第三章一维定态问题

III
a
1。单值，成立； 2。有限：当x
-∞， ψ 有限条件要求
C2=0。
d2 dx 2
I
2
I
0
d2
dx
2
II
2 II
0
d2
dx
2
III
2 III
0
I II
C1e x C2e x
A sin(x )
III B1e x B2e x
（3）使用波函数标准条件
I C1e x
n a
(n 0,1,2, )
因
2
2 2
E
所以
E
2 2
2
2
2
n
a
2
n2 22 2 a 2
En
II n
Asinx Asin n
a
x
n2 22 E n 2a2
II n
Asin n
a
x
(n 0,1,2, )
讨论
当n
0时 ：
0，
E0 0
0 II
A
s
in
0
x
状态不存在
0
当n
k时 ：
细致讨论，量子 体系的许多特征都可以在这些一 维问题中展现出来； （4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。
§1 一维无限深势阱
返回
（一）一维运动 （二）一维无限深势阱 （三）宇称 （四）讨论
（一） 一维运动
当粒子在势场 V(x,y,z) 中运动时，其 Schrodinger 方程为：
d 2
dx 2
II ( x)
2
2
E
II
(
x
2 )
0
a xa
d2 dx 2
III ( x )
2
2
(V
E )
III ( x )
0
xa
方程可 简化为：
d2 dx 2
I
2
I
0
d2
dx
2
II
2 II
0
d2
dx
2
III
2 III
0
V(x)
I
II
-a 0
III a
V(x)
I
II
-a 0
Ex X(x)
[
2
2
d2 dy2
V2 ( y)]Y ( y)
E yY ( y)
[
2
2
d2 dz 2
V3 (z)]Z (z)
Ez Z(z)
令 ψ(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z)
E = Ex + Ey + Ez
于是S-方程化为三个常微分方程：
所谓一维运 动就是指在 某一方向上 的运动。
若ψI(-a)’ = ψII(-a)’， 则有，0 = A αcos(-αa + δ)
与上面波函数连续条件导出的结果 A sin(-αa + δ)= 0 矛盾，二 者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续。
Asin(a )0 Asin(a )0
Asin(a )cos Asin(a )cos
1 2 d 2
XHale Waihona Puke Baidu
2
dx2
X
V1( x)
Y
2
dy2
Y V2( y)
Z
2
dz2
Z
V3(z)
E
[ 2
2
d2 dx 2
V1 ( x)]X ( x)
Ex X (x)
2 d 2
[
2
dy 2
V2 ( y)]Y ( y)
E yY ( y)
2 d 2
[ 2 dz 2 V3 ( z )]Z ( z ) Ez Z ( z )
2
2
2
V
( x,
y,
z)
( x,
y,
z)
E
( x,
y,
z)
设：V ( x, y, z) V1( x) V2( y) V3(z)
令： (x, y, z) X(x)Y ( y)Z(z)
2 2
d2
dx2
d2 dy2
d2 dz2
X ( x)Y (
y)Z(z)
V1( x) V2(
y) V3(z)
II k
Asin k
Hˆ [ 2 2 V ( x, y, z)] ( x, y, z) E ( x, y, z) 2
此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成：
V(x,y,z) = V1(x) + V2(y) + V3(z)
形式，则 S-方程可在直角坐标系中分离变量。
[
2
2
d2 dx 2
V1 ( x)]X ( x)
第三章 一维定态问题
§1 一维无限深势阱
§1
§2 线性谐振子
§2
§3 一维势散射问题
§3
在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrodinger 方程来处理一类简单的问题——一维 定态问题。其好处有四：
（1）有助于具体理解已学过的基本原理； （2）有助于进一步阐明其他基本原理； （3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行
( x,
y,
z)
E
( x,
y,
z)
YZ
2 2
d2 dx2
X V1( x)
XZ
2 2
d2 dy2
Y V2( y)
XY
2 2
d2 dz 2
Z V3(z)
E ( x,
y, z)
等式两边除以（x, y, z) X ( x)Y ( y)Z(z)
1 2 d 2
1 2 d 2
2
2
2
(V
E)
I (a)
lim
C1e
a
0
所以
I 0
同 理 ： III 0
从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。
根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零，特别是
ψ(-a) = ψ(a) = 0。
则解为：
I 0, II A sin(x ), III 0.
使用标准条件 3。连续：
2
2
d2 dx 2
(
x)
V
(
x )
(
x)
E ( x)
d2 dx 2
( x)
2
2
[V ( x)
E ]
( x)
0
势V(x)分为三个区域，
用 I 、II 和 III
表示，
其上的波函数分别为 ψI(x),ψII(x) 和 ψIII (x)。则方程为：
d 2
dx 2
I (x)
2
2
(V
2
E )
I (x)
0
x a
Acos(a )sin 0 Acos(a )sin 0
(1) (2)
(1)+(2)
cos(a) sin 0 (3)
(2)-(1)
sin(a) cos 0 (4)
两种情况：
由（4）式
I . sin 0 0 则 cos 1
csionsa00 scionsa00
sin a 0
a n
其中
E Ex Ey Ez
返回
（二）一维无限深势阱
0, V ( x)
| x | a | x | a
V(x)
I
II
III
求解 S — 方程 分四步：
-a 0 a
（1）列出各势域的一维S—方程
（2）解方程
（3）使用波函数标准条件定解
（4）定归一化系数
（1）列出各势域的 S — 方程
1）波函数连续：
I 0, II A sin(x ), III 0.
V(x)
I (a) II (a) Asin(a ) 0,
I
II
III
II (a) III (a)
Asin(a ) 0.
2）波函数导数连续：
-a 0 a
在边界 x = -a，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是因为：