振动力学第三讲 单自由度系统
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机械振动--第03课 单自由度系统：阻尼自由振动
第三十一页，共32页。
内容总结
第四课 单自由度系统： 阻尼自由振动。库仑阻尼与结构阻尼。库仑阻尼与结构阻尼。比如汽车上常用的液压筒式减振器，其内部的工 作缸被活塞分成上下两腔，并充满液体。当活塞与工作缸有相对运动时，强迫液体经过活塞上的阀在上下腔运 动，液体经脱阀时产生的阻力，使运动能量变为热能耗散掉。在理论分析中最常用的阻尼是气体和液体的粘性 阻尼，它是由于气体或液体在某些机械部件中运动，因而扩散到气体或液体中的热量等能量耗散的度量。例 题
(2.3-2)
第十一页，共32页。
粘性阻尼振动系统
s1,2
c 2m
c
c
2
k
2m 2m m
c
2
2m
k m
c 2m
c
i
2m
k c 2 m 2m
k
c
c
2
k
2m m
c
2
k
2m m
c 2 k 2m m
x m
第十二页，共32页。
粘性阻尼振动系统
考虑 x Aest Aeσ iω ( Aeσ )eiω ，如果 0 ，则物体的运动将不
fd jx
式中 为结构阻尼系数，它与刚度 k 成正比，
gk
式中 g 为结构阻尼损耗因子，或称结构阻尼比。结构阻尼系统运动
方程为
mx kx jx f
第三十页，共32页。
Homework
▪ Write the differential equation of motion for the system in the following figure and determine the natural frequency of damped oscillation and critical damping coefficient.
内容总结
第四课 单自由度系统： 阻尼自由振动。库仑阻尼与结构阻尼。库仑阻尼与结构阻尼。比如汽车上常用的液压筒式减振器，其内部的工 作缸被活塞分成上下两腔，并充满液体。当活塞与工作缸有相对运动时，强迫液体经过活塞上的阀在上下腔运 动，液体经脱阀时产生的阻力，使运动能量变为热能耗散掉。在理论分析中最常用的阻尼是气体和液体的粘性 阻尼，它是由于气体或液体在某些机械部件中运动，因而扩散到气体或液体中的热量等能量耗散的度量。例 题
(2.3-2)
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粘性阻尼振动系统
s1,2
c 2m
c
c
2
k
2m 2m m
c
2
2m
k m
c 2m
c
i
2m
k c 2 m 2m
k
c
c
2
k
2m m
c
2
k
2m m
c 2 k 2m m
x m
第十二页，共32页。
粘性阻尼振动系统
考虑 x Aest Aeσ iω ( Aeσ )eiω ，如果 0 ，则物体的运动将不
fd jx
式中 为结构阻尼系数，它与刚度 k 成正比，
gk
式中 g 为结构阻尼损耗因子，或称结构阻尼比。结构阻尼系统运动
方程为
mx kx jx f
第三十页，共32页。
Homework
▪ Write the differential equation of motion for the system in the following figure and determine the natural frequency of damped oscillation and critical damping coefficient.
机械振动 第3章-单自由度系统的振动
kx H sin(t ) m x
2 令 n k , h H 则 m m 2 x x h sin(t ) n
无阻尼受迫振动微分方程的标准形式 ，二阶常系数非齐次线性微分方程。
x x1 x2
x1 A sin( n t ) 为对应齐次方程的通解 x2 b sin(t ) 为特解 h h b 2 , x sin(t ) 2 2 2 2 n n h x A sin( t ) sin(t ) 全解为 n 2 2 n ：
——初相位，决定振体运动的起始位置。
T ——周期，每振动一次所经历的时间。
2 f —— 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T，T 。 n n —— 固有频率，振体在2秒内振动的次数。
n 1 c fn 2 2 a
n反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。
则自由振动的微分方程的标准形式 ： 2
q q 0
其解为 也可以写成 有
q A sin(nt ) q C1 cos nt C2 sin nt
2 1 2 2
A C C
C1 tg C2
1
6
对于初始扰动引起的自由运动
=q 0 设 t = 0 时， q = q0 , q
单自由度系统无阻尼自由振动
一、自由振动的例子
J
k
实验确定转动惯量装置
5
二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解 对于任何一个单自由度系统，以q 为广义坐标（从平衡位 置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是：
c a, c是与系统的物理参数有关的常数，令 a
2 n
振动理论讲义第3章 单自由度系统自由振动
3.1.2 几个概念和定义
图 3.1 弹簧连 接 的两个物体
研究系统的振动问题时，常常把它简化成由若干个“无质量”的弹簧和“无弹性”
3-2
的质量所组成的模型，称为弹簧－质量系统（spring mass system）。如图 3.2，就是最简 单的振动系统，只包含一个弹簧 和一个质量 。
图 3.2 弹簧－质量体系
如果要取 个数字才能确定一个机械系统的位置，这个机械系统就叫做具有 个自由 度的系统。例如：在自身平面无约束地运动的一个圆盘具有三个自由度：重心的 位移 和 位移，以及绕重心的转动角。
一个系统究竟有多少个自由度，常常是很复杂的问题，这不仅取决于系统本身的结 构特性，还要根据所研究问题的性质、要求的精度以及振动的实际情况来确定。简化的 结果是否正确，还要经过实验来检验。
用一根弹簧把一个质量 悬挂在刚性天花板上。弹簧的刚度由弹性系数 表示。在质 量和刚性天花板之间有油或者空气缓冲器机构。质量静止时，缓冲器不传递力，质量运 动时，缓冲器的阻尼力与速度成正比，即 。 叫做阻尼常数或粘性阻尼常数。
在实际机械系统中所发生的阻尼常数并不按照 这个关系这样简单，而往往是非常 复杂的情况，但是使用这个关系进行分析是很简单的，因此得到大量的应用。
Contents
第 3 章 单自由度系统自由振动 ........................................................................................... 3-2 3.1 引言 .......................................................................................................................... 3-2 3.1.1 自由度 ........................................................................................................... 3-2 3.1.2 几个概念和定义 ........................................................................................... 3-2 3.2 振动微分方程的推导 .............................................................................................. 3-3 3.2.1 单自由度弹簧线振动 ................................................................................... 3-3 3.2.2 单自由度扭转系统 ....................................................................................... 3-4 3.2.3 单自由度电路的微分方程 ........................................................................... 3-5 3.2.4 直线、扭转和电路的比拟关系 ................................................................... 3-5 3.2.5 弹簧顶部运动导致的振动 ........................................................................... 3-7 3.3 单自由度无阻尼自由振动 ...................................................................................... 3-9 3.3.1 一般解 ........................................................................................................... 3-9 3.3.2 静变形法 ..................................................................................................... 3-10 3.3.3 能量法 ......................................................................................................... 3-10 3.3.4 瑞利法 ......................................................................................................... 3-12 3.3.5 等效刚度 ..................................................................................................... 3-13 3.3.6 单摆和复摆 ................................................................................................. 3-16 3.4 有粘性阻尼的自由振动 ........................................................................................ 3-17 3.4.1 阻尼 ............................................................................................................. 3-17 3.4.2 有阻尼的自由振动 ..................................................................................... 3-18 3.5 对数衰减 ................................................................................................................ 3-21 3.6 习题 ........................................................................................................................ 3-25
第三章 单自由度体系振动2015
第三章
单自由度体系振动
R(t )
讨论2：共振反应
4
0
tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
无阻尼体系
D
2
R(t )
1 2
1
0 0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0
t
1 2
阻尼体系
中南大学桥梁工程系
第三章
单自由度体系振动
讨论3：相位角与阻尼、频率的关系
vp vg 0 [k 2 (c ) 2 ]sin(t ) [k (k m 2 ) (c ) 2 ]2 (mc 3 ) 2 sin(t )
3 mc 1 tan k (k m 2 ) (c )2
问题：实测地震荷载，如何解？
分析自由振动的目的---确定体 系的动力特性：频率、周期。
第三章
单自由度体系振动
•无阻尼自由振动
（1）振动方程
kv 0 mv
静力变位 vst
k
静力 平衡位置
m
t 时刻的 振动位移 v(t )
2 v v 0
（2）方程通解
v(t ) c1 cos t c2 sin t
sin cos e sin D t sin cos D t D sin( t )
t
说明：第1部分为瞬态响应，逐渐衰减消失； 第2部分为伴生自由振动，逐渐衰减消失； 第3部分为稳态响应，持续振动。
中南大学桥梁工程系
第三章
第三章 单自由度体系振动
运动方程的建立 自由振动 简谐荷载作用下的强迫振动 周期荷载作用下的强迫振动
单自由度系统的有阻尼自由振动
0.8 (e nTd ) 20 0.16
ln5 20 nTd 20 n 2 n 1 2
由于 很小，ln5 40
ln5 W W ln5 1502 c 2 m k 2 2 40 g st 40 1980 0.122( Ns/cm)
nt
2 t n2 n
C2 e
2 t n2 n
)
代入初始条件 (t 0时 , x x0 , x x 0 )
C1
2 0 ( n n 2 n x ) x0
2 n
2
2 n
; C2
2 0 ( n n 2 n ) x0 x 2 2 n 2 n
可见阻尼使自由振动的周期增大，频率降低。当阻尼小时， 影响很小，如相对阻尼系数为5%时，为1.00125，为20%时， 影响为1.02，因此通常可忽略。
14
振幅的影响： 为价评阻尼对振幅衰减快慢的影响，引入减 幅系数η ，定义为相邻两个振幅的比值。
Ai Aewnti wnti td ewntd Ai 1 Ae
5
也可写成
x Ae nt sin(d t )
2 d n n2
—有阻尼自由振动的圆频率
x 0 , 则 设 t 0 时, x x0 , x
2 2 2 x n ( x nx ) 0 n 2 A x0 0 2 02 ; tg1 0 nx0 n n x
16
例4 如图所示，静载荷P去除后质量块越过平衡位置的最大 位移为10%，求相对阻尼系数。
17
x(t ) e
wnt
0 wn x0 x ( x0 cos wd t sin wd t ) wd
18
单自由度振动系统
l，
如图所示的物理摆，悬 挂点和质心的距离为S，对 O点转动惯量为J，求其微 分方程和固有频率
能量法原理
在阻尼可以略去不计的条件下，振动系统 自由振动时的机械能（动能+势能）保持常 值。
T U const
d T U 0 dt
对上式两端求导，可得
自由振动系统性质
对一个振动系统，如在动能最大时，取势 能为零，则在动能为零时，势能取最大值。
0
x
1 K 2 2
K 为抗扭弹簧系数
3. 刚体的重力势能
U mgzc
势能参考点的选取
势能是一个参考值，和其具体值的大小和 参考点选取有关
d T U 0 时，要注意，势 在使用 dt 能基准值的选取，应使振动系统在动能最大 时，势能为零。
例一
如图的系统，使其 偏转 角后放手，求 系统的微分方程和 固有频率
1 2 Tm my 2
1 33 T Tb Tm l m y 2 系统总动能： 2 140
系统的方程
1 2 1 3EI 2 系统的势能： U ky 3 y 2 2 l
根据：
d T U 0 dt
33 3EI 系统微分方程： 140 l m y l 3 y 0
固有频率： n
3EI 33 3 l m l 140
结论
可见，悬臂梁的质量对振动系统的固有频 率的影响相当于在自由端加上梁的等值质 33 量 l ，此值稍小于全梁质量的 1
140
4
思考：梁自重造成梁端部的位移，会不会影 响本题的精度。
等值刚度
弹簧的并联 若使刚度为 k1 ，k 2 的两根 弹簧的下端都伸长s ，所 需要统总响应
第三讲单自由度系统的振动(阻尼)
ωd与相应的无阻尼自由振动的T 、f和ω0的关系：
Td
T 1
2
d 0 1
2
fd f 1
2
表明：由于阻尼的存在，使系统自由振动的周期增大，频 率减小。当空气中的振动系统阻尼比比较小时，可认为：
ωd =ω0 ， Td =T
阻尼对振幅的影响
nt 2 2 x Ae sin( n t ) 由衰减振动运动规律： 0
时间改变的，振动过程将无限地进行下去。
实际中的振动系统由于存在阻力，而不断消耗着振动的能 量，使振幅不断地减小，直到最后振动停止。 振动过程中的阻力习惯上称为阻尼。 阻尼类型： 1）介质阻尼； 2）结构阻尼； 3）库仑阻尼
当振动速度不大时，介质粘性引起的阻力与速度一次方成正 比，这种阻尼称为粘性阻尼。这种阻尼实际上较多，这里将以此 研究。
1 2ml 2 4kmb 2l 2 c 2 a 4
k b
l m
阻尼固有频率： 1 2 d 0
1
2bl cc 2 a
mk
k=2000 N/m。使系统发生自由振动，测得其相邻两个振幅之比为： Ai / Ai 1 100/ 98 ,求系统的临界阻尼系数和阻尼系数各为多少？
解：
求出对数减缩率:
Ai ln Ai 1
100 ln 0.0202 98
k
c
O
Fk
Fc
阻尼比为:
0.003215 2
sin(d t )
0;可求得有阻尼自 当初瞬时t=0，质点的坐标为x=x0 速度v= x
由振动中的振幅和相位：
A
2 ( x nx ) 2 x0 0 2 02 0 n
Td
T 1
2
d 0 1
2
fd f 1
2
表明：由于阻尼的存在，使系统自由振动的周期增大，频 率减小。当空气中的振动系统阻尼比比较小时，可认为：
ωd =ω0 ， Td =T
阻尼对振幅的影响
nt 2 2 x Ae sin( n t ) 由衰减振动运动规律： 0
时间改变的，振动过程将无限地进行下去。
实际中的振动系统由于存在阻力，而不断消耗着振动的能 量，使振幅不断地减小，直到最后振动停止。 振动过程中的阻力习惯上称为阻尼。 阻尼类型： 1）介质阻尼； 2）结构阻尼； 3）库仑阻尼
当振动速度不大时，介质粘性引起的阻力与速度一次方成正 比，这种阻尼称为粘性阻尼。这种阻尼实际上较多，这里将以此 研究。
1 2ml 2 4kmb 2l 2 c 2 a 4
k b
l m
阻尼固有频率： 1 2 d 0
1
2bl cc 2 a
mk
k=2000 N/m。使系统发生自由振动，测得其相邻两个振幅之比为： Ai / Ai 1 100/ 98 ,求系统的临界阻尼系数和阻尼系数各为多少？
解：
求出对数减缩率:
Ai ln Ai 1
100 ln 0.0202 98
k
c
O
Fk
Fc
阻尼比为:
0.003215 2
sin(d t )
0;可求得有阻尼自 当初瞬时t=0，质点的坐标为x=x0 速度v= x
由振动中的振幅和相位：
A
2 ( x nx ) 2 x0 0 2 02 0 n
振动力学3单自由度自由
= 1 1 (ka 2θ 2 − mglθ 2 ) = ( ka 2 − mgl )θ 2 2 2 ka 2 − mgl ω0 = ml 2
x(t ) = A sin( ω0t + ϕ )
Tmax = U max
θ&max = ω0θ max
单自由度系统的自由振动-能量法
•
单自由度系统的自由振动-能量法
2
振动初始条件：
kx0 = mg × sin 30
0
考虑方向
x0 = −0.1 (cm)
& 初始速度： x0 = 0
运动方程： x(t ) = −0.1 cos( 70t ) (cm)
x(t ) = x0 cos(ω0t ) +
ω0
& x0
sin( ω0t )
单自由度系统的自由振动-无阻尼系统 • 例题
概述
• 时不变系统：指系统的物理特征或性质恒定，不随时间变 化。反之，则称为时变系统。 • 线性系统：指系统的运动规律可由线性方程描述。反之， 则称为非线性系统。线性系统满足如下的叠加原理，即
f表示激励，x表示响应。 • 一般而言，非线性系统不适用叠加原理。 • 实际的机械系统往往是非线性的，但多数系统在特定范围 或条件下，可以近似为线性系统。
ω0
A = x0 + (
2
ω0
& x0
) , ϕ = arctan
ω0 x0
& x0
• 无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是 以为振动频率的简谐振动，并且永无休止 • 初始条件的说明 初始条件是外界能量转入的一种方式，有初始位移即传 入了弹性势能，有初始速度即传入了动能
单自由度系统自由振动
x(t ) = A sin( ω0t + ϕ )
Tmax = U max
θ&max = ω0θ max
单自由度系统的自由振动-能量法
•
单自由度系统的自由振动-能量法
2
振动初始条件：
kx0 = mg × sin 30
0
考虑方向
x0 = −0.1 (cm)
& 初始速度： x0 = 0
运动方程： x(t ) = −0.1 cos( 70t ) (cm)
x(t ) = x0 cos(ω0t ) +
ω0
& x0
sin( ω0t )
单自由度系统的自由振动-无阻尼系统 • 例题
概述
• 时不变系统：指系统的物理特征或性质恒定，不随时间变 化。反之，则称为时变系统。 • 线性系统：指系统的运动规律可由线性方程描述。反之， 则称为非线性系统。线性系统满足如下的叠加原理，即
f表示激励，x表示响应。 • 一般而言，非线性系统不适用叠加原理。 • 实际的机械系统往往是非线性的，但多数系统在特定范围 或条件下，可以近似为线性系统。
ω0
A = x0 + (
2
ω0
& x0
) , ϕ = arctan
ω0 x0
& x0
• 无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是 以为振动频率的简谐振动，并且永无休止 • 初始条件的说明 初始条件是外界能量转入的一种方式，有初始位移即传 入了弹性势能，有初始速度即传入了动能
单自由度系统自由振动
03-单自由度系统：阻尼自由振动
整理得：
2W 2 2 T1 T gAT 1 T
μ的物理意义是单位面积的阻尼系数。
23
第2章 单自由度系统--阻尼自由振动
24
第2章 单自由度系统--阻尼自由振动
25
第2章 单自由度系统--阻尼自由振动
例
习题课—单自由度系统阻尼简谐振动
解
26 Theory of Vibration with Applications
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--阻尼自由振动 第 2章 --阻尼自由振动 第 2章 单自由度系统 单自由度系统 引言
粘性阻尼－若物体以较大速度在空气或液体中运 动，阻尼与速度平方成正比。但当物体以低速度在粘 性介质中运动（包括两接触面之间有润滑剂时）可以 认为阻尼与速度成正比。
物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系
Fc cx
4 Theory of Vibration with Applications
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--阻尼自由振动 第 2章 --阻尼自由振动 第 2章 单自由度系统 单自由度系统 引言
• 振动系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象。 如果现实世界没有阻止运动的话，整个世界将处在 无休止的运动中。客观实际是和谐的，有振动又有 阻尼，保证了我们生活在一个相对安静的世界里。 • 最常见的阻尼是
2 2
xe
nt
(C1e
n2 - p2 t
C2 e
n2 - p2 t
)
临界阻尼(n = p )情形 r1 r2 n
Theory of Vibration with Applications
x e nt (C1 C2 t )
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第2章
单自由度系统--阻尼自由振动 运动微分方程
单自由体系名词解释
单自由体系名词解释
单自由度系统（Single Degree of Freedom System）是指工程动力学和振动学中常用的一个概念，用来描述一个仅有一个自由度运动的系统。
这个自由度通常是指系统的一个独立运动参数，如质点在一维空间内的位移或者转角。
在单自由度系统中，该自由度的运动可以完全描述整个系统的动态特性。
单自由度系统的经典例子是弹簧质点振子系统，也就是简谐振动系统。
这种系统由一个质点 （质量为m）通过一根弹簧 （弹性系数为k）与一个固定支点相连构成。
该质点在弹簧的作用下可以在水平方向上作简谐振动。
单自由度系统的重要特征包括：
- 自由度： 单自由度系统中仅有一个运动自由度。
- 动力学方程： 可以使用牛顿运动定律和哈克定律等原理来建立该系统的运动方程，描述质点运动的规律。
- 简谐振动： 如果系统的回复力服从胡克定律，并且没有阻尼和外力的作用，系统将表现出理想的简谐振动。
- 阻尼和非线性： 通常情况下，单自由度系统可能会有阻尼和非线性因素的存在，这会使得其振动特性发生变化。
单自由度系统的研究对于理解振动学原理、分析结构动力学响应、设计工程结构等方面都具有重要意义。
它为工程师和研究人员提供了一种简化模型来分析和预测结构或系统的振动行为，对于许多工程应用和设计过程都具有指导意义。
1/ 1。
振动理论03(1)-单自由度系统自由振动
如果水在U形管中往复地振动，那么运 动质量就是 。 注意到，在这个问 题中，没有涉及弹簧。实际上，重力的 作用把水柱恢复到它的平衡位置，因此 在题目中有一个重力弹簧，按定义它的 弹性常数是单位位置变化所需要的力。
42
2014/9/28
管中其中一个臂的水位升高1厘米，另一个臂的水位就
降低1厘米，因此就给出2厘米水柱的失衡重量，产生
-任意瞬时的位置与平衡位置 之间的距离）?
10
2014/9/28
弹簧力
阻尼力
作用在质量块的力总计 sin
应用牛顿第二定律： 单自由度系统运动微分方程
mx cx kx P0 sin t
惯性力 阻尼力 弹性力 外来的谐力
单自由度扭转系统振动方程
圆盘的惯性矩为 轴的抗扭刚度为 外加扭矩 0 用于转动物体的广义牛顿定律
弹簧－质量系统
研究系统的振动问题时，常常把它简化成由若干个“ 无质量”的弹簧和“无弹性”的质量所组成的模型， 称为弹簧－质量系统(spring mass system)
角振动(angular vibration)：以角位移作为独立坐标的系 统。例如后面将要介绍的圆盘的扭振(Torsional vibration)。
用一根弹簧把一个质量m悬挂 在刚性天花板上。弹簧的刚度 由弹性系数 表示
在质量和刚性天花板之间有油 或者空气缓冲器机构
质量静止时，缓冲器不传递力 质量运动时，缓冲器的阻尼力与
速度成正比，即 c:阻尼常数或粘性阻尼常数
9
2014/9/28
假设一个交变外力作用在质 量上
计算外力造成的质量的运动 ，即求出质量运动距离 的时 间函数
振动理论(3) 第3章 单自由度系统自由振动
自由度
自由度
42
2014/9/28
管中其中一个臂的水位升高1厘米，另一个臂的水位就
降低1厘米，因此就给出2厘米水柱的失衡重量，产生
-任意瞬时的位置与平衡位置 之间的距离）?
10
2014/9/28
弹簧力
阻尼力
作用在质量块的力总计 sin
应用牛顿第二定律： 单自由度系统运动微分方程
mx cx kx P0 sin t
惯性力 阻尼力 弹性力 外来的谐力
单自由度扭转系统振动方程
圆盘的惯性矩为 轴的抗扭刚度为 外加扭矩 0 用于转动物体的广义牛顿定律
弹簧－质量系统
研究系统的振动问题时，常常把它简化成由若干个“ 无质量”的弹簧和“无弹性”的质量所组成的模型， 称为弹簧－质量系统(spring mass system)
角振动(angular vibration)：以角位移作为独立坐标的系 统。例如后面将要介绍的圆盘的扭振(Torsional vibration)。
用一根弹簧把一个质量m悬挂 在刚性天花板上。弹簧的刚度 由弹性系数 表示
在质量和刚性天花板之间有油 或者空气缓冲器机构
质量静止时，缓冲器不传递力 质量运动时，缓冲器的阻尼力与
速度成正比，即 c:阻尼常数或粘性阻尼常数
9
2014/9/28
假设一个交变外力作用在质 量上
计算外力造成的质量的运动 ，即求出质量运动距离 的时 间函数
振动理论(3) 第3章 单自由度系统自由振动
自由度
自由度
03第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
自振周期和频率
自振周期和频率
k 1 w2 m md
(2)利用机械能守恒 (2) 利用机械能守恒
注意到
W mg Dst Wd
w2
g g Wd D st
EI EI
m
l
=1
d 11
l
T (t ) U (t ) 常数
Tmax U max
U (t ) 1 2 1 ky (t ) kA2 sin 2 (wt ) 2 2
计算频率和周期的几种形式
w
k 1 g m md Wd
g D st
T 2
m D st 2 k g
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
频率和周期的计算方法
(1)利用计算公式 (1) 利用计算公式
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题 例.求图示体系的自振频率和周期.
单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是结构动力学中的一个经典内容。 自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
1、 刚度法：研究作用于被隔离质量上的受力状 态，建立(动)平衡方程。 静平衡位置
2
cv kv 0 mv
特征方程：
2
c s sw2 0 m
当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记作cc。显然， 应有cc/2m=w，即：
cc 2m w
2
∵
c 0则：
s
c c w 2 2m 2m
这时，对应的s 值为 ：
自振周期和频率
k 1 w2 m md
(2)利用机械能守恒 (2) 利用机械能守恒
注意到
W mg Dst Wd
w2
g g Wd D st
EI EI
m
l
=1
d 11
l
T (t ) U (t ) 常数
Tmax U max
U (t ) 1 2 1 ky (t ) kA2 sin 2 (wt ) 2 2
计算频率和周期的几种形式
w
k 1 g m md Wd
g D st
T 2
m D st 2 k g
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
频率和周期的计算方法
(1)利用计算公式 (1) 利用计算公式
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题 例.求图示体系的自振频率和周期.
单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是结构动力学中的一个经典内容。 自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
1、 刚度法：研究作用于被隔离质量上的受力状 态，建立(动)平衡方程。 静平衡位置
2
cv kv 0 mv
特征方程：
2
c s sw2 0 m
当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记作cc。显然， 应有cc/2m=w，即：
cc 2m w
2
∵
c 0则：
s
c c w 2 2m 2m
这时，对应的s 值为 ：
第3章_单自由度体系
将： c 2mn
c c ccr 2mn
代入：
s1,2
c 2m
(
c )2 2m
n2
得： s1,2 n in 1 2 n iD
3.2.2 低阻尼体系（Underdamped Systems）
u est s1,2 n iD
低阻尼体系满足初始条件的自由振动解：
u(t
)
e
nt
[u(0)
得待定常数为：A u(0), B u(0)
n
3.1 无阻尼自由振动
体系无阻尼自由振动的解：
u
(t
)
u
(0)
cos
nt
u(0)
n
sin
nt
其中：
n
k m
无阻尼振动是一个简谐运动(Simple harmonic motion)
n ——自振频率（Natural frequency）。
3.1 无阻尼自由振动
3.2.2 低阻尼体系
现场实测： D 和 TD 理论计算： n 和 Tn 工程中结构的阻尼比
在1—5%之间， 一般不超过20%，
D n 1 2
TD
Tn
1 2
因此可以用 有阻尼体系的结果 代替 无阻尼结果。
阻尼对自振频率和自振周期的影响
3.2 有阻尼自由振动 u(t)
低阻尼体系的阻尼对 结 构 自 由 振 动 的 影 响 u(t)
(k m2 )C p0 sint (k m2 )D cost 0
C
p0 k
1
1
( / n
)2
,
D0
其中，/n—频率比，外荷载的激振频率与结构自振频
率之比 。
3.3.1 无阻尼体系的简谐荷载反应
振动力学——单自由度系统振动
顺利求解刚（柔）度系数是自由振动分析的关键！
2. 2无阻尼自由振动
一、无阻尼自由振动 non damping free vibration
1、特点：
0 (1) 无能量耗散，振动一经开始永不休止： cy
(2) 无振动荷载： P(t ) 0
ky 0 2、运动方程及其解的形式： my
ys
yd
S(t)-弹簧张力
y
W-重力
I(t)-惯性力
y ys yd D(t)-阻尼力
P(t)-外激励力
d cy d kyd P(t ) my
2.1单自由度系统运动微分方程的建立
3、柔度法列位移方程
以弹簧为研究对象，分析它 与物块联结点处的位移。
S '(t ) S (t ) W D(t ) I (t ) P(t )
位置转过的角度 , J 为圆盘对
轴的转动惯量 , kt 为使轴产生
单位转角所需施加的扭矩 ( 即 轴的扭转刚度)。则
k q 0 Jq t
2.1单自由度系统运动微分方程的建立 例3 复摆——刚度法 设物体对悬挂点 O 的转动 惯量为 JO ，利用定轴转动 微分方程可得到用转角 f 表
n
16
2. 2无阻尼自由振动
一、无阻尼自由振动 non damping free vibration
3、微分方程中各常数由初始条件确定 进一步可确定式 y A sin(nt ) 中的A和
0 2 y 2 2 2 A A1 A2 y0 ( ) n tg 1 ( A2 ) arctan( y0n ) 0 A1 y
2. 2无阻尼自由振动 求固有频率ωn的几种常用方法
2. 2无阻尼自由振动
一、无阻尼自由振动 non damping free vibration
1、特点：
0 (1) 无能量耗散，振动一经开始永不休止： cy
(2) 无振动荷载： P(t ) 0
ky 0 2、运动方程及其解的形式： my
ys
yd
S(t)-弹簧张力
y
W-重力
I(t)-惯性力
y ys yd D(t)-阻尼力
P(t)-外激励力
d cy d kyd P(t ) my
2.1单自由度系统运动微分方程的建立
3、柔度法列位移方程
以弹簧为研究对象，分析它 与物块联结点处的位移。
S '(t ) S (t ) W D(t ) I (t ) P(t )
位置转过的角度 , J 为圆盘对
轴的转动惯量 , kt 为使轴产生
单位转角所需施加的扭矩 ( 即 轴的扭转刚度)。则
k q 0 Jq t
2.1单自由度系统运动微分方程的建立 例3 复摆——刚度法 设物体对悬挂点 O 的转动 惯量为 JO ，利用定轴转动 微分方程可得到用转角 f 表
n
16
2. 2无阻尼自由振动
一、无阻尼自由振动 non damping free vibration
3、微分方程中各常数由初始条件确定 进一步可确定式 y A sin(nt ) 中的A和
0 2 y 2 2 2 A A1 A2 y0 ( ) n tg 1 ( A2 ) arctan( y0n ) 0 A1 y
2. 2无阻尼自由振动 求固有频率ωn的几种常用方法
第三节单自由度体系的自由振动
图11-19
& m&&(t ) + cy(t ) + k11y(t ) = 0 y
令
ω2 =
k 11 , m
ξ =
c 2mω
ξ 式中， 称为阻尼比， 式中， 称为阻尼比，则方程式可改写为
&&(t ) + 2ξωy (t ) + ω 2 y (t ) = 0 & y
y ( t ) = Ce rt
这是一个线性常系数齐次微分方程， 这是一个线性常系数齐次微分方程，设 其解的形式为
I10 = m1 A1ω 2 = mlαω 2 ,
0 I 2 = m2 A2ω 2 =
3 mlαω 2 2
图11-18
I = m1 A1ω = mlαω ,
0 1 2 2
3 I = m2 A2ω = mlαω 2 2
0 2 2
这时弹性支座B的反力 这时弹性支座 的反力 为 由平衡方程 Σ M 得 由此解得
m&&(t ) + k11 y (t ) = 0 y
令
则方程式成为
k 11 ω = m
2
&&(t ) + ω 2 y (t ) = 0 y
这是二阶常系数线性齐次微分方程，它的通解为 这是二阶常系数线性齐次微分方程，
y(t ) = C1 cos ωt + C 2 sin ωt
对时间t的一阶导数 取y(t)对时间 的一阶导数，则得质点在任一时刻的速度 为 对时间 的一阶导数，
图11-20
(2)小阻尼对自振频率和自振周期的影响很小 小阻尼对自振频率和自振周期的影响很小
一般建筑物的值在0.01~0.1之间，例如钢筋混凝土结构的值 之间， 一般建筑物的值在 之间 大约为0.05，而钢结构的大约为 大约为 ，而钢结构的大约为0.01～0.02。由于实际结构的 ～ 。 阻尼比很小，因此计算结构的自振频率和自振周期时， 阻尼比很小，因此计算结构的自振频率和自振周期时，可以 不考虑阻尼的影响，即式(11-16)可写成 不考虑阻尼的影响，即式 可写成
单自由度体系自由振动
单自由度体系自由振动一、无阻尼振动单自由度体系自由振动可分为有阻尼和无阻尼振动两种。
在模型建立过程当中，可以直接进行建立。
在运行时，只需将c=0即可。
ω增加，单位时间内振动次数增加。
无阻尼振动是简谐振动，振幅和初相位仅取决于初位移和速度。
初始干扰反映了外部初始赋予体系能量的大小。
由于不考虑振动过程中体系能量的耗散，因而体系的总能量保持不变，这就表现为振幅Ａ保持不变，永不衰减。
于是振动一旦发生便永不停息，但这仅是一种理想状态。
二、对阻尼自由振动的讨论当阻尼系数ｃ不为０时，体系做阻尼运动。
由于有能量的耗散，体系的运动幅度会逐渐减小，最终停止振动。
有阻尼单自由度体系，自由振动的运动方程为ωξωm c m k t ky t y c t y m 2,0)()()(2===++∙∙∙， 则原式可变为022=++∙∙∙ωξωy y 。
解微分方程有如下结果：2.1 当1<ξ时，即小阻尼运动，方程的解为：)sin(A )sin cos ()(000ϕωωωξωωξωξω+=++=--t e t y v t y e t y d t d d d t 其中2200201)(ξωωωξω-=++=d d y v y A可画出小阻尼体系自由振动时的ｙ－ｔ曲线如图所示：是一条逐渐衰减的波动曲线2.2 当1>ξ时，即大阻尼的情况，方程的解为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--+=-t ch y t sh v y e t y o t ωξωξξξωωξ11)1()(20220 上式不含有简谐振动的因子，是因为体系受干扰后偏离平衡位置所积蓄起来的初始能量在恢复平衡位置的过程中全部消耗克服阻尼，由于阻尼很大，不足以引起振动。
当初始速度，初始位移都大于０时，可画出大阻尼体系自由振动时的ｙ－ｔ曲线如图所示：2.3 当1=ξ时，即临界阻尼的情况，方程的解为：[]t v t y e t y t 00)1)(++=-ωω（当初始速度，初始位移都大于０时，可画出临界阻尼体系自由振动时的ｙ－ｔ曲线如下图所示；当体系在临界阻尼时，其运动衰减的最快，即他能在最短时间内无振动的回到平衡位置。
单自由度系统振动
常见几种非粘性阻尼的等效阻尼 1．干摩擦阻尼
ce 4 Fc B We 8 aB B 2 3
ce 2．流体粘性阻尼
3．结构阻尼
ce
W
B 2
1.6 非谐周期激励的响应
对于工程中常见的线性系统，任何周期激励 函数均可按傅立叶级数理论展开为一系列简谐函 数之和
F (t ) a0 a1 cos 0 t a 2 cos 2 0 t b1 sin 0 t b2 sin 2 0 t 2 F (t ) A0
注意希腊字母 Ξ[ksi];ζ[zta]
通解为：x e t (c1 c2t )
c1 x0 , c2 V0 n x0
3.有阻尼受迫振动解
振动方程为 mx cx kx f ( x)
f ( x) F0 sin t 时，为谐迫振动。其解为
n t 2
相位
瞬态响应的振幅 频率比 稳态响应的振幅
x Ae sin( 1 nt ) B sin(t ) 2 x 1 tan 1 ( 0 n ) V0 n x0 2 (V0 n x0 ) 2 x0 2n (1 2 ) A 2 2 n (1 ) n n 2 F0 / k F0 B 2 2 2 2 2 2 2 (n ) (2n ) k (1 ) (2 )
注意希腊字母 ξ(ksi)
4.MATLAB数值仿真
MATLAB是Matrix Laboratory的缩写，是一种直译式 的语言，易学（相比C语言）
特点：强大的数值运算功能
丰富的工具箱 数学计算 数字信号处理 自动控制 动态分析 数据处理 2D与3D绘图功能
机械震动--单自由度体系的自由振动
y sy(t)机械振动分析------单自由度无阻尼系统的自由振动机械振动是物体(或物体的一部分)在平衡位置（物体静止时的位置）附近作的往复运动。
可分为自由振动、受迫振动。
又可分为无阻尼振动与阻尼振动。
常见的简谐运动有弹簧振子模型、单摆模型等。
振动在机械中的应用非常普遍,例如在振动筛分行业中基本原理系借电机轴上下端所安装的重锤（不平衡重锤），将电机的旋转运动转变为水平、垂直、倾斜的三次元运动，再把这个运动传达给筛面。
若改变上下部的重锤的相位角可改变原料的行进方向。
物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位置附近的振动称为无阻尼自由振动。
其中仅需用一个独立坐标就可确定振体位置的系统为单自由度系统。
单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。
研究单自由度系统的振动有着非常普遍的实际意义，因为工程上有许多问题通过简化，用单自由度系统的振动理论就能得到满意的结果。
而同时对多自由度系统和连续系统的振动，在特殊坐标系中考察时，显示出与单自由度系统类似的性态。
因此，揭示单自由度振动系统的规律、特点，为进一步研究复杂振动系统奠定了基础。
影响振动作用的因素是振动频率、加速度和振幅。
现在我们就此方面展开对单自由度无阻尼振动的讨论。
主要包括两部分：单自由度无阻尼系统的自由振动和单自由度无阻尼系统的受迫振动。
一、单自由度无阻尼系统的自由振动如下图，设此梁上的集中质量为m ，其重量为W mg ，梁由于质量的重力引起的质量处的静力位移用s y 表示，与s y 相应的质量位置称为质量的静力平衡位置。
若此质量受到扰动离开了静力平衡位置，当扰动除去后，则体系将发生振动，这样的振动称为体系的自由振动。
由于振动的方向与梁轴垂直，故称为横向振动。
在此，只讨论微小振幅的振动，由振动引起的内力限于材料的弹性极限以内，用以表示质量运动的方程将为线性微分方程。
1、建立运动方程建立运动方程常用的基本原理是达朗伯原理（亦称惯性力法或动静法）。
单自由度体系的振动
取出质量 m 为隔离体，见图 3.6（b），则由轴向（ z 向）的平衡条件得： mz kz z 0
可以看出，运动方程与上面弯曲振动公式的形式是一样的，但 kz 的含义与弯曲振动略 有不同。弯曲振动中的 k 是垂直于杆轴线方向移动单位位移所需的力，而轴向振动中的 kz 则 为沿着轴向方向移动单位位移所需的力，对于图 3.6（a）所示的体系 kz EA / H 。
y2
1
t F ( )sin (t )d
0
解为通解 特解：
30
y
A sin(t
)
1
t
0
F (
) sin (t
)d
⑥如果杆件的刚度为 EI
，则两端刚结的杆的侧移刚度为 12EI l3
；一端铰结的杆的侧移刚度
为 3EI 。 l3
§3.1 无阻尼体系自由振动
数，由初始条件确定。
② y(t) y x,t C1sin t C2 cost
t
y(t)
y2 x,
t 2
t
2C1 cos t
2C 2
sin
t
③ eix cos x i sin x
e(r1r2 ) er1 er2
④单质点体系一般振动形式：
T
2
2 3.14 62.574
0.1(s)
例 3.3 已知一简支钢梁，如图 3.5（a）所示，跨度 l 100cm ，弹性模量 E 2.110５MPa ，
36
惯性矩 I 80cm4 ，在跨中有一重物W mg 作用，略去钢梁本身质量不计，振动 的初始条件为：初位移 y0 正好等于 s ，初速度 y0 2.81cm / s 。试求该梁的固有 圆频率 ，振幅 A 及初相 ，总位移 。
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x(t)x1 (t) x2 (t)
其中， x1 t 为相应齐次方程的解 瞬态响应
x 2 t 为方程的特解
稳态响应或零初始条件的解
第二节
无阻尼自由振动
取物块的静平衡位置为坐标原点O，x轴 顺弹簧变形方向铅直向下为正。当物块 在静平衡位置时，由平衡条件，得到
弹簧的静变形 mg k st 当物块偏离平衡位置为x距离时，物块的 运动微分方程为
x0 arccos A
第2章 单自由度系统
第一节 第二节 概 述 无阻尼自由振动
第一节
概 述
为什么考虑单自由度系统振动？
具有实践意义
具有理论意义
一、理论模型的组成
质量元件
无弹性、不耗能的刚，储存动能的元件
x 平动： Fm m
力、质量和加速度的单位分 别为N、kg和m / s 2。
平衡长度
o
x
F Fs
k/m
m kx 0 x
2 x 0 x x(0) x0 , x(0) v0
方程怎样求解？
二阶线性常系数微分方程
• 二阶线性常系数微分方程的一般形式为
– y’’+ p y’+q y = f (x) – 特征方程： r2 + p r +q = 0
d 2 2 sin 0 dt2
忽略3次以上的高次项 得线性方程
x3 x5 x7 sin x x 3! 5! 7!
sin x x
d 2 2 0 dt 2
三、线性系统的描述
振动微分方程
m cx kx F (t ) x
方程的解
去掉高阶项后，可以用线性方程代替非线性方程来描述系统。
微幅运动是线性化的重要前提
由牛顿第二定律：
d 2 ml 2 F m gsin dt
d 2 g sin 0 2 dt l
d 2 2 sin 0 dt2
式中角频率：
非线性方程
g /l
线性化处理
aF (t ) bF2 (t ) ax1 (t ) bx2 (t) 1
叠加原理
线性系统由线性微分方程描述
m1 cx1 kx1 F1 x
m2 cx2 kx2 F2 x
d2 d m 2 ( x1 x2 ) c ( x1 x2 ) k ( x1 x2 ) F1 F2 dt dt
而与运动的初始条件无关。因此，通常将频率f 称为固
有频率，圆频率 称为固有圆频率。
用弹簧静变形量st表示固有圆频率的计算公式
物块在静平衡位置时 mg k st
k 固有圆频率 m
g
k
mg
st
st
力矩、转动惯量和角加速度 的单位分别为Nm、kg m 2和 rad / s 2
转动： Tm J
弹性元件
无质量、不耗能，储存势能的元件
平动： Fs k x
转动： Ts kt 阻尼元件
无质量、无弹性、线性耗能元件
力、刚度和位移的单位分别 为N、N / m和m 。 力矩、扭转刚度和角位移的 单位分别为Nm、 Nm / rad和 rad
并联系统
ce ci
i 1
n
串联系统
n 1 1 ce i 1 ci
二、线性系统
这部分讨论的系统都是时不变、集中参数的线性系统。 什么样的系统是一个线性 系统呢？
F1 (t ) x1 (t ) F2 (t ) x2 (t)
从物理的观点看，一个系统受到一 个外界激励（或输出）F1(t)时，可测 得其响应（或输出）x1(t)。同理，受 到激励F2(t)时，测得响应x2(t)。
非线性恢复力: Fs Fs (x)
当x较小时，对非线性恢复力应用泰勒展开有
d 2 Fs 2 dFs 1 dFs Fs Fs (0) x 2 x Fs (0) x dx dx x 0 2 dx x 0 x 0
x0
x x0 cos t
x0
sin t
另一种形式
x A sin(t )
振 幅
x0 2 2 A x0 ( ) arctan( x0 ) x0
初 相 位 角
两种形式描述的物 块振动，称为无阻 尼自由振动，简称 自由振动。
2011年3月1日
构成机械振动系统的基本元素
惯性--------使运动持续----------保持动能
恢复性-----恢复初始位置-------储存势能
阻尼--------阻碍物体运动-------耗散能量
惯性力: 恢复力:
F m x
Fs kx
Fd cx
N/m
阻尼力:
粘性阻尼系数的单位？
m kx x
2
m mg k ( st x) x
x 0 x
无阻尼自由振动微分方程
k 其中 m
固有圆频率
其通解为
x C1 cost C2 sin t
x0，x x0 可解
C1 x0
C2
其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。 设t=0时， x
特征根
x(t ) c1 exp(it ) c2 exp(it )
x(0) x0 x(0) v0
x0 c1 c2 v0 i(c1 c2 )
方程的通解
x(t ) c1[cos(t ) i sin(t )] c2 [cos(t ) i sin(t )] x0 cos(t ) v0
一般来说，实际的机 械系统不是线性系统，导 出的运动方程也不是线性 方程。
m
当x较小时，对非线性恢复力应用泰勒展开有
dFs 1 d 2 Fs 2 dFs Fs Fs (0) x 2 x Fs (0) x dx dx x 0 2 dx x 0 x 0
sin(t )
v0 / x0 A cos(t ) sin(t ) A A Asin( ) cos(t ) cos( ) sin(t ) A sin(t ) A cos(t )
A
2 x0
2
2 v0
x0 arcsin A
无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的 简谐振动
m 系统振动的周期 T 2π k
2π
系统振动的频率 f
1 1 T 2π 2
k m
系统振动的圆频率为
2πf
圆频率 是物块在自由振动中每2 秒内振动的次数。
f、 只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关，
• 齐次方程的通解
– 特征根： r1 和 r2 – 通解
• r1 ≠ r2 时 y(x) = A exp(r1x) + B exp(r2x) • r1 = r2 时 y(x) = A exp(r x) + B x exp(r x)
2 x 0 振动方程 x
r1 i,
r2 i
平动： Fd c x
力、阻尼系数和速度的单位 分别为N、N s/ m和m/s。 力矩、扭转阻尼系数和角速 度的单位分别为Nm、 Nms / rad和rad/s
转动：Td ct
参数的等效化处理
等效弹簧刚度
并联弹簧
ke ki
i 1
n
串联弹簧
1 ke
n
1 ki
i 1
等效阻尼系数