高等数学课件4-习题课

3 2 [ln( x 1 x 2 ) 5]2 C . 3
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例4 求
x1 dx. 2 2 x x 1
1 解 令x , (倒代换) t 1 1 1 1 t t 原式 ( 2 )dt dt 2 1 12 t 1 t ( ) 1 t2 t 1 d (1 t 2 ) arcsin t 1 t 2 C dt 1 t2 2 1 t2
( 23)
( 24)

1 x dx arcsin C 2 2 a a x
1 dx 2 2 x a
(19)
csc xdx ln(csc x cot x ) C

ln( x x 2 a 2 ) C
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7
4、直接积分法
由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不 定积分的方法.
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例6
求 x arctan x ln(1 x 2 )dx .
2
解 x ln(1 x 2 )dx 1 ln(1 x 2 )d (1 x 2 )
1 1 2 2 2 (1 x ) ln(1 x ) x C . 2 2 1 1 2 2 2 原式 arctan xd[ (`1 x ) ln(1 x ) x ] 2 2 1 [(`1 x 2 ) ln(1 x 2 ) x 2 ] arctan x 2 1 x2 [ln(1 x 2 ) ]dx 2 2 1 x
5、第一类换元法
定理 1 设 f (u) 具有原函数，u ( x ) 可导， 则有换元公式
f [ ( x )] ( x )dx [ f (u)du]u ( x )
第一类换元公式（凑微分法）
Ch4-习题课 8
常见类型:
1. f ( x
n1
) x dx;
n
f (ln x ) 3. dx; x
5. f (sin x ) cos xdx;
f ( x) 2. dx; x 1 f( ) x 4. 2 dx; x
6. f (a x )a x dx;
f (arctan x ) 8. dx; 2 1 x
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7. f (tan x ) sec xdx;
2
6、第二类换元法
定理 设 x (t ) 是单调的、可导的函数，并

ln

1 3x 2x ln x C. x 2(ln 3 ln 2) 3 2
Ch4-习题课 17
2
e x (1 sin x ) 例2 求 1 cos x dx. x x x e (1 2 sin cos ) 2 2 dx 解 原式 2 x 2 cos 2 1 x x x (e e tan )dx 2 2 x 2 cos 2 x x x x x x [(e d (tan ) tan de ] d (e tan ) 2 2 2
Ch4-习题课 23
1 arctan x[(`1 x 2 ) ln(1 x 2 ) x 2 3] 2 x x 2 ln(1 x ) C . 2 2
例7
求
dx . 10 x( 2 x )
一、主要内容
原
选 择 u 有 效 方 法
函
数
不 定 积 分
直接 积分法
分部 积分法
积分法
第一换元法 第二换元法
几种特殊类型 函数的积分
2
基 本 积 分 表
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1、原函数
定义 如果在区间 内，可导函数F ( x ) 的导函数为 I
f ( x ) ， 即 x I ， 都 有 F ( x ) f ( x ) 或 dF ( x ) f ( x )dx ，那么函数F ( x ) 就称为 f ( x ) 或 f ( x )dx 在区间 内原函数. I
2.三角函数代换 如f ( x ) a 2 x 2 , 令x a sin t . 3.双曲函数代换 如f ( x ) a 2 x 2 , 令x asht .
4.倒置代换
1 令x . t
Ch4-习题课 11
7、分部积分法
uvdx uv uvdx udv uv vdu
且 ( t ) 0 ，又设 f [ ( t )] ( t ) 具有原函数，
则有换元公式
f ( x )dx f [ (t )] (t )dt
t ( x )
第二类换元公式 其中 ( x ) 是 x (t ) 的反函数.
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常用代换:
1. x (at b) , R.
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（2） 三角函数有理式的积分
定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算 构成的函数称之．一般记为 R(sin x , cos x )
2 2u 1 u sin x cos x 2 1 u 1 u2
x 令 u tan 2
x 2 arctan u
2 dx du 2 1 u
f ( x )dx F ( x ) C
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函数 f ( x ) 的原函数的图形称为 f ( x ) 的积分曲线.
4
(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
d dx
f ( x )dx f ( x )
d[ f ( x )dx] f ( x )dx
F ( x )dx F ( x ) C
(1)
kdx kx C
( k 是常数)
(7)
sin xdx cos x C
dx x 1 ( 8) sec2 xdx tan x C ( 2) x dx C ( 1) cos2 x 1 dx dx ( 3) ln x C (9) 2 csc2 xdx cot x C x sin x
其中m 、n 都是非负整数； a 0 , a1 , , a n 及
b0 , b1 , , bm 都是实数，并且a 0 0 ，b0 0 .
真分式化为部分分式之和的待定系数法
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四种类型分式的不定积分
Adx A Adx C; 1. A ln x a C ; 2. n n 1 ( x a) (1 n)( x a ) xa Mx N M 3. 2 dx ln x 2 px q x px q 2
L----对数函数； A----代数函数； E----指数函数； 分部积分公式
8.选择u的有效方法:LIATE选择法
I----反三角函数； T----三角函数； 哪个在前哪个选作u.
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9、几种特殊类型函数的积分
（1）有理函数的积分
定义 x n a1 x n1 an1 x an Q( x ) b0 x m b1 x m 1 bm 1 x bm
令t ax b;
n
ax b 令t ; cx e
n
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二、典型例题
2x3x 例1 求 9 x 4 x dx. 3 x 3 x d( ) ( ) 1 2 2 解 原式 dx 3 2x 3 3 2x ( ) 1 ln ( ) 1 2 3 x 2 2 令( ) t 1 dt 1 t 1 2 ln C 2 3 t 1 2(ln 3 ln 2) t 1
D 3.
6 3 3t 3 原式 ( )dt 2 t 1 t 1 t 3 6 ln t 3 ln(1 t ) ln(1 t 2 ) 3 arctan t C 2
x x 3 x 3 ln(1 e ) ln(1 e 3 ) 3 arctan e 6 C . 2 x 6
1 ( 4) dx arctan x C 2 1 x
(10) (11)
sec x tan xdx sec x C csc x cot xdx
e x dx e x C
csc x C
( 5)

1 dx arcsin x C 2 1 x
( 6)
sec xdx ln(sec x tan x ) C
1 1 x dx arctan C a2 x 2 a a
1 1 xa ( 21) 2 dx ln C 2 x a 2a x a 1 1 a x ( 22) 2 dx ln C 2 a x 2a a x
cos xdx sin x C
(12)
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6
ax C (13) a x dx ln a
(14) (15)
(16) (17)
(18)
( 20)
shxdx chx C ch xdx shx C
tan xdx ln cos x C cot xdx ln sin x C
2
2u 1 u 2 R(sin x , cos x )dx R 1 u2 , 1 u2 1 u2 du
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（3） 简单无理函数的积分
讨论类型： R( x, ax b )
n
ax b R( x , ) cx e
n
解决方法：作代换去掉根号．
x2 1 1 arcsin C . x x
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例5
求
x 6
dx 1 e e e
x 2 x 3 x 6
.
解 令 e t,
6 x 6 ln t , dx dt , t