线性代数及其应用第二版第一章PPT

1 2 3 1 2 3
二、n阶行列式的定义
定义1
由 n 个数组成的 n 阶行列式等于所有 取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 的代数和
2
(1) a
t
1 p1
a2 p2 a1n
anpn . a2 n ann
det( aij ).
a11 记作 D a21 a n1
其中 p1 p2 t为该排列的逆序数．
定义3
逆序数：
一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.
1.排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
2.计算排列逆序数的方法
向前取大法
例如
排列32514 中，
逆序数为 0
0
1
3 2 5 1 4
1 逆序数为3
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.
2.计算排列逆序数的方法
D1
12 2 1 1
14, D2
3 12 2 1
21,
D2 21 D1 14 x1 2, x 2 3. D D 7 7
二、三阶行列式
定义
设有9个数排成3行3列的数表 a11 a12 a21 a22 a31 a32 a13 a23 a33 ( 5)
(2)设排列为
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换
a1 al ab ab b1 bm c1 cn
m 1 次相邻对换 a a b b b a c c 1 l 1 m 1 n a1 al a b1 bm b c1 cn ,
al b b1 bm a c1 cn , 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
22
a11b2 b1a21 x2 . a11a22 a12a21
b1 a12 b2 a22 D1 x1 , a a D 11 12 a21 a22
a11b2 b1a21 x2 . a11a22 a12a21
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
0 1


1

2Biblioteka Baidu

2

t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
2 当 k 为偶数时，排列为偶排列，

k

21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
1.1.3
对换
一、对换的定义
定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素
1
例2. 计算三阶行列式 D 4
2 0
3 5
0 -1 2
解: 按对角线法则，有
D 1 0 2 2 5 0 3 4 ( 1)
3 0 0 2 4 2 1 5 ( 1)
0 0 12 0 16 5 23.
百位
十位 个位
1 1 1 2 1 2 3
2 2 1 3
3
3
3种放法 2种放法 1种放法
共有 3 2 1 6 种放法.
123，213，312，132，213，321
一、全排列
问题 把 n 个不同的元素排成一列 ，共有几种不
同的排法？
定义1 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个 元素的全排列（或排列）.
三阶行列式展开式中的一般项可以写成 a1 p1 a2 p2 a3 p3 行标排成标准次序123 列标 p1 p2 p3 是1，2，3的某个排列
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
例如: a13 a 21a 32
a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
2 a12 :
a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
两式相减消去 x2，得
（a11a22 a12 a21）x1 b1a22 a12b2 ;
类似地，消去 x1，得
（a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21 ,
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
a11 D 2 a21
a b12 1 , a b22 2
a11 b1 a21 b2 D2 x2 . a11 a12 D a21 a22
例1. 求解二元线性方程组 3 x1 2 x2 12, 2 x1 x2 1.
解:
D
3 2 2 1
3 ( 4) 7 0,
线 性 代 数
授课教师：邹蓓虹
第一章
行列式
• 行列式的定义与性质 • 行列式展开定理
• 克莱姆法则
1.1 行列式的定义与性质
1.1.1二阶、三阶行列式
一、二阶行列式 用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , 1 a21 x1 a22 x2 b2 . 2 1 a22 : a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 ,
14
a b c 练习. 计算三阶行列式 D b c a c a b
解 按对角线法则，有
D acb bac cab
c b a
3 3 3
3
3abc c b a .
3 3
1.1.2全排列及其逆序数
引例.用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？ 解:
a12 a22 an 2
pn 为自然数 1， 2， ，n 的一个排列，
不动，这种作出新排列的手续叫做对换．
将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．
例如
a1 al a b b b1 bm
a1 al a b b1 bm ba
a1 ala b1 bm b c1 cn
a1 al b a b1 bm a b c1 cn
二、对换与排列的奇偶性的关系
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性．
例1.1 计算三阶行列式(P5)
1 D 2 4
解:由主对角线法，有
2 3 2 1 4 2
D 1 2 (2) (2) 4 (4) (3) 2 1 1 4 1 (2) 2 (2) (3) 2 (4) 4 32 6 4 8 24
列标排列的逆序数为 t 312 1 1 2,
偶排列 正号
a11a 23 a 32
列标排列的逆序数为 t 132 1 0 1,
奇排列 负号
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 t( p p p ) a23 ( 1) a1 p a2 p a3 p . a33
对换 a与
证明 （1）相邻对换 a1 al ab b1 设排列为
bm
b
a1
al ba b1
bm
除 a , b 外，其它元素的逆序数不改变. 当 a b时， 经对换后 a 的逆序数增加1 ,
b 的逆序数不变;
当 a b时， b 的逆序数减少1. 经对换后 a 的逆序数不变 ，
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.
向前取大法
一般地，如果 p1 p2 pn 为这n个正整数的一个排列，
对于元素 pi (i 1,2,, n) ，若比 pi 大的且排在 pi 前面
的元素有 t i 个，就说 pi这个元素的逆序数是 t i 。全体 元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.
t t1 t 2
tn ti
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示.
由引例 P3 3 2 1 6.
同理
Pn n ( n 1) ( n 2) 3 2 1 n!.
二、排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 定义2 在一个排列 i1 i2 it i s in 中，若两 个元素的先后次序与标准次序不同即数 it i s 则称这两个数组成一个逆序. 例如, 排列32514 中， 逆序 3 2 5 1 4 逆序 逆序
i 1
n
例1. 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.
1
解：
217986354
2 1 7 9 8 6 3 5 4
0 1 0 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4 31 0 01 0
18
此排列为偶排列.
例1.2 计算下列排列642315的逆序数(P3)
解：
6 4 2 31 5
a12a21a33
(2)对角线法则
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
说明2 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于 不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为 正,三项为负.
2m 1次相邻对换 a 1
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，
偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.
注：标准排列的逆序数为0（偶数）.
1.1.4 n阶行列式
一、概念的引入
a11 D a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a 33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33 a13
n n 1 , 2 当 n 4k ,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解:
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
即
( 4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（ 4）所确定的二阶 ( 5)
a11 a12 D a11a22 a12a21 . a21 a22
1.二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a11a22 a12a21 .
a11 a21
a12 a22
a11 x1 a12 x2 b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 .
0 12 2 4
10
1
t 0 1 2 2 4 1
此排列为偶排列.
2 nn 1n 2321
解:
n 1 n n 1 n 2 321 n 2
t n 1 n 2 2 1
若记 系数行列式
a11 a12 D , a21 a22
当 D 0时，则二元线性方程组的解为
b1a22 a12b2 x1 ， a11a22 a12a21
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a a12 b 11 1 D , 1 a b 21 2 a
记 a11 a12 a21 a22
a31 a32
a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
主对角线
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标 副对角线 a31 a32 a33 行标
1.三阶行列式的计算 a11 a12 (1)沙路法
D
a12a23a 31 a13a21a 32 a11a22a33 a a a a13a22a31 11 23 32
a13 a11 a12 D a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32
b1a22 a12b2 x1 ， a11a22 a12a21
a11b2 b1a21 x2 . a11a22 a12a21
由方程组的四 个系数确定.
定义
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的数表
a11 a12 a21 a22
a11 a12 行列式，并记作 a21 a22