线性代数第一章第二节
线性代数课件 第一章
1 0 (5)单位矩阵 单位矩阵 0 1 E = En = L L O 0 0
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵
L 0 O L 0 L L L 1
a11 a 21 A= L a m1
简记为
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
矩阵A的 (m, n)元
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
, , 系数 aij ( i =1,2,L m, j =1,2,L n) , 常数项 bi (i = 1,2,L,n)
全为1 全为
(6)方阵 方阵 主对角线
a11 a12 a21 a22 A= L L 副对角线 an1 an1
简记为
L a1n L a2 n L L L ann
n× n
矩 A 阵 的
( n, n) 元
A = An× n = ( aij )
.
矩阵的转置
a11 a 21 A= L a m1
定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B 定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B， 就称矩阵A与矩阵B等价， 就称矩阵A与矩阵B等价，记作 A ~ B ． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 例如 用矩阵的初等行变换 解线性方程组
线性代数第一章
线性变换 (3)可看成是先作线性变换 ( 2)再作线性变换 (1) 的结果 .称线性变换 (3)为线性变换 (1) 与 ( 2)的乘积 , 相应把 (3) 所对应的矩阵定义为 (1) 与 ( 2) 所对应的矩阵的乘积 , 即
return PLAY
a11 a12 a 21 a22
b11 b12 a13 b21 b22 a23 b31 b32
由此得矩阵A与B相等是指A和B的对应元素都相等.
PLAY BACK
二、 数与矩阵的乘法
定义3 数λ与矩阵A的乘积记作λ A或 Aλ , 规定为
数乘矩阵满足以下运算规律(设A, B为同类型m × n矩阵, λ , µ为数)
λ a11 λ a12 L λ a1n λa 21 λ a22 L λ a2 n λ A = Aλ = M M M λa λ am 2 L λ amn m×n m1
a11b11 + a12b21 + a13b31 a11b12 + a12b22 + a13b32 = a21b11 + a22b21 + a23b31 a21b12 + a22b22 + a23b32 注意 : 第一个矩阵为 2 × 3而第二个矩阵为 3 × 2, 即 前面矩阵的列数与后面 矩阵的行数相等 .
θ + ϕ .因此, 这是把向量op (依逆 时针方向)旋转ϕ角(即把点p以 原点为中心逆时针旋转ϕ角)的
旋转变换.
PLAY
2. 矩阵与矩阵相乘
引例 设有线性变换 y1 = a11x1 + a12x2 + a13x3 y = a x + a x + a x 21 1 22 2 23 3 2 (1)
线性代数集锦按一行展开法则 矩阵的秩 矩阵运算 逆 分块矩阵 线性方程组消去法 克莱姆 二阶三阶 n阶行列式
历史上，行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的. 如今，它在数学的许 多分支中都有着非常广泛的应用，是常用的一种计算工具。特别是在本门课程中，它是研究 后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。
第一节 二阶与三阶行列式 内容分布图示
★ 二阶行列式 ★ 二元线性方程组 ★ 三阶行列式 ★ ★ ★ ★ 三元线性方程组 内容小结 习题 1-1 返回 ★ 简例 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例4 ★ 课堂练习 ★ 例3
逆序 0 1 0 3 1 于是排列 32514 的逆序数为 N 0 1 0 3 1 5. 例 2 计算排列 217986354 的逆序数, 并讨论其奇偶性. 解 排列 2 1 7 9 8 6 3 5 4
逆序 0 1 0 0 1 3 4 4 5 于是题设排列的逆序数为 N 5 4 4 3 1 0 0 1 0 18. 该排列是偶排列. 例 3 (E02) 求排列 n(n 1)(n 1)321 的逆序数, 并讨论其奇偶性. 解 排列
a11 a12 a 21 a 22 例 6 设 D1 a n1 a n 2
a1n a11 a2n a 21b , D2 a nn a n1b n 1
j1 j2 jn
a12b 1 a 22 a n 2 b n2
a1n b1n a 2 n b 2 n , 证明: D1 D2 . a nn
a11 a12 0 a22 0 0 a1n a2 n (1) N (12n) a11a12 ann . ann
同理，下三角形行列式
a11 0 a21 a22 an1 an 2 0 0 a11a22 ann . ann
线性代数教案全(同济大学第六版)
线性代数教案第（1）次课授课时间（）1.教学内容: 二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数；阶行列式的定义2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第一节 二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。
设二元线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22222211212111b x a x a b x a x a用消元法,当021122211≠-a a a a 时,解得211222111212112211222112121221,a a a a b a b a x a a a a b a b a x --=--=令2112221122211211a a a a a a a a -=,称为二阶行列式 ,则如果将D 中第一列的元素11a ,21a 换成常数项1b ,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D 表示,于是有2221211a b a b D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。
同理将 中第二列的元素a 12,a 22 换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母 表示,于是有2121112b a b a D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==D D x D D x 2211 其中0≠D例1. 解线性方程组 .1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-x x x x 同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a用消元法解得定义 设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211a a a a a a a a a 记 333231232221131211a a a a a a a a a D =322113312312332211a a a a a a a a a ++=332112322311312213a a a a a a a a a ---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆: 从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2.计算三阶行列式 .(-14) 例3.求解方程 （ ） 例4.解线性方程组 解 先计算系数行列式573411112--=D 069556371210≠-=----+-= 再计算 321,,D D D515754101121-=--=D ,315534011222=--=D ,55730112123=---=D得 23171==D D x ,69312-==D D y ,6953-==D D z第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）1.教学内容: 行列式按行（列）展开；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第5节 行列式按行（列）展开定义 在 阶行列式中, 把元素 所处的第 行、第 列划去, 剩下的元素按原排列构成的 阶行列式, 称为 的余子式, 记为；而 称为 的代数余子式.引理 如果 阶行列式中的第 行除 外其余元素均为零, 即: .则： .证 先证简单情形:再证一般情形:定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和, 即按行: 按列: 证:（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnn n ini i n a a a a a a a a a D212111211000000+++++++++=nnn n in n nnn n i n nn n n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 21112112121121121111211000000+++=).,2,1(2211n i A a A a A a in in i i i i =+++=例1 : . 解:例2: 21122112----=n D解: 21122112----=n D 211221100121---=+++nr r)()()()()()21331122213311n n n n n n n x x x x x x x x x x x -----, 并提出因子 ）()2321111--n n n x x x x x x()1-n 阶范德蒙行列式(1n x x -行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零第（ 4 ）次课授课时间（）1.教学内容: 克拉默法则；2.时间安排: 2学时；教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第（5）次课授课时间（）1.教学内容: 矩阵；矩阵的运算；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示。
线性代数第一章行列式课件
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以 一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设
1n阶行列式
0+1+0+2+4=7
故排列42531的逆序个数为7，即τ(42531)=7，
因而是奇排列.
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(2) 同理可得：
τ[135…(2n-1)246…(2n)]=0+(n-1)+(n-2)+…+2+1=
n(n 1) 2
所给排列当n=4k或4k+1时为偶排列，当n=4k+2或4k+3
时为奇排列.
把行列式
§3 行列式的性质
的行换成同序数的列,
称为行列式D的转置行列式。
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性质1 行列式与它的转置行列式相等 。
证： 记
即bij＝aji
(i，j＝1，2，…，n)
按行列式定义
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性质2 互换行列式的两行（列），行列式反号。 证
交换第p、q两列，得行列式
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同理可证
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代数余子式的重要性质（行列式按行（列）展开公式）:
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例 计算n阶行列式 解法一
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例 计算n阶行列式
解法二(递推法) 由行列式Dn可知
将Dn按第1列展开
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这个式子对任何n(n2) 都成立,故有
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例 利用递推公式法计算 解：按第一行展开
Dn＝
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例 证明
上面的行列式中，未写出的元素都是0。 证: 因为行列式的值为
而排列j1j2…jn只能是n(n－1)…21的排列， 故逆序数
线性代数-第一章第2节-矩阵的运算
四、矩阵的转置
1. 定义
将矩阵 A m×n 的行换成同序数的列，列 换成同序数的行所得的 n×m 矩阵称为 A的转置矩阵，记作 AT 或 A'。
例如： A 1 0 2
4 3 0
则
AT
1 0
4 3
2 0
2）、转置矩阵的运算性质
1 AT T A;
2 A BT AT BT ;
阵,且HH T E.
证明 HT E 2XXT T ET 2 XXT T
E 2XXT H , H是对称矩阵.
HH T H 2 E 2XX T 2 E 4XXT 4 XXT XXT E 4XXT 4X XT X XT
E 4XX T 4XX T E.
1.55 2.1 2.6
C (cik )32, A (aij )32, B (bjk )22
•而
2
cik aijbjk j 1
• （即A的第i行与B的第k列对应相乘再相加）
三、矩阵与矩阵相乘 定义 设 A = ( aij ) m×s , B = ( bij ) s×n ,
则 A 与 B 的乘积 C＝AB = ( cij ) m×n
A
a21
a22
am1
am 2
a1n
a2n
amn
b11 b12
B
b21
b22
bm1 bm2
b1n
b2n
bmn
a11 b11
A
B
a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n
a2n
b2n
amn
bmn
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
线性代数讲义(第一章)
an1 an2 ann
解 展开式的一般项为 (-1)t( j1 j2jn ) a1 j1 a2 j2 anjn .
不为零的项只有 (-1)t(12n) a11a22 ann.
a11 0
0
a21 a22 0 1 t12na11a22 ann
1
1
a2 a a 1
1
1
b2 b b 1
1
1
c2 c c 1
1
1
d2 d d 1
a
b abcd
c
d
11
1 a2 a
a
1
1 b2
1
1 c2
1
b
b 1
13
c
c
1
1 d2
1 d
d
11 1 a2 a
1
1 b2
1 b
1
1 c2
1 c
1
1 d2
1 d
0.
性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变．
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
为便于记忆，引入记号
a D 11
a21
a 12
a a11 22 a a 12 21
三阶行列式的计算: 对角线法则
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
线性代数1-2
所以
Dn 1
n1 n 2
2
n!.
思考题
分别用两种方法求排列16352487的逆序数.
思考题解答
解 用方法1
1 6 3 5 2 4 8 7
N 0 31 21 01 0 8
用方法2 由前向后求每个数的逆序数.
N 0 0 1 1 3 2 0 1 8.
2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;
5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;
4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;
3 2 5 1 4 0 1 0 3 1 于是排列32514的逆序数为
N 32541 0 1 0 3 1 5.
第二节 n 阶行列式
一、排列与逆序
二、n 阶行列式的定义 三、对换
一、排列与逆序
定义1 由自然数 1,2,, n 组成的不重复的每一种有 确定次序的排列, 称为一个 n 级排列（或排列）. 例: 1234和 4213 都是4级排列, 54123和 35142 都是5级排列. 注: n 级排列的总的个数:
2 当 k 为偶数时，排列为偶排列，
k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
二、n 阶行列式的定义
观察三阶行列式
a11 D a 21 a 31
说明
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
解
Dn 1 a1,n1a2 ,n2 an1,1ann
线性代数第一章第二节
1.1.3 n阶行列式的定义 定义1.1.4 由n2个元素排成 n行n列,以
a11 a 21 a n1 a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn
记之，称其为 n阶行列式,它代表一个数值. 此数值是取自上式中不同行不同列的n个 元素 a1 j a2 j anj 乘积的代数和，其中
1.1.2 二阶与三阶行列式 本段的目的是叙述行列式这个概念的 形成，这需要从解线性方程组谈起. 设二元一次线性方程组 a11 x1 a12 x 2 b1 , a 21 x1 a 22 x 2 b2 .
（1.1.6）
用消元法去解此方程组.先分别用a22和-a12 去乘（1.1.6）式的一式和二式的两端，然 后再将得到的两式相加，得
定义1.1.2 在一个排列中，若一个较 大的数排在一个较小的数的前面，则称这 两个数构成一个逆序. 一个排列中所有逆 序的总数称为这个排列的逆序数.用 (j1,j2,…,jn)表示排列j1,j2,…,jn的逆序数. 逆序数是偶数的排列称为偶排列，逆序数 是奇数的排列称为奇排列.
对一个n阶排列 j1,j2,…,jn ，如何求它 的逆序数呢？设这个排列中排在j1后面比
i k1 k 2 k s j
（1.1.3）
经过i与j的对换变成
j k1 k 2 k s i （1.1.4） 由排列（1.1.3）变为排列（1.1.4）可以通 过一系列两两相邻的对换来实现.先将i依次 与 k1,k2,…,ks，j经过 s+1次相邻对换后将 （1.1.3）变为
k1 k 2 k s j i
n( n 1) 2
新的排列，这种变换称为排列的一个对换. 如果将排列32514中的2与4对调，则 得到的新排列34512，它的逆序数 ( 34512 )=2+2+2+0=6，为偶排列.这说明， 奇排列32514经过一次对换得到偶排列 34512。一般地，我们有 定理1.1.1 一次对换改变排列奇偶性.
线性代数第一章第二节 n阶行列式
4、 一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆;
t a a a 5、 1 p1 2 p2 npn 的符号为 1 .
17
例1 试判断 a14a23a31a42a56a65和 a32a43a14a51a25a66
是否都是六阶行列式中的项. 解
a14a23a31a42a56a65 下标的逆序数为
t 431265 0 1 2 2 0 1 6
所以 a14a23a31a42a56a65 是六阶行列式中的项.
a32a43a14a51a25a66 下标的逆序数为
t 452316 8
所以 a32a43a14a51a25a66 不是六阶行列式中的项.
例2 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.
t ( 1 ) a1 j1 a2 j2 anjn .
a11 a21 记作 D an1
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
简记作det(aij ). 数 aij 称为行列式det(aij ) 的元素．
15
其中 j1 j2 jn 为自然数1， 2， ，n 的一个排列， t 为这个排列的逆序数．
注
i1i2 in
( 1)
t ( i1i2 in )
ai1 1ai2 2 ain n
行列式还有其它的定义方式 一般行列式不用定义来计算 主要利用行列式性质来计算
28
思考题
x 1 1 2
已知
3
1 f x 3 1
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
求 x 的系数.
29
9
例5 求i，j使25i4j1为偶排列。
解：6元排列使i、j只能取3或6；由于
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结线性代数知识点总结第一章 行列式第一节：二阶与三阶行列式把表达式11221221aa a a -称为11122122a a a a 所确定的二阶行列式，并记作11122112aa aa ，即1112112212212122.a a D a a a a a a ==-结果为一个数。
（课本P1）同理，把表达式112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---称为由数表111213212223313233a a a a a a a a a 所确定的三阶行列式，记作111213212223313233a a a aa a a a a 。
即111213212223313233a a a aa a a a a =112233122331132132112332122133132231,aa a a a a a a a a a a a a a a a a ++---二三阶行列式的计算：对角线法则（课本P2，P3）注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。
利用行列式计算二元方程组和三元方程组：对二元方程组11112212112222ax a x b ax a x b +=⎧⎨+=⎩设11122122a a D a a =≠1121222b a D b a =1112212.a b D a b =则1122221111122122b a b a D xa a Da a ==，1112122211122122.a b a b D x a a Da a ==（课本P2）对三元方程组111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，设1112132122233132330a a a D aa a a a a =≠，1121312222333233b a a D b a a b a a =，1111322122331333a b a Da b a a b a =，1112132122231323a ab Da ab a a b =，则11D x D=，22D xD=，33D xD=。
《线性代数》第1章-矩阵(张小向2014黑白打印版)
c 3
同型
20 16
50 20
30 16
与
20 50 30
16 20 16
不同型
5. 两个矩阵相等(equal)
大前提: 同型
A = (aij)m×n与B = (bij)m×n相等:
对∀1≤ i ≤ m, 1≤ j ≤ n, aij = bij都成立 记为A = B.
第一章 矩阵
§1.1 矩阵的基本概念
0 0
0 0
2
3
10 1 0
从i市经一次中转到达j市航线的条数=?
bij = ai1a1j + ai2a2j + ai3a3j + ai4a4j .
1
21 1 0
i
2
j
B = (bij) =
01 10
1 0
1 0
3 4
02 1 1
第一章 矩阵
§1.2 矩阵的基本运算
2. 定义: A = (aij)m×s与B = (bij)s×n的乘积(product)
a1
列向量(row vector):
a2 …
n–维
(n–dimensional)
an
第i分量 (ith component): ai (i = 1, …, n)
第一章 矩阵
§1.1 矩阵的基本概念
4. 同型(same-sized): 行数相等, 列数也相等
20 16
50 20
30 16
与
a 1
b 2
注: ① 设矩阵A = (aij)m×n , 记−A = (−aij)m×n , ——A的负矩阵(additive inverse of A).
② 设A, B是同型矩阵, 则它们的差
线性代数_课件
2020/3/1
22
五、关于等价定义的说明
对于行列式中的任一项
(1) a1p1...aipi ...a jpj ...anpn
(1)
其中 1...i... j...n为自然排列， 为列下标排
列 p1...pi...p j... pn 的逆序数。对换 (1) 中元
素a
与
ip i
a jp
j
成：
(1) a1p1...a jpj ...aipi ...anpn
解：∵ 排列p1 p2 p3…pn与排列 pn…p3 p2 p1的逆序
数之和等于1～ n 这 n 个数中任取两个数的组合
数即 ：
(
p1 p2... pn )
(
pn
pn1... p1)
Cn2
n(n 1) 2
(
pn
pn1... p1)
n(n 1) 2
k
2020/3/1
9
例4 求排列(2k)1(2k 1)2(2k 2)...(k 1)k
a22 ...
... a2n ... ...
a11a22...ann
0 0 ... ann
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16
3) 次上三角行列式
a1,1 ... a1,n1 a1,n
a2,1 ... a2,n1 ... ... ...
0 ...
n ( n 1)
(1) 2 a1,na2,n1...an,n
例6 若 a13a2ia32a4k , a11a22a3ia4k , ai2a31a43ak 4 为四阶行列式的项，试确定i与k，使前两项带正号， 后一项带负号。
线性代数第一章1-2行列式的性质
思考题
解 答解: 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成
1 1 A11+A12+ · · · +A1n 1 1 1 2 0 0 1 0 3 0 1 0 0 n
a12 ai 2
a1 n ain
a11 ai 1
a12 a1 n ai 2 ain ai 2 ain an 2 ann
相同
k kai 2 kain ai 1 an 2 ann a
0.
n1
性质1.2.4: 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,
t
故结论成立.
思考: P26 第三题
性质1.2.5: 把行列式的某一列(行)的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去, 行列式 不变. a11 a1i a1 j a1n 例如 a21 a2i a2 j a2n k an1 ani anj ann a11 (a1i ka1 j ) a1 j a1n a21 (a2i ka2 j ) a2 j a2n an1 (ani kanj ) anj ann
n
ij ij
其中
D 当i j 1 当 i j . a ki Akj D ij 0 当 i j . ij k 1 0 当 i j
1 2 3 n 1 2 0 0 设 n 阶行列式 Dn 1 0 3 0 1 0 0 n 求第一行各元素的代数余子式之和: A11+A12+ · · · +A1n .
故
D D .
证毕
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质1.2.2 互换行列式的两行(列),行列式变号. 证明: 由行列式
线性代数课件第一章
逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆 序数.
在一个 n 阶排列中，任何一个数对不是构成逆序 就是构成顺序．如果我们把顺序的个数称为顺序数，则 一个 n 阶排列的顺序数与逆序数的和为 n(n –1)/2 .
a12a21) a12a21)
x1 x2
b1a22 a11b2
a12b2 b1a21
, .
当 a11a22 – a12a21 0 时，求得方程组（１）的解为
x1
x2
b1a22
a11a22 a11b2
a11a22
a12b2
a12a21 b1a21
a12a21
, .
（２）
为了记忆该公式，引入记号
(为偶排列)． 带负号的三项列标排列：132 , 213 , 321
(为奇排列)． 故三阶行列式可以写成
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (1)t a1p1 a2 p2 a3 p3 ,
a31 a32 a33
其中 t 为排列 p1p2p3 的逆序数， 表示对1，2，3 三个 数的所有排列 p1p2p3 求和．
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
并称之为二阶行列式．其中 aij 称为行列式的元素，
aij 的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下
标称为行标， 表示该元素所在的行，第二个下标称为列
标，表示该元素所在的列，常称 aij 为行列式的(i , j ) 元1由a11成a11baaa1a1111b122二12二aaa22122b222阶22阶22ba1abaa行行11112aa22baa22ba11a1列12列22a22122baaa112式12式1222,.1b12的，,. 定即bb12 义aa，12（22 ,（２２a）11b）2
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四、作业 P35 1(3) 2(4) 4 8(3) 12(1)(3)
思考题[*]
x
已知
1
1
2
1 f x 3 1
3
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
求 x 的系数.
思考题解答
解 含 x 3 的项有两项,即
x 1 f x 3 1
对应于
t
1
1
2
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
2. a14 a21a33 a44不是四阶行列式中的项 ，a12 a43a31a24是四阶 行列式中的项. a12 a43a31a24 a12 a24 a31a43
1t 2413 a12a24 a31a43a 13 a12a24 a31a43 a12a24 a31a43
t(53412) = 0+1+1+3+3=8 定理 2 n个自然数共有n!个n元排列，其中奇偶排 列各占一半。
二、n 阶行列式的定义
三阶行列式定义为
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
123 231 312 132 213 321 t(123)=0 t(231)=2 t(312)=2 t(132)=1 t(213)=1 t(321)=3
例 3 三阶行列式
例4 四阶行列式
1 2 3
12 3
3 4
例5 n 阶行列式
1 2
12 34
1 2
(1)
n( n 1 ) 2
12 n
n
a 11 a 21 an1
a 12 a 22 an 2
... a 1 n ... a 2 n t ( j1 j2 ......jn ) a1 j1 a2 j2 ......anj n (1) ... a nn
元素的全排列（或排列），也称为一个n 元(级)排列. n个不同的元素的所有排列的种数，通常 n A 用 n表示. 3 A 由引例 3 3 2 1 6.
n A 同理 n n ( n 1) ( n 2) 3 2 1 n!.
排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
t ( j1 j2 jn )是排列 j1 j2 jn 的逆序数 . 即
a 11 a 21 an1
a 12 a 22 an 2
... a 1 n ... a 2 n t ( j1 j2 ......jn ) a1 j1 a2 j2 ......anj n (1) ... a nn
§1.2 n阶行列式的定义
一、全排列及逆序数
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？ 解
百位
十位 个位
1 1 1 2 1 2 3
2 2 1 3
3
3
3种放法 2种放法 1种放法
共有 3 2 1 6
种放法.
，共有几种不 问题 把 n 个不同的元素排成一列 同的排法？ 定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个
t 1243
1 a11a22a33a44 1 a11a22a34a43
1t a11a22a33a44 x 3 ,
1t 1243 a11a22a34a43 2 x 3
故 x 的系数为 1.
3
1. 选择 i 与 k 使 （1）2 5 i 1 k 成偶排列; （2）2 5 i 1 k 成奇排列.
补充：[*] (1) 取自不同行不同列元素乘积 a1 j a2 j ...... anj (一般使行标为自然排列).
1 2 n
(2) 符号：列标为偶排列则为+；否则为—。 (3) 代数和(对所有排列而言)。
例 1 下三角行列式
a11 a 21 a 31
0 a 22 a 32
0 0 a11a22 a33 a 33
2. a14 a21a33 a44 和a12 a43 a31a24是否为四阶行列式中的 项，
若是，指出应冠以的符号 3.计算n 阶行列式
1 1 1
1.（1）i = 4, k = 3时，即排列 2 5 4 1 3 为偶排列； （2）i = 3, k = 4时，即排列 2 5 3 1 4 为奇排列.
t n 1 n 2 2 1
n n 1 , 2 当 n 4k ,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
对换 相邻对换 定理 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性.
例 3 排列53142 经对换1与4 得排列 53412 求这两个排列的逆序数. 解 t(5314 2) = 0+1+2+1+3=7
1 1 1 ( 1)
n( n 1) 2
3.
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.
1 217986354
解
2 1 7 9 8 6 3 5 4
0 10 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4 31 0 01 0
18
此排列为偶排列.
2 nn 1n 2321
解
n1 nn 1n 2321 n 2
解 在排列32514中, 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1; 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;
1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1; 3 2 5 1 4 0 1 0 3 1 于是排列32514的逆序数为
t 0 1 0 3 1 5.
a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31
a1 j1 a2 j2 a3 j3
(1)
t ( j1 j2 j3 )
a1 j1 a2 j2 a3 j3
定理 2 n 阶行列式也可以定义为
D (1)
t ( p1 p2 pn )
a p1 1a p2 2 a pnn
三、小结
1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解 方程个数和未知量个数相同的一次线性方程组 的需要而定义的. 2、 n 阶行列式共有 n! 项，每项都是位于不同 行、不同列 的 n个元素的乘积,正负号由下标排 列的逆序数决定.
定义
在一个排列 i1 i2 it i s in 中，若数 it i s 则称这两个数组成一个逆序.
例如 排列32514 中， 逆序 3 2 5 1 4 逆序 逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数. 例如 排列32514 中，
0
0
1
3 2 5 1 4
1
逆序数为3
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.
定义 由 n2 个数组成的数表， 记成
a 11 a 21 an1
a 12 a 22 an 2
... a 1 n ... a 2 n ... a nn
称为 n 阶行列式 , 规定为所有形如
(1)t ( j1 j2 jn ) a1 j1 a2 j2 ...... anj n
其中 j1 j2 jn是 1， 2， ，n 的一个排列， 项的代数和，
排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
*自然排列1 2 …… n
所以是偶排列. 的逆序数t为0 ，
计算排列逆序数的方法
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数.
例1
求排列32514的逆序数.
a11 0 0
对0 0 ... ann
例2 下三角行列式 上三角行列式
a11 a 21 an1
0 a 22 an 2
... ...
0 0
a11a22 ann
... a nn
a11 0 0
a12 ... a1 n a22 ... a2 n 0 ... ann
三阶行列式是 3 != 6 项 的代数和.
三阶行列式可以写成
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 23
a 23 (1) a 33
a13
t ( j1 j 2 j 3 )
a 1 j1 a 2 j 2 a 3 j 3
. 其中j1 j2 j3是1， 2， 3的一个排列 , t ( j1 j2 j3 )是排列 j1 j2 j3 的逆序数