切线的判定和性质复习
专题复习与圆的切线有关的证明
是圆的切线
5、常用的添加辅助线的方法
（1）直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的 半径，再证半径垂直于该直线。 有切点，连半径，证垂直 （2）直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线 的垂线段，再证明这条垂线段为圆的半径 无切点，作垂直，证半径
切线的性质
如图，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点， 若∠P＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为_______
无交点，作垂直，证半径
例：如图 ，已知：O 为 BAC 角平分线上一点，
OD AB 于 D ，以 O 为圆心， 为半径作圆。
求证：AC 是⊙ O 的切线。
E
数学解答题P7 数学解答题P9
P9《数学解答题》
切线的性质
P9《数学解答题》
切线的性质
P9《数学解答题》
切线的性质
切线的性质
垂直 于经过切点的半径． 定理：圆的切线________ 技巧：圆心与切点的连线是常用的辅助线．
垂直 于这条半径的直线是圆 定理： 经过半径的外端并且________ 的切线． 证圆的切线技巧： (1)如果直线与圆有交点，连接圆心与交点的半径，证明直 线与该半径垂直，即“有交点，作半径，证垂直”．
(2)如果直线与圆没有明确的交点， 则过圆心作该直线的垂 线段，证明垂线段等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”．
切线的判定
作业：《数学解答题》 P7-10第一问
专题复习 与圆的切线有关的证明
1、圆的切线性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径．
2、辅助线： 连接圆心与切点
连半径，得垂直
半径与切线垂直
3、切线判定
定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线。
中考复习切线的判定和性质
∴ △AED∽△EBC，
∴AD:EC=DE:BC，
即AD•BC=DE•EC= (12CD)2
=
9 4
[特色]本题来源于教材，主要考查切线的判定 方法及相似三角形的知识.似三角形或与圆有关
例2 如图7.2-2，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D为劣弧AC上一
点，DE⊥AB于点H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点.
直线l和 e o 相切 d r 直线l和 e o 相离 d r
2、切线的判定性质定理及推论
基础扫描：
1、已知e o 的半径为4，如果p是直线l上一点。Op为4
则直线l与e o的位置关系是 相切或相交 。
2、已知，如图在e o中，AB为直径，AD为弦，过B点的 切线与AD的延长线交于点C且 AD=DC则ABD= 45˚。
金郊初级中学
切 线 的 判 定 和 性 质
复习目标：
掌握掌握
掌握直线和圆的三种位置关系,切线的性 质和判定，并会利用它们进行论证和计算， 了解分类讨论的数学思想和方法。
知识点：
1、直线与圆的三种位置关系
如果e o 的半径为r,圆心o到直线l的距离为d,那么
直线l和 e o 相交 d r
[中考动向前瞻] 本节主要考查直线与圆的三种位置关系、 切线的判定、切线的性质. 题型以计算 和证明为主，也有可能以综合题的形式 考查，但不会考查繁难的证明和计算。 要求在解题过程中不因循守旧，不墨守 成规，通过积极思考，创新求索，能用 运动变化的观点，数形结合分类讨论的 数学思想，优化解题策略，活用解题方 法.
V 3、已知如图 ABC内接于e o，过点A作直线EF，AB为直径
要使得EF是e o 的切线。还需添加的条件是（只需写两种情况）
切线的性质和判定
趁热打铁 4.如图，已知在△OAB中，OA＝OB＝13，AB＝24， ⊙O的半径长为r＝5.判断直线AB与⊙O的位置关系， 并说明理由． 证明：在⊙O中，作OC⊥AB ∵OA=OB=13 ∴△AOB为等腰三角形 又∵C为AB的中点， AB=24
o 又∵OC⊥AB， 即∠ACO=90
2 2 2 2 OC AO AC 13 12 ∴在Rt△AOC中
趁热打铁
3.如图，△ABC是等腰三角形，点O在边AB上，⊙O 过点B且分别与边AB，AC相交于点D，E，EF⊥AC， 垂足为F.求证：直线EF是⊙O的切线. 连半径 证明：在⊙O中，连接OE A ∵△ABC是等腰三角形， ∴∠1=∠4， ∵点B、E在⊙O上， D ∴OB=OE， ∴∠1=∠2， ∴OE∥AC， ∴∠2=∠4， F o ∵EF⊥AC，即∠AFE=90 ， O o ∴∠OEF=∠AFE=90 ， 4 证垂直 1 2 3 即OE⊥EF C B E ∵OE是⊙O的半径 连半径，证垂直 ∴直线EF是⊙O的切线.
切 线
知识点重现 3.切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于 这条半径的直线是圆的切线。
几何符号表达： ∵ OA是⊙O半径，OA⊥l于A ∴ l是⊙O的切线。
r
A l
O
利用判定定理时，要注意直线须具备以下两 个条件,缺一不可: (1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直。
知识点重现 如图 如果直线l是⊙O的切线，那么直线l OA⊥ l 。 与⊙O半径OA的位置关系是___ _____
C
B
切线的性质和判定（复习课）
知识点重现 1.切线的定义： 直线和圆有惟一公共点时，直线与圆的位置关系 是 相切 ，这条直线是圆的 切线 ，惟一的公共点 切点 是_______. 2.圆心O到直线 l 的距离等于⊙O的半径， 那么直线l是⊙O的切线 由d=r 直线 l 是⊙O的切线．
初中数学专题：切线的判定和性质【九大题型】(举一反三)(苏科版)
专题2.6 切线的判定和性质【九大题型】【苏科版】【题型1 有关切线的说法辨析】 (1)【题型2 判断或补全使直线为切线的条件】 (2)【题型3 证明某直线是圆的切线（连半径证垂直）】 (3)【题型4 证明某直线是圆的切线（作垂直证半径）】 (4)【题型5 利用切线的性质求线段长度】 (6)【题型6 利用切线的性质求角度大小】 (7)【题型7 利用切线的性质证明】 (8)【题型8 切线的判定与性质的综合运用】 (9)【题型9 过圆外一点作圆的切线】 (11)【知识点切线的判定】（1）切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线（2）切线判定常用的证明方法：②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．【题型1 有关切线的说法辨析】【例1】（2023春·山东日照·九年级统考期中）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC 是⊙A切线的是（）A．∠A＝50°，∠C＝40°B．∠B﹣∠C＝∠AC．AB2+BC2＝AC2D．⊙A与AC的交点是AC中点【变式1-1】（2023春·九年级课时练习）下列直线中可以判定为圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线B．经过半径外端的直线C．垂直于圆的半径的直线D．与圆心的距离等于半径的直线【变式1-2】（2023春·西藏拉萨·九年级校考期末）下列四个选项中的表述，一定正确的是（）A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线【变式1-3】（2011秋·湖北黄冈·九年级统考期末）如图，已知、分别为的直径和弦，为的中点，垂直于的延长线于，连接，若，，下列结论一定错误的是()A．DE是⊙O的切线B．直径AB长为20cmC．弦AC长为16cm D．C为的中点【题型2 判断或补全使直线为切线的条件】【例2】（2023春·北京·九年级统考期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是．（写一个条件即可）【变式2-1】（2023春·山东德州·九年级统考期中）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于度时，AC才能成为⊙O的切线．【变式2-2】（2023春·河南信阳·九年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB 于D 点，连接CD ．（1）求证：∠A=∠BCD ；（2）若M 为线段BC 上一点，试问当点M 在什么位置时，直线DM 与⊙O 相切？并说明理由．【题型3 证明某直线是圆的切线（连半径证垂直）】【例3】（2023春·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考开学考试）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的O 分别交AB ，AC 于点E ，F ．(1)求证：BC 是O 的切线；(2)若8AF =，=1CF ，求O 的半径．【变式3-1】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，Rt ABC △中，90A ∠=︒，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，点E 在O 上CE CA =，AB ，CE 的延长线交于点F ．(1)求证：CE 与O 相切；(2)若O 的半径为3，4EF =，求CE 的长．【变式3-2】（2023春·江西九江·九年级校考期中）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，P 为BC 延长线上的一点，使得PAC B ∠=∠．(1)求证：AP 是O 的切线．(2)F 为O 上一点，且OC 经过AF 的中点E ．①求证：B CAE ∠=∠；②若2AE CE =，AC =O 的半径长．【变式3-3】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，已知半径为5的M 经过x 轴上一点C ，与y 轴交于A 、B 两点，连接AM 、AC ，AC 平分OAM ∠，6AO CO +=．(1)判断M 与x 轴的位置关系，并说明理由；(2)求AB 的长．【题型4 证明某直线是圆的切线（作垂直证半径）】【例4】（2023春·山东日照·九年级日照市新营中学校考期中）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，CB ＝CD ，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作⊙B ，交BD 于点E ．（1）试判断CD 与⊙B 的位置关系，并说明理由．（2）若AB ＝6，∠BDC ＝60°，求图中阴影部分的面积．【变式4-1】（2023·江西南昌·九年级期末）如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA长为半径的O与BC相切于点M.（1）求证：CD与O相切.（2）若正方形ABCD的边长为1，求半径OA的长.【变式4-2】（2023•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB 上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）求线段AC的长．【变式4-3】（2023•椒江区一模）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【知识点2 切线的性质】（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（2）切线性质的推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心【题型5 利用切线的性质求线段长度】【例5】（2023春·河南·九年级校联考期末）如图，为的直径，，是上不同于，的两点，过点的切线垂直于交的延长线于点，连接．(1)求证：；(2)若，，则的长为__________．【变式5-1】（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）如图，是的直径，点C在上，过点C作的切线l，过点B作于点D．(1)求证：平分；(2)连接，若，，求的长．【变式5-2】（2023春·广东韶关·九年级校考期末）如图，已知△内接于⊙O，是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C是弧的中点，过点C作⊙O的切线交的延长线于D点，交的延长线于E点．(1)求证：；(2)若，，求的长．【变式5-3】（2023春·广东汕头·九年级统考期末）如图，是的直径，点C是上一点，与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线与的延长线相交于点P，G是△的内心，连接并延长，交于E，交于点F，连接．(1)求证：平分；(2)连接，判断△的形状，并说明理由；(3)若，，求线段的长．【题型6 利用切线的性质求角度大小】【例6】（2023春·重庆南岸·九年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）如图，是的直径，，是的弦，是的切线，为切点，与交于点．若点为的中点，，则的度数为（）A．B．C．D．【变式6-1】（2023春·河南信阳·九年级校联考期末）如图，是的直径，点是外一点，交于点，连接，．若，且与相切，则此时等于（）A．B．C．D．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图：P是的直径的延长线上一点，是的切【变式6-2】线，A为切点，，则．【变式6-3】（2023春·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考期末）如图，点A，B在圆O上，且＝，点P 是射线上一动点（不与点O重合），连接，将△沿折叠得到△，当△的边所在的直线与圆O相切时，的度数为．【题型7 利用切线的性质证明】【例7】（2023春·河北邢台·九年级校联考期末）如图，BD是的直径，是的弦，过点A的切线交的延长线于点C，．求证：△ △．【变式7-1】（2023春·河南驻马店·九年级统考期中）如图所示，是的直径，点为线段上一点（不与，重合），作，交于点，垂足为点，作直径，过点的切线交的延长线于点，于点，连接试证明：(1)是的角平分线；(2)．【变式7-2】（2023春·广东江门·九年级统考期末）如图，点A、B、C在O上，直线与O相切于点A．(1)试问：与有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)如果我们把形如这样的角称为“弦切角”，请你用文字表述你在（1）中得出的结论．（2023·安徽·九年级统考期中）已知：如图，点是外一点，过点分别作的切线、，切点【变式7-3】为点、，连接，过点作交于点，过点作于.（1）求证：四边形是矩形；（2）若，的半径为，试证明四边形的周长等于.【题型8 切线的判定与性质的综合运用】【例8】（2023春·湖北·九年级期末）AB为⊙O的直径，P A为⊙O的切线，BC OP交⊙O于C，PO交⊙O 于D，（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）过点D作DE⊥AB于E，交AC于F，PO交AC于H，BD交AC于G，DF＝FG，DF＝5，CG＝6，求⊙O的半径．【变式8-1】（2023春·湖北随州·九年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AB 上一点，以CE为直径的⊙O交BC于点F，连接DO，且∠DOC＝90°．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若DF＝2，DC＝6，求BE的长．【变式8-2】（2023春·河南周口·九年级淮阳第一高级中学校考期末）如图，，点是线段的一个三等分点，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，连接(1)求证:是的切线；(2)点为上的一动点，连接.①当时，四边形是菱形;②当时，四边形是矩形.【变式8-3】（2023春·湖北·九年级期末）已知AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，DE⊥AC于E．（1）如图（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如图（1）若AB＝10，AC＝6，求ED的长；（3）如图（2）过点B作⊙O的切线，交AD延长线于F，若ED＝DF，求的值．【题型9 过圆外一点作圆的切线】【例9】（2023·北京海淀·九年级期末）已知：点，，在上，且．求作：直线，使其过点，并与相切．作法：①连接；②分别以点，点为圆心，长为半径作弧，两弧交于外一点；③作直线．直线就是所求作直线．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：连接，，∵，∴四边形是菱形，∵点，，在上，且，∴______°（_________________）（填推理的依据）．∴四边形是正方形，∴，即，∵为半径，∴直线为的切线（_________________）（填推理的依据）．【变式9-1】（2023·天津和平·统考三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点在格点上，点在格点上，圆心在线段上，圆与网格线相交于点，过点作圆的切线与网格线交于点．（1）；（2）过点作圆的切线，切点为（点不与点重合）．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）．【变式9-2】（2023春·江苏宿迁·九年级统考期中）已知：和外一点．(1)如图甲，和是的两条切线，、分别为切点，求证：；(2)尺规作图：在图乙中，过点作的两条切线、、、为切点（要求：保留作图痕迹，不写作法）．【变式9-3】（2023·北京海淀·九年级期末）按要求作图：(1)如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，利用无刻度直尺画出这个圆的一条直径；(2)如图2，BA，BD是⊙O中的两条弦，C是BD上一点，∠BAC=50︒，利用无刻度直尺在图中画一个含有50︒角的直角三角形；(3)如图3，利用无刻度直尺和圆规，以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；(4)如图4，AB与圆相切，且切点为点B，利用无刻度直尺在网格中找出点B的位置．专题2.6 切线的判定和性质【九大题型】【苏科版】【题型1 有关切线的说法辨析】 (1)【题型2 判断或补全使直线为切线的条件】 (2)【题型3 证明某直线是圆的切线（连半径证垂直）】 (3)【题型4 证明某直线是圆的切线（作垂直证半径）】 (4)【题型5 利用切线的性质求线段长度】 (6)【题型6 利用切线的性质求角度大小】 (7)【题型7 利用切线的性质证明】 (8)【题型8 切线的判定与性质的综合运用】 (9)【题型9 过圆外一点作圆的切线】 (11)【知识点切线的判定】（1）切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线（2）切线判定常用的证明方法：②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．【题型1 有关切线的说法辨析】【例1】（2023春·山东日照·九年级统考期中）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC 是⊙A切线的是（）A．∠A＝50°，∠C＝40°B．∠B﹣∠C＝∠AC．AB2+BC2＝AC2D．⊙A与AC的交点是AC中点【答案】D【分析】根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．【详解】解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；B、∵∠B﹣∠C＝∠A，∴∠B＝∠A+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；C、∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°，∴不能判定BC是⊙A切线；故选：D．【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握切线的判定是解题的关键．【变式1-1】（2023春·九年级课时练习）下列直线中可以判定为圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线B．经过半径外端的直线C．垂直于圆的半径的直线D．与圆心的距离等于半径的直线【答案】D【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可．【详解】解：A．与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；B．经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；C．经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；D．与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【变式1-2】（2023春·西藏拉萨·九年级校考期末）下列四个选项中的表述，一定正确的是（）A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线【答案】C【分析】根据切线的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线，故A，B，D选项不正确，C故选：C．【点睛】此题主要考查了圆中切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．【变式1-3】（2011秋·湖北黄冈·九年级统考期末）如图，已知、分别为的直径和弦，为的中点，垂直于的延长线于，连接，若，，下列结论一定错误的是()A．DE是⊙O的切线B．直径AB长为20cmC．弦AC长为16cm D．C为的中点【答案】D【分析】AB是圆的直径，则∠ACB=90°，根据DE垂直于AC的延长线于E，可以证得ED∥BC，则DE⊥OD，即可证得DE是圆的切线，根据切割线定理即可求得AC的长，连接OD，交BC与点F，则四边形DECF 是矩形，根据垂径定理即可求得半径．【详解】解：连接OD，OC．∵D是弧BC的中点，则OD⊥BC，∴DE是圆的切线．故A正确；∴DE2=CE?AE即：36=2AE∴AE=18，则AC=AE-CE=18-2=16cm．故C正确；∵AB是圆的直径．∴∠ACB=90°，∵DE垂直于AC的延长线于E．D是弧BC的中点，则OD⊥BC，∴四边形CFDE是矩形．∴CF=DE=6cm．BC=2CF=12cm．在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB=．故B正确；在直角△ABC中，AC=16，AB=20，则∠ABC≠30°，而D是弧BC的中点．∴弧AC≠弧CD．故D错误．故选D．【题型2 判断或补全使直线为切线的条件】【例2】（2023春·北京·九年级统考期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是．（写一个条件即可）【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可．【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°，∵∠ABT=∠ATB=45°，∴∠BAT=90°，又∵AB是圆O的直径，∴AT是圆O的切线，故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键．【变式2-1】（2023春·山东德州·九年级统考期中）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于度时，AC才能成为⊙O的切线．【答案】60【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数．【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，∴，∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线，∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线．故答案为：60．【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键．【变式2-2】（2023春·河南信阳·九年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O 交AB于D点，连接CD．（1）求证：∠A=∠BCD；（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．【答案】（1M为BC的中点．【详解】试题分析：（1）根据圆周角定理可得∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A；（2）当MC=MD时，直线DM与⊙O相切，连接DO，根据等等边对等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，进而证得直线DM与⊙O相切．试题解析：（1）证明：∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠DCA=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°，∴∠DCB=∠A；（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切；解：连接DO，∵DO=CO，∴∠1=∠2，∵DM=CM，∴∠4=∠3，∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴直线DM与⊙O相切，故当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切．考点：切线的判定．【变式2-3】（2023春·江西上饶·九年级统考期末）已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．（1）如图甲，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（写出两种情况，不需要证明）：①或②；（2）如图乙，AB是非直径的弦，若∠CAF=∠B，求证：EF是⊙O的切线．（3）如图乙，若EF是⊙O的切线，CA平分∠BAF，求证：OC⊥AB．【答案】（1）①OA⊥EF；②∠FAC=∠B；（2）见解析；（3）见解析．【分析】(1) 添加条件是:①OA⊥EF或∠FAC=∠B根据切线的判定和圆周角定理推出即可．(2) 作直径AM,连接CM，推出∠M=∠B=∠EAC，求出∠FAC+∠CAM=90°，根据切线的判定推出即可．(3)由同圆的半径相等得到OA=OB，所以点O在AB的垂直平分线上，根据∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，等量代换得到∠BAC=∠B，所以点C在AB的垂直平分线上，得到OC垂直平分AB．【详解】（1）①OA⊥EF②∠FAC=∠B，理由是：①∵OA⊥EF，OA是半径，∴EF是⊙O切线，②∵AB是⊙0直径，∴∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠FAC=∠B，∴∠BAC+∠FAC=90°，∴OA⊥EF，∵OA是半径，∴EF是⊙O切线，故答案为：OA⊥EF或∠FAC=∠B，（2）作直径AM，连接CM，即∠B=∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∵∠FAC=∠B，∴∠FAC=∠M，∵AM是⊙O的直径，∴∠ACM=90°，∴∠CAM+∠M=90°，∴∠FAC+∠CAM=90°，∴EF⊥AM，∵OA 是半径，∴EF 是⊙O 的切线．（3）∵OA=OB ，∴点O 在AB 的垂直平分线上，∵∠FAC=∠B ，∠BAC=∠FAC ，∴∠BAC=∠B ，∴点C 在AB 的垂直平分线上，∴OC 垂直平分AB ，∴OC ⊥AB ．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注意:经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角．【题型3 证明某直线是圆的切线（连半径证垂直）】【例3】（2023春·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考开学考试）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的O 分别交AB ，AC 于点E ，F ．(1)求证：BC 是O 的切线；(2)若8AF =，=1CF ，求O 的半径．【答案】(1)见解析(2)O 的半径为5．【分析】（1）连接OD ，可得OA OD =，根据等边对等角，以及角平分线的定义，可得ODA CAD ∠=∠，根据“内错角相等，两直线平行”可得OD AC ∥，根据平行线的性质，可得90ODB C ∠=∠=︒，再根据切线的判定方法，即可判定；（2）过点O 作OG AF ⊥，交AF 于点G ，根据垂径定理可得118422AG FG AF ===⨯=，故5CG =，根据矩形的判定和性质，即可求解．【详解】（1）证明：如图，连接OD ，则OA OD =，ODA OAD ∴∠=∠， AD 是BAC ∠的平分线，OAD CAD ∴∠=∠，ODA CAD ∴∠=∠，OD AC ∴∥，90ODB C ∴∠=∠=︒， OD 为O 的半径，点D 在O 上，∴BC 是O 的切线；（2）解：过点O 作OG AF ⊥，交AF 于点G ，如图，OG AF ⊥，118422AG FG AF ∴===⨯=， 1CF =，145CG CF FG ∴=+=+=，OG AF ⊥，90OGC ∴∠=︒，90ODB C ∠=∠=︒，∴四边形ODCG 是矩形，5DO CG ∴==，O ∴的半径为5．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆的垂径定理，矩形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定和性质，解题的关键是准确作出辅助线．【变式3-1】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，Rt ABC △中，90A ∠=︒，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，点E 在O 上CE CA =，AB ，CE 的延长线交于点F ．(1)求证：CE 与O 相切；(2)若O 的半径为3，4EF =，求CE 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）连接OE 、AE ，则OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，由CE CA =，得CEA CAE ∠=∠，所以90CEO CEA OEA CAE OAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，即可证明CE 与O 相切；（2）由切线的性质得90FEO ∠=︒，3OE OA ==，4EF =，得5OF ，则8AF OF OA =+=，即可根据勾股定理列方程2228(4)CE CE +=+，求解即可．【详解】（1）证明：如图，连接OE 、AE ，则OE OA =，OEA OAE ∴∠=∠，CEA CAE ∴∠=∠，90CEO CEA OEA CAE OAE CAO ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒， CE 经过O 的半径OE 的外端，且CE OE ⊥，CE ∴与O 相切．（2）解：由（1）知CE 与O 相切，∴90FEO ∠=︒∵3OE OA ==，4EF =，5OF ∴，8AF OF OA ∴=+=，∵90CAF =︒∠∴222CA AF CF +=，∵CA CE =，4CF CE =+，2228(4)CE CE ∴+=+，6CE ∴=，CE ∴的长为6．【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的判定、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．【变式3-2】（2023春·江西九江·九年级校考期中）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，P 为BC 延长线上的一点，使得PAC B ∠=∠．(1)求证：AP 是O 的切线．(2)F 为O 上一点，且OC 经过AF 的中点E ．①求证：B CAE ∠=∠；②若2AE CE =，AC =O 的半径长．【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②O 的半径为5．【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出90ACB ∠=︒，进而得出90CAB PAC ∠+∠=︒，即90PAB ∠=︒，即可得出结论；（2）①先根据直径所对的圆周角是直角得出90ACB BCO ACE ∠=∠+∠=︒，进而得出90B ACE ∠+∠=︒，根据题意可得出AE OC ⊥，推出90CAE ACE ∠+∠=︒，即可得出结论；②设CE x =,则2AE x =，由①知AE OC ⊥，得出ACE △和AOE △都是直角三角形，在Rt ACE 中，根据勾股定理得出()(2222x x +=，求出2CE =，4AE =，在Rt AOE △中，根据勾股定理得出()22242OA OA +-=，即可得出答案 【详解】（1）证明：∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90CAB B ∠+∠=︒，∵PAC B ∠=∠，∴90CAB PAC ∠+∠=︒，即90PAB ∠=︒，∴AP AB ⊥，∴AP 是O 的切线；（2）①证明：∵AB 为O 的直径，∴90ACB BCO ACE ∠=∠+∠=︒，∵OC OB =，∴B BCO ∠=∠，∴90B ACE ∠+∠=︒，∵OC 经过AF 的中点E ，∴AE OC ⊥，∴90CAE ACE ∠+∠=︒，∴B CAE ∠=∠；②解：设CE x =,则2AE x =，由①知AE OC ⊥，∴ACE △和AOE △都是直角三角形，在Rt ACE 中，222AE CE AC +=，∴()(2222x x +=，解得：2x =（负值舍去），即2CE =，4AE =，在Rt AOE △中，222AE OE AO +=，∴()22242OA OA +-=，解得：5OA =，即O 的半径为5．【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，勾股定理，掌握切线的判定定理是解题的关键．【变式3-3】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，已知半径为5的M 经过x 轴上一点C ，与y 轴交于A 、B 两点，连接AM 、AC ，AC 平分OAM ∠，6AO CO +=．(1)判断M 与x(2)求AB 的长．【答案】(1)相切，理由见解析(2)6【分析】（1）连接OM ，由AC 平分OAM ∠可得OAC CAM ∠=∠，又MC AM =，所以CAM ACM ∠=∠，进而可得OAC ACM ∠=∠，所以OA ∥MC ，可得MC x ⊥轴，进而可得结论；（2）过点M 作MN y ⊥轴于点N ，则A N B N =，且四边形MNOC 是矩形，设,AO m =可分别表达MN 和ON ，进而根据勾股定理可建立等式，得出结论；【详解】（1）解：M 与x 轴相切，理由如下：如图，连接OM ， AC 平分OAM ∠，OAC CAM ∴∠=∠，又MC AM =，CAM ACM ∴∠=∠，OAC ACM ∴∠=∠，OA ∴∥MC ，OA x ⊥轴，MC x ∴⊥轴， CM 是半径，M ∴与x 轴相切（2）如图，过点M 作MN y ⊥轴于点N ，AN BN ∴==12AB ，90MCO AOC MNA ∠=∠=∠=︒，∴四边形MNOC 是矩形，NM OC ∴=，5MC ON ==，设,AO m =则6OC m =-，5AN m ∴=-，在Rt ANM 中，222AM AN MN =+，∴()()222556m m =-+-，解得2m =或9(m =舍去)，3AN ∴=，6AB ∴=． 【点睛】本题主要考查切线的定义，勾股定理，矩形的性质与判定，垂径定理，待定系数法求函数表达式，题目比较简单，关键是掌握相关定理．【题型4 证明某直线是圆的切线（作垂直证半径）】（2023春·山东日照·九年级日照市新营中学校考期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，【例4】CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由．（2）若AB＝6，∠BDC＝60°，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）3π【分析】(1)过点B作BF⊥CD，证明△ABD≌△FBD，得到BF= BA，即可证明CD与圆B相切；(2)先证明△BCD是等边三角形，根据三线合得到∠ABD= 30°，求出AD，再利用阴影部分的面积= S△ABD－S扇形ABE求出阴影部分面积．【详解】解：(1) 过点B作BF⊥CD，垂足为F，∴∠BFD=90°，∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠ABC＝90°，∴∠BAD=90°，∴∠BAD=∠BFD，∵AD∥BC，∴∠ADB= ∠CBD，∴CB= CD，∴∠CBD= ∠CDB，∴∠ADB = ∠CDB ，在△ABD 和△FBD 中 ，ADB CDB BAD BFD BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△FBD (AAS)，∴BF = BA ，则点F 在圆B 上，∴CD 与⊙B 相切；(2) ∵∠BCD = 60°，CB = CD ，∴△BCD 是等边三角形，∴∠CBD = 60°，∵ BF ⊥CD ，∴∠ABD = ∠DBF = ∠CBF = 30 °，∴∠ABF = 60 °，∵ AB = BF = 6，∴AD = DF °∴阴影部分的面积= S △ABD －S 扇形ABE= 2130662360π⨯⨯⨯-=3π ．【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，解题的关键是正确作出辅助线．【变式4-1】（2023·江西南昌·九年级期末）如图，O 为正方形ABCD 对角线上一点，以O 为圆心，OA 长为半径的O 与BC 相切于点M .（1）求证：CD 与O 相切.（2）若正方形ABCD 的边长为1，求半径OA 的长.【答案】（1）见解析；（2）2OA =【分析】（1）根据正方形的性质可知，AC 是角平分线，再根据角平分线的性质进行证明即可；（2）根据正方形的边长求出AC 的长，再根据等腰直角三角形的性质得出即可求出.【详解】解：（1）如图，连接OM ，过点O 作ON CD ⊥于点N ，∵O 与BC 相切，∴OM BC ⊥∵四边形ABCD 是正方形，∴AC 平分BCD ∠，∴OM ON =，∴CD 与O 相切.（2）∵四边形ABCD 为正方形，∴1,90,45AB B ACD ︒︒=∠=∠=，∴45AC MOC MCO ︒∠=∠=，∴MC OM OA ==，∴OC .又AC OA OC =+，∴OA 2OA =【点睛】本题主要考查了正方形的性质和圆的切线的性质和判定，还运用了数量关系来证明圆的切线的方法.【变式4-2】（2023•武汉模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 为AB上的一点，DE ＝DC ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D ，AB ＝5，EB ＝3．（1）求证：AC 是⊙D 的切线；（2）求线段AC 的长．【分析】（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半径，得出AC是⊙D的切线．（2）先证明△BDE≌△DCF（HL），根据全等三角形对应边相等及切线的性质的AB＝AF，得出AB+EB＝AC．【解答】证明：（1）过点D作DF⊥AC于F；∵AB为⊙D的切线，∴∠B＝90°∴AB⊥BC∵AD平分∠BAC，DF⊥AC∴BD＝DF∴AC与⊙D相切；（2）在△BDE和△DCF中；∵BD＝DF，DE＝DC，∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），∴EB＝FC．∵AB＝AF，∴AB+EB＝AF+FC，即AB+EB＝AC，∴AC＝5+3＝8．【变式4-3】（2023•椒江区一模）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE＝OD，从而证得结论．【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径，∵圆心到直线的距离等于半径，∴AC是⊙O的切线．【知识点2 切线的性质】（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（2）切线性质的推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心【题型5 利用切线的性质求线段长度】【例5】（2023春·河南·九年级校联考期末）如图，为的直径，，是上不同于，的两点，过点的切线垂直于交的延长线于点，连接．(1)求证：；(2)若，，则的长为__________．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，可证，从而可证，即可求证．（2）过作交于，可求，，，接可求解．【详解】（1）证明：如图，连接，为的切线，，，，，，，，．。
专题08 切线的性质与判定重难点题型分类(原卷版)-初中数学上学期重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题07 切线的性质与判定重难点题型分类-高分必刷题专题简介：本份资料包含《切线的性质与判定》这一节在没涉及相似之前各名校常考的主流题型，具体包含的题型有：切线的性质、切线长定理、切线的判定这四类题型；其中，重点是切线的判定这一大类题型，本资料把证明切线的判定方法归纳成四种类型：第I类：用等量代换证半径与直线的夹角等于90°；第II类：用平行+垂直证半径与直线的夹角等于90°；第III类：用全等证半径与直线的夹角等于90°；第IV类：没标出切点时，证圆心到直线的距离等于半径。
本份资料所选题目均出自各名校初三试题，很适合培训学校的老师给学生作切线的专题复习时使用，也适合于想在切线的性质与判定上有系统提升的学生自主刷题使用。
切线的性质：告诉相切，立即连接圆心与切点，得到半径与切线的夹角等于090。
1．如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，连接AO并延长交⊙O于点C，连接BC．若∠A ＝26°，则∠C的度数为（）A．26°B．32°C．52°D．64°（第1题图）（第2题图）2．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M （0，2），N（0，8）两点，则点P的坐标是（）A．（5，3）B．（3，5）C．（5，4）D．（4，5）3．（长郡）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，O为直角边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆恰好与斜边AB相切于点D，与BC交于另一点E．（1）求证：△AOC≌△AOD；（2）若BE＝1，BD＝3，求⊙O的半径及图中阴影部分的面积S．4．（师大）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，斜边AC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，连接BE，经过C、D、E三点作⊙O，（1）求证：CD是⊙O的直径；（2）若BE是⊙O的切线，求∠ACB的度数；（3）当AB＝，BC＝6时，求图中阴影部分的面积．切线长定理：5．如图，P A，PB分别切⊙O于点A，B，OP交⊙O于点C，连接AB，下列结论中，错误的是（）A．∠1＝∠2B．P A＝PB C．AB⊥OP D．OP＝2OA 6．（长郡）如图，P A、PB切⊙O于点A、B，P A＝10，CD切⊙O于点E，交P A、PB于C、D两点，则△PCD的周长是.（第6题图）（第7题图）7．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为（）A．44B．42C．46D．478．（青竹湖）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，以AB 为直径作⊙O ，恰与另一腰CD 相切于点E ，连接OD 、OC 、BE ．（1）求证：OD ∥BE ；（2）若梯形ABCD 的面积是48，设OD ＝x ，OC ＝y ，且x +y ＝14，求CD 的长．内切圆与外接圆半径问题9．两直角边长分别为6cm 、8cm 的直角三角形外接圆半径是 cm ．10．已知，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，AB ＝10，则三角形内切圆的半径为 ．11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，△ABC 的内切圆半径为1，则△ABC 的周长为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．1612.（雅礼）已知三角形三边分别为3、4、5，则该三角形内心与外心之间的距离为_________.13．（长沙中考）如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，∠BAD ＝∠CAD ，CE ∥AD ，CE 交BA 的延长线于点E ，BC ＝8，AD ＝3．（1）求CE 的长；（2）求证：△ABC 为等腰三角形．（3）求△ABC 的外接圆圆心P 与内切圆圆心Q 之间的距离．14.（青竹湖）如图，在矩形ABCD 中，AC 为矩形ABCD 对角线， DG AC ⊥于点G ，延长DG 交AB 于点E ，已知6AD =，8CD =。
专题7圆的切线的判定与性质-重难点题型(举一反三)
专题2.2 圆的切线的判定与性质--重难点题型【知识点1 切线的判定】（1）切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线（2）切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．【题型1 切线判定（连半径，证垂直）】【例1】（2021•新兴县一模）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，连接BD，∠DAB＝∠B＝30°，求证：直线BD是⊙O的切线．【变式1-1】（2020秋•思明区校级期末）如图，AB是圆O的一条弦，点E是劣弧AB的中点，直线CD经过点E 且与直线AB平行，证明：直线CD是圆O的切线．【变式1-2】（2020秋•福州期末）如图，AB是⊙O的直径，C为半圆O上一点，直线l经过点C，过点A作AD ⊥l于点D，连接AC，当AC平分∠DAB时，求证：直线l是⊙O的切线．【变式1-3】（2021•芜湖模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB 交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．（1）求证：ED＝EC；（2）求证：AF是⊙O的切线．【题型2 切线判定（作垂直，证半径）】【例2】（2020秋•原州区期末）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O 的切线．【变式2-1】（2020秋•北京期末）如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（）A．以OA为半径的圆B．以OB为半径的圆C．以OC为半径的圆D．以OD为半径的圆【变式2-2】（2020秋•曲靖期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC边于点D、F．过点D作DE⊥CF于点E．求证：DE是⊙O的切线；【变式2-3】（2021•南平模拟）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，过A，C，D三点的圆O交AB于点E，已知，BD＝AD，∠BAD＝2∠DAC＝36°．（1）求证：AD是圆O的直径；（2）过点E作EF⊥BC于点F，求证：EF与圆O相切．【题型3 切线判定（定义法）】【例3】（2020秋•北塘区期中）给出下列说法：（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）垂直于圆的半径的直线是圆的切线；（4）过圆的半径的外端的直线是圆的切线．其中正确的说法个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式3-1】（2020秋•锡山区校级月考）下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线B．到圆心的距离等于半径的直线C．到圆心的距离大于半径的直线D．到圆心的距离小于半径的直线【变式3-2】给出下列说法：①与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③垂直于圆的半径的直线是圆的切线；④过圆的半径的外端的直线是圆的切线；⑤经过圆心和切点的直线垂直于这条切线．其中正确的是．（填序号）【变式3-3】（2020•龙川县二模）如图，P A和⊙O相切于A点，PB和⊙O有公共点B，且P A＝PB，求证：PB是⊙O的切线．【知识点2 切线的性质】（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（2）切线性质的推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心【题型4 切线的性质（求长度问题）】【例4】（2020秋•衢江区期末）如图，直线AB与⊙O相切于点C，OA交⊙O于点D，连结CD．已知OD＝CD ＝5，求AC的长．【变式4-1】（2021•温州三模）在等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝2，D 是AB 边上一点，以AD 为直径的⊙O 恰好与BC 相切于点C ，则BD 的长为（ ）A ．1B ．2√33C ．2D ．2√55【变式4-2】（2021•湖州一模）如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 的切线DE ⊥AC 于点E ．（1）求证：AB ＝AC ；（2）若AB ＝10，BD ＝8，求DE 的长．【变式4-3】（2021•陕西模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，连接BC ，F 为BC 的中点，连接FO 并延长交⊙O 于点D ，过点D 的切线与CA 的延长线交于点E ．（1）求证：四边形CEDF 是矩形；（2）若AC ＝OA ＝2，求AE 的长．【题型5 切线的性质（求半径问题）】【例5】（2020秋•市中区期末）如图，BE 是⊙O 的直径，点A 和点D 是⊙O 上的两点，过点A 作⊙O 的切线交BE 延长线于点C ．（1）若∠ADE ＝28°，求∠C 的度数；（2）若AC ＝2√3，CE ＝2，求⊙O 半径的长．【变式5-1】（2020秋•沂水县期末）如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，∠ABC ＝15°，切线P A 交OC 延长线于点P ，AP =√3，则⊙O 的半径为（ ）A ．√33B ．√32C ．√3D ．3【变式5-2】（2021•河南模拟）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 是⊙O 的切线，D 为切点，作OF ⊥AD 于点E ，交CD 于点F ．（1）在不增加辅助线的情况下，请直接写出图中一对相等的角，并证明；（2）若BD ＝8，EF ＝2，求⊙O 的半径．【变式5-3】（2021•贵池区模拟）已知：在⊙O 中，AB 为直径，P 为射线AB 上一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为点C ，D 为弧AC 上一点，连接BD 、BC 、DC ．（1）如图1，求证：∠D ＝∠PCB ；（2）如图2，若四边形CDBP 为平行四边形，BC ＝5，求⊙O 的半径．【题型6 切线的性质（求角度问题）】【例6】（2021•红桥区三模）在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与边AC，BC交于点D，E，且DE＝BE．（Ⅰ）如图①，若∠CAB＝38°，求∠C的大小；（Ⅱ）如图②，过点E作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，交AC于点G，若∠CAB＝52°，求∠BEF的大小．【变式6-1】（2021•三明模拟）从⊙O外一点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别为B，C，D是⊙O上不同于B，C的点，∠BAC＝60°，∠BDC的度数是（）A．120°B．60°C．90°或120°D．60°或120°【变式6-2】（2021•北辰区二模）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，∠ABC＝58°．（Ⅰ）如图①，若∠AEC＝85°，求∠BAD和∠CDB的大小；（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线DF，与AB的延长线相交于点F，求∠F的大小．【变式6-3】（2021•天津）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝42°，点D是⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；（Ⅱ）如图②，若CD∥BA，连接AD，过点D作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的大小．。
数学复习课件：切线的性质和判定(共18张PPT)
直击中考
A
A
A
A
考点巩固
例1 如图. AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直, 垂足为D. 求证:AC平分∠DAB.
证明:连接OC, ∵CD是⊙O的切线,
思想方法归纳： ∴OC ⊥CD.
又∵AD⊥CD,
D C 1 A 2 O B 3
连半径， ∴OC//AD. ∴ ∠1=得垂直 ∠3. ∵OC=OA. ∴ ∠2=∠3.
∴ ∠1=∠2. ∴ AC平分∠DAB.
切线的判定考点梳理：
3、圆的切线的判定：经过 半径的 外端，并 且垂直于这条 半径 的直线是圆的切线。
切线需满足两条： ①经过半径外端. ②垂直于这条半径．
注意:定理中的两个条件缺 一不可．
考点训练
下列说法中,正确的是( D ) A. 垂直于半径的直线是的切线 B.经过半径外端的直线是圆的切线 C.经过切点的直线是圆的切线 D.圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线 是圆的切线
证明切线时如何作辅助线？
Ｏ
D A O E
B
Ａ
Ｂ
C
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点 和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂 直。简记为：连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共 点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线 段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。
O O O O
考点巩固
例2、(例1变式 )如图,AB为⊙O的直径, C为⊙O
上点,若∠ BAC= ∠CAM, 过C点作直线垂直于射线 AM,垂足为点D.
(1)试判断CD与⊙ O的位置关系，并说明理由； 思想方法归纳：
证明: 连结OC
∵OA=OC， ∴∠2=∠3
初中数学切线的性质和判定
图29－3
线的性质和判定
解 析 (1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角 定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小； (2)由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得 PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长．
┃ 切线的性质和判定
切线的性质和判定
中考预测
如图 29－6，△ABC 内接于⊙O，∠B＝60°，
CD 是⊙O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，
且 AP＝AC.
(1)求证：PA 是⊙O 的切线；
(2)若 PD＝ 3，求⊙O 的直径．
图29－6
切线的性质和判定
解
(1)证明：连接 OA, ∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°.
切线的性质和判定
[方法点析] 解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运 用．解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或 直角三角形的性质及三角函数等解决．
┃ 切线的性质和判定
回归教材
切线问题中必需的半径
教材母题
如图 29－5，设 AB 是⊙O 的直径，如 果圆上点 D 恰使∠ADC＝∠B，那么直线 CD 与⊙O 相切吗？若相切，请给出证明．
∴S△AOB＝12×AB×OD＝12×10 3×5＝25 3(cm2)．
切线的性质和判定
[方法点析] (1)利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条切 线的长相等，是解题的基本方法．(2)利用方程思想求切线长常 与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连．
切线的性质和判定
探究四 三角形的内切圆
命题角度： 1. 三角形的内切圆的定义； 2. 求三角形的内切圆的半径．
切线的判定与性质专题练习题含答案
人教版九年级数学上册第二十四章圆24. 2点和圆、直线和圆的位置关系切线的判定与性质专题练习题1.下列说法中，正确的是()A.与圆有公共点的直线是圆的切线B.经过半径外端的直线是圆的切线C.经过切点的直线是圆的切线D.圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线2.如图，在。
O中，弦AB = OA, P是半径OB的延长线上一点，且PB = OB,则PA 与。
O的位置关系是.3.如图，4ABC的一边AB是。
O的直径，请你添加一个条件，使BC是。
O的切线，你所添加的条件为.4.如图，在Rt AABC中，NC = 90°, BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D,交BC于点E.求证：AC是。
O的切线.5.如图，AB是。
O的直径，AC切。
O于A, BC交。
O于点D,若NC = 70°,则NAOD的度数为()6.如图，线段AB是。
O的直径，点C, D为。
O上的点，过点C作。
O的切线交 AB的延长线于点E,若NE=50°,则NCDB等于()7.如图，等腰直角三角形ABC中，AB=AC = 8, O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB, AC都相切，切点分别为D, E,则。
O的半径为()A. 8B. 6C. 5D. 48.如图，AB是。
O的直径，O是圆心，BC与。
O切于点B, CO交。
O于点D,且 BC = 8, CD=4,那么。
O的半径是.9.如图，AB是。
O的直径，点C在AB的延长线上，CD与。
O相切于点D, CE± AD,交AD的延长线于点E.求证：NBDC=NA.10.如图，CD是。
O的直径，弦ABXCD于点G,直线EF与。
O相切于点D,则下列结论中不一定正确的是()A. AG=BGB. AB〃EFC. AD〃BCD.NABC=NADC11.如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D,则NC = 度.12.如图，AB为。
切线的判定和性质
1.定义:一条直线和圆只有一个公 共点,这条直线叫圆的切线.
2.d=r 直线和圆相切
3.经过半径的外端且垂直于这 条半径的直线是圆的切线.
二.切线的性质有哪些?
1.圆的切线和圆只有一个公共点. 2.圆心到切线的距离等于圆的半径 3. 圆的切线垂直于经过切点的半径. 4.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 5.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
⑴.公共点已给定.
做法是“连结”半径,让半径“垂直”于 直⑵线.公. 共点未给定.
做法是从圆心向直线“作垂线”, 证“垂线段等于半径”.
例1:如图，AB为⊙O的直径,BC是⊙O的 切线,切点为B,OC平行于弦AD.
求证:DC是⊙O的切线
例2:在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB和CD相等,且AB与小圆相 切于点E,
求证:CD与小圆相切.
例3：如图，AB是半圆⊙O的直径， CD⊥AB于D，EC是切线，E为切点， 求证：CE=CF。
练习1： 1.如图，OC平分∠AOB,D是OC上
任意一点,⊙D与OA相切于E.
求证:OB与⊙D相切.
2.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,⊙O与腰AB切于点 D.
求证:AC与⊙O相切.
小结：
1.在证明中熟练应用切线的判定和性质.
2.在证明一条直线是 圆的切线时,会遇到 两种情形,要选择适当的途径.
专题08 切线的判定与性质(解析版) -2021-2022学年九年级数学之专攻圆各种类型题
专题08 切线的判定与性质概念规律重在理解1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.OA为⊙O的半径，BC ⊥OA于A。
则BC为⊙O的切线。
注意：在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线。
2.判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：（1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;（2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；（3）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.3.证切线时辅助线的添加方法(1) 有交点，连半径,证垂直;(2) 无交点，作垂直,证半径.4.有切线时常用辅助线添加方法见切点，连半径，得垂直.5.切线的其他重要结论(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.6.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．直线l是⊙O 的切线，A是切点，直线l ⊥OA.说明：利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.典例解析掌握方法【例题1】（2021吉林长春）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC＝35°，则∠ACB的大小为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】C【解析】先根据切线的性质得到∠ABC＝90°，然后利用互余计算出∠ACB的度数．∵BC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°．【例题2】（2021广西玉林）如图，⊙O与等边△ABC的边AC，AB分别交于点D，E，AE是直径，过点D作DF⊥BC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系．【答案】见解析。
中考数学复习切线的概念判定性质[人教版](201908)
](https://img.taocdn.com/s3/m/98aac52bde80d4d8d05a4f26.png)
中考专题复习之切线的判定与性质
中考专题复习之切线的判定与性质知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。
精典例题：【例1】如图，AC 为⊙O 的直径，B 是⊙O 外一点，AB 交⊙O 于E 点，过E 点作⊙O 的切线，交BC 于D 点，DE ＝DC ，作EF ⊥AC 于F 点，交AD 于M 点。
（1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）EM ＝FM 。
分析：（1）由于AC 为直径，可考虑连结EC ，构造直角三角形来解题，要证BC 是⊙O 的切线，证到∠1＋∠3＝900即可；（2）可证到EF ∥BC ，考虑用比例线段证线段相等。
证明：（1）连结EC ，∵DE ＝CD ，∴∠1＝∠2 ∵DE 切⊙O 于E ，∴∠2＝∠BAC ∵AC 为直径，∴∠BAC ＋∠3＝900∴∠1＋∠3＝900，故BC 是⊙O 的切线。
（2）∵∠1＋∠3＝900，∴BC ⊥AC 又∵EF ⊥AC ，∴EF ∥BC∴CDMFAD AM BD EM == ∵BD ＝CD ，∴EM ＝FM【例2】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点，以O 为圆心的圆与AB 相切于点D 。
求证：AC 是⊙O 的切线。
分析：由于⊙O 与AC 有无公共点未知，因此我们从圆心O 向AC 作垂线段OE ，证OE 就是⊙O 的半径即可。
证明：连结OD 、OA ，作OE ⊥AC 于E∵AB ＝AC ，OB ＝OC ，∴AO 是∠BAC 的平分线 ∵AB 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AB 又∵OE ⊥AC ，∴OE ＝OD∴AC 是⊙O 的切线。
【例3】如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ，OA ＝r 。
（1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）求OC AD ⋅的值；（3）若AD ＋OC ＝r 29，求CD 的长。
切线的判定专题复习
利用勾股定理逆定理证垂直
（南充中考改编）如图，C是⊙O上一点， 点P是直径AB的延长线上，⊙O的半径
为6，PB=4，PC=8，求证：PC是⊙O的
切线.
利用角度转换证垂直
（1）求证：DE是⊙O的切线
3.( 2019山东济宁第20题)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上 一点，D是A⌒C的中点，E为OD延长线上一点，∠CAE＝2∠C， AC与BD交于点H，与OE交于点F． （1）求证：AE是⊙O的切线；
切线判定
三种判定方法 两种基本思路
定义法 数量法 定理法
有交点连半径证垂直 无交点作垂直证半径
E
三角形，O是底边BC的中点，腰AB与
⊙O相切于点D.
Байду номын сангаас求证：AC是⊙O的切线.
以上证法有何不同?
VS
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅 助半径,再证所作半径与这直线垂直。
基本思路1：有_交_点__，连_半_径__，证_垂_直__
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作 直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。
B
一点一等二条件
圆的切线的判定有哪几种方法？
●O
•①定义法：直线与圆有唯一公共点
C
┓
A
D
•②数量法：直线到圆心的距离等于该圆的半径(d=r)
•③定理法： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线.
符号语言：∵OA是⊙O半径，OA⊥CD
∴直线CD是⊙O的切线
利用平行证垂直
切线的判定与性质精选题22道
切线的判定与性质精选题22道一．选择题（共6小题）1．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD．已知PC＝PD＝BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO＝AB；（4）∠PDB＝120°．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个2．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A'B'CD'的边A'B'与⊙O相切，切点为E，边CD'与⊙O相交于点F，则CF的长为（）A．2.5B．1.5C．3D．43．如图，在矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A1B1C1D1的边A1B1与⊙O相切于点E，则BB1的长为（）A．B．2C．D．4．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F，下列结论：①CE ＝CF；②线段EF的最小值为2；③当AD＝2时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在弧BC上，则AD＝2．其中正确结论的序号是（）A．①③B．②③C．①②③D．①②③④5．已知半圆O的直径AB＝8，沿弦EF折叠，当折叠后的圆弧与直径AB相切时，折痕EF 的长度m为（）A．m＝4B．m＝4C．4≤m≤4D．4≤m≤4 6．如图，圆心P（﹣5，0），⊙P的半径为3，将⊙P沿x轴的正方向平移，使得⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）A．2B．8C．3或8D．2或8二．填空题（共8小题）7．如图，直线y＝﹣x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是．8．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，AC＝8，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，P为线段A′B′上的动点，以点P为圆心，P A′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为．9．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝10，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．有下列结论：①CE＝CF；②线段EF的最小值为5；③当AD＝3时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在弧BC上，则AD＝5；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是25，其中正确结论的序号是．10．如图，已知AC为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，且BC＝AC，连接线段AB，与⊙O 交于点D，若AC＝4cm，则阴影部分的面积为．11．判断对错（在题后的小括号里，对的打√，错的打×）．（1）两个半圆是等弧；（2）过圆心的线段是半径；（3）一个三角形有唯一的一个外接圆；（4）相等的圆心角所对的弧相等；（5）长度相等的两条弧是等弧；（6）顶点在圆上的角是圆周角；（7）圆周角是圆心角的一半；（8）圆的切线只有一条；（9）直线a上一点到圆心的距离等于半径，则a和圆有公共点；（10）若直线与圆有一个公共点，则直线是圆的切线；（11）经过半径外端的直线是圆的切线；（12）能完全重合的两个图形成中心对称；（13）直径所对的角是直角；（14）抛物线y＝﹣（x﹣2）2与y轴不相交；（15）二次函数y＝2x2+4x﹣1的最小函数值是﹣3 ．12．如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是弧AB上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧A′F恰好与半径OB相切于点G，若OE＝5，则折痕EF的长为．13．如图，直线l：y＝﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m的值为．14．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝12，BC＝14，AD＝9，点P为线段BC上的一动点，连接DP，以DP为直径的圆M，当圆M与直角梯形ABCD的边相切时，线段BP的最小值为．三．解答题（共8小题）15．如图，在△ABC，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC 的延长线上，且∠CBF＝∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．16．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD 的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．17．如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且＝，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．（1）求证：MF是⊙O的切线；（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．18．如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长．19．如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE＝∠C．（1）求证：AE与⊙O相切于点A；（2）若AE∥BC，BC＝2，AC＝2，求AD的长．20．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．（1）求证：AC与⊙O相切；（2）当BD＝6，sin C＝时，求⊙O的半径．21．如图，已知直线P A交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC 平分∠P AE，过C作CD⊥P A，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC+DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长度．22．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点E，连接CE，且CE平分∠ACB．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接DE，若∠A＝30°，求．切线的判定与性质精选题22道参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD．已知PC＝PD＝BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO＝AB；（4）∠PDB＝120°．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】（1）利用切线的性质得出∠PCO＝90°，进而得出△PCO≌△PDO（SSS），即可得出∠PCO＝∠PDO＝90°，得出答案即可；（2）利用（1）所求得出：∠CPB＝∠BPD，进而求出△CPB≌△DPB（SAS），即可得出答案；（3）利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA（ASA），进而得出答案；（4）利用四边形PCBD是菱形，∠CPO＝30°，则DP＝DB，则∠DPB＝∠DBP＝30°，求出即可．【解答】解：（1）连接CO，DO，∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO＝90°，在△PCO和△PDO中，，∴△PCO≌△PDO（SSS），∴∠PCO＝∠PDO＝90°，∴PD与⊙O相切，故（1）正确；（2）由（1）得：∠CPB＝∠BPD，在△CPB和△DPB中，，∴△CPB≌△DPB（SAS），∴BC＝BD，∴PC＝PD＝BC＝BD，∴四边形PCBD是菱形，故（2）正确；（3）连接AC，∵PC＝CB，∴∠CPB＝∠CBP，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB＝90°，在△PCO和△BCA中，，∴△PCO≌△BCA（ASA），∴PO＝AB，故（3）正确；（4）∵四边形PCBD是菱形，∠CPO＝30°，∴DP＝DB，则∠DPB＝∠DBP＝30°，∴∠PDB＝120°，故（4）正确；正确个数有4个，故选：A．【点评】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键．2．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A'B'CD'的边A'B'与⊙O相切，切点为E，边CD'与⊙O相交于点F，则CF的长为（）A．2.5B．1.5C．3D．4【分析】连接OE并延长交CF于点H，可证四边形EB′CH是矩形，再根据勾股定理和垂径定理即可求得CF的长．【解答】解：如图，连接OE并延长交CF于点H，∵矩形ABCD绕点C旋转得矩形A'B'C'D'，∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，A′B′∥CD′，BC＝B′C＝4，∵边A'B'与⊙O相切，切点为E，∴OE⊥A′B′，∴四边形EB′CH是矩形，∴EH＝B′C＝4，OH⊥CF，∵AB＝5，∴OE＝OC＝AB＝，∴OH＝EH﹣OE＝，在Rt△OCH中，根据勾股定理，得CH＝＝＝2，∴CF＝2CH＝4．故选：D．【点评】本题考查了圆中的计算问题和矩形，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、旋转的性质．3．如图，在矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A1B1C1D1的边A1B1与⊙O相切于点E，则BB1的长为（）A．B．2C．D．【分析】连接EO并延长交线段CD1于点F，过点B1作B1G⊥BC于点G，由题意可得：四边形B1EFC为矩形，则EF＝B1C＝8，由勾股定理可求线段CF的长；由旋转的性质可得：∠OCF＝∠B1CG，则sin∠OCF＝sin∠B1CG＝，cos∠OCF＝cos∠B1CG＝；利用直角三角形的边角关系可求B1G和CG，最后利用勾股定理可得结论．【解答】解：连接EO并延长交线段CD1于点F，过点B1作B1G⊥BC于点G，如图，∵边A1B1与⊙O相切于点E，∴OE⊥A1B1．∵四边形A1B1C1D1是矩形，∴A1B1⊥B1C，B1C⊥CD1．∴四边形B1EFC为矩形．∴EF＝B1C＝8．∵CD为⊙O的直径，∴OE＝DO＝OC＝AB＝5．∴OF＝EF﹣OE＝3．∵A1B1∥CD1，OE⊥A1B1，∴OF⊥CD1．∴CF＝＝4．由旋转的性质可得：∠OCF＝∠B1CG．∴sin∠OCF＝sin∠B1CG＝，cos∠OCF＝cos∠B1CG＝．∵sin∠OCF＝，cos∠OCF＝，∴，．∴B1G＝，CG＝．∴BG＝BC﹣CG＝．∴BB1＝＝＝．故选：C．【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质，圆的切线的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系，旋转的性质，连接EO，利用切线的性质得到OE⊥A1B1，是解决此类问题常添加的辅助线．4．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F，下列结论：①CE ＝CF；②线段EF的最小值为2；③当AD＝2时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在弧BC上，则AD＝2．其中正确结论的序号是（）A．①③B．②③C．①②③D．①②③④【分析】①连接DC，根据题意可得：CE＝CD，从而可得∠E＝∠CDE，再利用等角的余角相等可得∠F＝∠CDF，进而可得CD＝CF，即可判断；②由①可得EF＝2CD，所以当CD最小时，则EF最小，所以当CD⊥AB时，先在Rt△ABC中求出AC，再在Rt△ACD中求出CD，即可判断；③连接OC，先证明△AOC是等边三角形，从而可得∠ACO＝60°，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得∴∠ACD＝30°，进而可得∠ECA＝30°，然后再证∠OCE＝90°，即可判断；④连接AF、BF，根据题意可得DE⊥AC，从而可得DE∥BC，进而可得FH＝DH，∠BHD＝90°，从而证明BC是DF的垂直平分线，然后再利用等腰三角形的三线合一性质可得∠FBA＝60°，最后在Rt△AFB中求出BF，即可求出BD，即可判断．【解答】解：连接DC，∵点E与点D关于AC对称，∴CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴∠E+∠F＝90°，∵∠CDE+∠CDF＝90°，∴∠F＝∠CDF，∴CD＝CF，∴CE＝CD＝CF，故①正确；∵CE＝CD＝CF，∴EF＝2CD，当CD最小时，则EF最小，∴当CD⊥AB时，CD最小，∵AB是半⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝8，∠CBA＝30°，∴AC＝AB＝4，∠CAB＝90°﹣∠CBA＝60°，在Rt△ADC中，CD＝AC sin60°＝4×＝2，∴EF＝2CD＝4，∴线段EF的最小值为4，故②不正确；连接OC，∵OA＝OC，∠A＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴∠ACO＝60°，∵AD＝2，OA＝4，∴OD＝OA﹣AD＝4﹣2＝2，∴AD＝OD，∴∠ACD＝∠ACO＝30°，∵点E与点D关于AC对称，∴∠ECA＝∠ACD＝30°，∴∠OCE＝∠ECA+∠ACO＝90°，∵OC是半⊙O的半径，∴EF与半⊙O相切，∴当AD＝2时，EF与半圆相切，故③正确；当点F恰好落在弧BC上时，连接AF、BF，∵点E与点D关于AC对称，∴AC⊥DE，∴∠AGD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠AGD＝90°，∴DE∥BC，∵CF＝CE，∴FH＝DH，∵∠EDF＝90°，BC∥DE，∴∠BHD＝∠EDF＝90°，∴BC是DF的垂直平分线，∴BF＝BD，∴∠FBA＝2∠CBA＝60°，∵AB是半⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴FB＝AB cos60°＝8×＝4，∴BD＝BF＝4，∴AD＝AB﹣BD＝8﹣4＝4，故④不正确，所以，正确结论的序号是①③，故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定与性质，轴对称的性质，直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，直角三角形斜边上的中线性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．已知半圆O的直径AB＝8，沿弦EF折叠，当折叠后的圆弧与直径AB相切时，折痕EF 的长度m为（）A．m＝4B．m＝4C．4≤m≤4D．4≤m≤4【分析】分别求得折痕EF的长的最小值与最大值可得答案．【解答】解：如图，当半圆以点B为圆心顺时针旋转90°时，折痕EF的有最小值，∵半圆O的直径AB＝8，∴OF＝O1F＝O1E＝OE＝4，在Rt△EO1F中，∴EF最小值＝＝4．如图1﹣3，当半圆沿垂直于直径AB进行折叠时，折痕EF有最大值，∴O1M＝OM＝2，∠OMF＝90°，EM＝FM，OF＝OB＝4，∴FM＝＝＝2，∴EF有最大值＝2×2＝4，∴折痕EF的长度m为：4≤m，故选：D．【点评】此题考查的是切线的判定与性质、圆周角定理、翻折的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．6．如图，圆心P（﹣5，0），⊙P的半径为3，将⊙P沿x轴的正方向平移，使得⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）A．2B．8C．3或8D．2或8【分析】分圆P在y轴的左侧与y轴相切、圆P在y轴的右侧与y轴相切两种情况，根据切线的判定定理解答．【解答】解：当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为5﹣3＝2，当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为5+3＝8，故选：D．【点评】本题考查的是切线的判定、坐标与图形的变化﹣平移问题，掌握切线的判定定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的应用．二．填空题（共8小题）7．如图，直线y＝﹣x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是（﹣，0）或P（﹣，0）．【分析】根据函数解析式求得A（﹣4，0），B（0．﹣3），得到OA＝4，OB＝3，根据勾股定理得到AB＝5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD＝1，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵直线y＝﹣x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，∴令x＝0，得y＝﹣3，令y＝0，得x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，﹣3），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD＝1，∵∠ADP＝∠AOB＝90°，∠P AD＝∠BAO，∴△APD∽△ABO，∴＝，∴＝，∴AP＝，∴OP＝或OP＝，∴P（﹣，0）或P（﹣，0），故答案为：（﹣，0）或P（﹣，0）．【点评】本题考查了切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．8．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，AC＝8，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，P为线段A′B′上的动点，以点P为圆心，P A′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为或．【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点M时，如图2中，当⊙P与AB相切于点N时，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：∵，∴设BC＝3x，则AB＝5x，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，即：（5x）2＝（3x）2+82，∴x＝2，∴AB＝10，BC＝6，∴，①若⊙P与AC相切，如图1，设切点为M，连接PM，则PM⊥AC，且PM⊥P A′，∵PM⊥AC，A′C⊥AC，∴∠B′PM＝∠A′，由旋转性质可知∠A′＝∠A，∴∠B′PM＝∠A，∴，设PM＝4x，则P A′＝PM＝4x，B′P＝5x，又∵A′B′＝AB，即：4x+5x＝10，解得，∴；②若⊙P与AB相切，延长PB′交AB于点N，如图2，∵∠A′+∠B＝∠A+∠B＝90°，∵∠A′NB＝90°，即N为AB与⊙O切点，又∴A'B＝BC+A'C＝BC+AC＝14，∴A′N＝A′B•cos∠A′＝A′B•cos A，即，∴．综上，⊙P的半径为或，故答案为：或．【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．9．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝10，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．有下列结论：①CE＝CF；②线段EF的最小值为5；③当AD＝3时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在弧BC上，则AD＝5；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是25，其中正确结论的序号是①②④⑤．【分析】①由点E与点D关于AC对称可得CE＝CD，再根据DF⊥DE即可证到CE＝CF．②根据“点到直线之间，垂线段最短”可得CD⊥AB时CD最小，由于EF＝2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值．③连接OC，易证△AOC是等边三角形，AD＝OD，根据等腰三角形的“三线合一”可求出∠ACD，进而可求出∠ECO＝90°，从而得到EF与半圆相切．④利用相似三角形的判定与性质可证到△DBF是等边三角形，只需求出BF就可求出DB，进而求出AD长．⑤首先根据对称性确定线段EF扫过的图形，然后探究出该图形与△ABC的关系，就可求出线段EF扫过的面积．【解答】解：①连接CD，如图1所示．∵点E与点D关于AC对称，∴CE＝CD．∴∠E＝∠CDE．∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°．∴∠E+∠F＝90°，∠CDE+∠CDF＝90°．∴∠F＝∠CDF．∴CD＝CF．∴CE＝CD＝CF．故①正确．②当CD⊥AB时，如图2所示．∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°．∵AB＝10，∠CBA＝30°，∴∠CAB＝60°，AC＝5，BC＝5．∵CD⊥AB，∠CBA＝30°，∴CD＝BC＝．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：点D在线段AB上运动时，CD的最小值为．∵CE＝CD＝CF，∴EF＝2CD．∴线段EF的最小值为5．故②正确．③当AD＝3时，连接OC，如图3所示．∵OA＝OC，∠CAB＝60°，∴△OAC是等边三角形．∴CA＝CO，∠ACO＝60°．∵AO＝5，AD＝3，∴DO＝2．∴AD≠DO．∴∠ACD＞∠OCD≠30°．∵点E与点D关于AC对称，∴∠ECA＝∠DCA．∴∠ECA≠30°．∴∠ECO≠90°．∴OC不垂直EF．∵EF经过半径OC的外端，且OC不垂直EF，∴EF与半圆不相切．故③错误．④当点F恰好落在上时，连接FB、AF，如图4所示．∵点E与点D关于AC对称，∴ED⊥AC．∴∠AGD＝90°．∴∠AGD＝∠ACB．∴ED∥BC．∴△FHC∽△FDE．∴．∵FC＝EF，∴FH＝FD．∴FH＝DH．∵DE∥BC，∴∠FHC＝∠FDE＝90°．∴BF＝BD．∴∠FBH＝∠DBH＝30°．∴∠FBD＝60°．∵AB是半圆的直径，∴∠AFB＝90°．∴∠F AB＝30°．∴FB＝AB＝5．∴DB＝4．∴AD＝AB﹣DB＝5．故④正确．⑤∵点D与点E关于AC对称，点D与点F关于BC对称，∴当点D从点A运动到点B时，点E的运动路径AM与AB关于AC对称，点F的运动路径NB与AB关于BC对称．∴EF扫过的图形就是图5中阴影部分．∴S阴影＝2S△ABC＝2×AC•BC＝AC•BC＝5×5＝25．∴EF扫过的面积为25．故⑤正确．故答案为①②④⑤．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质、含30°角的直角三角形、垂线段最短等知识，熟练掌握几何图形的性质是解题的关键．10．如图，已知AC为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，且BC＝AC，连接线段AB，与⊙O 交于点D，若AC＝4cm，则阴影部分的面积为（6﹣π）cm2．【分析】由切线的性质和圆周角定理可得∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，由等腰直角三角形的性质可得AD＝DB＝CD，AO＝CO＝DO，AC⊥OD，由面积和差关系可求解．【解答】解：如图，连接OD，CD，∵BC为⊙O的切线，AC为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，又∵AC＝BC，∴AD＝DB＝CD，∵AO＝CO＝2cm，∴AC⊥OD，OD＝AO＝CO＝2cm，∴∠COD＝90°，∴S阴影＝S△ACB﹣S△AOD﹣S扇形COD＝×4×4﹣×2×2﹣＝（6﹣π）cm2，故答案为：（6﹣π）cm2．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，扇形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．11．判断对错（在题后的小括号里，对的打√，错的打×）．（1）两个半圆是等弧×；（2）过圆心的线段是半径×；（3）一个三角形有唯一的一个外接圆√；（4）相等的圆心角所对的弧相等×；（5）长度相等的两条弧是等弧×；（6）顶点在圆上的角是圆周角×；（7）圆周角是圆心角的一半×；（8）圆的切线只有一条×；（9）直线a上一点到圆心的距离等于半径，则a和圆有公共点√；（10）若直线与圆有一个公共点，则直线是圆的切线×；（11）经过半径外端的直线是圆的切线×；（12）能完全重合的两个图形成中心对称×；（13）直径所对的角是直角×；（14）抛物线y＝﹣（x﹣2）2与y轴不相交×；（15）二次函数y＝2x2+4x﹣1的最小函数值是﹣3 √．【分析】根据切线的判定和性质定理，二次函数的性质，三角形的外接圆的性质进行判断即可．【解答】解：（1）两个半圆是等弧×；（2）过圆心的线段是半径×；（3）一个三角形有唯一的一个外接圆√；（4）相等的圆心角所对的弧相等×；（5）长度相等的两条弧是等弧×；（6）顶点在圆上的角是圆周角×；（7）圆周角是圆心角的一半×；（8）圆的切线只有一条×；（9）直线a上一点到圆心的距离等于半径，则a和圆有公共点√；（10）若直线与圆有一个公共点，则直线是圆的切线×；（11）经过半径外端的直线是圆的切线×；（12）能完全重合的两个图形成中心对称×；（13）直径所对的角是直角×；（14）抛物线y＝﹣（x﹣2）2与y轴不相交×；（15）二次函数y＝2x2+4x﹣1的最小函数值是﹣3√，故答案为：×、×、√、×、×、×、×、×、√、×、×、×、×、×、√．【点评】本题考查了圆的性质，切线的判定和性质定理，二次函数的性质，三角形的外接圆的性质，熟练掌握切线的判定和性质定理、三角形的外接圆的性质是解题的关键．12．如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是弧AB上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧A′F恰好与半径OB相切于点G，若OE＝5，则折痕EF的长为+．【分析】过点G作O′G⊥OB于点G，过点A作AO′⊥O′G于点O′，连接OO′交EF于H，连接OF，易证四边形AOGO′为矩形，根据题意可得OO′⊥EF，OH＝HO′，易证Rt△OEH∽Rt△OO′A，根据相似三角形的性质即可求出OH，再根据勾股定理即可求出EH和FH，进一步求EF的值即可．【解答】解：过点G作O′G⊥OB于点G，过点A作AO′⊥O′G于点O′，连接OO′交EF于H，连接OF，如图所示：∴∠AO′G＝∠O′GO＝90°，∵∠AOB＝90°，∴四边形AOGO′为矩形，∴O′G＝AO＝6，根据题意，得点O′为所在圆的圆心，∴点O与点O′关于EF对称，∴OO′⊥EF，OH＝HO′，设OH＝x，则OO′＝2x，∵∠EOH＝∠O′OA，∠OHE＝∠OAO′，∴Rt△OEH∽Rt△OO′A，∴OE：OH＝OO′：OA，∵OE＝5，OA＝6，∴5：x＝（2x）：6，解得x＝，∴OH＝，∵OE＝5，OF＝6，根据勾股定理，得EH＝，FH＝，∴EF＝+，故答案为：+．【点评】本题考查了圆的综合，涉及切线的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判断，勾股定理等，本题综合性较强，难度较大．13．如图，直线l：y＝﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m的值为2﹣2或2+2．【分析】根据直线l：y＝﹣x+1由x轴的交点坐标A（0，1），B（2，0），得到OA＝1，OB＝2，求出AB＝；设⊙M与AB相切于C，连接MC，则MC＝2，MC⊥AB，通过△BMC∽△BAO，即可得到结果．【解答】解：在y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝2，∴A（0，1），B（2，0），∴AB＝；如图，设⊙M与AB相切于C，连接MC，则MC＝2，MC⊥AB，∵∠MCB＝∠AOB＝90°，∠ABO＝∠CBM，∴△BMC∽△BAO，∴＝，即＝，∴BM＝2，∴OM＝2﹣2，或OM＝2+2．∴m＝2﹣2或m＝2+2．故答案为：2﹣2或2+2．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，注意分类讨论是解题的关键．14．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝12，BC＝14，AD＝9，点P为线段BC上的一动点，连接DP，以DP为直径的圆M，当圆M与直角梯形ABCD的边相切时，线段BP的最小值为4或9．【分析】分两种情形：如图2﹣1中，当⊙M与AB相切时，连接QM．如图2﹣2中，当⊙M与BC（AD）相切时，分别求解即可．【解答】解：如图2﹣1中，当⊙M与AB相切时，连接QM．∵MQ＝MP，∴∠MQP＝∠MPQ，∵∠QPM＝∠QPB，∴∠MQP＝∠QPB，∴MQ∥PB，∵DM＝PM，∴AQ＝QB＝6，∵∠A＝∠B＝∠DQP＝90°，∴∠AQD+∠BQP＝90°，∠BQP+∠QPB＝90°，∴∠AQD＝∠BPQ，∴△DAQ∽△QBP，∴，∴，∴BP＝4．如图2﹣2中，当⊙M与BC（AD）相切时，四边形ABPD是矩形，∴BP＝AD＝9．综上所述，满足条件的BP的值为4或9．故答案为：4或9．【点评】本题属于四边形综合题，考查了直角梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．三．解答题（共8小题）15．如图，在△ABC，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC 的延长线上，且∠CBF＝∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF＝90°．（2）利用已知条件证得△AGC∽△ABF，利用比例式求得线段的长即可．【解答】（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠1+∠2＝90°．∵AB＝AC，∴∠1＝∠CAB．∵∠CBF＝∠CAB，∴∠1＝∠CBF∴∠CBF+∠2＝90°即∠ABF＝90°∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线．（2）解：过点C作CG⊥AB于G．∵sin∠CBF＝，∠1＝∠CBF，∴sin∠1＝，∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AB＝5，∴BE＝AB•sin∠1＝，∵AB＝AC，∠AEB＝90°，∴BC＝2BE＝2，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝＝2，∴sin∠2＝＝＝，cos∠2＝＝＝，在Rt△CBG中，可求得GC＝4，GB＝2，∴AG＝3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴∴BF＝＝【点评】本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．16．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD 的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．【分析】（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP＝90°，即OC⊥PC，即可证得；（2）先证△OBC是等边三角形得∠COB＝60°，再由（1）中所证切线可得∠OCF＝90°，结合半径OC＝5可得答案．【解答】解：（1）连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD＝CD，∴P A＝PC，在△OAP和△OCP中，∵，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP＝∠OAP∵P A是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°．∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC∴PC是⊙O的切线．（2）∵OB＝OC，∠OBC＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB＝60°，∵AB＝10，∴OC＝5，由（1）知∠OCF＝90°，∴CF＝OC tan∠COB＝5．【点评】本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．17．如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且＝，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．（1）求证：MF是⊙O的切线；（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证得∠OMB＝∠MBF，得出OM ∥BF，即可证得OM⊥MF，即可证得结论；（2）由勾股定理可求AB的长，可得AO，BO，ON的长，由勾股定理可求CO的长，通过证明△ACN∽△MCB，可得，即可求CM的长．【解答】证明：（1）连接OM，∵OM＝OB，∴∠OMB＝∠OBM，∵BM平分∠ABD，∴∠OBM＝∠MBF，∴∠OMB＝∠MBF，∴OM∥BF，∵MF⊥BD，∴OM⊥MF，即∠OMF＝90°，∴MF是⊙O的切线；（2）方法一、如图，连接AN，ON∵＝，∴AN＝BN＝4∵AB是直径，＝，∴∠ANB＝90°，ON⊥AB∴AB＝＝4∴AO＝BO＝ON＝2∴OC＝＝＝1∴AC＝2+1，BC＝2﹣1∵∠A＝∠NMB，∠ANC＝∠MBC∴△ACN∽△MCB∴∴AC•BC＝CM•CN∴7＝3•CM∴CM＝方法二、∵，∴∠ABN＝∠BMN，∵∠BNC＝∠BNM，∴△BCN∽△MBN，∴＝，∴BN2＝NC•MN，∴MN＝，∴CM＝．【点评】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，求OC的长是本题的关键．18．如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长．【分析】（1）连接OF，易证∠DBC+∠C＝90°，由等腰三角形的性质得∠DBC＝∠OFB，∠C＝∠EFC，推出∠OFB+∠EFC＝90°，则∠OFE＝90°，即可得出结论；（2）连接AF，则∠AFB＝90°，求出BD＝3OD＝3，CD＝AB＝4，BC＝＝5，证明△FBA∽△DBC，得出＝，求出BF＝，由CF＝BC﹣BF即可得出结果．【解答】（1）证明：连接OF，如图1所示：∵CD⊥AB，∴∠DBC+∠C＝90°，∵OB＝OF，∴∠DBC＝∠OFB，∵EF＝EC，∴∠C＝∠EFC，∴∠OFB+∠EFC＝90°，∴∠OFE＝180°﹣90°＝90°，∴OF⊥EF，∵OF为⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：连接AF，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∵D是OA的中点，∴OD＝DA＝OA＝AB＝×4＝1，∴BD＝3OD＝3，∵CD⊥AB，CD＝AB＝4，∴∠CDB＝90°，由勾股定理得：BC＝＝＝5，∵∠AFB＝∠CDB＝90°，∠FBA＝∠DBC，∴△FBA∽△DBC，∴＝，∴BF＝＝＝，∴CF＝BC﹣BF＝5﹣＝．【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定与性质是解题的关键．19．如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE＝∠C．（1）求证：AE与⊙O相切于点A；（2）若AE∥BC，BC＝2，AC＝2，求AD的长．【分析】（1）连接OA，根据同圆的半径相等可得：∠D＝∠DAO，由同弧所对的圆周角相等及已知得：∠BAE＝∠DAO，再由直径所对的圆周角是直角得：∠BAD＝90°，可得结论；（2）先证明OA⊥BC，由垂径定理得：，FB＝BC，根据勾股定理计算AF、OB、AD的长即可．【解答】证明：（1）连接OA，交BC于F，则OA＝OB，∴∠D＝∠DAO，∵∠D＝∠C，∴∠C＝∠DAO，∵∠BAE＝∠C，∴∠BAE＝∠DAO，（2分）∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，即∠DAO+∠BAO＝90°，（3分）∴∠BAE+∠BAO＝90°，即∠OAE＝90°，∴AE⊥OA，∴AE与⊙O相切于点A；（4分）（2）∵AE∥BC，AE⊥OA，∴OA⊥BC，（5分）∴，FB＝BC，∴AB＝AC，∵BC＝2，AC＝2，∴BF＝，AB＝2，在Rt△ABF中，AF＝＝1，在Rt△OFB中，OB2＝BF2+（OB﹣AF）2，∴OB＝4，（7分）∴BD＝8，∴在Rt△ABD中，AD＝＝＝＝2．（8分）【点评】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理及垂径定理的应用，属于基础题，熟练掌握切线的判定方法是关键：有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径，证垂直”．20．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．（1）求证：AC与⊙O相切；（2）当BD＝6，sin C＝时，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形性质求出BD⊥AC，推出∠ABE＝∠DBE和∠OBE ＝∠OEB，得出∠OEB＝∠DBE，推出OE∥BD，得出OE⊥AC，根据切线的判定定理推出即可；（2）根据sin C＝求出AB＝BC＝10，设⊙O的半径为r，则AO＝10﹣r，得出sin A＝sin C＝，根据OE⊥AC，得出sin A＝＝＝，即可求出半径．【解答】（1）证明：连接OE，∵AB＝BC且D是AC中点，∴BD⊥AC，∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠DBE，∵OB＝OE∴∠OBE＝∠OEB，∴∠OEB＝∠DBE，∴OE∥BD，∵BD⊥AC，∴OE⊥AC，∵OE为⊙O半径，∴AC与⊙O相切．（2）解：∵BD＝6，sin C＝，BD⊥AC，∴BC＝10，∴AB＝BC＝10，设⊙O的半径为r，则AO＝10﹣r，∵AB＝BC，∴∠C＝∠A，∴sin A＝sin C＝，∵AC与⊙O相切于点E，∴OE⊥AC，∴sin A＝＝＝，∴r＝，答：⊙O的半径是．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形，切线的性质和判定的应用，解（1）小题的关键是求出OE∥BD，解（2）小题的关键是得出关于r的方程，题型较好，难度适中，用了方程思想．21．如图，已知直线P A交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC 平分∠P AE，过C作CD⊥P A，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC+DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长度．【分析】（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA＝90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO＝90°，则CD为⊙O的切线；（2）过O作OF⊥AB，则∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，得四边形OCDF为矩形，设AD＝x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（5﹣x）2+（6﹣x）2＝25，从而求得x的值，由勾股定理得出AB的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵AC平分∠P AE，∴∠DAC＝∠CAO，∴∠DAC＝∠OCA，∴PB∥OC，∵CD⊥P A，∴CD⊥OC，CO为⊙O半径，∴CD为⊙O的切线；（2）解：过O作OF⊥AB，垂足为F，∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，∴四边形DCOF为矩形，∴OC＝FD，OF＝CD．∵DC+DA＝6，设AD＝x，则OF＝CD＝6﹣x，∵⊙O的直径为10，∴DF＝OC＝5，∴AF＝5﹣x，在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2．即（5﹣x）2+（6﹣x）2＝25，化简得x2﹣11x+18＝0，解得x1＝2，x2＝9．∵CD＝6﹣x大于0，故x＝9舍去，∴x＝2，从而AD＝2，AF＝5﹣2＝3，∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB＝2AF＝6．【点评】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．22．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点E，连接CE，且CE平分∠ACB．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接DE，若∠A＝30°，求．【分析】（1）连接OE，证明OE∥BC，得∠AEO＝∠B＝90°，即可得出结论；（2）连接DE，先证明△DCE∽△ECB，得出＝，易证∠ACB＝60°，由角平分线定义得∠DCE＝∠ACB＝×60°＝30°，由此可得的值，即可得出结果．【解答】（1）证明：连接OE，如图1所示：∵CE平分∠ACB，。
切线的判定和性质
切线的判定和性质以下是关于切线的判定和性质，希望内容对您有帮助，感谢您得阅读。
切线的判定和性质（一）教学目标：1、使学生深刻理解切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题；2、通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；3、通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性．教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法；教学难点：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视．教学过程设计（一）复习、发现问题1．直线与圆的三种位置关系在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么·关系?２、观察、提出问题、分析发现（教师引导）图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便．我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢?如图，直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线．这时我们来观察直线l与⊙O的位置．发现：(1)直线l经过半径OC的外端点C；(2)直线l垂直于半径0C．这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理．（二）切线的判定定理：1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2、对定理的理解：引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．·图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端．从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．（三）切线的判定方法教师组织学生归纳．切线的判定方法有三种：①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理．（四）应用定理，强化训练'例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．分析：欲证AB是⊙O的切线．由于AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥OB。
直线与圆的位置关系及切线的判定与性质(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版)
第05讲 直线与圆的位置关系及切线的判定与性质1. 了解直线与圆的三种位置关系；2. 了解圆的切线的概念；3. 掌握直线与圆位置关系的性质。
知识点1 直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；知识点2 切线的性质与判定定理1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端∴MN 是⊙O 的切线2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
知识点3 切线长定理切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB =；PO 平分BPA ∠知识点4 三角形的内切圆和内心1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
注意：内切圆及有关计算。
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
（2）△ABC 中，∠C=90°，AC=b ，BC=a ，AB=c ，则内切圆的半径r=2c b a -+ 。
（3）S △ABC =)(21c b a r ++，其中a ，b ，c 是边长，r 是内切圆的半径。
（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。
如图，BC 切⊙O 于点B ，AB 为弦，∠ABC 叫弦切角，∠ABC=∠D 。
C【题型1 直线与圆的位置关系的判定】【典例1】（2023•滨江区二模）已知⊙O 的直径为4，圆心O 到直线l 的距离为2，则直线l 与⊙O （ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定【变式1-1】（2022秋•江汉区校级期末）已知⊙O 半径为4cm ，若直线上一点P 与圆心O 距离为4cm ，那么直线与圆的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定【变式1-2】（2022秋•洪山区校级期末）圆的半径是6.5cm ，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm ，那么该直线和圆的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．相交或相切P BAO B O A D【变式1-3】（2022秋•江夏区校级期末）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为4，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（）A．0B．1C．2D．无法确定【题型2利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】【典例2】（2023•西湖区校级二模）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O 上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD 的长为（）A．2B．4C．D．【变式2-1】（2023•西湖区校级二模）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O 上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD 的长为（）A．2B．4C．D．【变式2-2】（2023•九龙坡区模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C＝30°，OA＝2，则BD的长为（）A．2B．2C．3D．3【变式2-3】（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，，则线段AB的长是（）A．B．C．3D．6【典例3】（2023•鹿城区校级模拟）如图，在△ABC中，D是AC上一点，以AD为直径的半圆O恰好切CB于点B．连接BD，若∠CBD＝21°，则∠C 的度数为（）A．42°B．45°C．46°D．48°【变式3-1】（2023•重庆）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【变式3-2】（2023•浙江二模）如图，AC与⊙O相切于点A，B为⊙O上一点，BC经过圆心O，若∠B＝25°，则∠C的大小等于（）A．20°B．40°C．25°D．50°【变式3-3】（2023•泰安三模）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠E＝40°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠CDB等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°【题型3切线的判定】【典例4】（2023•东莞市校级模拟）如图，∠AOB＝60°，以OB为半径的⊙O 交OA于点C，且OC＝CA，求证：AB是⊙O的切线．【变式4-1】（新疆期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°以AB为直径的⊙O与BC相交于点E．在AC上取一点D，使得DE＝AD．求证：DE是⊙O的切线．【变式4-2】（昭通期末）如图，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD ＝8，点C是BD的延长线上的一点，CD＝2，求证：AC是⊙O的切线．【变式4-3】（大名县期末）如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，∠BAF的平分线AE交⊙O于点E，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D，延长DE、AB相交于点C．求证：CD是⊙O的切线．【题型4 切线的性质与判定的综合运用】【典例5】（2023•牧野区校级三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O 的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径．【变式5-1】（2023•广西）如图，PO平分∠APD，P A与⊙O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，OC＝5，求P A的长．【变式5-2】（2023•金寨县校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD＝CB，AC，BD相交于点E，过点C作CF∥BD，CF与AB的延长线相交于点F，连接AD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD的长．【变式5-3】（2023•德庆县二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的圆交边AC于点D，交边AB于点E，且BC＝BE．（1）求证：AB是⊙O的切线．（2）若AE＝24，BE＝15，求⊙O的半径．【题型5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】【典例6】（2022秋•金东区期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（）A．7B．8C．9D．16【变式6-1】（2022秋•凤台县期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A．12cm B．7cmC．6cm D．随直线MN的变化而变化【变式6-2】（2022秋•林州市期中）如图，P A，PB分别切⊙O于点A，B，CD 切⊙O于点E，且分别交P A，PB于点C，D，若P A＝6，则△PCD的周长为（）A．5B．7C．12D．10【变式6-3】2022秋•潮州期末）如图，P为⊙O外一点，P A、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交P A、PB于点C、D，若P A＝8，则△PCD 的周长为（）A．8B．12C．16D．20【题型6 三角形的内切圆与内心】【典例7-1】（2023•炎陵县模拟）如图，已知圆O是△ABC的内切圆，且∠A ＝70°，则∠BOC的度数是（）A．140°B．135°C．125°D．110°【典例7-2】（2023•泗阳县一模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角边）长为八步，股（长直角边）长为十五步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径长是（）A．3步B．5步C．6步D．8步【变式7-1】（2023•娄底一模）如图，△ABC的内切圆圆O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF＝53°，则∠A的度数是（）A．36°B．53°C．74°D．128°【变式7-2】（2022秋•丰宁县校级期末）如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C ＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则⊙O的面积为（）（结果保留π）A．πB．2πC．3πD．4π【变式7-3】（2022秋•南开区校级期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A＝90°，BC＝10，CA＝8，则⊙O的半径是（）A．1B．C．2D．21．（2023•眉山）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（）A．25°B．35°C．40°D．45°2．（2023•重庆）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°3．（2022•河池）如图，AB是⊙O的直径，P A与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交P A于点P，则∠P的度数是（）A．25°B．35°C．40°D．50°4．（2023•滨州）如图，P A，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为．5．（2023•岳阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为．6．（2023•浙江）如图，点A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，点D在上．已知∠A＝50°，则∠D的度数是．7．（2023•金华）如图，点A在第一象限内，⊙A与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D，连结AB，过点A作AH⊥CD于点H．（1）求证：四边形ABOH为矩形．（2）已知⊙A的半径为4，OB＝，求弦CD的长．8．（2022•宁夏）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）求证：AB＝AM；（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．9．（2022•郴州）如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O与线段BC 交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．（1）求证：直线PE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，∠P＝30°，求CE的长．1．（2022秋•江夏区校级期末）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为4，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（）A．0B．1C．2D．无法确定2．（2022秋•广阳区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A 为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（）A．点B在⊙A内B．直线BC与⊙A相离C．点C在⊙A上D．直线BC与⊙A相切3．（2023•绿园区校级模拟）将一个含有30°的直角三角板按如图所示的位置摆放，一个顶点O与⊙O的圆心重合，一条直角边AB与⊙O相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，使点O′落在⊙O上，边A′B交线段AO于点C．则∠OCB为（）A．60°B．65°C．85°D．90°4．（2023•船营区一模）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，若AC＝PC，则∠P的度数是（）A．15°B．20°C．30°D．45°5．（2023•越秀区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC ＝8，则△ABC的内切圆的半径r是（）A．2B．3C．4D．无法判断6．（2022秋•聊城期末）如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（）A．100°B．160°C．80°D．130°7．（2023•婺城区模拟）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC ＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A．13cm B．8cmC．6.5cm D．随直线MN的变化而变化8．（2022秋•南沙区校级期末）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝8，CD＝15，则四边形ABCD的周长为．9．（2022•南安市一模）如图，P A、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径等于．10．（2022秋•越秀区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且∠CDE＝∠BAC．求证：DE是⊙O的切线．11．（2022秋•魏都区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC边于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．求证：EF是⊙O的切线．12．（2022•东明县一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）当BC＝10，AD＝4时，求⊙O的半径．13．（2023•零陵区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上，BE平分∠ABC，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD＝2，AE＝4，求⊙O的半径长．14．（2023•新抚区模拟）如图，AC为⊙O的直径，CB是⊙O的切线，CB＞AC，D为AB的中点，E在BC上，CE＜BE，连接DE，DE＝BC．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若CE＝2，EB＝8，求⊙O的半径．。
中考复习切线的判定和性质
中考复习专题切线的判定和性质知识点与对应习题知能点1：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的识别方法有三种：（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。
（2）和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 辅助线的作法：证明一条直线是圆的切线的常用方法有两种：（1）当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来,则得到半径，然后证明直线垂直于这条半径，记为“点已知，连半径，证垂直。
”应用的是切线的判定定理。
（2）当直线和圆的公共点没有明确时，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离（d ）等于半径(r)，记为“点未知，作垂直，证半径”。
应用的是切线的识别方法（2）。
知能点2：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
辅助线的作法：有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。
记为“见切线，连半径，得垂直。
” 中考考点点击：切线的判定和性质在中考中是重点内容，试题题型灵活多样，填空、选择、作图、解答题较多。
对应习题一、填空（1）如图1，PA 是⊙O 切线,切点为A ，PA=2√3，∠APO=30°,则⊙O 半径为°＿＿。
（2）如图2，已知直线AB 是⊙O 切线，A 为切点，∠OBA=52°,则∠AOB=＿. （3）如图3，点A 、B 、D 在⊙O 上，∠A=25°，OD 的延长线交直线BC 于点C,且∠OCB=40°,直线BC 与⊙O 的位置关系为＿＿。
(图1) （图2） （图3）(4)已知⊙O 直径为8cm ，直线L 到圆心O 的距离为4 cm ，则直线L 与⊙O 的位置关系为＿＿。
二、选择（5）如图4，CA 、CB 分别切⊙O 于A 、B ，∠C=76°，∠A=( )°PCA 152°B 104°C 76°D 52°(6) CA 、CB 分别切⊙O 于A 、B,P 为⊙O 上不同于点A 、B 的一点，∠C=70°，则∠APB=( )°A 25°B 55°C 125°D 55°或125°（7）如图5，已知⊙O 直径AB 与弦AC 的夹角为35°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于点P,则 ∠P=( )°A 15°B 20°C 25°D 30°（图4） （图5）8)如图6，⊿ABE 中，AE=BE,以AB 为直径的⊙O 交BE 于C,CD 切⊙O 于C 并交AE 于D,若C D ⊥AE,则∠A 的度数为（ ）。
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例1、已知AB是⊙O的直径，BC是 ⊙O的切线，切点为B，OC平行于 弦AD． 求证：DC是⊙O的切线．
证明：连结OD． ∵OA=OD，∴∠1=∠2， ∵AD∥OC，∴∠1=∠3、∠2=∠4 ∴∠3=∠4 在△OBC和△ODC中， OB=OD，∠3=∠4，OC=OC ， ∴△OBC≌△ODC， ∴∠OBC=∠ODC． ∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°， ∴∠ODC=90°． ∴DC是⊙O的切线．
例2、如图，在以O为圆心的两
个同心圆中，大圆的弦AB和CD 相等，且AB与小圆相切于点E， 求证：CD与小圆相切
证明：连结OE，过O作OF⊥CD，垂足为 F． ∵AB与小圆O切于点点E， ∴OE⊥AB． 又∵AB=CD， ∴OF=OE，又OF⊥CD， ∴CD与小圆O相切．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例3、已知：AB是半⊙O直径， CD⊥AB于D，EC是切线，E为切点 求证：CE=CF
证明：连结OE
∵BE=BO∴∠3=∠B ∵CE切⊙O于E ∴OE⊥CE ∠2+∠3=90° ∵CD⊥AB ∴∠4+∠B=90° ∴∠2=∠4 ∵∠1=∠4 ∴∠1=∠2 ∴CE=CF
本课结束，谢谢大家
切线的判定与性质的复习
（一）复习与归纳 1、切线的判定 切线的判定方法有三种： ①直线与圆有唯一公共点； ②直线到圆心的距离等于该圆的半径； ③切线的判定定理．即经过半径外端并且 垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2、切线的性质：
(1)切线和圆有唯一公共点；（切线的定义） (2)切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定 方法(2)的逆命题） (3)切线垂直于过切点的半径；（切线的性质 定理）