2018届苏教版 导数的应用 单元测试

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考点39 导数的应用一、选择题1.（2016·重庆高考理科·Ｔ8）设函数)(x f 在R 上可导,其导函数为)(x f ',且函数)()1(x f x y '-=的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )(A)函数)(x f 有极大值)2(f 和极小值)1(f (B)函数)(x f 有极大值)2(-f 和极小值)1(f (C)函数)(x f 有极大值)2(f 和极小值)2(-f (D)函数)(x f 有极大值)2(-f 和极小值)2(f【解题指南】利用函数的导数的应用即不等式的性质,分类讨论求解. 【解析】选D.由图象可知,当2-<x 时,01,0>->x y ,所以0)(>'x f , 当12<<-x 时,01,0>-<x y ，所以0)(<'x f ， 当21<<x 时,01,0<->x y ，所以0)(<'x f ， 当2>x 时,01,0<-<x y ，所以0)(>'x f ， 所以函数)(x f 有极大值f (2)-和极小值f (2).2.（2016·重庆高考文科·Ｔ8）设函数)(x f 在R 上可导,其导函数为)(x f ',且函数)(x f 在2-=x 处取得极小值,则函数)(x f x y '=的图象可能是( )【解题指南】根据函数极值的概念结合函数的性质进行求解. 【解析】选 C.由极小值的定义可知,当2-<x 时,0)(<'x f ,此时0)(>'=x f x y ,当2-=x 时,0)(='x f ,此时0)(='=x f x y , 当02<<-x 时,0)(>'x f ,此时0)(<'=x f x y , 当0>x 时,0)(>'x f ,此时0)(>'=x f x y . 二、解答题3.（2016·大纲版全国卷高考理科·Ｔ20）设函数x ax x f cos )(+=，x [o,]∈π.（Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）设)(x f ≤x sin 1+，求a 的取值范围.【解题指南】函数中含有三角函数，要利用三角函数的有界性，结合导数判断函数)(x f 的单调性；构造函数求参数a 的取值范围.由于本题的特殊性，也可将)(x f ≤x sin 1+变形为ax ≤1)4sin(2+-πx ，采用数形结合法求解.【解析】（Ⅰ） 函数x ax x f cos )(+=，则x a x f sin )(-='. x [o,]∈π，1sin 0≤≤∴x ，①当1≥a 时，0)(≥'x f ，当且仅当2,1π==x a 时，0)(='x f ，)(x f 在x [o,]∈π上单调递增；②当0≤a 时，0)(≤'x f ，当且仅当π==x a ,0或0=x 时，0)(='x f ，)(x f 在x [o,]∈π上单调递减； ③当10<<a 时，令0)(='x f ，则1x arcsin a =，a x arcsin 2-=π. 当a x arcsin 0<<时 0)(>'x f ，函数)(x f 单调递增；当a x a arcsin arcsin -<<π时，0)(<'x f ，函数)(x f 单调递减； 当ππ<<-x a arcsin 时，0)(>'x f ，函数)(x f 单调递增；（Ⅱ）由)(x f ≤x sin 1+，得x ax cos +≤x sin 1+，即ax ≤1)4sin(2+-πx ，构造函数ax x g =)(1，=)(2x g 1)4sin(2+-πx ，如图所示，若使ax ≤1)4sin(2+-πx 恒成立，则函数ax x g =)(1的图象总在函数=)(2x g 1)4sin(2+-πx 的图象的下方.当x [o,]∈π，)2,(πA ,π2=OA k ,∴a 的取值范围为]2,(π-∞.4.（2016·大纲版全国卷高考文科·Ｔ21）已知函数ax x x x f ++=2331)(. （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）设)(x f 有两个极值点1x ，2x ，若过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线)(x f y =上，求a 的值.【解题指南】（Ⅰ）对函数ax x x x f ++=2331)(求导之后进行讨论；（Ⅱ）中的求解，抓住)(x f 有两个极值点1x ，2x 及过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线)(x f y =上这个关键的条件，确定)(1x f 及)(2x f 与a 之间的关系.【解析】（Ⅰ）由函数ax x x x f ++=2331)(，1)1(2)(22-++=++='a x a x x x f ， (ⅰ)当1≥a 时，0)(≥'x f ，当且仅当1=a ，1-=x 时，0)(='x f ，所以)(x f 在R 上是增函数.(ⅱ)当1<a 时，令0)(='x f ，即01)1(2=-++a x ， 解得a x ---=111，2x 1=-当∈x )11,(a ----∞时，0)(>'x f ，)(x f 是增函数； 当∈x ,11(a --- )11a -+-时，0)(<'x f ，)(x f 是减函数； 当∈x ),11(+∞-+-a 时，0)(>'x f ，)(x f 是增函数. （Ⅱ）由题设知，1x ，2x 是方程0)(='x f 的两个根，故有1<a ，a x x --=1212，a x x --=2222.12131131)(ax x x x f ++==12111)2(31ax x a x x ++-- 1213231ax x +=1132)2(31ax a x +--= 3)1(321a x a --= 同理，3)1(32)(22ax a x f --=.因此直线l 的方程为3)1(32ax a y --=，直线l 与x 轴的交点为)0,(0x ，得)1(20-=a ax ， )1(2])1(2[])1(2[31)(2230-+-+-=a a a a a a x f )61712()1(24232+--=a a a a . 因为点)0,(0x 在曲线)(x f y =上，故0)(0=x f ， 解得0=a 或32=a 或43=a5.（2016·重庆高考理科·Ｔ16）设,12321ln )(+++=x x x a x f 其中R a ∈,曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线垂直于y 轴. (1)求a 的值;(2)求函数)(x f 的极值.【解题指南】根据导数的几何意义列出等式求出函数的解析式进而可求出函数的极值. 【解析】(1)因,12321ln )(+++=x x x a x f 所以,2321)(2+-='x x a x f 由于曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线垂直于y 轴,故该切线的斜率为0,即,0)1(='f 从而02321=+-a ,解得1-=a . (2)由(1)知),0(12321ln )(>+++-=x xx x x f.2)1)(13(212323211)(2222x x x x x x x x x f -+=--=+--='令.0)(='x f 解得31,121-==x x (因312-=x 不在定义域内,舍去). 当)1,0(∈x 时, .0)(<'x f 故)(x f 在)1,0(上为减函数; 当),1(+∞∈x 时, .0)(>'x f 故)(x f 在),1(+∞上为增函数. 故)(x f 在1=x 处取得极小值3)1(=f .6.（2016·重庆高考文科·Ｔ17）已知函数c bx ax x f ++=3)(在点2=x 处取得极值16-c . (1)求b a ,的值;(2)若)(x f 有极大值28,求)(x f 在[]3,3-上的最小值.【解题指南】根据题意可先利用极值的定义求出b a ,的值,然后再利用导数求出函数在[]3,3-上的最小值. 【解析】(1)由题意知f (2)c 16,f (2)0,=-⎧⎨'=⎩即8a 2b c c 16,12a b 0,++=-⎧⎨+=⎩解得12,1-==b a .(2)由(1)可知c x x x f +-=12)(3,所以123)(2-='x x f ,解0)(='x f ,可得2±=x ,极大值为2816)2(=+=-c f ,解得12=c , 所以1212)(3+-=x x x f .又3)3(,4)2(,28)2(,21)3(=-==-=-f f f f , 所以)(x f 在[]3,3-上的最小值为.4)2(-=f7.（2016·四川高考文科·Ｔ22）已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线22na y x =-+与x 轴正半轴相交于点A ，设()f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距. （Ⅰ）用a 和n 表示()f n ；（Ⅱ）求对所有n 都有()1()11f n nf n n -≥++成立的a 的最小值； （Ⅲ）当01a <<时，比较111(1)(2)(2)(4)()(2)f f f f f n f n ++⋅⋅⋅+---与 (1)(1)6(0)(1)f f n f f -+-的大小，并说明理由.【解析】（I ）由已知得，交点A 的坐标为⎫⎪⎪⎭，对212.2=-+'=-n y x a y x 求导得则抛物线在点A 处的切线方程为：,().==+=n n y x y a f n a 即则（II ）由（I ）知f(n)=n a ,则()121()11n f n na n f n n -≥≥+++成立的充要条件是， 即知，21n a n ≥+对于所有n 成立， 特别地，取n=1得到a≥3.当a=3，n≥1时，013(12)222n 1==+=++⋯+≥+ n n n n n n n n a C C C .当n=0时， 21n a n =+，故a=3时，11)(1)(+≥+-n nn f n f 对所有自然数n 均成立.所以满足条件的a 的最小值为3. （III ）由（Ⅰ）知()k f k a =. 下面证明：111f (1)f (n 1)6.f (1)f (2)f (2)f (4)f (n)f (2n)f (0)f (1)-+++⋯+>----首先证明：当0<x<1时，216x x x>-.设函数2()6()1,01=-+<<g x x x x x ，则)32(18)('-=x x x g .当320<<x 时,g ′(x)<0; 当0)('132><<x g x 时，，故g （x ）在区间（0，1）上的最小值min 21()()039g x g ==>， 所以，当0<x<1时，g （x ）>0,即得216x x x >-.由0<a<1知2101(),6,k k k ka k N a a a*<<∈>-因此从而 224n 2n 111f (1)f (2)f (2)f (4)f (n)f (2n)111a a a a a a++⋯+---=++⋯+--- 12(1)(1)6()66.1(0)(1)+--+>++⋯+==-- n n a a f f n a a a a f f8.（2016·四川高考理科·Ｔ22）已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线22na y x =-+与x 轴正半轴相交于点A ，设()f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距. （Ⅰ）用a 和n 表示()f n ；（Ⅱ）求对所有n 都有33()1()11f n n f n n -≥++成立的a 的最小值； （Ⅲ）当01a <<时，比较11()(2)nk f k f k =-∑与27(1)()4(0)(1)f f n f f -- 的大小，并说明理由.【解题指南】（Ⅰ）先用,a n 表示切点A 的坐标、切线的斜率，利用点斜式求切线方程；（Ⅱ）先转化，再求解.33()1()11f n n f n n -≥++对所有n 成立，即321n a n ≥+对所有n 成立.特别地，取2n =，得a ≥验证0,1n =，3n ≥时结论是否成立. （Ⅲ）21111()(2)nnk kk k f k f k a a ===--∑∑，27(1)()274(0)(1)41n f f n a a f f a--=-- ,易知当01a <<时，21274a a a ≥-，故先证明21274a a a ≥-(01)a <<，构造函数227()()1(01)4g x x x x x =-+<<，利用导数研究函数的单调性、求最值加以证明.【解析】（Ⅰ）由已知得，交点A 的坐标为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,2an，对n21y y2x ,2a x'=-+=-,求得导则抛物线在点A 处的切线方程为nny y ,f (n).a a ==+=即则（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(n)=an,则1211)(1)(333+≥+≥+-n n n n f n f a n 成立的充要条件是. 即知，123+≥n an对于所有n 成立.特别地，取n=2得到a≥17.当a 3=≥时,⋯+∙+∙+∙+==>+33)31(43322131C C C an n n nnn333322131∙+∙+∙+≥C C C n n n⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=-)52(52121)2(23n n n n >2n 3+1.当n=0,1,2时，显然n321n ≥+.故a=17时，33f (n)1n f (n)1n 1-≥++对所有自然数n 都成立. 所以满足条件的a 的最小值为17. （Ⅲ）由（Ⅰ）知kf (k )a =，则∑∑==-=-nk nk kkaa k f k f 1121)2()(1，aa f f n f f a n--=--1)1()0()()1(， 下面证明：.)1()0()()1(427)2()(11f f n f f k f k f nk --∙>-∑=首先证明：当0<x<1时，2127x x x 4≥- 设函数10,1)(427)(2<<+-=x x x x g x ， )32(481)('-=x x x g 则，当0)('132;0x '320><<<<<x g x g x 时，当）（时，. 故g(x)在区间（0,1）上的最小值g(x)min =g 0)32(=.所以，当0<x<1时，g(x)≥0,即得x x x 42712≥-. 由0<a<1知0<a k <1(N k *∈),因此aaa kkk42712≥-，从而 ∑∑==-=-nk kknk aa k f k f 1211)2()(1n k k 1n 1n274a 2741a a 2741a27f (1)f (n).4f (0)f (1)aa a =+≥-=∙-->∙--=∙-∑关闭Word 文档返回原板块。