线性代数及其应用第二版第一章PPT
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线性代数课件 第一章
0 0 0 0 0 0 ≠ ( 0 0 0 0) . 0 0 0
1 0 (5)单位矩阵 单位矩阵 0 1 E = En = L L O 0 0
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵
L 0 O L 0 L L L 1
a11 a 21 A= L a m1
简记为
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
矩阵A的 (m, n)元
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
, , 系数 aij ( i =1,2,L m, j =1,2,L n) , 常数项 bi (i = 1,2,L,n)
全为1 全为
(6)方阵 方阵 主对角线
a11 a12 a21 a22 A= L L 副对角线 an1 an1
简记为
L a1n L a2 n L L L ann
n× n
矩 A 阵 的
( n, n) 元
A = An× n = ( aij )
.
矩阵的转置
a11 a 21 A= L a m1
定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B 定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B， 就称矩阵A与矩阵B等价， 就称矩阵A与矩阵B等价，记作 A ~ B ． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 例如 用矩阵的初等行变换 解线性方程组
1 0 (5)单位矩阵 单位矩阵 0 1 E = En = L L O 0 0
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵
L 0 O L 0 L L L 1
a11 a 21 A= L a m1
简记为
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
矩阵A的 (m, n)元
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
, , 系数 aij ( i =1,2,L m, j =1,2,L n) , 常数项 bi (i = 1,2,L,n)
全为1 全为
(6)方阵 方阵 主对角线
a11 a12 a21 a22 A= L L 副对角线 an1 an1
简记为
L a1n L a2 n L L L ann
n× n
矩 A 阵 的
( n, n) 元
A = An× n = ( aij )
.
矩阵的转置
a11 a 21 A= L a m1
定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B 定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B， 就称矩阵A与矩阵B等价， 就称矩阵A与矩阵B等价，记作 A ~ B ． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 例如 用矩阵的初等行变换 解线性方程组
线性代数及应用PPT课件
上列各式出现的运算皆可行的前提是：矩阵的维数满 足运算要求。
证明矩阵乘法结合律：(AB)C=A(BC)=ABC 证：设
记
证明DC=AG。 因为 元为：
A的 i 行乘以B的 l 列
，
， 则DC的第i,j
得到DC的第i,j元等于AG的第i,j元。
证明 (AB)T =BTAT
证：
即
。
剩下的要证明它们的第i, j元都对应相等。设
通大学出版社
第一章 矩阵
§1.1 矩阵概念 1.1.1 矩阵概念 定义1 m × n元，排成m行n列的矩形阵列：
称作为：维是m × n的矩阵。 一般用黑体大写字母 A，B，C等表示。
简记为：
确定一个矩阵的两要素：
1．元：a ij 的值； 2．维：m，n的值。
矩阵的例： 问题：A的元和维是什么？
广矩阵进行一系列行初等变换，使得
R1R2 ••• R s [A |b]= [R1R2 ••• R s A | R1R2 ••• R s b ]=[ I n | Rb ]
(R= R1R2 ••• R s)。事实上R=A-1
可见只要将增广矩阵中A对应的那一块通过行初等变换化成 单位阵，对应b的那一块变成Rb= A-1 b，即
1.1.2 一些特殊矩阵 对于矩阵
本课程仅限于实矩阵。
n阶方阵：m=n时的矩阵，
a11 a12 a1n
A
a21 a22 a2n
或 An n
an1 an2 ann
列矩阵（列向量）：n=1，
行矩阵（行向量）：m=1，
数或标量：m=n=1。 向量的元称为分量，分量的个数称为向量的维。
例：
分别是3维列向量和4维行向量。
学习参考书目
线性代数第二版第一章1
a11 a12 = a11a22 - a12a21 a21 a22
并称之为二阶行列式．
备注
定义
由四个数排成二行二列（横排称行、 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列） 称列）的数表
a11 a12 a21 a22 ( 4)
表达式 a11a22 − a12 a21称为数表（ 4）所确定的二阶 称为数表（ a11 行列式， 行列式，并记作 a21
n
= l
1
l
2
L l
n
,
例5 计算对角行列式
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
五.小结
(1) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0） 主对角线下侧元素都为 ）
a11 a12 L a1n a2 n = a11a22 L ann M ann
0 a22 L D= M M O 0 0 L
其中每一条实线上的三个元素的乘积带正号, 其中每一条实线上的三个元素的乘积带正号,每一 条虚线上的三个元素的乘积带负号, 条虚线上的三个元素的乘积带负号,所得六项的代 数和就是三阶行列式的展开式. 数和就是三阶行列式的展开式.
注意
例 2
计算三阶行列式
1 D= 2 - 1
- 2 1 1
1 - 3 - 1
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 a33 - a11a23 a32 - a12 a21a33 - a13 a22 a31
= a11 (a22 a33 - a23 a32 ) - a12 (a21a33 - a23 a31 ) + a13 (a21a32 - a22 a31 )
线性代数及其应用第二版第一章PPT
2m 1次相邻对换 a 1
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，
偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.
注：标准排列的逆序数为0（偶数）.
1.1.4 n阶行列式
一、概念的引入
a11 D a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a 33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33 a13
线 性 代 数
授课教师：邹蓓虹
第一章
行列式
• 行列式的定义与性质 • 行列式展开定理
• 克莱姆法则
1.1 行列式的定义与性质
1.1.1二阶、三阶行列式
一、二阶行列式 用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , 1 a21 x1 a22 x2 b2 . 2 1 a22 : a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 ,
百位
十位 个位
1 1 1 2 1 2 3
2 2 1 3
3
3
3种放法 2种放法 1种放法
共有 3 2 1 6 种放法.
123，213，312，132，213，321
一、全排列
问题 把 n 个不同的元素排成一列 ，共有几种不
同的排法？
定义1 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个 元素的全排列（或排列）.
1
例2. 计算三阶行列式 D 4
2 0
3 5
0 -1 2
解: 按对角线法则，有
D 1 0 2 2 5 0 3 4 ( 1)
3 0 0 2 4 2 1 5 ( 1)
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解： A14 A24 A34 A44
1 A14 1 A24 1 A34 1 A44 a12 A14 a22 A24 a32 A34 a42 A44 0
小
结
1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列 式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.
n
D ,当 i j,
2.
aki Akj
D ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain 按 i 行展开
i 1,2,,n
a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
按 j 列展开
j 1,2,,n
a11 D ai1
an1
a12 ai 2 an2
...
a12
...
...
ain
...
...
ann
证明 a11
an1 an2 ann an1 an2 ann
an1 an2 ann
ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain i 1,2,, n
按 j 列展开证明类似
3 5 3
例1. 计算行列式 D 0 1 0
7 72
解: 按第一行展开，得
D (3) (1)11 1 0
72
(5) (1)12 0 7
---------Tagore
第一章 行 列 式
第二节 行列式的展开定理
一、余子式与代数余子式
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素aij 的余子式，记作 M ij .
a a a a 11
12
13
14
D a21 a22 a23 a24
a12
D
a 0... 0 i1
线性代数第一章ppt
线性代数第一章
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际 问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意 向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律，即对于任意向量a和b，存在唯一 的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用，例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵，但对于大规模矩阵 来说效率较低。
目录
CONTENTS
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与向量空间 • 矩阵 • 特征值与特征向量
01
绪论
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵 等线性结构。它在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用。
线性代数的重要性在于其提供了一种有效的数学工具，用于解决各种实际 问题中的线性关系问题，如物理、化学、生物、经济等。
向量空间中的零向量是唯一确定的，且对于任意 向量a，存在唯一的负向量-a。
向量空间的运算与性质
向量空间中的加法满足交换律和结合 律，即对于任意向量a和b，存在唯一 的和向量a+b；且对于任意三个向量a、 b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
向量空间中的数乘满足结合律和分配 律，即对于任意标量k和l，任意向量a 和b，存在唯一的结果k*(l*a)=(kl)*a 和(k+l)*a=k*a+l*a。
圆等。
经济学问题
线性方程组可以用来描述经济现象和 规律，例如供需关系、生产成本、利
润最大化等。
物理问题
线性方程组可以用来描述物理现象和 规律，例如力学、电磁学、热力学等。
计算机科学
线性方程组在计算机科学中有广泛的 应用，例如机器学习、图像处理、数 据挖掘等。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01 向量是具有大小和方向的量，通常用有向线 段表示。 02 向量具有模长，即从起点到终点的距离。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
幂法
谱分解法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特征 值和特征向量。这种方法适用于 较小的矩阵，但对于大规模矩阵 来说效率较低。
线性代数第一章、矩阵PPT课件
矩阵的秩的计算方法
可以通过初等行变换或初等列变换将矩阵转化为行阶梯形或列阶梯形，然后数非零行的个数即为矩阵的秩。
矩阵的秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个极大线性无关组中向量的个数。
矩阵的秩
通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形，然后回代求解。
高斯消元法
克拉默法则
迭代法
适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过解方程组求出方程的解。
n阶方阵A的行列式记为det(A)，是一个n阶的方阵，其值是一个实数。
行列式与转置矩阵的行列式相等，即det(A^T) = det(A)；行列式的乘法性质，即det(kA) = k^n * det(A)；行列式的初等变换性质，即行列式在初等变换下保持不变。
行列式的定义与性质
行列式的性质
行列式的定义
线性代数第一章、矩阵ppt课件
目录
CONTENTS
矩阵的定义与性质 矩阵的逆与行列式 矩阵的秩与线性方程组 矩阵的特征值与特征向量 矩阵的分解与正交矩阵 矩阵在实际问题中的应用
01
矩阵的定义与性质
CHAPTER
矩阵的定义与性质
about the subject matter here refers to the subject matter here.
相似法
如果存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则矩阵A的特征值和特征向量可以通过矩阵B的特征值和特征向量来求解。
特征值与特征向量的计算方法
如果矩阵A的所有特征值都是实数且没有重复，则矩阵A可以对角化。
判断矩阵是否可对角化
求解线性方程组
判断矩阵是否相似
优化问题
通过将线性方程组Ax=b转化为特征值问题，可以求解线性方程组。
可以通过初等行变换或初等列变换将矩阵转化为行阶梯形或列阶梯形，然后数非零行的个数即为矩阵的秩。
矩阵的秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个极大线性无关组中向量的个数。
矩阵的秩
通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形，然后回代求解。
高斯消元法
克拉默法则
迭代法
适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过解方程组求出方程的解。
n阶方阵A的行列式记为det(A)，是一个n阶的方阵，其值是一个实数。
行列式与转置矩阵的行列式相等，即det(A^T) = det(A)；行列式的乘法性质，即det(kA) = k^n * det(A)；行列式的初等变换性质，即行列式在初等变换下保持不变。
行列式的定义与性质
行列式的性质
行列式的定义
线性代数第一章、矩阵ppt课件
目录
CONTENTS
矩阵的定义与性质 矩阵的逆与行列式 矩阵的秩与线性方程组 矩阵的特征值与特征向量 矩阵的分解与正交矩阵 矩阵在实际问题中的应用
01
矩阵的定义与性质
CHAPTER
矩阵的定义与性质
about the subject matter here refers to the subject matter here.
相似法
如果存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则矩阵A的特征值和特征向量可以通过矩阵B的特征值和特征向量来求解。
特征值与特征向量的计算方法
如果矩阵A的所有特征值都是实数且没有重复，则矩阵A可以对角化。
判断矩阵是否可对角化
求解线性方程组
判断矩阵是否相似
优化问题
通过将线性方程组Ax=b转化为特征值问题，可以求解线性方程组。
《线性代数及其应用》(同济大学第2版) 第一章 1.6
1 2 0 0
3
4
0
0
B = 5 6 6 5,
7
8
4
3
9 10 2 1
计算 AB.
解法一 直接求矩阵 A55 和 B54 的乘积.
1 2 1 0 0 1 2 0 0 12 16 6 5
2
0
0
1
0
3
4
0
0
9
12
4
3
AB = 3 1 0 0 1 5 6 6 5 9 12 2 1 .
显然将一个矩阵分块的分块方法很多,其中有两 个分块矩阵应予特别注意,这就是按列分块矩阵 和按行分块矩阵.
设 mn矩阵
a11 a12
A
a21
a22
am1
am 2
a1n
a2 n
,
amn
把 A 的每个列作为一个子块,即在列的方向分成
n 块,就得到 A 的按列分块矩阵,记为
A = a1,a2, ,an ,
A 为分块对角阵如(1.25)式,则
(1) det A det A1 det A2 det As;
A1k
(2)
Ak
=
A2k
;
Ask
(3) A 可逆当且仅当子块 A1 , A2, , As 均可逆,且当 A 可逆时,
A11
A1
=
A21
.
As1
例 1.42 设六阶方阵
2 1
1
2
1. 分块矩阵的加法
设 A , B 为同型矩阵,并进行相同的分块法成为
st 分块矩阵
A11
A
=
As1
A1t
B11
,
线性代数第一章第一节PPT课件
01递Biblioteka 公式法02递推公式法是根据行列式的性质和结构特点，利用递推公式来
计算行列式的方法。
递推公式法可以大大简化高阶行列式的计算过程，提高计算效
03
率。
行列式的计算方法
分块法
1
2
分块法是将高阶行列式分成若干个小块，然后利 用小块来计算整个行列式的方法。
3
分块法可以简化高阶行列式的计算过程，特别是 当行列式具有特定的结构特点时，分块法可以大 大提高计算效率。
01
向量空间
02
向量空间是线性代数中的一个重要概念，而行列式在向量 空间的定义和性质中也有着重要的应用。例如，通过行列 式可以判断一个向量集合是否构成向量空间，以及向量空 间的一些基本性质。
03
行列式在向量空间中的应用可以帮助我们更好地理解线性 代数的本质和结构特点。
05
特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义
转置等特殊运算。
向量与矩阵的关系
关联性
04
向量可以用矩阵来表示，矩 阵中的每一行可以看作是一 个向量。
01 03
•·
02
向量和矩阵在数学中是密切 相关的概念，矩阵可以看作 是向量的扩展。
04
行列式
行列式的定义与性质
基本概念
行列式是由数字组成的方阵，按照一定的规则计 算出的一个数。
行列式具有一些基本的性质，如交换律、结合律、 分配律等。
向量可以用有向线段、坐 标系中的点或有序数对来 表示。
向量有大小和方向两个基 本属性，大小表示向量的 长度，方向表示向量的指 向。
矩阵的定义与运算
•·
02
基础运算
01
03
矩阵是一个由数字组成的矩 形阵列，表示二维数组。
第1章(行列式)线性代数及其应用
一般情形
设排列 …ji1…isk… (3) 经j,k对换变成 …k i1…is j… (4) 对换变成 易知， 可由 经一系列相邻对换得到： 可由(3)经一系列相邻对换得到 易知，(4)可由 经一系列相邻对换得到： k经s+1次相邻对换成为 …kj i1…is … 经 次相邻对换成为 j经s次相邻对换成为 …ki1…is j … 经 次相邻对换成为 即经2s+1次相邻对换后 成为 (4). 相邻对换改变排列的奇偶 次相邻对换后(3) 即经 次相邻对换后 性，奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变. 奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变 ||
从而 τ ( x1 x2 Lxn ) +τ ( xn xn−1 Lx1 ) n(n − 1) = (n − 1) + (n − 2) +L2 + 1 = 2 此即 τ ( x x Lx ) = n(n − 1) − I . n n−1 1 2
3. n阶行列式定义 阶行列式定义 分析： 分析：
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a33 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32
线性代数
第1 章 第2 章 第3 章 第4 章 第5 章 行列式 矩阵 向量 线性方程组 矩阵的对角化 二次型
第1章 行列式 章
行列式是线性代数的一个重要组成部分. 行列式是线性代数的一个重要组成部分. 它 不仅是研究矩阵理论、 不仅是研究矩阵理论、线性方程组求解等问题的 重要工具，而且在数学的许多分支及经济、管理、 重要工具，而且在数学的许多分支及经济、管理、 工程技术等领域有着极其广泛的应用. 工程技术等领域有着极其广泛的应用. 阶行列式的概念， 本章建立了n阶行列式的概念，讨论了 n 阶 行列式的性质及计算方法， 行列式的性质及计算方法，最后给出了它的一个 简单应用——克拉默法则 克拉默法则. 简单应用 克拉默法则
线性代数及其应用PPT课件
金融数据的线性模型分析
线性回归模型
利用线性代数中的矩阵运算和线性方 程组求解方法，对金融数据进行回归 分析，预测未来趋势。
主成分分析
通过线性代数中的特征值和特征向量 计算，将金融数据降维，提取主要影 响因素，便于分析和决策。
图像处理中的矩阵运算
图像变换
利用矩阵运算对图像进行缩放、旋转 、平移等几何变换，实现图像的精确 控制。
征值和Байду номын сангаас征向量。
特征值计算 的算法
特征值计算是矩阵分析中的重要内容，可以用于解决 许多实际问题，如振动分析、控制论、经济学等。
数据降维与可视化
数据降维的必要性
数据降维的方法
可视化的意义
可视化的工具和技术
在处理高维数据时，数据的维 度可能非常高，导致数据难以 分析和处理。数据降维可以将 高维数据降为低维数据，便于 分析和可视化。
矩阵分解与特征值计算
矩阵分解是将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易 于处理的矩阵，以便进行计算和分析。
输入 矩阵标分题解的
方法
常见的矩阵分解方法包括LU分解、QR分解、SVD分 解等。这些方法可以将一个矩阵分解为一个下三角矩 阵、一个上三角矩阵和一个正交矩阵等。
矩阵分解的 定义
特征值计算 的应用
特征值计算的常用算法有QR算法、Jacobi方法、 Power方法等。这些算法可以用于计算给定矩阵的特
数值计算稳定性
数值计算稳定性
在进行数值计算时，由于计算机的舍入误差，可能会导致 计算结果的误差。线性代数中的一些算法和技巧可以帮助 提高数值计算的稳定性，减少误差。
数值稳定性的评估
评估数值稳定性的方法包括观察计算结果的收敛性和稳定 性，以及比较不同算法的误差和稳定性。
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22
a11b2 b1a21 x2 . a11a22 a12a21
b1 a12 b2 a22 D1 x1 , a a D 11 12 a21 a22
a11b2 b1a21 x2 . a11a22 a12a21
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
对换 a与
证明 （1）相邻对换 a1 al ab b1 设排列为
bm
b
a1
al ba b1
bm
除 a , b 外，其它元素的逆序数不改变. 当 a b时， 经对换后 a 的逆序数增加1 ,
b 的逆序数不变;
当 a b时， b 的逆序数减少1. 经对换后 a 的逆序数不变 ，
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.
记 a11 a12 a21 a22
a31 a32
a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
主对角线
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标 副对角线 a31 a32 a33 行标
线 性 代 数
授课教师：邹蓓虹
第一章
行列式
• 行列式的定义与性质 • 行列式展开定理
• 克莱姆法则
1.1 行列式的定义与性质
1.1.1二阶、三阶行列式
一、二阶行列式 用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , 1 a21 x1 a22 x2 b2 . 2 1 a22 : a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 ,
0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
2 当 k 为偶数时，排列为偶排列，
k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
1.1.3
对换
一、对换的定义
定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素
n n 1 , 2 当 n 4k ,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解:
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
1
例2. 计算三阶行列式 D 4
2 0
3 5
0 -1 2
解: 按对角线法则，有
D 1 0 2 2 5 0 3 4 ( 1)
3 0 0 2 4 2 1 5 ( 1)
0 0 12 0 16 5 23.
a11 D 2 a21
a b12 1 , a b22 2
a11 b1 a21 b2 D2 x2 . a11 a12 D a21 a22
例1. 求解二元线性方程组 3 x1 2 x2 12, 2 x1 x2 1.
解:
D
3 2 2 1
3 ( 4) 7 0,
a12a21a33
(2)对角线法则
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
说明2 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于 不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为 正,三项为负.
b1a22 a12b2 x1 ， a11a22 a12a21
a11b2 b1a21 x2 . a11a22 a12a21
由方程组的四 个系数确定.
定义
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的数表
a11 a12 a21 a22
a11 a12 行列式，并记作 a21 a22
例1.1 计算三阶行列式(P5)
1 D 2 4
解:由主对角线法，有
2 3 2 1 4 2
D 1 2 (2) (2) 4 (4) (3) 2 1 1 4 1 (2) 2 (2) (3) 2 (4) 4 32 6 4 8 24
i 1
n
例1. 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.
1
解：
217986354
2 1 7 9 8 6 3 5 4
0 1 0 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4 31 0 01 0
18
此排列为偶排列.
例1.2 计算下列排列642315的逆序数(P3)
解：
6 4 2 31 5
2 a12 :
a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
两式相减消去 x2，得
（a11a22 a12 a21）x1 b1a22 a12b2 ;
类似地，消去 x1，得
（a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21 ,
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示.
由引例 P3 3 2 1 6.
同理
Pn n ( n 1) ( n 2) 3 2 1 n!.
二、排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 定义2 在一个排列 i1 i2 it i s in 中，若两 个元素的先后次序与标准次序不同即数 it i s 则称这两个数组成一个逆序. 例如, 排列32514 中， 逆序 3 2 5 1 4 逆序 逆序
若记 系数行列式
a11 a12 D , a21 a22
当 D 0时，则二元线性方程组的解为
b1a22 a12b2 x1 ， a11a22 a12a21
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a a12 b 11 1 D , 1 a b 21 2 a
D1
12 2 1 1
14, D2
3 12 2 1
21,
D2 21 D1 14 x1 2, x 2 3. D D 7 7
二、三阶行列式
定义
设有9个数排成3行3列的数表 a11 a12 a21 a22 a31 a32 a13 a23 a33 ( 5)
(2)设排列为
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换
a1 al ab ab b1 bm c1 cn
m 1 次相邻对换 a a b b b a c c 1 l 1 m 1 n a1 al a b1 bm b c1 cn ,
al b b1 bm a c1 cn , 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
列标排列的逆序数为 t 312 1 1 2,
偶排列 正号
a11a 23 a 32
列标排列的逆序数为 t 132 1 0 1,
奇排列 负号
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 t( p p p ) a23 ( 1) a1 p a2 p a3 p . a33
定义3
逆序数：
一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.
1.排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
2.计算排列逆序数的方法
向前取大法
例如
排列32514 中，
逆序数为 0
0
1
3 2 5 1 4
1 逆序数为3
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.
2.计算排列逆序数的方法
即
( 4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（ 4）所确定的二阶 ( 5)
a11 a12 D a11a22 a12a21 . a21 a22
1.二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a11a22 a12a21 .
a11 a21
a12 a22
a11 x1 a12 x2 b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 .
三阶行列式展开式中的一般项可以写成 a1 p1 a2 p2 a3 p3 行标排成标准次序123 列标 p1 p2 p3 是1，2，3的某个排列
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
例如: a13 a 21a 32
a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
1.三阶行列式的计算 a11 a12 (1)沙路法
D
a12a23a 31 a13a21a 32 a11a22a33 a a a a13a22a31 11 23 32
a13 a11 a12 D a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32
2m 1次相邻对换 a 1
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，
偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.
注：标准排列的逆序数为0（偶数）.
1.1.4 n阶行列式
一、概念的引入
a11 D a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a 33 a13a22a31 a11a23a32 a位
a11b2 b1a21 x2 . a11a22 a12a21
b1 a12 b2 a22 D1 x1 , a a D 11 12 a21 a22
a11b2 b1a21 x2 . a11a22 a12a21
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
对换 a与
证明 （1）相邻对换 a1 al ab b1 设排列为
bm
b
a1
al ba b1
bm
除 a , b 外，其它元素的逆序数不改变. 当 a b时， 经对换后 a 的逆序数增加1 ,
b 的逆序数不变;
当 a b时， b 的逆序数减少1. 经对换后 a 的逆序数不变 ，
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.
记 a11 a12 a21 a22
a31 a32
a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
主对角线
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标 副对角线 a31 a32 a33 行标
线 性 代 数
授课教师：邹蓓虹
第一章
行列式
• 行列式的定义与性质 • 行列式展开定理
• 克莱姆法则
1.1 行列式的定义与性质
1.1.1二阶、三阶行列式
一、二阶行列式 用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , 1 a21 x1 a22 x2 b2 . 2 1 a22 : a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 ,
0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
2 当 k 为偶数时，排列为偶排列，
k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
1.1.3
对换
一、对换的定义
定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素
n n 1 , 2 当 n 4k ,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解:
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
1
例2. 计算三阶行列式 D 4
2 0
3 5
0 -1 2
解: 按对角线法则，有
D 1 0 2 2 5 0 3 4 ( 1)
3 0 0 2 4 2 1 5 ( 1)
0 0 12 0 16 5 23.
a11 D 2 a21
a b12 1 , a b22 2
a11 b1 a21 b2 D2 x2 . a11 a12 D a21 a22
例1. 求解二元线性方程组 3 x1 2 x2 12, 2 x1 x2 1.
解:
D
3 2 2 1
3 ( 4) 7 0,
a12a21a33
(2)对角线法则
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
说明2 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于 不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为 正,三项为负.
b1a22 a12b2 x1 ， a11a22 a12a21
a11b2 b1a21 x2 . a11a22 a12a21
由方程组的四 个系数确定.
定义
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的数表
a11 a12 a21 a22
a11 a12 行列式，并记作 a21 a22
例1.1 计算三阶行列式(P5)
1 D 2 4
解:由主对角线法，有
2 3 2 1 4 2
D 1 2 (2) (2) 4 (4) (3) 2 1 1 4 1 (2) 2 (2) (3) 2 (4) 4 32 6 4 8 24
i 1
n
例1. 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.
1
解：
217986354
2 1 7 9 8 6 3 5 4
0 1 0 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4 31 0 01 0
18
此排列为偶排列.
例1.2 计算下列排列642315的逆序数(P3)
解：
6 4 2 31 5
2 a12 :
a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
两式相减消去 x2，得
（a11a22 a12 a21）x1 b1a22 a12b2 ;
类似地，消去 x1，得
（a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21 ,
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示.
由引例 P3 3 2 1 6.
同理
Pn n ( n 1) ( n 2) 3 2 1 n!.
二、排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 定义2 在一个排列 i1 i2 it i s in 中，若两 个元素的先后次序与标准次序不同即数 it i s 则称这两个数组成一个逆序. 例如, 排列32514 中， 逆序 3 2 5 1 4 逆序 逆序
若记 系数行列式
a11 a12 D , a21 a22
当 D 0时，则二元线性方程组的解为
b1a22 a12b2 x1 ， a11a22 a12a21
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a a12 b 11 1 D , 1 a b 21 2 a
D1
12 2 1 1
14, D2
3 12 2 1
21,
D2 21 D1 14 x1 2, x 2 3. D D 7 7
二、三阶行列式
定义
设有9个数排成3行3列的数表 a11 a12 a21 a22 a31 a32 a13 a23 a33 ( 5)
(2)设排列为
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换
a1 al ab ab b1 bm c1 cn
m 1 次相邻对换 a a b b b a c c 1 l 1 m 1 n a1 al a b1 bm b c1 cn ,
al b b1 bm a c1 cn , 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
列标排列的逆序数为 t 312 1 1 2,
偶排列 正号
a11a 23 a 32
列标排列的逆序数为 t 132 1 0 1,
奇排列 负号
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 t( p p p ) a23 ( 1) a1 p a2 p a3 p . a33
定义3
逆序数：
一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.
1.排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
2.计算排列逆序数的方法
向前取大法
例如
排列32514 中，
逆序数为 0
0
1
3 2 5 1 4
1 逆序数为3
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.
2.计算排列逆序数的方法
即
( 4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（ 4）所确定的二阶 ( 5)
a11 a12 D a11a22 a12a21 . a21 a22
1.二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a11a22 a12a21 .
a11 a21
a12 a22
a11 x1 a12 x2 b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 .
三阶行列式展开式中的一般项可以写成 a1 p1 a2 p2 a3 p3 行标排成标准次序123 列标 p1 p2 p3 是1，2，3的某个排列
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
例如: a13 a 21a 32
a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
1.三阶行列式的计算 a11 a12 (1)沙路法
D
a12a23a 31 a13a21a 32 a11a22a33 a a a a13a22a31 11 23 32
a13 a11 a12 D a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32
2m 1次相邻对换 a 1
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，
偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.
注：标准排列的逆序数为0（偶数）.
1.1.4 n阶行列式
一、概念的引入
a11 D a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a 33 a13a22a31 a11a23a32 a位