2014年秋季学期新版新人教版九年级数学上册21.2、降次——解一元二次方程课件20
2014年秋新人教版九年级数学上21.2降次──解一元二次方程巩固练习课件【倍速课时学练】
8 解：两边都除以3，得 x x 1 0. 3
2
移项，得 配方，得
8 x x 1. 3
2
8 4 4 2 x x 1 . 3 3 3
4 5 x . 3 3
2 2
2
2
倍 速 课 时 学 练
即
所以
( 3 ) ( x － 2 ) ( x － 3 ) = 12
解： 原方程变形化为一般式为 x2 －5x － 6 = 0. 分解因式 ( x － 6 ) ( x + 1 ) = 0. x － 6 =0 或 x + 1 = 0，
倍 速 课 时 学 练
x1 = 6 , x2 = －1.
试一试
选择恰当的方法解下列方程： ( 1 ) x ( 5x + 4 ) = 5 x + 4 ； (2)
是整个挂图面积的72％，那么金边的宽应该是多少？
提示：设金边的宽是x cm. 根据题意，得
( 90 + x )( 40 + x ) ×72%=90×40.
倍 速 课 时 学 练
金边的宽应该是10 cm．
3. 某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25 m）另三 边用木栏围成，木栏长40 m．
即 倍 速 课 时 学 练
3 5 x . 2 4
3 5 x . 2 2
2
2
3 5 所以 x 2 2 3 5 x1 2
3 5 x , 2 2 x2 3 5 . 2
2 3 3 x 8x 3 0
大意是说：今推开双门，门框距离门槛1尺，双门间的缝隙为2寸，
那么门的宽度（两扇门的和）为几尺．
人教版初中数学九年级上册第二十一章《一元二次方程》21.2降次-解一元二次方程教案
-将现实问题抽象为一元二次方程，并运用所学知识解决。
举例解释：
-配方法中的移项和加、减同一个数以形成完全平方的过程，如将x²-6x+9转化为(x-3)²；
-在公式法中，对于方程2x²-5x+2=0，学生需要计算判别式Δ=(-5)²-4*2*2=25-16=9，并理解Δ>0时方程有两个不同实数根；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一元二次方程的四种解法：直接开平、配方法、公式法和因式分解法。对于难点部分，如配方法和公式法，我会通过具体方程的求解过程来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过图形的折叠和剪裁，学生可以直观地理解配方法中的完全平方概念。
人教版初中数学九年级上册第二十一章《一元二次方程》21.2降次-解一元二次方程教案
一、教学内容
人教版初中数学九年级上册第二十一章《一元二次方程》21.2降次-解一元二次方程教案：
1.掌握一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0）；
2.了解求解一元二次方程的四种方法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法；
我也观察到，在总结回顾环节，有些学生对所学知识的掌握并不牢固，可能需要更多的复习和练习。因此，我计划在接下来的课程中，增加一些巩固性的练习，特别是针对那些难度较大的解法，以确保学生能够扎实掌握。
最后，我认识到，教学过程中要不断关注学生的反馈，根据他们的学习情况调整教学策略。在今后的教学中，我会更加注重因材施教，针对不同学生的学习能力和兴趣，设计更加个性化的教学活动。同时，我也会鼓励学生提出自己的疑问，并及时给予解答，帮助他们克服学习中的困难。
人教版九年级数学上册课件：21.2.1降次解一元二次方程
开平方得： x 3 4
∴原方程的解为：x1 1, x2 7
范例研讨运用新知
例2: 你能用配方法解方程
2x2 x 6 0 吗？
解:二次项系数化为1得：x2 1 x 3 0
2
移项得： x2 1 x 3
2
配方得：x2 1 x (1)2 3 (1)2
x 5，
这种解法叫做什么?
直接开平方法
即 x1 5，x2 5
可以验证，5和-5是方程的根，但是棱长不能是负值， 所以正方体的棱长为5dm.
把此方程“降次”， 转化为两个一元 一次方程
怎样解方程(2x1)2 5及 方程 x2 6x 9 2?
方程 x2 6x 9 2的左边是完全平方形式，
观察(1)(2)看所填的常 数与一次项系数之间
有什么关系?
(3) x2 4x 22=( x 2 )2
(4) x2 共同点：
px
(
p 2
)2=(
x
p
2 )2
左边:所填常数等于一次项系数一半的平方.
合作交流探究新知
问题： 要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且 面积为16m2， 场地的长和宽应各是多少？
• 难点： 从实际问题中抽象出一元二次方程，
把一元二次方程化为一般形式并能正确识 别一般式中的项和系数。
完全平方公式：
a2 2ab b2 (ab)2; a2 2ab b2 (ab)2.
填一填
(1) x2 2x __1_2 __ (x __1_)2
(2) x2 8x _4__2__ (x__4_)2 (3) y2 5y （__52_）_2 _ ( y __52 _)2
新人教版九年级数学上册21.2降次--解一元二次方程(第六课时)
22．2降次--解一元二次方程（第六课时）（习题课）◆随堂检测1、关于x 的方程0232=+-x ax 是一元二次方程，则（ ）A 、0>aB 、0≠aC 、1=aD 、0≥a2、用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（ ）A 、522=-x xB 、5422=-x xC 、542=+x xD 、522=+x x3、方程x x x =-)1(的根是（ ）A 、2=xB 、2-=xC 、0,221=-=x xD 、0,221==x x4、已知2是一元二次方程240x x c -+=的一个根，则方程的另一个根是______________．5、用适当的方法解下列方程：（1）0672=+-x x ；（2）)15(3)15(2-=-x x ； （3）0362=+-x x ；（4）22510x x --=.◆典例分析 解方程022=--x x .分析:本题是含有绝对值的方程,可以转化为一元二次方程求解.转化的方法可以不同,请同学们注意转化的技巧.解法一:分类讨论（1）当0≥x 时，原方程化为022=--x x ，解得：,21=x 12-=x （不合题意，舍去）（2）当0<x 时，原方程化为022=-+x x解得：21-=x ,12=x （不合题意，舍去）∴原方程的解为2,221-==x x .解法二:化归换元 原方程022=--x x 可化为220x x --=, 令y x =，则220y y --=（0y ≥），解得12,y =21y =-（舍去），当12y =时,2x =,∴2x =±,∴原方程的解为2,221-==x x .◆课下作业●拓展提高1、方程062=--x x 的解是__________________．2、已知1x =-是关于x 的方程2220x ax a +-=的一个根，则a =_______．3、12、写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：_________________．4、当代数式532++x x 的值为7时，代数式2932-+x x 的值为（ ）A 、4B 、2C 、-2D 、-45、已知x 是一元二次方程2310x x +-=的实数根，求代数式235(2)362x x x x x -÷+---的值． 6、阅读材料，解答问题： 材料：为解方程222(1)5(1)40x x ---+=,我们可以视2(1)x -为一个整体.然后设21x y -=,原方程可化为2540y y -+=①.解得121,4y y ==.当11y =时，211x -=,即22x =，∴x =当24y =时，214x -=,即25x =，∴x =∴原方程的解为1234x x x x ===解答问题：（1）填空：在由原方程得到①的过程中利用_______法，达到了降次的目的，体现了_______的数学思想.（2）解方程4260x x --=. ●体验中考1、（2009年山西）请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ．2、（2009年湖北襄樊）如图，在ABCD Y 中，AE BC ⊥于E ，AE EB EC a ===，且a 是一元二次方程2230x x +-=的根，则ABCD Y 的周长为（ ）A．4+．12+．2+ D．212+3、（2008年，凉山）已知反比例函数ab y x=，当0x >时，y 随x 的增大而增大，则关于x 的方程220ax x b -+=的根的情况是（ ） A ．有两个正根 B ．有两个负根C ．有一个正根一个负根D ．没有实数根A DC EB(提示：本题综合了反比例函数和一元二次方程根与系数的关系两个重要的知识点，请认真思考，细心解答.)4、（2008年，齐齐哈尔）三角形的每条边的长都是方程2680x x --=的根,则三角形的周长是_________________．(点拨：本题综合考查了一元二次方程的解法和三角形的有关知识，特别要注意应用三角形任意两边之和大于第三边这个定理.)参考答案：◆随堂检测1、B. 依据一元二次方程的定义可得.2、C.3、D. 注意不能在等式两边同除以含有未知数的式子.本题用因式分解法好.4、2 依据一元二次方程根与系数的关系可得224x =∴方程的另一个根是22x =.5、解：（1）用因式分解法解0672=+-x x 得:121,6x x ==；（2）用因式分解法解)15(3)15(2-=-x x 得:1214,55x x ==；（3）用配方法解0362=+-x x 得:1233x x ==（4）用公式法解22510x x --=得:12x x ==. ◆课下作业●拓展提高1、123,2x x ==-. 选用因式分解法较好.2、2-或1 将1x =-代入方程2220x ax a +-=得:220a a +-=,解得122,1a a =-=.3、答案不唯一：如2230x x +-=.4、A. 当2357x x ++=时，即232x x +=，∴代数式223923(3)23224x x x x +-=+-=⨯-=.故选A.5、解：∵2310x x +-=，∴231x x +=. 化简:223539(2)3623(2)2x x x x x x x x x x ---÷+-=÷---- 3213(2)(3)(3)3(3)x x x x x x x x --=⨯=-+-+∵∵∴ 21113(3)313x x ===+⨯， ∴代数式235(2)362x x x x x -÷+---的值是13． 6、解:（1）换元法,转化. （2）设2x y =,原方程可化为260y y --=①.解得123,2y y ==-.当13y =时，即23x =,∴x =当22y =-时，22x =-无解.∴原方程的解为12x x =.●体验中考1、答案不唯一，如21x =2、A.解析：本题考查平行四边形及一元二次方程的有关知识，∵a 是一元二次方程2230x x +-=的根，∴1a =，∴AE=EB=EC=1，∴BC=2，∴ABCD Y 的周长为4+，故选A 。
人教版九年级上册数学教学设计《降次——解一元二次方程(4)》
【应用】
例：不解方程，判定方程根的情况
（1）16x2+8x=-3 （2）9x2+6x+1=0
（3）2x2-9x+8=0 （4）x2-7x-18=0
分析：不解方程，判定根的情况，只需用b-4ac的值大于0、小于0、等于0 的情况进行分析即可．
过程
方法
从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目。
情感
态度
价值观
继续体会由未知向已知转化的思想方法．
教学重点
理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况．
教学难点
用根的判别式b2-4ac来判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的应用.
教学方法
讲练结合
教具准备
教学程序及教学内容
修订与完善
学校教学设计九年级数学
章课题
一元二次方程
主备教师
参备教师
授课教师
课题
21.2降次——解一元二次方程（4）
教
学
目
标
知识
技能
掌握b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用．
二、探索新知
【问题情境】
从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在你把这个问题一般化，从求根公式的角度来分析来得出结论。
21.2 降次—解一元二次方程(5)
b2－4ac的值的符号．
一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的
判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac．
计算判别式的值,判断方程根的情况
• 例1：不解方程,判断方程2x2-6x=7的根的情况是( C
• A．有两个相等的实数根
B．没有实数根
• C．有两个不相等的实数根
显然此时方程有实数根.
（ⅱ）当方程为二次方程，且方程有实数根，须∆≥0
即（-6）2-4×（k-1)×9≥0
解得，k≤2
综上所述，k的取值范围为k≤2.
（2）由于方程有两个实数根，所以方程为一元二次方程.
欲使此方程有两个实数根，须∆≥0
即（-6）2-4×（k-1)×9≥0
解得，k≤2
∴当方程有两个实数根时，k的取值范围为k≤2.
D．无法确定
变式1：下列一元二次方程有实数根的是(
)
A．x2+2=0
B．2x2-x+1=0
C．x2-2x+2=0
D．x2+3x-2=0
)
归纳：
1、一元二次方程的根的判别式内容：
∆=b2-4ac
2、运用前提：
把一元二次方程化为一般式
3、运用一：
在不解方程的情况下判断方程的根的情况
【例2】已知关于x的方程（k-1)x2-6x+9=0
Δ＞0↔方程有两个不等的实数根
与根的关系
Δ＝0↔方程有两个相等的实数根
Δ＜0↔方程没有实根
根的判别式
Δ＝b2－4ac
不解方程确定方程根的情况
应用
由根的情况确定字母的值或范围
作业布置
见精准作业单
谢谢观看
21.2降次—解一元二次方程(6)
例2 解方程：x2 + 6x - 7 = 0.
解：因式分解得
x2 6x 7 (x 7)(x 1) 步骤： (x + 7)(x − 1) = 0.
x 7
x·
×
1
x 7x 6x
①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，积相加 ③检验确定，横写因式
(3) （x+1 )(x-1)= 0.
x1 = -1，x2 = 1.
(4) (x + 6)(2x - 4) = 0；
x1 = -6，x2 = 2.
例1 解下列方程：
1 x x 2 x 2 0；
25x2 2x 1 x2 2x 3.
解：(1)因式分解，得
(2) 移项、合4并得
4
(x - 2)(x＋1) = 0. ∴ x - 2 = 0，或 x＋1 = 0.
(2) x2 + 4x − 5 = 0；
x 5
x·
×
1
x 5x 4x
解：分解因式，得
(x + 5)(x − 1) = 0，
解得 x1 = −5，x2 = 1．
(3) (x + 3)(x − 1) = 5；
解：整理得 x2 + 2x − 8 = 0，
x4
x 2
2x 4x 2x
分解因式，得 (x + 4)(x − 2) = 0， 解得 x1 = −4，x2 = 2.
∴ x + 7 = 0， 或 x − 1 = 0.
∴ x1= −7， x2 = 1.
简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中.
练一练2 解下列方程：
2014年秋新人教版九年级上21.2.3因式分解法同步练习含答案
21．2降次--解一元二次方程（第四课时）21.2.3 因式分解法◆随堂检测1、下面一元二次方程的解法中，正确的是（ ）A ．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x 1=13，x 2=7B ．（2-5x ）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x 1=25，x 2=35C ．（x+2）2+4x=0，∴x 1=2，x 2=-2D ．x 2=x 两边同除以x ，得x=1 2、x 2-5x 因式分解结果为_______；2x （x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______． 3、用因式分解法解方程:（1）2411x x =； （2）2(2)24x x -=-．点拨：用因式分解法解方程的关键是要将方程化为一边为两个一次式的乘积，另一边为0的形式．4、已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程2430x x -+=的解，求这个三角形的周长．◆典例分析方程2200920100x x +-=较大根为m ，方程2(2010)2009201110x x +⨯-=较小根为n ，求n m +的值.分析：本题中两个方程的系数都较大，用配方法和公式法都会遇到烦琐的运算，因此考虑到系数的特点，选用因式分解法最合适．◆课下作业 ●拓展提高1、二次三项式x 2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x 2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．2、下列命题:①方程kx 2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x 2=1是同解方程；③方程x 2=x 与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3.其中正确的命题有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3、已知()(2)80x y x y +++-=，求x y +的值.点拨:将x y +看作一个整体,不妨设x y z +=，则求出z 的值即为x y +的值.4、我们知道2()()()x a b x ab x a x b -++=--，那么2()0x a b x ab -++=就可转化为()()0x a x b --=，请你用上面的方法解下列方程：（1）2340x x --=； （2）2760x x -+=； （3）2450x x +-=.5、已知22940a b -=，求代数式22a b a b b a ab+--的值．分析：要求22a b a b b a ab+--的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a 与b 的关系后代入即可．6、已知1x =是一元二次方程2400ax bx +-=的一个解，且a b ≠，求2222a b a b--的值.●体验中考1、方程2x x =的解是（ ）A ．1x =B ．0x =C ．11x =，20x =D ．11x =-，20x =2、小华在解一元二次方程240x x -=时，只得出一个根是4x =，则被他漏掉的一个根是________. （提示：方程两边不能同除以含有未知数的式子，否则会失根的.）●挑战能力参考答案： ◆随堂检测1、B 用因式分解法解方程的关键是要将方程化为一边为两个一次式的乘积等于0的形式．只有B 是正确的.2、x （x-5）；（x-3）（2x-5）.3、解：（1）移项，得：24110x x -=， 因式分解，得：(411)0x x -=于是，得：0x =或4110x -=，∴10x =，2114x =. （2）移项，得2(2)240x x --+=，即2(2)2(2)0x x ---=，因式分解，得：(2)(22)0x x ---=，整理，得：(2)(4)0x x --=， 于是，得20x -=或40x -=，∴12x =，24x =.4、解方程:2430x x -+=，得(3)(1)0x x --=，∴13x =，21x =. ∵三角形两边长分别为2和4，∴第三边只能是3.∴三角形周长为9. ◆课下作业 ●拓展提高1、（x+12）（x+8）；x 1=-12，x 2=-8.2、A ①中方程当k=0时不是一元二次方程；②中x=1比方程x 2=1少一个解x=-1；③中方程x 2=x 比方程x=1多一个解x=0；④中由（x+1）（x-1）=3不能必然地得到x+1=3或x-1=3.因此没有正确的命题，故选A.3、解：设x y z +=，则方程可化为(2)80z z +-=,∴2280z z +-=,∴(4)(2)0z z +-=,∴14z =-，22z =.∴x y +的值是4-或2. 4、解（1）∵234(4)(1)x x x x --=-+，∴(4)(1)0x x -+=， ∴40x -=或10x +=，∴14x =，21x =-.（2）∵276(6)(1)x x x x -+=--，∴(6)(1)0x x --=， ∴60x -=或10x -=，∴16x =，21x =.（3）∵245(5)(1)x x x x +-=+-，∴(5)(1)0x x +-=， ∴50x +=或10x -=，∴15x =-，21x =.5、解：原式=22222a b a b bab a---=- ∵22940a b -=，∴(32)(32)0a b a b +-=， ∴320a b +=或320a b -=，∴23a b =-或23a b =， ∴当23a b =-时，原式=-223b b -=3；当23a b =时，原式=-3． 6、解：把1x =代入方程，得：a ＋b ＝40，又∵a b ≠，∴2222a b a b --＝()()2()a b a b a b +--＝2a b +＝20.●体验中考1、C 先移项，得20x x -=，因式分解，得：(1)0x x -=，∴10x =，21x =. 故选C.2、0x = 将方程因式分解，得(4)0x x -=，∴10x =，24x =.∴被他漏掉的根是0x =.。
21.2 降次——解一元二次方程(3)
21.2 降次——解一元二次方程（3）
学习目标
1．知道一元二次方程根的判别式的概念．
2．会用判别式判断一元二次方程的根的情况
及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取
值范围．（重点）
3．经历求根公式的推导过程并会用公式法解
简单的一元二次方程．（难点）
情景引入
老师写了4个一元二次方程让同学们判断
为一般形式
Δ = b2 − 4ac = 0
有两个相等的实数根
ax2+bx+c=0
Δ = b2 − 4ac < 0
没有实数根
例2 若关于 x 的一元二次方程 ( − 1)x2 − 2x +3 = 0 有
两个不等的实数根，则 的取值范围是 ( B )
A. m
C. m
4
>
3
4
<
3
B. m <
4
3
D. m>
典例分析
例3 用公式法解下列方程：
x2 − 4x − 7 = 0.
解：∵ = 1, = −4, = −7.
则 ∆= 2 − 4 = (−4)2 −4 × 1 × (−7) = 44 > 0
∴原方程有两个不相等的实数根.
∴ =
−± ∆
2
=
−(−4)± 44
2
= 2 ± 11
两个不等
方程有________的实数根；
当 b2－4ac = 0 时，
方程有________的实数根；
两个相等
当 b2－4ac < 0 时，
无实数根
方程_________.
布置作业
见精准作业单！
九年级数学上册 21.2 降次—解一元二次方程 一元二次
一元二次方程及其解法一元二次方程及解法是中学数学的重要内容，与解法有关的问题更是中考的必考内容，为了帮助大家了解这部分知识在中考中的考查形式及求解方法，在“知己”的基础上“知彼”，现结合06年的中考试题将这部分知识考查情况归纳如下：一、基础篇(一)概念例1（盐城市）已知x=1是一元二次方程x2-2mx+1=0的一个解，则m的值是（）A．1 B．0 C．0或1 D．0或-1析解：本题考查了一元二次方程根的定义，按照根的定义首先将x=1代入该方程解得m=1，故选A。
点评：此类题求解一般将所给的解直接代入所给方程，从而转化为解待定系数的方程。
注意二次项的系数不为0。
(二)一元二次方程的解法1、配方法例2（淮安市）方程x2+4x=2的正根为（）A．2-6 B．2+6 C．-2-6 D．-2+6析解：由本方程的特点可知其不适合用因式分解法来解，用公式法也较繁琐，适合用配方法来解，原方程配方得：（x+2）2=2+4=6，解这个方程得：x+2=±6,x1=-2+6,x2=-2-6，由此可得这个方程的正根是-2+6，故选D。
2、公式法例3（福州市）解方程：x2+8x+1=0析解：由题目的特点可知本题适宜用公式法来解，这里a=1，b=8，c=1，则b2-4ac=82-4×1×1=60,所以x=2608±-=21528±-=-4±15,则x1=-4+15,x2=-4-15.3、因式分解法例4（天门市）方程x（x+3）=（x+3）的根为（）A、x1=1,x2=3B、x1=1,x2=－3C、x=1D、x=－3析解：本题等号的两边都有x+3，故知适合用因式分解法来解，原方程移项得：x （x+3）－（x+3）=0，提取公因式x+3得：（x-1）（x+3）=0，解得x 1=1，x 2=－3。
点评：解一元二次方程关键是方法的选择。
当一个方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时则适合用配方法；当方程的两边有公因式或易于写成左边是两个因式的积右边是0的形式时就可利用因式分解法来解。
(人教版)九年级数学上册课件：21.2.1降次——解一元二次方程(配方法)
问题1一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李明 用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒 子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表 面积为6x2dm2， 依题意得 10×6x2=1500 ① 即 x2=25 x1=5，x2=－5
棱长不能是负值，所以正方体的 棱长为5dm。
2
由此可得
x
1 x1 1, x 2 . 2
3x 3
移项，得
2
2
6x 4 0
3x 6 x 4,
二次项系数化为1，得 4 2 x 2x , 3 配方
4 x 2 2 x 12 12 , 3
1 因为实数的平方不会是负数，所以 x取 2 x 1 . 2 任何实数时，(x－1) 都是非负数，上式 3 都不成立。 即原方程无实数根。
2
解：移项，得
3 1 3 3 x x , 2 2 4 4
2 2 2
2x2－3x=－1,
二次项系数化为1，得4
3 1 x x , 2 2
2
方程的二次项系数不 是1时，为便于配方， 可以让方程的各项除 以二次项系数．
21.2 降次——解一元二次方程
21.2.1
配方法
复习旧知
1、你学过的整式方程有哪些？它们是如 何求解？ 方程
一元一次方程
二元一次方程组
类比 消元 降次 猜想
一元二次方程
复习旧知 2、关于X的一元二次方程的一般形 式是什么？ 2
ax bx c 0(a 0)
3、你还记得完全平方和公式和完全 平方差公式是什么么？
移项
二次项的系数
（移常数项到等号右边）
数学九年级上册 21.2解一元二次方程 ——配方法解一元二次方程
2 4 24
即 (x-3)2 1 4 16
开平方得： x- 3 1
44
∴
x1 1,
x2
1 2
推导
议一议：结合上面例题的解答过程，说出解一元 二次方程的基本思路是什么？具体步骤是什么？
配方
通过 配成完全平方形式 来解一元二次方程的方法， 叫做配方法．
具体步骤： （1）二次项系数化为1； （2）移项； （3）配方（方程两边都加上一次项系数一半的平 方）； （4）开平方。
2 x 2 1 2 x _ _ 122_ _ 2 _ (x _ _ 6_ _ )2 ;
3 x 2 5 x _ _ _ 52_ _ 2_ ( x _ _ _ 52 _ _ ) 2 ;
4 x22 3x_ _ _ 13_ _ 2 (x_ _ １_ 3 _ _ )2.
3. 用配方法解下列方程
（ 1 ） 3x26x40;
（ 2） 4x26x30;
(3) 2x2 3x
归纳小结
（1）用配方法解一元二次方程的基本思路是什么？
把方程配方为（x + n）2 = p （n，p 是常数，p≥0） 的形式，运用直接开平方法，降次求解．
（2）配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些? ①将方程二次项系数化成 1； ②移项； ③配方（方程两边都加上一次项系数一半的平
x2 + 6x = -4
x2 + 6x + 9 = -4 + 9
（x + 3）2 = 5
x35
移项
两边加 9，左边 配成完全平方式 左边写成完全 平方形式
降次
x3 5 ，或 x35
解一次方程
x13 5， x23 5
2014年秋季学期新版新人教版九年级数学上册21.2、降次——解一元二次方程学案1
《22.2 降次——解一元二次方程》学习目标：运用直接开平方法解一元二次方程.一、 自主学习（一）温故知新求出下列各式中x 的值，并说说你的理由．（1）x 2=9 （2）x 2=5 （3）x 2=a （a>0）（二）探索新知问题:一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm 2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？解：设，列方程， 对照上述解方程的过程，你能解下列方程吗？（1）4x 2-9=0 （2）x 2-6x+9=0三、达标巩固解下列方程：（1）822=x （2）09)6(2=-+x （3）2692x x ++= （4）20)5)(5(=-+x x四、学后记五、课时训练基础过关1．若8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．如果a、b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．4．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2 5．方程3x2+9=0的根为（）．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根6．解下列方程（1）x2-7=0 （2）3x2-5=0（1）4x2-4x+1=0 （4）12（2x-5）2-2=0能力提升7．已知a是方程x2-x-1=0的一个根，则a4-3a-2的值为_________．8．若（x+1x）2=254，试求（x-1x）2的值为________．9．解关于x的方程（x+m）2=n．。
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x 4 15
x1 4 15 , x2 4 15
例题讲解
(2)2 x 1 3x 2 2 x 3x 1 解 移项得：
2
2
3 1 :二次项系数化为1，得： x x 2 2
2
3 3 2 1 3 2 配方得：x 2 x ( 4 ) 2 ( 4 ) 3 2 1 (x ) 4 16 3 1 x 4 4
例1 解下列方程
2
（ 1） x － 8x + 1 = 0 ； （ 2） 2 x 1 3x ；
2
（ 3） 3x 6 x 4 0 ．
2
例题讲解
解 2 2 2 : 配方得： x 8 x 4 1 4
即 ( x 4) 15
2
(1) x 8 x 1 0 2 移项得： x 8 x 1
问题1
一桶油漆可刷的面积为1500dm² ，李林用这桶 油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的 全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
问题1
设正方体的棱长为xdm， 列方程10 6 x 1500 由此可得 x 25 x 5， 即 x1 5， x2 5
2 2
这种解法叫做什么? 直接开平方法
探究
想一想解方程x 6 x 16 0的流程怎样?
2
x 6 x 16 0
2
x 6 x 16
2
移项
两边加上32,使左边配成
x 2bx b 的形式
2 2
x 6 x 3 16 3
2 2
2
( x 3) 25
2
左边写成完全平方形式 降次
x 3 5
同步练习2
3．将二次三项式 2x -3x-5 进行配方，其结果为_________． 2 2 4．已知 4x -ax+1 可变为（2x-b） 的形式，则 ab=_______．
2
同步练习3
教材第9页练习1,2
课堂小结
在今天这节课上，你有什么样的收获呢？ 有什么感想？
1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
同步练习1
1．用适当的数填空： 2 2 （1）x -3x+________=（x-_______） 2 2 （2）a（x +x+_______）=a（x+_______） 2 2 2．将一元二次方程 x -2x-4=0 用配方法化成（x+a） =b 的形式为_______，所以方 程的根为_________．
根据平方根的定义,可解得 x a ,x a 1 2 这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
课堂小结
2、配方法：通过配方,将方程的左边化成一个含未 知数的完全平方式,右边是一个非负常数,运用直接 开平方求出方程的解的方法。 3、用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的步骤： (1)化二次项系数为1 （2）移项 （3）配方 （4）开平方（5）写出方程的解
经检验，5和-5是方程的根，但是棱长不能是负值， 所以正方体的棱长为5dm.
归纳
一般地，对于方程 （1）当P＞0时，方程有两个不等的实数根 （2）当P=0时，方程有两个相等的实数根 （3）当P＜0时，方程没有实数根
探究
你认为怎样解方程 ( x 3) 5
2
？
归纳：在解一元二次方程时通常通过“降 次”把它转化为两个一元一次方程
Байду номын сангаас识回顾
完全平方公式：
a a
2
2ab b (a b) ;
2 2
2
2ab b (a b) .
2 2
知识回顾
填上适当的数或式,使下列各等式成立. 2 2 x 6 x 3 (1 =( x +3 )2 观察，所填的常数 与一次项系数之间
2 2 有什么关系? ) x 8 x (2 4 =(x 4 )2 2 2 ) 2 (3 x 4 x =( x 2 )2 p ) x 2 px ( p )2 (4 x 2 )2 2 =( ) 共同点： 左边:所填常数等于一次项系数一半的平方.
作 业
这节课就到这里，下课！
2 2
所以x取任何实数时，（x-1)² 都是非负数， 即原方程无实数根 上式都不成立，
归纳总结
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转 2 ( x n) p 化成 那么就有： （1）当P＞0时，方程有两个不等的实数根 （2）当P=0时，方程有两个相等的实数根 （3）当P＜0时，方程没有实数根
1 x1 1 , x2 2
例题讲解
(3)3x 6 x 4 0 2 解 移项得： 3x 6 x 4 4 2 :二次项系数化为1，得：x 2 x 3
2
因为实数的平方不会是负数，
4 2 配方得： x 2x 1 1 3 1 2 ( x 1) 3
x 3 5, x 3 5
得 : x 2, x 8
1 2
以上解法中,为什么在方程 两边加9?加其他数行吗?
x 6 x 16
2
像上面那样,通过配成完全平方形式来解一 元二次方程的方法, 叫做配方法.
配方的目的是为了降次，把一元二 次方程转化为两个一元一次方程。
例题讲解