线性代数 南开大学 第一章

n1 n 1 n 1 n1 2 2
b1n b b
n 2
Dn1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a a
n 2
a a
n1 2 2
b
a a
n 2 2 2 2
b

n n 1

n1 n 1 n 1

n 2 2 n 1 n 1

n n 1
b
b
a b
5. 某行（列）至多有两个非零元素的行列式，可 用降 阶法或定义或递推公式法或归纳法

2011年选考
三、计算下列各题
0 1 1 1 0 1 1 1 0 .
1.( 8分 )计 算n阶 行 列 式 n D
答案: (-1)n-1(n-1)
x a1 例: 计算 D n 1 a 1 a1
n n i 1 i 1
a1 x a2 a2
a2 a2 x a3
n
例: 计算行列式(和课后题6(5)类似)
a0 1 Dn1 0 0
a1 an1 x 0 0 x 1 0
an 0 0 x
上面的行列式称为“爪形三线型”行列式
答案： a0 x n a1 x n1 an1 x an
x
1 x 0 a1
0

2. 各行(列)总和相等的行列式 (赶鸭子法)
a b b b 例: 计算 n 阶行列式 b a b b D b b a b . b b b a 答案: [a+(n-1)b](a-b)n-1
可以按上例计算的行列式的共同特点： 1. 行列式每行元素的和相同。故，可把其他列元素 加到第一列，然后提取第一列的公因子，把第一列 元素变为1. 2. 行列式不同行元素只有两个或三个元素不同，其 余全相同。故，可用第一行元素去减其他行元素， 把行列式变为(上、下)三角行列式。
定理2: 如果线性方程组(1)无解或有解但不唯一, 则它的系数行列式必为零. 定理3: 如果齐次线性方程组的系数行列式 D0, 则齐次线性方程组没有非零解. 定理4: 如果齐次线性方程组有非零解, 则它的系 数行列式 D 必为零. 在后面我们将证明: 齐次线性方程组有非零解的 充分必要条件为它的系数行列式D必为零.
a3 a3 a3 a4

an an an . x
答案： ( x ai ) ( x ai )
1 1 2 1
2008年期末考题 计算行列式
1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2
答案： 5
3. 除对角线以外各行元素对应相同,可化成三角 形行列式或三线型行列式
例: 计算行列式
a1 0 Dn1 0 b1 0 0 an b2 bn 0 0 d1 d2 dn a0 , ai 0, i 1, 2,...n. a2
上面的行列式是另一种“三线型”行列式
bi d i 答案： a1a2 an (a0 ) i 1 ai
2009年期末 0 考题 0 计算行列式 0 1
a3
an 1
2012年选考
1 2.(8分)计算n阶行列式Dn 0 0
2 2 0
3 0 0
n1 0 0
n 0 0 .
1 1
2
n 1 1 n
答案：1) (
n 1
n(n 1) (n 1)! 2
行列式的计算方法小结
1. 直接用定义（非零元素很少时可用） 2. 化三角形行列式法
此法特点：程序化明显，对阶数较低的数字行列式和 一些较特殊的字母行列式适用。
3.降阶法
利用性质，将某行(列)的元尽可能化为0，然后按行(列)展开.
n阶
n 1阶 2阶
1.“三线型”行列式化成三角形行列式
答案:(- 1) ( n 1)2 Dn det(aij ), 其中aij | i j | .
课后习题8（5）计算行列式
加边法(升阶)
行列式的特点：每行(列)除对角线外元素相同，或 者每行(列)对角线以上(下)元素相同。
要点：将行列式加一行(列)，利用所加的行（列） 元素 ，将行列式化成三角形行列式或三线型行列式。
1 2 n
n 阶行列式的性质
性质1: 行列式与它的转置行列式相等, 即DT = D. 性质2: 互换行列式的两行(列), 行列式变号. 推论: 如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列 式为零. 性质3: 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以 同一数k, 等于用数k乘此行列式. 推论: 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子 可以提到行列式符号的外面. 性质4: 行列式中如果有两行(列)元素成比例, 则 此行列式为零． 性质5: 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之 和, 则该行列式等于两个行列式之和. 性质6: 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一 数然后加到另一列(行)对应的元素上去, 行列式不变.
0 0 x
0 0 1 an
课后习题 6(5) 证明
0 0 a0
1 0 a2
a n 1
an x n an1 x n1 a1 x a0
a1
a1 a2 0 0 1
0 a2 0 1

0 0 0
0 0 0 答案： (-1)n ( n 1)a1a2 an an 1
a0 d1 b1 a1 b2 bn 0 0
Dn1 d 2 0 a2 0 , ai 0, i 1, 2,...n. dn 0 0 an
上面的行列式称为“三线型”行列式，指的是行列式 出了某行，某列和对角线元素或次对角线元素非零 外，其余元素均为零。 计算方法：变为上三角行列式或下三角行列式 n bi d i 答案：a1a2 an (a0 ) i 1 ai
(1)
定理1: (克拉默(Cramer)法则)如果线性方程组(1) 的系数行列式不等于零, 那么, 线性方程组(1)有解, 且 解是唯一的, 解可以表为 Dn D1 D2 x1 , x2 , , x n . D D D 其中Dj 是把系数行列式D中第 j 列的元素用方程组右 端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式。
k 1
n
n
1 ij 0
D 当i j D ij 0 当 i j 当i j 当i j
两个重要结果
一、三角形行列式的值 等于对角元之乘积
A O C B
| A || B |
二、范德蒙德行列式 1 x1
2 x1
1 x2 x2 2
n 1 x2

逆序数
在一个排列( i1 i2 · is · it · in )中, 若数 is>it , 则称 · · · · · · 这两个数组成一个逆序. 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序 数．
n 阶行列式的定义
D a11 a21 a n1 a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
答案： n!(n 1)! (n 2)!2! 1!.
评注: 本题所给行列式各行(列)都是某元素的不 同方幂, 而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完 全相同, 需要利用行列式的性质(如提取公因子, 调换 各行(列)的次序等)将此行列式化成范德蒙行列式.
课后习题8（3）计算行列式
an a n 1 Dn1 a 1
p1 p2 pn
( 1) t a1 p1 a 2 p2 a npn
或
D
p1 p2 pn
( 1) t a p1 1a p2 2 a pnn
a11
a12 a1n a 22 a2 n a a a 11 22 nn 0
0 a 22 an 2
上三角行列式
0 0
第一章 行列式
二阶行列式的计算——对角线法则
主对角线 副对角线
a11
a12
a21 a22
= a11a22 – a12a21
三阶行列式的计算——对角线法则
a11 a12 a21 a22 a31 a32 a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
1 xn
n 1 xn 2 xn
n i j 1
(x i x j )

n 1 x1
克拉默法则
a11 x1 a12 x 2 a1n x n a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n b1 b2 bn
例6: 证明 cos 1 1 2 cos 0 1 Dn 0 0 0 0
0 1 2 cos 0 0 0 0 0 2 cos 1 0 0 0 1 2 cos
cos n . 评注: 为了将Dn展开成用与Dn同形的行列式Dn–1, Dn–2表示, 本例必须按第n行(或第n列)展开, 不能用第1 行(或第1列)展开, 否则所得的低阶行列式不是与Dn同 形的行列式, 从而无法进行下一步证明. 本题使用的是数学归纳法
2010、2011年期末考题，课后习题8(6)
1 a1
计算行列式
1 1

1 1 ，其中 a1a2 an 0.
1 1
1 a2
1 an n 1 答案： a1a2 an (1 ) i 1 ai
4. 范德蒙德(Vandermonde)行列式（重要结果）
1 2 例2: 计算 Dn 3 n 1 2 2 2 3 2 n 1 n 2 n 3 . n n
a11 a 21 a n1
a nn
0 0 a nn 1 0 0 0 a nn
下三角行列式
a11a 22 a nn
a n11 a n12 a n1n1
1
对角行列式
2

,
2010、2011期末考题，填空 1 2

n
1 2 n
n

n ( n 1) ( 1) 2
2010年选考
三、计算下列各题
a 1
1 a 1 1 a a x a
1 1 a 1
a a a. x
1 1 1. a
1.( 8分)设n 2, 计算n阶行列式 n 1 D
n 答案：（a n 1)(a 1）1
1
2010、2012年期末考题，课后题8(2) x a 三、计算下列各题 a x 1.( 8分)计算n阶行列式 a a D n-1 答案: [x+(n-1)a](x-a) a a
例：计算n+1阶行列式
x a1 Dn1 a1 a1 a1 a1 x a2 a2 a2 a 2 a n 1 1 a2 an1 1 x a3 a3 a n 1 1 x an 1 1
n+ 1 n 2
答案 ( x a1 )( x a2 )( x an )
课后习题8（4）计算行列式
an D2 n cn a1 c1 b1 d1 dn bn
答案： D2 n (ai d i bi ci )
i 1
n
2011年期末试卷
一、填空（每题4分，共16分）
a1 1、行列式D 0 0 b4
行列式按行(列)展开
在 n 阶行列式D中, 把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列元素划去后, 留下来的 n–1 阶行列式叫做(行列式D 的关于)元素aij 的余子式, 记作 Mij . 即 记 Aij = (–1)i+j Mij, 称 Aij 为元素 aij 的代数余子式.
k 1
a ki Akj a ik A jk
(a 1)n a 1 1

( a n)n
(a 1)n1 (a n)n1 an 1
答案：
n1 i j 1

(i j )
(2005年数学一考研真题) 例 计算n+1阶行列式
n a1 n a1 1b1 n a1 2b12

a1 b1n1 ab