第二章 单因子试验的设计与分析
合集下载
单因素试验
• 同时考虑如下 Cr2 个假设的检验问题，
H
ij 0
： i
j ，i
j, i,
j
1,2,
,r ．
•
样本均值
yi
应是
i
的很好估计，若
H
ij 0
为真，
yi y j
不应过大，过大就应拒绝
H
ij 0
．
5.效应模型
在单因子试验中，对水平 A1, A2 , , Ar 的选择方式有二种： •r 个水平 A1, A2 , , Ar 是特定的，如四个玉米品种，现要
3.单因素试验的方差分析
设 A 表示欲考察的因素，它的 r个不同水平，对应
的作指若标干视次作重复r 试个验总：体nX1,1n, X2 ,2.,....n.Xr .r（. 每可个等水重平复下也，可我不们等
重复），同一水平的
的一个样本：X i1, X i2 ,
ni 个结果，就是这个总体
...X ini .
0
H
1：
2 a
0
若拒绝
H
0
，就意味着
2 a
>0，从而认定
A
的随机效应存
在显著差异，
2 a
愈大，此种差异就愈大。
在方差分析中，总平方和的分解和检验的统计量都
与固定效应完全一样，只是各平方和的含义略有差别。
谢谢！ 请老师和同学们指正！
如今我们选用不平衡设计，即A1, A2, A3, A4分别制作
了7,5,6,6个样品，共有24个样品等待测试。
2.单因素试验举例——随机化
• 这里一次测试就是一次试验，试验次序要随机化。
因子 A 的水平
试验编号
A1
单因素实验设计及结果分析
单因素实验设计及结果分析实验设计是科学研究中至关重要的一部分，它帮助研究者确定实验的目的、方法和结果的解释。
在本文中，我们将探讨单因素实验设计及其结果分析方法。
单因素实验设计在科学研究和统计分析中被广泛应用，它可以帮助我们了解一个因素对实验结果的影响。
单因素实验设计是指在一个实验中，研究者只改变一个因素（独立变量），并观察这个因素对实验结果（依赖变量）的影响。
这种实验设计有助于我们分析变量之间的因果关系。
下面将介绍一些常见的单因素实验设计及其结果分析方法。
1. 随机分组设计：这是一种常见的单因素实验设计方法。
研究者通过随机将被试分为实验组和对照组，实验组接受独立变量的处理，而对照组则不接受处理。
比较两组的实验结果，可以得出独立变量对实验结果的影响。
2. 重复测量设计：这种设计方法适用于需要连续观察同一组被试的实验。
研究者在不同时间点对被试进行多次测量，比较测量结果的差异，以确定独立变量对实验结果的影响。
3. 配对设计：配对设计适用于需要考虑个体差异的实验。
在这种设计中，被试会与其他被试进行配对，以使每对配对中的两个被试在某些重要特征上相似。
然后，每对配对中的一名被试接受独立变量的处理，而另一名被试作为对照。
结果的分析是单因素实验中不可或缺的一部分。
下面将介绍一些常见的对实验结果进行分析的统计方法。
1. 描述统计分析：描述统计分析是对数据进行总结和描述的方法。
通过计算均值、标准差、百分位数等参数，我们可以对实验结果的整体特征进行描述。
2. 方差分析：方差分析是一种用于比较不同组之间差异的方法。
通过计算组间方差和组内方差之间的比值，我们可以确定独立变量对实验结果是否有显著影响。
3. T检验：T检验是一种用于比较两组均值差异是否显著的方法。
在单因素实验中，可以使用独立样本T检验（用于比较不同组）或配对样本T检验（用于比较同一组在不同条件下的均值）。
4. 相关分析：当我们需要研究两个变量之间的关系时，可以使用相关分析。
全因子实验和部分因子实验设计说明书
11900 12890 12100 10900
13930 10210
8300
9500
12400 10290
8965
9640
三因素两水平试验设计例
三因素两水平试验设计是实际中比较常见的设 计案例,熟练掌握它对实战具有极强的指导作用.本 节将以一个三因素二水平试验设计案例来详细讨论 本类设计.
滑轨滚珠成型过程改善案例 某公司专业生产精密滑轨,在全球气动元件市 场占有30%的份额,并享有良好的声望.但半年前公 司应市场需求开发的一种滑轨的滑动力不够稳定, 有部分产品超过规格.公司根据市场反馈,紧急组织 人员进行分析改进.改善小组经过调查分析,决定通 过试验设计进行改善.
-1
-1
+1
+1
3
-1 +1 -1
-1
+1
-1
+1
4
+1 +1 -1
+1
-1
-1
-1
5
-1 -1 +1 +1
-1
-1
+1
6
+1 -1 +1
-1
+1
-1
-1
7
-1 +1 +1
-1
-1
+1
-1
8
+1 +1 +1 +1
+1
+1
+1
无交互作用设计及交互作用设计
上表中交互作用列中的数据是由相关因子相乘得到, 如试验1中:
小组的试验设计策划如下
DOE 试验计划表
项目负责人: 张军 项目 冰箱服务请求问题改善
单因子试验设计课程设计
单因子试验设计课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解单因子试验设计的概念与意义；2. 掌握单因子试验设计的基本步骤与方法；3. 学会运用统计学知识对单因子试验数据进行处理和分析。
技能目标：1. 能够运用所学知识，独立设计简单的单因子试验方案；2. 能够运用统计学方法，对单因子试验数据进行合理的处理和分析；3. 能够通过实例分析，提高解决实际问题的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对科学研究产生兴趣，激发探索精神；2. 培养学生严谨、客观、实事求是的态度，提高学生的科学素养；3. 引导学生认识到单因子试验设计在实际生活中的应用，培养学生的实践意识。
课程性质分析：本课程属于实验设计与统计学领域，旨在帮助学生掌握单因子试验设计的基本原理和方法，培养学生运用统计学知识解决实际问题的能力。
学生特点分析：学生具备一定的数学基础和统计学知识，具有一定的实验操作能力。
在此基础上，通过本课程的学习，学生能够进一步提高实验设计和数据处理能力。
教学要求：1. 理论与实践相结合，注重培养学生的实际操作能力；2. 突出重点，难点分散，确保学生掌握单因子试验设计的核心知识；3. 注重启发式教学，引导学生主动思考，提高学生的问题解决能力。
二、教学内容1. 单因子试验设计的基本概念- 试验因子的选取与分类- 单因子试验设计的类型及特点2. 单因子试验设计的方法与步骤- 试验方案的制定- 试验操作与数据收集- 数据处理与分析3. 单因子试验设计的统计分析- 描述性统计分析- 假设检验与推断性分析- 方差分析在单因子试验中的应用4. 实例分析与练习- 案例分析：经典单因子试验案例介绍- 练习：设计简单的单因子试验方案，并进行数据处理与分析教材章节关联：本教学内容与教材中“实验设计与分析”章节相关，涵盖了单因子试验设计的基本概念、方法与统计分析等内容。
教学进度安排：1. 基本概念与类型：2课时2. 设计方法与步骤：3课时3. 统计分析：3课时4. 实例分析与练习：3课时教学内容确保科学性和系统性，以培养学生的实际操作能力和问题解决能力为目标，注重理论与实践相结合，使学生在掌握单因子试验设计的基础上，能够将其应用于实际问题中。
单因子试验的设计与分析(新课件)
单因素试验结果数据
水平 试验数据
Y11 , Y12 , , Y1m
Y21 , Y22 ,, Y2 m
和
均值
A1
A2
…
T1
T2
Y1
Y2
…
Yr
……
Yr1 , Yr 2 , , Yr m
…
Ar
Tr
第一节 单因素试验的方差分析
方差 来源 因素 A 误差e 总和 T 偏差平方 和 自由度 均方和
F值
T2 n
S e ST S A
第一节 单因子方差分析
生产线 1 86.5 92.0 断 裂 强 度 85.2 87.9 86.0 2 93.4 87.9 90.6 85.5 88.4 3 88.6 93.2 88.8 92.7 90.9 4 94.3 93.3 92.0 89.2 92.5
质量工程师试题
若检验统计量F= 近似等于1，说明（ A 组间方差中不包含系统因素的响 B 组内方差中不包含系统因素的影响 C 组间方差中包含系统因素的影响 D 方差分析中应拒绝原假设 E 方差分析中应接受原假设
）
质量工程师试题
对于单因素方差分析的组内误差，下面哪种说 法是对的？（ ） A 其自由度为r-1 B 反映的是随机因素的影响 C 反映的是随机因素和系统因素的影响 D 组内误差一定小于组间误差 E 其自由度为n-r
2 布 N ( i , ； )
• （2）在不同水平下，各方差相等； • （3）样本相互独立。
质量工程师试题
在单因子实验中，假定因子A有r个水平,可 以看成有r个总体,若符合用单因子方差分 析方法分析数据的假定时,所检验的原假设 是( )。 A、各总体分布为正态。 B、各总体的均值相等。 C、各总体的方差相等。 D、各总体的变异系数相等。
遗传学实验实验四果蝇的单因子试验
01
03 02
推断果蝇的基因型
根据实验数据，推断 出果蝇的基因型。
确定单因子对果蝇表 型的影响，以及其在 遗传中的作用。
利用遗传规律，分析 不同基因型果蝇之间 的组合关系。
验证单因子试验的可靠性
01
通过重复实验，验证单因子试验的可靠性。
02
比较不同实验结果的一致性和差异性，分析可能的 影响因素。
进行实验
按照实验方案进行单因子试验， 观察并记录果蝇在不同条件下的 生长和繁殖情况。
数据记录
详细记录每组果蝇的数量、生长 状况、繁殖情况等数据，以便后 续的数据分析和处理。
04
结果分析
分析实验数据
分析数据，确定表现型与 基因型之间的关系。
统计每个杂交组合中不同 表现型的果蝇数量。
观察并记录果蝇在不同杂 交组合下的表现型。
实验所需的果蝇品系
野生型果蝇
标记品系果蝇
作为实验对照，用于观察突变型果蝇 的表型差异。
用于追踪和鉴定特定基因型的果蝇。
突变型果蝇
具有特定遗传突变特征的果蝇，用于 单因子试验。
03
实验步骤
准备果蝇培养环境
01
02
03
准备果蝇培养瓶
选择适当大小的玻璃培养 瓶，清洗干净后晾干，加 入适量培养基。
控制培养环境
选择实验所需的果蝇品系
选择品系
根据实验目的，选择具有不同遗传背 景和特征的果蝇品系，以便更好地观 察和比较实验结果。
遗传标记
利用已知的遗传标记，确定果蝇品系 的基因型，以便在实验中对果蝇进行 准确的分类和鉴定。
进行单因子试验并记录数据
设计实验
根据实验目的和果蝇品系的特征， 设计单因子试验方案，确定实验 组和对照组。
03 02
推断果蝇的基因型
根据实验数据，推断 出果蝇的基因型。
确定单因子对果蝇表 型的影响，以及其在 遗传中的作用。
利用遗传规律，分析 不同基因型果蝇之间 的组合关系。
验证单因子试验的可靠性
01
通过重复实验，验证单因子试验的可靠性。
02
比较不同实验结果的一致性和差异性，分析可能的 影响因素。
进行实验
按照实验方案进行单因子试验， 观察并记录果蝇在不同条件下的 生长和繁殖情况。
数据记录
详细记录每组果蝇的数量、生长 状况、繁殖情况等数据，以便后 续的数据分析和处理。
04
结果分析
分析实验数据
分析数据，确定表现型与 基因型之间的关系。
统计每个杂交组合中不同 表现型的果蝇数量。
观察并记录果蝇在不同杂 交组合下的表现型。
实验所需的果蝇品系
野生型果蝇
标记品系果蝇
作为实验对照，用于观察突变型果蝇 的表型差异。
用于追踪和鉴定特定基因型的果蝇。
突变型果蝇
具有特定遗传突变特征的果蝇，用于 单因子试验。
03
实验步骤
准备果蝇培养环境
01
02
03
准备果蝇培养瓶
选择适当大小的玻璃培养 瓶，清洗干净后晾干，加 入适量培养基。
控制培养环境
选择实验所需的果蝇品系
选择品系
根据实验目的，选择具有不同遗传背 景和特征的果蝇品系，以便更好地观 察和比较实验结果。
遗传标记
利用已知的遗传标记，确定果蝇品系 的基因型，以便在实验中对果蝇进行 准确的分类和鉴定。
进行单因子试验并记录数据
设计实验
根据实验目的和果蝇品系的特征， 设计单因子试验方案，确定实验 组和对照组。
minitab实验之试验设计(2)解读
（2）对于预测结果的整体估计。计算结果显示R-Sq和R-Sq（预测）分别为92.49%和53.68%，二者差距比较大；残差误差的SSE为288.14，PRESS为1778.45，两者差距也比较大；说明在本例中，如果使用现在的模型，则有较多的点与模型差距较大，模型应该进一步改进。
分析要点三：分析评估各项效应的显著性。计算结果显示，4个主效应中，加热温度、加热时间和保温时间是显著的，只有转换时间不显著；6个2因子水平交互效应中，只有加热时间*保温时间是显著的。说明本例中还有不显著的自变量和2因子交互作用，改进模型时应该将这些主效应和交互作用删除。
加热温度*保温时间3.062 1.531 1.500 1.02 0.337
加热时间*转换时间1.263 0.631 1.500 0.42 0.685
加热时间*保温时间7.113 3.556 1.500 2.37 0.045
转换时间*保温时间0.837 0.419 1.500 0.28 0.787
S = 6.00146 PRESS = 1778.45
稳健参数设计（robust parameter design）（也称健壮设计、鲁棒设计，简称参数设计）是工程实际问题中很有价值的统计方法。它通过选择可控因子的水平组合来减少一个系统对噪声变化的敏感性，从而达到减小此系统性能波动的目的。过程的输入变量有两类：可控因子和参数因子。可控因子是指一旦选定就保持不变的变量，它包括产品或生产过程设计中的设计参数，而噪声因子是在正常条件下难以控制的变量。在做参数设计时，就是把可控因子的设计当做研究的主要对象，与此同时让噪声因子按照设定的计划从而系统改变其水平的方法来表示正常条件下的变化，最终按照我们预定的望大、望小或望目地目标选出最佳设置。田口玄一博士在参数设计方法方面贡献非常突出，他在设计中引进信噪比的概念，并以此作为评价参数组合优劣的一种测度，因此很多文献和软件都把稳健参数设计方法称为田口方法（Taguchi design）。
分析要点三：分析评估各项效应的显著性。计算结果显示，4个主效应中，加热温度、加热时间和保温时间是显著的，只有转换时间不显著；6个2因子水平交互效应中，只有加热时间*保温时间是显著的。说明本例中还有不显著的自变量和2因子交互作用，改进模型时应该将这些主效应和交互作用删除。
加热温度*保温时间3.062 1.531 1.500 1.02 0.337
加热时间*转换时间1.263 0.631 1.500 0.42 0.685
加热时间*保温时间7.113 3.556 1.500 2.37 0.045
转换时间*保温时间0.837 0.419 1.500 0.28 0.787
S = 6.00146 PRESS = 1778.45
稳健参数设计（robust parameter design）（也称健壮设计、鲁棒设计，简称参数设计）是工程实际问题中很有价值的统计方法。它通过选择可控因子的水平组合来减少一个系统对噪声变化的敏感性，从而达到减小此系统性能波动的目的。过程的输入变量有两类：可控因子和参数因子。可控因子是指一旦选定就保持不变的变量，它包括产品或生产过程设计中的设计参数，而噪声因子是在正常条件下难以控制的变量。在做参数设计时，就是把可控因子的设计当做研究的主要对象，与此同时让噪声因子按照设定的计划从而系统改变其水平的方法来表示正常条件下的变化，最终按照我们预定的望大、望小或望目地目标选出最佳设置。田口玄一博士在参数设计方法方面贡献非常突出，他在设计中引进信噪比的概念，并以此作为评价参数组合优劣的一种测度，因此很多文献和软件都把稳健参数设计方法称为田口方法（Taguchi design）。
2-单因子试验设计和拟合线分析图
从平均得率来看，温度对得率的影响? 1) 同一温度下得率并不完全一样，产生这种差异的原因 是由于试验过程中各种偶然性因素的干扰及测量误差 等所致，这一类误差统称为试验误差； 2) 两 种温度的得率在不同的试验中的倾向有所差别。如 65oC 与 70oC相比较，第一次65oC比70oC 好，而后二 次70oC比65oC 好。 产生这种矛盾的现象也是由于试验误差的干扰。 由于试验误差的存在，对于不同温度下得率的差异自然要 提出疑问，这差异是试验误差造成的，还是温度的影 响呢?
ni
a
ni
i
ij
j 1
ij
i 1
j 1
i
i 1
j 1
n
i 1
ni
n
sE sT s A
则有
第二节：单因素试验的方差分析
方差分析表:
第二节：单因素试验的方差分析
例1：(单因素的方差分析)
人造纤维的抗拉强度是否受掺入其中的棉花的百分比的 影响是 有疑问的。现确定棉花百分比的5个水平: 15%, 20%, 25%, 30%, 35%。每个水平中测5个抗拉强度的值，列于下表。 问： 抗拉强度是否受掺入棉花百分比的影响(α＝0.01)?
第一节：问题的提出
对变差平方和的进一步讨论(2)： 我们看到S的计算是比较麻烦的，原因是计算x时有效位数 增加了 因而计算平方时工作量就大大增加。另外，在计算x时由于 除不 尽而四舍五入，在计算S时，累计误差较大。为此常用以下 公式:
对于前面的例子
S ( 4.59 2 4.44 2 ... 4.55 2 ) 1 6 ( 4.59 4.44 ... 4.55 ) 2 0.043483
y (x
i
n
ni
a
ni
i
ij
j 1
ij
i 1
j 1
i
i 1
j 1
n
i 1
ni
n
sE sT s A
则有
第二节：单因素试验的方差分析
方差分析表:
第二节：单因素试验的方差分析
例1：(单因素的方差分析)
人造纤维的抗拉强度是否受掺入其中的棉花的百分比的 影响是 有疑问的。现确定棉花百分比的5个水平: 15%, 20%, 25%, 30%, 35%。每个水平中测5个抗拉强度的值，列于下表。 问： 抗拉强度是否受掺入棉花百分比的影响(α＝0.01)?
第一节：问题的提出
对变差平方和的进一步讨论(2)： 我们看到S的计算是比较麻烦的，原因是计算x时有效位数 增加了 因而计算平方时工作量就大大增加。另外，在计算x时由于 除不 尽而四舍五入，在计算S时，累计误差较大。为此常用以下 公式:
对于前面的例子
S ( 4.59 2 4.44 2 ... 4.55 2 ) 1 6 ( 4.59 4.44 ... 4.55 ) 2 0.043483
y (x
i
n
试验设计与统计分析SAS实践教程课件：单因子试验统计分析
3
Least Squares Means for effect A，Pr > |t| for H0: LSMean(i)=LSMean(j)
i/j
1
2
3
1
<.0001
0.0102
2
<.0001
<.0001
3
0.0102
<.0001
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
run; quit;
(3) 程序输出的方差齐性检验结果如下所示：
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Levene's Test for Homogeneity of yield Variance
表 6-4 苹果树施肥试验样本(SAS 数据表 sasuser.apple01)
A
Y
X
Zhou
A1
54
47
31
A1
66
58
36
A1
63
53
30
A1
51
46
26
A1
56
49
30
A1
66
56
34
A1
61
54
32
A1
50
44
23
单因子实验教程及变异数分析
180 565 593 590 579 610 2937 587.4
200 600 651 610 637 629 3127 625.4
220 725 700 715 685 710 3535
707
12355 617.75
单因子实验教程及变异数分析
15
研究目的 : RF power 對 etch rate 是否有影響？
(避免未知干擾因素的影響)
单因子实验教程及变异数分析
3-1 EXAMPLE (p61) 調查 RF power setting 及 etch rate 之關係
Factor : RF power
Response : etch rate
取 4 levels (treatments) : 160w, 180w, 200w, 220w
where SST : total corrected sum of squares (= SSY) SSTr : sum of squares due to treatments (組間平方和) SSE : sum of squares due to error (組內平方和)
单因子实验教程及变异数分析
单因子实验教程及变异数分析
7
Subject
檢定因子的影響是否存在
TesH t0:12.. .a0 H 1:i 0foarlteaosnite
等同於 檢定各處方的均值是否有差異
TesH t0:12.. .a H 1:i j fosrom ije
Yij = μ + τi + εij
Yij = μi + εij
每一level 測試 5 件，即 為5 replicates
these 20 runs are in a random order (see p62)
微生物单因素实验设计方案及流程
微生物单因素实验设计方案及流程下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢！本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注！Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!1. 研究背景。
微生物在生物科技、医学和环境科学领域起着重要作用。
第二章 单因子试验的设计与分析
SA
r i 1
m(Y i
Y)2
r i1
Ti 2 m
T2
n
Se ST SA
二、单因素方差分析
i 式中：Ti ——第 个水平的数据和；
T ——所有n rm个数据的总和。
二、单因素方差分析
生产线
1
2
3
4
86.5
93.4
88.6
94.3
92.0
87.9
93.2
93.3
断
裂
强
85.2
90.6
第二章 单因子试验设计
第一节 方差分析
• 方差分析：鉴别各因素效应 的一种有效的统计方法。
第一节 方差分析
• 一、几个基本概念
1．因素 有时我们会遇到需要比较
多个总体均值的问题，现举 例如下：
第一节 方差分析
• 现有4条生产线生产同一种垫 片，为了了解不同生产线的垫 片的断裂强度有无明显的差异， 现分别从每一个生产线随机抽 取5个垫片测定其断裂强度， 数据如下表：
二、单因素方差分析
某团队项目是在仪器制造中降低材料消耗， 对用各种结构的仪器分别测定其材料消耗量， 数据如表所示，想要了解仪器的结构（记为 因素A）对材料消耗量的影响是否显著（这 里假定每一种结构下的材料消耗量服从等方 差的正态分布）。
二、单因素方差分析
水平
材料消耗量
A 结构
61.0，62.8，57.6，58.3，54.7，55.5，59.3，60.3
用 yi1, yi2, yim 表
示，i 1, 2, r 。在第i水平下
的数据和为 Ti ，数据均值为 ，
总的y均i 值为
数据。
。此y时共有rm个
第二章 单因子试验的设计与分析
i =1 j =1
达到最小，用微分法立即可得诸 µ i的最小二乘估计是： . 1 ˆ i = yi = µ ( yi1 + yi 2 + ... + yimi )，i = 1,2, ⋯ , r mi 它是第i个水平下mi次重复试验的平均值．譬如，在例2.1.1中， 由表2.1.2可得 .
ˆ ˆ ˆ ˆ µ1 = 8.27，µ 2 = 7.50，µ 3 = 5.82，µ 4 = 6.35
假设诸试验数据个假设的检验问题ij的很好估计若ij不应过大过大就应拒绝ij20132131重复数相等情况的多重比较t法续因此在同时考虑上述假设ij中至少有一个不成立就构成多重比较的拒绝域?经计算对给定显著性水平可得分位数可从附表5中查得
第二章 单因子试验的设计与分析
§2.1 单因子试验 §2.2 单因子方差分析 §2.3 多重比较 §2.4 效应模型 §2.5 方差齐性检验
因子 A 的水平 数据（毫克） 7.9 5.7 6.4 6.8 6.2 7.5 7.1 7.5 6.6 9.8 7.9 5.0 8.6 6.1 4.5 5.3 8.9 8.4 5.0 6.1 4.0 7.4 10.1 9.6 样本均值 8.27 7.50 5.82 6.35
A1
A2
A3
A4
2010-11-26
称为组间平方和 S 间 ，又称为因子 A 的平方和 S A ，其自由度 组间平方和 因子 f A = r −1． 总平方和分解公式： S T ＝ S e ＋ S A ， f T = f e + f A 注意：这些都是代数恒等式．
2010-11-26
．
16
各平方和的计算
记 Ti 为水平下数据之和， T = T1 + T2 + ⋯ + Tr 为总和．各 平方和简化计算公式如下：
达到最小，用微分法立即可得诸 µ i的最小二乘估计是： . 1 ˆ i = yi = µ ( yi1 + yi 2 + ... + yimi )，i = 1,2, ⋯ , r mi 它是第i个水平下mi次重复试验的平均值．譬如，在例2.1.1中， 由表2.1.2可得 .
ˆ ˆ ˆ ˆ µ1 = 8.27，µ 2 = 7.50，µ 3 = 5.82，µ 4 = 6.35
假设诸试验数据个假设的检验问题ij的很好估计若ij不应过大过大就应拒绝ij20132131重复数相等情况的多重比较t法续因此在同时考虑上述假设ij中至少有一个不成立就构成多重比较的拒绝域?经计算对给定显著性水平可得分位数可从附表5中查得
第二章 单因子试验的设计与分析
§2.1 单因子试验 §2.2 单因子方差分析 §2.3 多重比较 §2.4 效应模型 §2.5 方差齐性检验
因子 A 的水平 数据（毫克） 7.9 5.7 6.4 6.8 6.2 7.5 7.1 7.5 6.6 9.8 7.9 5.0 8.6 6.1 4.5 5.3 8.9 8.4 5.0 6.1 4.0 7.4 10.1 9.6 样本均值 8.27 7.50 5.82 6.35
A1
A2
A3
A4
2010-11-26
称为组间平方和 S 间 ，又称为因子 A 的平方和 S A ，其自由度 组间平方和 因子 f A = r −1． 总平方和分解公式： S T ＝ S e ＋ S A ， f T = f e + f A 注意：这些都是代数恒等式．
2010-11-26
．
16
各平方和的计算
记 Ti 为水平下数据之和， T = T1 + T2 + ⋯ + Tr 为总和．各 平方和简化计算公式如下：
5-0实验设计与单因子实验设计及分析
随机化
随机化是指试验材料的分配，人员安排和各试验点的试验次 序都要随机确定。 随机化的好处： 能使各试验结果相互独立； 可使不可控因子的影响“抵消”部分，不至于积累成灾； 可使试验误差得到准确的估计。 随机化的方法： 用随机数表进行； 设计一个试验：把试验号放入袋中，再按抽得到的次序进行 试验。
总平方和的分解公式
单因子试验共有 n m1 m2 mr 个数据，其总平均值为
1 r mi 1 r 1 y yij mi yi ， yi n i 1 j 1 n i 1 mi
r mi
y
j 1
mi
ij
．
这 n 个数据的波动可用总偏差平方和 S T 表示：
Q ( y1 y ) 2 ( y 2 y ) 2 ( y k y ) 2 ( y j y ) 2
j 1
称为 k 个数据的偏差平方和，有时简称为平方和，它是一个重要的 统计量。 •偏差平方和 Q 常用来度量若干个数据集中与分散(即波动)的程度． •Q 中的 k 个偏差 y1 y，y2 y， ，yk y 间有一个恒等式：
因子
因子，影响试验结果的因素，常用A，B，C等表示。 水平，因子所处的状态。常用A1，A2，B1，B2等表示。
可控因子：对其水平可作审慎改变的因子。
如，反应温度，反应时间，原料产地，原料配比等。 不可控因子，又称噪声因子或误差因子：在实际操作中不能控制其水
平的因子。或难以控制其水平的因子。或要花费昂贵才能控制其水平
第五章 实验设计与分析
• 第一节 实验设计概要 • 第二节 单因子试验的设计与分析
第一节 实验设计概要
• • • • 什么是试验? 几个名词的解释 基本原则 试验设计一般指南
试验设计与分析
32 设 计
3k 因子设 计
33 设 计 3k 设 计
2.3.1 32设计
3k 中最简单的因子设计是32设计，即有两个因子，每个因子有3个 水平。它的因子水平组合表示如图2.3.1所示。
图2.3.1 32 设计的因子水平组合
2.3.1 32设计
图2.3.1中共有32 =9个因子水平组合，组合之间有8个自由度，因子 A,B各有两个自由度，AB交互作用有4个自由度。如果每个组合做n次重 复试验，总和的自由度为n32-1，误差的自由度应为(n32-1)-8=32(n-1)。 A,B以及AB的平方和、总变差、误差平方和：
S ABC
a i 1
bc j1 k 1
y2 ijk n
y2
abcn
SA
SB
SC
1
(60)2 1052
582
1552
886.37 60848.48 68100.15
2
54
6379.41 7572.4112390.63
a i 1
b j 1
y2 ij
n
y2
abn
SA
SB
1 (5.392 2.292 3.422 ) 37.99 1.0684 3.9119
4
36
0.9641
SE ST SA SB SAB 7.76471.06843.9119 0.9614 1.8230
6
54
S BC
b j 1
c k 1
y2 jk an
y2
试验设计与数据处理---因子设计
下面进行方差分析。 定义 若有线性组合 C r y r 满足约束条件 Cr 0 ，则
r 1 r 1 m m
称这样的线性组合为对照（contrast） 。并记为 （对照）c＝ C r y r
r 1 m
（9－4）
有了这个定义，则可以证明：C 的离差平方和为
( Cr y r ) 2
下面介绍 2 设计的符号规则。 各因子的线性组合式按顺序 l、a、b、ab 写出来，称为标 准顺序，用这个顺序表示因子的效果，各项的系数如表 9－4 所示。 表 9－4 l a b ab 效果 A －1 ＋1 －1 ＋1 效果 B －1 －1 ＋1 ＋1 效果 AB ＋1 －1 －1 ＋1
2
如果我们引进符号 I 表示整个试验的总和，全用“＋”号， 把上表中的“＋1” “－1” ，简写为“＋” “－” （即仅取正、负 号） ，并把行与列交换，这样就得出一个完整的符号表，如表 9－5，称为 22 设计效果计算代数符号表。 表 9－5 22 设计效果计算代数符号表 因子 因子效果 水平组合 I A B AB l ＋ － － ＋ a ＋ ＋ － － b ＋ － ＋ － ab ＋ ＋ ＋ ＋ 从纵向看，表 9－5 的每一列按 l、a、b、ab 配上该列顺 序的＋、－号构成的和式，就是该因子的（对照）定义式。 表 9－5 有下列性质： （1）除 I 列外，各列中“＋”号、 “－”号个数相等； （2）任意两列（包括 I 列）同行系数乘积之和为 0，这叫 正交性。
（9－11）
例 9－2 考虑一个化学反应过程，这里有两个因素：因素 A 为反应物的浓度，它有两个水平，15％、25％，因素 B 为 催化剂，有两个水平：不用、用，每种组合做 3 次试验。因素 各水平的组合情况为： A（low） 15％ B（low） 不用催化剂 A（high） 25％ B（low） 不用催化剂 A（low） 15％ B（high） 用催化剂 A（high） 25％ B（high） 用催化剂 全部试验得出的观察值如表 9－2 所示。试分析因子 A、B 及其交互作用 A×B 对化学反应的影响。
单因子实验
∑ E(SStotal ) = E(SSbetween ) + E(SSwithin ) = (N −1) σ 2 +
α n I
2
i=1 i i
因此，自由度之间的关系为
SStotal 的自由度= SSbetween 的自由度+ SSwithin 的自由度
(1.1.19)
由(1.1.15)可以看出，SSwithin 的期望完全取决于随机误差的方差σ 2 和自由度，而 SSbetween 的
1.1.3 方差分析
因子各水平的效应的估计是有差别的。但是，这种差别的来源有两个方面。一个来源是由 于因子各水平的真实效应有差别；另一个来源是由于随机误差的影响。因此，要回答问题：
“各水平下 y 的均值 μi ，i = 1, , I 之间是否有显著差异？”或等价地，“各水平的效应αi ， i = 1, , I 之间是否有显著差异？”需要通过统计假设检验的程序，即检验假设
注：在离散模型(1.1.1)下我们只得到响应在因子的试验点（水平）上的信息，而得不到 响应在因子的非试验点上的信息。
1
试验的设计、模型与分析 陆璇
在模型(1.1.1)下考察因子对 y 的影响，要回答下列的问题： z 估计在因子的各水平下响应变量 y 的期望值 μ1, , μI ； z 分析因子的各水平对 y 的影响之间是否有显著差异；
i =1
(1.1.7)
μ 称为“总均值”（grand mean），为基准值。参数αi 称为在因子水平 i 下的“效应”(effect)， 表示：因子水平 i 对响应 y 的影响是在基准值 μ 的基础上增加了αi 。零和约束(1.1.7)的解释 是：全部 N 次试验的效应相互抵消，或“效应总和”为 0。
单因素实验的设计
为 的区间，即有 ac db 。
即 1
①
2．无论删掉哪一段，例如删掉（db），在留下的新区间[ad]内，再插入一新点 e， 使 e,f(即为原区间中 c)在新区间[a,d]中的位置与 c，d 在原区间[a,b]中的位置具有 相同的比列。 这就保证了每次都以同一入的比率缩短区间。这样做的目的是为了减少函数值的 计算次数。
解出
5 1 0.618 2
（另一根
5 1 2 负数，舍）
3 5 0.382
再由①式得
2
3） 0.618法一般步骤
• ①确定实验范围（在一般情况下，通过预实验或其它先验信息，确定了 实验范围[a，b] ）；
• ②选实验点（这一点与前述均分、对分法的不同处在于它是按0.618、 0.382的特殊位置定点的，一次可得出两个实验点x1,x2的实验结果）；
• ③根据“留好去坏”的原则对实验结果进行比较，留下好点，从坏点处 将实验范围去掉，从而缩小了实验范围；
•
④在新实验范围内按0.618、0.382的特殊位置再次安排实验点，
重复上述过程，直至得到满意结果，找出最佳点。
3） 0.618法具体作法
x1=a+0.618（b-a） x2=a+0.382（b-a）
下面通过实例，说明黄金分割法设计实验的具体步骤。 例 1: 目前，合成乙苯主要采用乙烯与苯烷基化的方法。为了因地 制宜，对于没有石油乙烯的地区，我们开发了乙醇和苯在分子筛催化下 一步合成乙苯的新工艺： Ｃ６Ｈ６＋Ｃ２Ｈ５ＯＨ—→Ｃ６Ｈ５Ｃ２Ｈ５＋Ｈ２Ｏ 筛选了多种组成的催化剂，其中效果较好的一种催化剂的最佳反应温 度，就是用黄金分割法通过实验找出的。 初步实验找出，反应温度范围在 340－420℃之间。在苯与乙醇的摩 尔比为 5：1，重量空速为 11.25h-1 的条件下,苯的转化率 XB 是:
试验设计与分析2因子3因素因子设计
1 AB 即： 4n ab abc l c a b ac bc
可记为：
AB
对照AB
4n
对照AB ab abc l c a b ac bc
(对照)AB由两部分组成（图2.2.2） （1）4项为“+”，其中两项为ab，abc是A，B都在高水平，两 项为l，c是AB都在低水平； （2）4项为“-”，其中两项为a，ac是A在高水平，B在低水平， 两项为b，bc是A在低水平，B在高水平。
因子A 图2.2.2
a 1 高
0低
1 (ac c) n
（4）当B、C在高水平时
2 3 设计的因子水平组合
1 (abc bc) n
4项总平均效果为：
1 1 a l 1 ab b 1 ac c 1 abc bc 4 n n n n 1 a ab ac abc l b c bc 上式中小括号内的部分是8项构成 4n A
m m r 1 r 1
4n
定义2.2.1：若有线性组合 Cr yr 满足约束条件 Cr 0，则称这样的线性组合为对照，并记为（对照） Cr (对照) B B 4n
(对照) B b ab bc abc l a c ac
表2.2.7 例2.2.2方差分析表
平方和 36.00 20.35 12.25 2.25 0.25 1.00 1.00 5.00 78.00 自由度 1 1 1 1 1 1 1 8 15 均方 36.00 20.25 12.25 2.25 0.25 1.00 1.00 0.63 F 57.14 32.14 19.44 3.57 0.40 1.59 1.59
表2.2.5具有以下性质:
可记为：
AB
对照AB
4n
对照AB ab abc l c a b ac bc
(对照)AB由两部分组成（图2.2.2） （1）4项为“+”，其中两项为ab，abc是A，B都在高水平，两 项为l，c是AB都在低水平； （2）4项为“-”，其中两项为a，ac是A在高水平，B在低水平， 两项为b，bc是A在低水平，B在高水平。
因子A 图2.2.2
a 1 高
0低
1 (ac c) n
（4）当B、C在高水平时
2 3 设计的因子水平组合
1 (abc bc) n
4项总平均效果为：
1 1 a l 1 ab b 1 ac c 1 abc bc 4 n n n n 1 a ab ac abc l b c bc 上式中小括号内的部分是8项构成 4n A
m m r 1 r 1
4n
定义2.2.1：若有线性组合 Cr yr 满足约束条件 Cr 0，则称这样的线性组合为对照，并记为（对照） Cr (对照) B B 4n
(对照) B b ab bc abc l a c ac
表2.2.7 例2.2.2方差分析表
平方和 36.00 20.35 12.25 2.25 0.25 1.00 1.00 5.00 78.00 自由度 1 1 1 1 1 1 1 8 15 均方 36.00 20.25 12.25 2.25 0.25 1.00 1.00 0.63 F 57.14 32.14 19.44 3.57 0.40 1.59 1.59
表2.2.5具有以下性质:
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2010-11-26 2
随机化
• 这里一次测试就是一次试验. 试验次序要随机化，为此把这 24次试验按序编号.
因子 A 的水平 试验编号
1 8 13 19 2 9 14 20 3 10 15 21 4 11 16 22 5 12 17 23 18 24 6 7
A1
A2
A3
A4
• 在1到24个试验号中一个接一个地随机抽取，得到如下序列 9，13，2，20，18，10，5，7，14，1，6，15，23，… •把试验结果“对号入坐”，填写试验结果.
k
j
− y) = 0 ．
故 Q 中独立的偏差只有 k-1 个．记 f=k-1，并称 f 为 Q 的自由度． •Q 的简化计算公式为
Q = ∑ y 2 − T 2 k , T = y1 + y 2 + ... + y k ． j
2010-11-26
j =1
10
水平 A1 例 2.2.1 在表 2.1.2 上所列茶叶的叶酸含量数据中， 下有 7 个数据，其和是 T1 = 57.9 ，则其偏差平方和：
因子 A 的水平
A1
y11
y 21
数据
y12 ⋯ y1m1
y 22 ⋯ y 2 m2
和
T1 = y11 + y12 + ⋯ + y1m1
均值
y1 = T1 / m1
A2
⋮
T2 = y 21 + y 22 + ⋯ + y 2 m2
y2 = T2 / m2
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
y r1 yr 2 ⋯ y rm r
单因子试验共有 n = m1 + m 2 + ⋯ + mr 个数据，其总平均值为
1 r mi 1 r 1 y = ∑∑ y ij = ∑ mi y i ， y i = n i =1 j =1 n i =1 mi
r mi
∑y
j =1
mi
ij
．
这 n 个数据的波动可用总偏差平方和 S T 表示：
S T = ∑∑ ( y ij − y ) 2， f T = n − 1 ．
cy1 , cy 2 ,⋯ , cy k
的偏差平方和为 Q ′ = c Q ，从而 Q = Q ′ / c ．
2 2
• 二个数据 y1 , y 2 的偏差平方和为 Q = ( y1 − y 2 )
2010-11-26
2
2．
12
例：求 5 个数 98，100，101，103，108 的偏差平方和． 对每个数据均减去 100，可得 -2，0，1，3，8，它们的和 T=10， 故其偏差平方和为
S e = S T − S A， f e = f T − f A ．
这样计算可省略了 S e 的大量计算，又可提高计算精度．
2010-11-26 17
例 2.2.3． 对表 2.1.2 上所列茶叶的叶酸含量，计算各类平方和． ． •首先列表计算诸 Ti 和 T，还可计算得 S e ．
水平 数据
7.9 6.2 6.6 8.6 8.9 10.1 9.6 5.7 7.5 9.8 6.1 8.4 6.4 7.1 7.9 4.5 5.0 4.0 6.8 7.5 5.0 5.3 6.1 7.4
T2 2 S T = ∑∑ y ij − ， fT = n − 1， n i =1 j =1 T12 T22 Tr2 T 2 SA = + +⋯+ − ， f A = r −1 ， m1 m2 mr n
r
mi
S e = Q1 + Q2 + ⋯ + Qr，
fe = n − r ．
常用的计算过程是：先按前二式计算 S T 和 S A ，然后用减法计算
10 2 Q = (−2) 2 + 0 2 + 12 + 3 2 + 8 2 − = 58 ． 5
例：求 5 个数 100，150，210，240，300 的偏差平方和． 对每个数据均除以 100， 可得１， １.5， 2.1， 2.4， 它们的和 T=10， 3， 则其偏差平方和为
10 2 Q ′ = 12 + 1.5 2 + 2.12 + 2.4 2 + 3 2 − = 2.42 ， 5
3
四个产地绿茶叶酸含量的打点图（dotplot）
10 9 8 7 6 5 4
A1
A2
A3
A4
图上○表示叶酸含量，–线表示样本均值。下述一些直观的 印象是重要. •图中每种绿茶的叶酸含量有高有低. •从样本均值看，A1与A2的叶酸含量偏高一些. •从样本极差看， A1，A2 ，A3 的极差接近， A4的略小一点。
i =1 j =1
对 S T 中每一项插入 ± y i 二项，利用代数运算，可把 S T 分解为 如下两个平方和
r mi i =1 j =1 r mi
S T = ∑∑ ( y ij − y i ) + ( y i − y )
r
[
]
2
= ∑∑ ( y ij − y i ) 2 + ∑ mi ( y i − y ) 2 .
57.9 Q1 = 7.9 + 6.2 + 6.6 + 8.6 + 8.9 + 10.1 + 9.6 − 7 = 12.88.
2 2 2 2 2 2 2
2
其自由度 f1 = 7 − 1 = 6 ．类似地，可算得另外三个平方和：
Q2 = 11.30，f 2 = 4 Q3 = 12.03，f 3 = 5 Q4 = 5.61，f 4 = 5
第二章 单因子试验的设计与分析
§2.1 单因子试验 §2.2 单因子方差分析 §2.3 多重比较 §2.4 效应模型 §2.5 方差齐性检验
2010-11-26
1
例: 茶是一种饮料，它含有叶酸（folacin），这是一 种维他命B。如今要比较各种茶叶中的叶酸含量。 现选定绿茶，这是一个因子，用A表示。 又选定四个产地的绿茶，记为A1, A2, A3, A4，它是 因子A的四个水平。 为测定试验误差，需要重复。 • 各水平重复数相等的设计称为平衡设计 平衡设计. 平衡设计 • 各水平重复数不等的设计称为不平衡设计 不平衡设计. 不平衡设计 如今我们选用不平衡设计，即A1, A2, A3, A4分别制 作了7,5,6,6个样品，共有24个样品等待测试。
重复数
和
组内平方和
A1 A2 A3 A4
和
m1 =7 T1 =57.9 m2 =5 T2 =37.5 m3 =6 T3 =34.9 m4 =6 T4 =38.1
n=24 T=168.4
Q1 =12.83 Q2 =11.30 Q3 =12.03 Q4 = 5.61 S e =41.77
57.9 2 37.5 2 34.9 2 38.12 168.4 2 + + + − = 23.50, f A = 3 ． • SA = 7 5 6 6 24 168.4 2 2 2 2 2 = 65.27 ． • S T = (7.9 + 6.2 + ⋯ + 6.1 + 7.4 ) − 24
2010-11-26 4
单因子试验的一般概述
在一个试验中只考察一个因子A及其r个水平A1，A2，… ，Ar． 在水平Ai下重复mi次试验，总试验次数n= m1+m2 +…+ mr． 记yij是第i个水平下的第j次重复试验的结果，这里 i ——水平号，j ——重复号． 经过随机化后，所得的n个试验结果列于表2.2.1． 表2.2.1 单因子试验的数据 2.2.1
即第一个产地绿茶的叶酸含量平均值为8.27,其它绿茶亦可类 似解答.
2010-11-26 9
偏差平方和及其自由度
在统计学中，把 k 个数据 y1 , y 2 , ⋯ , y k 对其均值 y 的偏差的平 方和： k
Q = ( y1 − y ) 2 + ( y 2 − y ) 2 + ⋯ + ( y k − y ) 2 = ∑ ( y j − y ) 2
i =1 j =1 i =1
2010-11-26 15
总平方和的分解公式
其中第一个平方和
( y ij − y i ) 2 ∑∑
i =1 方 和 S内 ， 又 称 为 误 差 平 方 和 S e ， 其 自 由 度
f e = n − r ．第二个平方和
r i =1
mi ( y i − y ) 2 . ∑
i =1 j =1
达到最小，用微分法立即可得诸 µ i的最小二乘估计是： . 1 ˆ i = yi = µ ( yi1 + yi 2 + ... + yimi )，i = 1,2, ⋯ , r mi 它是第i个水平下mi次重复试验的平均值．譬如，在例2.1.1中， 由表2.1.2可得 .
ˆ ˆ ˆ ˆ µ1 = 8.27，µ 2 = 7.50，µ 3 = 5.82，µ 4 = 6.35
2010-11-26 11
平方和的性质
• 若数据 y1 , y 2 , ⋯ , y k 的偏差平方和为 Q，则数据
y1 + c, y 2 + c, ⋯, y k + c
的偏差平方和仍然为 Q． • 若数据 y1 , y 2 , ⋯ , y k 的偏差平方和为 Q，则在 c ≠ 0 的情 况下，数据
Q = 100 2 × 2.42 = 24200 ．
例：求２个数 3.52，4.72 的偏差平方和．
Q = (3.52 − 4.72) 2 2 = 0.72 ．
2010-11-26 13
单因子方差分析
随机化
• 这里一次测试就是一次试验. 试验次序要随机化，为此把这 24次试验按序编号.
因子 A 的水平 试验编号
1 8 13 19 2 9 14 20 3 10 15 21 4 11 16 22 5 12 17 23 18 24 6 7
A1
A2
A3
A4
• 在1到24个试验号中一个接一个地随机抽取，得到如下序列 9，13，2，20，18，10，5，7，14，1，6，15，23，… •把试验结果“对号入坐”，填写试验结果.
k
j
− y) = 0 ．
故 Q 中独立的偏差只有 k-1 个．记 f=k-1，并称 f 为 Q 的自由度． •Q 的简化计算公式为
Q = ∑ y 2 − T 2 k , T = y1 + y 2 + ... + y k ． j
2010-11-26
j =1
10
水平 A1 例 2.2.1 在表 2.1.2 上所列茶叶的叶酸含量数据中， 下有 7 个数据，其和是 T1 = 57.9 ，则其偏差平方和：
因子 A 的水平
A1
y11
y 21
数据
y12 ⋯ y1m1
y 22 ⋯ y 2 m2
和
T1 = y11 + y12 + ⋯ + y1m1
均值
y1 = T1 / m1
A2
⋮
T2 = y 21 + y 22 + ⋯ + y 2 m2
y2 = T2 / m2
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
y r1 yr 2 ⋯ y rm r
单因子试验共有 n = m1 + m 2 + ⋯ + mr 个数据，其总平均值为
1 r mi 1 r 1 y = ∑∑ y ij = ∑ mi y i ， y i = n i =1 j =1 n i =1 mi
r mi
∑y
j =1
mi
ij
．
这 n 个数据的波动可用总偏差平方和 S T 表示：
S T = ∑∑ ( y ij − y ) 2， f T = n − 1 ．
cy1 , cy 2 ,⋯ , cy k
的偏差平方和为 Q ′ = c Q ，从而 Q = Q ′ / c ．
2 2
• 二个数据 y1 , y 2 的偏差平方和为 Q = ( y1 − y 2 )
2010-11-26
2
2．
12
例：求 5 个数 98，100，101，103，108 的偏差平方和． 对每个数据均减去 100，可得 -2，0，1，3，8，它们的和 T=10， 故其偏差平方和为
S e = S T − S A， f e = f T − f A ．
这样计算可省略了 S e 的大量计算，又可提高计算精度．
2010-11-26 17
例 2.2.3． 对表 2.1.2 上所列茶叶的叶酸含量，计算各类平方和． ． •首先列表计算诸 Ti 和 T，还可计算得 S e ．
水平 数据
7.9 6.2 6.6 8.6 8.9 10.1 9.6 5.7 7.5 9.8 6.1 8.4 6.4 7.1 7.9 4.5 5.0 4.0 6.8 7.5 5.0 5.3 6.1 7.4
T2 2 S T = ∑∑ y ij − ， fT = n − 1， n i =1 j =1 T12 T22 Tr2 T 2 SA = + +⋯+ − ， f A = r −1 ， m1 m2 mr n
r
mi
S e = Q1 + Q2 + ⋯ + Qr，
fe = n − r ．
常用的计算过程是：先按前二式计算 S T 和 S A ，然后用减法计算
10 2 Q = (−2) 2 + 0 2 + 12 + 3 2 + 8 2 − = 58 ． 5
例：求 5 个数 100，150，210，240，300 的偏差平方和． 对每个数据均除以 100， 可得１， １.5， 2.1， 2.4， 它们的和 T=10， 3， 则其偏差平方和为
10 2 Q ′ = 12 + 1.5 2 + 2.12 + 2.4 2 + 3 2 − = 2.42 ， 5
3
四个产地绿茶叶酸含量的打点图（dotplot）
10 9 8 7 6 5 4
A1
A2
A3
A4
图上○表示叶酸含量，–线表示样本均值。下述一些直观的 印象是重要. •图中每种绿茶的叶酸含量有高有低. •从样本均值看，A1与A2的叶酸含量偏高一些. •从样本极差看， A1，A2 ，A3 的极差接近， A4的略小一点。
i =1 j =1
对 S T 中每一项插入 ± y i 二项，利用代数运算，可把 S T 分解为 如下两个平方和
r mi i =1 j =1 r mi
S T = ∑∑ ( y ij − y i ) + ( y i − y )
r
[
]
2
= ∑∑ ( y ij − y i ) 2 + ∑ mi ( y i − y ) 2 .
57.9 Q1 = 7.9 + 6.2 + 6.6 + 8.6 + 8.9 + 10.1 + 9.6 − 7 = 12.88.
2 2 2 2 2 2 2
2
其自由度 f1 = 7 − 1 = 6 ．类似地，可算得另外三个平方和：
Q2 = 11.30，f 2 = 4 Q3 = 12.03，f 3 = 5 Q4 = 5.61，f 4 = 5
第二章 单因子试验的设计与分析
§2.1 单因子试验 §2.2 单因子方差分析 §2.3 多重比较 §2.4 效应模型 §2.5 方差齐性检验
2010-11-26
1
例: 茶是一种饮料，它含有叶酸（folacin），这是一 种维他命B。如今要比较各种茶叶中的叶酸含量。 现选定绿茶，这是一个因子，用A表示。 又选定四个产地的绿茶，记为A1, A2, A3, A4，它是 因子A的四个水平。 为测定试验误差，需要重复。 • 各水平重复数相等的设计称为平衡设计 平衡设计. 平衡设计 • 各水平重复数不等的设计称为不平衡设计 不平衡设计. 不平衡设计 如今我们选用不平衡设计，即A1, A2, A3, A4分别制 作了7,5,6,6个样品，共有24个样品等待测试。
重复数
和
组内平方和
A1 A2 A3 A4
和
m1 =7 T1 =57.9 m2 =5 T2 =37.5 m3 =6 T3 =34.9 m4 =6 T4 =38.1
n=24 T=168.4
Q1 =12.83 Q2 =11.30 Q3 =12.03 Q4 = 5.61 S e =41.77
57.9 2 37.5 2 34.9 2 38.12 168.4 2 + + + − = 23.50, f A = 3 ． • SA = 7 5 6 6 24 168.4 2 2 2 2 2 = 65.27 ． • S T = (7.9 + 6.2 + ⋯ + 6.1 + 7.4 ) − 24
2010-11-26 4
单因子试验的一般概述
在一个试验中只考察一个因子A及其r个水平A1，A2，… ，Ar． 在水平Ai下重复mi次试验，总试验次数n= m1+m2 +…+ mr． 记yij是第i个水平下的第j次重复试验的结果，这里 i ——水平号，j ——重复号． 经过随机化后，所得的n个试验结果列于表2.2.1． 表2.2.1 单因子试验的数据 2.2.1
即第一个产地绿茶的叶酸含量平均值为8.27,其它绿茶亦可类 似解答.
2010-11-26 9
偏差平方和及其自由度
在统计学中，把 k 个数据 y1 , y 2 , ⋯ , y k 对其均值 y 的偏差的平 方和： k
Q = ( y1 − y ) 2 + ( y 2 − y ) 2 + ⋯ + ( y k − y ) 2 = ∑ ( y j − y ) 2
i =1 j =1 i =1
2010-11-26 15
总平方和的分解公式
其中第一个平方和
( y ij − y i ) 2 ∑∑
i =1 方 和 S内 ， 又 称 为 误 差 平 方 和 S e ， 其 自 由 度
f e = n − r ．第二个平方和
r i =1
mi ( y i − y ) 2 . ∑
i =1 j =1
达到最小，用微分法立即可得诸 µ i的最小二乘估计是： . 1 ˆ i = yi = µ ( yi1 + yi 2 + ... + yimi )，i = 1,2, ⋯ , r mi 它是第i个水平下mi次重复试验的平均值．譬如，在例2.1.1中， 由表2.1.2可得 .
ˆ ˆ ˆ ˆ µ1 = 8.27，µ 2 = 7.50，µ 3 = 5.82，µ 4 = 6.35
2010-11-26 11
平方和的性质
• 若数据 y1 , y 2 , ⋯ , y k 的偏差平方和为 Q，则数据
y1 + c, y 2 + c, ⋯, y k + c
的偏差平方和仍然为 Q． • 若数据 y1 , y 2 , ⋯ , y k 的偏差平方和为 Q，则在 c ≠ 0 的情 况下，数据
Q = 100 2 × 2.42 = 24200 ．
例：求２个数 3.52，4.72 的偏差平方和．
Q = (3.52 − 4.72) 2 2 = 0.72 ．
2010-11-26 13
单因子方差分析