课件：线性代数第一章

(5)
a21 a22
即
D a11 a21
a12 a22
a11a22 a1Байду номын сангаасa21.
a11
a12
a12
a22
2、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
第一章 行列式
§2 二阶与三阶行列式
• 二阶行列式引入 • 三阶行列式 • 小结 思考题
一、二阶、三阶行列式
1、二阶行列式
定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的数表 a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
行列式，并记作 a11 a12
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. 由引例 P3 3 2 1 6. 同理 Pn n (n 1) (n 2) 3 2 1 n!.
排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
定义 在一个排列 i1i2 it is in 中，若数
2m 1次相邻对换 a1 al bb1 bmac1 cn ,
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,
不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负.
1 2 -4 例 计算三阶行列式 D - 2 2 1
-3 4 -2 解 按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
3、对换与排列的奇偶性的关系
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性． 证明 设排列为
a1 al ab b1 bm 对换a与b a1 al bbaa b1 bm
除a ,b 外，其它元素的逆序数不改变.
当a b时， 经对换后 a 的逆序数增加1 , b 的逆序数不变; 当a b时， 经对换后 a 的逆序数不变 ，b的逆序数减少1.
思考题
分别用两种方法求排列16352487的逆序数.
§4、对换的定义
定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余 元素不动，这种作出新排列的手续叫做 对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．
例如
a1 al a bb b1 bm a1 ala b1 bm b c1 cn a1 al bbaa b1 bm a1 al b b1 bm aa c1 cn
方法
分别计算出排在1,2, ,n 1,n前面比它大的数 码之和即分别算出 1,2, ,n 1,n 这 n个元素
的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数.
例 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.
1 217986354
解
217986354
0 10 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4310010
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn 现来对换 a 与b.
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换
a1 al abb b1 bmc1 cn
m 1 次相邻对换 a1 al bb b1 bm aa c1 cn
a1 alab1 bmbc1 cn ,
18
此排列为偶排列.
2 nn 1n 2 321
解 n1
nn 1n 2 321 n 2
t n 1 n 2 2 1 nn 1,
2 当 n 4k,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
3 2k12k 122k 232k 3 k 1k
it is 则称这两个数组成一个逆序.
例如 排列32514 中， 逆序
32514
逆序 逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数.
例如 排列32514 中，
此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.
排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
计算排列逆序数的方法
4 6 32 4 8 24 14.
二、小结
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的.
二阶与三阶行列式的计算 对角线法则
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
解 2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3 k 1 k
01 1 2 2
k
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
21 k 1k 1 k k 2 ,
2
当 k 为偶数时，排列为偶排列，
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!. 2 排列具有奇偶性. 3 计算排列逆序数常用的方法有2 种.
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标
a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算
a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32 D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31.
a31 a32 a33
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
§2、 数码的排列
• 概念引入 • 全排列及其逆序数 • 小结 思考题
1、全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不 同的排法？
定义 把 n个不同的元素排成一列，叫做这 n 个
元素的全排列（或排列）.