154一维定态问题
一维定态性质
第三章 一维定态问题§3.1 一维定态的一般性质性质1、当)(x V 为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。
证明：分能级无简并和有简并两种情况（1） 能级无简并对应能级E ，只有一个独立的本征波函数。
设 )(x ψ为与E 对应的本征波函数)()(ˆx E x Hψψ= 取复共轭，因)()(*x V x V =，则)()(ˆ**x E x Hψψ= )(*x ψ也是与E 对应的本征波函数。
因无简并，则 αψψψψψi e C x C x C x x C x ====)()()()()(2***可取0=α，即)(x ψ可取为实函数。
（2）能级有简并对应某一能级E ，有两个或两个以上独立的本征波函数。
例如氢原子能级：eV 16.132nE n -=，波函数： )(r sl m nlm ψ， 简并度：22n f =.设集合 )}({x i ψ为与E 对应的本征波函数 f i x E x H ii ,,2,1),()(ˆ ==ψψ 取共轭得f i x E x H ii ,,2,1),()(ˆ** ==ψψ 集合 )}({*x i ψ 也是与E 对应的本征波函数。
只要)}({x i ψ中有一个波函数，例如j ψ不是实函数，那么就可用实函数 )(*j j ψψ+或 )]([*j j i ψψ--来取代j ψ，最后总能组合成一组实函数。
所以，当)(x V 为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。
下面一条性质涉及空间反射变换和宇称。
空间反射变换：用算符P ˆ代表空间反射变换 )()(ˆx x P-=ψψ 本征方程： )()(ˆx x Pψπψ=可以证明 π为实数。
只有当 π为实数时上述方程才是本征方程。
因为按照基本假定，本征值与测量值相对应，而测量值总是实数。
宇称（parity ）：空间反射变换算符的本征值 π．宇称的可能取值：)()(ˆ)(ˆˆ)(ˆ2x x P x P P x Pψψψψ=-== )()(ˆ)(ˆˆ)(ˆ22x x P x P P x Pψπψπψψ=== )()(2x x ψπψ=211ππ=⇒=±即 ⎩⎨⎧-=负宇称正宇称，)(),()(ˆx x x P ψψψ空间反射不变的波函数具有正宇称。
一维定态问题的定性讨论
维普资讯
第 ２期
史守 华 ： 维 定态 问题 的定性讨 论 一
６ ７
据 此 所 画 出 的 波 函数 （ ） 曲线如 图 １口 所 示 。 （） 另 外 ， （ — ）愈 大 的 地 方 ，后值 愈 大 ， 函数 （ 在 Ｅ 波 ）的 振 荡 频 率 愈 高 。
况 下 ， 解 的过 程 相 当 复 杂 ， 容 易 甚 至 无 法 得 到 最 终 的结 果 。 不 论 是 否 容 易 求 解 ， 果 根 求 不 如 据 给 出 的势 函数 ， 对 粒 子 能 量 的 一 定 范 围 ， 不 求 解 薛 定 谔 方 程 的 情 况 下 ， 针 在 能对 描 述 粒 子 运 动 的波 函 数作 出 一些 定 性 的分 析 和 描 述 ； 者 反 过 来 ， 已经 知 道 了描 述 粒 子 运 动 的波 函 或 若 数 ， 对 粒 子 的 能 量 和 粒 子 在 其 中运 动 的势 场 情 况 作 出一 些 定 性 的描 述 ， 疑 是 非 常 有 意 义 能 无
（ ）正 负 号 相 同 ， 即 ： 亦
在 （ ）＞ ０区域 （ 轴 上 方 ） （ ， ）＞ ０ （ ， ）曲 线 向上 弯 曲 ， 凹 状 ； 呈 在 （ ）＜ ０区域 （ 轴 下 方 ） （ ， ）＜ ０ （ ， ）曲 线 向下 弯 曲 ， 凸 状 ｕ 。 呈 据 此 所 画 出 的 （ ） 曲线 如 图 １６ （ ）所 示 。 （ — Ｅ）愈 大 的 地 方 ， 在 Ｊ 愈 大 ， 函 数 ９值 波
第 ２ ６卷 第 ２期
一
维 定 态 问 题 的 定 性 讨 论
史 守 华
（ 徽 大学 物 理 系 ， 徽 合 肥 安 安 ２０ ３ ） ３０ ９
摘
要 ： 一 维 定 态 问 题 进 行 了 一 般 的 定 性 讨 论 ， 此 基 础 上 根 据 势 场 图 象 可 大 致 地 画 对 在
第一章 薛定谔方程,一维定态问题
第一章薛定谔方程,一维定态问题
薛定谔方程是描述量子力学中微观粒子运动的基本方程，也是研究原子、分子、固体等微观粒子体系行为的重要工具。
在一维定态问题中，我们假设粒子在一个长度为L的有限区域内运动，边界处满足一定的边界条件。
这种假设简化了问题的复杂性，使得我们能够更加深入地研究粒子在有限区域内的定态行为。
一维定态问题的薛定谔方程可以写成如下的形式：
$$-
\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\Psi(x)}{dx^{2}}+V(x)\Psi(x)=E \Psi(x)$$
其中，$\hbar$为约化普朗克常数，m为粒子的质量，V(x)为粒子在x位置处的势能，E为粒子的总能量，$\Psi(x)$为描述粒子波函数的解析函数。
一维定态问题中，由于波函数只与一个坐标x有关，因此我们可以采用分离变量的方法将波函数表示为如下形式：
$$\Psi(x)=\psi(x)e^{ikx}$$
其中，$\psi(x)$为关于x的解析函数，k为波矢。
将上式代入薛定谔方程，可将其简化为如下形式：
$$-\frac{\hbar^{2}}{2m}\psi''(x)+(V(x)-E)\psi(x)=0$$
这个简化后的方程可以通过求解得到波函数的解析表达式及对应的能量。
对于有限区域内的粒子，我们需要根据边界条件来限定波函数的形状，在定态问题中，我们通常采用周期性边界条件或硬壳边界条件。
通过分析一维定态问题的波函数和能谱，我们可以深入理解原子、分子、固体等复杂体系中微观粒子的行为规律，同时也可以为设计新的材料、光电子器件等提供理论基础和指导。
一维定态的一般性质
2m 1 2 [ E V ( x)] 1 0 2
1 (15) 2 (14)
(14) (15)
2m [ E V ( x)] 2 0 2
1 2 2 1 0
( 1 2 2 1 ) 0
1 2 2 1 常数(与x无关)
得证
对束缚态
1 2 2 1
定理7 设粒子在规则势场V（x）（势场中无奇 点）中运动，如存在束缚态，则必定是不简并的。 证明 设 1 和 2 是方程（3）的属于能量E的两 个束缚态解
1 2 2 1
本征值E的解，则
是方程（3）的对应于能量 (x)
( 也是方程（3）的对应于 x)
能量本征值E的解。
证明
d2 d2 d2 x x, 2 2 , V ( x) V ( x) 2 dx d ( x) dx
2 d 2 ( x) V ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx
得证
空间反射算符P定义为 P (r ) (r )
r r
按定理3，如V（－x）＝V(x)，则 ( x)与 (x) 都是对应于同一能量E的量子态。如果对应于某能 量E，方程（3）的解无简并，则解必有确定的宇称。 P ( x) ( x) C ( x) P 2 ( x) CP ( x) C 2 ( x) ( x)
[ E V ( x)] ( x)有限， lim
0
a
a
dx[ E V ( x)] ( x) 0
(a 0 ) (a 0 )
( x) ( x)
连续 得证
第二章 一维定态问题
第二章 一维定态问题一 内容提要1 几个重要的一维定态问题[1] 一维无限深势阱 {0,00)(≤≥<<∞=x a x a x x V ,3,2,122222=μπ=n a n E n∞≥≤<<π⎩⎨⎧=ψx x a x a x n a x n ,000s i n 2)( [2] 一维线性谐振子2221)(x x V μω= ,3,2,1)21(=ω+=n n E n)()(2221x H e N x n x n n α-=ψ [其中 !2n N n n πα=μω=α ] [3] 定轴转动子IL H2ˆˆ2ϕ=Im E n 222 =),3,2,1,0(21 =π=ψϕm e im n2 一维定态问题的性质 设)()(*x V x V =[1] 如果)(x ψ是定态S.eq 的解，那么)(x *ψ也是定态S.eq 的解。
[2] 如果)()(x V x V -= 则)(x -ψ也是定态S.eq 的解。
[3] 如果)(x V 是x 的连续函数，那么)(x ψ和)('x ψ也是连续的；如果)(x V 为阶梯形方势⎩⎨⎧><=a x V a x V x V 21)(且12V V -有限，那么)(x ψ和)('x ψ也是连续的； 如果∞→-12V V 时，那么)(x ψ连续而)('x ψ不连续；二 例题讲解 1 设粒子处于一维无限深势阱中，{0,00)(≤≥<<∞=x a x a x x V ， 证明处于能量本征态)(x n ψ的粒子，)61(12)(2/2222π-=-=n a x x a x讨论∞→n 的情况，并与经典力学计算结果比较。
证明：2sin2)(0202a dx a x n x a dx x x x aan =π=ψ=⎰⎰ )61(124)()(2220222222π-=-ψ=-=-⎰n a a dx x x x x x x an 经典情况下，在区域),0(a 中粒子处于dx 范围中的几率为adx则 20a a dx x x a==⎰ 32022a a dx x x a==⎰ 1243)(222222a a a x x x x =-=-=- 2 设粒子处于一维无限深势阱中，粒子的波函数为)()(x a Ax x -=ψ，A 为归一化常数。
一维定态问题无限深方势阱
例如：一维无限深方势阱
粒子的位置是不确定的，取值在[0, a]之间。 但粒子的概率分布是确定的，是
u(x)
2
=
2 sin2 nπ a a 0
x, ,
0≤ x≤a x < 0,or, x > a
n = 1, 2,3,
所以，可以得到粒子位置的平均值 (假设粒子处在基态 n =1 态)：
Spherical coordinates
(r,θ ,ϕ )
x = r sinθ cosϕ y = r sinθ sinϕ z = r cosθ
r = x2 + y2 + z2
θ = arccos
z
x2 + y2 + z2
ϕ = arctan y
x
§2.5 力学量的平均值、算符表示—算符表示
角动量算符 Lˆ= r × pˆ 在球坐标系中的三个分量为
§2.5 力学量的平均值、算符表示—平均值
粒子在外场 V(r)中运动，体系的
定态薛定谔方程：
−
2
2m
∇2
+
V
(r)
u (r)=Eu (r)
求解该方程，可以得到体系的波函数和能量E。
例如：粒子束缚在一维无限深方势阱中
波函数 能量
u(x)
=
2 sin nπ x , a a,
0
En
=
π2 2
则V(r, t)的平均值为：
∫ ∫ +∞
= V (r,t) = V (r,t)ρ (r,t)dτ
+∞
ψ
*
(r
,
t
)V
(r
《一维定态问题》课件
在这个PPT课件中，我们将深入探讨一维定态问题，介绍定态和一维定态问 题的基本概念，并讲解其数学描述、求解方法以及应用领域。
导言
一维定态问题是研究物理学等领域中的一类重要问题。它提供了理解系统行 为和性质的基础，以及解决各种实际问题的方法。
定态和一维定态问题的基本概 念
例题三
借助计算机模拟，展示一维定 态问题的数值解法和仿真结果。
一维定态问题的应用
量子力学
一维定态问题在量子力学 中有广泛的应用，例如描 述电子在一维势场中的行 为。
固态物理学
研究材料中晶格振动、电 子能带等问题时，可以把 复杂的多维系统简化为一 维定态问题。
量子计算
一维定态问题为理解和实 现量子计算提供了基础， 如量子比特的储存和操作 等。
总结和展望
通过本PPT课件，我们对一维定态问题有了更深入的了解。未来，我们可以 进一步研究其在更复杂系统和实际应用中的应用。
定态是指系统在某个特定状态下具有稳定性和不变性。一维定态问题是针对 一维系统中的定态进行研究和求解的问题。
一维定态问题的数学描述
数学上，一维定态问题可以通过使用定态薛定谔方程进行描述。这个方程描述了系统的波函数和能量的 关系，是解决一维定态问题的关键。
一维定态问题的求解方法
1
经典方法
传统的求解一维定态问题的方法，如分离变量法、定态扰动法等。
2
量子力学方法
利用量子力学的基本原理和数学工具，如哈密法
借助计算机和数值计算技术，通过离散化和近似方法求解一维定态问题。
例题演示和讲解
例题一
例题二
通过实际例题，演示和讲解一 维定态问题的求解过程和方法。
通过复杂的数学方程，在黑板 上演示一维定态问题的解析求 解过程。
一维定态的简并问题
一维定态的简并问题
一维定态的简并问题是一个涉及到量子力学和量子统计力学的概念。
在这个问题中，我们考虑一个粒子在一维无限深势阱中的定态，也就是粒子在一维空间中被限制在了一个特定的区域内。
根据量子力学的原理，粒子的能量是由其动能和势能共同决定的。
在一维无限深势阱中，粒子的势能是无限大的，因此其能量是由动能决定的。
当粒子处于定态时，其能量是确定的，而动能也是确定的，因此粒子的波函数在一维空间中是有规律的。
然而，当粒子处于不同的量子态时，其波函数可能会表现出不同的规律性。
在某些情况下，不同的量子态可能会有相同的能量，这就是所谓的能级简并。
在一维无限深势阱中，能级简并通常出现在高激发态，因为高激发态的粒子具有更多的动量和能量，因此其波函数在一维空间中的规律性更加复杂。
简并问题在一维定态中是存在的，但并不是所有的一维定态都会有简并现象。
有些一维定态是没有简并的，也就是说它们的能量是唯一的，不会出现能级简并的情况。
这种现象被称为非简并性定理。
这个定理在一维无限深势阱中成立，但在其他情况下可能不成立。
总之，一维定态的简并问题是一个涉及到量子力学和量子统计力学的概念。
在这个问题中，我们需要考虑粒子在一维空间中的运动和能量分布，以及不同量子态之间的相互作用和简并现象。
第三章 一维定态问题
2 ( + V ( x ))ψ ( x ) = Eψ ( x ) 2m x 2
(5)
即ψ*(x)也是方程(3)的一个解.并且对应的能量也是E. 按此定理, 假设对应于能量的某个本征值E,方程(3)的解无简 并(即只有一个独立的解).则可取为实数(除无关紧要的常数因 子之外). 假设ψ(x)是能量为E的一个解, 则ψ*(x)也是方程(3)的一个解. 对应的能量也是E. 则ψ(x)和ψ*(x)描述的是同一个量子态.所以, ψ*(x)=C ψ(x),C为常数.取复共轭ψ(x)=C* ψ*(x)=|C|2 ψ*(x), 所以,C=1, 而C=eiα, α为实数.取相位α=0,则ψ(x)=ψ*(x), 即ψ(x)为 实数.
2m [ E V ( x )]ψ 1 = 0 2 〃 2m ψ 2 + 2 [ E V ( x )]ψ 1 = 0 ψ1(x)×(15)-ψ2(x) ×(14), 得 ψ ψ ′′ ψ
1 2
证明 按假设
ψ 1〃 +
(14) (15)
2
ψ1' ' = 0
即
积分, 得 对于束缚态,当x→∞时,ψ →0,所以上式中常数比为0.因此,对于同属 于能量E的任何两个束缚态波函数ψ1和ψ2, (16) ′ ψ 1ψ 2 = ψ 2ψ 1 ' 定理7 定理 设粒子在规则势场 (regular)V(x)中运动(V(x)无奇点),如存 在束缚态,则必定是不简并的. 证明 设ψ1 与ψ2是方程(3)的属于能量E的两个束缚态解,按式 (16)有 ′ ψ 1ψ 2 = ψ 2ψ 1 ' 在不包含ψ1 (x)与ψ2(x)的节点的区域中,可用ψ1 ψ2是除上式,得
2 i ψ ( x, t ) = [ + V ( x )]ψ ( x, t ) 2 2m x x
一维定态练习题
粒子不能穿过无限高的势 垒。
由于Delta势阱是无限深的， 所有处于该势阱环境下的粒 子不可能存Ｓ－方程的基态是能 量最低的能量本征态。
V ( x ) V0
上面的对称势垒的定态波函数 只能是奇函数或偶函数
V(x)和V(x)+V0两种势场对 应于相同的定态波函数， 但能量相差一个常数。
• V(x)和V(x+a)两种势场对 应于粒子的能量谱相同只 是相应波函数做了一个平 移。相差一个常数。
于其能量本征态的非简并性（本征能量和本征函数一一对 应），每一本征波函数必有确定的宇称（要么奇，要么 偶）。【以上三点也适用于三维情况】
一维定态问题的一般性质
• 如果V(x)存在一个最小值，定态的每一本征能量 必大于该势场的最小值。 • 如果｜x｜趋于无穷大时，粒子总处于经典不允许 区，则该定态必为束缚态。【束缚态的一个判据】 • 一维束缚态必对应着分立的本征能谱。 • 对于规则势场[非奇异V(x)]，一维束缚态必不简 并。
一维线性谐振子的所有定 态波函数都是束缚态
对于一维对称方势阱， 无论势阱多浅多窄，都 有束缚态。
势场具有空间反演对称 性的一维束缚态的基态 必为偶宇称态。
能量本征值的连续谱是指 体系的本征能量可以为任 意数值。
• 在势场V(x)中，束缚态下 粒子能量取值必定在 V min E V 外 mim 范围内 的一组断续值
一维定态问题的一般性质
•若 ( x ) 满足 H ( x ) E ( x ) 则 ( x ) * 也满足此定态 S－方程。 •对于每一个能量本征值，总能找到一实的本征波函数 •如果势场具有空间反演对称性，则 ( x ) 和 ( x ) 都是对应同一本征能量的定态波函数。由此可构建一奇函 数和一偶函数为该本征能量的波函数，但对于束缚态，由
第三章 一维定态问题
第三章 一维定态问题在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrodinger 方程来处理一类简单的问题——一维定态问题。
其好处有： （1）有助于具体理解已学过的基本原理； （2）有助于进一步阐明其他基本原理；（3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来； （4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。
§1 一维无限深势阱 （一） 一维运动当粒子在势场V(x,y,z)中运动时，其定态Schrodinger 方程为：此方程是一个二阶偏微分方程。
若势可写成：123V(x,y,z) = V (x) + V (y) + V (z)形式，则定态Schrodinger 方程可在直角坐标系中分离变量。
令(,,) () () () , x y z x y z X x Y y Z z E E E E ψ==++，代入定态Schrodinger 方程等式两边除以,,)()()()x y z X x Y y Z z ψ=（，得于是定态Schrodinger 方程化为三个常微分方程22ˆ[(,,)](,,)(,,)2HV x y z x y z E x y z ψψψμ=-∇+=[]2222123222()()()()()()(,,)(,,)2d d d X x Y y Z z V x V y V z x y z E x y z dx dy dz ψψμ⎡⎤-+++++=⎢⎥⎣⎦222222123222()()()(,,)222d d d YZ X V x XZ Y V y XY Z V z E x y z dx dy dz ψψψψμμμ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-++-++-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦222222123222111()()()222d d d X V x Y V y Z V z EX dx Y dy Z dz μμμ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎪⎪-++-++-+=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎩⎭所谓一维运动就是指在某一方向上的运动。
大学课件 量子力学 一维定态问题
（4）由归一化条件定系数 A
| m |2 dx
a
| I |2 dx a a
|
II m
|2
dx
a
| III |2 dx
a
a
|
II m
|2
dx
a
a
a
a
| A |2 sin2 m xdx 1
2a
| A |2 cos 2 m xdx 1
（3）宇称
1）空间反射：空间矢量反射的操作
r r
(r ,
t)
(r,
t
)
2）如果有：
(r, t) (r, t)
(r, t) (r, t)
称波函数具有正宇称（或偶宇称）；
(r,
t)
(r ,
t
)
称波函数具有负宇称（或奇宇称）；
3）如果在空间反射下，
(r, t) (r, t)
则波函数没有确定的宇称。
ψ(-a) = ψ(a) = 0。
在阱外U(x)->∞,连
续性和有限性条
则解为：
件要求
I 0, II A sin(x ), III 0.
因为势壁无限高，从物理上考虑，粒子不 能透过势壁，
按波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱 外波函数为0.
使用波函数标准条件 :连续性
1）波函数连续性：
与上面波函数连续性条件导出的结果 A sin(-αa + δ)= 0 矛盾，二者 不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续。
Asin(a )0 Asin(a )0
Asin(a )cos Asin(a )cos
Acos(a )sin 0 Acos(a )sin 0
15(4)15-8 自由粒子薛定额方程,一维定态问题.ppt
2a
0
E
p2 2m
0
能量本征方程：
(
x)
2m 2
E
U(
x)
(
x)
0
解方程，求出能量本征值谱 En, n 1,2,3,、
本征波函数集合n, n 1,2,3,。
无限深方势阱中粒子的波函数可以表示成
(x,t)
C
n
n
(
x
)e
i
Ent
n
Cn
* n
(
x)
(
x,0)dx
(x,0) 为给定的初始时刻的状态。
t
)
n
(
x)e
i
Ent
,
n
1,2,3,
通解可写成定态解叠加的形式
(x,t)
Cnn( x, t)
C
n
n
(
x
)e
i
En
t
n
n
(x,t)
Cn
n
(
x
)e
i
Ent
n
式中Cn称为展开系数。
后面证明，给定初始时刻的状态Ψ(x,0)， Cn 可按下式计算
Cn
* n
(
x)
(
x,0)dx
若势函数不显含时间，则薛定谔方程的求解，
几个星期后，薛定谔又作了一次报告。开头就兴奋 地说：你们要的波动方程，我找到了！这个方程，就 是著名的薛定谔方程。
薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在量 子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是一 样的。
同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基本 原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确性 也只能靠实验来检验。
第3章 一维定态问题
2 d ( x) 2mE 2 2 k ( x) 0 令： k 2 则： 2 dx
通解：
x Aeikx Beikx C coskx D sin kx
A, B, C, D 为常数，由标准条件和归一化条件确定。 ka ka a ka ka a C cos D sin 0 x C cos D sin 0 x 2 2 2 2 2 2
（3）能量间隔：
(n 1) 2 2 2 n 2 2 2 2 2 E n E n1 En (2n 1) 2 2 2m a 2m a 2m a2
n一定， a一定，
a En 0
En 2n 1 n En 2 0 En n En
2
V
a 时 2
d 2 ( x) 2 x x ( x ) ( x ) A ' e B ' e dx2
由有限条件，当
x a 2 x
( x) 0
粒子不可以进入Ⅱ区
I区： V 0
2 d 薛定谔方程： ( x) 2m E ( x) 0 dx2 2
( x)
E2
1 ( x)
n 1, 2,
a n sin x n 1, 2,3 2 a
E1
非对称二维无限深势阱
0 0 x a,0 y b V ( x, y) others
2 n12 n2 En ( 2 2) 2m a b 2
( p) ( p)
2
2
4 a
pa cos 2 2 2 2 2 a p
2
3
8.非对称一维无限深势阱
4 ( x)
V ( x)
一维定态问题
ik (A B) ik1D
得
k1 D A (1 ) 2 k
k1 D B (1 ) k ， 2
x0 x0
结果有
k 1 ikx D k 1 ikx D (1 )e (1 )e u E (x) 2 k 2 k ik1x De
讨论： 在E V0 时，区域 x 0 有一沿x方向传播 的平面波，显然，
ji Re( * i ˆx p k D2 k i ) (1 1 )2 m 4 k m
0 。
（3）振荡定理：当分立能级按大小顺序排列， 一般而言，第n+1条能级的波函数，在其取值 范围内有n个节点（即有n个x点使 u(xi ) 0 ，不 包括边界点或∞远）。
1(x)
2(x)
3(x)
4(x)
( 4）在无穷大位势处的边条件：首先讨论V(x) 有有限大小的间断点，由方程
2 d2 ( V ( x )) u ( x ) Eu ( x ) 2m dx 2
这表明，在无穷大的位势处，波函数为0， 边界上要求波函数连续，但并不要求再计及导 数的连续性。但，几率密度和几率流密度矢 总是连续的。
§3.2阶梯位势：----最简单的定态问题
V0 V( x) 0 x0 x0
(1) 当
E V0
x0
2 d2 ( V0 )u( x ) Eu ( x ) 2 2m dx
ˆx *p ji Re( i i ) = m
k D 2 2 (1 ( ) ) m 4 k
iii. 在区域，x 0 也有左的几率流密度，即 反射几率流密度矢 2 k D 2 ˆ p * x = x0 (1 ( ) ) jR Re( R R )
第五章-一维定态问题
§5 - 5 一维定态问题在势场)(r V 中运动的粒子的薛定谔方程：),(])(2[),(i 22t V mt t r r r ψψ+∇-=∂∂ ,对应定态薛定谔方程：) ()(]) (2[22r r r ψψE V m=+∇- ,(三维)) ()(]) (d d 2[222x E x x V xm ψψ=+- ,(一维)用定态薛定谔方程来处理一些一维问题，量子体系的许多特征都可以在这些比较简单的问题中体现出来。
一 势能曲线势能是保守力场中只与位置相关的函数。
势能曲线给出了一个系统的势能分布及描绘了保守力的分布。
保守力 ＝ 势能的负值x pdF E dx =-x 区间 pd E dx x F(0, a) < 0 > 0 (沿x 方向) 势阱(a: 不受力的平衡位置)：粒子将被 (a, c) > 0 < 0 (反x 方向) 束缚其中(b, c) > 0 < 0 (反x 方向) 势垒(c ：不稳定平衡位置)：粒子易于(c, d) < 0 > 0 (沿x 方向)离开平衡位置若粒0k aE E E =+若粒子越过该势垒，能量守恒要求0 ank c k E E E E =+< 所以， 这个粒子不可能越过势垒bd。
研究一个量子体系（如氢原子，金属中的自由电子的运动，双原子分子，原子核的结构，一个原子核与另一核的相互碰撞、散射等），几乎都可以从体系的能量关系出发进行分析，而绕开相互作用的力，研究一个波动的微观粒子在一个势场中运动规律。
这就要解粒子在势场中运动的薛定谔方程，得出相应的运动规律。
二无限深方势阱离散谱( 1 ) 无限深方势阱粒子处在无限深方势阱中⎩⎨⎧∞<<=)0(.)0(,0)(a x x a x x V ≥或≤(5. 65) ● 势阱外势阱壁无限高，在势阱壁上及势阱外波函数为零(粒子不可能穿透无限高的势阱壁))0(.0)(a x x x ≥或≤=ψ● 势阱内当0 < x < a 时，一维定态薛定谔方程可化为02d d 222=+ψψE m x.(5. 66) 令Em k 2=,(5. 67)则方程(5. 66)的解可表示为)(sin )(δψ+=x k A x ,(5. 68)其中A ，k 和δ 是待定常量: A 由归一化条件确定，k 和δ由边条件确定。
第2章-2.一维定态问题 西南大学量子力学PPT(考试必备)
xa / 2
( 1 )'
a
2
)
(2) ， 上式化为 cot ( 2 )'
12
a
2
，
a
2
cot
2 2
2 2
4
b
ma 2V0 2 2
2
解超越方程
3 2 1 0 0 1
2+2=R2
ma V0 2 4 V0 a 2m
1、对势阱外( x a 2 ,经典禁止区)
x
有限深方势阱
V0 V x 0
2014-1-11
a 2
a 2
x 2 0 , 2mV0 E
Ae x , x x Be xa 2 x a 2
束缚态要求波函数在 x 时为零
在x=a点,波函数及其一阶导数的连续条件
Be ika Ce a De a ikAe ika Ce a De a
1 ika a ik C e 1 B 2 1 ika a ik D e 1 B 2
令 k 2mE
0
a
x
3.1.1无限深势阱
解：
x A sin( kx )
A和是待定常数.
0 0 x a V x 0 , x a
2014-1-11
因势壁无限高,粒子不可能透过势 壁而出现在势阱之外,故势阱外波 函数为零
x 0 , x 0 , x a
E
x 2 x 0, 2mV0 E
0
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2
2(x,t) x2
p2
(x,t)
i p x
2
2 x2
p2
算符(operator) 对波函数的运算、变换 或操作。例如
t
(x,t)
：算符
t
代表对波函数关于
t
求导
x
(x,t)
：算符
x
代表对波函数关于
x
求导
xˆ (x,t) x (x,t) ：算符 xˆ 代表用 x 乘波函数
V x
x
E0
ⅠⅡ
Ⅲ
oa
x
结论：粒子在势垒内部和外部都有出现的可能。
设
3
2 x2 a
1）有限性：在空间任何有限体积元V中找到
粒子的概率 ( Ψ 2 dV ) 必须为有限值。
V
归一化：在空间各点的概率总和必须为1。
归一化条件： Ψ r,t2dV 1, ( 全空间)
若
Ψ
r,t
2
dV
A，
则
1 — 归一化因子
A
1 Ψ r,t 2 dV 1
薛定谔方程
一、自由粒子薛定谔方程
自由粒子波函数（一维） i (p x Et)
(x,t) Ae
(x,t) A( iE)e i (p x Et) i E(x,t)
t
i (x,t) E (x,t)
t
i
t
E
i (x,t) p (x,t) x
n 1, 2, 3,
基态能级的能量：
h2 E1 8ma2
激发态能级的能量： 4E1 , 9E1 ,
最小能量E1不为零
粒子不可能静止不动，满足不确定关系。
En
n2h2 8ma2
n2E1
即本征值
能级间隔
h2[(n 1)2 n2 ]
En En1 En
8ma2
h2n 4ma2
a
得： x A sin n x n 1, 2, 3,
a
x A sin n x n 1,2,3,
a
归一化条件： a 2 dx a A2 sin2 n xdx 1
0
0
a
A 2 a
于是，波函数：
x 2 sin n x n 1, 2, 3.......
aa
x,t
2
n sin
i Et
x.e
n
1, 2, 3.......
aa
4.讨论解的物理意义
1)由于波函数标准条件和边界条件的约束，E 只取能某 些特定值，即无限深势阱中粒子的能量是量子化的。
k2
2mE
2
k n n 1,2,3,
a
得：En
n2h2 8ma2
n2E1
3.用归一化条件和标准化条件确定积分常数
方程解 x Asinkx 0 x a
x 0, x a : 0
边界条件： 0 0 0
x Asinkx
边界条件： a 0
A不可能为零
sinka 0
k n n 1, 2, 3,
一、一维方势垒问题：
V x
势垒
x
E0
E
ⅠⅡⅢ
o
ax
势函数
Vx
0 E0
, ,
x0,xa 0xa
Ⅰ区（x<0）薛定谔方程为：
2 1
x 2
k12 1
0
k12
2mE 2
1 A1 sin(k1x 1 )
Ⅲ(x>a) 区薛定谔方程为：
E
V V0
EⅠ Ⅱ Ⅲ
三维：
i
t
2 2m
2 x
2
2 y2
2 z2
U (r ,
t )
引入拉普拉斯算符：
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
薛定谔方程：
i
t
2 2m
2
U
(r ,
t
)
i
波函数
1、波函数（wave function）
量子力学假定：微观粒子的状态用波函数表示。
平面简谐波函数： y = Acos( t-kx)
复数表示： y Ae i( t kx)
概率波波函数：
一维 Ψ（x, t) ，
三维
Ψ(r , t)
2、波函数的统计解释
物质波是“概率波”，它是怎样描述粒子在空间各处出现的概率呢？
E(x)
－（2）
i Et
方程（1）的解为：T(t) Ce
C 为积分常量
2 d2 [ 2m dx2 U(。x)](x) E(x)
一维定态薛定谔方程
数学上：E 不论取何值，方程都有解。 物理上：E 只有取一些特定值，方程的解才能满足波函数的 条件（单值、有限、连续）。 满足方程的特定的E 值，称为能量本征值。 ΦE ：与 E 对应的本征波函数。
d
T(t) dt
[(
2
2m
d2 dx2
U(x))(x)]T(t)
除以 (x) T(t) ，得
i
1 dT(t) T(t) dt
1(x)[
2
2m
d2 dx2
U(x)](x)
=E (常数)
i dT (t) ET (t) dt
－（1）
[
2
2m
d2 dx2
U(x)](x)
15-7 波函数 薛定谔方程
薛定谔（1887-1961） 奥地利物理学家。建立 了薛定谔方程，很好的 解释了电子的行为，导 致波动力学出现（1926 年1月）。
除波动力学外，当时 已建立了海森堡的矩阵 力学（当时被称为量子 力学），薛定谔证明了 这两种理论在数学上是 完全等价的。薛定谔由 于建立波动力学（现一 般称为量子力学）而和 狄拉克同获1933年诺贝 尔物理学奖。
2 dV
y
在空间
发现粒子的概率为：
Ψ
r,t
2
dV
Ω
Ψ
(r ,
t
)
不同于经典波的波函数，它无直接的
物理意义，有意义的是 Ψ 2和波函数的位相。
对单个粒子：Ψ 2 给出粒子概率密度分布；
对大量粒子：N Ψ 2给出粒子数的分布；
3、统计解释对波函数提出的要求 根据波函数的统计解释，它应有以下性质：
4、自由粒子的波函数 自由粒子：能量和动量都不变的粒子 与自由粒子相联系的德布罗意波，是一个单
色平面波。 沿+x传播的单色平面波，波函数：
y( x, t) Acos(t kx)
复数形式可写成
y( x, t ) Ae i(t kx)
微观粒子波函数一般是坐标和时间的复函数， 因此采用复数形式的平面波表达式，只要把其 中描述波动性的参量ω、k换成描述粒子性的参 量E、p就可以了。
*(x,t) ：对波函数取复共轭
算符和力学量的对应关系：
i E, t
i p , x
2
2 x2
p2
对于非相对论性自由粒子：
p2 E 算符对应关系： 2m
2 2
i t 2m x2
作用于波函数，
i
2 2
t (x, t) 2m x2 (x, t)
aa
波函数为驻波形式，势阱 中不同位置粒子出现的概 率不相同,峰值处较大。
•两端为波节， 2 0 粒子不能逸出势阱。 •能级越高，驻波波长越短，峰值增多， 2 相同，量子——经典
•归一化条件，曲线下面积相等。
15-8-2 一维势垒 隧道效应
隧道效应： 粒子能量小于势垒而穿 透势垒的现象。
En
En
2 n
0
在 n 很大时，能量趋于连续，这就是经典物理的图象。
a E ma2 h2 E 0
能量趋于连续，回到经典情况。
（2）势阱中不同位置粒子出现的概率不相同。
概率密度：
x 2 2 sin2 n x
aa
x,t
2 n i Et sin x.e
V 0
O
0
V 0 x
a
2 3
x 2
k3 2 3
0
k32
2mE 2
3 A3 sin(k3x 3 )
Ⅱ ( 0 x a )区薛定谔方程为：（E<V0时）
2 2
x 2
k22 2
0
k22
2m(V0 2
E
)
2 A2ek2x B2ek2x B2ek2x
玻恩对 的统计解释(1926) ：波函数 是描述粒子在空
间概率分布的“概率振幅”。其模方
Ψ(r,t) 2 Ψ(r,t)*Ψ(r,t)
代表 t 时刻，在坐标
r
附近单位体积中发现一个粒
子的概率， 称为“概率密度”。
z
在t
时刻，在
r
附近dV
dV 内发现粒子的概率为：
r
x
Ψ(r ,t )
V
一
维
E0
有 限