材料力学第四章 弯曲内力
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《材料力学》课程讲解课件第四章弯曲内力
x
∴ 弯曲构件内力：Fs －剪力，M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
Y 0, Fs F FBY 0.
mC 0,
FBY
FBY (l x) F(a x) M 0.
Fs
F (l a) l
,
M F (l a) x 18 l
1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上
存在垂直于截面的内力偶矩 （弯矩）。
由 Fy 0, 得到：
A
FAy
a
Mc
C FSc
FAy q 2a FSc 0
FSc FAy q 2a qa
（剪力FS 的实际方向与假设方
向相反，为负剪力）
由 MC 0, 得到：
MC FAy 2a 2qa a M1 0
MC FAy 2a 2qa a M1 2qa2
F
M (x) FAY x M A
F(x L) (0 x l)
x
③根据方程画内力图
FL
x
41
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
例题4-2
悬臂梁受均布载荷作用。
x
试写出剪力和弯矩方程，并
q
l
x
FS
M x
FS x
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
剪力和弯矩方程
ql FS x＝qx
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
P
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
q
M
二、平面弯曲的概念：
RA
NB
3
F1
q
F2
M
纵向对称面
平面弯曲 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在
《材料力学》第四章 弯曲内力
ql FS = R A－qx＝ －qx 2 x qlx qx 2 M = R A x－qx ⋅ ＝ － 2 2 2
M FS
F S
（3）画出FS图与M图。 画出F 图与M 剪力图为一斜直线， 剪力图为一斜直线， x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2； ； 弯矩图为一抛物线， 弯矩图为一抛物线， 由三点来确定： 由三点来确定： x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。 。
M x = a, M = O a AC段 x=0， AC段：x=0，M＝0 ； l
CB段 CB段：x=a, x=l, M＝ x= , M＝0
MO M =－ b l
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 补例1
解
（1）求支反力。 求支反力。
1 ql 2
R A = RB =
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 用截面法求剪力和弯矩方程。
∑ mA = 0 ∑m
B
=0
l －m－P ⋅ + YB ⋅ l = 0 2 l －YA ⋅ l－m+P ⋅ = 0 2
YA－FSC＝0 , 3 FSC＝－ P 2
5 P B 2 3 Y A =－ P 2 Y =
m
（2）计算C截面的内力。 计算C截面的内力。
∑Y = 0 ,
P
l 13 mC＝0 , YA ⋅ －m＋M C＝0 , M C＝ Pl ∑ 4 8
求反力： 解 （1）求反力：
∑ X = 0, X = 0 ∑ Y = 0, P － Y ＝0 ∑ m ＝0， m － Pa ＝0
C C C C
YC＝ P m C＝ Pa
（2）列弯矩和轴力方程。 列弯矩和轴力方程。 AB段 AB段：M(x)= Px, N(x)=0 , BC段 BC段：M(y)=mC=Pa, N(y)=P ,
M FS
F S
（3）画出FS图与M图。 画出F 图与M 剪力图为一斜直线， 剪力图为一斜直线， x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2； ； 弯矩图为一抛物线， 弯矩图为一抛物线， 由三点来确定： 由三点来确定： x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。 。
M x = a, M = O a AC段 x=0， AC段：x=0，M＝0 ； l
CB段 CB段：x=a, x=l, M＝ x= , M＝0
MO M =－ b l
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 补例1
解
（1）求支反力。 求支反力。
1 ql 2
R A = RB =
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 用截面法求剪力和弯矩方程。
∑ mA = 0 ∑m
B
=0
l －m－P ⋅ + YB ⋅ l = 0 2 l －YA ⋅ l－m+P ⋅ = 0 2
YA－FSC＝0 , 3 FSC＝－ P 2
5 P B 2 3 Y A =－ P 2 Y =
m
（2）计算C截面的内力。 计算C截面的内力。
∑Y = 0 ,
P
l 13 mC＝0 , YA ⋅ －m＋M C＝0 , M C＝ Pl ∑ 4 8
求反力： 解 （1）求反力：
∑ X = 0, X = 0 ∑ Y = 0, P － Y ＝0 ∑ m ＝0， m － Pa ＝0
C C C C
YC＝ P m C＝ Pa
（2）列弯矩和轴力方程。 列弯矩和轴力方程。 AB段 AB段：M(x)= Px, N(x)=0 , BC段 BC段：M(y)=mC=Pa, N(y)=P ,
材料力学第四章 弯曲内力
§4-4 剪力、弯矩和荷载集度之间的关系 二、内力图特征
外力 情况
FQ
q(x)=0
q(x)=C＜0 C
FQ FQ
②
F
m C
FQ图
特征
① ②
x
①
③
x
F
③
⑤ ④ ① ② ③
FQ
x x x x x
C ①
③
②
x
水平直线
③1 ③3 ③2
向下斜直线
C 处有突变 与F 方向一致
①
C 处无变化
② ③ ①
M图
特征
M
x
x2
x 72 8 x 88
x 3.6m
x1
dM ( x) FQ ( x)dx
x1
M 2 M1 FQ ( x)dx
x1
M1 0 M 2 72 2 144kN m CB段 F 72kN Q3 FQ4 72 20 8 88kN M3 72 2 160 16kN m M 4 20 2 20 2 1 80kN m
第4章 弯曲内力
例题5
q0 A
1 2 q0l
试作图示悬臂梁的剪力图和弯矩图
q (x) 一次直线
x
解： 1、求x截面荷载集度
B
l
q0 q ( x ) (l x ) l
2、列内力方程
二次曲线
FQ
1 2 6 q0l
三次曲线
M
1 1 q0 FQ ( x) q ( x)(l x) (l x) 2 2 2 l 1 1 M ( x) q( x)(l x) (l x) 2 3 q0 (l x)3 6l
材料力学第4章弯曲内力
对剪力图而言，集中力偶作用的截面并无改变。
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例3 补充实例：作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。
剪力、弯矩方程： FS ( x ) F M ( x ) Fx
F A
x B l
FS F Fl
| FS |max F | M |max Fl
M
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例4 补充实例：简支梁受均布载荷的作用，试写出剪力和 弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。
解：1．确定约束力
y
q
M ＝0， M ＝0
A B
A
FAY
x
B C
l
x
FAy＝ FBy＝ ql/2
2．写出剪力和弯矩方程
FBY
FS ql / 2
M 3ql 2 / 32
CB 段：
M Fs x RA a x l l M M x RA x M l x a x l l
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例2
3）绘剪力图和弯矩图
由剪力方程和弯矩方程可绘出Fs、M 图：
Fs Fs x M M x
上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。 剪力图和弯矩图 将剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况用图形表示出来，这种图形 分别称为剪力图和弯矩图。
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图—实例1
例4.2：绘图示梁的剪力图和弯矩图
解：1）求支座反力
Pa M A 0, Pa RB l 0, RB l Pb Fy 0, RA RB P 0, RA l
§4.3 剪力和弯矩—实例2
材料力学-第四章 弯曲内力
7 . 线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲
(Internal forces in beams)
纵向对称面
F1
F2
梁的轴线
A B
FRB
FRA
梁变形后的轴线与 外力在同一平面内
8
(Internal forces in beams)
4.梁的力学模型的简化(Representing a real structure by an idealized model) （1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
m dx
15
+
FS
m
FS
m
-
dx
m
FS
(Internal forces in beams)
2.弯矩符号
(Sign convention for bending moment)
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
12
(Internal forces in beams)
§4-2 梁的剪力和弯矩 (Shear- force and bending- moment in beams)
一、内力计算(Calculating internal force)
[举例] 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
3
(Internal forces in beams)
§4-1 基本概念及工程 (Basic concepts and example problems)
(Internal forces in beams)
纵向对称面
F1
F2
梁的轴线
A B
FRB
FRA
梁变形后的轴线与 外力在同一平面内
8
(Internal forces in beams)
4.梁的力学模型的简化(Representing a real structure by an idealized model) （1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
m dx
15
+
FS
m
FS
m
-
dx
m
FS
(Internal forces in beams)
2.弯矩符号
(Sign convention for bending moment)
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
12
(Internal forces in beams)
§4-2 梁的剪力和弯矩 (Shear- force and bending- moment in beams)
一、内力计算(Calculating internal force)
[举例] 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
3
(Internal forces in beams)
§4-1 基本概念及工程 (Basic concepts and example problems)
材料力学4弯曲内力
平面曲线仍与外力共面。
目录
§4-2 受弯杆件的简化
计算简图：
分析梁的内力、变形都在计算简图上进行。梁的简化包括：
1、构件几何形状的简化 将梁简化为杆，用轴线表示。
2、支座的简化 活动铰支座
固定铰支座
固定端
3、载荷的简化
集中载荷 分布载荷（常见的为均布载荷） 集中力偶
目录
工程实例——受弯构件的力学简图
P
( a< x2 < l )
ab l 2
1 Mmax 4 Pl
观察：集中力作用点、无载荷
M
( x2
)
FB
(l
x2 )
a l
P(l
x2 )
3)作Fs、M 图
( a ≤x2≤ l )
作用的梁段剪力图、弯矩图的形态
Fs
max
a l
1 qa 2
M1
—
右侧
qa
a 2
＋FB0
Fs2 左侧
＋FA
—
qa ＋ FB
qa
Fs2 qa
M2 — qa a 1 qa2
右侧
右侧
22
Fs P横向外力 左上、右下，外力为正
一侧
力的集大中小力；作弯用矩点相的等左。、右所邻以M截，O＝面不为一上截考侧面的m虑的剪O集形(力中P心不力) 相作左等用外顺，力点右(相逆的偶差(剪上) 矩集凹力为弯中。正曲)
车削工件
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
火车轮轴
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
弯曲特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
目录
常见受弯构件的横截 面都有竖直对称轴 y
纵向对称面：
轴线x 和竖直对称 轴y 所确定的平面。
目录
§4-2 受弯杆件的简化
计算简图：
分析梁的内力、变形都在计算简图上进行。梁的简化包括：
1、构件几何形状的简化 将梁简化为杆，用轴线表示。
2、支座的简化 活动铰支座
固定铰支座
固定端
3、载荷的简化
集中载荷 分布载荷（常见的为均布载荷） 集中力偶
目录
工程实例——受弯构件的力学简图
P
( a< x2 < l )
ab l 2
1 Mmax 4 Pl
观察：集中力作用点、无载荷
M
( x2
)
FB
(l
x2 )
a l
P(l
x2 )
3)作Fs、M 图
( a ≤x2≤ l )
作用的梁段剪力图、弯矩图的形态
Fs
max
a l
1 qa 2
M1
—
右侧
qa
a 2
＋FB0
Fs2 左侧
＋FA
—
qa ＋ FB
qa
Fs2 qa
M2 — qa a 1 qa2
右侧
右侧
22
Fs P横向外力 左上、右下，外力为正
一侧
力的集大中小力；作弯用矩点相的等左。、右所邻以M截，O＝面不为一上截考侧面的m虑的剪O集形(力中P心不力) 相作左等用外顺，力点右(相逆的偶差(剪上) 矩集凹力为弯中。正曲)
车削工件
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
火车轮轴
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
弯曲特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
目录
常见受弯构件的横截 面都有竖直对称轴 y
纵向对称面：
轴线x 和竖直对称 轴y 所确定的平面。
材料力学考研复习资料第4章弯曲内力
M eb l
发生在C截面右侧
思考：对称性与反对称性
FA
F
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
F/2
x
F/2
x
M
Fl/4
FA
Me
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
Me l
x
Me/2
M
Me/2
x
结论：
• 结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称， 剪力图为反对称
• 结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称， 剪力图为正对称
34
A1 2
34
Bx
内力
FS M
1—1 -P -Pa
2—2 2P -Pa
3—3 2P Pa
4—4 2P -2Pa
3、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值= 集中力大小；
在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值= 集中力偶矩大小。
例 图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷
载集度为q0，试求截面C上的内力。
1 FS1
M1 Fa ( 顺 )
截面2—2
Fy 0 FS2 FA F 0
F
C2 2 M2
FA 2 FS2
FS2 FA F 2F MC2 0 M2 F a 0
M 2 Fa ( 顺 )
y
Me =3Fa
F
1A2 3 4
B
1 2 34
x
a
a
FA
2a
FB
截面3—3 F
C33 M3
1 8
ql
FSB左
1 ql 8
剪力方程为常数，剪力图为
水平线。
M图：
材料力学第四章-弯曲内力
例 题 程，并画出剪力图和弯矩图。
解：1．求约束力
由对称性 FAy＝ FBy＝ ql/2
2．写出剪力和弯矩方程
FS
x＝ ql
2
qx
0 x l
M x＝ ql x qx2 0 x l
22
求弯矩的极值
d
M d
x
x ＝ ql
2
qx
Fs
令
(x) =0
得： x l 2
故
M 极值
＝ ql2
x l 2
F2
杆轴
X
平面弯曲：
FA
梁变形后的轴线所在平面与外力所
在平面相重合
FB 纵向对称面
对称弯曲必定是平面弯曲，而平面弯曲不一定是对称弯曲。
非对称弯曲：
构件不具有纵向对称面，或虽有纵向对称面但外力不作用 在纵对称面时的弯曲变形
三、 梁的计算简图
梁的支承条件与荷载情况一般都比较复杂，为了便于 分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。 1. 构件本身的简化
FB
3m
解： 1、求支反力
MB
3 0 FA 6 F 4.5 q 3 2
0
FA
15kN
Fy 0 FA FB F q 3 0 FB 29kN
(也可由 M A 0求FB或校核FB的正误)
FA 15 kN FB 29 kN
2、计算1-1截面的内力 Fs1 FA F 15 8 7 kN M1 FA 2 F 0.5 15 2 8 0.5 26kN m
3 4
qa, 0
x1
a
FA
3 4
qa
x1 a
3qa
C
M
( x1 )
FA
x1
解：1．求约束力
由对称性 FAy＝ FBy＝ ql/2
2．写出剪力和弯矩方程
FS
x＝ ql
2
qx
0 x l
M x＝ ql x qx2 0 x l
22
求弯矩的极值
d
M d
x
x ＝ ql
2
qx
Fs
令
(x) =0
得： x l 2
故
M 极值
＝ ql2
x l 2
F2
杆轴
X
平面弯曲：
FA
梁变形后的轴线所在平面与外力所
在平面相重合
FB 纵向对称面
对称弯曲必定是平面弯曲，而平面弯曲不一定是对称弯曲。
非对称弯曲：
构件不具有纵向对称面，或虽有纵向对称面但外力不作用 在纵对称面时的弯曲变形
三、 梁的计算简图
梁的支承条件与荷载情况一般都比较复杂，为了便于 分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。 1. 构件本身的简化
FB
3m
解： 1、求支反力
MB
3 0 FA 6 F 4.5 q 3 2
0
FA
15kN
Fy 0 FA FB F q 3 0 FB 29kN
(也可由 M A 0求FB或校核FB的正误)
FA 15 kN FB 29 kN
2、计算1-1截面的内力 Fs1 FA F 15 8 7 kN M1 FA 2 F 0.5 15 2 8 0.5 26kN m
3 4
qa, 0
x1
a
FA
3 4
qa
x1 a
3qa
C
M
( x1 )
FA
x1
材料力学 第四章 弯曲内力
q0 L 6 qL x L:Q 0 3 L Q 0:x 3 q0 2 M ( L x x3 ) 6L x 0 :Q
qx x M 0 : M x R A x 0 2 3
q0
q0 2 M ( L x x3 ) 6L
L
RA
q0 L Q(x) 6
dM L 0:x dx 3
q(x) 弯矩与荷载集度的关系是：
Q(x)+d Q(x)
M(x) Q(x) dx A M(x)+d M(x)
dM 2( x) q( x) 2 dx
d 2 M x qx 2 dx
讨论：特别地，当q=c：
1、q=c>0 : 均布载荷向上，则 M 开口向上的二次抛物线
2、q=c=0 : 没有均载荷，则M为直线 3、q=c<0: 均布载荷向下，则 M 开口向下的二次抛物线
第四章
弯曲内力
§4–1 平面弯曲的概念和实例 §4–2 受弯杆件的简化 §4–3 剪力和弯矩
§4–4 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
§4–5 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系 §4–6 平面曲杆的弯曲内力 §4-7 弯曲内力习题课
§4–1 平面弯曲的概念及实例
1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴
x
1 a
2
b
图（a） B M2 x2 Q2
mB (Fi ) 0 , 1 qLx2 M 2 q( x2 a)2 0 2
qL
1 2 M2 q( x2 a) qLx2 2
图（c）
§4–4 剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
qx x M 0 : M x R A x 0 2 3
q0
q0 2 M ( L x x3 ) 6L
L
RA
q0 L Q(x) 6
dM L 0:x dx 3
q(x) 弯矩与荷载集度的关系是：
Q(x)+d Q(x)
M(x) Q(x) dx A M(x)+d M(x)
dM 2( x) q( x) 2 dx
d 2 M x qx 2 dx
讨论：特别地，当q=c：
1、q=c>0 : 均布载荷向上，则 M 开口向上的二次抛物线
2、q=c=0 : 没有均载荷，则M为直线 3、q=c<0: 均布载荷向下，则 M 开口向下的二次抛物线
第四章
弯曲内力
§4–1 平面弯曲的概念和实例 §4–2 受弯杆件的简化 §4–3 剪力和弯矩
§4–4 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
§4–5 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系 §4–6 平面曲杆的弯曲内力 §4-7 弯曲内力习题课
§4–1 平面弯曲的概念及实例
1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴
x
1 a
2
b
图（a） B M2 x2 Q2
mB (Fi ) 0 , 1 qLx2 M 2 q( x2 a)2 0 2
qL
1 2 M2 q( x2 a) qLx2 2
图（c）
§4–4 剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
材料力学4材力弯曲内力
m A i0 m A 3 1 1 .5 5 1 0 9.5 k 6N m
§4-2 梁的剪力和弯矩
同样应S联he系ar变F形or来ce定a义nd剪B力enQd和in弯g 矩MMom的e正nt负in。B如ea图m,规定:
为了正计剪算力梁使的微应梁力段和产位生左移上，右首下先的应相该对确错定动梁时在（外Q力≥作0）用。下任一
m
Ai
0 : RBl
q0l 2
2l 3
0
RB
q0l 3 m Bi来自0 : R Al
q0l 2
l 3
0
RA
q0l 6
显然,所得到的RA和 RB与梁上荷载的合力一 起能满足 SY=0 这一平 衡方程，故计算结果是
正确的。
§4-2 梁的剪力和弯矩
Yi例0 4:- 5a 2 S 如hq e0 l图a ar aQ F所C o 示rc0e， andQ C B e nq d2 0a li2 n g M2 2o 0 m2 1 2e n 5 tk inN Beam 一性 根 分m C 在布 c整荷0:个载M C 长作度用q 2 0a l上的2 受悬a 3 线臂0M Cq 6 0a l32 6 0 2 1 3 1.66 kN m
§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图
Ⅱ.梁的计算简图
例题4－1计算图a所示悬臂梁的支反力。
解:在竖直荷载作用下，梁固定端的支反力有两个，即矩为mA的支反力偶和铅垂
支反力RA。设mA和RA的转向和指向如图b所示。 将梁上的均布荷载以其合力ql/2
代替，合力的作用线通过均布荷载图形面积的形心，即到固定端的距离为3l/4。
称为平面弯曲Plane bending，或更确切地称为对称 弯曲。若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在纵对称面内，这种弯曲 则统称为非对称弯曲。对称弯曲是弯曲问题中最简单
§4-2 梁的剪力和弯矩
同样应S联he系ar变F形or来ce定a义nd剪B力enQd和in弯g 矩MMom的e正nt负in。B如ea图m,规定:
为了正计剪算力梁使的微应梁力段和产位生左移上，右首下先的应相该对确错定动梁时在（外Q力≥作0）用。下任一
m
Ai
0 : RBl
q0l 2
2l 3
0
RB
q0l 3 m Bi来自0 : R Al
q0l 2
l 3
0
RA
q0l 6
显然,所得到的RA和 RB与梁上荷载的合力一 起能满足 SY=0 这一平 衡方程，故计算结果是
正确的。
§4-2 梁的剪力和弯矩
Yi例0 4:- 5a 2 S 如hq e0 l图a ar aQ F所C o 示rc0e， andQ C B e nq d2 0a li2 n g M2 2o 0 m2 1 2e n 5 tk inN Beam 一性 根 分m C 在布 c整荷0:个载M C 长作度用q 2 0a l上的2 受悬a 3 线臂0M Cq 6 0a l32 6 0 2 1 3 1.66 kN m
§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图
Ⅱ.梁的计算简图
例题4－1计算图a所示悬臂梁的支反力。
解:在竖直荷载作用下，梁固定端的支反力有两个，即矩为mA的支反力偶和铅垂
支反力RA。设mA和RA的转向和指向如图b所示。 将梁上的均布荷载以其合力ql/2
代替，合力的作用线通过均布荷载图形面积的形心，即到固定端的距离为3l/4。
称为平面弯曲Plane bending，或更确切地称为对称 弯曲。若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在纵对称面内，这种弯曲 则统称为非对称弯曲。对称弯曲是弯曲问题中最简单
材料力学 第四章弯曲内力
M=±∑M(Fi)左或右 ±
例1: 已知 q=2 kN / m,求 1-1,2-2,3-3 : , , , 截面上的内力. 截面上的内力.
y
1
q
2 2m 2 3 1m 31m
MA FA
1
x
1-1 截面:FS = 2×2 = 4 kN,M = -2 ×2 ×3 = - 12 kN.m 截面: × , 2-2 截面:FS = 2×2 = 4 kN, M = -2 ×2 ×1 = - 4 kN.m 截面: × , 3-3 截面:FS = 2×1 = 2 kN, M = -2 ×1 ×0.5 = - 1 kN.m 截面: × ,
FS
ql / 2
M
ql 2 / 8
q
A FA FS
x l
B FB
ql / 2
ql / 2
M
ql 2 / 8
可见: 发生在梁两端截面上. 可见 剪力图为斜直线 , FS max = q l / 2 , 发生在梁两端截面上. 弯矩图为二次抛物线, 的截面上. 弯矩图为二次抛物线,M max = ql 2 / 8,发生在 S =0的截面上. ,发生在F 的截面上
a A
x
F1
m m
F2
b B
FS = FA- F1
= ∑Fi左 左
FA y A FA
FB F1
m
C
M = FA x - F1 (x-a) )
M
x
m FS x
= ∑M(Fi)左 (
FS=-FB+F2 =∑Fi右 - 右
B
M
m
C
F2 FB
FS m
M=FB(l-x)-F2(l-x-b) - =∑M(Fi)右
材料力学课件ppt-4弯曲内力
2．确定控制面 在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力
内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
目录
29
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m
A
CD E F B
3．建立坐标系
0.89 kN= FAY
FS (kN)
O
0.89
1.5m
2kN
1.5m
1.5m
1.11
(+)
(-)
MA A FAy a
qa/2 Fs
M qa2/2
（-）
（+）
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
qa
例题4-8试画出图示有中间
q
铰梁的剪力图和弯矩图。
D
B
C
a
a
FBy
qa
解：1．确定约束力 从铰处将梁截开
qa
（+）
（-）
qa/2 qa2/2
（-）
MA FAy
FDy
q
FDy qa / 2
FDy FBy
FBy 3qa / 2
FSE
FBy
F 3
FAy
5F 3
O
ME
分析右段得到：
FAy
FBy
ME
O
FSE
Fy 0 FSE FBy 0
FBy
FSE
FBy
F 3
Mo 0
3a M E FBy 2 Fa
3Fa ME 2
目录
18
§4-3 剪力和弯矩
FBy
F 3
FAy
5F 3
FAy
FBy
FSE
FAy
2F
截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
目录
29
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m
A
CD E F B
3．建立坐标系
0.89 kN= FAY
FS (kN)
O
0.89
1.5m
2kN
1.5m
1.5m
1.11
(+)
(-)
MA A FAy a
qa/2 Fs
M qa2/2
（-）
（+）
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
qa
例题4-8试画出图示有中间
q
铰梁的剪力图和弯矩图。
D
B
C
a
a
FBy
qa
解：1．确定约束力 从铰处将梁截开
qa
（+）
（-）
qa/2 qa2/2
（-）
MA FAy
FDy
q
FDy qa / 2
FDy FBy
FBy 3qa / 2
FSE
FBy
F 3
FAy
5F 3
O
ME
分析右段得到：
FAy
FBy
ME
O
FSE
Fy 0 FSE FBy 0
FBy
FSE
FBy
F 3
Mo 0
3a M E FBy 2 Fa
3Fa ME 2
目录
18
§4-3 剪力和弯矩
FBy
F 3
FAy
5F 3
FAy
FBy
FSE
FAy
2F
截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
材料力学 第四章 弯曲内力
M 2 10kN.m
3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
M3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN
1 A1
23 2D 3
2m
2m
q=2kN/m 4
B C4 2m
2
A FA
2 Fs2 M2
P=12kN
A
3 3
M3
FA
Fs3
F=12kN
建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FCy qa,
MC
qa2 2
2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
FS2 qa
弯矩图：
M1
qx12 2
M2
qax2
qa2 2
剪力弯矩最大值:
FS max qa
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
M3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN
1 A1
23 2D 3
2m
2m
q=2kN/m 4
B C4 2m
2
A FA
2 Fs2 M2
P=12kN
A
3 3
M3
FA
Fs3
F=12kN
建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FCy qa,
MC
qa2 2
2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
FS2 qa
弯矩图：
M1
qx12 2
M2
qax2
qa2 2
剪力弯矩最大值:
FS max qa
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
材料力学B第4章弯曲内力
第四章 弯曲内力
弯曲内力的符号约定: 弯矩的符号约定：
M
剪力的符号约定:
FQ FQ
材料力学
M
第四章 弯曲内力
例 4-1
qL M 1
2
1a
2
y x
qL M 1 M1
x1FQ1
q b FR
材料力学
悬臂梁受力如图所示，计算1 截面和2截面上的剪力和弯 矩. 解: 1 求支反力
MR
2
FR qL qb
梁：以弯曲变形为主要变形的杆件.
第四章 弯曲内力
材料力学
对称面
c) 平面弯曲: 如果作用于杆件上的所有外力都在纵向对称面内，
弯曲变形后的轴线也将位于这个平面内，这类弯曲称 为平面弯曲。
第四章 弯曲内力
弯曲的一些实例
材料力学
第四章 弯曲内力
材料力学
第四章 弯曲内力
材料力学
第四章 弯曲内力
§4-2 受弯杆件的简化
剪力方程： FQ FQ (x) 弯矩方程： M M (x)
内力方程
材料力学
以坐标(x,FQ) 和(x,M)表示剪力和弯矩沿轴线变化 的图线称为剪力图和弯矩图。
x 表示梁截面的位置 。 FQ 和M 分别表示剪力和弯矩的大小。
第四章 弯曲内力
例 4-2 写出梁的内力方程，并画内力图。
材料力学
MO
x
M(
x
)
1 2
qx2
– qL ②根据方程画内力图.
qL2 2
第四章 弯曲内力
材料力学
例 4-4 图示简支梁受一集中力F作用，试作此梁的内力图。
a
b
A
B
第4章 材料力学—弯曲内力
第四章 弯曲内力§4.1 弯曲的概念和实例 §4.2 受弯杆件的简化 §4.3 剪力和弯矩§4.4 剪力方程和弯矩方向，剪力图和弯矩图 §4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 §4.6 静定刚度及平面曲杆的弯曲内力§4.1 弯曲的概念和实例1．实例()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧轧板机的轧辊镗刀刀杆火车轮轴桥式起重机大梁4321 2．弯曲变形作用于杆件上的垂直于杆件的轴线，使原为直线的轴线变形后成为曲线，这种变形称为弯曲变形。
3．梁——凡以弯曲变形为主的杆件，习惯上称为梁 4．对称弯曲：()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧曲线向对称面内的一条平面弯曲变形后轴线成为纵对称面内所有外力都作用于纵向称轴的纵向对称面整个杆件有一个包含对横截面有一根对称轴4321§4.2 受弯杆件的简化根据支座及载荷简化，最后可以得出梁的计算简图。
计算简图以梁的轴线和支承来表示梁。
()()()⎪⎩⎪⎨⎧悬臂梁外伸梁简支梁梁的基本形式321:l 称为梁的跨度§4.3 剪力和弯矩（1）求反力：BA AB F F 00=∑M =∑M（2）求内力（截面法）一般来说截面上有剪力F S 和弯矩M （为平衡）001=--=∑s A y F F F F1F F F A S -=（a ）()0010=⋅--+=∑x F a x F M M A()a x F x F M--=（b ）（3）讨论一般说，在梁的截面上都有剪力F S 和弯矩M ，从式（a ）式（b ）可以看出，在数值上，剪力F S 等于截面以左所有外力在梁轴线的垂线（y 轴）上投影的代数和；弯矩M 等于截面以左所有外力对截面形心取力矩的代数和，即：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==左左ni i ni iS M M F F 11 同理，取截面右侧部分为研究对象：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==右右ni i ni iS M M F F 11 （4）剪力F S 和弯矩M 符号规定无论取左侧，或者取右侧，所得同一截面上的剪力F S 和弯矩M ，不但数值相同，而且符号也一致，符号规定如左图示。
材料力学图文 (4)
a FS2 FBy l F
0x2 b
(c)
M
2
FBy
x2
bF l
x2
0x2 a
(d)
第4章 弯曲内力
（3）画剪力、弯矩图。根据式(a)、(c)画剪力图（见图
4－11(d)）；根据式(b)、(d)画弯矩图（见图4－11
(e)）。由图可看出，横截面C处的弯矩最大，其值为
M
m
a
x
ab l
F
如果a>b，则CB段的剪力绝对值最大，其值为
3 4
qa,
FB
5 4
qa
第4章 弯曲内力
（2） 计算各指定截面的内力。 对于截面5－5，取该截
面右侧部分为研究对象， 其余各截面均取相应截面左侧部
分为研究对象。 根据静平衡方程可求得:
1－1截面：
FS1
FA
3 4
qa;
M1 FA0
（因为1－1截面从右端无限接近支座A，即Δ→0，以下同样理解。）
2－2截面：
4
如图 4-13c 所示。
第4章 弯曲内力
第4章 弯曲内力
4.1 引言 4.2 梁的计算简图 4.3 弯曲内力及内力图 4.4 剪力、 弯矩与载荷集度间的微分关系 4.5 平面刚架与曲杆的内力
第4章 弯曲内力
4.1 引 言
图 4－1
第4章 弯曲内力
图 4－2
第4章 弯曲内力
图 4－3
第4章 弯曲内力
一般来说， 当杆件承受垂直于轴线的外力， 或在其轴 线平面内作用有外力偶时， 杆的轴线将由直线变为曲线。 以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲。 以弯曲为主 要变形的杆件称为梁。
中载荷F的作用。试作梁的剪力图和弯矩图。
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FRB
Fa l
C
a l
因为AC段和CB段的内力方程不同，所以必须分段列剪力方 程和弯矩方程. 将坐标原点取在梁的左端
25
(Internal forces in beams)
将坐标原点取在梁的左端 AC段
FRA
A
F
FRB
B b x
FSE FRA
+
16
M E FRA c +
(Internal forces in beams)
FRA
A E c a
F1
C
F2 FSF
D F d B MF F d
FRB
B
b
l
计算F点横截面处的剪力FSF 和弯矩MF .
F 0, M 0,
y F
FSF FRB 0 M F FRB d 0
解得：
FSF FRB
17
M F FRB d +
(Internal forces in beams)
三、计算规律 (Simple method for calculating shearforce and bending-moment)
1.剪力 (Shear force)
FS
Fi i 1 左（右）
剪力图为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧
弯矩图为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧
x
24
O
O
(Internal forces in beams)
例题7 图示的简支梁在C点处受集中荷载 F 作用. 试作此梁的剪力图和弯矩图. FRA 解: （1）求梁的支反力
A
F
FRB
B b
FRA
Fb l
1.弯曲变形(Deflection) （1） 受力特征 构件所受外力的作用线垂直于杆轴线;或构件受到两个 等值方向作用面作用在同一纵向平面内的力偶作用. （2） 变形特征 变形前为直线的轴线,变形后成为曲线. 2.梁 (Beam) 以弯曲变形为主的杆件 3.平面弯曲(Plane bending) 作用于梁上的所有外力都在同一纵向对称面内,弯曲变形后的
5 轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲.
(Internal forces in beams)
纵向对称面
F1
F2
梁的轴线
A B
FRB
FRA
梁变形后的轴线与 外力在同一平面内
6
(Internal forces in beams)
4.梁的力学模型的简化(Representing a real structure by an idealized model) （1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
记 E 截面处的剪力为 FSE 和弯矩 ME ，且假设 FSE 和弯矩ME 的指向和转 向均为正值.
c FRA A a F1 C F2 D B
E
F
d
Fy 0 ,
FRA FS E 0
b l
M E 0,
M E FRA c 0
FRA
A E
FSE ME
解得 FSE FRA
2
(Internal forces in beams)
§4-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间 的关系(Relationships between load,shear force,and bending moment)
§4-5 叠加原理作弯矩图 (Drawing bending-moment diagram by superposition method) §4-6 平面刚架和曲杆的内力图 (Internal diagrams for frame members & curved bars)
3
(Internal forces in beams)
§4-1 基本概念及工程 (Basic concepts and example problems)
一、 工程实例(Example problem)
4
(Internal forces in beams)
二、基本概念(Basic concepts)
1.剪力符号 (Sign convention for shear force) FS 使dx 微段有左端向上而右端向下的相对 错动时,横截面m-m上的剪力为正.或使dx微段 有顺时针转动趋势的剪力为正. 使dx微段有左端向下而右端向上的相对 错动时,横截面m-m上的剪力为负.或使dx微 段有逆时针转动趋势的剪力为负.
（3）计算D横截面上的剪力FSD 和弯矩 MD 看左侧
M D FRA (c a ) F 1 c Fa 13.8kN m
F1=F
C
FRA
FRB
F2=F
A
b a c
D
B
21
(Internal forces in beams)
例题4 求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩. 解: 10kN· m FRA （1）求支座反力 2
n
左侧 梁段：向上的外力引起正值的剪力 向下的外力引起负值的剪力 右侧 梁段：向下的外力引起正值的剪力 向上的外力引起负值的剪力
18
(Internal forces in beams)
2.弯矩(Bending moment)
M
Fi ai k 1左（右）k M i 1 左（右）
n
m
不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩，
FRA=4kN FRB=-4kN
A 1 1m C
FRB
B
（2）求1-1截面的内力
FS 1 FSC左 FRA 4kN
2.5m
M 1 M C左 FRA 1 4kN m
（3）求2-2截面的内力
M
FS 2 FSC右 FRB ( 4) 4kN
1 C
22
2
A a
F
B l
F
x
0 ,
FRAx 0
FRAxA FRAy
Fa M A 0 , FRB l F (l a ) Fy 0 , FRAy l
F
B
10 FRB
(Internal forces in beams)
求内力——截面法
F (l a ) Fy 0 , FS FRAy l M C 0 , M FRAy x
m dx
12
+
m
FS
m
dx
-
m
FS
(Internal forces in beams)
2.弯矩符号
(Sign convention for bending moment) 当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
+
M m
M
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
-
m
m
13 （受压）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(Internal forces in beams)
例题2 图示梁的计算简图.已知 F1、F2,且 F2 > F1 ,尺寸a、b、c和
l 亦均为已知.试求梁在 E 、 F 点处横截面处的剪力和弯矩.
解： （1）求梁的支反力 FRA 和 FRB
M
A
0
FRA
A
a
F1
C
F2
D
FRB
C A b a c D B
FRA
FRB
F2=F
解： （1）求支座反力
FRA FRB F 60kN
20
(Internal forces in beams)
（2）计算C 横截面上的剪力FSC和弯矩 MC 看左侧
FSC F1 60kN M C F 1 b 6 .0kN m FSD FRA F 1 60 60 0
M E FRA c
c
15
(Internal forces in beams)
FRA
A
c
FSE
E
ME
FSE ME
E
F1
C a-c b-c
F2
D
FRB
B
l-c
取右段为研究对象
Fy 0
解得
F SE FRB F 1 F 2 0
M E 0 FRB (l c ) F 1 (a c ) F 2 (b c ) M E 0
剪力 弯曲构件内力 弯矩 1.弯矩(Bending moment) M 构件受弯时，横截面上其作用面垂 直于截面的内力偶矩.
FRAxA
FRAy
x
m
F
B
m
FRB
FS M
C
FRAy M
C
F
2. 剪力(Shear force) FS 构件受弯时，横截面上其作用线平行 于截面的内力.
FS
FRB
11
(Internal forces in beams) 二、内力的符号规定 (Sign convention for internal force)
Chapter 4 Internal forces in beams
(Internal forces in beams)
第四章 弯曲内力 (Internal forces in beams)
§4-1 基本概念及工程实例 (Basic concepts and example problems)
§4-2 梁的剪力和弯矩(Shear- force and bending- moment in beams) §4-3剪力方程和弯矩方程· 剪力图和弯矩图 (Shear-force& bending-moment equations ; shear-force & bending- moment diagrams)