线性代数PPT1-4
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线性代数课件1-4行列式按行(列)展开
实例解析
• 实例2：考虑行列式$\begin{vmatrix}
实例解析
01
a&b&c
02
d&e&f
g&h&i
03
实例解析
• \end{vmatrix}$，按第2行展开，得到 $D=b\times\begin{vmatrix}
实例解析
d&f g&i
end{vmatrix}+ctimesbegin{vmatrix}
二阶行列式
由两个元素$a_{11}$和$a_{12}$，以及$a_{21}$ 和$a_{22}$构成的矩形，其值为$a_{11}a_{22} a_{12}a_{21}$。
三阶行列式
由八个元素构成的三个二阶行列式，其结果为三 个二阶行列式的代数和。
n阶行列式
由n阶方阵的n个元素构成的n个二阶行列式的代数 和。
行列式的性质
01
交换律：行列式的行和列可以交换， 即$|begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| = | begin{matrix} a_{21} & a_{22} a_{11} & a_{12} end{matrix}|$。
02
结合律：行列式的行和列的乘法可以 按照任意组合进行，即 $|begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| = | begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| - | begin{matrix} a_{11} & a_{21} a_{12} & a_{22} end{matrix}|$。
线性代数课本课件
最小二乘法的计算实例
直线拟合的计算实例
通过最小二乘法拟合一组数据点，得到最佳 直线方程。
多项式拟合的计算实例
通过最小二乘法拟合一组数据点，得到最佳 多项式方程。
非线性拟合的计算实例
通过最小二乘法结合适当的变换，拟合非线 性模型。
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04 特征值与特征向量
特征值与特征向量的概念
特征值
设A是n阶方阵，如果存在数λ和 非零n维列向量x，使得Ax=λx成
立，则称λ是A的特征值。
特征向量
对应于特征值λ的满足Ax=λx的非 零向量x称为A的对应于特征值λ的 特征向量。
特征空间
对应于同一特征值的所有特征向量 （包括零向量）的集合，加上零向 量后构成的线性子空间称为特征空 间。
线性方程组的应用举例
线性规划问题
图像处理
线性方程组可用于描述和解决线性规划问 题，如资源分配、生产计划等。
在计算机图像处理中，线性方程组可用于 图像滤波、图像恢复等任务。
机器学习
电路分析
在机器学习领域，线性方程组常用于线性 回归、逻辑回归等模型的参数求解。
在电路分析中，线性方程组可用于描述电路 中的电流、电压等物理量之间的关系，从而 进行电路分析和设计。
向量的线性组合关系不变。
线性变换的性质
02
线性变换具有保持线性组合、保持线性相关等性质，同时线性
变换的核与像也是重要的概念。
线性变换的运算
03
线性变换之间可以进行加法和数量乘法运算，同时线性变换的
逆变换和复合变换也是常见的运算。
线性空间的基与维数
基的概念
线性空间中的一组线性无关的向量，可以表示该空间中的任意向 量，称为该线性空间的基。
线性代数与空间解析几何01-第4节 利用性质计算行列式_4
3111
例1.2.2 计算四阶阶行列式 D 1 3 1 1 .
1131
1113
解 将第2、3、4行都加到第一行得
1111
1111
D r1 6
1 6
1
3 1
1 3
1 r2 r1 6 0 1 r3 r1 0
2 0
0 2
0 48. 0
1 1 1 3 r4 r1 0 0 0 2
1.2 行列式的性质
q11
0
D2
q11 qnn.
qn1 qnn
1.2 行列式的性质
1.2.2 利用性质计算行列式
对D的前k行做运算ri+krj，再对后n列做运算
ci+kcj，把D化为下三角形行列式
p11
0
D pk1 c11
pkk c1k
q11
,
cn1 cnk qn1 qnn
故 D p11 pkk q11 qnn D1 D2 .
x会
z yw
z y r1 r2 x x w y
w r2 r1 z
1.2 行列式的性质
2. 利用性质计算行列式
注意:
1.将几次运算写在一起时,各运算的次序不能颠倒. 例如
x y r1 r2 x z yw r2 r1 x z yw
zw
zw
; x y
x y r2r1 x y r1r2 z w .
1.2 行列式的性质
1.2.2 利用性质计算行列式
1 2 3 4
例1.2.1 计算四阶行列式 D 2
3 4 7 .
1 2 5 8
1 3 5 10
1 2 3 4
1 2 3 4
解 D 2 3
1 2
高等数学线性代数线性方程组教学ppt(4)
1.2 高斯消元法
对线性方程组消元的三种变换(统称为线性方程组 的初等变换):
（1）交换方程组中某两个方程的位置； （2）以非零常数k乘以方程组中某个方程； （3）用数k乘以方程组中某个方程后加到另一个方程 上去.
定理1 线性方程组经过初等变换后得到的新方程组 与原方程组同解.
例1
解线性方程组
R( A) n;
(2)若R(A) n 1,则 A 0, AA* A E O,
由例5知:R( A) R( A*) n, R( A*) n R( A) n (n 1) 1, 即R( A*) 1.
另一方面,由于R(A) n 1, 因此A存在n 1阶非零子式,即A* O, 从而R( A*) 1.
R( A*) 1;
任一解都可以表示为
x 0 k11 knrnr ,
其中k1, , knr R. 即,当R(A) R(A | b)时,有
Ax b的通解
Ax b的一个特解 Ax 0的通解.
行阶梯形矩阵对应的方程组，叫行阶梯 形方程组；
行阶梯形方程组中，每个方程的第一个 未知量称为主未知量(主变量)，其余变量叫 自由未知量(自由变量);
用消元法解线性方程组，就是用初等行 变换将方程组的增广矩阵化为行阶最简形， 得到的行阶梯方程组与原方程组同解．
例2 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
3.设0是Ax b的某个解(称为特解),则Ax b 的任一个解向量都可表示成0与对应的 Ax 0的解之和,即有
0 .
证 :由于 0 ( 0 ),记 0,由性质1知 是导出组Ax 0的解,则 0 .
故只要 取遍Ax 0的全部解, 0 就取遍了 Ax b的所有解.
三、Ax b解的结构定理 定理4 若Ax b有解,1, ,nr是对应的Ax 0 的基础解系,0是Ax b的一个特解,则Ax b的
线性代数1-4行列式的展开定理
2 2 ( 1 x ) D x D n 1 n 2
证明： 将上式右端的所有代数余子式都按行列式的定 义完全展开，得到一个包含 n(n 1)! 个项的代数和，共
n ! 个项，如 ak jA k的展开式中的一般项为： j
a a a a a k j 1 j kj 1 kj 1 n j 1 k 1 k 1 n
显然这些项都是 D 的 n ! 个展开项中的某一项，
2 3
a 13 a 23 a 33 a 43
a 14 a 24 a 34 a 44
a11 a12 a14 M23 a31 a32 a34 a41 a42 a44
M A 1 M . 23 23 23
a11
a12
a13 a23 a33 a43
a14 a24 , a34 a44
x3 x 1 x3 x 1
xn x 1 xn x 1
按第1列展开，提取公因式得：
D x x x n 2 1x 3 1
x x n 1
1 x 2 2 x 2
1 x 3 2 x 3
1 x n 2 x n
n 2 x n
n 2 n 2 x x 2 3
D x x x x x x D n 2 1 3 1 n 1 n 1
a a a a a a a a a a 11 22 33 23 32 12 23 31 21 33
a a a a a 13 21 32 22 31
a a a 2 2 a 2 3 2 1 a 2 3 2 1 a 2 2 a a a 1 1 1 2 1 3 a a a a a 3 2 3 3 3 1 3 3 3 1 a 3 2
线性代数第一章PPT讲解1-4
aaijij 0 0
D
1 i1
1
a j 1 i1, j
ai1, j1
ai1,n
anj an, j1 ann
aaiijj
0
0
1 i j2 ai1, j ai1, j1 ai1,n
anj an, j1 ann
aijj
0
0
1 i j ai1, j ai1, j1 ai1,n
anj an, j1 ann
aaiijj
0
0
元 素aij在 行 列 式ai1, j ai1, j1 ai1,n 中 的
anj an, j1 ann
余 子 式 仍 然 是aij在 a11 a1 j a1n
D 0 aaiijj 0 中的余子式 Mij .
an1 anj ann
二、行列式按行（列）展开法则
定理３ 行列式等于它的任一列（行）的各元 素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj j 1,2,, n
证 a11 a1 j 0 0 a1n
D
a21
0 a2 j 0
a2n
an1 0 0 anj ann
1பைடு நூலகம்
x2
x2 x1
( xi x j ),
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
假设（1）对于 n 1 阶范德蒙德行列式成立，
依次做行变换:
rn x1rn1 , rn1 x1rn2 , ....., r2 x1r1
有
1
1
1
1
0
Dn 0
x2 x1
x2 ( x2 x1 )
x3 x1
线性代数课件PPT复习四五章
0 0 0
1
a1 a2
1
an
0 0 0
0 0 0
a1 a2
1
1
an
a1
a2 a1
a3 a2
an an1
此即 在基底
1,
2
,
,
n
下的坐标.8
例3 在R3中取两组基
1 (1,2,1)T ,2 (2,3,3)T ,
1 (3,1,4)T , 2 (5,2,1)T ,
对应.
17
0 1 0
0
故在该基底下的矩阵为
0
A
0
1
0
0
0
0
1
0 0 0
0
A的特征多项式为
1 0
0
0 1
0
| E A |
n
00 0
1
00 0
故A的特征根为 ＝0 (n重)
把＝0 代入 ( E A)X 0 得基础解系1 (1,0, ,0)T
因此，A的属于特征根＝0的特征向量为
20
1. 计算A的特征多项式 | E−A| ; 2. 求特征方程 |E−A| = 0的全部根1, 2, ···, n, 也就
是A的全部特征值;
3. 对于特征值i, 求齐次方程组(iE−A)x = 0 的非零 解, 也就是对应于i 的特征向量.
[求出一组基础解系，它们就是对应于该特征根的线性无关
特征向量，它们的所有非零线性组合即为属于该特征根的
全部特征向量.]
注意：一般说求特征向量是求全部的特征向量，而 且要保证特征向量不为零. 如 k1X1+k2X2 (k1, k2不同时为0)
16
4. 掌握相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化 的充要条件及方法.
线性代数1-4 克拉默法则
第一章 行列式
克拉默法则仅适用于解方程的个数与未知量的个 数相等，且系数行列式不为零的线性方程组.
它的优点在于给出了方程组的解与方程组的系数及 常数项之间的关系式，因此具有重要的理论价值.
二、齐次线性方程组及其有关解的定理
第一章 行列式
a11 x1 a12 x2 +
n元线性方程组 a21 x1 a22 x2 +
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
27,
x2
D2 D
108 27
4,
x4
D4 D
27 27
1.
例3 问 取何值时，齐次方程组
1
2
x1
x1 3
2x2 4x3
x2 x3
0, 0,
(1.12)
称为齐次线性方程组。
a11x1 a12 x2 a1n xn 0 a21x1a22x2 a2nxn0 an1x1 an2 x2 ann xn 0
第一章 行列式
(1.12)
显然齐次线性方程组一定有解 x1 x2 xn 0,
1 4 7 6
8 1 5 1
2 8 5 1
9 3 0 6 D1 5 2 1 2
1 9 0 6 D2 0 5 1 2
0 4 7 6
1 0 7 6
21 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 14 0 6
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
这个解叫做齐次线性方程组(1.12)的零解。
推论 如果齐次线性方程组的系数行列式 D 0, 则齐次线 性方程组只有零解。
线性代数1-4 章节无穷小与无穷大
x → x0
的图形的铅直渐近线.
注意： 无穷大是一种特殊的无界变量, 注意： 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷 大. 1 1 1 1
x x 是一个无界变量 , 但不是无穷大 . 例如, 当x → 0时, y = sin
y = sin x x
(1) 取 x 0 =
1 π 2 kπ + 2
恒有： f ( x) > M 恒有： 记作： 记作：lim f ( x) = ∞ 注 1.必须指明自变量的变化过程 1.必须指明自变量的变化过程 2.不要把无穷大和一个很大的数相混淆 2.不要把无穷大和一个很大的数相混淆 无穷大：（函数的绝对值） 无穷大：（函数的绝对值）无限变大 ：（函数的绝对值 ３.不要把无穷大和极限相混淆
如果 ϕ ( x ) ≥ ψ ( x ), 而 lim ϕ ( x ) = a , lim ψ ( x ) = b , 那末 a ≥ b .
二、求极限方法举例
x3 − 1 例1 求 lim 2 . x→2 x − 3 x + 5
解 ∵ lim( x 2 − 3 x + 5) = lim x 2 − lim 3 x + lim 5 x→2 x→2 1)( x − 1) lim 2 = lim x →1 x + 2 x − 3 x → 1 ( x + 3)( x − 1)
x+1 1 = . = lim x →1 x + 3 2
(消去零因子法 消去零因子法) 消去零因子法
x2 − 4x + 3 ( x − 3)( x − 1) 求 lim = lim 2 x→3 x −9 x→3 ( x + 3)( x − 3)
limα( x) = 0, 但α( x) ≠ 0, 称α( x)为零因子。 为零因子。
的图形的铅直渐近线.
注意： 无穷大是一种特殊的无界变量, 注意： 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷 大. 1 1 1 1
x x 是一个无界变量 , 但不是无穷大 . 例如, 当x → 0时, y = sin
y = sin x x
(1) 取 x 0 =
1 π 2 kπ + 2
恒有： f ( x) > M 恒有： 记作： 记作：lim f ( x) = ∞ 注 1.必须指明自变量的变化过程 1.必须指明自变量的变化过程 2.不要把无穷大和一个很大的数相混淆 2.不要把无穷大和一个很大的数相混淆 无穷大：（函数的绝对值） 无穷大：（函数的绝对值）无限变大 ：（函数的绝对值 ３.不要把无穷大和极限相混淆
如果 ϕ ( x ) ≥ ψ ( x ), 而 lim ϕ ( x ) = a , lim ψ ( x ) = b , 那末 a ≥ b .
二、求极限方法举例
x3 − 1 例1 求 lim 2 . x→2 x − 3 x + 5
解 ∵ lim( x 2 − 3 x + 5) = lim x 2 − lim 3 x + lim 5 x→2 x→2 1)( x − 1) lim 2 = lim x →1 x + 2 x − 3 x → 1 ( x + 3)( x − 1)
x+1 1 = . = lim x →1 x + 3 2
(消去零因子法 消去零因子法) 消去零因子法
x2 − 4x + 3 ( x − 3)( x − 1) 求 lim = lim 2 x→3 x −9 x→3 ( x + 3)( x − 3)
limα( x) = 0, 但α( x) ≠ 0, 称α( x)为零因子。 为零因子。
同济大学《线性代数》 PPT课件
称为三阶行列式.
二阶行列式的对角线法则 并不适用！
三阶行列式的计算 ——对角线法则
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示.
思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第j 列划后，
留下来的n－1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作 M ij .
验证 1 7 5 6 6 2 196
175 3 5 8 196
358
662
175 175 于是 6 6 2 3 5 8
358 662
推论1 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.
证明 互换相同的两行，有 D D，所以
. D0
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个
结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列 式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.
二、行列式按行（列）展开法则
定理1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和，即
D
ai1
Ai1
ai 2
Ai
2
L
华东理工大学线性代数课件LA 1-4
由于要求Ai 1 , Ai 2 ,, Ait的列数分别等于B1 j , B2 j ,, Bij 的行数, 那末常见的应用一般出现在A, B为4 × 4阶方阵中。
1 例： 0 A= 1 0 0 0 0 1 0 0 , 0 1 2 1 3 4
5 7 B = 0 0 6 8 0 0 1 0 0 0 0 1 , 0 0
其中Ai1 , Ai 2 ,, Ait的列数分别等于 1 j , B2 j ,, Btj B 的行数, 那末
C 11 AB = C s1 t 其中 C ij = ∑ A ik B kj
k =1
C 1r C sr (i = 1 , , s ; j = 1 , , r ).
0 , 3 0 3 0 0
O A = A2
1
例
设n阶方阵 A的逆矩阵为B , 即满足AB = I ,
可以将 B 和 I都按列分成 1 × n 的分块矩阵，
可得： A[b1 , b2 , bn ] = [e1 , e 2 , , e n ] 即： Abi = e i ( i = 1,2, , n ) 其中 e i 是n阶单位矩阵的第 i列， 即e i = [0， ，，] 1， 0
A1 O A2 A= O As
A1 O A2 A= O As
A可逆 Ai 可逆i = 1,2,, s且
A1 = diag ( A11 , A2 1 ,, As1 ).
思考题
B 设 A= O D , 其中 B和 C都是可逆方阵 , C
证明 A可逆 , 并求 A1 .
A2
o
, As
o
O A2 B= As
A1 O
若 每个子块 Ai (i = 1,2,, s )都可逆, 则 A、B均可逆, 并有
工程数学线性代数同济第五版课件1-4
是否都是六阶行列式中的项. 解 a 14 a 23 a 31 a 42 a 56 a 65 下标的逆序数为
t 431265
01 2 2 01 6
所以 a 14 a 23 a 31 a 42 a 56 a 65 是六阶行列式中的项. a 32 a 43 a 14 a 51 a 25 a 66 下标的逆序数为 t 452316 8
所以 a 32 a 43 a 14 a 51 a 25 a 66 不是六阶行列式中的项.
上页 下页
例2 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.
(1 ) a 23 a 31 a 42 a 56 a 14 a 65 ; (1 ) (2) a 32 a 43 a 14 a 51 a 66 a 25 .
t
( 1) ( 1) 1 ( 1)
t t
r t1
( 1)
r t1
a 1 p1 a j p j a i p i a n p n
上页 下页
上式表明：对换两个元素，行标排列与列标排 列的逆序数之和并不改变奇偶性。 经一次对换是如此，经多次对换还是如此。于 是，经若干次对换后，得到：
列标排列 p1 p 2 p n 变为标准排列（逆 序 数为 0）
行标排列由标准排列变为某个新的排列，设为
q 1 q 2 q n , 其逆 序 数为 s , 则有
（ - 1 a 1 p1 a 2 p 2 a np n ( 1 ) a q1 1 a q 2 2 a q n n ）
a 1 a l ab 1 b m bc 1 c n
现在对换 a 与 b .
上页 下页
a 1 a l a b1 bm b c1 c n
线性代数1-4 克莱姆法则
D 0 2 1 2
r4 r2
0 2 1 2
1 4 7 6
0 7 7 12
7 5 13 2 1 2
7 7 12
c1 2c2 c3 2c2
3 5 3 0 1 0
7 7 2
3 3
27 0,
7 2
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 5 2 1 2 0 4 7 6
81,
2 8 5 1 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 1 0 7 6 108,
推论2 如果齐次线性方程组 2 有非零解，则其系数
行列式 D 0 .
例2
问
1
取何值时， 2 x1
x1 3
2x2 4x3
x2 x3
0, 0,
有非零解？
x1 x2 1 x3 0,
1 解 D 2
1
2
3
1
4 1
1
( 3)(2 )
齐次方程组有非零解，则 D 0
所以 0, 2 或 3时齐次方程组有非零解.
1, j1
1
1, j1
1n
Dj
a a b a a n1
n , j1
n
n , j1
nn
证明
用D中第j列元素的代数余子式A1 j , A2 j ,, Anj
依次乘方程组1的n个方程,得
a11 x1 a12 x2 a1n xn A1 j b1 A1 j
a21 x1 a22 x2 a2n xn A2 j b2 A2 j
b2 . a12
a21 a22
a21 a22
同样，对
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
线性代数1-4
2
D2 1 1
1
2
1
D3 1 1
1
2
( 1) ( 1)
2
2
此时方程组的（唯一）解是
x1 ( 1)
2
x2
1
2
x3
( 1)
2
2
例 2 的进一步讨论： 1、当 方程组
x1 x 2 x 3 1 x1 x 2 x 3 x x x 2 2 3 1
？
第 i 行 确实是方程组的解。
元素
下面再证方程组解的唯一性。
设 x1 1 ,
x2 2 , ,
xn n ,
为方程组
(4.1)的任一解， 我们证明必定有
1
D1 D ,
2
D2 D
, , n
Dn D
因为 1 , 2 , , n 是（4.1）式的一个解， 所以 它满足（4.1）式， 即
b1 b2 bn
a1 2 a 22 an2
a1 n a2n a nn D1
即
1
D1 D
Dj D
j 2, , n
同理可证 j D
Dj
，即 j
所以方程组（4.1）的解是唯一的。
例1 求解线性方程组
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1 3 x1 x 2 x 3 2 x 4 4 2 x1 3 x 2 x 3 x 4 6 x1 2 x 2 3 x 3 x 4 4
有唯一解，并求出其解。 解 方程组的系数行列式
D2 1 1
1
2
1
D3 1 1
1
2
( 1) ( 1)
2
2
此时方程组的（唯一）解是
x1 ( 1)
2
x2
1
2
x3
( 1)
2
2
例 2 的进一步讨论： 1、当 方程组
x1 x 2 x 3 1 x1 x 2 x 3 x x x 2 2 3 1
？
第 i 行 确实是方程组的解。
元素
下面再证方程组解的唯一性。
设 x1 1 ,
x2 2 , ,
xn n ,
为方程组
(4.1)的任一解， 我们证明必定有
1
D1 D ,
2
D2 D
, , n
Dn D
因为 1 , 2 , , n 是（4.1）式的一个解， 所以 它满足（4.1）式， 即
b1 b2 bn
a1 2 a 22 an2
a1 n a2n a nn D1
即
1
D1 D
Dj D
j 2, , n
同理可证 j D
Dj
，即 j
所以方程组（4.1）的解是唯一的。
例1 求解线性方程组
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1 3 x1 x 2 x 3 2 x 4 4 2 x1 3 x 2 x 3 x 4 6 x1 2 x 2 3 x 3 x 4 4
有唯一解，并求出其解。 解 方程组的系数行列式
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从而 由于D0,因此
Dcj=Dj
cj Dj D
4
( j 1, 2 , , n )
即方程组的解是惟一的.
推论1
推论2
如果线性方程组(1)无解或有两个不同解， 则D=0； 如果齐次线性方程组
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n 0 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 a x a x a x 0 n2 2 nn n n1 1
ax by c 0， ax1 by1 c 0， ax 2 by 2 c 0，
故曲线上的点（ , y )必满足方程①； x 易见， 凡满足 ①式的点 x , y )也必然在该曲线上 故①即为所求 ( . . 8
有非零解，求值. 解 系数行列式
1 D 1 1 ( 3 )
2
1 1 1
1 1 1
3 1 1
3 1 1
3 1 1
1 (3 ) 1 1
1 1 1
1 1 1
方程组有非零解，则D=0.于是=3或 =0.
7
例3 求平面上经过两点 P1(x 1 ,y 1 ) P2(x 2 ,y 2 ) 、 的直线方程. 解：设其方程为ax by c 0, ( a , b不全为0)，若P ( x , y )
2
证 首先证明方程组(1)有解：将
xj
Dj D
( j 1, 2 , , n )
代入第i个方程的左端，再将Dj按第j列展开
D j b1 A1 j b 2 A 2 j b n A nj ( j 1,2 , , n )
得
a i1 1 D D1 D ai2 D2 D a in Dn D
b i ( a i 1 A i 1 a i 2 A i 2 a in A in ) b n ( a i 1 A n 1 a i 2 A n 2 a in A nn )] 1 D bi D bi
即式(2)给出的是方程组(1)的解.
3
证明解惟一：设xj=cj(j=1,2,…,n)为方程组 (1)的任意 一个解，则
a 11 a 12 a 22 an2 a1n a 2n a nn 0,
(1 )
的系数行列程组有惟一解
1
x1
D1 D
, x2
D2 D
, x n
Dn D
(2)
其中Dj(j=1,2,…,n)是把系数行列式D中第j列的元素 换成方程组的常数项b1,b2,…,bn所构成的n级行列式, 即
以D的第j列元素的代数余子式 A1j, A2j ,…, Anj依次乘 以上式各等式，相加得
( a k 1 A kj ) c 1 ( a kj A kj ) c j ( a kn A kj ) c n ( b k A kj )
k 1 k 1 k 1 k 1 n n n n
由 克 莱 姆 法 则, 方 程 组 有 惟 一 解. 易 得 ： D1 D , D 2 D 3 D 4 0
方 程 组 的 惟 一 解 ： x 1 1, x 2 x 3 x 4 0.
6
例2 若齐次线性方程组
1 x 1 x 2 x 3 0 x 1 (1 ) x 2 x 3 0 x 1 x 2 (1 ) x 3 0
§1.4 克莱姆法则
下面以行列式为工具，研究含有n个未知量、n个方程 的线性方程组的问题. 定理（克莱姆法则） 如果n元线性方程组
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n b 1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n b n
a 11 c 1 a 12 c 2 a 1 n c n b 1 a c a c a c b 21 1 22 2 2n n 2 a n 1 c 1 a n 2 c 2 a nn c n b n
为直线上任一动点， P、 P1、 P2三点的坐标满足： 则 xt1 yt 2 t 3 0 可见方程组 x1 t1 y1 t 2 t 3 0 有非零解( a , b, c )， x 2 t1 y 2 t 2 t 3 0 x 因此 D x1 x2 y y1 y2 1 1 0 1 ①
2 3
cx 2 c x 3 c x 4 1
2 3 2 3
( a , b , c , d为 互 不 相 同 的 常 数 )
dx 2 d x 3 d x 4 1
1 a b c d a b c d
2 2 2 2
解 系数行列式
a b c d
3 3 3 3
D
1 1 1
( b a )( c a )( d a )( c b )( d b )( d c ) 0
的系数行列式D0，则方程组只有零解;而若方程组 有非零解，则D=0. 可以证明,系数行列式D=0，是上述方程组有非 零解的充分必要条件.
5
例1
解线性方程组
ax 2 a x 3 a x 4 1
2 3
x1 x1 x1 x1
bx 2 b x 3 b x 4 1
[ a i 1 ( b 1 A 11 b 2 A 21 b n A n 1 ) a i 2 ( b 1 A 12 b 2 A 22 b n A n 2 )
a in ( b 1 A 1 n b 2 A 2 n b n A nn )] 1 D [ b 1 ( a i 1 A 11 a i 2 A 12 a in A 1 n ) b 2 ( a i 1 A 21 a i 2 A 22 a in A 2 n )
a 11 a n1 a1, j 1 a n , j 1 b1 bn a1, j 1 a n, j 1 a1 n a nn Dj a 21 a 2 , j 1 b2 a 2, j 1 a2n
定理的结论有两层含义：①方程组（1）有解； ②解惟一且可由式(2)给出.