5_3 向量的乘法运算
向量的基本运算公式大全
向量的基本运算公式大全下面是向量的基本运算公式大全：1.向量加法：o a + b = b + a（交换律）o(a + b) + c = a + (b + c)（结合律）2.向量减法：o a - b = a + (-b)3.向量数量乘法：o ka = ak（交换律，其中k是标量）o(kl)a = k(la)（结合律）4.零向量：o a + 0 = ao a + (-a) = 05.向量点乘（内积）：o a·b = b·a（交换律）o(ka)·b = k(a·b) = a·(kb)（分配律）o a·(b + c) = a·b + a·c（分配律）6.向量叉乘（外积）：o a×b = -(b×a)（反对称性）o a×(b + c) = a×b + a×c（分配律）o(ka)×b = k(a×b) = a×(kb)（分配律）7.向量混合积：o a·(b×c) = b·(c×a) = c·(a×b)8.长度（模）：o||a|| = √(a·a)9.单位向量：o一个向量除以其长度得到单位向量： a/||a||10.平行和垂直：o两个向量平行：a与b平行，当且仅当存在标量k，使得a = kb或b = ka。
o两个向量垂直：a与b垂直，当且仅当a·b = 0。
这些是向量的基本运算公式，它们形成了向量运算的基础，可以用于解决向量计算和几何问题。
需要注意的是，这些公式适用于向量的二维、三维或更高维度空间。
具体运用时，根据具体的向量运算要求和问题，选择合适的公式和运算规则。
高教社2024高等数学第五版教学课件-7.1 空间解析几何
平面上点的坐标为(, , 0),平面上点的坐标为
(0, , ),平面上点的坐标为(, 0, ).
2.两点间距离公式
类似于平面上任意两点的距离,对于空间直角坐标系中任意
点1 (1 , 1 , 1 ),2 (2 , 2 , 2 )可以推出1 、2 的距离公式为：
→
→
→
→
→
→
( ) = ()
( + ) = +
( + ) →
= →
+→
其中、都是实数.
∘
→
→
→
设 是一个非零向量,常把与 同方向的单位向量记 ,
∘
→
则 =
→
→
,且±
→
→
均是与→
平行的单位向量（同向或反向
的两向量称为平行向量）.
→
= {1 , 1 , 1 }.
例2
→
→ → →
→
→
已知 = {2, −1,3}, = {1,2, −2},求 + , − ,
→
→
3 + 2 .
→
→
解 + = {2 + 1, −1 + 2,3 + (−2)} = {3,1,1},
→
→
− = {2 − 1, −1 − 2,3 − (−2)} = {1, −3,5},
定义2
设→
是一个非零向量,是一个非零实数,则→
与的
乘积仍是一个向量,记作 →
向量相乘运算公式
向量相乘运算公式
向量相乘是在向量运算中常用的一种操作，有两种形式：点积和叉积。
1.点积（又称为内积、数量积）：点积是指两个向量按照相同位置的元素分别相乘，并将得到的乘积相加的运算。
点积的计算公式如下：
对于两个n维向量A和B：A·B=A1B1+A2B2+...+AnBn
其中，A1、A2、...、An和B1、B2、...、Bn分别表示两个向量A和B在对应位置的元素。
点积的结果是一个标量（即一个实数），表示两个向量的夹角的余弦值乘以两个向量的模的乘积。
2.叉积（又称为外积、向量积）：叉积是指根据右手法则，通过两个向量的模和夹角计算出一个与这两个向量同时垂直的新向量的运算。
叉积的计算公式如下：
对于三维空间中的向量A=(A1,A2,A3)和B=(B1,B2,B3)：A×B=(A2B3A3B2,A3B1A1B3,A1B2A2B1)
叉积的结果是一个新的向量，它的模表示两个向量张成的平行四边形的面积，方向垂直于两个向量所在的平面，并符合右手法则。
需要注意的是，点积和叉积只适用于特定维度的向量运算，分别是点积适用于任意维度的向量，而叉积只适用于三维空间中的向量。
此外，点积和叉积具有不同的性质和应用领域，在物理、数学等领域都有广泛的应用。
第五章向量法
T
i
O T
t
* 电网频率：我国 50 Hz ，美国 、日本 60 Hz * 高频炉频率：200 ~ 300 kHz * 中频炉频率：500 ~ 8000 Hz * 无线通信频率： 30 kHz ~ 30GMHz
电
路
理
论
分
析
（2）相位、初相位、相位差（变化进程）
①相位（ω t+） 确定正弦量瞬时值的电角度，与时间t有关。 ②初相位（ ） t=0时的相位；确定正弦量初始值的电角度。
周期电流、电压有效值定义
物 理 意 义
直流I
R
交流 i R
W RI T
2
W
T
0
Ri (t ) d t
2
电流有效值定义为： 均方根值
电
路
理
论
分
析
I
def
1 T
T
0
i (t )dt
2
同理，电压有效值定义为：
1 T 2 U u ( t ) d t 0 T
def
正弦电流、电压的有效值与幅值的关系：
A B A e j a B e j B A j ( a b ) A e ( a b ) B B j
几何意义：
模相除 角相减
B
A 1 A/B
电
路
理
论
分
析
例1
解
5 47 10 25 ?
原 式 (3 .41 j3 .657 ) (9 .063 j4 .226 ) 12 .47 j0 .569 12 .48 2 .61
电
路
理
论
解析几何课件(第五版)精选全文
所求平面方程为
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解
§3.2 平面与点的相关位置
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点到平面距离公式
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在第一个平面内任取一点，比如（0，0，1），
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定义
（通常取锐角）
两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.
§3.3 两平面的相关位置
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按照两向量夹角余弦公式有
§1.5 标架与坐标
§1.7 两向量的数性积
§1.9 三向量的混合积
§1.8 两向量的矢性积
第二章 轨迹与方程
§2.1 平面曲线的方程
§2.2 曲面的方程
§2.4 空间曲线的方程
§2.3 母线平行与坐标轴的柱面方程
第三章 平面与空间直线
注意 空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的.
抛物柱面
平面
抛物柱面方程：
平面方程：
三、母线平行与坐标轴的柱面方程
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从柱面方程看柱面的特征：
（其他类推）
实 例
椭圆柱面，
双曲柱面 ，
抛物柱面，
母线// 轴
母线// 轴
母线// 轴
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a
b
椭圆柱面
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y
平面的点法式方程
平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形．
其中法向量
已知点
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解
所求平面方程为
化简得
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第五章 解线性方程组的迭代解法
定义迭代法为： 定义迭代法为：
x ( k + 1) = G J x ( k ) + g
其中Jacobi迭代矩阵：GJ = D1 ( L + U ) 迭代矩阵： 其中 迭代矩阵
g = D 1b = (7.2, 8.3, 8.4)T 取 x ( 0 ) = (0, 0, 0)T , 代入迭代式，得x(1) = Bx ( 0 ) + g = (7.2, 8.3, 8.4)T x ( 2 ) = Bx (1) + g = (9.71,10.70,11.5)T x (9 ) = (10.9994,11.9994,12.9992) 精确解为 x = (11,12,13)T .
记
A = D L U
其中 D = diag (a11 ,, ann ) , L, U 分别为 A 的 严格下、上三角形部分元素构成的三角阵 严格下、上三角形部分元素构成的三角阵. Gauss-Seidel方法的矩阵形式为 方法的矩阵形式为
x ( k +1) = D1 ( Lx ( k +1) + Ux ( k ) + b)
或者
x ( k +1) = ( D L)1Ux ( k ) + ( D L)1 b
( 这说明Gauss-Seidel方法的迭代矩阵为 D L)1U 方法的迭代矩阵为 这说明
从而有
定理5.2 定理5.2 Gauss-Seidel方法收敛的充分必要条件为 方法收敛的充分必要条件为
ρ (GG ) < 1 或
5-4内积、外积、混和积
a 2 135 例 设向量 a 的方向角分别为 60 120
求 a的坐标. 解
a1 cos a
a2 cos a a3 cos a
a1 a cos 2cos60 1
a2 a cos
2cos120 1
a3 a cos 2cos135 2
P1 P2
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2
证 P P ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ) 1 2
P1 P2
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2
(3) 两向量夹角的余弦公式
a (1, 1, 2)
例 已知向量 OA {1, 1, 2}和 OB {3, 1, 1} ,求向量 AB 的 方向余弦.
解 因为 AB 2, 2, 1 设其方向角是α,β,γ 又 AB ( 3 1)2 (1 ( 1))2 (1 2)2 3 所以
S 解 F 可以分解成水平方向分力Fx和垂直方向分力Fy , 其中只有与位移平行的分力Fx作功,而Fy不作功. 于是功 W=|F|cosθ |S|=|F| |S| cosθ 为反映这一类物理现象,引入向量的数量积.
1. 数量积的定义
定义 两个向量α与β的数量积是一个数,它等于这两个向量的模
与它们夹角余弦的乘积,记为
0 1 a 1 (a , a , a ) a1 a2 a3 a , , 1 2 3 a a a a a
(cos , cos , cos )
0 a 为与 a同方向的单位向量
空间的每一个向量都可以由它的模与方向余弦(或方向角)决定,特 别地,单位向量的方向余弦等于它的坐标.
《三角形式下复数的乘除运算》 讲义
《三角形式下复数的乘除运算》讲义一、复数的三角形式在深入探讨三角形式下复数的乘除运算之前，我们先来了解一下什么是复数的三角形式。
对于一个复数\（z ＝ a ＋ bi\），其中\（a\）为实部，＼（b\）为虚部。
它的三角形式可以表示为\（z ＝ r(＼cos\theta ＋ i\sin\theta)＼），其中\（r ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼），称为复数的模，＼（＼theta\）称为复数的辐角。
例如，对于复数\（z ＝ 1 ＋＼sqrt{3}i\），我们可以计算其模\（r ＝＼sqrt{1^2 ＋（＼sqrt{3}）＾2} ＝ 2\），辐角\（＼theta ＝＼arctan(＼frac{＼sqrt{3}｝｛1}）＝＼frac{＼pi}｛3}＼），所以其三角形式为\（z ＝ 2(＼cos\frac{＼pi}｛3} ＋ i\sin\frac{＼pi}｛3}）＼）。
二、复数三角形式的乘法当两个复数都以三角形式表示时，乘法运算变得相对简单。
设\（z_1 ＝ r_1(＼cos\theta_1 ＋ i\sin\theta_1)＼），＼（z_2 ＝r_2(＼cos\theta_2 ＋ i\sin\theta_2)＼）则\（z_1 ＼times z_2 ＝ r_1r_2(＼cos(＼theta_1 ＋＼theta_2) ＋i\sin(＼theta_1 ＋＼theta_2)）＼）简单来说，两个复数相乘，其模相乘，辐角相加。
为了更好地理解这一运算规则，我们来看一个具体的例子。
假设\（z_1 ＝2(＼cos\frac{＼pi}｛4} ＋i\sin\frac{＼pi}｛4}）＼），＼（z_2 ＝ 3(＼cos\frac{＼pi}｛6} ＋ i\sin\frac{＼pi}｛6}）＼）则\（z_1 ＼times z_2 ＝ 2×3(＼cos(＼frac{＼pi}｛4} ＋＼frac{＼pi}｛6}）＋ i\sin(＼frac{＼pi}｛4} ＋＼frac{＼pi}｛6}））＼）＼＼begin{align}＆＝6(＼cos(＼frac{3\pi ＋ 2\pi}｛12}）＋ i\sin(＼frac{3\pi ＋ 2\pi}｛12}））＼＼＆＝6(＼cos\frac{5\pi}｛12} ＋ i\sin\frac{5\pi}｛12}）＼end{align}＼通过这个例子，我们可以清晰地看到，在三角形式下进行复数乘法，能够直观地得到乘积的模和辐角。
线性代数同济5版
解法
通过高斯消元法或克拉默法则求 解，解的形式同样包括唯一解、 无穷多解和无解。对于无解的情 况，可以通过最小二乘法求得近 似解。
线性方程组的解法与应用
解法概述
线性方程组的解法主要包括直接法和迭代法两大类。直接法 包括高斯消元法、克拉默法则等，适用于中小规模问题；迭 代法包括雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代等，适用于大规模问 题。
两个矩阵的行数相等、 列数相等且对应元素都 相等。
两个矩阵的对应元素相 加。
用该数乘以矩阵的每一 个元素。
第一个矩阵的列数等于 第二个矩阵的行数，且 结果矩阵的第$i$行第 $j$列元素等于第一个矩 阵的第$i$行的元素与第 二个矩阵的第$j$列对应 元素乘积之和。
矩阵的逆与转置
逆矩阵
对于$n$阶矩阵$A$，如果有一个$n$阶矩阵$B$，使得$AB=BA=I$，其中$I$为单位矩阵，则称矩阵 $A$是可逆的，并把矩阵$B$称为$A$的逆矩阵。
二次型的标准形
通过坐标变换，二次型可以化为只含有平方项的标准形$f = k_1y_1^2 + k_2y_2^2 + ... + k_ny_n^2$，其中$k_i$为常数。
二次型的矩阵表示
二次型可以表示为矩阵形式$f = X^TAX$，其中A为对称矩阵，X为列向量。
二次型的正定性与负定性
01
正定二次型
矩阵的转置
把矩阵$A$的行和列互换所得到的矩阵称为A的转置矩阵，这一过程称为矩阵的转置。
矩阵的秩与初等变换
矩阵的秩
在$m times n$矩阵中，任取$k$行和$k$列（$k leq m, k leq n$），位于这些行列交叉处 的$k^2$个元素，不改变它们在原矩阵中的位置次序而得的$k$阶行列式，称为矩阵的$k$-
向量运算5
同样也可看成由 n 个 m 维列向量组成，如
a11 a21 a 31 a 41
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
a15 a25 a35 a45
可以看成 4 个 5 维行向量的向量组；也可以看成 5 个 4 维列 向量的向量组。 定义（线性相关）设 a1 , a2 ,..., ak 为 k 个同维向量，若存在 不全为 0 的 k 个数c1 , c2 ,..., ck ，使
证
（ 1）由 a1 , a2 ,..., am 线性相关，故存在不全为 0 的数
c1 , c2 ,..., cm ，使
c1 a1 c2 a2 ... cm am 0
则
c1 a1 c2 a2 ... cm am 0 am1 0
b1 (b11 , b12 , b13 ) b2 (b21 , b22 , b23 ) b3 (b31 , b32 , b33 )
A A 则不难说明矩阵 B 经初等变换可化为 O ，因而有
R(AB)=R(A)
而由于显然有R(AB)不小于R(B)，由此也不难说明定理结 论成立。
c1 a1 c2 a2 ... ck ak 0
称 a1 , a2 ,..., ak 线性相关
( linear dependence)。
不满足线性相关的向量组称为线性无关
(linear
6.2.3 向量的数乘运算
(3) ( x y )a ( x y )a [( x y ) ( x y )]a 2 ya
例析
例6.如图，□ 的两条对角线相交于点，且 = ， = ，
用，表示，，和.
解：在□中， = + = + ， = − = − .
= + 3.猜想, , 三点之间的位置关系，并证明你的猜想.
解：分别作向量，，，过点，作直线(如图).观察发现，
不论向量，怎样变化，点始终在直线上，猜想, , 三点共线.
3
事实上，因为 = − = + 2 − ( + ) = ，
(1) 5(3a 2b) 4(2b 3a ) 15a 10b 8b 12a 3a 2b;
1
1
1
(2) (a 2b ) (3a 2b ) (a b )
3
4
2
1
2
3
1
1
1
11
1
a b a b a b a b
3
3
4
2
2
2
12
3
(3)原式= 2 + 3 − − 3 + 2 − = − + 5 − 2.
2. 化简：课本练习（第16页）
(1) 5(3a 2b) 4(2b 3a );
1
1
1
(2) (a 2b ) (3a 2b ) ( a b );
3
4
2
(3) ( x y )a ( x y )a .
量.
新知探索
沪教版数学九年级上册24.7《向量的线性运算》(第2课时)教学设计
沪教版数学九年级上册24.7《向量的线性运算》（第2课时）教学设计一. 教材分析《向量的线性运算》（第2课时）是沪教版数学九年级上册第24章的一部分，主要介绍了向量的线性运算性质，包括向量的加法、减法、数乘和向量与标量的乘法。
这部分内容是向量学习的重要部分，也是学生理解向量几何意义的关键所在。
通过这部分的学习，学生能够掌握向量的基本运算规则，并能够运用这些规则解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数和几何基础，对向量的概念和几何意义有一定的理解。
但学生在运算方面的规律和性质的理解上可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际问题中抽象出向量的运算规律，并通过大量的例子来帮助学生理解和巩固。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握向量的线性运算性质，能够熟练地进行向量的加法、减法、数乘和向量与标量的乘法运算。
2.过程与方法：通过实际问题，引导学生从实际问题中抽象出向量的运算规律，培养学生的抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：向量的线性运算性质。
2.难点：向量的线性运算在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过实际问题引导学生抽象出向量的运算规律，通过案例讲解使学生理解向量运算的实质，通过小组合作让学生在讨论中巩固知识，培养学生的团队合作意识。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生抽象出向量的运算规律。
2.准备典型案例，用于讲解向量的运算规律。
3.分组学生，进行小组合作学习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如物体在平面直角坐标系中的运动问题，引导学生思考如何进行向量的加法运算。
2.呈现（15分钟）呈现典型案例，讲解向量的加法、减法、数乘和向量与标量的乘法运算的实质和规律。
3.操练（15分钟）让学生进行向量的线性运算练习，教师巡回指导，及时纠正学生的错误。
5-1第一节向量及其线性运算
Pr j(a1 a2 ) Pr ja1 Pr ja2 .
A
a1
B
a2
C
u
A
B
C
向量的模与方向余弦的坐标表示式
非零向量
a
的方向角： 、
、
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
z
0 ,
• M2
M1•
0 , 0 .
o
y
x
z
由图分析可知
R
M1•
P
o
• M2
Q
y
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
M2M3 M3M1 , 原结论成立.
a
b
5
1
b
b
3a
2
5
(1
3)a
1
5 2
1 5
5
b
2a
5
b.
2
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的
四边形必是平行四边形.
证 AM MC BM MD
D b
A
a
C
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
五.向量的坐标表示
以i
按基本单位向量的坐标分解式：
M1M2 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j (z2 z1 )k
在三个坐标轴上的分向量：axi , ay j , azk ,
向量的坐标： ax , a y
1.3 向量的数乘
1.3 向量的数乘必备知识基础练1.在△ABC 中,D 是线段BC 的中点,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AE⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AE ⃗⃗⃗⃗⃗B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AE ⃗⃗⃗⃗⃗C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EA ⃗⃗⃗⃗⃗D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EA⃗⃗⃗⃗⃗AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AE⃗⃗⃗⃗⃗ . 2.如图,在矩形ABCD 中,E 为CD 的中点,那么向量12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A.AE ⃗⃗⃗⃗⃗B.AC ⃗⃗⃗⃗⃗C.DC⃗⃗⃗⃗⃗ D.BC⃗⃗⃗⃗⃗E 为CD 的中点,∴12AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DE ⃗⃗⃗⃗⃗ , 则12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ . 3.已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +2b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5a +3b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3a +b ,则( ) A.A ,B ,D 三点共线 B.A ,B ,C 三点共线 C.A ,C ,D 三点共线 D.B ,C ,D 三点共线向量BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +4b ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +2b , ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即A ,B ,D 三点共线. 4.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5e ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-7e ,且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则四边形ABCD 的形状是 .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-57CD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 因此AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≠|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以四边形ABCD 是梯形. 又因为|AD⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |, 所以四边形ABCD 是等腰梯形.5.已知a 与b 是两个不共线的向量,且向量(a +λb )与(b -3a )共线,则λ的值为 . -13a +λb =k (b -3a ),即a +λb =k b -3k a ,∴(1+3k )a =(k-λ)b . ∵a ,b 不共线,∴{1+3k =0,k -λ=0,解得λ=-13.6.如图,已知D ,E 分别为△ABC 的边AB ,AC 的中点,延长CD 到M 使DM=CD ,延长BE 至N 使BE=EN ,求证:M ,A ,N 三点共线.D 为MC 的中点,且D 为AB 的中点,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 同理可证明AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,又AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点A. ∴M ,A ,N 三点共线.7.(1)已知a =3i +2j ,b =2i -j ,求(13a -b)-a -23b +(2b-a ); (2)已知向量a ,b ,且5x+2y=a ,3x-y=b ,求x ,y.原式=13a-b-a+23b+2b-a=(13-1-1)a+(-1+23+2)b=-53a+53b .∵a=3i+2j ,b=2i-j ,∴原式=-53(3i+2j )+53(2i-j )=(-5+103)i +(-103-53)j =-53i-5j . (2)将3x-y=b 两边同乘2,得6x-2y=2b . 与5x+2y=a 相加,得11x=a+2b , ∴x=111a+211b . ∴y=3x-b=3(111a +211b)-b=311a-511b. 关键能力提升练8.在△ABC 中,O 为其内部一点,且满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则△AOB 和△AOC 的面积比是( ) A.3∶4 B.3∶2C.1∶1D.1∶3AC 的中点M (图略),则由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以2|OM|=3|OB|,点O 在线段BM 上. 因此S △AOB ∶S △AOC =S △AOB ∶2S △AOM =|OB|∶2|OM|=1∶3.9.(2021福建福州期中)如图,在直角梯形ABCD 中,已知AB ∥CD ,∠BAD=90°,AD=AB=2,CD=1,动点P 在线段BC 上运动(包含点C ,不包含点B ),且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AD ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ,n ∈R ),则1m +2n 的最小值是( ) A.3 B.3+2√2 C.4 D.4+2√2P 在线段BC 上运动(包含点C ,不包含点B ),则BP⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ≤1), 则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1-12λAB⃗⃗⃗⃗⃗ +λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以m=1-12λ,n=λ, 则1m +2n =11-12λ+2λ=22-λ+2λ=12-λ+1λ[(2-λ)+λ]=2+λ2-λ+2-λλ≥2+2√2-λλ·λ2-λ=4, 当且仅当2-λλ=λ2-λ,即λ=1时等号成立.故1m+2n 的最小值为4.故选C .10.在平行四边形ABCD 中,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE⃗⃗⃗⃗⃗ +μAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中λ,μ∈R ,则λ+μ= .,有AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(λ3+μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ+μ2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ3+μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ+μ2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即1-λ3-μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ+μ2-1AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,∴{λ3+μ=1,λ+μ2=1,解得{λ=35,μ=45,故λ+μ=75.11.在△ABC 中,P 是AB 上一点,且CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,Q 是BC 的中点,AQ 与CP 的交点为M ,且CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求t 的值.CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴3CP⃗⃗⃗⃗⃗ =2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即2CP⃗⃗⃗⃗⃗ -2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CP ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴2AP⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即P 为AB 的一个三等分点(靠近点A ),如图所示.∵A ,M ,Q 三点共线, ∴设CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-x )CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(x-1)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 又CB⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(x 2-1)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t CP ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴x2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(x 2-1)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =t (13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ). ∴{x 2=t 3,x 2-1=-t ,解得t=34.12.已知在△OBC 中,A 是线段BC 的中点,D 是线段OB 的一个三等分点(靠近点B ),设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =b .(1)用向量a 与b 表示向量OC⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)若OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =35OA⃗⃗⃗⃗⃗ ,判断C ,D ,E 是否共线,并说明理由.∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,A 是BC 的中点, ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =-a . ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ =-a -b . (2)C ,D ,E 不共线.理由如下,假设存在实数λ,使CE⃗⃗⃗⃗⃗ =λCD ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b +35(-b )=a +25b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2a +13(-a +b )=53a +13b , ∴a +25b =λ(53a +13b),∴{53λ=1,13λ=25,此方程组无解,∴不存在实数λ,满足CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCD ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴C ,D ,E 三点不共线.学科素养创新练13.如图,F 为线段BC 的中点,CE=2EF ,DF=35AF ,设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,试用a ,b 表示AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b-a ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(b-a ),所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23a +13b .因为AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a+b ),所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =85AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =45(a+b ),所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =45(a+b )-b=45a-15b .。
求平面向量数量积的5种方法
平面向量数量积的5种方法一、定义：(与物理中功的定义一致，两向量通过数量积运算以后是标量或实数。
)(亦称内积)是两向量乘法运算中的一种，2121y y x x b a ⋅+⋅==⋅θ，叫做向量a 与b 的数量积。
θ为向量a 与b 的夹角，注意：求两向量的夹角应把向量的起点移到同一点，注意不能理解成两条直线的夹角，[]0,θπ∈。
二、几何意义为：b a ⋅等于a (或b )与b (或a )在a (或b )方向上的投影cos b θ(θcos a)的乘积。
三、运算率：①交换率：a b b a ⋅=⋅；②分配率：()c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+;③不满足结合率：()()c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅，因为前面表示与c 共线的向量，后面表示与a 共线的向量。
四、三种方法：1.定义法：代入到数量积的公式中，对于较简单题（已知两向量的模与夹角），用此法计算。
2.绕法：当两向量的模与夹角不易求时，把两向量通过平行四边形或三角形绕成用已知向量（已知模与夹角的向量）表示，然后代入到数量积公式中。
3.坐标法：如果给出两向量所在图形存在垂直关系（易建系时）时，适当建立直角坐标系，代入坐标计算。
4.投影法：当一个向量在另一个向量上的投影易求时，用此法计算。
5.特殊图形法：如果图形形状不确定，则可取特殊图形，然后利用建系或投影计算。
1、利用定义计算（简单）。
1.(2010年辽宁卷)平面上,,O A B 三点不共线，设,OA a OB b ==，则OAB ∆的面积等于 ( ) 222()a b a b -⋅ 222()a b a b +⋅C.12222()a b a b -⋅ D.()22221ba b a ⋅+2.(2016年新课标全国卷II3)已知向量()()2,3,,1-==b m a 且()b b a ⊥+，则m = ( ) A.－8 B.－6 C.6 D.83.(2012年辽宁卷)已知向量)1,1(-=a ，),2(x b =，若1=⋅b a ，则x = ( ) A.—1 B.—12 C.12D.1 4.(2016年新课标全国卷II4)已知向量b a ,满足1,1-=⋅=b a a ，则()b a a -⋅2= ( ) A.4B.3C.2D.05.(高考题)已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足()0b a b ⋅-=，则||b 的取值范围是 。
计算机图形学_第五章
方阵 单位矩阵：对角线元素为1，其他元素为0。记作 I n
式7-5
转置 M的转置记作 M
T
,它的列由M的行组成。即
式7-6 式7-7
MT ij M ji
对于向量来说，转置将行向量变成列向量
在书面表达中列向量通常写为
式7-8
矩阵乘法 矩阵乘法的计算前提
nc
A的列数和B的行数相等。一个 矩阵的结果是一个 矩阵，记作AB
r n r c
矩阵A乘以一个
矩阵乘法
矩阵乘法的计算 若矩阵A是 矩阵， 矩阵B是 绩AB的计算方法如下：
r n
nc
矩阵，则它们的成
矩阵乘法
矩阵乘法
矩阵乘法的注意事项
任何矩阵M乘以方阵S，矩阵维数不变；如S是单位矩阵，则不变，即： MI=IM=M 矩阵乘法不满足交换律
矩阵乘法满足结合律，即(AB)C=A(BC) 矩阵乘法满足与标量或者向量的结合律，即： (kA)B= k(AB)= A(kB) (vA)B= v(AB) 矩阵积的转置相当于先转置然后以相反的顺序乘：
式5-8
d
ba
d x d yd z
2 2
2
2
式5-9
(bx ax ) (by a y ) (bz az )
2
2
式5-10
向量点乘 运算法则 向量点乘的结果为一个标量。
a1 b1 a b 2 2 ... ... a1b1 a2b2 ... an 1bn 1 anbn a n 1 bn 1 an bn
a 图4-3
b 图4-4
向量运算 线性代数与几何 符号约定 零向量 负向量 向量大小（长度或模） 标量与向量的乘法 标准化向量 向量的加法和减法 距离公式 向量点乘 向量叉乘 线性代数公式
三个向量点乘运算法则
三个向量点乘运算法则向量点乘是向量运算中的一种重要形式，常常被用来计算向量之间的夹角、长度、投影等。
下面介绍三个向量点乘的运算法则。
一、标量乘法向量的标量乘法是指将向量的每一个元素都乘以一个标量，得到一个新的向量。
标量乘法的算式如下：α * V = (α * v1, α * v2, α * v3, ... , α * vn)其中，α为标量，V是一个n维向量，v1 ~ vn是向量V的n个元素。
标量乘法的作用是改变向量的长度和方向，如果标量为正数，则向量的方向不变，长度增加；如果为负数，则向量方向相反，长度缩小。
二、向量点积向量的点积运算又称为数量积或内积，其计算方式是将两个向量的对应元素依次相乘，再将结果相加，最终得到一个标量值。
点积有如下公式：A ·B = a1b1 + a2b2 + a3b3 + ... + anbn其中，A和B是两个n维向量，a1 ~ an和b1 ~ bn是它们的n个元素。
向量点积的结果为标量值，可以用来计算向量的长度、夹角、投影等。
其中，向量长度的公式为：||A|| = √(A · A)即一个向量的长度等于其自身和自己点积再开方。
三、向量外积向量的外积运算又称为向量积或叉积，其结果是一个新的向量，方向垂直于原始两个向量所在的平面，大小等于这两个向量所在的平行四边形的面积。
外积的公式为：A xB = [| i j k| a1 a2 a3 b1 b2 b3|]其中，A和B是两个三维向量，a1 ~ a3和b1 ~ b3是它们的三个元素；i、j、k是基向量，分别表示三维空间的x、y、z轴。
向量外积的结果是一个向量，其大小等于A和B所在平行四边形的面积，方向垂直于A和B所在平面，遵守右手定则。
外积通常用于计算向量之间的夹角和正交性等。
总结：向量点乘是向量运算中的一种重要形式，包括标量乘法、向量点积和向量外积三种运算法则。
向量点乘的应用十分广泛，可以用于计算向量之间的长度、夹角、投影，以及正交性等。
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义课件(人教版)
[解] (1)原式
＝ 6cos1π2＋56π＋isin1π2＋56π
＝ 6cos1112π＋isin1112π
＝
6－
6＋ 4
2＋i·
6－ 4
2
＝－3＋2
3＋3－2
3 i.
(2)原式＝21(cosπ＋isinπ)＝－21. (3)原式＝24cos43π＋isin43π ＝16－21－ 23i ＝－8－8 3i. (4)原式＝cos(5×36°)＋isin(5×36°)＝ cos180°＋isin180°＝－1.
2(cos150°＋isin150°)＝2－ 23＋12i＝－ 3＋i.
(2)cosπ4＋4 isinπ4＝4ccoossπ40＋＋iissiinnπ40＝ 4cos－π4＋isin－π4＝ 4 22－ 22i＝2 2－2 2i.
进行两个复数的三角形式除法运算时，将模对应相除当模，用被除数辐角减去 除数的辐角当做商的辐角，即可得两个复数的除法结果.可简记为：模数相除，辐 角相减.
知识点一 复数的三角形式的运算
[填一填] 设 z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，则 (1)乘法： z1·z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)] ，这就是说，两个复数相乘， 积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
z2≠0，zz21的几何意义是把
z
的对应向量O→Z1按顺时针方向旋转一个角 θ2(如果 1
θ2<0，就要把O→Z1按逆时针方向旋转一个角|θ2|)，再把它的模变为原来的 r2 倍，
所得的向量即表示商zz12.
类型一 复数三角形式的乘法运算
[例 1] 计算下列各式： (1) 2cos1π2＋isin1π2· 3cos56π＋isin56π； (2)3cosπ4＋isinπ4·7cos34π＋isin34π； (3)2cosπ3＋isinπ34； (4)(cos36°＋isin36°)5. [分析] 利用复数三角形式的乘法法则计算即可．
部编版高中数学必修二第七章复数带答案考点专题训练
(名师选题)部编版高中数学必修二第七章复数带答案考点专题训练单选题1、若z =1+2i +i 3，则|z|=（ ） A ．0B ．1 C ．√2D ．22、若复数5−3−i的实部与虚部分别为a ，b ，则点A (b ，a )必在下列哪个函数的图象上（ ）A ．y =2xB ．y ＝x+12x C ．y =|x|D ．y =−2x 2−1 3、3+i 1−3i=（ ）A ．1B ．−1C ．iD ．−i 4、复数i 2+i 3+i 2022=（ ） A ．i B ．−2−i C ．−2+i D ．−15、设z 1=−1+√3i ，z 2=(12z 1)2，则argz 2=（ ） A ．56πB ．43πC ．116πD ．53π6、在复平面内，把复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是( ) A ．2√3B ．−2√3i C ．√3−3i D ．3+√3i7、已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为(2,1)，(1,b )，若z 1z 2是纯虚数，则b =（ ） A ．2B ．12C ．−12D ．－28、已知复数z 1=21+i 与z 2在复平面内对应的点关于直线y =x 对称，则z 1z 2=（ ） A ．−4i B ．−2i C ．2i D ．4i 多选题9、关于复数z =cos2π3+isin2π3（i 为虚数单位），下列说法正确的是（ ）A ．|z |=1B ．z 在复平面上对应的点位于第二象限C．z3=1D．z2+z+1=010、设复数z=m(3+i)−(2+i)，i为虚数单位，m∈R，则下列结论正确的为（）<m<1时，则复数z在复平面上对应的点位于第四象限A．当23B．若复数z在复平面上对应的点位于直线x−2y+1=0上，则m=1C．若复数z是纯虚数，则m=23⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=√10，则m=2D．在复平面上，复数z−1对应的点为Z′，O为原点，若|OZ′11、已知复数z满足方程(z2+9)(z2−2z+4)=0，则（）A．z可能为纯虚数B．该方程共有两个虚根C．z可能为1−√3i D．该方程的各根之和为2填空题12、若复数z满足z+|z|=2，则z=__________．13、对任意三个模长小于1的复数z1，z2，z3，均有|z1z2+z2z3+z3z1|2+|z1z2z3|2<λ恒成立，则实数λ的最小可能值是______．部编版高中数学必修二第七章复数带答案(七)参考答案1、答案：C分析：先根据i 2=−1将z 化简，再根据复数的模的计算公式即可求出． 因为z =1+2i +i 3=1+2i −i =1+i ，所以 |z|=√12+12=√2． 故选：C ．小提示：本题主要考查复数的模的计算公式的应用，属于容易题． 2、答案：D分析：将复数化为z ＝a ＋b i 的形式即可求出A ，将A 的坐标代入选项的函数验证即可. 因为5−3−i ＝=5(−3+i)(−3−i)(−3+i)＝－32＋12i ， 所以a ＝－32，b ＝12，所以A (12,−32)，把点A 的坐标分别代入选项，只有D 选项满足. 故选：D. 3、答案：C解析：根据复数运算将分之分母同乘以1+3i ，化简即可得出答案. 解：3+i1−3i=(3+i )(1+3i )(1−3i )(1+3i )=3+3i 2+10i10=3−3+10i 10=i .故选：C.小提示：复数乘除法运算技巧：（1）复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．（2）复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数． 4、答案：B分析：由复数的乘方化简计算．i 2+i 3+i 2022=(−1)+(−i)+(−1)=−2−i ． 故选：B ． 5、答案：B分析：首先求z 2，再求tanθ，根据对数对应的点所在的象限，求复数的辅角主值.z2=14z12=14(−1+√3i)2=−12−√32i，复数对应的点是(−12,−√32)，位于第三象限，且tanθ=ba=√3，所以argz2=4π3.故选：B6、答案：B分析：由题意知复数3−√3i对应的向量按顺时针方向旋转π3，需要把已知向量对应的复数乘以复数的沿顺时针旋转后的复数，相乘得到结果．解：∵由题意知复数3−√3i对应的向量按顺时针方向旋转π3，∴旋转后的向量为(3−√3i)[cos(−π3)+i sin(−π3)]=(3−√3i)(12−√3i2)=32−3√3i2−√3i2+3i22=−2√3i．故选：B．7、答案：A分析：根据复数的几何意义，可得z1=2+i,z2=1+bi，根据复数的运算法则，即可得答案.由题意得：z1=2+i,z2=1+bi，所以z1z2=(2+i)(1+bi)=2+2bi+i+bi2=2−b+(2b+1)i，又z1z2是纯虚数，所以{2−b=02b+1≠0，解得b=2，故选：A.小提示：本题考查复数的几何意义，复数的乘法运算，复数的分类，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.8、答案：C分析：利用复数的除法运算法则化简复数z1，求出其在复平面内对应的点，再求出该点关于直线y=x对称的点，得到复数z2，最后利用复数的乘法运算法则即可求得z1z2．因为z1=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，所以复数z1在复平面内对应的点为(1,−1)，其关于直线y=x对称的点为(−1,1)，所以z2=−1+i，所以z1z2=(1−i)(−1+i)=2i，故选：C ． 9、答案：ACD分析：利用复数的运算法则，共轭复数的定义，几何意义即可求解z =cos2π3+i sin 2π3=−12+√32i 所以|z |=√(−12)2+(√32)2=1故A 正确 z̅=−12−√32i ，则z̅在复平面上对应的点为(−12,−√32)位于第三象限 故B 错误 z =−12+√32i ⇒ z 2=(−12+√32i )2=(−12)2+2×(−12)(√32i )+(√32i )2=−12−√32i z 3=z 2⋅z =(−12+√32i )2(−12+√32i )=(−12−√32i )(−12+√32i )=(−12)2−(−√32i )2=14−34i 2=14+34=1 故C 正确z 2+z +1=−12−√32i −12+√32i +1=0故D 正确 故选：ACD 10、答案：AC分析：由z =m (3+i )−(2+i )，得z =(3m −2)+(m −1)i ，然后逐个分析判断即可 由z =m (3+i )−(2+i )，得z =(3m −2)+(m −1)i ，对于A ，当23<m <1时，0<3m −2<1，−13<m −1<0，所以复数z 在复平面上对应的点位于第四象限，所以A 正确，对于B ，若复数z 在复平面上对应的点位于直线x −2y +1=0上，则3m −2−2(m −1)+1=0，解得m =−1，所以B 错误，对于C，若复数z是纯虚数，则3m−2=0且m−1≠0，解得m=23，所以C正确，对于D，由z=(3m−2)+(m−1)i，得z−1=(3m−3)+(m−1)i，则Z′(3m−3,m−1)，由|OZ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=√10，得(3m−3)2+(m−1)2=10，(m−1)2=1，得m=2或m=0，所以D错误，故选：AC11、答案：ACD分析：依题意可得z2+9=0或z2−2z+4=0，即z2=−9或(z−1)2=−3，从而求出z，即可判断；解：由(z2+9)(z2−2z+4)=0，得z2+9=0或z2−2z+4=0，即z2=−9或(z−1)2=−3，解得z=±3i或z=1±√3i，即方程的根分别为z1=3i、z2=−3i、z3=1+√3i、z4=1−√3i，所以z1+z2+z3+z4=3i+(−3i)+(1+√3i)+(1−√3i)=2故选：ACD.12、答案：1分析：设z=a+b i(a,b∈R)，根据题意，结合求模公式、复数相等的条件等知识，列出方程组，即可得答案. 设z=a+b i(a,b∈R)，所以z+|z|=a+b i+√a2+b2=2，所以{a+√a2+b2=2b=0，解得{a=1b=0，所以z=1．所以答案是：113、答案：10分析：利用复数的三角形式结合余弦函数的性质可得|z1z2+z2z3+z3z1|2+|z1z2z3|2的取值范围，从而得到实数λ的最小可能值.设z1=ρ1(cosθ1+i sinθ1)，z2=ρ2(cosθ2+i sinθ2)，z3=ρ3(cosθ3+i sinθ3)，由题设有ρi∈[0,1)(i=1,2,3).又|z1z2+z2z3+z3z1|2=[ρ1ρ2cos(θ1+θ2)+ρ2ρ3cos(θ2+θ3)+ρ1ρ3cos(θ1+θ3)]2+[ρ1ρ2sin(θ1+θ2)+ρ2ρ3sin(θ2+θ3)+ρ1ρ3sin(θ1+θ3)]2，=ρ12ρ22+ρ22ρ32+ρ12ρ32+2ρ1ρ22ρ3cos(θ1−θ3)+2ρ1ρ32ρ2cos(θ1−θ2)+2ρ2ρ12ρ3cos(θ2−θ3)，而|z1z2z3|2=(|z1||z2||z3|)2=ρ22ρ12ρ32，所以|z1z2+z2z3+z3z1|2+|z1z2z3|2<4+2[cos(θ1−θ2)+cos(θ2−θ3)+cos(θ1−θ3)]，而cos(θ1−θ3)+cos(θ1−θ2)+cos(θ2−θ3)≤3，当且仅当θ1,θ2,θ3终边相同时等号成立，故|z1z2+z2z3+z3z1|2+|z1z2z3|2<10，所以λ≥10，故实数λ的最小可能值为10，所以答案是：10.。
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内容小结
设 a (a x , a y , a z ) , b (bx , by , bz ) , c (c x , c y , c z ) 1. 向量运算 加减: 数乘: 点积: 叉积:
a b (a x bx , a y by , a z bz )
角形 ABC 的面积,以及C到直线AB的距离d. B 教材的例6 解: 如图所示, d 1 S ABC AB AC sin 2 A 1 AB AC 2 i j k 1 1 2 2 2 ( 4, 6, 2 ) 2 2
C
1
2
4
1 2 4 (6) 2 2 2 14 2
M OQ F OP F sin
F
O
OP F M 符合右手规则 M OP
P
Q
L
F
M F
o
M
P
OQ OP sin
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1. 定义
定义 设 a , b 的夹角为 ， 向量 c
方向 : c a , c b 且符合右手规则 模 : c a b sin
B
c a sin B
CB CA a b sin C
所以
c
A
b
a
C
a b c sin A sin B sin C
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( a x i a y j a z k ) ( bx i by j bz k )
i j j k k i 0
a b a x bx a y by a z bz
两向量的夹角公式 当 为非零向量时, 由于
cos
a b
a b cos , 得 a x bx a y by a z bz
称 c 为向量 a 与 b 的向量积 , 记作
b
c ab
引例中的力矩
(叉积,外积)
a c ab
思考: 右图三角形面积
S＝
a 返回 结束
2. 性质
(1) a a 0 (2) a , b为非零向量, 则 a b 0
证明: 当 a 0 , b 0 时,
(1) a a
(2) a , b 为两个非零向量, 则有
a b 0
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3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律
a
a ( b)
b
(a b)
( a ) ( b ) a ( b ) (a b)
(3) 分配律
a y by ( j j )
a z bz ( k k )
(a y bz a z by ) i (a z bx a x bz ) j (a x by a y bx ) k
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k
i
返回
j
结束
向量积的行列式计算法
(a y bz a z by ) i (a z bx a x bz ) j (a x by a y bx ) k
a , b , c 共面
( ab )c 0
ax a y az b x b y bz 0 cx c y cz
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作业
P23 1 , 2.(1,2) , 3 , 4.(2) ,
5.(1) .
第三节
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思考与练习
1. 设 a i 2 j k , b i j , 计算 a b 及 a b , 并求 a , b 夹角 的正弦与余弦 . 答案: a b 1 ,
i j ax a y k az
a ax i a y j az k b bx i by j bz k
ax bx az bz
bx
b y bz
,
( 行列式计算见 P314～P318 )
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例4. 已知三点 A(1, 2 , 3 ) , B( 3 , 4 , 5 ), C ( 2 , 4 , 7 ) , 求三
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例1. 证明三角形余弦定理
c 2 a 2 b 2 2ab cos 证: 如图 . 设
中学里的题目
A
C B a , C A b , AB c
则
c
B
b
a
C
c
2
( a b ) ( a b ) a a b b 2 a b a b 2 a b cos
第三节 向量的乘法运算
一、两向量的数量积 二、两向量的向量积
第五章
三、向量的混合积
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一、两向量的数量积
引例. 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为
的直线移动, 位移为 s , 则力F 所做的功为
W F s cos
1. 定义
设向量 a , b 的夹角为 , 称
a
b
c
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例6. 已知一四面体的顶点
4 ) , 求该四面体体积 .
解: 已知四面体的体积等于以向量 A1 A2 , A1 A3 , A1 A4
为棱的平行六面体体积的 故
A4 A3 A1 A2
[ A1 A2 A1 A3 A1 A4 ]
1 6
x2 x1 y2 y1 z2 z1 x3 x1 y3 y1 z3 z1 x4 x1 y4 y1 z4 z1
cz
ax a y az bx b y bz cx c y cz
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3. 性质
(1) 三个非零向量 a , b , c 共面的充要条件是
a b c 0
(2) 轮换对称性 :
[ a b c ] [ b c a ] [ c a b]
(可用三阶行列式推出)
a b (1, 1, 3) 1 11 cos , sin 2 3 12
2. 用向量方法证明正弦定理: a b c sin A sin B sin C
B
c
A
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a
b
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C
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证: 由三角形面积公式
因
1 S ABC AC AB 2 1 1 BA BC CB CA 2 2 AC AB b c sin A
记作
M1
s
W Fs
M2
a b
为a 与b 的数量积 (点积,内积) .
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b 在a 上的投影为
b
a b a 同理 ,当 b 0 时,
故
2. 性质
记作
Pr ja
Pr ja b
b
a 0, b 0
此式倒过来更有用! 则 a b 0
2
a 2 a b cos b 3 2 2 ( 2 ) 2 2 3 cos 3 4 17
a b 17
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4. 数量积的坐标表示
设 a a x i a y j a z k , b bx i by j bz k , 则
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4. 向量积的坐标表示式
设 a a x i a y j a z k , b bx i by j bz k , 则
( a x i a y j a z k ) ( bx i by j bz k )
a x bx ( i i )
a∥ b
ab 0
3. 运算律
a b sin 0 sin 0， 0 或 即
a∥ b
(1) a b b a 方向相反,不是交换律
(2) 分配律 ( a b ) c a c b c
(证明略)
(3) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )
2 2
a a ,b b ,c c
c 2 a 2 b 2 2ab cos
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余弦定理的应用例题
已知向量 解：
3 a , b 的夹角 , 且 | a | 2, | b | 3, 4
( a b )( a b )
aa
2
bb
c
Pr jc a Pr jc b Pr jc ( a b )
事实上, 当 c 0 时, 显然成立 ; 当c 0时
a b c c Pr jc a b c Pr jc a Pr jc b
c Pr jc a c Pr jc b a c b c
a ( a x , a y , a z )
a b a x bx a y by a z bz
i j k a b ax a y az
bx b y bz
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ax a y az 混合积: a b c ( a b ) c bx b y bz cx c y cz 2. 向量关系: bx b y bz ab 0 ax a y az a x bx a y by a z bz 0