=+⎧⎪⎨=⎪⎩得交点(0,1)(,1)(,1)πππ+，， 将积分化为先y 后x 的二次积分，由D ：:0:cos 12x y x x π→→+；得120cos ()()x xDf x y dxdy dx f x y dy π+=⎰⎰⎰⎰，，将积分化为先x 后y 的二次积分，由12D D D =+，12:01:cos 1:11:122D y x arc y y D y x y ππ→→-→+-→：，；：，得1110cos 11()()()y arc yy Df x y dxdy dy f x y dx dx f x y dy ππ-+-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰，，，.30. 交换下列积分次序：(1)1(,)ydy f x y dx ⎰；解：由题设二次积分的积分限：01y y x ≤≤≤≤，得D ：201x x y x ≤≤≤≤，所以 2110(,)(,)xyxdy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰(2)2110(,)x xdx f x y dy +⎰⎰解：由题设二次积分的积分限：2011+x x y x ≤≤≤≤，解方程201+x y x =⎧⎨=⎩、211+x y x =⎧⎨=⎩、0x y x =⎧⎨=⎩、1x y x =⎧⎨=⎩得交点(0,1)(1,2)(0,0)(1,1)，，，得12D D D =+， 12:01:0:121D y x y D y x →→→：，；：， 所以 21112111(,)()()x y xdx f x y dy dy f x y dx dx f x y dy +=+⎰⎰⎰⎰⎰，，(3)21111ln (,)(,)ex xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰解：由题设二次积分的积分限：2120111ln 1D x x y D x e x y ≤≤-≤≤≤≤≤≤：，；：， 得12D D D =+。

解方程组21x y x=⎧⎨=-⎩得交点(1,1)-，故D 可改写为34D D D =+，34:101:01:0y D y x D y x e -→→→：，；：， 所以21110111l n1(,)(,)()()ye e x x dxf x y dy dx f x y dy dy f x y dx dx f x y dy --+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，，(4)()()43533,,y dy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰解：由题设二次积分的积分限：12430503D y x y D y x ≤≤≤≤≤≤≤≤：0，；：3，12D D D =+。

解方程433x yy ⎧=⎪⎨⎪=⎩得交点(4,3)，故12D D 、可改写为：1230430534D x x y D x y ≤≤≤≤≤≤≤≤：，；：，所以()()43543533033,,(,)(,)yxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy +=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰（或者，34D D D =+，343044534D x x y D x y ≤≤≤≤≤≤≤≤：，：，所以()()43545333434,,(,)(,)yxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy +=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰）31. 计算下列二重积分： (1)()2Dx y d σ-⎰⎰，其中D 是由0x =，2x =及0y =，2y =所围成的闭区域； 解一：画D 的图形。

先y 后x 积分，0202D x y ≤≤≤≤：，为矩形区域。

()()222200Dx y d x y dy dx σ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰()2222002x xy y dy dx ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰222230013x y xy y dx ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰2208(24)3x x dx =-+⎰23208822333x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦解二：画D 的图形。

先x 后y 积分，0202D x y ≤≤≤≤：， ()()222200Dx y d x y dx dy σ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰()2222002x xy y dx dy ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 223220013x yx y x dy ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰2208(42)y y dy =-+⎰23208822333y y y ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦ (2)Dxyd σ⎰⎰，其中D 是由210y x x =-=，及x y =所围成的闭区域；解：解方程21y x y x =⎧⎨=-⎩、021x y x =⎧⎨=-⎩、0x y x =⎧⎨=⎩得交点(1,1)(0,1)(0,0)-，，。

画D 的图形。

先y 后x 积分，0121D x x y x ≤≤-≤≤：，； 1021x x Dxyd xydy dx σ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰1202112xx x y dx -⎡⎤=⋅⎢⎥⎣⎦⎰13201(21)2x x x dx ⎡⎤=--⎣⎦⎰ 12201(34)2x x x dx =--+⎰1432031412432x x x ⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦124= (3)Dσ⎰⎰，其中D 是由x y =，x y 2=及1x =所围成的闭区域；解：解方程1x y x =⎧⎨=⎩、12x y x =⎧⎨=⎩、2y xy x =⎧⎨=⎩得交点(1,1)(1,2)(0,0)，，。

画D 的图形。

012D x x y x ≤≤≤≤：，；先y 后x 积分，120xDdx σ=⎰⎰112220()x xxy x dy dx ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰（对y 积分时x 为常量）11222201()()x x xy x d xy x dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰23122012()3xxxy x dx x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰12023x dx =⎰1302299x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦(4)()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是区域1≤+y x ；解：画D 的图形。

(,)(,)f x y x y x y D =+∈，。

欲去掉被积函数(,)f x y 中的绝对值，需将D 分为两部分12D D D =+，1210110111D x x y x D x x y x -≤≤--≤≤+≤≤-≤≤-+：，；：，应用二重积分的性质1212()()()()()DD D D D x y d x y d x y d x y d x y d σσσσσ+=+++=-+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰先y 后x 积分，12()()()DD D x y d x y d x y d σσσ+=-+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰0111111()()x x x x dx y x dy dx x y dy +-+----=-++⎰⎰⎰⎰1112210111122x x x x y xy dx xy y dx +-+----⎡⎤⎡⎤=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰（对y 积分时x 为常量） 0122102()2()x x dx x x dx -=-++-⎰⎰01322310111122232233x x x x -⎡⎤⎡⎤=-++-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (6)DI σ=，其中D 是区域102x y ≤≤≤，；解：画D 的图形。

(,)(,)f x y x y D =∈。

欲去掉被积函数(,)f x y 中的绝对值，需将D 分为两部分12D D D =+，2212110112D x y x D x x y -≤≤≤≤-≤≤≤≤：，；：，。