线性代数第一章

a11 a21
b1 （用方程 b2
组的常数项代替系数行列式的第 2 列）。
1.2.1 二阶行列式
例题
例1
求解二元线性方程组
23xx11
2 x2 x2
1， 3．
解：因为 D
3 2
2 1
31 (2) 2 7 0 ，且 D1
1 3
2 1
7 ，D2
3 2
1 7 ，所 3
以 x1
D1 D
2
定义3
若排列i1i2…in的逆序数 (i1i2…in)是奇数，则此排列称为奇排列；若
(i1i2…in)逆序数是偶数，则此排列称为偶排列。
定义4
在一个n级排列i1…is…it…in中，如果将其中某两个数is与it对调位置，其 余各数位置不变，得到一个新的n级排列，这样的变换称为一次对换，记作 (is,it)。将相邻两个元素对调，称为相邻对换，简称邻换。
1.2.4 特殊行列式
定义4
（4）如果行列式 D 中元素满足 aij aji ，则行列式 D 称为对称行列式．
a23 例如， 2 b 4 为对称行列式．
34c
（5）如果行列式 D 中元素满足 aij aji ，则行列式 D 称为反对称行列式．
0 ab 例如， a 0 c 为反对称行列式．
b c 0
（2）形如
a11 0 L a21 a22 L M MO an1 an2 L
0 0 M a11a22 L ann ann
的 n 阶行列式，称为下三角行列式，其主对角线以上的元素全为 0．
1.2.4 特殊行列式
定义4
（3）形如
a11 0 L 0 a22 L M MO 0 0L
0 0 M a11a22 L ann ann
（1-3）
1.2.1 二阶行列式
定义1
二元线性方程组的解（1-2）可简单表示为
x1
D1 D
，x2
D2 D
(D
0)
．
（1-4）
其中， D a11 a12 为方程组未知数的系数所组成的行列式，称为方程组的系数行列 a21 a22
式；D1
b1 b2
a12 a22
（用方程组的常数项代替系数行列式的第 1 列）；D2
注：此性质也可表述为，用 k 乘行列式某一行（列）的所有元素，等于用数 k 乘此行列
式．
1.3.1 行列式的性质
性质
性质 4 如果行列式某一行（列）的各元素都是两个数的和，则此行列式等于两个相应
行列式的和，即
a11
a12
L
M
M
bi1 ci1 bi2 ci2 L
M
M
an1
an2
L
a1n
a11 a12 L
7 7
1， x2
D2 D
7 7
1．
1.2.1 二阶行列式
例题
例 2 计算下列各行列式的值．
（1） 3 1 ； 2 4
（2） 1 tan x ． cot x 1
解：（1） 3 1 3 4 1 (2) 14 ； 2 4
（2） 1 tan x 11 ( tan x) cot x 2 ． cot x 1
a1n
a2n
M
(1) a1p1 a2 p2 L anpn ，
( p1 p2 pn )
ann
（1-8）
称为 n 阶行列式，记为 D ．其中，p1 L pn 为自然数1，2，3，L ，n 的一个排列， ( p1 L pn ) ，
是对所有 n 级排列 p1 L pn 求和．
( p1 p2 pn )
1.2 行列式的概念
1.2.1 二阶行列式
设二元线性方程组
a11x1 a12 x2 b1 ， a21x1 a22 x2 b2 ，
用消元法求解，当 a11a22 a12a21 0 时，有
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
， x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
别为 0，1，1，2，所以第一、四项应取正号，第二、三项应取负号．
解： D adeh adfg bceh bcfg ．
1.2.3 n阶行列式
例题
例8
0 1 0L 0 0 2L 利用行列式定义计算 Dn M M M 0 0 0L n 0 0L
0 0 M． n 1 0
分析： Dn
(1) a1p1 a2 p2 L anpn ，从行列式的构成可知，不为 0 的项，只有
( p1 p2 pn )
p1 2，p2 3，L ，pn1 n ，pn 1 ．
解： Dn (1) a12a23 L a a (n1)n n1 (1) (23n1) n! (1)n1 n! ． 定理 1 n 阶行列式也可定义为
D
(1) a a p11 p2 2 L apnn ，
( p1 p2 pn )
线性代数
第1章 行列式
1.1 排列 1.2 行列式的概念 1.3 行列式的性质及其运用 1.4 行列式的展开 1.5 克莱姆法则 1.6 应用实例——行列式在解析几何中的应用
1.1 排列
定义1
由正整数组成1,2,3,…,n的一个没用重复数字的n元有序数组，称为一个 n级排列，简称排列，记作i1i2…in。
称为三阶行列式，记为 D 。
1.2.2 三阶行列式
计算
三阶行列式可通过对角线法则进行计算，如图 1-1 所示．实线连接的三个元素之积取正， 虚线连接的三个元素之积取负。
图 1-1
1.2.2 三阶行列式
计算
a11 a12 a13
b1 a12 a13
a11 b1 a13
若令 D a21 a22 a23 ， D1 b2 a22 a23 ， D2 a21 b2 a23 ，
n个不同元素的所有不同排列的个数，称为排列数。 将数字按从小到大顺序排列构成的n级排列1234…n，称为一个标准排 列或自然排列。
n级排列的排列数为n！
定义2
在一个n级排列i1i2…it…is…in中，如果有较大的数it排在较小的数is的前 面（it>is），则称与构成一个逆序。一个n级排列中逆序的总数，称为这个
解方程 x2 5x 6 0 ，得 x 2 或 x 3．
1.2.2 三阶行列式
例题
a b0
例 5 已知 b a 0 0 ，其中 a ，b 均为实数，则 a ，b 应满足什么条件？
1 01
a b0 解：若要 b a 0 a2 b2 0 ，则 a 与 b 必须同时等于零．
1 01
因此，当 a 0 且 b 0 时，行列式等于零． 结 论 ： 已 知 平 面 上 有 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2 ) ，C(x3 ，y3 ) 三 点 ， 若 这 三 点 共 线 ， 则
例1
求下列排列的逆序数． （1）6 3 7 2 4 5 8 1； （2）n(n-1)…321.
解：（1） (6 3 7 2 4 5 81) 0 1 0 3 2 2； 0 7 15
（2） [n (n 1) L 3 21] 0 1 2 L (n 2) (n 1) 1 n(n 1)
M
MM
1.3.1 行列式的性质
性质
性质 3 行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面，即
a11 a12 L MM kai1 kai2 L MM an1 an2 L
a1n
a11 a12 L
M
MM
kain k ai1 ai2 L
M
MM
ann
an1 an2 L
a1n M ain ． M
ann
235
2 12
解： D 4 3 1 2 3 5 11 2 2 (4) 3 2 3 2 1 (4) 5 2 31
235
10 ．
1.2.2 三阶行列式
例题
11 1
例 4 求解方程 2 3 x 0 ．
4 9 x2
解：方程左端的三阶行列式 D 3x2 4x 18 9x 2x2 12 x2 5x 6 ．
a31 a32 a33
b3 a32 a33
a31 b3 a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 ．当 D 0 时，方程组（1-5）的解可表示为
a31 a32 b3
x1
D1 D
， x2
D2 D
，
x3
D3 D
．
（1-7）
1.2.2 三阶行列式
例题
2 12
例 3 计算三阶行列式 D 4 3 1 ．
1.3 行列式的性质及其运用
1.3.1 行列式的性质
定义1
将行列式 D 的行列互换后得到的新行列式，称为行列式 D 的转置行列式，记作 D ，即
若
则 ．
a11 a12 L D a21 a22 L
MM an1 an2 L a11 a21 L DT a12 a22 L MM a1n a2n L
a1n a2n ， M ann an1 an2 M ann
1.2.2 三阶行列式
定义2
将 3 3 个数排成三行三列，并在左右两侧各加一条竖线，得到算式
a1 1 a 1 2 a 1 3 a2 1 a 2 2 a 2 3 a a 1a1 2 2a 3a3 a 12a 2a3 a3 1 a 1a3 a2 1 3 a2 a a1 3 2 a2 a3 1 a33 ，1 1 （2 13 -63）2 1 2 a31 a32 a33
．
式（1-2）是一般二元线性方程组的公式解。
（1-1） （ 1-2 ）
1.2.1 二阶行列式
定义1
将 2 2 个数排成两行两列，并在左右两侧各加一条竖线，得到算式
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21 ，
称为二阶行列式，记为 D 或 det(aij ) 。
其中数aij称为行列式的元素，元素aij的第 一个下标i称为行标，表示这个元素所在的行 数；第二个下标j称为列标，表示这个元素所 在的列数。
1 x1 1 x2 1 x3
y1 y2
1 0 ；若这三点不共线，则 S△ABC =行列式 1 1
2
x1 x2
y3
1 x3
y1 y2 的绝对值． y3
1.2.3 n阶行列式
定义3
将 n n 个数排成 n 行 n 列，并在左右两侧各加一条竖线，得到算式
a11 a12 L a21 a22 L MM an1 an2 L
的 n 阶行列式，称为对角行列式．
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除了以上三种特殊行列式外，还有以下对角行列式和三角行列式：
a1n
a2 ，n1
N
a1n
a11 a12 L a1n
a2 ，n1 a2n a21 a22 L N M M LL
an1
an1 an2 L
ann
an1
n ( n 1)
(1) 2 a1na2，n1 L an1 ，
当 n 1时，一阶行列式为 a11 a11 ，注意不要将其与绝对值概念混淆．
1.2.3 n阶行列式
例题
例 6 在五阶行列式中，a12a23a35a41a54 这一项应取什么符号？
解：这一项各元素的行标是按自然排列，而列标的排列为 2 3 5 1 4．因 (2 3 51 4) 4 ，
故该项取正号．
三个定理
定理1 任一排列经过一次对换后，排列的奇偶性会发生改变。
三
个 定 理
定理2 在所有的n级排列中（n…2），奇排列与偶排列的个数相等， 各为 n! 个。
2
定理3 任一n级排列i1i2…in都可以通过一系列对换调成自然排列 12…n，且奇排列调成自然排列的对换次数为奇数，偶排列调成自 然排列的对换次数为偶数。
1.2.3 n阶行列式
例题
ab 0 0
例 7 计算四阶行列式 D c d 0 0 ． xye f
uvgh
分析：按行列式的定义，它应有 4! 24 项．但只有 adeh，adfg，bceh，bcfg 这四项不为
零．与这四项相对应列标的排列分别为 1 2 3 4，1 2 4 3，2 1 3 4 和 2 1 4 3，它们的逆序数分
注：行列式 D 也是行列式 D 的转置行列式，即行列式 D
与行列式 DT 行列式．
1.3.1 行列式的性质
性质
性质1 行列D与它的转置行列式DT的值相等。
性质2 交换行列式的两行（列），行列式变号。
推论1 如果行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式的值等于 零。 推论2 如果行列式中有两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等 于零。
其中
是对所有 n 级排列 p1 L pn 求和， ( p1 L pn ) ．
( p1 p2 pn )
（1-9）
1.2.4 特殊行列式
定义4
（1）形如
a11 a12 L
0 D
a22 L
M MO
0 00
a1n
a2n M
a11a22 L ann
ann
的 n 阶行列式，称为上三角行列式，其主对角线以下的元素全为 0．
排列的逆序数，记作 (i1i2…in)。
逆序数的求法：设在一个n级排列i1i2…in中，所有比it（t=1,2, …,n） 大且排在it前面的数共有ti个，则it的逆序数个数为ti。该排列中所有自然 数的逆序数个数之和就是这个排列的逆序数，即
n
(i1 i2 L in ) t1 t2 L tn ti i 1