普通高等学校2018届高三招生全国统一考试仿真卷(五)数学(理)含答案

绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（五）本试题卷共2页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}2|5 A x x x =＞，{}=1,3,7B -，则A B =（ ） A ．{}1-B ．{}7C ．{}1,3-D ．{}1,7-2．已知a b ＞，则条件“0c ≥”是条件“ac bc ＞”的（ ）条件． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的的值为（ ）班级 姓名 准考证号 考场号 座位号此卷只装订不密封A ．34B ．78C ．1516D ．31324．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为30︒的直线与圆222x y b +=，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．34D ．25．则函数()()cos g x A x ωϕ=+图像的一个对称中心可能为（ ）A ．()2,0-B ．()1,0C ．()10,0D ．()14,06． ()61211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ）A ．-5B ．7C ．-11D ．137．四面体A BCD -中，10AB CD ==，AC BD ==AD BC ==四面体A BCD -外接球的表面积为（ ）A ．50πB ．100πC ．200πD ．300π8．已知函数()()sin 2(0)f x x ϕϕ=-+π＜＜的图像向右平移得到函数()g x 的图像关于直线12x π=） A ．725-B ．34-C ．725D ．349．如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程与11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图象大致是（ ）A ．B．C ．D ．10．在ABC △中，点D 满足34B D BC =，当E 点在线段AD 上移动时，若AE AB AC λμ=+，则()221t λμ=-+的最小值是（ ） ABC ．910D ．41811()()()1g x f x k x =-+在(],1-∞恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A ．[)1,3B ．(]1,3C ．[)2,3D ．()3,+∞12．如图，已知抛物线2y =的焦点为F ，直线过点F 且依次交抛物线及圆(222x y -+=于A ，B ，C ，D 四点，则4AB CD +的最小值为（ ）A．B．C．D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知a ∈R ，为虚数单位，若__________． 14．我国古代数学家著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”若将题中“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为，按此规律通过第8关”，则第8关需收税金为__________．15．若，y 满足约束条件2040 2x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≤≥，则1yx +的取值范围为______． 16．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是，，，且()()222c o sc o s ab c a B b A a b c +-⋅+=，若2a b +=，则的取值范围为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知数列{}n a 是递增的等差数列，23a =，1a ，31a a -，81a a +成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若13n n n b a a +=，数列{}n b 的前项和n S ，求满足3625n S >的最小的的值． 18．某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(]30,150内，其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取人参加学校座谈交流，那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人? （3）从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设X 表示得分在区间(]130,150中参加全市座谈交流的人数，求X 的分布列及数学期望EX （）．19．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，E 是BC 中点，M 是PD 的中点，F 是PC 上的点．（1）求证：平面AEF ⊥平面PAD ；（2）当F 是PC 中点，且AB AP =时，求二面角F AE M --的余弦值．20．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点1F 与抛物线24y x =-的焦点重合，椭圆E ，过点()3,04M m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭作斜率不为0的直线，交椭圆E 于,A B 两点，点5,04P ⎛⎫⎪⎝⎭，且PA PB ⋅为定值． （1）求椭圆E 的方程； （2）求OAB △面积的最大值．21．已知函数()111ex x f x x λ=+-+ （1）证明：当0λ=时，()0f x ≥；（2）若当0x ≥时，()0f x ≥，求实数λ的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线1C ：221x y +=，直线：()cos sin 4ρθθ-=．（1）将曲线1C 上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2曲线2C ，请写出直线，和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线经过点()1,2P 且1l l ∥，与曲线2C 交于点,M N23．选修4-5：不等式选讲已知不等式36x x x +-<+的解集为(),m n ． （1）求m ，n 的值；（2）若0x >，0y >，0nx y m ++=，求证：16x y xy +≥．绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（五）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．D 2．B 3．C 4．B 5．C 6．C 7．C8．C9．C10．C 11．A12．C第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．114．17215．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．[)1,2三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分） 【答案】（1）21n a n =-；（2）13．【解析】（1）设{}n a 的公差为(0)d d ＞，由条件得()1211327(2) 0a d a a d d d +=⎧⎪+=⎨⎪>⎩，∴112a d =⎧⎨=⎩，···········4分∴()12121n a n n =+-=-．···········6分 （2···········8分 ∴311111312335212121n n S n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-++⎝⎭． 由3362125n n >+得12n >．···········11分 ∴满足3625n S >的最小值的的值为13．···········12分 18．（本小题满分12分）【答案】（1）20；（2）5，2；（3）见解析． 【解析】（1）由题意知[)90,110之间的频率为：()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=，···········2分 ()0.30.01250.0050200.65++⨯=，∴获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=．···········4分 （2）在区间(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=， 在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人，2人．结果是5，2．···········6分 （3）X 的可能取值为0，1，2，则：···········7分()305237C C 20C 7P X ===；···········8分 ()215237C C 41C 7P X ===；···········9分 ()125237C C 12C 7P X ===；···········10分 故X 的分布列为：∴()24160127777E X =⨯+⨯+⨯=．··········12分19．（本小题满分12分）【答案】（1）见解析；（2 【解析】（1）连接AC ，∵底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=， ∴ABC △是正三角形， ∵E 是BC 中点，∴AE BC ⊥， 又AD BC ∥，∴AE AD ⊥，···········1分∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PA AE ⊥，···········3分 又PA AD A =，∴AE ⊥平面PAD ，···········4分 又AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PAD ．···········5分（2）解：由（1）得AE ，AD ，AP 两两垂直，以AE ，AD ，AP 所在直线分别为轴，y 轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系；不妨设2AB AP ==，则AE =则()0,0,0A ，)C，()0,2,0D ，()0,0,2P ，)E，1,12F ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,1,1M ，···········7分 ∴()3,0,0AE =，3AF ⎛=，()0,1,1AM =， 设(),,x y z =m 是平面AEF 的一个法向量，33AE x AF x ⋅=⋅=1z =，得()0,2,1=-m ，···········9分 同理可求，平面AME 的个法向量，()0,1,1=-n，···········10分观察可知，二面角的平面角为锐角，∴二面角F AE M --···········12分20．（本小题满分12分）【答案】（1）2212x y +=；（2．【解析】（1）设1(,0)F c ，∵抛物线24y x =﹣的焦点坐标为(1,0)-，且椭圆E 的左焦点1F 与抛物线24y x =﹣的焦点重合，∴1c =，···········2分 又椭圆E 的离心率为2，得a =···········3分 于是有2221b a c ==﹣．故椭圆E 的标准方程为：2212x y +=．···········4分（2）设11,A x y （），22,B x y （），直线的方程为：x ty m =+， 由2222x ty m x y =+⎧⎨+=⎩整理得2222220t y tmy m +++=（）﹣ 12222tm y y t -+=+，212222m y y t -=+，···········6分115(,)4PA x y =-，225(,)4PB x y =-，121255()()44PA PB x x y y ⋅=--+2212125525(1)()()4216t y y tm t y y m m =++-++-+222225(2)(2)5722216m m t m m m t -+-+-=+--+．···········8分 要使PA PB ⋅为定值，则22522212m m m -+--=，解得1m =或23m =（舍）， ···········9分当1m =时，2122|)2t AB y y t +==+﹣，···········10分 点O 到直线AB的距离d =，···········11分OAB △面积1s ==． ∴当0t =，OAB △面积的最大值为2···········12分 21．（本小题满分12分）【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）当0λ=时，()e 1x f x x -=+-， 则()1e xf x -'=-，···········1分令()0f x '=，解得0x =当0x <时，()0f x '<，∴()f x 在(),0-∞上是减函数；当0x >时，()0f x '>，∴()f x 在()0,+∞上是增函数；···········3分 故()f x 在0x =处取得最小值()00f =，即()0f x ≥．···········4分（2）由已知0x ≥，∴e 10x --≤． （i ）当0λ<时，若1x λ>-，则01xx λ<+，此时()0f x <，不符合题设条件； ···········5分（ii ）当0λ≥时，若0x ≥，()()e 10e 1e 101x x x xf x x x x λλ---=+-⇔+-+-+≥≥， 令()()e 1e 1x x g x x x λ--=+-+-，则()()00f x g x ⇔≥≥，而()()()()1e 1e e 1e 1e x x x x x g x x x λλλλ-----'=+---=---．···········6分1）知，()e 10xf x x -=+-≥，即e 1x x --≥， 它等价于e 1x x +≥，e 1x x -≤，∴()()()()()()1e 1e 1e 1e e 1x x x x x g x x λλλλ----'=-------≥，()()()()()1e 11e 21e 10x x x λλλ---=----=--≥，此时()g x 在[)0,+∞上是增函数，∴()()00g x g =≥，即()0f x ≥．···········9分②当12λ>时，由（1）知，e 1x x --≥，∴1e x x --≥， ∴()()()()()()1e 1e 1e 1e 1x x x x g x x x x λλλλλ----'=---=-----()()()()()1e 11e 11e x x x x x x λλλλλλ---=---------≤ ()()21e 1x x λλ-=---，当210x λλ-<<时，()0g x '≤，此时()g x 在210,λλ-⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，∴()()00g x g <=，即()0f x <，不符合题设条件．···········11分综上：102λ≤≤．···········12分请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。