静定结构的位移计算.

( M FQ 0 FN )ds
整根杆件的内虚功为：
Wi dWi (M FQ 0 FN )ds
15
根据虚功方程W=Wi，所以有：
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q(s)w(s)ds F
i
Pi
i FR K CK
K
( M FQ 0 FN )ds
13
பைடு நூலகம் q(s)
q(s)ds
FP 2
ds
FP 3
ds
华 FR1
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FP1
FR 2
C1
w( s ) 2
3
C2
第一状态 （给定平衡力系）
1
第二状态 （给定位移和变形）
M
M
FQ
ds
d
ds
FQ


ds
γ0
d 0ds
d
FN
FN
ds
ds
d ds 14
1 1 1 ( 1 2 ) 0 l l


l
1 1 (1 2 ) 0 l

( 1 2 )
26
例4-2-3 已知一直杆弯曲成圆弧状，求杆中挠度 。
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A R l/2
Δ
B
C
1/2 A l/2
l/4 1 B
1 FRK CK ( M FQ 0 FN )ds
K
所以
1 ( M FQ 0 FN )ds FRK CK
K
18
下面以图示刚架为例对位移计算的一般公式加 以具体说明。
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1. 欲求 CV，则在C截面加上竖向单位载荷 FP1 1， 则该静定刚架就产生了一组平衡力系。
第四章
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静定结构的位移计算
1
内 容
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§4-1 结构位移计算概述
§4-2 虚功原理 §4-3 结构位移计算的一般公式 §4-4 静定结构在载荷作用下的位移计算
§4-5 温度作用时的位移计算
§4-6 支座下沉的位移计算 §4-7 图乘法
2
§4-1结构位移计算概述
C
cv
cu
C'
t1 c t2
B
A
C
C' c
cv
B

t2 t1 温度变化
支座B下沉
2. 广义位移 通常把两个截面的相对水平位移、相对竖向 位移以及相对转角叫做广义位移。
FP
a)
A
B
AV BV AV BV
AV BV
A、B截面相对竖 向位移 A、B截面竖向位 移之和 4
若 FRK与 CK 同向，则乘积 FRK CK 为正，反之为负。
3）外力虚功 W =1 CV 这一项前取正号。若求得的 CV 0，则 CV 与 FP1 同向；若求得的 CV 0， 则 CV 与 FP1反向。 21
4）根据所求位移的性质虚设相应的单位载荷。
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20
2）正负号规则：
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若 M 及 d ds 使杆件同侧纤维伸长，则乘积为 正，反之为负； 乘积 FQ γ 0 ds 及 FN εds 的正负号分别由力与应变的 正负号确定。FQ 使隔离体产生顺时针转动为正，反 γ 0以顺时针方向为正，反之为负；FN 以拉力 之为负， 为正，压力为负， 以拉应变为正，压应变为负；
由上图b)可得：
M M1 M 2
所以得：
FQ FQ1 FQ 2
FN FN 1 FN 2
29
AB M ds FQ 0ds FN ds
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所以，为了求两个截面的相对位移，只需要在 该两个截面同时加一对大小相等，方向相反，性 质与所求位移相应的单位荷载即可。 下面给出几种情况的广义单位荷载： q
楼盖跨中挠度
吊车梁跨中挠度
7
2）为超静定结构的内力和位移计算准备条件
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求解超静定结构时，只利用平衡条件不能求 得内力或位移的唯一解，还要补充位移条件。 如右图示超静 定单跨梁，若只满 足平衡条件，内力 可以由无穷多组解 答，例如FyB可以取 任意值。
9kN.m
12kN
B
位移 1 。 和 2
10
FP1 FP2 1 1 2 2
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1
1 实功： FP11 2



2
1 FP 2 2 2
虚功： FP11
虚功强调作功的力与位移无关。
11
§4-2 变形体虚功原理及位移计 算一般公式
虚设单位载荷如上页图c) ，d)所示。
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1 AH M1 ds FQ1 0ds FN 1 ds 1 BH M 2 ds FQ 2 0ds FN 2 ds
Δ AB =Δ AH +Δ BH = ( M1 M 2 ) ds ( FQ1 FQ 2 ) 0ds ( FN 1 FN 2 ) ds
B
1
1
C 1 图示单位荷载分别求 位移 CH、CV、C 。
A
5）求位移步骤如下：
①沿拟求位移方向虚设性质相应的单位载荷； ②求结构在单位载荷作用下的内力和支座反力； ③利用位移计算一般公式求位移。
22
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例4-2-1 已知杆AB和BC在B处有折角 (见图a)， 求B截面下垂距离 。 A C B a) 1）将制造误差明确为刚体位移，即在B截面加 铰，见图b)。 A 解：
外力虚功：
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W q( s ) w( s )ds FP11 FP 2 2 FP 3 3 FR1C1 FR 2C2 W q( s ) w( s )ds FPi i FR K CK
i K
微段ds的内虚功dWi： dWi Md FQ d FN d M ds FQ 0ds FN ds
FP
B
C
c
cu
cv
B
C
FP 1
M
FN
A
FR 2
M
FN
A
FR1
FQ ds FQ
给定位移、变形
虚设平衡力系
19
2. 位移计算一般公式 外力虚功 W 1 CV FRK CK
K
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内虚功
Wi (M FQ 0 FN )ds
一、静定结构的位移
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静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制 造误差等因素作用下，结构的某个截面通常会产 生水平线位移、竖向线位移以及角位移。 1. 截面位移
FP
FP
Bu
B
B
C
c
cu
BV
cv
A C
桁架受荷载作用 3
A
刚架受荷载作用
A
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l/3

2l/3

l/3

B


2l/3
C
b) 给定位移
23
A

l/3

B


2l/3
C
A l/3
1 B
C 2l/3
2l/9
华 2/3 1/3 北 c) 虚设平衡力系 水 b) 给定位移 利 2）虚设平衡力系如图c)所示。运用虚功方程W=0得： 水 电 2 2 1 ( l l ) 0 学 9 9 院
7.5kN.m
A
2m
2m FyB 3.75kN
8
三、实功和虚功：
1. 实功
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力 FP1在由该力引起的位移 1 上所作的功称为实功。即
1 W FP11 2
FP1 Δ1
右图中，外力是从零开始线性增大至 FP1，位 1 移也从零线性增大至 1。 W FP11也称为静 2 力实功。
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二、位移计算的一般公式
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变形体虚功原理有两种应用形式，即虚力原理 和虚位移原理。虚力原理：虚设平衡力系求位移; 虚位移原理：虚设位移求未知力。 用变形体虚力原理求静定结构的位移，是将求 位移这一几何问题转化为静力平衡问题。 在变形体虚功方程中，若外力只是一个单位荷 载 FP1 =1，则虚功方程为 ：
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一、 变形体虚功原理
定义：设变形体在力系作用下处于平衡状 态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束 条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外 虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的 内虚功Wi ，即W=Wi 。
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条件：1）存在两种状态： 第一状态为作用有平衡力系； 第二状态为给定位移及变形。 以上两种状态彼此无关。 2）力系是平衡的，给定的变形是符合 约束条件的微小连续变形。 3）上述虚功原理适用于弹性和非弹性 结构。 下面讨论W及Wi 的具体表达式。
1/2 C l/2
l/2 虚设平衡力系
给定位移
解：虚设平衡力系如图所示，运用变形体虚功 方程 W Wi 得：
1 1 1 1 l l2 1 M d M dx Mdx l R RA R 2 4 8R A A