雅安市2017-2018年上期高二上册理科数学(理科)试卷+答卷+参答(最好)
四川省雅安市高二上学期期中数学试卷(理科)
四川省雅安市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二上·寿光月考) 已知数列的前n项和为，且，则数列的通项公式为A .B .C .D .2. （2分）(2018·北京) 在平面坐标系中， , , , 是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以Ox为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是（）A .B .C .D .3. （2分）已知等比数列的前三项依次为,则（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高二上·绍兴期末) 在中， , 是的平分线，且 ,则的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高三上·湖南月考) 已知，实数满足约束条件，且的最小值为，则的值为（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高一下·余姚月考) 在中，已知，，则A=（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·宝清模拟) 设△AnBnCn的三边长分别为an ， bn ， cn ，△AnBnCn的面积为Sn ， n=1，2，3…若b1＞c1 ， b1+c1=2a1 ， an+1=an ，，，则（）A . {Sn}为递减数列B . {Sn}为递增数列C . {S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D . {S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列8. （2分）若是R上的减函数，且的图象过点和，则不等式的解集是（）A .B .C .D .9. （2分）(2019·天津模拟) 若满足约束条件，则的最大值是（）A . 1B .C . 4D . 210. （2分） (2020高二下·阳春月考) 设，，若是与的等比中项，则最小值为（）A . 4B . 3C . 1D .11. （2分） (2015高三上·孟津期末) 已知等比数列{an}的公比为4，且a1+a2=20，设bn=log2an ，则b2+b4+b6+…+b2n等于（）A . n2+nB . 2n2+nC . 2（n2+n）D . 4（n2+n）12. （2分）(2017·石嘴山模拟) 已知f（x）=loga（x﹣1）+1（a＞0且a≠1）恒过定点M，且点M在直线（m＞0，n＞0）上，则m+n的最小值为（）A .B . 8C .D . 4二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）在等比数列{an}中，an＞0，若a1a5=16，a4=8，则a5=________．14. （2分）(2019·浙江模拟) 在中，角的对边分别为，，，，则 ________， ________．15. （1分）若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为________16. （1分） (2020高一下·成都期末) 若实数，满足条件则的最小值为________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2016高三上·武邑期中) 已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且=1．（1）求角A；（2）若a=4 ，求b+c的取值范围．18. （10分） (2020高二上·安徽月考) 的内角 , ，的对边分别为 , , ，已知．（1）求；（2）若是中点，且，求的面积．19. （10分） (2020高一下·应城期中) 已知为数列的前项和，且，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项 .20. （5分） (2017高一上·海淀期中) 已知{an}是等比数列，满足a2=6，a3=﹣18，数列{bn}满足b1=2，且{2bn+an}是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和．21. （5分） (2017高二下·济南期末) 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y= x3﹣ x+8（0＜x≤120）已知甲、乙两地相距100千米．（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？22. （15分） (2015高三上·上海期中) 对于数列{an}，若an+2﹣an=d（d是与n无关的常数，n∈N*），则称数列{an}叫做“弱等差数列”，已知数列{an}满足：a1=t，a2=s且an+an+1=an+b对于n∈N*恒成立，（其中t，s，a，b都是常数）．（1）求证：数列{an}是“弱等差数列”，并求出数列{an}的通项公式；（2）当t=1，s=3时，若数列{an}是等差数列，求出a、b的值，并求出{an}的前n项和Sn；（3）若s＞t，且数列{an}是单调递增数列，求a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共55分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、答案：22-3、考点：解析：。
四川省雅安市2017-2018届高考三诊数学试题(理)含答案
4 25
B．
4 i 25
12.在直角梯形 ABCD ， AB AD ， DC / / AB ， AD DC 1 ， AB 2 ， E ， F 分别为
AB ， BC 的中点，点 P 在以 A 为圆心， AD 为半径的圆弧 DEM 上变动（如图所示）.若 AP ED AF ，其中 , R ，则 2 的取值范围是（ ）
1 ， 若 b c 2a ， 2
期期间进行广泛的阅读，开学后老师对全年级学生的阅读量进行了问卷调查，得到了如图所 示的频率分布直方图（部分已被损毁） ，统计人员记得根据频率直方图计算出学生的平均阅读 量为 8.3 万字.根据阅读量分组按分层抽样的方法从全年级 500 人中抽出 20 人来作进一步调 查.
A． [ 2,1]
B． [ 2, 2]
C． [
1 1 , ] 2 2
D． [
2 2 , ] 2 2
二、填空题（本大题每题 5 分，共 20 分，将答案填在答题纸上） 13.函数 f ( x )
3 sin(2 x ) 的图象在区间 (0, ) 上的对称轴方程为 3 2
．
14.已知数列 {an } 是等差数列，数列 {bn } 是等比数列，满足： a1000 a1018 2 ， b6b2012 2 ， 则 tan
n n 2
1 x
2017-2018学年四川省雅安中学高二上学期数学期中试卷带解析(理科)
2017-2018学年四川省雅安中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）双曲线的焦点坐标为（）A．（，0）B．（0，）C．（，0）D．（0，）2．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上点M（1，m）到其焦点的距离为3，则该抛物线的准线方程为（）A．x=4 B．x=2 C．x=﹣1 D．x=﹣23．（5分）执行图所示程序后输出的结果是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．24．（5分）根据此程序框图输出S的值为，则判断框内应填入的是（）A．i≤8？B．i≤6？C．i≥8？D．i≥6？5．（5分）椭圆3x2+ky2=1的一个焦点的坐标为（0，1），则其离心率为（）A．2 B．C．D．6．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2﹣6x﹣7=0相切，则p的值为（）A．B．1 C．2 D．47．（5分）不论k为何值，直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，7） C．[1，7） D．（1，7]8．（5分）直线l1：kx﹣y﹣3=0和l2：x+（2k+3）y﹣2=0互相垂直，则k=（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣或﹣1 D．或19．（5分）若关于x的方程=x+m有两个不同实根，则实数m的取值范围是（）A．（2，2）B．[）C．（）D．（]10．（5分）椭圆=1上存在n个不同的点P1，P2，…，P n，椭圆的右焦点为F．数列{|P n F|}是公差大于的等差数列，则n的最大值是（）A．16 B．15 C．14 D．1311．（5分）直线l经过点P（2，3），且与两坐标轴的正半轴交于A，B两点，则△OAB（O为坐标原点）面积的最小值为（）A．B．25 C．12 D．2412．（5分）如图，已知A（﹣2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD满足|AB|=2|CD|，E为AC上一点，且．又以A、B为焦点的双曲线过C、D、E三点．若，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）斜率为1的直线l被圆x2+y2=4x截得的弦长为4，则l的方程为．14．（5分）执行如图所示的框图，输出值x=．15．（5分）已知{（x，y）|（m+3）x+y=3m﹣4}∩{（x，y）|7x+（5﹣m）y﹣8=0}=∅，则直线（m+3）x+y=3m+4与坐标轴围成的三角形面积是．16．（5分）已知椭圆C：=1，设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆C交于不同两点A、B，且|AB|=3．若点P（x0，2）满足||=||，则x0=．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）直线l经过点A（﹣2，3）且与直线l0：x+2y﹣3=0平行，求直线l的方程；（2）已知直线m的方程为（a+1）x+ay﹣3a=0（a∈R），求坐标原点O到m的距离的最大值．18．（12分）F1、F2分别为等轴双曲线C的左、右焦点，且f2到双曲线C的一条渐近线的距离为1，（1）求双曲线C的标准方程；（2）P是双曲线C上一点，若•=0，求△PF1F2的面积．19．（12分）已知圆C圆心在直线3x﹣y=0上，且经过点A（2，﹣3），B（﹣1，0）（1）求圆C的标准方程；（2）若点P（x，y）在圆C上，求的取值范围．20．（12分）已知动点P（x，y）到点F（1，0）的距离比到直线x=﹣3的距离小2，（1）求动点P（x，y）的轨迹方程；（2）若直线l过点M（m，0）（m＞0）且与P的轨迹交于A，B两点，则是否存在常数m使得=5恒成立？若存在，求出常数m，不存在，说明理由．21．（12分）已知椭圆C与曲线x2﹣=1有相同的焦点，且过直线x+y﹣6=0上一点M（1）当椭圆C长轴最短时，求其标准方程；（2）过点P（1，2）的直线与（1）中椭圆C交于A、B两点，若P恰好是AB 的中点，求直线AB的方程．22．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）上的任一点到焦点的距离最大值为3，离心率为，（1）求椭圆C的标准方程；（2）若P，Q为曲线C上两点，O为坐标原点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2且k1k2=﹣，求直线PQ被圆O：x2+y2=3截得弦长的最大值及此时直线PQ的方程．2017-2018学年四川省雅安中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）双曲线的焦点坐标为（）A．（，0）B．（0，）C．（，0）D．（0，）【解答】解：∵双曲线的方程为，∴a2=4，b2=1，可得c==由此可得双曲线的焦点坐标为（±，0）故选：C．2．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上点M（1，m）到其焦点的距离为3，则该抛物线的准线方程为（）A．x=4 B．x=2 C．x=﹣1 D．x=﹣2【解答】解：∵抛物线方程为y2=2px，过M（1，m），则p＞0，∴抛物线焦点为F（，0），准线方程为x=﹣，又∵点M（1，m）到其焦点的距离为3，∴p＞0，根据抛物线的定义，得1+=3，∴p=4，∴准线方程为x=﹣2．故选：D．3．（5分）执行图所示程序后输出的结果是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：模拟程序的运行，可得n=5，s=0满足条件s＜15，执行循环体，s=5，n=4满足条件s＜15，执行循环体，s=9，n=3满足条件s＜15，执行循环体，s=12，n=2满足条件s＜15，执行循环体，s=14，n=1满足条件s＜15，执行循环体，s=15，n=0此时，不满足条件s＜15，退出循环，输出s的值为0．故选：B．4．（5分）根据此程序框图输出S的值为，则判断框内应填入的是（）A．i≤8？B．i≤6？C．i≥8？D．i≥6？【解答】解：模拟程序的运行，可得i=2，S=0满足条件，执行循环体，S=，i=4满足条件，执行循环体，S=+，i=6满足条件，执行循环体，S=++=，i=8由题意，此时，应该不满足条件，退出循环，输出S的值为．结合选项，可得判断框内应填入的是：i≤6．故选：B．5．（5分）椭圆3x2+ky2=1的一个焦点的坐标为（0，1），则其离心率为（）A．2 B．C．D．【解答】解：由题意，b2=，a2=∴c2=﹣=1，∴k=∴e2=k=∴e=故选：D．6．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2﹣6x﹣7=0相切，则p的值为（）A．B．1 C．2 D．4【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为，因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，所以故选：C．7．（5分）不论k为何值，直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，7） C．[1，7） D．（1，7]【解答】解：把直线y=kx+1代入椭圆+=1化为（m+7k2）x2+14kx+7﹣7m=0（m≠7，m＞0）．∵直线y=kx+1与椭圆+=1有公共点，∴m+7k2≠0，△=（14k）2﹣4（m+7k2）（7﹣7m）≥0恒成立．化为1﹣m≤7k2．上式对于任意实数k都成立，∴1﹣m≤0，解得m≥1．焦点在x轴上的椭圆+=1，m＜7．∴实数m的范围是[1，7）．故选：C．8．（5分）直线l1：kx﹣y﹣3=0和l2：x+（2k+3）y﹣2=0互相垂直，则k=（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣或﹣1 D．或1【解答】解：∵直线l1：kx﹣y﹣3=0和l2：x+（2k+3）y﹣2=0互相垂直∴k﹣（2k+3）=0∴k=﹣3故选：A．9．（5分）若关于x的方程=x+m有两个不同实根，则实数m的取值范围是（）A．（2，2）B．[）C．（）D．（]【解答】解：分别作出函数y=，y=x+m的图象．可知：直线y=x+m经过点A（﹣2，0），B（0，2）时，与半圆y=相交于两点，m=2．当直线与半圆相切时，可得=2，m＞0，解得m=2．因此当时，直线与半圆有且只有两个交点．即关于x的方程=x+m有两个不同实根．故选：B．10．（5分）椭圆=1上存在n个不同的点P1，P2，…，P n，椭圆的右焦点为F．数列{|P n F|}是公差大于的等差数列，则n的最大值是（）A．16 B．15 C．14 D．13【解答】解：∵（|P n F|）min≥|a﹣c|=，（|P n F|）max≤a+c=3，||P n F|=|P1F|+（n﹣1）d∵数列{|P n F|}是公差d大于的等差数列，∴d=＞，解得n＜10+1，则n的最大值为15故选：B．11．（5分）直线l经过点P（2，3），且与两坐标轴的正半轴交于A，B两点，则△OAB（O为坐标原点）面积的最小值为（）A．B．25 C．12 D．24【解答】解：∵过A、B两点的直线方程l为+=1（a＞0，b＞0）；且点P在直线AB上，∴+=1；△AOB的面积为S=ab，∵+=1，∴2≤+=1，∴ab≥24，当且仅当=，即a=4、b=6时取“=”；∴a=4，b=6时，△AOB的面积取得最小值S=12，故选：C．12．（5分）如图，已知A（﹣2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD满足|AB|=2|CD|，E为AC上一点，且．又以A、B为焦点的双曲线过C、D、E三点．若，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，以AB的垂直平分线为γ轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOγ，则CD⊥γ轴．因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于γ轴对称，设c为双曲线的半焦距（c=2），依题意，记，h是梯形的高，由定比分点坐标公式得，．设双曲线的方程为，则离心率，由点C、E在双曲线上，将点C、E坐标和代入双曲线的方程，得，①．②由①式得，③将③式代入②式，整理得，故由题设得，，解得，所以，双曲线的离心率的取值范围为[]．故选：A．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）斜率为1的直线l被圆x2+y2=4x截得的弦长为4，则l的方程为y=x ﹣2．【解答】解：由题意设直线方程是y=x+b，则由，得：2x2+（2b﹣4）x+b2=0，故x1+x2=2﹣b，x1x2=，故弦长为•=4，即•=4，故（b+2）2=0，解得：b=﹣2，故直线方程是：y=x﹣2，故答案为：y=x﹣2．14．（5分）执行如图所示的框图，输出值x=12．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；x=1是奇数，则x+1=2是偶数，x+2=4，4+1=5是奇数，则5+1=6，6+2=8，8+1=9是奇数，9+1=10，10+2=12＞8；输出x=12．故答案为：12．15．（5分）已知{（x，y）|（m+3）x+y=3m﹣4}∩{（x，y）|7x+（5﹣m）y﹣8=0}=∅，则直线（m+3）x+y=3m+4与坐标轴围成的三角形面积是50．【解答】解：由题意得：直线（m+3）x+y=3m﹣4与直线7x+（5﹣m）y﹣8=0平行，∴斜率相等，∴﹣（m+3）=﹣，∴m=4，或m=﹣2，由于m=4时两直线重合，故m=﹣2，∴直线（m+3）x+y=3m﹣4即x+y=﹣10，它们与坐标轴围成的三角形面积是：50．故答案为50．16．（5分）已知椭圆C：=1，设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆C交于不同两点A、B，且|AB|=3．若点P（x 0，2）满足||=||，则x0=﹣1或﹣3；．【解答】解：设A（（x1，y1），B（x2，y2）由得4x2+6mx+3m2﹣12=0．，|AB|=，解得m=±2，当m=2时，AB的中点M（﹣）则有，得x0=﹣3，同理可得当m=﹣2时，得x0=﹣1故答案为：﹣1或﹣3；三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）直线l经过点A（﹣2，3）且与直线l0：x+2y﹣3=0平行，求直线l的方程；（2）已知直线m的方程为（a+1）x+ay﹣3a=0（a∈R），求坐标原点O到m的距离的最大值．【解答】解：（1）设与直线l0：x+2y﹣3=0平行的直线l的方程为：x+2y+m=0，把点A（﹣2，3）代入可得：﹣2+6+m=0，解得m=﹣4．可得直线l的方程为：x+2y﹣4=0．（2）直线m的方程为（a+1）x+ay﹣3a=0（a∈R），化为：a（x+y﹣3）+x=0，令，可得．可得直线m恒过定点B（0，3），故原点O到直线m的距离d≤|OB|=3，∴O到直线m的距离的最大值为3．18．（12分）F1、F2分别为等轴双曲线C的左、右焦点，且f2到双曲线C的一条渐近线的距离为1，（1）求双曲线C的标准方程；（2）P是双曲线C上一点，若•=0，求△PF1F2的面积．【解答】解：（1）由题意可设双曲线的方程为x2﹣y2=a2，F2（a，0）到一条渐近线：y=x的距离为=1，即a=1，则双曲线C的标准方程为x2﹣y2=1；（2）P是双曲线C上一点，若•=0，可得PF1⊥PF2，设|PF1|=m，|PF2|=n，由双曲线的定义可得|m﹣n|=2a=2，①又m2+n2=8a2=8，②①2﹣②可得mn=2，则△PF1F2的面积为mn=1．19．（12分）已知圆C圆心在直线3x﹣y=0上，且经过点A（2，﹣3），B（﹣1，0）（1）求圆C的标准方程；（2）若点P（x，y）在圆C上，求的取值范围．【解答】解：（1）∵圆C圆心在直线3x﹣y=0上，且经过点A（2，﹣3），B（﹣1，0），设圆心C（a，b），∴，解得a=﹣1，b=﹣3．∴r==3，∴圆C的标准方程为：（x+1）2+（y+3）2=9．…（6分）．（2）∵点P（x，y）在圆C上，A（2，2），∴k AP=，当AP与切线AD重合时，取最小值，当AP与切线AB重合时，k AP=取最大值，设过A（2，2）的圆C的切线为y﹣2=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+2=0，圆心C（﹣1，﹣3）到切线的距离d==3，解得k=，∴k AD=，切线AB⊥x轴，∴的取值范围：[，+∞）．…（12分）．20．（12分）已知动点P（x，y）到点F（1，0）的距离比到直线x=﹣3的距离小2，（1）求动点P（x，y）的轨迹方程；（2）若直线l过点M（m，0）（m＞0）且与P的轨迹交于A，B两点，则是否存在常数m使得=5恒成立？若存在，求出常数m，不存在，说明理由．【解答】解：（1）根据题意，点M到点F（1，0）的距离比它到直线x=﹣3的距离小1，即点M到点F（1，0）的距离与其到直线x=﹣1的距离相等，则点M的轨迹为抛物线，且其焦点为F（1，0），准线为x=﹣1，则其轨迹方程为y2=4x；（2）设直线l方程为：x=ky+m，代入P（x，y）的轨迹方程可得：y2﹣4my﹣4=0，其中△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1•y2=﹣4m，x1•x2=m2，由=5知x1x2+y1y2=m2﹣4m=5，∴m=5（舍去负值），故存在常数m=5使得=5恒成立．21．（12分）已知椭圆C与曲线x2﹣=1有相同的焦点，且过直线x+y﹣6=0上一点M（1）当椭圆C长轴最短时，求其标准方程；（2）过点P（1，2）的直线与（1）中椭圆C交于A、B两点，若P恰好是AB 的中点，求直线AB的方程．【解答】解：（1）曲线x2﹣=1的焦点为（﹣2，0），（2，0），设椭圆方程为：+=1（a＞b＞0），求得其焦点为：F1（﹣2，0），F2（2，0），设F2（2，0）关于x+y﹣6=0的对称点F2'（m，n），由，解得m=6，n=4，即有F2'（6，4），则2a=|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MF2'|≥|F1F2'|==4，可得椭圆C长轴最短时a=2，b===4，则椭圆C的标准方程为+=1；（2）由P（1，2），+＜1，可得P在椭圆内，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得+=1，+=1，相减可得+=0，由题意可得x1+x2=2，y1+y2=4，即有k AB==﹣=﹣=﹣，则直线AB的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即为2x+5y﹣12=0．22．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）上的任一点到焦点的距离最大值为3，离心率为，（1）求椭圆C的标准方程；（2）若P，Q为曲线C上两点，O为坐标原点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2且k1k2=﹣，求直线PQ被圆O：x2+y2=3截得弦长的最大值及此时直线PQ的方程．【解答】解：（1）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）上的任一点到焦点的距离最大值为3，离心率为，∴，解得a=2，c=1，b=，∴椭圆C的方程为：．…（2分）（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ与圆O：x2+y2=3的交点为M，N．①当直线PQ⊥x轴时，Q（x1，﹣y1），由，得或，此时|MN|=2=2．…（4分）②当直线PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为y=kx+m，联立，消y得：（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=48（4k2﹣m2+3），，，…（6分）∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2•+km•+m2=，由k1k2=，得==﹣，整理，得：，此时．圆O：x2+y2=3的圆心到直线PQ的距离为d=，…（8分）∴|MN|=2，∴|MN|2=4（3﹣）=4（3﹣）=4[3﹣]=4+，所以当k=0，m=时，|MN|最大，最大值为，综合①②知，直线PQ被圆O：x2+y2=3截得弦长的最大值为，此时，直线PQ的方程为y=．…（12分）。
四川省雅安市2018学年高二上学期期末数学试卷理科 含解析
2018-2018学年四川省雅安市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．直线x﹣2y﹣3=0在y轴上的截距是（）A．3 B．C．﹣ D．﹣32．在面积为S的△ABC的边AB含任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是（）A．B．C．D．3．过点（2，1）的直线中，被圆x2+y2﹣2x+4y=0截得的最长弦所在直线的方程是（）A．3x﹣y﹣5=0 B．3x+y﹣7=0 C．x+3y﹣5=0 D．x﹣3y+1=04．将960人随机编号为1，2，…，960，用系统抽样法从中抽取32人作调查，若分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，则应在编号落入的人中抽取的人数为（）A．15 B．10 C．9 D．75．与双曲线2x2﹣y2=3有相同渐近线，且过点P（1，2）的双曲线的方程为（）A．2x2﹣=1 B．﹣x2=1 C．x2﹣=1 D．﹣=16．已知直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8平行，则实数m的值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．﹣1或﹣7 D．7．若点P为椭圆C： +=1上的动点，G点满足=2（O是坐标原点），则G的轨迹方程为（）A． +=1 B． +y2=1C． +3y2=1 D．x2+=18．在平面内，一只蚂蚁从点A（﹣2，﹣3）出发，爬到y轴后又爬到圆（x+3）2+（y﹣2）2=2上，则它爬到的最短路程是（）A．5 B．4 C． D．﹣9．设点P（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则x+y的最大值为（）A．3 B．﹣3 C．4 D．10．已知点A（﹣1，1），B（2，﹣2），若直线l：x+my+m=0与线段AB（含端点）相交，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，]∪C．（﹣∞，﹣2]∪11．过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线，切点分别为A，B，若∠AOB=120°（O是坐标原点），则双曲线C的离心率为（）A．2 B．3 C．D．12．已知椭圆C： +y2=1的左顶点为A，右顶点为B，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AP，BP与直线y=3分别交于G，H两点，则线段GH的长度的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x值是．14．若直线l经过坐标原点，且定点A（1，0），B（0，1）到l的距离相等，则直线l的方程为．15．若某市6所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示如图，其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的方差是．16．椭圆+=1的左焦点为F1，对定点M（6，4），若P为椭圆上一点，则|PF1|+|PM|的最大值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）我市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是，样本数据分组为（Ⅰ）求直方图中x的值（Ⅱ）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若全市共有企业1300个，试估计全市有多少企业可以申请政策优惠．18．（12分）已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线x﹣y+4=0的交点P，且垂直于直线x ﹣2y﹣1=0（Ⅰ）求直线l的方程（Ⅱ）直线l与曲线y2+2x=0交于A，B两点，求|AB|19．（12分）调查某高中1000名学生的肥胖情况，得如表：已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15（Ⅰ）求x的值（Ⅱ）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取100名，问应在肥胖学生中抽多少名？（Ⅲ）已知y≥194，z≥193，求肥胖学生中男生不少于女生的概率．20．（12分）已知圆C关于y轴对称，经过抛物线y2=4x的焦点，且被直线y=x分成两段弧长之比为1：2（Ⅰ）求圆C的方程（Ⅱ）若圆C的圆心在x轴下方，过点P（﹣1，2）作直线l与圆C相切，求直线l的方程．21．（12分）平面内动点P（x，y）与两定点A（﹣2，0），b（2，0）连线的斜率之积等于﹣，若点P的轨迹为曲线E，过点Q（﹣1，0）作斜率不为零的直线CD交曲线E于点C，D（1）求曲线E的方程；（2）求证：AC⊥AD．22．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点．（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；（ii）当点A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．2018-2018学年四川省雅安市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．直线x﹣2y﹣3=0在y轴上的截距是（）A．3 B．C．﹣D．﹣3【考点】直线的截距式方程．【分析】通过x=0求出y的值，即可得到结果．【解答】解：直线x﹣2y﹣3=0，当x=0时，y=﹣，直线2x+y+3=0在y轴上的截距为：﹣3．故选：C．【点评】本题考查直线方程的应用，直线的截距的求法，基础题．2．在面积为S的△ABC的边AB含任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】首先分析题目求在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于等于的概率，可借助于画图求解的方法，然后根据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度量是什么．再根据几何关系求解出它们的比例即可．【解答】解：记事件A={△PBC的面积大于等于的概率}，基本事件空间是线段AB的长度，（如图）因为S△PBC≥的，则有；化简记得到：，因为PE平行AD则由三角形的相似性所以，事件A的几何度量为线段AP的长度，因为AP=AB，所以P（A）==．故△PBC的面积大于等于的概率的概率为．故选C．【点评】解决有关几何概型的问题的关键是认清基本事件空间是指面积还是长度或体积，并且熟练记忆有关的概率公式．3．过点（2，1）的直线中，被圆x2+y2﹣2x+4y=0截得的最长弦所在直线的方程是（）A．3x﹣y﹣5=0 B．3x+y﹣7=0 C．x+3y﹣5=0 D．x﹣3y+1=0【考点】直线与圆相交的性质．【分析】确定圆心坐标，可得过（2，1）的直径的斜率，即可求出被圆x2+y2﹣2x+4y=0截得的最长弦所在直线的方程．【解答】解：xx2+y2﹣2x+4y=0的圆心坐标为（1，﹣2）故过（2，1）的直径的斜率为k=3，因此被圆x2+y2﹣2x+4y=0截得的最长弦所在直线的方程是y﹣1=3（x﹣2），即为3x﹣y﹣5=0．故选：A．【点评】本题考查直线与圆相交的性质，考查学生的计算能力，比较基础．4．将960人随机编号为1，2，…，960，用系统抽样法从中抽取32人作调查，若分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，则应在编号落入的人中抽取的人数为（）A．15 B．10 C．9 D．7【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义先确定每组人数为960÷32=30人，即抽到号码的公差d=30，然后根据等差数列的公式即可得到结论．【解答】解：根据系统抽样的定义先确定每组人数为960÷32=30人，即抽到号码的公差d=30， ∵第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9， ∴等差数列的首项为9，则抽到号码数为a n =9+30（n ﹣1）=30n ﹣29， 由450≤30n ﹣29≤750， 得16≤n ≤25，即编号落入区间的人数为10人． 故选：B ．【点评】本题主要考查系统抽样的定义及应用，转化为等差数列是解决本题的关键．5．与双曲线2x 2﹣y 2=3有相同渐近线，且过点P （1，2）的双曲线的方程为（ ）A ．2x 2﹣=1 B ．﹣x 2=1 C ．x 2﹣=1 D ．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】依题意，设所求的双曲线的方程2x 2﹣y 2=3λ，将点P （1，2）的坐标代入，求得λ即可．【解答】解：依题意，设所求的双曲线的方程2x 2﹣y 2=3λ，将点P （1，2）的坐标代入可得2﹣4=3λ．解得λ=﹣，∴2x 2﹣y 2=﹣2，即﹣x 2=1，故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查待定系数法的应用，属于中档题．6．已知直线l 1：（3+m ）x+4y=5﹣3m ，l 2：2x+（5+m ）y=8平行，则实数m 的值为（ ）A ．﹣7B ．﹣1C ．﹣1或﹣7D ．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系． 【分析】直接利用两条直线平行的充要条件，求解即可．【解答】解：因为两条直线l 1：（3+m ）x+4y=5﹣3m ，l 2：2x+（5+m ）y=8，l 1与l 2平行．所以，解得m=﹣7．故选：A．【点评】本题考查直线方程的应用，直线的平行条件的应用，考查计算能力．7．若点P为椭圆C： +=1上的动点，G点满足=2（O是坐标原点），则G的轨迹方程为（）A． +=1 B． +y2=1C． +3y2=1 D．x2+=1【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P（x0，y0），G（x，y），则=（x﹣x0，y﹣y0），=（﹣x，﹣y），由=2，即可求得，代入椭圆C： +=1，即可求得G的轨迹方程．【解答】解：设P（x0，y0），G（x，y），由=（x﹣x0，y﹣y0），=（﹣x，﹣y），由=2，即，整理得：，由P在椭圆C： +=1，则，故选C．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查向量与圆锥曲线的应用，考查轨迹方程的求法，属于基础题．8．在平面内，一只蚂蚁从点A（﹣2，﹣3）出发，爬到y轴后又爬到圆（x+3）2+（y﹣2）2=2上，则它爬到的最短路程是（）A．5B．4C． D．﹣【考点】点与圆的位置关系．【分析】由已知求出圆心坐标和半径，它爬到的最短路程是过原点到圆心的连线的距离减去半径时，由两点间的距离公式计算即可得答案．【解答】解：由圆（x+3）2+（y﹣2）2=2，得圆心坐标（﹣3，2），半径为，它爬到的最短路程是过原点到圆心的连线的距离减去半径时，最短距离为|AC|﹣r==，故选：D．【点评】本题考查点与圆的位置关系，考查两点间的距离公式的应用，是基础题．9．设点P（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则x+y的最大值为（）A．3 B．﹣3 C．4 D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】将椭圆方程转化成标准方程，利用椭圆的参数方程，根据正弦函数的性质即可求得x+y的最大值．【解答】解：由椭圆4x2+y2=4，得，可设椭圆参数方程为，∴x+y=2sinθ+cosθ=sin（θ+φ），（tanφ=）．由正弦函数的性质可知：x+y的最大值为，故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，考查了椭圆参数方程的应用，考查三角函数的最值的求法，是中档题．10．已知点A（﹣1，1），B（2，﹣2），若直线l：x+my+m=0与线段AB（含端点）相交，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，]∪C．（﹣∞，﹣2]∪【考点】直线的斜率．【分析】利用斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性即可得出．【解答】解：直线l：x+my+m=0经过定点P（0，﹣1），k PA ==﹣2，k PB ==﹣．∵直线l ：x+my+m=0与线段AB （含端点）相交，∴k ≤﹣2，或k ≥﹣．故选：C ．【点评】本题考查了斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．过双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点作圆x 2+y 2=a 2的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠AOB=120°（O 是坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意可先求得∠AOF 利用OF 和OA ，在直角三角形中求得的值，进而可求得双曲线的离心率【解答】解：如图，由题知OA ⊥AF ，OB ⊥BF 且∠AOB=120°， ∴∠AOF=60°，又OA=a ， OF=c ，∴==cos60°=，∴e==2，故选：A【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的过程中采用了数形结合的思想，使问题的解决更直观．12．已知椭圆C： +y2=1的左顶点为A，右顶点为B，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AP，BP与直线y=3分别交于G，H两点，则线段GH的长度的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知设直线AP的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程由韦达定理定理求得P点坐标，即可求得直线PB的斜率为﹣．将直线PB的方程与y=3联立，即可H点坐标，求得|GH|，利用基本不等式的性质即可求得线段GH的长度的最小值．【解答】解：椭圆C： +y2=1的左顶点为A（﹣2，0），右顶点为B（2，0），直线AP的斜率k显然存在，且k＞0，故可设直线AP的方程为y=k（x+2），设P（x1，y1），从而 G（﹣2，3），由，整理得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0．由韦达定理可知：（﹣2）x1=．则x1=，从而y1=．即P（，），又B（2，0），则直线PB的斜率为﹣．由，得，∴H（﹣12k+2，3）．故|GH|=|﹣2+12k﹣2|=|+12k﹣4|．又k＞0， +12k≥2=12．当且仅当=12k，即k=时等号成立．∴当k=时，线段GH的长度取最小值8．故选：D．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x值是15 ．【考点】循环结构．【分析】由图知，每次进入循环体后，x的值被施加的运算是乘以2加上1，故由此运算规律进行计算，经过4次运算后输出的结果．【解答】解：由图知运算规则是对x=2x+1，故第一次进入循环体后x=2×1+1=3，n=2第二次进入循环体后x=2×3+1=7，n=3第三次进入循环体后x=2×7+1=15，n=4，不满足循环条件，退出循环故答案为：15．【点评】本题主要考查了循环结构，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．14．若直线l经过坐标原点，且定点A（1，0），B（0，1）到l的距离相等，则直线l的方程为y=±x ．【考点】点到直线的距离公式．【分析】直线斜率存在，可设直线l的方程为：y=kx，再利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：直线斜率存在，可设直线l的方程为：y=kx，∵定点A（1，0），B（0，1）到l的距离相等，∴=，解得k=±1．∴直线l的方程为：y=±x．故答案为：y=±x．【点评】本题考查了点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．若某市6所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示如图，其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的方差是．【考点】茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】根据题意，由茎叶图分析出所给的数据，根据数据先计算出数据的平均数，进而由方差公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，由茎叶图可得所给的数据为：87、91、93、92、90、93，其平均数==91，则其方差s2==，故答案为：．【点评】本题考查茎叶图的应用，涉及数据方差的计算，关键是由茎叶图读出数据．16．椭圆+=1的左焦点为F1，对定点M（6，4），若P为椭圆上一点，则|PF1|+|PM|的最大值为15 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆+=1可得：a2=25，b2=16，c=3．由|PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣|PF2|≤2a+|MF2|，当且仅当三点M、F2、P共线时取等号．【解答】解：由椭圆+=1焦点在x轴上，可得：a2=25，b2=16．∴a=5，b=4，c=3．∴F2（3，0），|MF2|=5．∴|PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣|PF2|≤2×5+|MF2|=15，当且仅当三点M、F2、P共线时取等号．故答案为：15．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、最大值问题的转化为三角形的三边关系，属于中档题三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2018秋•雅安期末）我市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是，样本数据分组为（Ⅰ）求直方图中x的值（Ⅱ）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若全市共有企业1300个，试估计全市有多少企业可以申请政策优惠．【考点】频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）根据频率和为1，列出方程求出x的值；（Ⅱ）计算缴税收不少于60万元的企业对应的频率与频数即可．【解答】解：（Ⅰ）根据频率和为1，得；20×（x+0.185+0.0185+0.018+0.018）=1，解得x=0.0125；（Ⅱ）可申请政策优惠企业的频率为20×0.018=0.12，且1300×0.12=156，故全市1300个企业中，估计有156个企业可申请政策优惠．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题目．18．（12分）（2018秋•雅安期末）已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线x﹣y+4=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0（Ⅰ）求直线l的方程（Ⅱ）直线l与曲线y2+2x=0交于A，B两点，求|AB|【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（Ⅰ）求出P的坐标，利用直线l垂直于直线x﹣2y﹣1=0求直线l的方程（Ⅱ）直线l与曲线y2+2x=0交于A，B两点，求出A，B的坐标，即可求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线x﹣y+4=0的交点P，可得P（﹣2，2），∵直线l垂直于直线x﹣2y﹣1=0，∴k l=﹣2，∴直线l的方程为2x+y+2=0；（Ⅱ）直线l与曲线y2+2x=0联立，可得y2﹣y﹣2=0，∴y=﹣1或2，∴A（﹣，﹣1），B（﹣2，2）∴|AB|==．【点评】本题考查直线方程，考查直线与直线，直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）（2018秋•雅安期末）调查某高中1000名学生的肥胖情况，得如表：已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15（Ⅰ）求x的值（Ⅱ）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取100名，问应在肥胖学生中抽多少名？（Ⅲ）已知y≥194，z≥193，求肥胖学生中男生不少于女生的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；简单随机抽样．【分析】（Ⅰ）由题意可知，由此能求出x的值．（Ⅱ）由题意知肥胖学生人数为y+z=400人，设应在肥胖学生中抽取m人，按比例列方程，能求出应在肥胖学生中抽多少名．（Ⅲ）由题意知y+z=400，y≥194，z≥193，利用列举法能求出肥胖学生中男生不少于女生的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，解得x=150（人）．（Ⅱ）由题意知肥胖学生人数为y+z=400（人），设应在肥胖学生中抽取m人，则，解得m=40（人）．∴应在肥胖学生中抽40名．（Ⅲ）由题意知y+z=400，y≥194，z≥193，满足条件的（y，z）有：（194，218），（195，218），（196，218），（197，218），（198，218），（199，201），（200，200），（201，199），（218，198），（218，197），（218，196），（218，195），（218，194），（218，193），共有14组，设事件A表示“肥胖学生中男生不少于女生”，即y≤z，y≤z包含听基本事件有：（194，218），（195，218），（196，218），（197，218），（198，218），（199，201），（200，200），共有7组，∴肥胖学生中男生不少于女生的概率P（A）=．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．20．（12分）（2018秋•雅安期末）已知圆C关于y轴对称，经过抛物线y2=4x的焦点，且被直线y=x分成两段弧长之比为1：2（Ⅰ）求圆C的方程（Ⅱ）若圆C的圆心在x轴下方，过点P（﹣1，2）作直线l与圆C相切，求直线l的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）根据题意设出圆的标准方程，圆c关于y轴对称，经过抛物线y2=4x的焦点，被直线y=x分成两段弧长之比为1：2，写出a，r的方程组，解方程组得到圆心和半径；（Ⅱ）圆C的方程为x2+（y+1）2=2．设直线l方程为y﹣2=k（x+1），利用过点P（﹣1，2）作直线l与圆C相切，建立方程，即可求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆C的方程为x2+（y﹣a）2=r2∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0）∴1+a2=r2 ①又直线y=x分圆的两段弧长之比为1：2，可知圆心到直线y=x的距离等于半径的；∴②解①、②得a=±1，r2=2∴所求圆的方程为x2+（y±1）2=2；（Ⅱ）圆C的方程为x2+（y+1）2=2．设直线l方程为y﹣2=k（x+1），即kx﹣y+k+2=0，则=，∴k=﹣1或7，∴直线l的方程为x+y﹣1=0或7x﹣y+9=0．【点评】本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）（2018秋•雅安期末）平面内动点P（x，y）与两定点A（﹣2，0），b（2，0）连线的斜率之积等于﹣，若点P的轨迹为曲线E，过点Q（﹣1，0）作斜率不为零的直线CD交曲线E于点C，D（1）求曲线E的方程；（2）求证：AC⊥AD．【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）设动点P坐标为（x，y），当x≠±2时，由条件得：=﹣，化简得曲线E的方程；（2）设CD方程与椭圆联立，利用数量积为0，证明AC⊥AD．【解答】（1）解：设动点P坐标为（x，y），当x≠±2时，由条件得：=﹣，化简得+=1，故曲线E的方程为： +=1（x≠±2）．（2）证明：CD斜率不为0，所以可设CD方程为my=x+1，与椭圆联立得：（m2+3）y2﹣2my﹣3=0，设C（x1，y1），D（x2，y2），所以y1+y2=，y1y2=﹣．（x1+2，y1）•（x2+2，y2）=（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+1=（m2+1）（﹣）+m•+1=0，所以AC⊥AD．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（12分）（2018•临沂二模）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点．（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；（ii）当点A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（I）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），由条件利用椭圆的性质求得b和a的值，可得椭圆C的方程．（Ⅱ）（i）设AB的方程为y=x+t，代入椭圆C的方程化简，由△＞0，求得t的范围，再利用利用韦达定理可得 x1+x2以及x1+x2的值．再求得P、Q的坐标，根据四边形APBQ的面积S=S△APQ+S△BPQ=•PQ•|x1﹣x2|，计算求得结果．（ii）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和等于零，PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），把它代入椭圆C的方程化简求得x2+2=．再把直线PB的方程椭圆C的方程化简求得x2+2 的值，可得 x1+x2以及x1﹣x2的值，从而求得AB的斜率K的值．【解答】解：设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点（0，），∴b=．再根据离心率===，求得a=2，∴椭圆C的方程为+=1．（Ⅱ）（i）设A（ x1，y1），B（ x2，y2），AB的方程为y=x+t，代入椭圆C的方程化简可得 x2+2tx+2t2﹣4=0，由△=4t2﹣4（2t2﹣4）＞0，求得﹣2＜t＜2．利用韦达定理可得 x1+x2=﹣2t，x1 •x2=2t2﹣4．在+=1中，令x=2求得P（2，1），Q（2，﹣1），∴四边形APBQ的面积S=S△APQ+S△BPQ=•PQ•|x1﹣x2|=×2×|x1﹣x2|=|x1﹣x2|===，故当t=0时，四边形APBQ的面积S取得最大值为4．（ii）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和等于零，设PA的斜率为k，则 PB的斜率为﹣k，PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），把它代入椭圆C的方程化简可得（1+4k2）x2+8k（1﹣2k）x+4（1﹣2k）2﹣8=0，∴x1+2=．同理可得直线PB的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2），x2+2=，∴x1+x2=，x1﹣x2=，∴AB的斜率K=====【点评】本题主要考查求圆锥曲线的标准方程，圆锥曲线的定义、性质的应用，直线和圆锥曲线相交的性质，直线的斜率公式、韦达定理的应用，属于难题．。
2017—2018学年度第一学期高二理科数学试卷含答案
2017—2018学年度第一学期期末考试高二理科数学试卷（答题时间：120分钟 满分：150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）每小题只有一个．．．．正确选项,请将正确选项填到答题卡处1。
设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<， {|13}B x x =<<，则A B = A ．{|13}x x -<< B ．{|11}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|23}x x <<2.已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线经过点(－1,1),则该抛物线的焦点坐标为A ．(－1，0)B ．（1,0）C ．（0，－1)D ．（0,1）3．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知等差数列｛a n }的公差为d （d ≠0）,且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为A ．12B ．8C ．6D ．45．执行如图所示的程序框图,若输入的n ＝10，则输出的S 等于A .错误!B .错误!C 。
错误!D .错误!6．某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为［20,40),[40,60)，［60,80），［80，100]．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是A ．45B ．50C ．55D ．607。
若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为A .318B 。
315C .3824+D 。
31624+8．已知a ＋b ＋c ＝0,｜a |＝2，|b |＝3，｜c ｜＝4，则向量a 与b 之间的夹角<a ,b 〉为A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对9．在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆,则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是A .错误!B 。
四川省雅安市高二上学期期中数学试卷(理科)
四川省雅安市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·台州期末) 直线的倾斜角为（）A .B .C .D .2. （2分）如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD 上任意两点,且EF的长为定值,则下面四个值中不为定值的是A . 点P到平面QEF的距离B . 直线PQ与平面PEF所成的角C . 三棱锥P-QEF的体积D . 二面角P-EF-Q的大小3. （2分）如图，是的斜二测直观图，斜边，则的面积是（）A .B . 1C .D . 24. （2分）(2017·北京) 设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ ”是• ＜0”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）已知是三个不同的平面，命题“，且是真命题，如果把中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个6. （2分）(2018·孝义模拟) 在四面体中，，，底面，为的重心，且直线与平面所成的角是，若该四面体的顶点均在球的表面上，则球的表面积是（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高一下·正定期末) 若圆上有且只有两个点到直线的距离等于，则半径的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）两平行直线kx+6y+2=0与4x﹣3y+4=0之间的距离为（）A .B .C . 1D .9. （2分）在正方体中，异面直线与所成的角为（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二上·秀山期中) 在空间中，下列说法正确的是（）A . 垂直于同一平面的两条直线平行B . 垂直于同一直线的两条直线平行C . 没有公共点的两条直线平行D . 平行于同一平面的两条直线平行11. （2分）过点（2,1）的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的弦最长的直线的方程是（）A . 3x－y－5＝0B . 3x＋y－7＝0C . 3x－y－1＝0D . 3x＋y－5＝012. （2分） (2016高一下·厦门期中) 以点（2，﹣1）为圆心且与直线3x﹣4y+5=0相切的圆的方程为（）A . （x﹣2）2+（y+1）2=3B . （x+2）2+（y﹣1）2=3C . （x﹣2）2+（y+1）2=9D . （x+2）2+（y﹣1）2=3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·赣州期末) △ABC中，已知A（﹣1，2），B（3，4），C（0，3），则AB边上的高CH所在直线的方程为________．14. （1分） (2017高二上·钦州港月考) 一个四棱锥的三视图如右图所示，主视图为等腰直角三角形，俯视图中的四边形为正方形，则该四棱锥外接球的体积为________．15. （1分）(2017·大理模拟) 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣6x+8=0，若直线y=2kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的取值范围是________．16. （1分） (2016高二上·平原期中) 已知△ABC为等腰直角三角形，斜边BC上的中线AD=2，将△ABC沿AD折成60°的二面角，连结BC，则三棱锥C﹣ABD的体积为________．三、解答题 (共6题；共40分)17. （5分）设地球的半径为R，在北纬45°纬线圈上有两点A、B，A在西经40°经线上，B在东经50°经线上，求A，B两点间纬线圈的劣弧长及A，B两点间球面距离．18. （10分） (2017高一下·保定期末) 已知直线l经过点M（﹣3，﹣3），且圆x2+y2+4y﹣21=0的圆心到l 的距离为．（1）求直线l被该圆所截得的弦长；（2）求直线l的方程．19. （5分）(2017·焦作模拟) 在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，点E，F分别在线段AA1、A1B1上，且AE= ，A1F= ，CE⊥EF．（Ⅰ）证明：平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．20. （10分）设Q、G分别为△ABC的外心和重心，已知A（﹣1，0），B（1，0），QG∥AB．（1）求点C的轨迹E．（2）轨迹E与y轴两个交点分别为A1，A2（A1位于A2下方）．动点M、N均在轨迹E上，且满足A1M⊥A1N，试问直线A1N和A2M交点P是否恒在某条定直线l上？若是，试求出l的方程；若不是，请说明理由．21. （5分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+cosθ）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l 的交点为Q，求线段PQ的长．22. （5分）(2017·宜宾模拟) 如甲图所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，将△ADE沿AE 折起到△D1AE位置，使平面D1AE⊥平面ABCE，得到乙图所示的四棱锥D1﹣ABCE．（Ⅰ）求证：BE⊥平面D1AE；（Ⅱ）求二面角A﹣D1E﹣C的余弦值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共40分)17-1、18-1、18-2、20-1、20-2、21-1、22-1、。
2017-2018学年四川省雅安市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年四川省雅安市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）某单位有职工52人，现将所有职工随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号，32号，45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是（）A．19B．20C．18D．212．（5分）双曲线＝1的渐近线方程是（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 3．（5分）点（1，1，1）关于z轴的对称点为（）A．（﹣1，﹣1，1）B．（1，﹣1，﹣1）C．（﹣1，1，﹣1）D．（﹣1，﹣1，﹣1）4．（5分）如图是某次比赛上七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，若去掉一个最高分和最低分，则所剩数据的平均数为（）A．84B．85C．86D．875．（5分）小吴一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（）A．1%B．2%C．3%D．5%6．（5分）阅读如图所示程序框图，运行相应的程序，输出s的值等于（）A．﹣3B．﹣10C．0D．﹣27．（5分）已知圆（x+2）2+y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N（2，0），线段AN 的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线8．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣9．（5分）在半径为2的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直该直径的弦，则弦长超过圆内接正三角形边长的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）点A是抛物线C1：y2＝2px（p＞0），与双曲线C2：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的一个交点，若点A到抛物线C1的焦点的距离为P，则双曲线C2的离心率等于（）A．B．C．D．11．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6＝0和直线l2：x＝﹣1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．2C．D．312．（5分）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88，若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的数字特征（众数、中位数、平均数、方差）对应相同的是．14．（5分）已知袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概为．15．（5分）不论k为何实数，直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）＝0恒通过一个定点，这个定点的坐标是．16．（5分）已知A（1，2），B（﹣1，2），动点P 满足，若双曲线＝1（a ＞0，b＞0）的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知圆C与直线l：4x﹣3y+6＝0相切于点A（3，6），且经过点B（5，2），求圆C的方程．18．（12分）已知抛物线C：y2＝4x与直线y＝2x﹣4交于A，B两点．（1）求弦AB的长度；（2）若点P在抛物线C上，且△ABP的面积为12，求点P的坐标．19．（12分）已知集合Z＝{（x，y）|x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]}．（1）若x，y∈Z，求x+y≥0的概率；（2）若x，y∈R，求x+y≥0的概率．20．（12分）某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示．（1）分别求出a，b，x，y的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．21．（12分）已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1、F2，离心率，P为椭圆E上的任意一点（不含长轴端点），且△PF1F2面积的最大值为1．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）已知直x﹣y+m＝0与椭圆E交于不同的两点A，B，且线AB的中点不在圆内，求m的取值范围．22．（12分）已知动圆M过定点P（0，m）（m＞0），且与定直线l1：y＝﹣m相切，动圆圆心M的轨迹方程为C，直线l2过点P交曲线C于A，B两点．（1）若l2交x轴于点S，求+的取值范围；（2）若l2的倾斜角为30°，在l1上是否存在点E使△ABE为正三角形？若能，求点E 的坐标；若不能，说明理由．2017-2018学年四川省雅安市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：设样本中还有一个职工的编号是x号，则用系统抽样抽出的四个职工的号码从小到大排列：6号、x号、32号、45号，它们构成等差数列，∴6+45＝x+32，x＝6+45﹣32＝19因此，另一学生编号为19．故选：A．2．【解答】解：双曲线的渐近线方程是，即．故选：C．3．【解答】解：点（1，1，1）关于z轴则竖坐标不变，横坐标和纵坐标相反，即对称点的坐标为（﹣1，﹣1，1）．故选：A．4．【解答】解：由已知的茎叶图可得七位评委为某参赛选手打出的分数为：79，84，84，86，84，87，93，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据的平均数＝＝85．故选：B．5．【解答】解：由图1所示，食品开支占总开支的30%，由图2所示，鸡蛋开支占食品开支的＝，∴鸡蛋开支占总开支的百分比为30%×＝3%．故选：C．6．【解答】解：由程序框图得，程序第一次运行k＝0+1＝1＜4，执行s＝2×1﹣1＝1；第二次运行k＝1+1＝2＜4，执行s＝2×1﹣2＝0；第三次运行k＝2+1＝3＜4，执行s＝2×0﹣3＝﹣3；第四次运行k＝3+1＝4，不满足条件k＜4，程序运行终止，输出s＝﹣3．故选：A．7．【解答】解：∵|P A|＝|PN|，∴|PM|+|PN|＝|PM|+|P A|＝|MA|＝6＞|MN|．故动点P的轨迹是椭圆．故选：B．8．【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3＝k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3＝0．∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2＝1相切，∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d＝＝1，化为24k2+50k+24＝0，∴k＝或﹣．故选：D．9．【解答】解：如图示：圆的半径为2，设圆心为O，AB为圆的一条直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为M，若CD为圆内接正三角形的一条边，则O到CD的距离为1，设EF为与CD平行且到圆心O距离为1的弦，交直径AB于点N，所以当过AB上的点且垂直于AB的弦的长度超过CD时，该点在线段MN上移动，所以所求概率P＝，故选：C．10．【解答】解：取双曲线的其中一条渐近线：y＝x，联立⇒；故A（，）．∵点A到抛物线C1的准线的距离为p，∴+＝p；∴＝．∴双曲线C2的离心率e＝＝＝．故选：A．11．【解答】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x＝﹣1的距离d2＝a2+1；P到直线l1：4x﹣3y+6＝0的距离d1＝则d1+d2＝a2+1＝当a＝时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故选：B．12．【解答】解：设P（m，n），＝（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）＝m2﹣c2+n2，∴m2+n2＝2c2，n2＝2c2﹣m2①．把P（m，n）代入椭圆得b2m2+a2n2＝a2b2②，把①代入②得m2＝≥0，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．又m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，故a2﹣2c2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：B样本数据是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的数字特征（众数、中位数、平均数、方差）对应相同的是方差．故答案为：方差．14．【解答】解：设5个球中白球有x个，则黑球有5﹣x个．则由题意可得1﹣＝，解得x＝3．故得到的都是白球得概率等于＝，故答案为．15．【解答】解：直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）＝0即k（2x﹣y﹣1）+（﹣x﹣3y+11）＝0，根据k的任意性可得，解得，∴不论k取什么实数时，直线（2k﹣1）x+（k+3）y﹣（k﹣11）＝0都经过一个定点（2，3）．故答案为：（2，3）．16．【解答】解：设P（x，y），由于点A（1，2）、B（﹣1，2），动点P满足，则（x﹣1，y﹣2）•（x+1）（y﹣2）＝0，即（x﹣1）（x+1）+（y﹣2）2＝0，即有x2+（y﹣2）2＝1，设双曲线﹣＝1的一条渐近线为y＝x，由于这条渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则d＝＞1，即有3a2＞b2，由于b2＝c2﹣a2，则c2＜4a2，即c＜2a，则e＝＜2，由于e＞1，则有1＜e＜2．故答案为：（1，2）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：设圆的圆心为C（a，b），半径为r，则圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2．∵直线l：4x﹣3y+6＝0相切于点A（3，6），∴点A（3，6）在圆上，且AC⊥l，可得（3﹣a）2+（6﹣b）2＝r2，①由直线l的斜率为，可得＝﹣1，②又∵点B（5，2）在圆上，可得（5﹣a）2+（2﹣b）2＝r2，③∴联立①②③，解得a＝5、b＝、r＝．因此所求圆的方程为（x﹣5）2+（y﹣）2＝．18．【解答】解：（1）∵抛物线C：y2＝4x与直线y＝2x﹣4交于A，B两点．把y＝2x﹣4代入抛物线C：y2＝4x，得y2﹣2y﹣8＝0，解得y1＝﹣2，y2＝4，∴A（1，﹣2），B（4，4），∴弦AB的长度|AB|＝＝3．（2）设P（，y），点P到直线AB的距离d＝，∵△ABP的面积为12，∴S△ABP＝＝＝12，解得|y2﹣2y﹣8|＝16，解得y＝﹣4或y＝6．∴P（4，﹣4）或P（9，6）．19．【解答】解：（1）设“x+y≥0，x，y∈Z”为事件A，x，y∈Z，x∈[0，2]，即x＝0，1，2；y∈[﹣1，1]，即y＝﹣1，0，1．则基本事件有：（0，﹣1），（0，0），（0，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），（2，1）共9个．其中满足“x+y≥0”的基本事件有8个，∴P（A）＝．故x，y∈Z，x+y≥0的概率为．（2）设“x+y≥0，x，y∈R”为事件B，∵x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]，则基本事件为如图四边形ABCD区域，事件B包括的区域为其中的阴影部分．基本事件如图四边形ABCD区域S＝4，事件B包括的区域如阴影部分S′＝S﹣＝∴P（B）＝＝．20．【解答】解：（1）第1组人数5÷0.5＝10，所以n＝10÷0.1＝100；第2组人数100×0.2＝20，所以a＝20×0.9＝18；第3组人数100×0.3＝30，所以x＝27÷30＝0.9；第4组人数100×0.25＝25，所以b＝25×0.36＝9；第5组人数100×0.15＝15，所以y＝3÷15＝0.2．（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9＝2：3：1，所以第2，3，4组每组应依次抽取2人，3人，1人．（3）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为b1，b2，b3，第4组的记为c，则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，c），（b3，c），其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），故所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为p＝．21．【解答】解：（Ⅰ）由，得，又a2＝b2+c2，且，联立解得：，c＝1．∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）联立，消去y整理得：3x2+4mx+2m2﹣2＝0．则△＝16m2﹣12（2m2﹣2）＝8（﹣m2+3）＞0，解得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，即AB的中点为（）．又AB的中点不在圆内，∴，解得：m≤﹣1或m≥1．综上可知，或1．22．【解答】解：（1）依题意，曲线C是以点P为焦点，直线l1为准线的抛物线，所以曲线C的方程为x2＝4my，设l2方程为y＝kx+m，代入x2＝4my由消去y得x2﹣4mkx﹣4m2＝0设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2＝4mk，x1x2＝﹣4m2，则+＝+＞2＝2＝2所以+的取值范围是（2，+∞）（2）解法一：由（1）知l2方程为y＝x+m代入x2＝4my，消去y得：x2﹣mx﹣4m2＝0，x1＝﹣m，x2＝2m，A（﹣m，），B（2m，3m），假设存在点E（x0，﹣m），使△ABE为正三角形，则|BE|＝|AB|且|AE|＝|AB|，∴|AB|＝y1+y2+2m＝m，即（﹣m﹣x0）2+（+m）2＝（m）2，（2m﹣x0）2+（3m+m）2＝（m）2，相减可得x0＝m，若E（m，﹣m），则AE|＝m≠AB（不符，舍去）因此，直线l上不存在点E，使得△ABE是正三角形．解法二：设AB的中点为G，则（m，m）由EG⊥AB，联立EG方程y﹣m＝﹣（x﹣m）与l1：y＝﹣m方程求得E（m，﹣m），由|EG|＝|AB|得m＝0，矛盾因此，直线l上不存在点E，使得△ABE是正三角形．。
2017-2018年高二上期末数学试卷(理科)含答案解析 (4)
2017-2018学年高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={0，l，3}，B={x|x2﹣3x=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，3}D．{0，1，3}2．（5分）“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）函数的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．6 D．74．（5分）已知双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．5．（5分）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则可能使l∥α的是（）A．B．C．D．6．（5分）A（，1）为抛物线x2=2py（p＞0）上一点，则A到其焦点F的距离为（）A．B．+C．2 D．+17．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是（）A．20 B．21 C．22 D．238．（5分）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．（5分）若，，则sin2α等于（）A．B．C．D．10．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．1 C．2 D．311．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．B．9πC．D．10π12．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g（f（x））=0有n个实数根，则m+n=（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b=1，则的最小值是．14．（5分）已知向量，，且⊥（+），则y的值为．15．（5分）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．16．（5分）椭圆上的任意一点P（短轴端点除外）与短轴上、下两个端点B1，B2的连线交x轴于点M和N，则|OM|+|ON|的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知p：函数y=x2﹣2x+a在区间（1，2）上有1个零点；q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1图象与x轴交于不同的两点．若“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）在数列{a n}中，a1=，a n+1=•a n，n∈N*．（1）求证：数列{}为等比数列；（2）求数列{a n }的前n 项和S n ．19．（12分）已知顶点在单位圆上的△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2acosA=ccosB +bcosC ． （1）cosA 的值；（2）若b 2+c 2=4，求△ABC 的面积．20．（12分）某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示．（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．21．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆E交于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．22．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={0，l，3}，B={x|x2﹣3x=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，3}D．{0，1，3}【解答】解：由B中方程变形得：x（x﹣3）=0，解得：x=0或x=3，即B={0，3}，∵A={0，1，3}，∴A∩B={0，3}，故选：C．2．（5分）“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2+2x﹣8＞0解得x＞2，或x＜﹣4．∴“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的充分不必要条件．故选：B．3．（5分）函数的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．6 D．7【解答】解：函数，其定义域为{x|3≤x≤4}，显然存在最大值是大于0的，则，当=0时，y取得最大值为1．故选：B．4．（5分）已知双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，∴设双曲线方程为，a＞0，∵是双曲线的一条渐近线，∴=，解得a2=4，∴双曲线方程为．故选D．5．（5分）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则可能使l∥α的是（）A．B．C．D．【解答】解：在A中，=﹣2，不可能使l∥α；在B中，=1+0+5=6，不可能使l∥α；在C中，=﹣1，不可能使l∥α；在D中，=0﹣3+3=0，有可能使l∥α．故选：D．6．（5分）A（，1）为抛物线x2=2py（p＞0）上一点，则A到其焦点F的距离为（）A．B．+C．2 D．+1【解答】解：把A（，1）代入抛物线方程得：2=2p，∴p=1．∴抛物线的焦点为F（0，）．∴抛物线的准线方程为y=﹣．∴A到准线的距离为1+=．∴AF=．故选：A．7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是（）A．20 B．21 C．22 D．23【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得k=0，S=0，满足条件S≤a，S=2×0+3=3，k=0+1=1满足条件S≤a，S=2×3+3=9，k=1+1=2满足条件S≤a，S=2×9+3=21，k=2+1=3由题意，此时，应该不满足条件21≤a，退出循环，输出k的值为3，从而结合选项可得输入的a的值为20．故选：A．8．（5分）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：由函数y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），且函数y=cos2（﹣x）=cos（﹣2x）=sin2x；为得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位长度．故选：D．9．（5分）若，，则sin2α等于（）A．B．C．D．【解答】解：若，，则cosα+sinα=2（cos2α﹣sin2α），即1=4（cosα﹣sinα），平方可得1=16（1﹣sin2α），∴sin2α=，故选：A．10．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．1 C．2 D．3【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得A（1，2），则k OA==2，即的最大值为2．故选：C．11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．B．9πC．D．10π【解答】解：由三视图可知几何体为圆柱与球的组合体．圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1．所以几何体的表面积为π×12+2π×1×3+++=9π．故选B．12．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g（f（x））=0有n个实数根，则m+n=（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：由图象可知，若f（g（x））=0，则g（x）=﹣1或g（x）=0或g（x）=1；由图2知，g（x）=﹣1时，x=﹣1或x=1；g（x）=0时，x的值有3个；g（x）=1时，x=2或x=﹣2；故m=7；若g（f（x））=0，则f（x）==﹣1.5或f（x）=1.5或f（x）=0；由图1知，f（x）=1.5与f（x）=﹣1.5无解；f（x）=0时，x=﹣1，x=1或x=0；故n=3；故m+n=10；故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b=1，则的最小值是4．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+b=1，则=（a+b）=2+≥2+2=4，当且仅当a=b=时取等号．∴的最小值是4．故答案为：4．14．（5分）已知向量，，且⊥（+），则y的值为12．【解答】解：+=（﹣2，y﹣1，5），∵⊥（+），∴•（+）=﹣4﹣（y﹣1）+15=0，则y=12．故答案为：12．15．（5分）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．【解答】解：∵圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0∴圆心C（1，1）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小圆心到直线的距离为d=3∴|PA|=|PB|=∴故答案为：16．（5分）椭圆上的任意一点P（短轴端点除外）与短轴上、下两个端点B1，B2的连线交x轴于点M和N，则|OM|+|ON|的最小值是2a．【解答】解：设P（x0，y0），⇒化为b2x02=a2（b2﹣y02）直线B1P的方程为：y=x+b，可得M（，0）；直线B2P的方程为：y=x﹣b，可得N（，0）．则|OM|•|ON|==（定值）则|OM|+|ON|≥2=2a．故答案为：2a．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知p：函数y=x2﹣2x+a在区间（1，2）上有1个零点；q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1图象与x轴交于不同的两点．若“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：对于p：设f（x）=x2﹣2x+a．该二次函数图象开向上，对称轴为直线x=1，所以，所以0＜a＜1；对于q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，所以（2a﹣3）2﹣4＞0，即4a2﹣12a+5＞0，解得或．因为“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，所以p，q一真一假．①当p真q假时，有，所以；②当p假q真时，有，所以或a≤0．所以实数a的取值范围是．18．（12分）在数列{a n}中，a1=，a n+1=•a n，n∈N*．（1）求证：数列{}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．=a n知=•，【解答】解（1）证明：由a n+1∴{}是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（1）知{}是首项为，公比为的等比数列，∴=（）n，∴a n=，∴S n=++…+，①则S n=++…+，②①﹣②得S n=+++…+﹣=1﹣，∴S n=2﹣．19．（12分）已知顶点在单位圆上的△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2acosA=ccosB+bcosC．（1）cosA的值；（2）若b2+c2=4，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵2acosA=ccosB+bcosC，由正弦定理得：2sinA•cosA=sinCcosB+sinBcosC⇒2sinA•cosA=sin（B+C）=sinA，又∵0＜A＜π⇒sinA≠0，∴．…（6分）（2）由，由于顶点在单位圆上的△ABC 中，2R=2，利用正弦定理可得：．由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ⇒bc=b 2+c 2﹣a 2=4﹣3=1．…（10分） ∴．…（12分）20．（12分）某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示．（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．【解答】解：（1）第1组人数5÷0.5=10，所以n=10÷0.1=100；第2组人数100×0.2=20，所以a=20×0.9=18；第3组人数100×0.3=30，所以x=27÷30=0.9；第4组人数100×0.25=25，所以b=25×0.36=9；第5组人数100×0.15=15，所以y=3÷15=0.2．（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9=2：3：1，所以第2，3，4组每组应依次抽取2人，3人，1人．（3）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为b1，b2，b3，第4组的记为c，则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，c），（b3，c），其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），故所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为p=．21．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆E交于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）依题意，得，解得a2=4，b2=1．所以椭圆E的方程是．（2）当k变化时，m2为定值．证明如下：由得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），，，（*）因为直线OP，直线OQ的斜率分别为k1，k2，且4k=k1+k2，所以，得2kx1x2=m（x1+x2），将（*）代入解得，经检验知成立．故当k变化时，m2为定值．22．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．【解答】证明：（1）设BD的中点为O，分别连接AO，EO．又因为AB=AD，所以AO⊥BD．因为E为BC的中点，O为BD的中点，所以EO∥CD．又因为CD⊥BD，所以EO⊥BD．又因为OA∩OE=O，OA，OE⊂平面AOE，所以BD⊥平面AOE．又因为AE⊂平面AOE，所以BD⊥AE，即AE⊥BD．解：（2）由（1）求解知AO⊥BD，EO⊥BD．因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD，所以AO⊥平面BCD．又因为EO⊂平面BCD，所以AO⊥EO．所以OE，OD，OA两两相互垂直．因为CD⊥BD，BC=4，CD=2，所以．因为O为BD的中点，AO⊥BD，AD=2，所以，．以O为坐标原点，OE，OD，OA分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则O（0，0，0），A（0，0，1），，，，所以，，．设平面ABC的一个法向量为，则，．所以，取，解得．所以是平面ABC的一个法向量．同理可求平面ADC的一个法向量．设二面角B﹣AC﹣D的大小为θ，则．因为0＜θ＜π，所以，所以二面角B﹣AC﹣D的正弦值为．。
四川省雅安市2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题
雅安市2017—2018学年上期期末检测高中二年级数学(理科)试题参考答案13、方差 14、310 15、（2，3） 16、（1，2）三、解答题：17（本题满分10分）【解析】方法一 设圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，则圆心为C(a ，b)，由|CA|＝|CB|，CA ⊥l ，得⎩⎪⎨⎪⎧(a －3)2＋(b －6)2＝(a －5)2＋(b －2)2＝r 2，b －6a －3×43＝－1.………………5分解得a ＝5，b ＝92，r 2＝254.……………….10分方法二 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆心为C ，由CA ⊥l ，A(3，6)、B(5，2)在圆上，得⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧32＋62＋3D ＋6E ＋F ＝0，52＋22＋5D ＋2E ＋F ＝0，－E 2－6－D 2－3×43＝－1，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧D ＝－10，E ＝－9，F ＝39.∴所求圆的方程为：x 2＋y 2－10x －9y ＋39＝0.18.（本题满分12分） 【解析】 (Ⅰ)设()11,A x y 、()22,B x y ,由224,4,y x y x =-⎧⎨=⎩得2540x x -+=,0∆>. ……………………………3分解方程得1x =或4，∴A 、B 两点的坐标为()1,2-、()4,4039910425)29()5x 2222=+--+=-+-y x y x y 即圆的方程为（6分(Ⅱ)点P 到AB 的距离为d ,则PABS=53，………………9分，解得06y =或04y =-∴P 点坐标为()9,6或()4,4-…………………………………………12分19（本题满分12分）解：(Ⅰ)设“x ＋y ≥0，x ，y ∈Z ”为事件A ，x ，y ∈Z ，x ∈[0，2]，即x ＝0，1，2；y ∈[－1，1]，即y ＝－1，0，1.则基本事件有：(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)共9个．其中满足“x ＋y ≥0”的基本事件有8个，∴P (A )＝89.故x ，y ∈Z ，x ＋y ≥0的概率为89……………………………………6分 (Ⅱ)设“x ＋y ≥0，x ，y ∈R ”为事件B ， ∵x ∈[0，2]，y ∈[－1，1]，则基本事件为如图四边形ABCD 区域，事件B 包括的区域为其中的阴影部分．∴P (B )＝S 阴影S 四边形ABCD ＝S 四边形ABCD －12×1×1S 四边形ABCD ＝2×2－12×1×12×2＝78，故x ，y ∈R ，x ＋y ≥0的概率为78………………………………12分 20．（本题满分12分）解：(Ⅰ)由频率表中第一组数据可知，第一组总人数为5100.5=，再结合频率分布直方图可知101000.0110n ==⨯，1000.020100.918a ∴=⨯⨯⨯=，1000.025100.369b =⨯⨯⨯=，270.91000.3x ==⨯，30.21000.15y ==⨯…………4分(Ⅱ)第二，三，四组中回答正确的共有54人，所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第二组： 186254⨯=人，第三组： 276354⨯=人，第四组： 96154⨯=人…………………………………………………8分（Ⅲ）设第二组的2人为12A A 、，第三组的3人为123B B B 、、，第四组的1人为1C ，则从6人中抽2人所有可能的结果有：()()()()()1211121311,,,,,,,,,,A A AB A B A B A C()()()()()()()()()()21222321121311232131,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A C B B B B B C B B B C B C 共15个基本事件，其中第二组至少有一人被抽中的有()()()()()()()()()121112131121222321,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A C A B A B A B A C 这9个基本事件.所以第二组至少有一人获得幸运奖的概率为93155=……………………………12分。
四川省雅安市高二数学上学期期末考试试题 理
雅安市2017-2018学年上期期末检测高中二年级数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某单位有职工52人，现将所有职工随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号，32号，45号职工在样本中，则样本中另一个职工的编号是（ ） A ．19 B ． 20 C ． 18 D ．212.双曲线19422=-y x 的渐近线方程是（ ） A ．x y 32±= B ．x y 94±= C ．x y 23±= D ．x y 49±= 3.点)1,1,1(关于z 轴的对称点是（ ）A ．)1,1,1(--B ． )1,1,1(--C ．)1,1,1(--D ． )1,1,1(--- 4.如图是某次比赛中七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，若去掉一个最高分和最低分，则所剩数据的平均数为（ ）A ． 84B ．85 C. 86 D ．875.小吴一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（ ）A ． 1%B ．2% C.3% D ．5%6.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s 的值等于（ ）A ． -3B ．-10 C. 0 D ．-2 7.已知圆36)2(22=++yx 的圆心为M ，点)0,2(N ，设A 为圆上任一点，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是（ ） A ． 椭圆 B ． 圆 C. 双曲线 D ．抛物线8.一条光线从点)3,2(--射出，经y 轴反射后与圆1)2()3(22=-++y x 相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．35-或53- B ．23-或32- C. 45-或54- D ．34-或43- 9.在半径为2的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直该直径的弦，则弦长超过圆内接正三角形边长的概率是（ ） A ．31 B ．43 C. 21 D ．2310.点A 是抛物线)0(2：C 21>=p px y与双曲线2C ：12222=-by a x )0,0(>>b a 的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线1C 的准线的距离为P ，则双曲线2C 的离心率等于（ ） A ．2 B ．3 C. 5 D ．611.已知直线0634:1=+-y x l 和直线1:2-=x l ，抛物线x y 42=上一动点P到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ） A ．1637B ． 3 C. 511 D ．212.已知)0,(1c F -，)0,(2c F 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，P 为椭圆上一点且221c PF PF =∙，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．)1,33[B ．]22,33[ C. ]21,31[ D ．]22,0( 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88，若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则B A ,两样本的数字特征（众数、中位数、平均数、方差）对应相同的是 ．14.袋中含有大小相同的总个数为5的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是109，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为 ． 15.不论k 为何实数，直线0)11()3()12(=--+--k y k x k 恒通过一个定点，这个定点的坐标是 ．16.已知)2,1(A ，)2,1(-B ，动点P 满足BP AP ⊥，若双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的渐近线与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知圆C 与直线0634:=+-y x l 相切于点)6,3(A ，且经过点)2,5(B ，求圆C 的方程.18. 已知抛物线x yC 4:2=与直线42-=x y 交于B A ,两点.（1）求弦AB 的长度；（2）若点P 在抛物线C 上，且ABP ∆的面积为12，求点P 的坐标.19. 已知集合]}1,1[],2,0[|),{(-∈∈=y x y x M . （1）若Z y x ∈,，求0≥+y x 的概率； （2）若R y x ∈,，求0≥+y x 的概率.20. 某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题计结果如下图表所示：（1）分别求出y x b a ,,,的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.21. 已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率22=e ，P 为椭圆E 上的任意一点（不含长轴端点），且21F PF ∆面积的最大值为1. （1）求椭圆E 的方程； （2）已知直线0=+-m y x 与椭圆E 交于不同的两点B A ,，且线段AB 的中点不在圆9522=+y x 内，求m 的取值范围. 22.已知动圆M 过定点),0(m P )0(>m ，且与定直线m y l -=:1相切，动圆圆心M 的轨迹方程为C ，直线2l 过点P 交曲线C 于B A ,两点. （1）若2l 交x 轴于点S ，求||||||||SB SP SA SP +的取值范围；（2）若2l 的倾斜角为030，在1l 上是否存在点E 使ABE ∆为正三角形？若能，求点E 的坐标；若不能，说明理由.雅安市2017—2018学年上期期末检测高中二年级数学(理科)试题参考答案一、选择题:二、填空题：13、方差 14、31015、（2，3） 16、（1，2）三、解答题：17【解析】方法一 设圆的方程为(x －a)2＋(y －b )2＝r 2，则圆心为C(a ，b)，由|CA|＝|CB|，CA ⊥l ，得⎩⎪⎨⎪⎧(a －3)2＋(b －6)2＝(a －5)2＋(b －2)2＝r 2，b －6a －3×43＝－1.解得a ＝5，b ＝92，r 2＝254.方法二 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆心为C ，由CA ⊥l ，A(3，6)、B(5，2)在圆上，得⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧32＋62＋3D ＋6E ＋F ＝0，52＋22＋5D ＋2E ＋F ＝0，－E 2－6－D 2－3×43＝－1，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧D ＝－10，E ＝－9，F ＝39.∴所求圆的方程为：x 2＋y 2－10x －9y ＋39＝0.18.【解析】 (Ⅰ)设()11,A x y 、()22,B x y ,由224,4,y x y x =-⎧⎨=⎩得2540x x -+=,0∆>. 解方程得1x =或4，∴A 、B 两点的坐标为()1,2-、()4,4039910425)29()5x 2222=+--+=-+-y x y x y 即圆的方程为（(Ⅱ)点P 到AB 的距离为d ,则PABS=53，，解得06y =或04y =-∴P 点坐标为()9,6或()4,4-19解：(Ⅰ)设“x ＋y ≥0，x ，y ∈Z ”为事件A ，x ，y ∈Z ，x ∈[0，2]，即x ＝0，1，2；y ∈[－1，1]，即y ＝－1，0，1.则基本事件有：(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)共9个．其中满足“x ＋y ≥0”的基本事件有8个， ∴P (A )＝89.故x ，y ∈Z ，x ＋y ≥0的概率为89(Ⅱ)设“x ＋y ≥0，x ，y ∈R ”为事件B ， ∵x ∈[0，2]，y ∈[－1，1]，则基本事件为如图四边形ABCD 区域，事件B 包括的区域为其中的阴影部分．∴P (B )＝S 阴影S 四边形ABCD ＝S 四边形ABCD －12×1×1S 四边形ABCD＝2×2－12×1×12×2＝78，故x ，y ∈R ，x ＋y ≥0的概率为7820．解：(Ⅰ)由频率表中第一组数据可知，第一组总人数为5100.5=，再结合频率分布直方图可知101000.0110n ==⨯，1000.020100.918a ∴=⨯⨯⨯=，1000.025100.369b =⨯⨯⨯=，270.91000.3x ==⨯，30.21000.15y ==⨯(Ⅱ)第二，三，四组中回答正确的共有54人，所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第二组： 186254⨯=人，第三组： 276354⨯=人，第四组： 96154⨯=人（Ⅲ）设第二组的2人为12A A 、，第三组的3人为123B B B 、、，第四组的1人为1C ，则从6人中抽2人所有可能的结果有：()()()()()1211121311,,,,,,,,,,A A A B A B A B A C()()()()()()()()()()21222321121311232131,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A C B B B B B C B B B C B C 共15个基本事件，其中第二组至少有一人被抽中的有()()()()()()()()()121112131121222321,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A C A B A B A B A C 这9个基本事件.所以第二组至少有一人获得幸运奖的概率为93155= 21. 解：（Ⅰ）由题可知2c e a a ==⇒=，又a 2=b 2+c 2，12max1()212pF F s c b ∆=⨯⨯= ∴1c =，故1a b ==------3分所以椭圆的标准方程为2212x y +=（II ）联立方程22120x y x y m +=-+=⎧⎪⎨⎪⎩消去y 整理得：2234220xmx m ++-=则()2221612228(3)0m m m ∆=--=-+〉，解得m <<分设1122(,)、（x ,)A x y B y ，则121242m,=33m x x y y +=-+，即AB 的中点为2m m（-，）33 又AB 的中点不在园225x 9y+=内，所以2224559999m m m +=≥，解得1或m 1m ≤-≥综上可知，m -1或1m ≤≤22．解; （Ⅰ）依题意，曲线C 是以点P 为焦点，直线1为准线的抛物线， 所以曲线C 的方程为24x my =设2方程为y kx m =+代入24x my =由消去y 得22440x mkx m --=设()11,A x y 、()22,B x y ，则212124,4x x mk x x m +==-(2212162224SP SP m m m mm xx SA SB y y y m +=+>===-所以SP SP SASB+的取值范围是()2,+∞(Ⅱ)由（Ⅰ）知2方程为y x m =+代入24x my =由消去y得2240x m -= 12,x x ==，(),,,333m A m B m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭假设存在点()0,E x m -，使△ABE 为正三角形，则|BE|=|AB|且|AE|=|AB ，1216||2.3AB y y m m =++=即222002223316()()(),316()()()3m x m m xx m m m ⎧-++=⎪⎪=⎨⎪-++=⎪⎩相减解得 若,E m ⎫-⎪⎪⎝⎭，则(,)AE AB=≠不符舍因此，直线l 上不存在点E ，使得△ABE 是正三角形. 解法二：设AB 的中点为G ，则5,3G m ⎫⎪⎪⎝⎭由,EG AB ⊥联立EG 方程5)3y m x -=与1:y m =-方程求得,E m ⎫-⎪⎪⎝⎭由EG =得0m =，矛盾 因此，直线l 上不存在点E ，使得△ABE 是正三角形.。
四川省雅安中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题含解析
四川省雅安中学2017—2018学年上学期高二期中考试数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1. 双曲线的焦点坐标为A. B. C. D.【答案】C【解析】，所以，并且焦点在轴，那么焦点坐标就是，故选C.2. 已知抛物线上点到其焦点的距离为3，则该抛物线的准线方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】∵抛物线方程为∴抛物线焦点为，准线方程为x=−又∵点M(1,m)到其焦点的距离为3，∴p>0，根据抛物线的定义，得1+=3，∴p=4，所以准线方程为x=−2故选D.3. 执行所示程序后输出的结果是：A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】B【解析】当n=5，S=0时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=5，n=4；当n=4，S=5时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=9，n=3；当n=3，S=9时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=12，n=2；当n=2，S=12时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=14，n=1；当n=1，S=14时，满足进入循环的条件，执行完循环体后，S=15，n=0；当n=0，S=15时，不满足进入循环的条件，退出循环体后，输出n=0故选B.4. 执行所示框图，若输出S的值为，则判断框内应填入的是：A. B. C. D.【答案】B【解析】第一次循环，，第二次循环，，第三次循环，，此时输出，所以应填写5. 若椭圆的一个焦点的坐标是,则其离心率等于A. 2B.C.D.【答案】D【解析】依题意可知，b=，a= =1，∴c= =∴e= =故选B．点睛：根据题意可知a和b，进而根据c=求得c，进而根据e=求得e．6. 已知抛物线的准线与圆相切,则p的值为A. B. 1 C. 2 D. 4【答案】C【解析】试题分析：∵抛物线的准线为，曲线为，圆心为，半径，∵抛物线的准线与曲线相切，∴，即．考点：抛物线与圆的几何性质．7. 不论k为何值，直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是:A. (0，1)B. (0，7)C. ［1，7)D. (1，7］【答案】C【解析】直线y=kx+1恒过定点(0,1),由题意知(0,1)在椭圆+=1上或其内部，所以有：，得.又椭圆+=1的焦点在x轴上，所以.综上：故选C.8. 若直线l1：kx－y－3＝0和l2：x＋(2k＋3)y－2＝0互相垂直，则k等于A. -3B. -2C. -1或-D. 1或【答案】A..................9. 若关于的方程有两个不同实根，则实数的取值范围是A. B. [) C. () D. (]【答案】B【解析】关于的方程有两个不同实根，即为曲线y=和直线有两个交点. 曲线y=表示以原点为圆心,2为半径的圆,在x轴上边的部分,如图所示,当直线与半圆相切时,=，∴直线与曲线y=有两个交点,实数的取值范围是[)故选：B.点睛：已知方程解的个数(或函数零点个数)求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．10. 椭圆上存在个不同的点，椭圆的右焦点为，若数列是公差大于的等差数列，则的最大值是A. 13B. 14C. 15D. 16【答案】C【解析】∵∵数列{||}是公差d大于的等差数列，∴,解得，则n的最大值为15.故选：B.11. 直线经过点，且与两坐标轴的正半轴交于两点，则（为坐标原点）面积的最小值为A. B. 25 C. 12 D. 24【答案】C【解析】直线的方程为,经过点，有：由，得.当且仅当，即,取最小值24.，即（为坐标原点）面积的最小值为12.故选C.12. 如图，已知梯形中，，在线段上，且满足，双曲线过三点，且以、为焦点．当时，双曲线离心率的取值范围是：A. []B. ()C. (]D.【答案】A【解析】如图，以AB的垂直平分线为轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOγ，则CD⊥轴。
2017-2018学年四川省雅安中学高二上学期第一次月考理科数学(详细答案版)
2017-2018学年四川省雅安中学高二上学期第一次月考数学一、选择题：共12题1．圆的圆心和半径分别为A.(4,-6),16B.(2,-3),4C.(-2,3),4D.(2,-3),16【答案】C【解析】本题主要考查圆的标准方程.,则圆心与半径分别为(-2,3),42．直线与圆的位置关系是A.相交且直线过圆心B.相切C.相交但直线不过圆心D.相离【答案】D【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系.因为圆心(1,-1)到直线的距离d=,所以直线与圆的位置关系是相离.3．若直线和直线平行,则的值为A.1B.-2C.1或-2D.【答案】A【解析】本题主要考查两条直线的位置关系.因为和直线平行,所以,求解可得m=1.4．过点A(1,2)且垂直于直线2x＋y-5＝0的直线方程为A.x-2y＋4＝0B.2x＋y-7＝0C.x-2y＋3＝0D.x-2y＋5＝0【答案】C【解析】本题主要考查两条直线的位置关系.因为所求直线与直线2x＋y-5＝0垂直，所以设直线方程为x-2y+t＝0，且过点A(1,2)，所以t=3，则直线方程为x-2y＋3＝05．点A(1,3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(-2,1),则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是A.-B.C.-D.【答案】D【解析】本题主要考查两条直线的位置关系、直线方程.因为点A(1,3)关于直线y＝kx＋b 对称的点是B(-2,1),所以,则,且A,B的中点在直线上，所以,则b=，令y=0可得x=6．一条光线从点M(5,3)射出,与轴的正方向成角,遇轴后反射,若,则反射光线所在的直线方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查对称性、直线方程.由题意可知，反射光线所在直线的斜率为，且经过点，所以反射光线所在直线方程为7．已知圆心(a,b)(a<0,b<0)在直线y＝2x＋1上的圆,其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径,在y轴上截得的弦长为2,则圆的方程为A.(x＋2)2＋(y＋3)2＝9B.(x＋3)2＋(y＋5)2＝25C.(x＋6)2＋2＝D.2＋2＝【答案】A【解析】本题主要考查圆的方程.由题意可知，圆心在第三象限，且半径为，则,b=2a+1,所以, 则圆的方程为(x＋2)2＋(y＋3)2＝98．直线=截圆=所得的劣弧所对圆心角为A.30B.45C.60D.90【答案】C【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系.圆心到直线的距离为d=，则直线被圆截得的弦长为2，又圆的半径为2，所以直线被圆截得的劣弧所对圆心角为609．方程=表示的曲线为A.一条直线和一个圆B.一条线段与半圆C.一条射线与一段劣弧D.一条线段与一段劣弧【答案】D【解析】本题主要考查曲线与方程.由可得，即,所以方程表示的曲线为一段劣弧与一条线段.10．直线=与圆=相交于M,N两点,若,则k的取值范围是A. B.C. D.【答案】B【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆的性质.当时，圆心到直线的距离为1，即,所以11．已知平面内两点到直线的距离分别,则满足条件的直线的条数为A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】本题主要考查点到直线的距离公式.因为|AB|=,所以不存在两点在直线的两侧，因此A,B两点在直线l的同一侧，当直线l垂直AB时，点A到l的点距离为，则点B到直线的距离为，故满足条件的直线的条数为１.12．已知正三角形的边长为,在平面中,动点满足=是的中点,则线段的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查圆的方程、平面向量的坐标表示与模,考查了数形结合思想. 如图所示，建立直角坐标系.B（0，0），C(，0)．A(，3),因为满足=是的中点,所以点P的轨迹方程为：(x−)2+(y−3)2=1，所以令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π），则M(+cosθ，+sinθ)，所以,所以线段的最小值为.二、填空题：共3题13．过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m＝________.【答案】1【解析】本题主要考查直线的斜率公式.由题意可得,则m=1.14．在平面直角坐标系中,圆C的方程为=,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则的最大值是________.【答案】【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆的标准方程. 圆C的方程为,圆心为(4,0),半径为1，由题意可知，当圆心C到直线的距离为2时，直线上存在一个点满足题意，则,求解可得,因此k的最大值是.15．已知动点满足,为坐标原点,则的最大值为 .【答案】【解析】本题主要考查圆的方程，考查了数形结合思想.由曲线方程可得曲线关于x轴、y轴、原点都是对称，故只需考虑第一象限内的情况即可，如图：在第一象限内（含坐标轴），曲线方程为x2+y2-x-y=0，即 (x−)2+(y−)2=，表示以C（，）为圆心，半径等于的圆的一部分．由于|CO|=，∴|OP|的最大值为|CO|+|CP|=+=.三、解答题：共6题16．(1)已知直线l经过两条直线2x+3y﹣14=0和x+2y﹣8=0的交点,且与直线2x﹣2y﹣5=0平行,求直线l的一般式方程;(2)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍,且经过点P(3,0),求椭圆的标准方程.【答案】(1)解2x+3y﹣14=0和x+2y﹣8=0组成的方程组可得交点坐标为(4,2),由题意，设直线l的方程为x﹣y+t=0，则4﹣2+t=0，则t=—2，所以直线l的方程为x﹣y﹣2=0(2)由题意，设椭圆的短轴长为2b，则长轴长为6b，当椭圆的焦点在x轴上时，b=1，椭圆方程为；当椭圆的焦点在y轴上时，b=3，椭圆方程为.所以椭圆的方程为【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系、椭圆的标准方程与性质.（1）求出两条直线的交点坐标，根据两条直线平行，设直线方程为4﹣2+t=0，求出t即可；（2）椭圆的焦点在x轴与y轴两种情况讨论即可.17．(1)过点向圆作切线,求切线的方程;(2)点在圆上,点在直线上,求的最小值. 【答案】(1)当直线的斜率不存在时，直线x=2与圆相切；当直线的斜率存在时，设直线方程为,因为直线与圆相切，所以,则,直线方程为.所以满足题意的圆的切线方程为或;(2)将圆的方程化为标准方程,则圆心(-2,3),半径为1.当PQ垂直于直线，且过圆心时，可以取得最小值，圆心到直线的距离d=,所以的最小值为3.【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系.（1）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，利用点到直线的距离公式求解；（2）求出圆心到直线的距离d，则的最小值为d-r.18．已知圆M过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心M在x＋y-2＝0上.(1)求圆M的方程;(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点,PA′,PB′是圆M的两条切线,A′,B′为切点,求四边形PA′MB′面积的最小值.【答案】(1)设圆M的方程为(x-a)2＋(y-b)2＝r2(r>0),根据题意解得a＝b＝1,r＝2.故所求圆M的方程为(x-1)2＋(y-1)2＝4.(2)由题知,四边形PA′MB′的面积为S＝S△PA′M＋S△PB′M＝|A′M||PA′|＋|B′M||PB′|.又|A′M|＝|B′M|＝2,|PA′|＝|PB′|,所以S＝2|PA′|.而|PA′|＝.即S＝2.因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可,即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P,使得|PM|的值最小,所以|PM|min＝=,所以四边形PA′MB′面积的最小值为S＝2＝＝【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、圆的性质.（1）由圆的性质可知，圆心在弦的垂直平分线上，易求圆心与半径，则结论易得；（2）易知四边形PA′MB′的面积等于两个全等△PA′M与△PB′M的面积之和，可得四边形的面积为S＝2|PA′|，根据切线与圆的关系可得|PA′|＝，则当取得最小值时，四边形的面积取得最小值.19．已知曲线的方程为:为常数).(1)判断曲线的形状;(2)设直线与曲线交于不同的两点,且,求曲线的方程. 【答案】(1)将曲线的方程化为:,可知曲线是以点为圆心,以为半径的圆;(2)原点坐标满足方程,所以圆过坐标原点,又圆心在的垂直平分线上,故,当时,圆心坐标为,圆的半径为,圆心到直线的距离,直线与圆相离,不合题意舍去;当时,符合条件,这时曲线的方程为=.【解析】本题主要考查圆的标准方程与性质、直线与圆的位置关系.（1）由已知方程化简可得,可得结论；（2）由圆的性质可知圆心在的垂直平分线上,求出a的值，再验证结论.20．已知曲线(1)若,过点的直线交曲线于两点,且,求直线的方程;(2)若曲线表示圆,且直线与圆交于两点,是否存在实数,使得以为直径的圆过原点,若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1) 当时, 曲线C是以为圆心,2为半径的圆,若直线的斜率不存在,显然不符,故可直线为:,即.由题意知,圆心到直线的距离等于,即:解得或.故方程或(即).(2)由曲线C表示圆=,即,所以圆心C(1,2),半径=,则必有.假设存在实数使得以为直径的圆过原点,则,设,则,由得,即,又,故,从而=======,故存在实数使得以为直径的圆过原点,.【解析】本题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系，考查了方程思想与计算能力.（1）设直线方程，由圆的性质求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式求出直线的斜率，则可得直线方程；（2）假设存在实数使得以为直径的圆过原点,则,联立直线与圆的方程，利用根与系数的关系式，由求解可得结论.21．如图,在平面直角坐标系中,圆交x轴于点A,B(点A在x轴的负半轴上),点M为圆O上一动点,MA,MB分别交直线于P,Q两点.(1)求P,Q两点纵坐标的乘积;(2)若点C的坐标为,连接MC交圆O于另一点N.①试判断点C与以PQ为直径的圆的位置关系,并说明理由;②记MA,NA的斜率分别为,试探究是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.【答案】(1)由题意,得,,设,直线AM的方程为,令,则,,同理,===.(2)①,由(1)知=,=,==,即,点C在圆内.②设,,当直线MN的斜率不存在时,, 此时=,当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为=,代入圆方程=,整理得=,==,又==,==.【解析】本题主要考查直线的斜率与方程、直线与圆的位置关系，考查了计算能力.（1）设,分别求出直线AM,BM的方程，求出点P,Q的纵坐标，再结合圆的方程，即可得出结论；（2）①由(1)知=,=,利用平面向量的数量积判断的夹角，则可得结论；②当直线MN的斜率不存在时易得结论；当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为=,联立圆的方程，利用根与系数的关系式，结合直线的斜率公式化简，则结论易得.。
2017-2018学年四川省雅安中学高二(上)第一次月考数学试卷(理科)
2017-2018学年四川省雅安中学高二（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，每个小题给出的四个选项中，只有唯一个选项符合题目要求，请将正确答案的序号填涂在答题卡上．）1．（5分）圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的圆心和半径分别为（）A．（4，﹣6），r=16B．（2，﹣3），r=4C．（﹣2，3），r=4D．（2，﹣3），r=162．（5分）直线3x+4y﹣14=0与圆（x﹣1）2+（y+1）2=4的位置关系是（）A．相交且直线过圆心B．相切C．相交但直线不过圆心D．相离3．（5分）若直线x+（1+m）y﹣2=0和直线mx+2y+8=0平行，则m的值为（）A．1B．﹣2C．1或﹣2D．﹣4．（5分）过点A（1，2）且垂直于直线2x+y﹣5=0的直线方程为（）A．x﹣2y+4=0B．2x+y﹣7=0C．x﹣2y+3=0D．x﹣2y+5=0 5．（5分）点A（1，3）关于直线y=kx+b对称的点是B（﹣2，1），则直线y=kx+b 在x轴上的截距是（）A．﹣B．C．﹣D．6．（5分）一束光线从点M（5，3）射出，与x轴正方向成α角，遇x轴后反射，若tanα=3，则反射光线所在的直线方程为（）A．y=3x﹣12B．y=﹣3x﹣12C．y=3x+12D．y=﹣3x+12 7．（5分）已知圆心（a，b）（a＜0，b＜0）在直线y=2x+1上的圆，若其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径，在y轴上截得的弦长为，则圆的方程为（）A．（x+2）2+（y+3）2=9B．（x+3）2+（y+5）2=25C．D．8．（5分）直线截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．（5分）方程（x﹣）=0表示的曲线为（）A．一条直线和一个圆B．一条射线与半圆C．一条射线与一段劣弧D．一条线段与一段劣弧10．（5分）直线y=kx﹣3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[﹣，0]B．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）11．（5分）已知平面内两点A（1，2），B（3，1）到直线l的距离分别，+，则满足条件的直线l的条数为（）A．1B．2C．3D．412．（5分）已知正△ABC的边长为2，在平面ABC中，动点P，M满足AP=1，M是PC的中点，则线段BM的最小值为（）A．B．2C．+1D．3二、填空题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡上．）13．（5分）过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为．14．（5分）若关于x的方程x+b=3﹣只有一个解，则实数b的取值范围是．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．16．（5分）已知动点P（x，y）满足x2+y2﹣|x|﹣|y|=0，O为坐标原点，则的最大值为．三、解答题：（本题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．）17．（10分）（1）已知直线l经过两条直线2x+3y﹣14=0和x+2y﹣8=0的交点，且与直线2x﹣2y﹣5=0平行．求直线l的一般式方程；（2）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且经过点P（3，0），求椭圆的标准方程．18．（12分）（1）过点P（2，4）向圆O：x2+y2=4作切线，求切线的方程；（2）点P在圆x2+y2+4x﹣6y+12=0上，点Q在直线4x+3y=21上，求|PQ|的最小值．19．（12分）已知圆M过两点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心M在x+y﹣2=0上．（1）求圆M的标准方程；（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A、B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．20．（12分）已知曲线C的方程为：ax2+ay2﹣2a2x﹣4y=0（a≠0，a为常数）．（Ⅰ）判断曲线C的形状；（Ⅱ）设直线l：y=﹣2x+4与曲线C交于不同的两点M、N，且|OM|=|ON|，求曲线C的方程．21．（12分）已知曲线C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若m=1，过点（﹣2，3）的直线l交曲线C于M，N两点，且|MN|=2，求直线l的方程；（2）若曲线C表示圆，且直线x﹣y﹣1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=4交x轴于点A，B（点A 在x轴的负半轴上），点M为圆O上一动点，MA，MB分别交直线x=4于P，Q两点．（1）求P，Q两点纵坐标的乘积；（2）若点C的坐标为（1，0），连接MC交圆O于另一点N：①试判断点C与以PQ为直径的圆的位置关系，并说明理由；②记MA，NA的斜率分别为k1，k2，试探究k1k2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．2017-2018学年四川省雅安中学高二（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，每个小题给出的四个选项中，只有唯一个选项符合题目要求，请将正确答案的序号填涂在答题卡上．）1．（5分）圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的圆心和半径分别为（）A．（4，﹣6），r=16B．（2，﹣3），r=4C．（﹣2，3），r=4D．（2，﹣3），r=16【分析】将圆的方程配方成标准形式，结合圆心和半径的公式，即可得到本题答案．【解答】解：将圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的方程化成标准形式，得（x+2）2+（y﹣3）2=16∴圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的圆心为C（﹣2，3），半径r=4故选：C．【点评】本题给出圆的一般式方程，求圆的圆心和半径，着重考查了圆的一般方程、标准方程及其互化等知识，属于基础题．2．（5分）直线3x+4y﹣14=0与圆（x﹣1）2+（y+1）2=4的位置关系是（）A．相交且直线过圆心B．相切C．相交但直线不过圆心D．相离【分析】由圆的方程找出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，利用d与r比较大小，即可得到直线与圆的位置关系．【解答】解：由圆的方程，得到圆心坐标为（1，﹣1），半径r=2，因为圆心到直线3x+4y﹣14=0的距离d==3＞2=r，所以直线与圆的位置关系是相离．故选：D．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，要求学生熟练掌握直线与圆位置关系的判别方法，以及灵活运用点到直线的距离公式．直线与圆位置关系的判别方法为：（其中d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）当0≤d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离．3．（5分）若直线x+（1+m）y﹣2=0和直线mx+2y+8=0平行，则m的值为（）A．1B．﹣2C．1或﹣2D．﹣【分析】由直线平行可得1×2﹣（1+m）m=0，解方程可得．结论【解答】解：∵直线x+（1+m）y=2﹣m和直线mx+2y+8=0平行，∴1×2﹣（1+m）m=0，解得m=1或﹣2，经检验都符合题意．故选：C．【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．4．（5分）过点A（1，2）且垂直于直线2x+y﹣5=0的直线方程为（）A．x﹣2y+4=0B．2x+y﹣7=0C．x﹣2y+3=0D．x﹣2y+5=0【分析】根据两条直线垂直的性质求得所求的直线的斜率等于，用点斜式求得所求直线的方程．【解答】解：∵直线2x+y﹣5=0的斜率等于﹣2，故所求的直线的斜率等于，故过点A（1，2）且垂直于直线2x+y﹣5=0的直线方程为y﹣2=（x﹣1），即x ﹣2y+3=0，故选：C．【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题．5．（5分）点A（1，3）关于直线y=kx+b对称的点是B（﹣2，1），则直线y=kx+b 在x轴上的截距是（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】点关于直线对称，可以根据对称点的坐标，利用两点连线的斜率与直线垂直．然后两点中点在直线上．联立两个一元两次方程即可求解出直线方程，最后令y=0求出在x轴上的截距．【解答】解：由题意知，解得k=﹣，b=，∴直线方程为y=﹣x+，其在x轴上的截距为﹣×（﹣）=．故选：D．【点评】本小题主要考查与直线关于点、直线对称的直线方程、直线的截距、方程组的解法等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．6．（5分）一束光线从点M（5，3）射出，与x轴正方向成α角，遇x轴后反射，若tanα=3，则反射光线所在的直线方程为（）A．y=3x﹣12B．y=﹣3x﹣12C．y=3x+12D．y=﹣3x+12【分析】利用点M（5，3）关于x轴的对称点M′（5，﹣3）在反射光线上，再根据入射光线x轴正方向成α角，tanα=3，得到反射光线所在的直线方程的斜率k=tan（π﹣α），由点斜式写出反射光线所在的直线方程，【解答】解：∵tanα=3，∴k=tan（π﹣α）=﹣3，∵点M（5，3）关于x轴的对称点M′（5，﹣3）在反射光线上，设反射光线所在的直线方程y=﹣3x+b，∴﹣3=﹣3×5+b，解得b=12，故反射光线所在的直线方程y=﹣3x+12，故选：D．【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点坐标的方法，用两点式求直线的方程，反射定律的应用．考查计算能力．7．（5分）已知圆心（a，b）（a＜0，b＜0）在直线y=2x+1上的圆，若其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径，在y轴上截得的弦长为，则圆的方程为（）A．（x+2）2+（y+3）2=9B．（x+3）2+（y+5）2=25C．D．【分析】根据题意画出图形，过M作MA垂直于x轴，MB垂直于y轴，连接MC，由垂径定理得到B为CD中点，由|CD|求出|BC|，由圆与x轴垂直得到圆与x轴相切，所以MA和MC为圆M的半径，在直角三角形MBC中，由|MB|=|a|，|MC|=|MA|=|b|及|BC|，利用勾股定理列出关于a与b的方程，再把M的坐标代入到直线y=2x+1中，又得到关于a与b的另一个方程，联立两方程即可求出a与b的值，从而确定出圆心M的坐标，及圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的方程即可．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：过M作MA⊥x轴，MB⊥y轴，连接MC，由垂径定理得到B为CD中点，又|CD|=2，∴|CB|=，由题意可知圆的半径|MA|=|MC|=|b|，|MB|=|a|，在直角三角形BC中，根据勾股定理得：b2=a2+（）2，①又把圆心（a，b）代入y=2x+1中，得b=2a+1，②联立①②，解得：a=﹣2，b=﹣3，所以圆心坐标为（﹣2，﹣3），半径r=|﹣3|=3，则所求圆的方程为：（x+2）2+（y+3）2=9．故选：A．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，垂径定理及勾股定理．根据圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径得到所求的圆与x轴相切，进而求出圆的半径为|b|是解本题的关键，同时运用了数形结合的思想解决数学问题，培养了学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．8．（5分）直线截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心C到已知直线的距离d，由垂径定理及勾股定理求出直线被圆截得的弦长，由弦长等于圆的半径得到三角形ABC为等边三角形，即可得到直线被圆截得的劣弧所对的圆心角为60°．【解答】解：过O作OC⊥AB，垂足为点C，由圆的方程x2+y2=4，得到圆心O的坐标为（0，0），半径r=2，∵圆心到直线x+y﹣2=0的距离d=|OC|==，∴直线被圆截得的弦|AB|=2=2，∴△AOB为等边三角形，即∠AOB=60°，∴直线被圆截的劣弧所对的圆心角为60°．故选：C．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，以及等边三角形的判定与性质，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，再由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．9．（5分）方程（x﹣）=0表示的曲线为（）A．一条直线和一个圆B．一条射线与半圆C．一条射线与一段劣弧D．一条线段与一段劣弧【分析】根据（x﹣）=0，可得x=或=0，从而可得结论．【解答】解：∵（x﹣）=0，∴x=或=0（﹣2≤y≤4），∴x2+（y﹣1）2=9（x≥0）或x=y（﹣2≤y≤4）．故选：D．【点评】本题考查曲线与方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．（5分）直线y=kx﹣3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[﹣，0]B．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【分析】由弦长公式得，当圆心到直线的距离等于1时，弦长等于2，故当弦长大于或等于2时，圆心到直线的距离小于或等于1，解此不等式求出k 的取值范围．【解答】解：设圆心（3，2）到直线y=kx+3的距离为d，由弦长公式得，MN=2≥2，故d≤1，即≤1，化简得8k（k+）≤0，∴﹣≤k≤0，故选：A．【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，以及弦长公式的应用，属于中档题．11．（5分）已知平面内两点A（1，2），B（3，1）到直线l的距离分别，+，则满足条件的直线l的条数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由点A（1，2），B（3，1），易得AB=，以点A为圆心，半径为的圆，与以点B为圆心，半径为的圆相内切，即可得出．【解答】解：由点A（1，2），B（3，1），易得AB=，以点A为圆心，半径为的圆，与以点B为圆心，半径为的圆相内切，则这两个圆共有的切线有1条（即1条外公切线）．∴满足条件的直线l的条数为1．故选：A．【点评】本题考查了两个圆的位置关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）已知正△ABC的边长为2，在平面ABC中，动点P，M满足AP=1，M是PC的中点，则线段BM的最小值为（）A．B．2C．+1D．3【分析】首先建立直角坐标系，进一步把：x2+（y﹣3）2=1，转化为：（θ为参数），利用M是PC的中点，求出M的坐标，在利用两点间的距离公式求出函数的三角关系式，再利用三角函数关系式的恒等变换，变形成正弦型函数，最后求出最小值．【解答】解：在平面ABC中，以BC线段为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，正△ABC的边长为2，在平面ABC中，动点P，M满足AP=1，则：B（﹣，0），C（，0），A（0，3），设P（x，y），由于|AP|=1，则：x2+（y﹣3）2=1，转化为：（θ为参数），M是PC的中点，则：M（，），|BM|=，=，当sin（）=﹣1时，最小值为．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：直角坐标方程和参数方程的转化，中点坐标公式的应用，两点间距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，属于中档题型．二、填空题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡上．）13．（5分）过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为1．【分析】首先分析题意，直线过（﹣2，m）和Q（m，4）两点，故写出过两个点的直线斜率，令其等于1．解出m的值即可．【解答】解：过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率为1∴解得：m=1故答案为：1【点评】本题考查斜率的计算公式，按照两个点求斜率的公式，求出参数即可．属于基础题．14．（5分）若关于x的方程x+b=3﹣只有一个解，则实数b的取值范围是（﹣1，3]∪{1﹣2} ．【分析】由题意可得半圆（x﹣2）2+y2=4（y≥0）与直线y=﹣x+3﹣b只有1个交点，数形结合求得实数b的取值范围．【解答】解：关于x的方程x+b=3﹣只有一个解，则函数y=（0≤x≤4），即（x﹣2）2+y2=4（y≥0），表示以C（2，0）为圆心、半径等于2的半圆，且此半圆与直线y=﹣x+3﹣b只有1个交点，如图：当直线y=﹣x+3﹣b经过点A、B时，3﹣b=4，b=﹣1；当直线y=﹣x+3﹣b经过原点O时，b=3；当直线y=﹣x+3﹣b与半圆相切时，由圆心C到直线y=﹣x+3﹣b的距离等于半径可得=2，求得b=1﹣2，或b=1+2（不满足3﹣b＞4，故舍去），结合图象可得，﹣1＜b≤3或；故答案为：（﹣1，3]∪{1﹣2}．【点评】本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，直线和圆的位置关系的应用，属于中档题．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．【分析】由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．16．（5分）已知动点P（x，y）满足x2+y2﹣|x|﹣|y|=0，O为坐标原点，则的最大值为．【分析】由曲线的方程可得曲线关于x轴、y轴、原点都是对称的，故只需考虑第一象限内的情况即可，数形结合求得OP的最大值和最小值，即|PO|的取值范围．【解答】解：由曲线的方程x2+y2﹣|x|﹣|y|=0，可得曲线关于x轴、y轴、原点都是对称的，故只需考虑第一象限内的情况即可，如图：在第一象限内（含坐标轴），曲线方程为x2+y2﹣x﹣y=0，转化为：，表示以C（，）为圆心，半径等于的圆的一部分．由于|CO|=，∴|OP|的最大值为|CO|+|CP|=+=；故答案为：【点评】本题主要考查圆的标准方程，体现了转化、数形结合的数学思想，三、解答题：（本题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．）17．（10分）（1）已知直线l经过两条直线2x+3y﹣14=0和x+2y﹣8=0的交点，且与直线2x﹣2y﹣5=0平行．求直线l的一般式方程；（2）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且经过点P（3，0），求椭圆的标准方程．【分析】（1）求得两条直线的交点，根据直线平行求得直线l的斜率，利用点斜式即可求得直线l的一般式方程；（2）分类讨论，根据椭圆的性质，即可求得椭圆的方程．【解答】解：（1），解得：，由直线2x﹣2y﹣5=0的斜率k=1，则直线l的斜率为1，则直线l的方程y﹣2=x﹣4，整理得x﹣y﹣2=0，∴直线l的一般式方程x﹣y﹣2=0；（2）假设椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为：（a＞b＞0），由a=3b，由经过点P（3，0），则a=3，则b=1∴椭圆的方程为：；假设椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的方程为：（a＞b＞0），由a=3b，由经过点P（3，0），则b=3，∴a=9，∴椭圆的标准方程为：，∴椭圆的标准方程为：或．【点评】本题考查直线的一般方程，椭圆的标准方程及性质，考查分类讨论思想，属于基础题．18．（12分）（1）过点P（2，4）向圆O：x2+y2=4作切线，求切线的方程；（2）点P在圆x2+y2+4x﹣6y+12=0上，点Q在直线4x+3y=21上，求|PQ|的最小值．【分析】（1）利用分类讨论思想对直线的方程进行分类①斜率不存在②斜率存在两种情况，最后求的结果．（2）利用点到直线的距离公式求出结果，进一步求出最小值．【解答】解：（1）过点P（2，4）向圆O：x2+y2=4作切线，①当斜率不存在时，直线x=2与圆相切．②当斜率存在时，设直线的方程为：y﹣4=k（x﹣2），利用圆心（0，0）到y﹣4=k（x﹣2）的距离为2，即：，解得：k=．所求的直线的方程为：3x ﹣4y +10=0；综上所述直线的方程为：x=2或3x ﹣4y +10=0．（2）圆x 2+y 2+4x ﹣6y +12=0的方程可转化为：（x +2）2+（y ﹣3）2=1， 则：圆心（﹣2，3）到直线4x +3y=21的距离为：d=，点|PQ |的最小值为：4﹣1=3．【点评】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，主要培养学生分类讨论思想的能力．19．（12分）已知圆M 过两点A （1，﹣1），B （﹣1，1），且圆心M 在x +y ﹣2=0上．（1）求圆M 的标准方程；（2）设P 是直线3x +4y +8=0上的动点，PA 、PB 是圆M 的两条切线，A 、B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．【分析】（1）待定系数法求解圆的方程即可；（2）由题意得到面积的表达式，据此求解面积的最值即可．【解答】解 （1）设圆M 的方程为：（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=r 2（r ＞0），解得：a=b=1，r=2，故所求圆M 的方程为：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=4．（2）由题知，四边形PAMB 的面积为S=S △PAM +S △PBM =|AM ||PA |+|BM ||PB |． 又|AM |=|BM |=2，|PA |=|PB |，所以S=2|PA |，而，即，因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，即在直线3x +4y +8=0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM|min==3，所以四边形PAMB面积的最小值为．【点评】本题考查了圆的方程的求解，直线与圆的位置关系等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．20．（12分）已知曲线C的方程为：ax2+ay2﹣2a2x﹣4y=0（a≠0，a为常数）．（Ⅰ）判断曲线C的形状；（Ⅱ）设直线l：y=﹣2x+4与曲线C交于不同的两点M、N，且|OM|=|ON|，求曲线C的方程．【分析】（Ⅰ）配方，将曲线C的方程化为：，进而可得答案；（Ⅱ）圆C过坐标原点，若|OM|=|ON|，则圆心在MN的垂直平分线上，进而得到答案；【解答】解：（Ⅰ）将曲线C的方程化为：，可知曲线C是以点为圆心，以为半径的圆；（Ⅱ）∵原点坐标满足方程，所以圆C过坐标原点，又|OM|=|ON|，∴圆心在MN的垂直平分线上，故∴，∴a=±2，当a=﹣2时，圆心坐标为（﹣2，﹣1），圆的半径为，圆心到直线l：y=﹣2x+4的距离，直线l与圆C相离，不合题意舍去；当a=2时，符合条件，这时曲线C的方程为x2+y2﹣4x﹣2y=0．【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，直线与圆的位置关系，难度中档．21．（12分）已知曲线C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若m=1，过点（﹣2，3）的直线l交曲线C于M，N两点，且|MN|=2，求直线l的方程；（2）若曲线C表示圆，且直线x﹣y﹣1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意，分析可得当m=1时，曲线C是以C（1，2）为圆心，2为半径的圆，进而设直线l为：y﹣3=k（x+2），由点到直线的距离公式分析可得，解可得k的值，代入直线方程即可得答案；（2）首先分析曲线C表示圆时m的取值范围，再假设存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，设出A、B的坐标，若以AB为直径的圆过原点，必有OA ⊥OB，由此分析可得x1x2+y1y2=0，联立直线与圆的方程，由根与系数的关系分析，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，当m=1时，曲线C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，即（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，是以C（1，2）为圆心，2为半径的圆，若直线l的斜率不存在，显然不符合题意，故可设直线l为：y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0．由题意知，圆心C（1，2）到直线l的距离等于，即：解得k=0或．故的方程y=3或（即3x+4y﹣6=0）．（2）由曲线C表示圆x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，即（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，所以圆心C（1，2），半径，则必有m＜5．假设存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=0，由得2x2﹣8x+5+m=0，∴△=64﹣8（m+5）=24﹣8m＞0，即m＜3，又m＜5，故m＜3，从而∴∴∴m=﹣2＜3，故存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，m=﹣2．【点评】本题考查直线与圆的方程的综合应用，涉及直线与圆的位置关系问题时需要分析直线的斜率是否存在．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=4交x轴于点A，B（点A 在x轴的负半轴上），点M为圆O上一动点，MA，MB分别交直线x=4于P，Q两点．（1）求P，Q两点纵坐标的乘积；（2）若点C的坐标为（1，0），连接MC交圆O于另一点N：①试判断点C与以PQ为直径的圆的位置关系，并说明理由；②记MA，NA的斜率分别为k1，k2，试探究k1k2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）求出直线AM的方程，求出，，然后求解P，Q两点纵坐标的乘积；（2）通过，判断点C在圆内，设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线MN的斜率不存在时，，，求出直线的斜率，当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=k（x﹣1），代入圆方程x2+y2=4，利用韦达定理化简求解k1k2的值．【解答】解：（1）由题意，解得A（﹣2，0），B（2，0），设M（x0，y0），∴直线AM的方程为，令x=4，则，∴，同理，∴…（5分）（2）①∵C（1，0），由（1）知，，∴，即，∴点C在圆内…（10分）②设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线MN的斜率不存在时，，，此时；当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=k（x﹣1），代入圆方程x2+y2=4，整理得（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣4=0，∴，，又，∴…（16分）【点评】本题考查直线与圆的方程的综合应用，直线与圆的位置关系，考查计算能力．。
2017-2018高二上学期期末理科试题答案
2017—2018学年上学期期末考试 高中二年级 理科数学 参考答案一、选择题：CBCBC CDADA BB二、填空题：13.;13 14. 6； 15.;14 16.③. 三、解答题：17.解：p 真：若方程有两个不等的负根，则解得 2.m > ……………3分q 真：方程无实根，则216(2)160m --<，解得1 3.m << …………6分因为“或”为真，“且”为假，所以,一真一假.故2,2,13,13m m m m m >≤⎧⎧⎨⎨<<≤≥⎩⎩或或解得12 3.m m <≤≥或 ……………………………………10分18.解：（1）由题意可得2362a a a =⋅，又因为11-=a ，,)21()51()1(2d d d +-=+-⋅+-∴.2=∴d ………… …………………………………………2分32-=∴n a n ；.22n n s n -= …………………………… 4分（2）),121321(21)12)(32(111---=--==+n n n n a a b n n n ………6分)]121321()3111()1111[(2121---++-+--=+++=∴n n b b b T n n ………8分.12)1211(21--=---=n n n ………………12分 19解：（1）由题意得n n n f 9.0)2.06.04.02.0(4.14)(++++++= ………3分n n n 9.02)1(2.04.14+++=.4.141.02++=n n ………6分（2）设该车的年平均费用为S 万元，则有)4.141.0(1)(12++==n n nn f n S …………8分210x mx ++=⎩⎨⎧>>-=∆.0,042m m 244(2)10x m x +-+=p q p q p q.4.3144.1214.1410=+≥++=nn ………10分 当且仅当nn 4.1410=，即12=n 时，等号成立，即S 取最小值4.3万元.……11分 答：这种汽车使用12年报废最合算，年平均费用的最小值是4.3万元.………12分 20解: （1）因为0cos )2(cos =-+⋅C a b B c ，由正弦定理得：0cos )sin 2(sin cos sin =-+⋅C A B B C ．……2分,cos sin 2cos sin cos sin C A C B B C ⋅=⋅+⋅.cos sin 2sin C A C B ⋅=+∴）（……………………4分在ABC ∆中，,0sin sin≠=+A C B ）（ .21cos =∴C …………………………………………5分又),,0(π∈C .3π∈∴C ………………………………………………6分（2）在ABC ∆中，由71cos =A ，得,734sin =A则.1435237121734)sin(sin =⨯+⨯=+=C A B ………………8分 由正弦定理得57sin sin ==B C b c ． 设x c 7=，x b 5=，在ACD ∆中，由余弦定理得： A AD AC AD AC CD cos 2222⋅-+=，则2212911125492574427x x x x =+⨯-⨯⨯⨯⨯，解得1x =，………………10分 即5,7==b c ，……11分, 故310sin 21==∆A bc S ABC ．……12分 21解：（1）∵,222BD BC CD +=∴.BD BC ⊥又∵PD ⊥底面,ABCD ∴.BC PD ⊥ …………2分 又∵D BD PD =⋂∴⊥BC 平面.PBD而⊂BC 平面,PBC ∴平面⊥PBC 平面.PBD …………4分 （2）由（1）所证，⊥BC 平面.PBD所以∠PBD 即为二面角D BC P --的平面角，即∠PBD .4π= 而32=BD ，所以.32=PD因为底面ABCD 为平行四边形，所以DB DA ⊥,分别以DA 、DB 、DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．……6分则)0,0,2(A ，)0,32,0(B ，)0,32,2(-C ，)32,0,0(P ,所以，)32,0,2(-=，)0,0,2(-=，)32,32,0(-=,…………8分设平面PBC 的法向量为),,(c b a =，则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙,0,0BC n 即⎩⎨⎧=+-=-.03232,02c b a令1=b ，则0,1==a c 所以).1,1,0(= …………10分∴AP 与平面PBC所成角的正弦值为分12 (46)2432sin =⨯==θ 22.解：(1)由题意得：,222211121=>==+=+F F P F MP MF MF MF∴点M 的轨迹C 为以21,F F 为焦点的椭圆．………………………2分,22,222==c a .1,2222=-==∴c a b a∴点M 的轨迹C 的方程为1222=+y x ．……………………………………4分 (2)当直线l 的斜率存在时，可设其方程为31+=kx y ，设),,(),,(2211y x B y x A联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+31,1222kx y y x 可得.01612)21(922=-++kx x k由求根公式可得：)21(916,)21(34221221k x x k k x x +-=⋅+-=+…………………………6分 zyx假设在y 轴上是否存在定点),0(m Q ，使以AB 为直径的圆恒过这个点， 则⊥即0=⋅．),,(),,(2211y m x y m x --=--=))((2121y m y m x x --+=⋅)31)(31(2121----+=kx m kx m x x9132))(31()1(221212+-++-++=m m x x m k x x k ………………8分9132)21(9)31(12)21(9)1(1622222+-++--++-=m m k m k k k .0)21(9)1569()1818(2222=+--+-=k m m k m由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-,01569,0181822m m m 解得：.1-=m∴在y 轴上存在定点)1,0(-Q ，使以AB 为直径的圆恒过这个点.………11分当直线l 的斜率不存在时，经检验可知也满足以AB 为直径的圆恒过这个点)1,0(-Q ． 因此，在y 轴上存在定点)1,0(-Q ，使以AB 为直径的圆恒过这个点…………12分。
2017-2018第一学期高二理科数学参考答案及评分标准_最新修正版
2017—2018学年度第一学期期末教学质量检查高二理科数学参考答案及评分标准13.4 14. )1,0[ 15.16.)2,3[ 三、解答题17.解：由03422≤+-m mx x 得0)3)((≤--m x m x ，又0>m ，所以m x m 3≤≤， …………………2分 （1）当2=m 时， 62≤≤x ，即p 为真时实数x 的取值范围是62≤≤x .……………3分 由()():230q x x +-≤，即:23q x -≤≤ …………………4分若p q ∧为真，则p 真 且q 真，⎩⎨⎧≤≤-≤≤3262x x ………………5分解得32≤≤x ，所以实数x 的取值范围是]3,2[ …………………6分(2 ) q ⌝是p ⌝的充分不必要条件, 等价于p q ⇒，且q p ≠>，…………………7分由03422≤+-m mx x 得0)3)((≤--m x m x ，又0>m ，所以m x m 3≤≤， 设{}m x m x A 3≤≤=,{}32≤≤-=x x B ，则A ⊂≠B ………………8分 【另解：q ⌝：2-<x 或3>x ；p ⌝：m x <或m x 3>…………………7分 {}32>-<x x x 或⊂≠{}m x m x x 3><或 ………………8分 】所以⎩⎨⎧<-≥332m m 或⎩⎨⎧≤->332m m解得12<≤-m 或12≤<-m 即12≤≤-m ，又因为0>m …………………9分所以实数m 的取值范围是(]0,1………………10分18. 解：(1)∵数列}{n a 是公差为2的等差数列，∴)1(21-+=n a a n ， …………………2分∴122a a +=， 134a a += …………………3分 又62是2a 与3a 的等比中项， ∴(2424= …………………4分2=8=- 舍去)，故数列{}n a 的通项公式为24n a n =. …………………6分(2)∵12-=⋅n nn a b ，n n n b )21()12(⋅-=∴ …………………7分54n n n n n S )21()12()21()32()21(5)21(3211132⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=- ① ………………8分 1432)21()12()21()32()21(5)21(3)21(121+⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S ②…………9分① - ② 得132)21()12()21(2)21(2)21(22121+⨯--⨯++⨯+⨯+=n n n n S …………10分 132)21()12(])21()21()21[(22121+⨯--+++⨯+=n n n n S 11)21()12(211])21(1[4122121+-⨯----⨯+=n n n n Sn n n S )21)(23(3+-=∴ …………12分19. 解：依题意，设每月生产x 把椅子，y 张书桌，利润为z 元. …………1分 那么，目标函数为1520z x y =+， …………2分x ，y 满足限制条件**61060004226000,N 0,N x y x y x x y y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥∈⎪⎪≥∈⎩即**353000213000,N 0,N x y x y x x y y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥∈⎪⎪≥∈⎩…………5分 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图阴影部分. …………8分作直线:15200340,l x y x y +=+=即平移直线l ，当直线通过B 点时，目标函数取得最大值 …………10分 由35300021300x y x y +=⎧⎨+=⎩,得500300x y =⎧⎨=⎩所以点B 的坐标为（500，300）， …………11分 此时，max 155002030013500z =⨯+⨯=所以该公司每月制作500把椅子、300张书桌可获得最大利润13500元. …………12分20.解：（1）22nn S n +=当1=n 时，111==S a ， ……………………………………1分 当n S S a n n n n =-=≥-12时，， ……………………………2分又1=n 时，11a =所以n a n = )(*N n ∈ ………………………3分不妨设ABC ∆三边长为7,5,3===c b a ，21532753cos 222-=⨯⨯-+=C …………4分 所以23sin =C ……………………5分所以4315235321=⨯⨯⨯=∆ABC S ……………………6分【注意：求出其它角的余弦值，利用平方关系求出正弦值，再求出三角形面积，同样得分】（2）假设数列{}n a 存在相邻的三项满足条件，因为n a n =，设三角形三边长分别是2,1,++n n n ，)121(>⇒+>++n n n n ，三个角分别是ααπα2,3,- …………………………………8分由正弦定理：αα2sin 2sin +=n n ，所以n n 22cos +=α ………………………9分 由余弦定理：αcos )2)(1(2)2()1(222++-+++=n n n n n ，即 nn n n n n n 22)2)(1(2)2()1(222+⋅++-+++= ………………………10分化简得：0432=--n n ，所以：4=n 或1-=n （舍去） ………………………11分当4=n 时,三角形的三边长分别是6,5,4,可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍. 所以数列{}n a 中存在相邻的三项6,5,4，满足条件. …………………12分21.解：（1）证明：连接,,BE AC AF .取AD 的中点O ，连接OE ， 依题意易知OE AD ⊥，平面ADE ⊥平面ABCD 又,OE ADE ADE ABCD AD ⊂⋂=平面平面平面OE ∴⊥平面ABCD ………………………1分O OA x OE z O AB y ∴以为原点，为轴，为轴，过作的平行线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()1,2,0C -，(E ， (F ，…2分()()(1,1,3,2,2,0,BE AC AF ∴=--=-=- 0,0BE AC BE AF ∴⋅=⋅=,A E AC F B BE ∴⊥⊥ ………………………4分又ACF AF AC A AF AC 平面、⊂=, ， ACF BE 平面⊥∴………………………5分（2）解：由（1）知()(2,1,0,BC BF =-=-设平面BCF 的一个法向量),,(1111z y x n =，由1n BC ⊥，得112x y =， 由1n BF ⊥，得033111=++-z y x ，不妨令11=x ，可得)335,2,1(1-=n . ……………6分 设),,(P P P z y x P ,EF EP λ=（)10≤≤λ，又)0,4,0(=EF则)0,4,0()3,,(λ=-P P P z y x ，所以)3,4,0(λP …………………7分)3,14,1(),0,1,2(--=-=λ设平面PBC 的一个法向量),,(2222z y x n =，由n ⊥2，得222x y =， 由BP n ⊥2，得03)14(222=+-+-z y x λ，不妨12=x ，可得)383,2,1(2λ-=n ……………9分8103)83(153403403)83(413254138333541,cos 2221=-+⋅=-++⋅++-⋅-+>=<∴λλλλn n .……10分 所以01282=-+λλ，解得41=λ， 21-=λ （舍） ………………………11分所以31=PF EP ………………………12分22.解：（1）依题意可设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，3=b …………………1分则右焦点)0,(c F .由题设条件：2323=+c , 解得：3=c .………………………3分 故所求椭圆的标准方程为：131222=+y x .………………………4分（2）设),(),,(2211y x N y x M ，则直线与椭圆C 方程联立223,1,123x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简并整理得036)4(22=-++my y m ，∴12264m y y m +=-+，12234y y m =-+ ………………５分 由题设知),(221y x N - ∴直线1N M 的方程为)(121211x x x x y y y y --+=- 令0=y 得211221211*********)3()3()(y y y my y my y y y x y x y y x x y x x ++++=++=+--=43464622=++-+-=m m m m ∴点)0,4(P ………………7分 21221214)(121||||21y y y y y y PF S PMN-+⨯⨯=-⋅=∆ 222222)4(132)43(4)46(21++=+--+-=m m m m m ………………９分 166132619)1(213261911322222=+=+++≤++++=m m m m （当且仅当19122+=+m m 即2±=m 时等号成立） ∴PMN ∆的面积最大值为1. ………………12分。
四川省雅安市高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
高中二年级 数学试题（理科）（本试卷满分150分，答题时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后，将答题卡收回.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1. 总体由编号01，02，...，29，30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从如下随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（ ）第1行78 16 62 32 08 02 62 42 62 52 69 97 28 01 98 第2行32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81 A. 27 B. 26 C. 25 D. 19【答案】D 【解析】【分析】根据随机数表法的步骤即可求得答案.【详解】由题意，取出的数有23,20,80（超出范围，故舍去），26,24,26（重复，故舍去），25，26（重复，故舍去），99（超出范围，故舍去），72（超出范围，故舍去），80（超出范围，故舍去），19. 故选：. D 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） 212x y A. B.C.D.1(,0)21(0,)21(,0)81(0,)8【答案】D 【解析】【分析】由标准方程得焦参数，即可得焦点坐标．【详解】由已知，，∴焦点坐标为．122p =14p =1(0,8故选：D ．3. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（ ）2212x y m m+=-m A. B.C.D.()0,1()1,2()0,2()()0,11,2U 【答案】D 【解析】【分析】由题知，解不等式组即可得答案.0202m m m m >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩【详解】解：因为方程表示椭圆2212x y m m+=-所以，解得，0202m m m m >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩021m m m >⎧⎪<⎨⎪≠⎩所以实数的取值范围为 m ()()0,11,2U 故选：D4. 若直线的倾斜角为，则实数的值为（ ） 10x ay +-=3π4a A. B.C.D.11-22-【答案】A 【解析】【分析】将直线方程化为点斜式方程，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】解：由题知，故将直线方程化为点斜式方程得， 0a ≠11y x a a=-+因为直线的倾斜角为， 10x ay +-=3π4所以直线的斜率为，即，解得. 10x ay +-=1-11a-=-1a =故选：A5. 已知，满足约束条件则的最小值为（ ）x y 0,0,20,x y x x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-+≥⎩21z x y =-+A.B.C.D.11-2-4-【解析】【分析】作出约束区域的可行域，利用几何意义求解即可.【详解】解：作出约束区域如图，将变形为， 21z x y =-+21y x z =-+所以当最小时，直线在轴上的截距最大， z 21y x z =-+y 所以当过点时，取最小值，21y x z =-+B 21z x y =-+联立方程得，20x y x y +=⎧⎨-+=⎩()1,1B -所以的最小值为 21z x y =-+()21112z =⨯--+=-故选：C6. 如图是我国2011-2021年国内生产总值（GDP ）（单位：亿元）及其年增长率（%）的统计图，则下列结论错误的是（ ）A. 2011-2021年国内生产总值逐年递增B. 2021年比2020年国内生产总值及其年增长率均有增加C. 2014-2017年国内生产总值年增长率的方差大于2018-2021年的方差D. 2011-2021年国内生产总值年增长率的平均值小于7.0% 【答案】C【分析】根据直方图进行数据分析，结合各选项的描述判断正误即可. 【详解】由题图，2011-2021年国内生产总值逐年呈上升趋势，A 正确.由题图，2020与2021两年的数据，国内生产总值及其年增长率均有增加，B 正确.2014-2017年国内生产总值年增长率的波动较小，而2018-2021年国内生产总值年增长率的波动较大， 所以2014-2017年国内生产总值年增长率的方差小于2018-2021年的方差，C 错. 2011-2021年国内生产总值年增长率的平均值为， ()19.67.97.87.47.0 6.8 6.9 6.7 6.0 2.38.1 6.9511⨯++++++++++≈所以2011-2021年国内生产总值年增长率的平均值小于7.0%， D 正确. 故选：C7. 根据如下样本数据，得到回归直线方程为，则( ) y bx a =+x 4 5 6 7 8 9 y 5.03.50.51.5-1.0-2.0A. ，B. ， 0a >0b >0a >0b <C. ，D. ，a<00b >a<00b <【答案】B 【解析】【分析】根据表中数据分析随x 的增加y 的变化趋势可知b 的正负，根据回归直线的纵截距正负即可判断a 的正负．【详解】根据表中数据可知，随着x 的增加y 减小，故y 与x 是负相关，故回归直线斜率为负，故b <0； 再结合散点图以及直线的性质，根据x =4，5，6，7时y 均为正可知回归直线当x =0时与y 轴截距为正，故a >0． 故选：B ．8. 已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，点A 在C 上，于B ，若，则2:12C y x =AB l ⊥23FAB π∠=（ ）||BF =A. 6B.C. 4D. 3【答案】B【分析】由抛物线定义可得是等腰三角形，从而可得，进而可得结果.ABF △6BFD π∠=【详解】因为抛物线方程为，所以焦点坐标为， 212y x =(3,0)F 由抛物线的定义可知：，如图所示： AF AB =设准线与轴的交点为，l x D所以是等腰三角形，又， ABF △23FAB π∠=所以，而， 6ABF BFD π∠=∠=6DF p ==所以cos 6DF BF ===π故选：B9. 直线与圆交于，两点，且弦长的最小值为()()3221510m x m y m ++---=223x y +=M N MN （ ） A.B. C. D.12【答案】D 【解析】【分析】首先，将直线方程变形，可知直线过定点（1,1）.由该点在圆内，将弦长最短问题转化为圆心到直线距离最大问题，即可求解【详解】直线可整理为,()()3221510m x m y m ++---=(325)(21)0m x y x y +-+--=由相交直线系方程可知，直线必过（1,1）记为P ，由P 到圆心的距离可知，该点在圆内.设圆223x y +=心为O ,到直线距离记为，则若要最小，只需最大. d =2MN MN d 由位置关系可知，,故最小值为2d OP ≤=MN故答案为：D10. 椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率互为倒数，为椭圆上任意一点，则角2213y x -=1F 2F P 的最大值为（ ）12F PF ∠A .B.C.D.5π62π3π2π3【答案】D 【解析】【分析】设椭圆方程为，根据条件列方程求出，即可求出椭圆方程，当点为椭圆短轴22221x y a b+=,a b P 端点时角最大，利用余弦定理可求得该角.12F PF ∠【详解】设椭圆方程为，22221x y a b+=则，解得， 222213211c c a a b c⎧=+⎪⎪⋅=⎨⎪=+⎪⎩2216,12a b ==则椭圆方程为，2211612x y +=当点为椭圆短轴端点时角最大，P 12F PF ∠此时， ()22212221616161cos 22162a a c F PF a +-+-∠===⨯因为，()120,F PF π∠∈ 12π3F PF ∴∠=故选：D.11. 过点P （2，1）的直线l 与坐标轴的正半轴交于A ，B 两点，当三角形OAB 的面积最小时直线l 与圆相切，则实数m 的值为（ ）()()2215x y m ++-=A. ﹣1或4 B. 1或6C. 0或5D. 2或7【答案】C 【解析】【分析】结合基本不等式求得当直线的斜率时，三角形面积最小.结合直线与圆相切，利l 12k =-OAB 用点到直线的距离公式求得的值.m 【详解】因为过点P （2，1）的直线l 与坐标轴的正半轴交于A ，B 两点，设直线l 的方程为y ﹣1＝k （x ﹣2），其中k ＜0， 令y ＝0，解得x ＝，令x ＝0，则y ＝1﹣2k ，则A （，0），B （0，1﹣2k ）， 12k -12k-所以＝＝4，当其仅当，11(2)(12)2OAB S k k =⨯--A 111(44)4)22k k --+≥⨯14k k -=-即k ＝时取等号， 12-此时直线l 的方程为，即x +2y ﹣4＝0， 11(2)2y x -=--因为直线l 与圆相切，()()2215x y m ++-=，解得m ＝0或m ＝5．=故选：C12. 如图所示，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、1F 2F C 22221()00a x y a b b >-=>，1F C 右两支分别交于A ，两点．若，则双曲线的离心率为（ ） B 22345AB BF AF =∶∶∶∶A. 2B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】不妨令，，，根据双曲线的定义可求得，，再3AB =24BF =25AF =1a =290ABF ∠=利用勾股定理可求得，从而可求得双曲线的离心率．2452c =【详解】，不妨令，，， 22345AB BF AF = ：：：：3AB =24BF =25AF =，，22222||||AB BF AF += 290ABF ∠∴= 又由双曲线的定义得：，，122BF BF a -=212AF AF a -=，11345AF AF ∴+-=-13AF ∴=．，．123342BF BF a ∴-=+-=1a ∴=在中，， 12Rt BF F A 222221212||||6452F F BF BF =+=+=又，， 2212||4F F c =2452c ∴=c ∴=双曲线的离心率． ∴ce a==故选;C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m ，n 的比值___________． mn=【答案】##0.375 38【解析】【分析】由乙数据可得中位数，即可求m ，再由甲数据求平均数为33，即可求n ，即可结果. 33【详解】由图知：甲数据为，乙数据为，且，27,30,39m +20,32,34,38n +,[0,10)m n ∈显然乙的中位数为，故，则， 3234332+=3033m +=3m =所以平均数为，即，可得，273339333++=20323438334n ++++=8n =故. 38m n =故答案为：3814. 双曲线的焦点到渐近线的距离等于_____．22149x y -=【答案】 3【解析】【分析】由给定的双曲线方程写出它的焦点和渐近线的方程，再利用点到直线的距离公式求解即得.【详解】双曲线中，实半轴a =2，虚半轴b =3，则半焦距，22149x y -=c ===所以双曲线焦点，渐近线方程，即，(F 32y x =±320x y ±=. 3==故答案为：315. 已知椭圆的离心率为，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，直线()22122:10x y C a b a b +=>>与直线l 的交点恰好为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为______．12y x =-【答案】##0.5 12【解析】可得，再利用点差法求直线l 的斜率. 2a b =【详解】由题意可得．c e a ===2a b =设，，则，，两式相减可得()11,A x y ()22,B x y 2211221x y a b +=2222221x y a b +=．()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=因为直线与直线l 的交点恰好为线段AB 的中点，所以，12y x =-121212y y x x +=-+则直线l 的斜率． ()212122121211242y y x x b k x x a y y -+==-⋅=-⨯-=-+故答案为：.1216. 设，分别为椭圆：与双曲线：的公共1F 2F 1C ()2211221110x y a b a b +=>>2C ()2222222210x y a b a b -=>>焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的M 1290F MF ∠=︒134e ⎡∈⎢⎣2C 离心率的取值范围为________________________．2e 【答案】 【解析】【分析】由题意，根据椭圆和双曲线的定义，表示出焦半径，整理齐次方程，根据离心率定义以及二次函数的性质，可得答案.【详解】由椭圆及双曲线定义得，，1212MF MF a +=1221122MF MF a MF a a -=⇒=+212MF a a =-，因为，所以，，， 1290F MF ∠=︒()()22212124a a a a c ++-=222122a a c +=2212112e e +=因为，，，所以，则134e ⎡∈⎢⎣2198,169e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦211916,89e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦222111272,98e e ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，2e ∈因为，，由，所以，因此．22a b >221b a <22c e a==<21e <<2e ∈故答案为：. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在中，已知点，，． ABC A ()8,4A ()4,1B -()6,3C -（1）求BC 边上中线的方程．（2）若某一直线过B 点，且x 轴上截距是y 轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程． 【答案】（1）；340x y -+=（2）或 04=+y x 220x y +-=【解析】【分析】（1）求出BC 中点坐标，即可直接写出方程；（2）若直线过原点，直接写出方程；若直线不过原点，设y 轴上截距为m ，写出截距式，代入B 点即可解得参数. 【小问1详解】 BC 中点，即，故BC 边上中线的方程为，即； 461322--+⎛⎫⎪⎝⎭，()11-，()411181y x --=++340x y -+=【小问2详解】直线过B 点且x 轴上截距是y 轴上截距的2倍，i . 若直线过原点，则直线方程为，即； 14y x =-04=+y x ii . 若直线不过原点，设y 轴上截距为m ，则直线方程为，代入B 点解得，故直线方程12x ym m+=1m =为，即； 12xy +=220x y +-=故该直线的一般式方程为或.04=+y x 220x y +-=18. 内蒙古自治区成立70周年.某市旅游文化局为了庆祝内蒙古自治区成立70周年，举办了第十三届成吉思汗旅游文化周.为了了解该市关注“旅游文化周”居民的年龄段分布，随机抽取了名年龄在600[10,60]且关注“旅游文化周”的居民进行调查，所得结果统计为如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计该市被抽取市民的年龄的平均数和众数；（2）若按照分层抽样的方法从年龄在，的居民中抽取人进行旅游知识推广，并在知识[10,20)[50,60]6推广后再抽取人进行反馈，求进行反馈的居民中至少有人的年龄在的概率. 21[50,60]【答案】（1）平均数32，众数35；（2）． 35【解析】【分析】（1）先求出年龄在[30,40)的频率，再由平均数的公式计算即可，众数选取最高的矩形，取宽的中点即可.（2）由分层抽样抽得样本，然后用字母表示样本，然后列举基本事件，用古典概型的公式计算即可. 【小问1详解】年龄在[30,40)的频率为， 1(0.0200.0250.0150.010)100.3-+++⨯=故估计该市被抽取市民的年龄的平均数为：.150.2250.25350.3450.15550.132⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=众数为3040352+=【小问2详解】由分层抽样得被抽取的6人中，有4人年龄在[10,20)，分别记为，有2人年龄在[50,60] ,分别记a b c d ,,,为.,E F 则“抽取2人进行反馈”包含的基本事件为(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a c a d a E a F b c b d ，共15种，(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)b E b F c d c E c F d E d F E F 其中事件“至少有1人的年龄在[ 50,60]”包含的基本事件为，共9种，(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a E a F b E b F c E c F d E d F E F 故该事件发生的概率. 93155p ==19. 某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如表． 商店名称A B C D E 销售额x （千万元） 3 5 6 7 9 利润额y （千万元） 23345（1）若销售额和利润额具有相关关系，用最小二乘法计算利润额y 对销售额x 的回归直线方程．（参考公式，） 1221ˆni ii ni i x y n x ybx n x==-⋅⋅=-⋅∑∑ˆˆay bx =-（2）若该公司计划再开一个店想达到预期利润为8百万，请预估销售额需要达到多少?【答案】（1）ˆ0.50.4yx =+（2）8百万 【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合最小二乘法和回归直线方程的公式，即可求解.（2）将代入回归直线方程中，即可求解. ˆ0.8y=【小问1详解】 由表中的数据可得，，， ()13567965x =⨯++++=()123345 3.45y =⨯++++=，，5152221511256 3.4ˆ0.5200565i ii ii x y x ybxx==-⋅⋅-⨯⨯===-⨯-⋅∑∑ˆ 3.40.560.4a =-⨯=故利润额y 对销售额x 的回归直线方程为． ˆ0.50.4yx =+【小问2详解】∵该公司计划再开一个店想达到预期利润为8百万，即0.8千万， ∴，解得，故预计销售额需要达到8百万． 0.80.50.4x =+0.8x =20. 已知圆的圆心在直线上，且经过点，． C 20x y +-=()4,0A ()2,2B （1）求圆的方程；C （2）若直线，点为直线上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，:100l x y --=P l P C M N 当四边形面积最小时，求直线的方程． PMCN MN 【答案】（1）()2224x y -+=（2） 30x y --=【解析】【分析】（1）求出直线的垂直平分线方程，联立两直线方程求出交点坐标，即可得到圆心坐标，从AB而求出圆的半径，即可得到圆的方程.（2）由可知当最小时四边形面积最小，当时，最小，22PMC PMCN S S PM ==四边形△PM PC l ⊥PM 求出直线的方程，从而求出点坐标，即可求出以为直径的圆，再两圆方程作差可得. PC P PC 【小问1详解】 解：由题意可得：，中点坐标为， 20124AB k -==--AB ()3,1M 则直线的垂直平分线方程为，由，解得，AB 13y x -=-2013x y y x +-=⎧⎨-=-⎩20x y =⎧⎨=⎩所以两直线的交点坐标为，即所求圆的圆心坐标为，圆的半径， ()2,0()2,0422r =-=所以圆的方程为． ()2224x y -+=【小问2详解】解：∵， 22PMC PMCN S S PM ==四边形△∴当最小时四边形面积最小， PM 又得当时，最小，PM PC l ⊥PM 此时，直线的方程是， 1PC k =-PC 2y x =-+由，解得，2100y x x y =-+⎧⎨--=⎩64x y =⎧⎨=-⎩所以直线与直线的交点为，lPC ()6,4P-的中点为，PC ()4,2-PC ==故以为直径的圆为，PC ()()22428x y -++=又易知，在以为直径的圆上，则直线是以为直径的圆与圆C 的公共弦，M N PC MN PC 联立两圆方程，两式相减得到， ()()()222242824x y x y ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩30x y --=所以直线：.MN 30x y --=21. 已知抛物线与直线交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为()2:20C y px p =>:20l x y +=．()8,p P y （1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 作直线m 交抛物线于点A ，B ，是否存在定点M ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点M ．若存在，请求出点M 坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；24y x =（2）存在,. ()4,4【解析】【分析】（1）联立抛物线与直线，结合中点横坐标为8列方程求参数p ，即可得抛物线方程.（2）设直线，，，联立抛物线，假设存在以AB 为直径的圆恒():84m x t y -=+()11,A x y ()22,B x y 过，应用韦达定理及恒成立求参数m 、n ，即可得结果. (),M m n 0MA MB ⋅=【小问1详解】 将代入，得； 12y x =-22y px =280x px -=∴，可得，所以抛物线C 的方程为． 882p=2p =24y x =【小问2详解】设直线，，．():84m x t y -=+()11,A x y ()22,B x y 联立，整理得，248(4)y x x t y ⎧=⎨-=+⎩2416320y ty t ---=所以，． 124y y t +=121632y y t =--假设存在以AB 为直径的圆恒过，(),M m n 则恒成立， 221212,,044y y MA MB m y n m y n ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 化简得，()()222164488432160m t m n t m n m -+--+++-=令，可得， 2216404884032160m m n m n m ⎧-=⎪--=⎨⎪++-=⎩4m n ==故以弦AB 为直径的圆恒过．()4,422. 平面直角坐标系中，已知椭圆xoy ()2222:10x y C a b a b +=>>，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.12,F F 1F 2F C（Ⅰ）求椭圆的方程；C （Ⅱ）设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两2222:144+=x y E a bP C P y kx m =+E ,A B 点，射线交椭圆于点.PO C Q （i ）求的值；OQOP（ⅱ）求面积的最大值.ABQ ∆【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i ）2；（ⅱ）. 2214x y +=【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的定义与几何性质列方程组确定的值，从而得到椭圆的方程；,a b （Ⅱ）（i ）设，，由题意知，然后利用这两点分别在两上椭圆上确()00,P x y OQOPλ=()00,x Q y λλ--定的值; （ⅱ）设，利用方程组结合韦达定理求出弦长，选将λ()()1122,,,A x y B x y 22{1164y kxmx y =++=AB 的面积表示成关于的表达式OAB ∆,km 2212S m x x =⋅-=，然后，令，利用一元二次方程根的判别式确定的范围，从而求=2214m t k =+出的面积的最大值，并结合（i ）的结果求出面积的最大值.OAB ∆ABQ ∆试题解析：（Ⅰ）由题意知，则,又可得, 24a =2a =222c a c b a =-=1b =所以椭圆C 的标准方程为.2214x y +=（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E 的方程为,2214x y +=（i ）设，，由题意知因为,()00,P x y OQ OP λ=()00,x Q y λλ--220014x y +=又，即,所以，即.()()22001164x y λλ--+=2220144x y λ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2λ=2OQ OP =（ⅱ）设 ()()1122,,,A x y B x y 将代入椭圆E 的方程， y kx m =+可得()2221484160kxkmx m +++-=由，可得①0∆>22416m k <+则有 21212228416,1414km m x x x x k k-+=-=++所以 12x x -=因为直线与轴交点的坐标为y kx m =+()0,m所以的面积OAB ∆2212S m x x =⋅-===令,将代入椭圆C 的方程可得 2214m tk =+y kx m =+()222148440k x kmx m +++-=由，可得② 0∆≥2214m k ≤+由①②可知 01t <≤因此,故S ==S ≤当且仅当，即时取得最大值1t =2214m k =+由（i ）知，面积为,所以面积的最大值为.ABQ ∆3S ABQ ∆考点：1、椭圆的标准方程与几何性质；2、直线与椭圆位置关系综合问题；3、函数的最值问题.。
四川省雅安市高二上学期期末数学试卷(理科)
四川省雅安市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共17分)1. （1分）(2015·合肥模拟) 命题：“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”的否定为________．2. （1分） (2018高二上·扶余月考) 已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，P是上一点，Q是直线PF 与抛物线的一个交点，若，则|QF|=________．3. （1分）已知3i﹣2是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，则实数p+q=________4. （1分） (2018高二上·长安期末) 若函数在上存在递增区间，则的取值范围是________．5. （1分）以椭圆9x2+4y2=36的长轴端点为短轴端点，且过点（﹣4，1）的椭圆标准方程是________6. （1分） (2015高二下·咸阳期中) 复平面内，若z=m2（1+i ）﹣m（4+i）﹣6i所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是________．7. （2分） (2016高二上·台州期中) 向量 =（2，﹣1，3）， =（﹣4，2，x），若⊥ ，则x=________；若与夹角是锐角，则x 的取值范围________．8. （1分） (2019高二上·延边月考) 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．9. （1分） (2015高二下·张掖期中) 曲线y=x3﹣4x在点（1，﹣3）处的切线倾斜角为________．10. （2分） (2019高一上·杭州期中) 已知函数，则 ________；的递减区间为________．11. （1分） (2016高一下·黄冈期末) 已知实数x，y满足，则ω= 的取值范围是________．12. （2分）已知点A（﹣3，1，4），则点A关于原点的对称点B的坐标为________ ；AB的长为________13. （1分） (2018高二上·江苏月考) 已知椭圆的离心率为，过右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，则 ________．14. （1分） (2017高二下·黄山期末) 若；q：x=﹣3，则命题p是命题q的________条件（填“充分而不必要、必要而不充分、充要、既不充分也不必要”）．二、解答题 (共6题；共75分)15. （15分） (2016高二下·三原期中) 实数m取什么数值时，复数z=m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i分别是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．16. （20分）解下列不等式或不等式组：（1）；（2）；（3）﹣x2＞；（4） x2﹣x+ ≤0．17. （10分） (2015高三上·大庆期末) 已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AA1⊥AC，M、N 分别为棱AA1、CC1的中点．（1）求证：直线MN⊥平面B1BD；（2）已知AA1=AB，AA1⊥AB，取线段C1D1的中点Q，求二面角Q﹣MD﹣N的余弦值．18. （10分）(2019·黑龙江模拟) 已知函数，记在点处的切线为 .（1）当时，求在上的最小值；（2）当时，求证：函数的图像（除切点外）均在切线的下方.19. （10分） (2015高二上·安徽期末) 已知命题：“∀x∈{x|﹣1≤x≤1}，都有不等式x2﹣x﹣m＜0成立”是真命题．（1）求实数m的取值集合B；（2）设不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20. （10分） (2019高二上·龙潭期中) 已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，点，点在线段的中垂线上．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，直线与的倾斜角分别为，且，求证：直线过定点，并求该定点的坐标．参考答案一、填空题 (共14题；共17分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共75分) 15-1、15-2、15-3、16-1、16-2、16-3、16-4、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、。