中考复习之专题四方程与方程组

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辽宁省大连市枫叶国际学校九年级数学【第一轮复习4】方程与方程组(2)二元一次方程组

授课时间：2013年3月26日【学习目标】：注重对于基础知识的掌握，提高基本能力。

【学习重点】：重视解方程组中的消元思想。

【学习难点】：解决实际问题学习过程【活动一】（独立完成或小组合作完成15分钟）1、下列不是二元一次方程组的是（） (A) 14y x += (B) 3525x y += （C ） 436x y += (D) 4x y +=1x y -= 1025x y += 1x y -= 24x y += 2、在3x+4y=5中，如果2y=6，那么x=3、由132x y -=,可以得到用x 表示y 的式子4、已知 x=1 是方程3mx-y=-1的解，则m=y=-85、方程组 327x y +=的解是413x y -=6、若方程mx+ny=6的两个解是 x=1 x=2 则m=y=1 y=-17、某年级有学生246人，其中男生比女生人数的2倍少3人，求男、女生各有多少人。

设女生人数为x 人，男生人数为y ，则可列出方程组【活动二】（独立完成或小组合作完成25分钟）解下列方程组8、 4x y -= 9、()()41312x y y --=-- 421x y +=- 223x y +=10、()2134x y x y-+-=-()() 64216 x y x y+--=11、A、B两地相距40千米，甲从A地向B地前进，同时乙从B地向A地前进，2小时后二人在途中相遇，相遇后甲返回A地，乙仍向A地前进，甲回到A地时，乙离A地还有4千米，求甲乙二人的速度。

12、一列快车长70米，一列慢车长80米，若两车同向而行，快车追上慢车到离开慢车需要1分钟，若两车相向而行，快车从与慢车相遇到离开慢车，只需要12秒，问快车与慢车的速度各是什么？13、现有1角、5角、1元硬币各10枚。

从中取出15枚，共值7元。

1角、5角、1元硬币各取多少枚？14、甲地到乙地全程是3.3km,一段上坡，一段平路，一段下坡。

如果保持上坡每小时行3km，平路每小时行4km，下坡每小时行5km，那么，从甲地到乙地需行51分钟，从乙地到甲地需行53.4分。

中考数学专题复习4分式、分式方程及一元二次方程(解析版)

分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 一元一次方程相关概念1．等式的性质：（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式.所得的结果仍是等式．（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数.所得的结果仍是等式．2．一元一次方程：只含有一个未知数.并且未知数的次数为1.这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠．【注意】x 前面的系数不为0．3．一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 4. 一元一次方程的求解步骤：步骤解释去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数去括号先去小括号.再去中括号.最后去大括号移项把含有未知数的项都移到方程的一边.其他项都移到方程的另一边合并同类项把方程化成ax b =-的形式系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a .得到方程的解为bx a=-【注意】解方程时移项容易忘记改变符号而出错.要注意解方程的依据是等式的性质.在等式两边同时加上或减去一个代数式时.等式仍然成立.这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项.此时该项在方程一边是0.而另一边是它改变符号后的项.所以移项必须变号．【例 1】若()2316m m x --=是一元一次方程,则m 等于（）A ．1B ．2C ．1或2D ．任何数【答案】B【解析】根据一元一次方程最高次为一次项.得│2m −3│=1.解得m =2或m =1. 根据一元一次方程一次项的系数不为0,得m −1≠0,解得m ≠1.所以m =2. 故选B.【例 2】关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程.则其解为_____．【答案】2x ＝或2x =-或x =-3．【解析】解：关于x 的方程21120m mx m x +﹣（﹣）﹣＝如果是一元一次方程.211m ∴﹣＝.即1m ＝或0m ＝.方程为20x ﹣＝或20x --＝.解得：2x ＝或2x =-.当2m -1=0.即m =12时.方程为112022x --=解得：x =-3. 故答案为x =2或x =-2或x =-3．【例 3】解方程：221123x x x ---=- 【答案】27x =【解析】解： 221123x x x ---=-()()6326221x x x --=-- 636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x = 27x =考点02 二元一次方程组相关概念1．二元一次方程：含有2个未知数.并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量.其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法：（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.并代入另一个方程中.消去一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．5. 列方程（组）解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）6. 一元一次方程（组）的应用：（1）销售打折问题：利润=售价-成本价；利润率=利润成本×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．（4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．（9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度．【例 4】已知－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.那么(n －m )2 012＝______【答案】1【解析】由于－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.所以有由m －1＝n .得－1＝n －m .所以(n －m )2 012＝(－1)2 012＝1.【例5】如图X2－1－1.直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b )．(1)求b 的值．(2)不解关于x .y 的方程组请你直接写出它的解．(3)直线l 3：y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？请说明理由．【答案】（1）2.（2）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.（3）见解析【解析】解：(1)当x ＝1时.y ＝1＋1＝2.∴b ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. (3)∵直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b ).∴当x ＝1时.y ＝m＋n ＝b ＝2.∴ 当x ＝1时.y ＝n ＋m ＝2.∴直线l 3：y ＝nx ＋m 也经过点P .【例6】家电下乡是我国应对当前国际金融危机.惠农强农.带动工业生产.促进消费.拉动内需的一项重要举措。

中考专题-整式方程与方程组

整式方程与方程组【重点、难点、考点】重点：了解方程的基本概念，掌握整式方程（组）的基本解法，灵活选用适当的解法。

难点：有关一元二次方程知识的综合运用是本节的难点。

考点：方程历来是中考命题的重点和热点，题目约占全卷的10%～20%，分数约占15%～25%，主要用填空题，选择题考查方程的基本概念和基础知识，用解答题考查方程的解法和方程知识的基本应用，用方程应用题考查数学应用能力。

【经典范例引路】例1 ①若方程组⎩⎨⎧=-=+222y x m y x 有两组相同的实数解，则m 的值是。

（2001年，杭州中考题）解 ①m=2②阅读材料解答问题（2001年大连市中考题）为解方程（x 2－1）2－5(x 2－1)+4=0，设x 2－1=y ，则原方程化为y 2－5y+4=0 ① 解得y 1=1,y 2=4，当y=1时，x 2－1=0 ∴x 2=2 ∴x=±2 当y=4时，x 2－1=4,∴x 2=5,x=±5∴原方程的解为x 1=2,x 2=－2,x 3=5,x 4=－5解答问题（1）填空在由原方程得到①的过程中利用法达到降次的目的，体现了的数学思想。

解（1）换元法，转化（2）解方程x 4－x 2－6=0（2）设x 2=y ，则x 4=y 2，原方程可化为y 2－y －6=0，得y 1=3,y 2=－2 当y =3时,x 2=3，∴x=±3，当y 2= －2时，x 2=－2无实根 ∴原方程的解为x 1=3,x 2=－3【解题技巧点拨】（1）正确理解和运用方程及方程组的有关定义利用代入——消元的思想，将问题转化为关于参数的一个方程，求得m 的值。

（2）正确地换元，到达降次的目的，从而使问题迎刃而解。

例2 已知关于x 的方程kx 2+(2k －1)x+k －1=0，①只有整数根，且关于y 的一元二次方程(k －1)y 2－3y+m=0 ②有两个实数根y 1和y 2。

2024届中考数学高频考点专项练习：专题四一次方程(组)综合训练(B)及答案

2024届中考数学高频考点专项练习：专题四一次方程（组）综合训练（B）1.已知是关于x的一元一次方程，则( )A.3或1B.1C.3D.02.若，，则的值为( )A.4B.C.D.3.端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A、B两种食品盒中，A种食品盒每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A、B两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装满），则不同的分装方式有( )A.2种B.3种C.4种D.5种4.如果的值与的值互为相反数，那么x等于( )A. B.0 C.1 D.5.定义：使等式成立的一对有理数a，b称为“伴随数对”，记为，如：数对，都是“伴随数对”，若5是“伴随数对”中的一个有理数，则这个“伴随数对”是( )A. B.C.或D.或6.有这样一首关于周瑜年龄的诗：“而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符”.大意为：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的六倍正好等于这个两位数.若设周瑜年龄的个位数为x，十位数为y，则可列出方程组为( )A. B. C. D.7.如图，电子蚂蚁P，Q在边长为1个单位长度的正方形的边上运动，电子蚂蚁P从点A出发，以个单位长度/秒的速度绕正方形作顺时针运动，电子蚂蚁Q从点A出发，以个单位长度/秒的速度绕正方形作逆时针运动，则它们第2019次相遇在( )A.点AB.点BC.点CD.点D8.中国减贫方案和减贫成就是史无前例的人类奇迹，联合国秘书长古特雷斯表示，“精准扶贫”方略帮助贫困人口实现2030年可持续发展议程设定的宏伟目标的唯一途径，中国的经验可以为其他发展中国家提供有益借鉴，为了加大“精准扶贫”力度，某单位将19名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领50个农户脱贫，若甲组每人负责4个农户，乙组每人负责3个农户，丙组每人负责1个农户，则分组方案有( )A.6种B.5种C.4种D.30种9.对x,y定义一种新运算T,规定:（其中a,b均为非零常数）,这里等式右边是通常的四则运算,例如:,若,,则结论正确的个数为( )（1）,;（2）若,则;（3）若,m,n均取整数,则或或;（4）若,当n取s,t时,m对应的值为c,d,当时,;（5）若对任意有理数x,y都成立(这里和T均有意义),则A.2个B.3个C.4个D.5个10.已知关于x，y的二元一次方程组则的值是__________.11.记，则方程所有解的和为_________.12.为进一步改善生态环境，村委会决定将一块土地分成甲，乙，丙三个区域来种树.村委会将三个区域的占地面积划分完毕后，发现将原甲区域的面积错划分给了乙区域，而原乙区域30%的面积错划分给了甲区域，丙区域面积未出错，造成现乙区域的面积占甲，乙两区域面积和的.为了协调三个区域的面积占比，村委会重新调整三个区域的面积，将丙区域面积的分两部分划分给现在的甲区域和乙区域.如果调整结束后，甲，乙，丙三个区域的面积比变为，那么村委会调整时从丙区域划分给甲区域的面积与三个区域总面积的比为_________.13.为了同学们的身体健康，学校初、高中部分别购买了A、B、C三种健身器材.已知初中部购买A、B、C的数量之比为，A、B、C的单价之比为；高中部购买A种器材比初中部购买A种器材多出的费用占高中部购买三种器材总费用的，高中部购买A种工具的单价比初中部少，高中部购买B种工具超出初中部B种工具的费用与高中部购买C种工具超出初中部购买C种工具的费用之比为；高中部购买A种工具的费用与购买B种工具的费用之比为；那么初中部购买A种工具的数量与高中部购买的A种工具的数量之比为_______________.14.为了加强公民的节水意识，合理利用水资源.某市采用阶梯价格调控手段达到节水目的，价目表如图.（1）若某户居民1月份用水，则水费__________元；（2）若某户居民某月用水，则用含x的代数式表示水费；（3）若某户居民3、4月份共用水，（4月份用水量超过3月份），共交水费44元，则该户居民3、4月份各用水多少立方米？15.某市有甲、乙两个有名的乐团，这两个乐团决定向某服装厂购买演出服，已知甲乐团购买的演出服每套70元，乙乐团购买的演出服每套80元，两个乐团共75人，购买演出服的总价钱为5600元.（1）甲、乙两个乐团各有多少人？（2）现从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人，去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”，甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友，这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖.请写出所有的抽调方案，并说明理由.答案以及解析1.答案：B解析：是关于x的一元一次方程，且，解得：或3，且，.故选B.2.答案：A解析：因为，所以，因为，所以，联立方程组可得解方程组可得，所以，故选A.3.答案：C解析：设使用A食品盒x个，使用B食品盒y个，根据题意得，，x、y都为正整数，解得，，，，一共有4种分装方式；故选C.4.答案：A解析：的值与的值互为相反数，，即，解得：.故选：A.5.答案：C解析：当时，，解得，此时“伴随数对”是，当时，，解得，此时“伴随数对”是，“伴随数对”是或，故选：C.6.答案：C解析：其十位上的数字比个位上的数字小3，可得方程：；根据个位上的数字的六倍正好等于这个两位数，可得方程：，可列出方程组为，故选：C.7.答案：D解析：设两只电子蚂蚁每隔x秒相遇一次，根据题意得：，解得：.电子蚂蚁P从点A出发，以个单位长度/秒的速度绕正方形作顺时针运动，它们第1次相遇电子蚂蚁P走了个单位长度，相遇在B点，同理，第2次相遇在C点，第3次相遇在D点，第4次相遇在A点，第5次相遇在B 点，第6次相遇在C点，….又，第2019次相遇和第3次相遇地点相同，即第2019次相遇在点D.故选：D.8.答案：B解析：设甲组有x名干部，乙组有y名干部，则丙组有名干部，由题意得，化简得，，当，时，，即甲组有1名干部，乙组有14名干部，则乙组有4名干部，当，时，，即甲组有3名干部，乙组有11名干部，则乙组有5名干部，当，时，，即甲组有5名干部，乙组有8名干部，则乙组有6名干部，当，时，，即甲组有7名干部，乙组有5名干部，则乙组有7名干部，当，时，，即甲组有9名干部，乙组有2名干部，则乙组有8名干部，综上，有5种方案，故选：B.9.答案：C解析:由题意可知,,,即,解得,故（1）正确;,;,,则;故（2）正确m,n均取整数,,的取值为,,,1,2,4;当,即时,;当,即时,;当,即时,;当,即时,;当,即时,;当,即时,;故（3）不正确,,,,当时,;故（4）正确;,,,,,,对任意有理数x,y都成立(这里和均有意义),则故（5）正确故选C10.答案：1解析：①-②×2，得，解得，把代入②，得，解得，故.11.答案：/解析：当时，，当时，，当时，，当时，，令，方程可化为，①；②；③；④；解得：或；或；或；或；或，解得：或或；所有解的和为，故答案为：.12.答案：解析：设甲，乙，丙三个区域原来的面积分别为x，y，z，，解得则此时，甲区域：，乙区域：，将丙区域面积的分两部分划分给现在的甲区域和乙区域，甲，乙，丙三个区域的面积比变为，则解得：，设最后从丙区域面积的分两部分划分给现在的甲区域面积为，则，解得，村委会调整时从丙区域划分给甲区域的面积与三个区域总面积的比为，故答案为：.13.答案：解析：设初中部购买A、B、C的数量分别为、、，A、B、C的单价分别为、y、y，则初中部购买A、B、C的费用分别为、、，高中部购买三种工具的总费用为a元，高中部购买B种工具超出初中部B种工具的费用，高中部购买C种工具超出初中部购买C种工具的费用分别为，，根据题意得：，解得：，高中部购买的A种工具的数量为：，初中部购买A种工具的数量与高中部购买的A种工具的数量之比为.故答案为：.14.答案：（1）20（2）水费为（元）（3）该户居民3月份的用水量为，4月份的用水量为解析：（1）（元）.故答案为：20.（2）当时，水费为元；当时，水费为元；当时，水费为元.综上所述，水费为（元）.（3）设3月份的用水量为，则4月份的用水量为，当时，，解得：，；当时，，解得：（不合题意，舍去）；当时，，该情况不符合题意.答：该户居民3月份的用水量为，4月份的用水量为.15.答案：（1）甲乐团有40人，乙乐团有35人（2）共有两种方案：从甲乐团抽调5人，从乙乐团抽调10人；或者从甲乐团抽调10人，从乙乐团抽调7人；见解析解析：（1）设甲乐团有x人，乙乐团有y人，根据题意，得，解得，答：甲乐团有40人，乙乐团有35人；（2）由题意，得，变形得，因为，，且a，b均为整数，所以或，所以共有两种方案：从甲乐团抽调5人，从乙乐团抽调10人；或者从甲乐团抽调10人，从乙乐团抽调7人.。

人教版九年级数学第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理

第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理第5讲一次方程(组)第6讲一元二次方程第7讲分式方程三、知识清单梳理第8讲一元一次不等式(组)知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1.2.不等式的基本性质性质1：若a＞b,则a±c>b±c；性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，ac>bc；性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，ac<bc.牢记不等式性质3，注意变号.如：在不等式－2x＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x＜2.知识点二：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230mmx++>是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a 的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a＜b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小，小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大，小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.。

中考数学专题4一元一次方程与二元一次方程(全国通用原卷版)

一元一次方程与二元一次方程（组）一、单选题1．（2022·海南）若代数式1x +的值为6，则x 等于（）A ．5B ．5-C ．7D ．7- 2．（2022·山东滨州）在物理学中，导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U ，导体的电阻R 之间有以下关系：U I R=去分母得IR U =，那么其变形的依据是（） A ．等式的性质1 B ．等式的性质2 C ．分式的基本性质 D ．不等式的性质2 3．（2021·吉林）古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，若设这个数是x ，则所列方程为（）A ．213337x x x ++=B ．21133327x x x ++= C ．21133327x x x x +++= D ．21133372x x x x ++-= 4．（2021·黑龙江牡丹江）已知某商店有两件进价不同的运动衫都卖了160元，其中一件盈利60%，另一件亏损20%，在这次买卖中这家商店（） A ．不盈不亏 B ．盈利20元 C ．盈利10元 D ．亏损20元 5．（2021·四川绵阳）近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，那么该分派站现有包裹（） A ．60件 B ．66件 C ．68件 D ．72件 6．（2022·江苏苏州）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x 步才能追上，根据题意可列出的方程是（）A ．60100100x x =-B ．60100100x x =+C ．10010060x x =+D ．10010060x x =- 7．（2022·湖南岳阳）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为（）A ．25B ．75C ．81D ．908．（2022·贵州铜仁）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为（） A ．14 B ．15 C ．16 D ．179．（2022·辽宁营口）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x 天可以追上慢马，则下列方程正确的是（）A ．24015015012x x +=⨯B ．24015024012x x -=⨯C ．24015024012x x +=⨯D ．24015015012x x -=⨯10．（2021·广西梧州）在ⅠABC 中，ⅠA ＝20°，ⅠB ＝4ⅠC ，则ⅠC 等于（） A ．32° B ．36° C ．40° D ．128°11．（2021·湖南株洲）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米……”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得粝米为（）A ．1.8升B ．16升C ．18升D ．50升 12．（2020·辽宁辽宁）我市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米，根据题意，所列方程组正确的是（）A．223400x yx y=-⎧⎨+=⎩B．223()40050x yx x y=-⎧⎨++=-⎩C．22340050x yx y=+⎧⎨+=-⎩D．223()40050x yx x y=+⎧⎨++=-⎩13．（2020·黑龙江齐齐哈尔）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种14．（2020·山东临沂）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（）A．2392xyxy⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B．2392xyxy⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩C．2392xyxy⎧=+⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩D．2392xyxy⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩15．（2020·浙江嘉兴）用加减消元法解二元一次方程组3421x yx y+=⎧⎨-=⎩①②时，下列方法中无法消元的是（）A．Ⅰ×2﹣ⅠB．Ⅰ×（﹣3）﹣ⅠC．Ⅰ×（﹣2）+ⅠD．Ⅰ﹣Ⅰ×3 16．（2022·广东深圳）张三经营了一家草场，草场里面种植上等草和下等草．他卖五捆上等草的根数减去11根，就等下七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数．设上等草一捆为x根，下等草一捆为y 根，则下列方程正确的是（）A．51177255y xy x-=⎧⎨-=⎩B．51177255x yx y+=⎧⎨+=⎩C．51177255x yx y-=⎧⎨-=⎩D．71155257x yx y-=⎧⎨-=⎩17．（2022·山东聊城）关于x，y的方程组2232x y kx y k-=-⎧⎨-=⎩的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（）A ．8k ≥B ．8k >C ．8k ≤D ．8k <18．（2022·黑龙江）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（）A ．5B ．6C ．7D ．819．（2022·黑龙江齐齐哈尔）端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A 、B 两种食品盒中，A 种食品盒每盒装8个粽子，B 种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A 、B 两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装满），则不同的分装方式有（）A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种20．（2021·四川德阳）关于x ，y 的方程组3212331x y k x y k +=-⎧⎨+=+⎩的解为x a y b =⎧⎨=⎩，若点P （a ，b ）总在直线y ＝x 上方，那么k 的取值范围是（）A ．k ＞1B ．k ＞﹣1C ．k ＜1D ．k ＜﹣1 21．（2021·黑龙江）为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180 元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（）A ．5种B ．6种C ．7种D ．8种22．（2021·黑龙江齐齐哈尔）周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种23．（2020·湖南张家界）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x 人，可列方程（）A ．2932x x +=-B ．9232xx -+= C ．9232x x +-= D ．2932x x -=+ 24．（2020·内蒙古呼和浩特）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了（）A ．102里B ．126里C ．192里D ．198里 25．（2022·湖北武汉）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x 与y 的和是（）A ．9B ．10C ．11D ．1226．（2021·湖北武汉）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返同，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y （单位：km ）与慢车行驶时间t （单位：h ）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（）A ．5h 3 B ．3h 2 C ．7h 5 D ．4h 327．（2020·四川绵阳）《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？此问题中羊价为（）A．160钱B．155钱C．150钱D．145钱28．（2020·黑龙江鹤岗）学校计划用200元钱购买A、B两种奖品，A种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（）A．2种B．3种C．4种D．5种29．（2020·黑龙江牡丹江）若21ab=⎧⎨=⎩是二元一次方程组3522ax byax by⎧+=⎪⎨⎪-=⎩的解，则x＋2y的算术平方根为（）A．3B．3，－3C3D33 30．（2020·浙江绍兴）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km．它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地（）A．120km B．140km C．160km D．180km二、填空题31．（2020·广西柳州）一元一次方程2x﹣8＝0的解是x＝_____．32．（2020·湖南永州）方程组422x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是_________．33．（2022·辽宁大连）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．”其大意是：“今有人合伙买猪，每人出100钱，则会多出100钱；每人出90钱，恰好合适．”若设共有x人，根据题意，可列方程为____________．34．（2021·贵州遵义）已知x，y满足的方程组是22237x yx y+=⎧⎨+=⎩，则x+y的值为___．35．（2022·湖北随州）已知二元一次方程组2425x yx y+=⎧⎨+=⎩，则x y-的值为______．36．（2021·黑龙江大庆）某酒店客房都有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施，一个46人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1310元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共________间；37．（2021·湖南邵阳）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价值是多少？该问题中物品的价值是______钱．38．（2020·甘肃金昌）暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动，某款式眼镜的广告如图，请你为广告牌填上原价．原价：_________元39．（2022·吉林长春）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，设店中共有x间房，可求得x的值为________．40．（2022·内蒙古呼和浩特）某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了_______千克糯米；设某人的付款金额x x 的函数解析式为为x元，购买量为y千克，则购买量y关于付款金额(10)______．41．（2020·湖北省直辖县级单位）篮球联赛中，每玚比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队14场比赛得到23分，则该队胜了_________场．42．（2020·黑龙江牡丹江）某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打________折．43．（2022·浙江嘉兴）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A ，B 处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k （N ）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP 扩大到原来的n （1n >）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为_______（N ）（用含n ，k 的代数式表示）．44．（2021·山东日照）关于x 的方程220x bx a ++=（a 、b 为实数且0a ≠），a 恰好是该方程的根，则a b +的值为_______．45．（2021·山东枣庄）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m 的值为______．46．（2021·江苏扬州）扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？答：快马_______天追上慢马．47．（2020·内蒙古呼和浩特）公司以3元/kg 的成本价购进10000kg 柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得12000元利润，在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确定每千克柑橘的售价，右面是销售部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分，由此可估计柑橘完好的概率为_______（精确到0.1）；从而可大约确定每千克柑橘的实际售价为_______元时（精确到0.1），可获得12000元利润．柑橘总质量/kg n 损坏柑橘质量/kg m 柑橘损坏的频率mn （精确到0.001）…... (250)24.75 0.099 30030.93 0.103 35035.12 0.100 45044.54 0.099 50050.62 0.10148．（2022·福建）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：设任意一个实数为x ，令x m =，等式两边都乘以x ，得2x mx =．Ⅰ等式两边都减2m ，得222x m mx m -=-．Ⅰ等式两边分别分解因式，得()()()x m x m m x m +-=-．Ⅰ 等式两边都除以x m -，得x m m +=．Ⅰ等式两边都减m ，得x ＝0.Ⅰ所以任意一个实数都等于0.以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是______．49．（2022·贵州贵阳）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x ，y 的系数与相应的常数项，即可表示方程423x y +=，则表示的方程是_______．50．（2022·四川雅安）已知12x y =⎧⎨=⎩是方程ax +by ＝3的解，则代数式2a +4b ﹣5的值为 _____．51．（2022·湖北武汉）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货___________吨．52．（2021·贵州黔西）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5t ，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t ，则3辆大货车与2辆小货车一次可以运货______t ．53．（2021·北京）某企业有,A B 两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A 生产线共加工a 吨原材料，加工时间为()41a +小时；在一天内，B 生产线共加工b 吨原材料，加工时间为()23b +小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到,A B 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A 生产线的吨数与分配到B 生产线的吨数的比为______________．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A 生产线分配了m 吨原材料，给B 生产线分配了n 吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则m n的值为______________． 54．（2022·黑龙江绥化）在长为2，宽为x （12x <<）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x 的值为________．55．（2021·山东烟台）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则a 的值为____________．56．（2020·湖北）对于实数,m n ，定义运算2*(2)2m n m n =+-．若2*4*(3)a =-，则=a _____．57．（2020·湖北随州）幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方---九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m 的值为______．58．（2021·四川绵阳）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场从6月12日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元．轩轩同学想在今天中考结束后，为敬老院送肉粽和白粽各5盒，则他6月13日购买的花费比在打折前购买节省_____元．59．（2021·内蒙古呼伦贝尔）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是3217423x yx y+=⎧⎨+=⎩，类似的，图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就是______________．60．（2022·北京）甲工厂将生产的I号、II号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下：包裹编号I号产品重量/吨II号产品重量/吨包裹的重量/吨A516B325C235D437E358甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．（1）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）；（2）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的II号产品最多，写出满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）．61．（2022·山东威海）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝_____．三、解答题62．（2022·广东）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？63．（2022·四川德阳）习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了A种树苗500株，B种树苗400株，已知B种树苗单价是A种树苗单价的1.25倍．(1)求A、B两种树苗的单价分别是多少元？(2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中A种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？64．（2021·黑龙江哈尔滨）君辉中学计划为书法小组购买某种品牌的A、B两种型号的毛笔．若购买3支A种型号的毛笔和1支B种型号的毛笔需用22元；若购买2支A种型号的毛笔和3支B种型号的毛笔需用24元．（1）求每支A种型号的毛笔和每支B种型号的毛笔各多少元；（2）君辉中学决定购买以上两种型号的毛笔共80支，总费用不超过420元，那么该中学最多可以购买多少支A种型号的毛笔？65．（2021·广西柳州）如今，柳州螺蛳粉已经成为名副其实的“国民小吃”，螺蛳粉小镇对A、B两种品牌的螺蛳粉举行展销活动．若购买20箱A品牌螺蛳粉和30箱B品牌螺蛳粉共需要4400元，购买10箱A品牌螺蛳粉和40箱B品牌螺蛳粉则需要4200元．（1）求A、B品牌螺蛳粉每箱售价各为多少元？（2）小李计划购买A、B品牌螺蛳粉共100箱，预算总费用不超过9200元，则A品牌螺蛳粉最多购买多少箱？66．（2022·湖南永州）受第24届北京冬季奥林匹克运动会的影响，小勇爱上了雪上运动.一天，小勇在滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道A端以平均()2x+米/秒的速度滑到B端，用了24秒；第二次从滑雪道A端以平均()3x+米/秒的速度滑到B端，用了20秒．(1)求x的值；(2)设小勇从滑雪道A端滑到B瑞的平均速度为v米/秒，所用时间为t秒，请用含t 的代数式表示v（不要求写出t的取值范围）．67．（2022·广西贵港）为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球，已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同．(1)绳子和实心球的单价各是多少元？(2)如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？68．（2022·四川内江）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：甲型客车乙型客车载客量（人/辆）3530租金（元/400320辆）学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？(3)学校租车总费用最少是多少元？69．（2022·湖南长沙）电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：(1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”．Ⅰ刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案．（）Ⅰ刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案．（）Ⅰ该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．（）(2)若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量．70．（2021·贵州黔西）甲、乙两家水果商店，平时以同样的价格出售品质相同的樱桃．春节期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，甲商店的樱桃价格为60元/kg；乙商店的樱桃价格为65元/kg．若一次购买2kg以上，超过2kg部分的樱桃价格打8折．(1)设购买樱桃x kg，y甲，y乙（单位：元）分别表示顾客到甲、乙两家商店购买樱桃的付款金额，求y甲，y乙关于x的函数解析式；(2)春节期间，如何选择甲、乙两家商店购买樱桃更省钱？71．（2021·广西桂林）为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积．（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？（2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工费用为400元，比较以下三种方案：Ⅰ甲队单独完成；Ⅰ乙队单独完成；Ⅰ甲、乙两队全程合作完成．哪一种方案的施工费用最少？72．（2021·广西贺州）为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过312m时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过312m时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为310m，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为314m，缴纳水费51.4元．（1）问该市一级水费，二级大费的单价分别是多少？（2）某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？73．（2021·湖南益阳）为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）-益（阳）-常（德）高铁，其中长益段将于2021年底建成．开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米，运行时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速度是开通后的高铁的13 30．（1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？（2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为7：9，计划40天完成．施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？。

2023年九年级数学中考复习+方程及方程组同解问题+专题提升训练

2022-2023学年九年级数学中考复习《方程及方程组同解问题》专题提升训练（附答案）1．我们把解相同的两个方程称为同解方程．例如：方程：2x＝6与方程4x＝12的解都为x ＝3，所以它们为同解方程．（1）若方程2x﹣3＝11与关于x的方程4x+5＝3k是同解方程，求k的值；（2）若关于x的方程x﹣2（x﹣m）＝4和﹣＝1是同解方程，求m的值．2．（1）x取何值时，代数式4x﹣5与3x﹣6的值互为相反数？（2）k取何值时，关于x的方程2（2x﹣3）＝1﹣2x和8﹣k＝2（x+1）的解相同？3．已知关于x的方程（|k|﹣3）x2﹣（k﹣3）x+2m+1＝0是一元一次方程．（1）求k的值．（2）若已知方程与方程3x﹣2＝4﹣3x的解互为相反数，求m的值．（3）若已知方程与关于x的方程7﹣3x＝﹣5x+2m的解相同，求m的值．4．如果关于x的方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解与方程的解相同，求字母a的值．5．已知关于x的方程（a﹣2）x|a|﹣1+4b＝0为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程的解相同．（1）求a、b的值；（2）在（1）的条件下，若关于y的方程|m﹣1|y+n＝a+1+2by有无数解，求m，n的值．6．已知关于x的方程2（x+1）＝3m+1的解与方程5x+3＝﹣7的解互为相反数，求m的值．7．如果方程的解与方程4x﹣（3a﹣5）＝6x+2a﹣5的解相同，求式子a﹣的值．8．已知方程4x+2m＝3x+1和方程3x+2m＝6x+1的解相同．（1）求m的值；（2）求代数式（﹣2m）2020﹣（m﹣）2021的值．9．已知方程组和方程组的解相同．（1）求a，b的值．（2）求的值．10．已知关于x的方程kx﹣b＝0（k≠0）．（1）当k＝2，b＝3时，方程的解为；（2）若x＝﹣1是方程的解，用等式表示k与b满足的数量关系：；（3）若这个方程的解与关于x的方程2kx﹣5＝0的解相同，则b的值为．11．（1）仔细阅读下面解方程组的方法，并将解题过程补充完整：解方程组时，如果直接用代入消元或加减消元，计算会很繁琐，若采用下面的解法，则会简单很多．解：①﹣②．得：2x+2y＝2，即x+y＝1③；③×16，得：16x+16y＝16④；②﹣④，得：x＝；将x的值代入③得：y＝；∴方程组的解是；（2）请你采用上述方法解方程组：．12．已知关于x，y的方程组和方程组的解相同．（1）这两个方程组的解；（2）求（2a+b）的值．13．已知关于x，y的方程组的解中x与y的和为3，求m的值及此方程组的解．14．如果某个二元一次方程组的解互为相反数，那么我们称这个方程组为“奇妙方程组”．（1）请判断方程组是否为“奇妙方程组”，并说明理由；（2）如果关于x，y的方程组是“奇妙方程组”，求a的值．15．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（a，0），B（b，0），a和b满足方程组，若C为y轴正半轴上一点，且三角形ABC的面积为6．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）坐标系中是否存在点P（m，n），使三角形P AB的面积为三角形ABC面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．16．我国著名数学家苏步青在访问德国时，德国一问位数学家给他出了这样一道题目：甲、乙两人相对而行，他们相距10km，甲每小时走3km，乙每小时走2km，甲带着一条狗，狗每小时跑5km，狗跑得快，它同甲一起出发的，碰到乙的时候向甲跑去，碰到甲的时候又向乙跑去．问：当甲、乙两人相遇时，这条狗一共跑了多少千米？苏步青教授很快就解出了这道题目．同学们，你知道他是怎么解的吗？这道题最让人迷惑不解的是甲身边的那条狗．如果我们先计算狗从甲身边跑到乙身边的路程，再计算狗从乙身边跑到甲身边的路程s，……，显然把狗跑的路程相加，这样很繁琐，笨拙且不易计算．苏教授根据甲、乙出发到相遇经历的时间与狗所走的时间相等，即10÷（3+2）＝2（h），这样就不难求出狗一共跑的路程是5×2＝10（km）．苏步青教授在解题时，把注意力和着眼点放在问题的结构上，从而能触及问题的实质：狗所走的时间恰好是甲、乙两人相遇所用的时间，从而使问题得到巧妙的解决．苏教授这种解题的方法实际上就是数学中的整体思想的运用．对于某些数学问题，灵活运用整体思想，常可化难为易，捷足先登．在解二元一次方程组时，也要注意这种方法的应用．比如解方程组解：把②代入①，得x+2×1＝4，∴x＝2．把x＝2代入②，得2+2y＝1，解得y＝﹣，∴方程组的解为．同学们，你会用同样的方法解这个方程组吗？试试看！17．甲、乙两位同学在解关于x、y的方程组时，甲同学看错a得到方程组的解为，乙同学看错b得到方程组的解为，求x+y的值．18．阅读材料：善思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法：解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y③；把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为．请你模仿小军的“整体代入”法解方程组．19．若关于x，y的方程组与有相同的解．（1）求这个相同的解；（2）求2m+n的平方根．20．已知关于x，y的方程组．（1）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值；（2）无论实数m取何值，方程m﹣2y+mx+9＝0总有一个公共解，请直接写出这个公共解．参考答案1．解：（1）∵方程2x﹣3＝11与关于x的方程4x+5＝3k是同解方程，∴2x﹣3＝11，解得x＝7，把x＝7代入方程4x+5＝3k，解得k＝11，∴k的值为11；（2）∵x﹣2（x﹣m）＝4，∴x＝2m﹣4，∵方程x﹣2（x﹣m）＝4和﹣＝1是同解方程，∴﹣＝1，∴3（3m﹣4）﹣2（2m﹣4）＝6，∴m＝2．2．解：（1）∵4x﹣5与3x﹣6的值互为相反数，∴4x﹣5+3x﹣6＝0，解得x＝；（2）2（2x﹣3）＝1﹣2x，4x﹣6＝1﹣2x，6x＝7，x＝，∴8﹣k＝2（x+1）的解为x＝，∴8﹣k＝2×，解得k＝．3．解：（1）由题意得：|k|﹣3＝0且k﹣3≠0，∴k＝±3且k≠3，∴k＝﹣3，∴k的值为﹣3；（2）3x﹣2＝4﹣3x，6x＝6，x＝1，∵已知方程与方程3x﹣2＝4﹣3x的解互为相反数，∴把x＝﹣1，k＝﹣3代入（|k|﹣3）x2﹣（k﹣3）x+2m+1＝0中可得：﹣6+2m+1＝0，m＝，∴m的值为：；（3）把k＝﹣3代入（|k|﹣3）x2﹣（k﹣3）x+2m+1＝0中可得：6x+2m+1＝0，∴x＝，7﹣3x＝﹣5x+2m，∴x＝，∵已知方程与关于x的方程7﹣3x＝﹣5x+2m的解相同，∴＝，∴m＝，∴m的值为：．4．解：4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1，4x﹣3a﹣1＝6x+2a﹣1，﹣2x＝5a，x＝﹣a，，2（x﹣4）﹣48＝﹣3（x+2），2x﹣8﹣48＝﹣3x﹣6，5x＝50，x＝10，∵两个方程的解相同，∴﹣a＝10，∴a＝﹣4．5．解：（1）∵方程（a﹣2）x|a|﹣1+4b＝0为一元一次方程，∴|a|﹣1＝1，∴a＝±2，∵a﹣2≠0，∴a≠2，∴a＝﹣2，∴方程为﹣4x+4b＝0，解得x＝b，∵方程的解与方程的解相同，∴＝1，∴x＝1，∴b＝1；（2）由题可知方程为|m﹣1|y+n＝﹣2+1+2y，∴（|m﹣1|﹣2）y＝﹣n﹣1，∵方程有无数解，∴﹣n﹣1＝0，|m﹣1|＝2，∴n＝﹣1，m＝3或m＝﹣1．6．解：5x+3＝﹣7，解得x＝﹣2，因为关于x的方程2（x+1）＝3m+1的解与方程5x+3＝﹣7的解互为相反数，所以关于x的方程2（x+1）＝3m+1的解是x＝2，把x＝2代入方程2（x+1）＝3m+1，得2×（2+1）＝3m+1，解得．∴m的值为．7．解：，去分母得2（x﹣4）﹣48＝﹣3（x+2），去括号得2x﹣8﹣48＝﹣3x﹣6，移项得2x+3x＝﹣6+8+48，合并同类项得5x＝50，系数化为1得x＝10，把x＝10代入4x﹣（3a﹣5）＝6x+2a﹣5得40﹣3a+5＝60+2a﹣5，移项得﹣3a﹣2a＝60﹣5﹣40﹣5，合并同类项得﹣5a＝10，解得a＝﹣2，∴a﹣＝﹣2﹣（﹣）＝﹣2+＝﹣．8．解：（1）由4x+2m＝3x+1解得：x＝1﹣2m，由3x+2m＝6x+1解得：x＝，由题知：1﹣2m＝，解得：m＝；（2）当m＝时，（﹣2m）2020﹣（m﹣）2021＝（﹣2×）2020﹣（﹣）2021＝1+1＝2．9．解：（1）∵方程组和方程组的解相同，∴和同解，，①×2得，4x+2y＝2③，③﹣②，得3x＝6，∴x＝2，将x＝2代入①可得y＝﹣3，∴方程组的解为，∴，④×2得，4a+6b＝14⑥，⑤×3得，6b+9a＝24⑦，⑦﹣⑥，得5a＝10，∴a＝2，将a＝2代入④，得b＝1，∴方程组的解为；（2）将a＝2，b＝1代入可得，|﹣2|+（1﹣）＝2﹣+﹣2＝0．10．解：（1）∵k＝2，b＝3，∴2x﹣3＝0，∴x＝，故答案为：；（2）∵x＝﹣1是方程的解，∴﹣k﹣b＝0，∴k＝﹣b，故答案为：k＝﹣b；（3）解关于x的方程kx﹣b＝0，得x＝，解关于x的方程2kx﹣5＝0，得x＝，∵两方程的解相同，∴＝，∴2b＝5，∴b＝，故答案为：．11．解：（1）②﹣④，得：17x+16y﹣16x﹣16y＝15﹣16，即x＝﹣1；将x的值代入③得：﹣1+y＝1，即y＝2；故答案为：﹣1；2；；（2），①﹣②，得：2x+2y＝2，即x+y＝1③，③×2019，得：2019x+2019y＝2019④，②﹣④，得：x＝﹣1，将x的值代入③，得：y＝2，∴方程组的解为．12．解：（1）∵关于x，y的方程组和方程组的解相同，∴x，y满足，由①×2+②×3可得：2（2x﹣3y）+3（3x+2y）＝﹣10×2+11×3，13x＝13，x＝1，将x＝1代入①可得：2﹣3y＝﹣10，y＝4，∴两个方程组的解为，（2）将两个方程组中的第二个方程联立可得，将代入可得，由③+④×4可得：a+4b+4（4a﹣b）＝14+5×4，17a＝34，a＝2，将a＝2代入③可得：2+4b＝14，b＝3，∴2a+b＝2×2+3＝7．13．解：，解得：，∴x+y＝，又∵x与y的和为3，∴＝3，解得：m＝5，把m＝5代入，解得：，∴方程组的解为：解得：，∴m的值为5，方程组的解为解得：．14．解：（1）是奇妙方程组，理由如下：，②﹣①得x+y＝0，∴原方程组是“奇妙方程组”；（2）∵该方程组是奇妙方程组，∴x＝﹣y，∴原方程组可化为，①+②，得6﹣a+4a＝0，∴a＝﹣2，即a的值为﹣2．15．解：（1）解方程组得，∴A（1，0），B（﹣5，0），∴AB＝6，∵三角形ABC的面积为6，∴，∴OC＝2，∴C（0，2）；（2）存在，∵三角形P AB的面积为三角形ABC面积的一半，∴，∴n＝±1，∴P点的坐标为（m，1）或（m，﹣1）．16．解：+2y＝9可变形为+2y＝9．∵2x﹣3y﹣2＝0，整理得1+2y＝9，∴y＝4．将y＝4代入2x﹣3y﹣2＝0，解得x＝7．∴方程组的解为．17．解：把代入bx﹣y＝2得：3b﹣4＝2，解得：b＝2，把代入2x+ay＝1得：4﹣3a＝1，解得：a＝1，∴原方程组为，解得：，∴x+y＝＝．18．解：将方程②变形为：9x﹣6y+2y＝19，即3（3x﹣2y）+2y＝19③，将方程①整体代入③中，得3×5+2y＝19，解得：y＝2，将y＝2代入①，得3x﹣2×2＝5，解得：x＝3，∴方程组的解是．19．解：（1）根据题意，联立，①+②，得2x＝4，解得x＝2，把x＝2代入①，得2+y＝1，解得y＝﹣1．∴这个相同的解为．（2）将代入，得，③+④，得m＝6，把m＝6代入③，得12﹣2n＝4，解得n＝4．∴2m+n＝16，∴2m+n的平方根为±＝±4．20．解：（1）根据题意，联立，①﹣②，得y＝5，将y＝5代入①，得x＝﹣5．把代入m﹣2y+mx+9＝0，可得m﹣2×5﹣5m+9＝0，解得m＝．∴m的值为．（2）这个公共解为．理由：将m﹣2y+mx+9＝0变形，得（1+x）m﹣2y+9＝0，∵无论实数m取何值，方程m﹣2y+mx+9＝0总有一个公共解，∴1+x＝0，解得x＝﹣1，将x＝﹣1代入m﹣2y+mx+9＝0，可得y＝．∴这个公共解为．。

中考数学专题复习四--分式方程和不等式

中考数学专题复习四--分式方程和不等式(组)(总6页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除中考数学专题复习（四）分式方程和不等式（组）【知识梳理】1．分式方程:分母中含有的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：①设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；②解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④检验作答.4．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列；（2）检验所求的解是否 . 5．易错知识辨析：（1）去分母时，不要漏乘没有分母的项.（2）解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.（3）如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值.6．不等式的有关概念：用连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的的值叫做不等式的解；一个含有的不等式的解的叫做不等式的解集.求一个不等式的的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式.7．不等式的基本性质：（1）若a ＜b ，则a +c c b +；（2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或ca cb ）；（3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc （或c a cb ）. 8．一元一次不等式：只含有未知数，且未知数的次数是且系数的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为或ax b <；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、、移项、、系数化为1.9．一元一次不等式组：几个合在一起就组成一个一元一次不等式组.一般地，几个不等式的解集的，叫做由它们组成的不等式组的解集.10．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a b <）x a x b <⎧⎨<⎩的解集是x a <，即“小小取小”； x a x b >⎧⎨>⎩的解集是x b >，即“大大取大”；x a x b >⎧⎨<⎩的解集是a x b <<，即“大小小大中间找”； x a x b <⎧⎨>⎩的解集是空集，即“大大小小取不了”.11．易错知识辨析：（1）不等式的解集用数轴来表示时，注意“空心圆圈”和“实心点”的不同含义.（2）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况.如不等式ax b >（或ax b <）（0a ≠）的形式的解集：当0a >时，b x a >（或b x a <）；当0a <时，b x a <（或b x a>）；当0a <时，b x a <（或b x a>）. 12．求不等式（组）的特殊解：不等式（组）的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案.13．列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x ）；③找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；④列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：解所列出的不等式（组），写出未知数的值或范围；⑥验：检验所求解是否符合题意；⑦答：写出答案（包括单位）.14．易错知识辨析：判断不等式是否成立，关键是分析不等号的变化，其根据是不等式的性质.【真题回顾】一、选择题1．(2010年山东菏泽全真模拟1)下列运算中，错误．．的是（） A.(0)a ac c b bc =≠ B.1a b a b--=-+2(4)4-= D.x y y x x y y x --=++ 2．(2010年江西省统一考试样卷)若分式21x x +有意义，则x 的取值范围是（）A ．x ＞1B ．x ＞－1C ．x ≠0D ．x ≠－13.（2009年孝感）关于x 的方程211x a x +=- 的解是正数，则a 的取值范围是（） A ．a ＞－1 B ．a ＞－1且a≠0 C ．a ＜－1 D ．a ＜－1且a≠－24.（2011.鸡西）分式方程)2)(1(11+-=--x x m x x 产生增根，则m 的值是（） A. 0和3 B. 1 C. 1和-2 D. 35.（2009年安徽）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（）A ．8 B.7 C ．6 D ．5二、填空题1.（2010年西湖区月考）若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于 2.(2010年江苏省泰州市中考模拟题)使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是 . 3．（2009年滨州）解方程2223321x x x x --=-时，若设21x y x =-，则方程可化为． 4．（2011襄阳）已知关于x 的分式方程1131=-+-xx m 的解是正数，则m 的取值范围为 5．（2010新疆乌鲁木齐）在数轴上，点A 、B 对应的数分别为2 ，15+-x x ，且A 、B 两点关于原点对称，则x 的值为。

中考数学常见易错知识点汇总(方程组与不等式组)

中考数学常见易错知识点汇总（方程组与不
等式组）
方程（组）与不等式（组）
易错点1：各种方程（组）的解法要熟练掌握，方程（组）无解的意义是找不到等式成立的条件。

易错点2：运用等式性质时，两边同除以一个数必须要注意不能为0 的情况，还要关注解方程与方程组的基本思想。

（消元降次）主要陷阱是消除了一个带X 公因式要回头检验！
易错点3：运用不等式的性质３时，容易忘记改不改变符号的方向而导致结果出错。

易错点4：关于一元二次方程的取值范围的题目易忽视二次项系数不为0导致出错。

易错点5：关于一元一次不等式组有解无解的条件易忽视相等的情况。

易错点6：解分式方程时首要步骤去分母，分数相相当于括
号，易忘记根检验，导致运算结果出错。

易错点7：不等式（组）的解得问题要先确定解集，确定解集的方法运用数轴。

易错点8：利用函数图象求不等式的解集和方程的解。

专题04 一次方程(组)及其应用-备战2022年中考数学题源解密(解析版)

专题04 一次方程（组）及其应用考向1 一次方程（组）及其解法【母题来源】（2021·浙江温州）【母题题文】解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（）A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x【分析】可以根据乘法分配律先将2乘进去，再去括号．【解答】解：根据乘法分配律得：﹣（4x+2）＝x，去括号得：﹣4x﹣2＝x，故选：D．【母题来源】（2021·浙江金华）【母题题文】已知是方程3x+2y＝10的一个解，则m的值是．【分析】把二元一次方程的解代入到方程中，得到关于m的一元一次方程，解方程即可．【解答】解：把代入方程得：3×2+2m＝10，∴m＝2，故答案为：2．【母题来源】（2021·浙江嘉兴）【母题题文】已知二元一次方程x+3y＝14，请写出该方程的一组整数解．【分析】把y看做已知数求出x，确定出整数解即可．【解答】解：x+3y＝14，x＝14﹣3y，当y＝1时，x＝11，则方程的一组整数解为．故答案为：（答案不唯一）．【母题来源】（2021·浙江丽水）【母题题文】解方程组：．【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．【解答】解：，把①代入②得：2y﹣y＝6，解得：y＝6，把y＝6代入①得：x＝12，则方程组的解为．【母题来源】（2021·浙江台州）【母题题文】解方程组：．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①+②得：3x＝3，即x＝1，把x＝1代入①得：y＝2，则方程组的解为．【试题分析】以上中考真题主要考察了一元一次方程与二元一次方程组的解法步骤以及二元一次方程的多解问题；【命题意图】一次方程（组）的解法是对等式基本性质的熟悉程度的检验，也是后续方程求解的基础，准确掌握一元一次方程以及二元一次方程组的解法，是考生拿到此考点分值的重点；【命题方向】一次方程（组）的解法在浙江中考中占比不大，分值在0~6分，个别城市几乎不会单独出题，出题也基本在选择或者填空题的前半部分，属于难度较小的一类题。

初三数学总复习数学《方程(组)及不等式(组)教案

12-13下学期初三数学总复习《方程（组）与不等式（组）》主备人：汤恒星本章教学分析一、本章教学目标1、方程（组）、一次方程（组）、一次不等式（组）、分式方程的概念及解法2、用方程（组）解决实际问题二、本章教学重难点重点：目标1,2难点：目标2三、学情分析初三复习阶段，学生对本部分内容有接触，但是遗忘比较多，教师在复习的过程中应加强基本技能的训练，适当加以示范。

四、课时安排（共计10 课时）第1节：2课时第2节：2课时第3节：2课时第4节：2课时测评及讲解：2课时五、章节测试命题人安排：汤恒星第一节一次方程（组）及其应用（2课时）教学目标：1．方程、一元一次方程、方程的解、一元一次方程的解法；2．二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程的解、二元一次方程的解法、利用方程解决生活中的实际问题3. 用一元一次方程和二元一次方程组解决实际问题；4 数学思想方法：消元教学重难点：教学重点：一元一次方程解法、二元一次方程组的解法、用一元一次方程和二元一次方程组解决实际问题难点：用一元一次方程和二元一次方程组解决实际问题教学过程：一、知识点（1）方程：含有未知数的等式（2）等式性质：1、等式两边分别加上或减去一个数字或式子，结果仍然是等式；2、等式两边分别乘以或除以一个不为0的数，结果仍然是等式；（3）方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值（4）一元一次方程的解法：去分母、去括号、移项、合并、系数化为1（5）二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程为二元一次方程（6）二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组（7）二元一次方程组的解：一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程组的解，即二元一次方程组中方程的公共解。

（8）二元一次方程组的解法：（1）代入消元法：多适用于方程组中有一个未知数的系数是1或-1的情形；（2）加减消元法：多适用于方程组中的两个方程中相同未知数的系数相同或互为相反数的情形（9）列方程（组）解应用题的一般步骤二、例题精讲例1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（） ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+65115y x y x ⎩⎨⎧-=+=+2102y x y x ⎩⎨⎧==+158xy y x ⎩⎨⎧=+=31y x xA. B. C. D.例2．在中，用x 的代数式表示y ，则y=______________．例3．（1）解方程.x x +--=21152156（2）解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+27271523y x y x 例4．已知a 、b 、c 满足⎩⎨⎧=+-=-+02052c b a c b a ，则a ：b ：c= ．例5．已知x =-2是关于x 的方程()x m x m -=-284的解，求m 的值．例6．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A 度，那么这个月这户只需交 10 元用电费，如果超过 A 度，则这个月除了仍要交 10 元用电费外，超过部分还要按每度 0.5 元交费．①该厂某户居民 2 月份用电 90 度，超过了规定的 A 度，则超过部分应该交电费多少元（用 A 表示）？．②右表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况：根据右表数据，求电厂规定A 度为．三、当堂检测1.若关于x 的方程x k =-153的解是x =-3，则k =_________． 2．解下列方程（组）：（1）x x -+=-2114135；（2）⎩⎨⎧=+=+832152y x y x 3．当x =-2时，代数式x bx +-22的值是12，求当x =2时，这个代数式的值．4．应用方程解下列问题：初一（4）班课外乒乓球组买了两副乒乓球板，若每人付9元，则多了5元，后来组长收了每人8元，自己多付了2元，问两副乒乓球板价值多少？四、小结（1）方程的相关概念（2）一次方程（组）的解法（3）用一次方程（组）解应用题五、作业：试题研究教学反思：032=-+y x第二节一元二次方程及其应用（第2课时）教学目标：1．一元二次方程的相关概念及解法；2. 根的判别式、根与系数的关系3. 用一元二次方程解决实际问题教学重难点：教学重点：一元二次方程的相关概念及解法、根的判别式、根与系数的关系、用一元二次方程解决实际问题难点：根的判别式、根与系数的关系、用一元二次方程解决实际问题教学过程：五、知识点1. 一元二次方程的概念及一般形式：ax 2+bx +c =0 (a ≠0)2. 一元二次方程的解法：①直接开平方法②配方法③公式法④因式分解法3．求根公式：当b 2-4ac ≥0时，一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)的两根为4．根的判别式：当b 2-4ac ＞0时，方程有实数根．当b 2-4ac=0时，方程有实数根．当b 2-4ac ＜0时，方程实数根．5.（1）增长率问题；（2）利润问题二、例题精讲例1．选用合适的方法解下列方程：(1) (x-15)2-225=0； (2) 3x 2－4x －1＝0（用公式法）；(3) 4x 2－8x ＋1＝0（用配方法）；（4）x 2+22x=0 例2 ．已知一元二次方程0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值．例3．用22cm 长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？三、当堂检测一、填空1．下列是关于x 的一元二次方程的有_______ ①02x 3x12=-+ aac b b x 242-±-=②01x 2=+③)3x 4)(1x ()1x 2(2--=- ④06x 5x k 22=++ ⑤021x x 2432=-- ⑥0x 22x 32=-+2．一元二次方程3x 2=2x 的解是．3．一元二次方程(m-2)x 2+3x+m 2-4=0有一解为0，则m 的值是．4．已知m 是方程x 2-x-2=0的一个根，那么代数式m 2-m = ．5．关于x 的一元二次方程kx 2+2x －1=0有两个不相等的实数根, 则k 的取值范围是__________．6．如果关于的一元二次方程的两根分别为3和4，那么这个一元二次方程可以是．三、解下方程：(1)(x+5)(x-5)=7 (2)x(x-1)=3-3x(3)x 2-4x-4=0 (4)x 2+x-1=0四、小结（1）一元二次方程的相关概念及解法；（2）根的判别式及根与系数关系；（3）用一次方程（组）解应用题五、作业：试题研究教学反思：第三节分式方程及其应用（2课时）教学目标：1、分式方程的相关概念及解法2. 了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根．3. 列分式方程解决实际问题教学重点：目标1,2,3难点：目标2,3教学过程：一、知识点1.分式方程：分母中含有1个未知数的方程叫做分式方程2.解分式方程的步骤：去分母转化为整式方程，解整式方程，再将整式方程的解代入最公分母中，判断整式方程的解是否为分式方程的增根二、例题精讲例1：（1）013522=--+xx x x （2）41622222-=-+-+-x x x x x 例2 若分式方程xx k x --=+-2321有增根，则k 为（） A. 2 B.1 C. 3 D.-2三、当堂检测1.解分式方程． (1)22011x x x -=+- (2) x2)3(x 22x x -=--；(3) 11322x x x -=--- (4)11-x 1x 1x 22=+-- 2. 一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x 千米，则根据题意所列方程正确的是( )A. B.C. D.四、小结（1）解分式方程要注意检验（2）增根是把分式方程转化为整式方程的解五、作业：试题研究教学反思：第四节一元一次不等式（组）及其应用（2课时）教学目标：1、不等式（组）的定义及解法2、不等式的性质3、不等式的解集在数轴上表示4、用不等式解应用题教学重难点：教学重点：目标1,2,3难点：目标4教学过程：一、知识点1.定义：用不等号连接起来的式子2.解集：一个含有未知数的不等式的所有的解的集合3.解集在数轴上表示：（略）4.性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变，即若,b a <则c b c a ±<±（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个整数，不等号的方向不变，即若,b a <且0c >，则bc ac <（或cb c a <）（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个整数，不等号的方向不变，即若,b a <且0c <，则bc ac >（或c b c a >）二、例题精讲例1.如图所示，O 是原点，实数a 、b 、c 在数轴上对应的点分别为A 、B 、C ，则下列结论错误的是（）A. 0b a >-B. 0ab <C. 0b a <+D.例2. 不等式112x ->的解集是（）Ａ．12x >- Ｂ．2x >- Ｃ．2x <- Ｄ．12x <- 例3. 把不等式组21123x x +>-⎧⎨+⎩≤的解集表示在数轴上，下列选项正确A ．B ．C ．D ．BA O C 0)c a(b >-1 0 1- 10 1- 1 0 1- 10 1-例4. 不等式组221x x -⎧⎨-<⎩≤的整数解共有（） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个例6.若关于x 的不等式x －m ≥－1的解集如图所示，则m 等于（）A ．0B ．1C ．2D ．3 例7.解不等式组：（1）21113x x x +<⎧⎪⎨-≥⎪⎩ （2）⎪⎩⎪⎨⎧+<+->+)6(3)4(4,5351x x x x 【当堂检测】1.苹果的进价是每千克3.8元，销售中估计有5%的苹果正常损耗．为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克元．2. 解不等式723<-x ，将解集在数轴上表示出来，并写出它的正整数解．3. 解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-<+--+≥+224313322x x x x ，并把它的解集在数轴上表示出来．4. 我市某镇组织20辆汽车装运完A 、B 、C 三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：（1）设装运y ，求y 与x 之间的函数关系式；（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值．四、小结（1）解不等式时左右两边同时乘以负数时，不等号方向要改变（2）列不等式解应用题是要主要“至少、最多、不低于、不大于、高于”等字样的理解五、作业：试题研究教学反思：欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。

方程与不等式综合复习—知识讲解及经典例题解析

中考总复习：方程与不等式综合复习—知识讲解及经典例题解析【考纲要求】1．会从定义上判断方程(组)的类型，并能根据定义的双重性解方程(组)和研究分式方程的增根情况；2．掌握解方程(组)的方法，明确解方程组的实质是“消元降次”、“化分式方程为整式方程”、“化无理式为有理式”；3．理解不等式的性质，一元一次不等式(组)的解法，在数轴上表示解集，以及求特殊解集；4．列方程(组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题；5. 解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式(组)解决实际问题是中考的难点和热点．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程1.方程含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式.4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项. 5.一元一次方程解法的一般步骤整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).6.列一元一次方程解应用题(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础. 要点诠释：列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题：距离=速度×时间时间距离速度= 速度距离时间=； (2)工程问题：工作量=工效×工时工时工作量工效=工效工作量工时=； (3)比率问题：部分=全体×比率全体部分比率= 比率部分全体=；(4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； (5)商品价格问题：售价=定价·折·101，利润=售价-成本， %100⨯-=成本成本售价利润率；(6)周长、面积、体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab ， C 正方形=4a ，S 正方形=a 2，S 环形=π(R 2-r 2)，V 长方体=abh ，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=31πR 2h.考点二、一元二次方程 1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项. 3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程.根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：21,240)2b x b ac a-±=-≥ （4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆. 5.一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，a cx x =21.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 要点诠释：一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.考点三、分式方程 1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程. 2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：①去分母，方程两边都乘以最简公分母；②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.口诀：“一化二解三检验”.3.分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.考点四、二元一次方程（组）1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（3）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．考点五、不等式（组）1.不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.2.不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1.4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.（2）一元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.要点诠释：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.（1）不等式的其他性质：①若a ＞b ，则b ＜a ；②若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；③若a ≥b ，且b ≥a ，•则a=b ；④若a 2≤0，则a=0；⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号. （2）任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b ＞O ⇔a ＞b ；②a -b=O ⇔a=b ；③a-b ＜O ⇔a ＜b ．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c .【典型例题】类型一、方程的综合运用1．如图所示，是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象1l 、2l ，设111y k x b =+，222y k x b =+，则方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解是( )不等式组（其中a ＞b ）图示解集口诀x ax b >⎧⎨>⎩ bax a > （同大取大）x ax b <⎧⎨<⎩ b ax b <（同小取小） x ax b <⎧⎨>⎩ bab x a << （大小取中间）x ax b >⎧⎨<⎩ba无解（空集）（大大、小小找不到）A ．2,2x y =-⎧⎨=⎩ B ．2,3x y =-⎧⎨=⎩ C ．3,3x y =-⎧⎨=⎩ D ．3,4x y =-⎧⎨=⎩【思路点拨】图象1l 、2l 的交点的坐标就是方程组的解. 【答案】B ；【解析】由图可知图象1l 、2l 的交点的坐标为(-2，3)，所以方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为2,3.x y =-⎧⎨=⎩【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透．2．近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．如图所示．【思路点拨】根据“用150元给汽车加油今年比去年少18.75升”列方程. 【答案与解析】解：设今年5月份汽油价格为x 元/升，则去年5月份的汽油价格为(x-1.8)元/升．根据题意，得15015018.751.8x x-=-，整理，得21.814.40x x --=．解这个方程，得x 1＝4.8，x 2＝-3．经检验两根都为原方程的根，但x 2＝-3不符合实际意义，故舍去．【总结升华】解题的关键是从对话中挖掘出有效的数学信息，构造数学模型，从而解决问题，让同学们更进一步地体会到数学就在我们身边．类型二、解不等式（组）3．已知A ＝a+2，B ＝a 2-a+5，C ＝a 2+5a-19，其中a ＞2． (1)求证：B-A ＞0，并指出A 与B 的大小关系； (2)指出A 与C 哪个大?说明理由．【思路点拨】计算B-A 结果和0比大小，从而判断A 与B 的大小；同理计算C-A ，根据结果来比较A 与C 的大小．【答案与解析】(1)证明：B-A ＝a 2-2a+3＝(a-1)2+2．∵ a ＞2，∴ (a-1)2＞0，∴ (a-1)2+2＞0．∴ a 2-2a+3＞0，即B-A ＞0．由此可得B ＞A ．(2)解：C-A ＝a 2+4a-21＝(a+7)(a-3)． ∵ a ＞2，∴ a+7＞0．当2＜a ＜3时，a-3＜0， ∴ (a+7)(a-3)＜0．∴ 当2＜a ＜3时，A 比C 大；当a ＝3时，a-3＝0， ∴ (a+7)(a-3)＝0．∴ 当a ＝3时，A 与C 一样大；当a ＞3时，a-3＞0， ∴ (a+7)(a-3)＞0．∴ 当a ＞3时，C 比A 大．【总结升华】比较大小通常用作差法，结果和0比大小，此时常常用到因式分解或配方法. 本题考查了整式的减法、十字相乘法分解因式，渗透了求差比较大小的思路及分类讨论的思想．举一反三：【变式1】已知：A=222+-a a ，B=2, C=422+-a a ,其中1>a .(1)求证：A-B>0； (2)试比较A 、B 、C 的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）A-B=222222(21)a a a a a a -+-=-=- ∵1>a ，∴0,210a a >-> ∴A-B>0(2) ∵C-B=22224222(1)10a a a a a -+-=-+=-+> ∴C>B∵A-C=22222242(2)(1)a a a a a a a a -+-+-=+-=+- ∵1>a ，∴20,10a a +>-> ∴A>C>B【变式2】如图，要使输出值y 大于100，则输入的最小正整数x 是______．【答案】解：设n 为正整数，由题意得 ⎩⎨⎧>+⨯>-.1001342,100)12(5n n 解得⋅>887n 则n 可取的最小正整数为11．若x 为奇数，即x ＝21时，y ＝105；若x 为偶数，即x ＝22时，y ＝101． ∴满足条件的最小正整数x 是21．类型三、方程（组）与不等式（组）的综合应用4．宏志高中高一年级近几年来招生人数逐年增加，去年达到550名，其中有面向全省招收的“宏志班”学生，也有一般普通班的学生．由于场地、师资等限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班学生可多招20%，“宏志班”学生可多招10%，问今年最少可招收“宏志班”学生多少名? 【思路点拨】根据招生人数列等式，根据今年招生最多比去年增加100人列不等式. 【答案与解析】设去年招收“宏志班”学生x 名，普通班学生y 名，由条件得550,10%20%100.x y x y +=⎧⎨+≤⎩将y ＝550-x 代入不等式，可解得x ≥100，于是(1+10%)x ≥110．故今年最少可招收“宏志班”学生110名．【总结升华】本题属于列方程与不等式组综合题. 举一反三：【变式】为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维持交通秩序，若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．求这个中学共选派值勤学生多少人?共有多少个交通路口安排值勤?【答案】设这个学校选派值勤学生x 人，共到y 个交通路口值勤．根据题意得478,48(1)8.x y x y -=⎧⎨≤--<⎩①②由①可得x ＝4y+78，代入②，得4≤78+4y-8(y-1)＜8，解得19.5＜y ≤20.5．根据题意y 取20，这时x 为158，即学校派出的是158名学生，分到了20个交通路口安排值勤．5．已知关于x 的一元二次方程 2(2)(1)0m x m x m ---+=.（其中m 为实数）（1）若此方程的一个非零实数根为k ， ① 当k = m 时，求m 的值；② 若记1()25m k k k+-+为y ，求y 与m 的关系式；（2）当14＜m ＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由. 【思路点拨】（1）由于k 为此方程的一个实数根，故把k 代入原方程，即可得到关于k 的一元二次方程，①把k=m 代入关于k 的方程，即可求出m 的值；②由于k 为原方程的非零实数根，故把方程两边同时除以k ，便可得到关于y 与m 的关系式；（2）先求出根的判别式，再根据m 的取值范围讨论△的取值即可．【答案与解析】（1）∵ k 为2(2)(1)0m x m x m ---+=的实数根，∴ 2(2)(1)0m k m k m ---+=.※① 当k = m 时，∵ k 为非零实数根，∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m ，得(2)(1)10m m m ---+=.整理，得 2320m m -+=.解得 11m =，22m =.∵ 2(2)(1)0m x m x m ---+=是关于x 的一元二次方程， ∴ m ≠ 2. ∴ m= 1.② ∵ k 为原方程的非零实数根，∴ 将方程※两边都除以k ，得(2)(1)0mm k m k---+=. 整理，得 1()21m k k m k +-=-.∴ 1()254y m k k m k=+-+=+.（2）解法一：22[(1)]4(2)3613(2)1m m m m m m m ∆=----=-++=--+ .当14＜m ＜2时，m ＞0，2m -＜0.∴ 3(2)m m --＞0，3(2)1m m --+＞1＞0，Δ＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.解法二：直接分析14＜m ＜2时，函数2(2)(1)y m x m x m =---+的图象，∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交，∴ 该抛物线必与x 轴有两个不同交点.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.解法三：222[(1)]4(2)3613(1)4m m m m m m ∆=----=-++=--+.结合23(1)4m ∆=--+关于m 的图象可知，（如图）当14＜m ≤1时，3716＜∆≤4；当1＜m ＜2时，1＜∆＜4.∴ 当14＜m ＜2时，∆＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. 【总结升华】和一元二次方程的根有关的问题往往可以借助于二次函数图象解决，数形结合使问题简化. 举一反三：【变式1】已知关于x 的一元二次方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，k 为正整数．（1）求k 的值（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y=2x 2+4x+k ﹣1的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，求平移后的图象的解析式．【答案】解：（1）∵方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，∴△=42﹣4×2×（k ﹣1）≥0，∴k≤3．又∵k 为正整数，∴k=1或2或3．（2）当此方程有两个非零的整数根时，当k=1时，方程为2x 2+4x=0，解得x 1=0，x 2=﹣2；不合题意，舍去．当k=2时，方程为2x 2+4x+1=0，解得x 1=﹣1+，x 2=﹣1﹣；不合题意，舍去．当k=3时，方程为2x 2+4x+2=0，解得x 1=x 2=﹣1；符合题意．因此y=2x 2+4x+2的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，得出y=2x 2﹣2．【变式2】已知：关于x 的方程()0322=-+-+k x k x （1）求证：方程()0322=-+-+k x k x 总有实数根；（2）若方程()0322=-+-+k x k x 有一根大于5且小于7，求k 的整数值； (3)在⑵的条件下，对于一次函数b x y +=1和二次函数2y =()322-+-+k x k x ，当71<<-x 时，有21y y >，求b 的取值范围．【答案】⑴证明：∵△=(k －2)2－4(k －3)=k 2－4k +4－4k +12= k 2－8k +16=(k －4)2≥0∴此方程总有实根。

中考复习——方程(组)的应用——工程问题(解析版)

中考复习——方程（组）的应用——工程问题一、选择题1、张三和李四两人加工同一种零件，每小时张三比李四多加工5个零件，张三加工120个这种零件与李四加工100个这种零件所用时间相等，求张三和李四每小时各加工多少个这种零件？若设张三每小时加工这种零件x个，则下面列出的方程正确的是（）．A. 1205x-=100xB.120x=1005x-C.1205x+=100xD.120x=1005x+答案：B解答：张三每小时加工x个，则李四每小时可加工（x-5）个，可列方程120x=1005x-．2、十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x米，则根据题意所列的方程是（）．A. 6000600020x x-+=15 B.6000600020x x-+=15C. 6000600015x x--=20 D.6000600015x x--=20答案：A解答：设原计划每天铺设钢轨x米，可得：6000600020x x-+=15．选A.3、现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，南昌某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣x个物件，则可列方程为（）．A.12020x-=90xB.12020x+=90xC.120x=9020x-D.120x=9020x+答案：B解答：由题意可得，12020x+=90x．选B.4、某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元，根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（）．A. 1600元B. 1800元C. 2000元D. 2400元答案：C解答：设原计划每间直播教室的建设费用是x 元，则：8000x +1=()()8000400020%x x ++，解得：x =2000，经检验，x =2000是原分式方程的解．选C.5、甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（）．A. 8B. 7C. 6D. 5答案：A解答：设甲志愿者计划完成此项工作需x 天，故甲的工效都为：1x ，由于甲、乙两人工效相同，则乙的工效为1x ，甲前两个工作日完成了1x ×2，剩余的工作量甲完成了1x（x -2-3），乙在甲工作两个工作日后完成了1x（x -2-3），则2x+()223x x --=1，解得x =8，经检验，x =8是原方程的解．6、某小区为了排污，需铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%，结果提前2天完成任务．设原计划每天铺设x 米，下面所列方程正确的是（）．A. ()720720120%x x-+=2 B. ()720720120%x x --=2 C. ()720720120%x x -+=2 D.7202x +=()720120%x +答案：A解答：设原计划每天铺设x 米，则实际施工时每天铺设（1+20%）x 米，由题意得：()720720120%x x-+=2．选A.7、为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有x 人，女生有y 人．根据题意，所列方程组正确的是（）．A. 78 3230x y x y +=⎧⎨+=⎩B. 782330x y x y +=⎧⎨+=⎩C. 302378x y x y +=⎧⎨+=⎩D. 303278x y x y +=⎧⎨+=⎩ 答案：D解答：该班男生有x 人，女生有y 人．根据题意得：303278x y x y +=⎧⎨+=⎩.． 8、某工地调来60人参加挖土和运土工作，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调配劳动力才能使挖出来的土能及时运走？可设派x 人挖土，则运土的有（60-x ）人，以下方程：①（60-x ）:x =1:3；②60-x =3x ；③x +3x =60；④x :（60-x ）=3，正确的有（）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个答案：C解答：要想使挖出的土及时运走，挖土与运土的人数比是3比1，所以①④选项是正确的；若有x 人挖土，则有（13x ）人运土，所以可列方程x +13x =60，故②正确；拉土的人数是挖土人数的三分之一，故③错误；选C.二、填空题9、甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做4个，甲做60个所用的时间与乙做40个所用的时间相等，则乙每小时所做零件的个数为______．答案：8解答：设乙每小时做x 个，则甲每小时做（x +4）个，甲做60个所用的时间为604x +，乙做40个所用的时间为40x ，列方程为：604x +=40x，解得：x =8，经检验：x =8是原分式方程的解，且符合题意，答：乙每小时做8个．10、某车间加工120个零件后，采用了新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用1小时，采用新工艺前每小时加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工则根据题意可列方程为______．答案：1201201.5x x-=1 解答：依题意得1201201.5x x-=1．故答案为：1201201.5x x -=1． 11、某市为处理污水，需要铺设一条长为5000m 的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设20m ，结果提前15天完成任务．设原计划每天铺设管道xm ，则可得方程______．答案：5000500020x x -+=15 解答：设原计划每天铺设管道xm ，则实际每天铺设管道（x +20）m ，由题意得，5000500020x x -+=15． 12、某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天．设原计划每天加工零件x 个，可列方程______．答案：240x =2401.5x+2 解答：设原计划每天加工零件x 件，则实际每天加工零件1.5x 件，根据题意可得：240x =2401.5x+2．故答案为：240x =2401.5x +2． 13、某市为治理污水，需要铺设一段全长600m 的污水排放管道，铺设120m 后，为加快施工进度，后来每天比原计划增加20m ，结果共用11天完成这一任务，求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设xm 管道，那么根据题意，可列方程______．答案：120x +48020x +=11 解答：由题意可得，120x +60012020x -+=11，化简，得：120x +48020x +=11． 14、为了改善生态环境，防止水土流失，红旗村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树的棵数是______．答案：120棵解答：设原计划每天种树x 棵，由题意得：9609602x x-=4，解得：x =120，经检验：x =120是原分式方程的解，故答案为：120棵．15、某地准备对一段长120m 的河道进行清淤疏通．若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队先单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天．设甲工程队平均每天疏通河道xm ，乙工程队平均每天疏通河道ym ，则（x +y ）的值为______．答案：20解答：设甲工程队平均每天疏通河道xm ，乙工程队平均每天疏通河道ym ，由题意，得 4912083120x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：128x y =⎧⎨=⎩．∴x +y =20．三、解答题16、在“旅游示范公路”建设的过程中，工程队计划在海边某路段修建一条长1200m 的步行道．由于采用新的施工方式，平均每天修建步行道的长度是计划的1.5倍，结果提前5天完成任务．求计划平均每天修建步行道的长度．答案：80m．解答：设计划平均每天修建步行道的长度为xm，则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长度为1.5xm，依题意，得：120012001.5x x-=5，解得：x=80，经检验，x=80是原方程的解，且符合题意．答：计划平均每天修建步行道的长度为80m．17、为了美化环境，某地政府计划对辖区内60 km2的土地进行绿化．为了尽快完成任务．实际平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍．结果提前2个月完成任务，求原计划平均每月的绿化面积．答案：10 km2．解答：设原计划平均每月的绿化面积为x km2，实际平均每月的绿化面积是1.5x km2，由题意得：60601.5x x-=2，解得：x=10，经检验x=10是原方程的解，答：原计划平均每月的绿化面积为10 km2．18、绿水青山就是金山银山．为了创造良好的生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树600棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵树是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树多少棵?答案：75棵．解答：设原计划每天种树x棵．由题意，得6006002x x-=4，解得，x=75，经检验，x=75是原方程的解．答：原计划每天种树75棵．19、甲乙两个施工队在六安（六盘水-安顺）城际高铁施工中，每天甲队比乙队多铺设100米钢轨，甲队铺设5天的距离刚好等于乙队铺设6天的距离．若设甲队每天铺设x米，乙队每天铺设y米．（1）依题意列出二元一次方程组．（2）求出甲乙两施工队每天各铺设多少米？答案：（1）10056x yx y-=⎧⎨=⎩．（2）甲队每天铺设600米，乙队每天铺设500米．解答：（1）∵甲队每天铺设x米，乙队每天铺设y米，每天甲队比乙队多铺设100米钢轨，甲队铺设5天的距离刚好等于乙队铺设6天的距离，∴列二元一次方程组为100 56x yx y-=⎧⎨=⎩（2）由10056x yx y-=⎧⎨=⎩，解得：600500 xy=⎧⎨=⎩．答：甲队每天铺设600米，乙队每天铺设500米．20、某村经济合作社决定把22吨竹笋加工后再上市销售，刚开始每天加工3吨，后来在乡村振兴工作队的指导下改进加工方法，每天加工5吨，前后共用6天完成全部加工任务，问该合作社改进加工方法前后各用了多少天？答案：改进加工方法前用了4天，改进加工方法后用了2天．解答：设改进加工方法前用了x天，改进加工方法后用了y天，则63522x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得42xy=⎧⎨=⎩，经检验，符合题意．答：改进加工方法前用了4天，改进加工方法后用了2天．21、为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？答案：10天．解答：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x-2）米，由题意，得2x +（x +x -2）=26，解得x =7，所以乙工程队每天掘进5米，1462675-+=10（天）．答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．22、为了美化市容市貌，政府决定将城区旁边一块162亩的荒地改建为湿地公园，规划公园分为绿化区和休闲区两部分．（1）若休闲区面积是绿化区面积的20%，求改建后的绿化区和休闲区各有多少亩？（2）经预算，绿化区的改建费用平均每亩35000元，休闲区的改建费用平均每亩25000元，政府计划投入资金不超过550万元，那么绿化区的面积最多可以达到多少亩？答案：（1）27亩．（2）145亩．解答：（1）设改建后的绿化区面积为x 亩．由题意：x +20%·x =162，解得x =135，162-135=27，答：改建后的绿化区面积为135亩和休闲区面积有27亩．（2）设绿化区的面积为m 亩．由题意：35000m +25000（162-m ）≤5500000，解得m ≤145，答：绿化区的面积最多可以达到145亩．23、穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米．（1）求甲乙两班组平均每天各掘进多少米．（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务．答案：（1）甲乙两个班组平均每天分别掘进5米、4.5米．（2）能比原来少用10天．解答：（1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x 米、y 米，由题意得()0.5657x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得54.5x y =⎧⎨=⎩，答：甲乙两个班组平均每天分别掘进5米、4.5米．（2）设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a 天、b 天完成任务，则 a =（1957-57）÷（5+4.5）=200（天），b =（1957-57）÷（5+4.5+0.2+0.3）=190（天），则a -b =10（天）．答：能比原来少用10天．24、建设中的大外环路是我市的一项重点民生工程，某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成．由于特殊情况需要，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲乙两队共完成土方量103.2万立方．（1）问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？（2）在抽调甲队外援施工的情况下，为了保证150天完成任务，公司为乙队新购进了一批机械来提高效率，那么乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方才能保证按时完成任务？答案：（1）甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方．（2）乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高0.112万立方才能保证按时完成任务．解答：（1）设甲队原计划平均每天的施工土方量为x 万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为y 万立方，根据题意得：()()15012011040110103.2x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，解得：0.420.38x y =⎧⎨=⎩．答：甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方．（2）设乙队平均每天的施工土方量比原来提高a万立方才能保证按时完成任务，根据题意得：110×0.42+（40+110）×（0.38+a）≥120，解得：a≥0.112．答：乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高0.112万立方才能保证按时完成任务．25、某机械厂加工车间有84名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或者小齿轮10个，已知1个大齿轮与2个小齿轮刚好配成一套，问分别安排多少名工人加工大，小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？答案：每天加工大齿轮的有20人，每天加工小齿轮的有64人．解答：设每天加工大齿轮的有x人，则每天加工小齿轮的有（84-x）人，根据题意可得；2×16x=10（84-x），解得：x=20，则84-20=64（人）．答：每天加工大齿轮的有20人，每天加工小齿轮的有64人．26、在我市双城同创的工作中，某社区计划对1200m2的区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为300m2区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．（1）甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？（2）设先由甲队施工x天，再由乙队施工y天，刚好完成绿化任务，求y与x的函数关系式．（3）若甲队每天绿化费用为0.4万元，乙队每天绿化费用为0.15万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过14天，则如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工费用最少，并求出最少费用．答案：（1）甲、乙两工程队每天能完成的面积分别是100m2、50m2．（2）y=24-2x．（3）甲队工作10天，乙队工作4天，最少费用为4.6万元．解答：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意得：3003002x x=3，解得：x=50，经检验，x=50是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2），答：甲、乙两工程队每天能完成的面积分别是100m2、50m2．（2）由题意得：100x+50y=1200，整理得：y=120010050x=24-2x．（3）设应甲队工作a天，则乙队工作b天，（0≤a≤14，0≤b≤14）根据题意得，100a+50b=1200，∴b=24-2a，a+b≤14，∴a+24-2a≤14，∴a≥10，w=0.4a+0.15b=0.4a+0.15（24-2a）=0.1a+3.6，∴当a=10时，最少W最少=0.1×10+3.6=4.6万元．。

中考数学复习知识点专题讲解49---方程(组)与不等式(组)中转化思想的应用

解析可以先解出 x 的解集，得 x > 6 − a ，又因为关于 x 的不等式 3x + a > 6 的解 3
集是 x > 3 ，所以 x > 6 − a 与 x > 3 是同一个解集，所以 6 − a = 3 ，可求得 a = −3。
3
3
例 6 关于 x 的的不等式组 −2 < 2x + a < b + 2 的解集是 −4 < x < 1，求 b 的值。
x 的解，又因为 x 是非负数，所以建立关于 a 的不等式，从而可以把方程问题转化为不
等式问题，体现了数学学习中的转化思想。
求解的方法是：1. 解(方程)，2，代(用 a 的代数式代替 x ) ，3.求(不等式的解集)
解由 3x − a = 6 得： x = 6 + a 3
因为关于 x 的方程 3x − a = 6 的解是非负数，所以 x ≥ 0 ，所以 6 + a ≥ 0 。所以 a ≥ −6 。 3
于
x、y
的
方
程组
2x
+
y
=
a
的
解
x + 2y = 3
y
=
6
− 3
a
x + 2y = 3
x、y
是非负数，所以
x
≥
0
，即
2a − 3
3
≥
0
，所以
3
≤
a
≤
6
。
y ≥0
6
− 3
a
≥
0
2
3. 从不等式(组)到方程(组)的转化问题
2/3
例 5 关于 x 的不等式 3x + a > 6 的解集是 x > 3 ，求 a 的值.

中考数学复习讲义课件专题4 数与代数实际应用

(2)若该公司购进 A 商品 200 件，B 商品 300 件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地销售．已知每件 A 商品运往甲、乙两地的运费分别为 20 元和 25 元；每件 B 商品运往甲、乙两地的运费分别为 15 元和 24 元．若运往甲地的商品共 240 件，运往乙地的商品共 260 件． ①设运往甲地的 A 商品为 x(件)，投资总运费为 y(元)，请写出 y 与 x 的函数关系式； ②怎样调运 A，B 两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？(投资总费用＝购进商品的费用＋运费)
考法示例
方程(组)应用型 ☞示例 1 (2021·大连)某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买 2 个大垃圾桶和 4 个小垃圾桶共需 600 元；购买 6 个大垃圾桶和 8 个小垃圾桶共需 1560 元． (1)求大、小两种垃圾桶的单价； [解答] 解：设大垃圾桶的单价为 x 元/个，小垃圾桶的单价为 y 元/个．依题意，得62xx＋＋84yy＝＝1650600，. 解得xy＝＝6108.0，答：大垃圾桶的单价为 180 元/个，小垃圾桶的单价为 60 元/个．
1.(2021·西藏)列方程(组)解应用题为振兴农村经济，某县决定购买 A，B 两种药材幼苗发给农民栽种，已知购买 2 棵 A 种药材幼苗和 3 棵 B 种药材幼苗共需 41 元；购买 8 棵 A 种药材幼苗和 9 棵 B 种药材幼苗共需 137 元．问每棵 A 种药材幼苗和每棵 B 种药材幼苗的价格分别是多少元？
解：设乙工程队每天能完成 x 平方米的绿化改造面积，则甲工程队每天能完成(x＋200)平方米的绿化改造面积．依题意，得 x＋200＋x＝800.解得 x＝300. ∴x＋200＝300＋200＝500.

4【中考复习】第四章：等式方程(等量关系)

3.
解一元二次方程（配方法、因式分解法、公式法）
4.
一元二次方程根与系数关系
三、分数方程结构和转换(解方程)
1.
分式方程（结构及转换）
2.
解分式方程及增根
四、方程组结构及转换
1.
方程组结构
2.
解方程组
3.
方程组和方程的相互转换
五、中考真题（出题形式）
(合并同类项)
(去括号)
(去括号)
(合并同类项)
(系数化1)
(合并同类项)
中考复习
(系数化1)
9
3 、解一元二次方程— — 配方法
解一元二次方程的方法——将一元二次方程转换为一元一次方程
将ax2+bx+c=0转换为(x+m)2=n（m、n是常数）
当n＞0转换为两个一元一次方程：x+m=√n、 x+m=-√n，有两个解(或有两个不同实数根)
中考复习
2
1、两个数量比较什么？有几种结果？
● 代数式中数量之间的关系是——运算（＋－×÷）关系，新的数
量关系是什么？
● 比较（动作）两个数量（感知）大小的结果是什么？
● 相等和不相等
● 两个代数式的数量相等的关系是等量关系，是等式
＝
● 两个代数式的数量不相Байду номын сангаас的关系是不等量关系，是不等式
✓ 表示数量相等的数学符号：
2）等式加（减）等式，结果仍然是等式
a
c
a=b，c=d → a+c=b+d ，a－c=b－d
b
d
例：5×4=20 ，6=(2×3)

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一. 教学目标：1. 掌握一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程的定义，2. 使学生掌握解方程的基本思想、方法、步骤。

并能熟练运用各技巧解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程。

3. 列一元一次方程二元一次方程组、一元二次方程、分式方程解应用题。

二. 教学重点与难点1. 一元二次方程、分式方程的解法及其运用2. 列方程解决生活实际中的问题三.知识要点知识点1、方程（组）的解（整数解）等概念。

使等式左右两边相等的未知数的值叫做方程的解知识点2、一元一次方程及二元一次方程组的定义只含有一个未知数并且未知数的次数是1系数不为0的方程叫做一元一次方程几个二元一次方程组成一组，叫做二元一次方程组知识点3、一元一次方程、二元一次方程组的解法一元一次方程的解法是：去分母，去括号，移项，合并同类，系数化为1 二元一次方程组的解法是：通过加减，代入消元转化为一元一次方程知识点4、一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系当为二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y ＝0时，求x 的值。

从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值。

知识点5、一元二次方程的定义ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），a ，b ，c 均为常数，尤其a 不为零要切记。

知识点6、一元二次方程的几种解法如因式分解法、公式法等，弄清化一元二次方程为一元一次方程的转化思想。

知识点7、分式方程的解法（1）去分母，把分式方程转化为整式方程（2）解整式方程（3）检验知识点8、解分式方程要验根的原因解分式方程时我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为0的整式. 因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验.知识点9、关于行程、工程、储蓄、打折销售等基本类型应用题的分析掌握生活中问题的数学建模的方法，多做一些综合性的训练。

教学准备中考复习之专题四方程与方程组例1. 选择题（1）中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球体的重量等于（ D ）个正方体的重量。

A. 2B. 3C. 4D. 5（2）如图给出的是2007年某月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（ D ）A. 69B. 54C. 27D. 40（3）小明的父亲到银行存入20000元人民币，存期一年，年利率为1.98%，到期后应交纳所获利息的20%的利息税，那么小明的父亲存款到期交利息税后共得款（ D ）A. 20158.4元B. 20198元C. 20396元D. 20316.8元（4）我国股市交易中每买卖一次需交千分之七点五的各种费用，某投资者以每股10元的价格买入上海某股票1000股，当该股票涨到12元时全部卖出，该投资者实际盈利为（ C ）A. 2000元B. 1925元C. 1835元D. 1910元（5）一件商品按成本价提高40%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为240元，设这件商品的成本价为x 元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ B ）A. x ·40%×80%＝240B. x （1＋40%）×80%＝240C. 240×40%×80%＝xD. x ·40%＝240×80%（6）在3×3方格上做填字游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都等于S ，又填在图中三格中的数字如图，若要能填成，则（ B ）A. S ＝24B. S ＝30C. S ＝31D. S ＝39 （7）已知方程组42ax by ax by -=⎧⎨+=⎩的解为21x y =⎧⎨=⎩，则2a －3b 的值为（ B ）A. 4B. 6C. －6D. －4（8）如图，平行四边形ABCD 的周长是48，对角线AC 与BD 相交于点O ，AOD △的周长比AOB △的周长多6，若设AD x =，AB y =，则可用列方程组的方法求AD ，AB 的长，这个方程组可以是：（ A ）例题精讲（第8题图）A. 2()486x y x y +=⎧⎨-=⎩B. 2()486x y y x +=⎧⎨-=⎩ C.486x y x y +=⎧⎨-=⎩ D. 486x y y x +=⎧⎨-=⎩ （9）如图，已知函数y ＝ax ＋b 和y ＝kx 的图象交于点P ，•则根据图像可得，关于,y ax b y kx =+⎧⎨=⎩的二元一次方程组的解是（ C ）A . 44.22x x B y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 44..22x x C D y y =-=⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩（10）不解方程判别方程2x 2＋3x －4＝0的根的情况是（ B ） A. 有两个相等实数根； B. 有两个不相等的实数根； C. 只有一个实数根； D. 没有实数根（11）在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图．如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ B ） A. x 2＋130x －1400＝0 B. x 2＋65x －350＝0C. x 2－130x －1400＝0D. x 2－65x －350＝0（12）两圆的半径分别是方程x 2－3x ＋2＝0的两根。

且圆心距d ＝1，则两圆的位置关系是（ B ） A. 外切 B. 内切 C. 外离 D. 相交（13）已知x 是实数，且2)3(3322=+-+x x xx ，那么x 2＋3x 的值为（ B ） A. 1B. －3或1C. 3D. －1或3（14）分式2231x x x +--的值为0，则x 的取值为（ A ）。

A. x ＝－3B. x ＝3C. x ＝－3或x ＝1D. x ＝3或x ＝－1（15）若关于x 的分式方程462222--=-++x xx m x 有增根，则m 的值为（ C ） A. －2B. 0C. 1D. 2例2. 填空题（1）我市某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过7立方米，则按每立方米1元收费；若每月用水超过7立方米，则超过部分按每立方米2元收费，如果某居民户今年5月缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月的用水量为12立方米。

（2）把一张面值50元的人民币换成10元、5元的人民币，共有4种换法．（3）若一个等腰三角形三边长均满足方程x 2－6x ＋8＝0，则此三角形的周长为10．（4）当k 的值是0（填出一个值即可）时，方程xx x k x x --=-221 只有一个实数根。

例3. 方程（m ＋1）x |m|＋1＋（m －3）x －1＝0．（1）m 取何值时，方程是一元二次方程，并求出此方程的解；（2）m 取何值时，方程是一元一次方程．解：（1）m ＝1，x 12x =（2）m ＝0或m ＝－1例4. 某校的一间阶梯教室，第1排的座位数为a ，从第2排开始，每一排都比前一排增加b 个座位。

⑵已知第4排有18个座位，第15排座位数是第5排座位数的2倍，求第21排有多少个座位？解：（1）b a 3+（2）依题意得⎩⎨⎧+=+=+)4(214183b a b a b a解得⎩⎨⎧==212b a∴12＋20×2＝52答：第21排有52个座位.例5. 某印刷厂1•月份印刷了书籍60•万册，•第一季度共印刷了200万册，问2、3月份平均每月的增长率是多少？解：设2、3月份平均每月的增长率为x ，即60＋60（1＋x ）＋60（1＋x ）2＝200 设增长率为x 列方程60＋60（1＋x ）＋60（1＋x ）2＝200 例6. 探究：（1）方程x 2＋2x ＋1＝0的根为x 1＝____，x 2＝_____，则x 1＋x 1＝______，x 1·x 2＝_____；（2）方程x 2－3x －1＝0的根为x 1＝____，x 2＝_____，则x 1＋x 2＝______，x 1·x 2＝_____；（3）方程3x 2＋4x －7＝0的根为x 1＝_____，x 2＝_____，则x 1＋x 2＝______，x 1·x 2＝_____．由（1）（2）（3）你能得到什么猜想？并证明你的猜想．请用你的猜想解答下题已知2x 2－4x ＋C ＝0的一个根求方程的另一个根及C 的值．解：（1）x 1＝－1，x 2＝－1，x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝1（2）x 1＝23322x =，x 1＋x 2＝3，x 1·x 2＝－1 （3）x 1＝1，x 2＝－73，x 1＋x 2＝－43，x 1·x 2＝－73猜想：ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1与x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca，证明略应用：另一根为2C ＝1例7. •某体育彩票经销商计划用45000•元从省体彩中心购进彩票20扎，每扎1000张，已知体彩中心有A ，B ，C 三种不同价格的彩费，进价分别是A •种彩票每张1.5元，B 种彩票每张2元，C 种彩票每张2.5元．（1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎，用去45000元，请你设计进票方案；（2）若销售A 型彩票一张获手续费0.2元，B 型彩票一张获手续费0.3元，C 型彩票张获手续费0.5元．在购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得手续费最多，你选择哪种进票方案？（3）若经销商准备用45000元同时购进A ，B ，C 三种彩票20扎，请你设计进票方案．解：可设经销商从体彩中心购进A 种彩票x 张，•B 种彩票y 张，C 种彩票z 张，则可分以下三种情况考虑：（1）只购进A 种彩票和B 种彩票，依题意可列方程组100020,1.5245000x y x y +=⨯⎧⎨+=⎩解得x<0，所以无解．只购进A 种彩票和C 种彩票，依题意可列方程组100020,5000,1.5 2.54500015000x z x x z z +=⨯=⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解得，只购进B 种彩票和C 种彩票，依题可列方程组100020,10000,2 2.5450010000y z y y z z +=⨯=⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解得，综上所述，若经销商同时购进不同型号的彩票，共有两种方案可行，即A 种彩票5扎，C 种彩票15扎或B 种彩票与C 种彩票各10扎．（2）若购进A 种彩票5扎，C 种彩票15扎，销售完后获手续费为0.2×5000＋0.5×15000＝8500（元）；若购进B 种彩票与C 种彩票各10扎，销售完后获手续费为0.3×10000＋0.5×10000＝8000（元），∴为使销售完时获得手续费最多，选择的进票方案为A 种彩票5扎，C 种彩票15扎．（3）若经销商准备用45000元同时购进A ，B ，C 三种彩票共20扎．设购进A 种彩票x 扎，B 种彩票y 扎，C 种彩票z 扎，则20,210,1.5100021000 2.510004500010x y z y x x y z z x ++==-+⎧⎧∴⎨⎨⨯+⨯+⨯==+⎩⎩ ∴1≤x<5，又∵x 为正整数，共有4种进票方案，即A 种1扎，B 种8扎，C 种11扎，或A 种2扎，B 种6扎，C 种12扎，或A 种3扎，B 种4扎，C 种13扎，或A 种4扎，B 种2扎，C 种14扎．一. 填空题：1. 方程 2x ＋y ＝5 的所有正整数解为＿＿＿＿2. 若 ⎩⎨⎧==2y 1x 是方程3ax －2y ＝2 的解，则 a ＝＿＿＿＿3. 当 a ＿＿＿＿时，方程（a －1） x 2＋x －2＝0 是一元二次方程。