教案：平面向量与解析几何相结合
解析几何教学中应渗透平面向量方法.
解析几何教学中应渗透平面向量方法武山县第三高级中学 王建华平面向量是高中数学教材改革新增加的内容之一，它是既有大小，又有方向的一个几何量.也就是说，平面向量既能像实数一样进行运算，也有直观的几何意义，是数与形的有机结合，可灵活实现形与数的相互转化.平面向量理论渗透在解析几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题，其方法是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理、求解问题转化为向量运算，完全变成了代数问题.一、确定直线的两个重要向量 1、直线的方向向量我们已经知道，两点确定一条直线，把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图1，由P 1（x 1 , y 1）、P 2（x 2 , y 2）确定直线P 1P 2 的方向向量是P 1P 2 =（x 2 - x 1 , y 2 - y 1）.当直线P 1P 2与x 轴不垂直时有x 2≠x 1 , 这时直线的斜率为1212x x y y k --=而向量121x x - P 1P 2也是直线P 1P 2的方向向量，它的坐标是121x x （x 2 - x 1 , y 2 - y 1）. 即(1,k) 就是直线P 1P 2的方向向量,其中k 是直线P 1P 2的斜率. 2、直线的法向量和直线垂直的向量都称为该直线的法向量.如图2,设直线l 有法向量n =(A,B),且经过点P 0(x o ,y o ),取直线l 上任一点P(x,y),满足n ⊥P 0P,因为P 0P=（x – x o , y – y o ）,根据向量垂直的充要条件得A （x – x o ）+B( y – y o ) = 0 这个二元一次方程由直线l 上 一点P 0(x o ,y o ) 及直线的法向量n =(A,B) 确定,称为直线的点法式方程.反过来,如果直线l 有一般方程Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）,（1）若A ≠0时，该方程可化为A(x +AC)+B(y - 0) = 0 这是过点(-AC,0),且法向量为n =(A,B) 的点法式直线方程； （2）若B ≠0时，该方程可化为A(x -0)+B(y +BC) = 0 这是过点(0,-BC),且法向量为n =(A,B) 的点法式直线方程. 因此,n =(A,B)就是直线Ax+By+C=0的法向量. 设向量a =(-B,A),由a 与n 的数量积a ·n = -B ×A+A ×B=0所以a ⊥n ,从而向量a =(-B,A)是直线Ax+By+C=0的方向向量.由于直线的方向向量、法向量可以从直线的一般式直接写出,应用这两个重要向量解决某些问题比较便捷.二、平面向量与直线间的位置关系设直线l1与l2的方程分别是l1 :A1x+B1y+C1=0l2 :A2x+B2y+C2=0那么，n1=( A1, B1)和n2=( A2, B2)分别是直线l1与l2的法向量.2,那么n1∥n2,而n1∥n2的充要条件是n1=λn2得，消去λ得A1B2-A2B1=0由此可知, A1B2-A2B1=0是直线l1∥l2的充要条件.当A2 B2≠0时可表示为2121BBAA=，即对应坐标成比例.(2) 如果l1⊥l2 ,那么n1⊥n2,反过来也正确.而n1⊥n2的充要条件是n1·n2=0, 得A1 A2+B1 B2=0,所以直线l1⊥l2的充要条件是A1 A2+B1 B2=0.例1（1998年上海高考卷16题）设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边的边长，则直线sinA·x+ay+c=0与直线bx-sinB·y+sinC=0的位置关系是A平行B重合C垂直D相交但不垂直解析：易知两直线的法向量分别是n1=( sinA,a)和n2=( b,-sinB)由正弦定理知BbAasinsin=，即bsinA+a(-sinB)=0∴n1·n2=0有n1⊥n2，所以两直线是垂直的，选C.(3)更一般地,由直线的法向量可求两直线的夹角.设直线l1与l2的夹角为α,其法向量的夹角为θ,则α=θ或α=π-θ,所以cos α=|cos θ|. 由向量的夹角公式||||cos 2121n n n n ⋅⋅=θ,及n 1·n 2 =A 1 A 2+B 1 B 2 、| n 1|=2121B A +、| n 2|=2222B A +得两直线的夹角公式为222221211221||cos BA BA B A B A +++=α例2(2000年全国高考文科8题)已知两直线l 1:y=x,l 2:ax-y=0,其中a 为实数,当这两条直线的夹角在(0,12π)内变动时,a 的取值范围是 A(0,1) B(33,3) C(33,1)⋃(1, 3) D(1, 3)解析:两直线的法向量分别为(1,-1)、（a,-1）,由夹角公式得12|1|cos 2++=a a α=)1(2)1(22++a a ，夹角α在(0,12π)变动时， 有)1,426(cos -∈α,于是得426-<)1(2)1(22++a a <1， 解这个不等式得33<a<1或1<a<3，故选C. 三、平面向量与解析几何中角的问题任意两个不共线的非零向量a =(x 1,y 1)、b =(x 2,y 2)，由夹角公式222221212121||||cos yx yx y y x x b a ba +++=⋅⋅=θ知, cos θ的正负直接由分子x 1 x 2+y 1 y 2来确定，于是得到如下结论：（1） 若θ为锐角⇔ x 1 x 2+y 1 y 2>0 ,即a ·b>0 （2） 若θ为直角⇔ x 1 x 2+y 1 y 2=0 ,即a ·b=0 （3） 若θ为钝角⇔ x 1 x 2+y 1 y 2<0 ,即a ·b<0因此，两个向量夹角的范围由它们的数量积的正负所确定.例3（1994年全国高考8题）设F 1和F 2为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1P F 2=90°，则△F 1P F 2的面积是A 1B 23C 2D 5解析：易知F 1（-5,0）和F 2（5,0），设P 点坐标为（x o ,y o ）, ∴ F 1 P=( x o +5, y o ), F 2 P=( x o -5, y o ). 由∠F 1P F 2=90°知F 1P · F 2 P=0于是得( x o +5)( x o -5)+2o y =0 即 2o x +2o y -5=0 ①又点P （x o ,y o ）在双曲线上， 有1422=-o oy x ②联立①②可得 55||=o y ， ∴S △F1P F2=1555221||||2121=⋅⋅=⋅o y F F ,故选A 例4（2000年全国高考14题）椭圆14922=+y x 的焦点为F 1 、F 2，点P 为其上一动点，当∠F 1P F 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是_______.解析：易知a=3,b=2，故c=52322=-. ∴F 1（-5,0）,F 2（5,0）,设P(x,y)，则P F 1=（-5-x ,y ）, P F 2=（-5+x ,y ） 由∠F 1P F 2是钝角得 P F 1·P F 2 <0 ∴2)5)(5(y x x +---<0 即x 2+y 2-5<0①又点P(x,y)在椭圆上, 得14922=+y x ②联立①②得 592<x ∴-553 < x < 553 四、平面向量与解析几何中共线问题三点共线是解析几何中常见问题之一，用向量法解决共线问题思路显得直接了当.一般方法是根据向量共线的充要条件,只要在三点中任意两点的向量间存在倍数关系就行了.就是说三点A 、B 、C 共线,仅要AB=λAC 或AB=λBC （λ∈R ） 成立. 用坐标表示 , 如果A(x 1, y 1) , B(x 2 , y 2), C(x 3 , y3)三点共线 , 有(x 2 -x 1, y 2 -y 1) =λ(x 3 -x 1, y 3 -y 1)，消去λ得 (x 2 -x 1) (y 3 -y 1) -(x 3 -x 1) (y 2 -y 1)=0 或13121312y y y y x x x x --=--( x 3≠x 1 ，y 3 ≠y 1). 例5(2001年全国高考19题) 设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴，求证：直线AC 经过原点O. 解析：设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），F （2p ,0）由BC ∥x 轴得C （-2p , y 2）∴FA=（x 1-2p , y 1），FB =（x 2-2p ,y 2）OA=（x 1,y 1）， OC =（-2p , y 2）∵FA 与 FB 共线∴（x 1-2p ）y 2 -（x 2-2p ）y 1=0，而x 1=p y221， x 2=py 222代入上式得y 1 y 2= -p 2又∵0222222)2(1111211221121=+-=+=+=--y py p y p y p y y y p y p y y p y x∴OA 与OC 是共线向量，即A 、O 、C 三点共线 ∴直线AC 经过原点O.例6(2003年全国高考22题)已知常数a>0，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DADGCD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图4）， 问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离和若不存在，请说明理由。
高中数学教案《平面向量及其应用》
教学设计：《平面向量及其应用》一、教学目标1.知识与技能：使学生理解平面向量的基本概念，包括向量的定义、表示方法（有向线段、坐标表示）、向量的模、方向角等；掌握向量的加法、减法、数乘及数量积的运算法则和几何意义；能运用向量知识解决简单的几何与物理问题。
2.过程与方法：通过观察、实验、推理等数学活动，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力；引导学生运用数形结合的思想，理解向量运算的几何背景，提高解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神；通过团队合作解决问题，增强学生的沟通能力和团队协作能力。
二、教学重点和难点●重点：平面向量的基本概念、向量的基本运算（加法、减法、数乘、数量积）及其几何意义。
●难点：理解向量数量积的概念、性质及其在解决实际问题中的应用；向量运算的坐标表示法及其应用。
三、教学过程1.导入新课o情境创设：通过展示风力发电机叶片的运动、航海中的航向与速度变化等实例，引出向量的概念，说明向量在现实生活中的应用价值。
o问题引入：提问学生如何描述这些运动中的方向和大小，引导学生思考向量的必要性。
o概念引入：正式给出平面向量的定义，强调其作为“有方向的量”的特性。
2.新知讲授o基本概念讲解：详细解释向量的表示方法（有向线段、坐标表示）、模长、方向角等概念，并通过图示加深理解。
o向量运算教学：●加法与减法：通过“平行四边形法则”和“三角形法则”演示向量的加法与减法，强调其几何意义。
●数乘：讲解数乘的定义，通过伸缩变换的直观演示，理解数乘对向量方向和大小的影响。
●数量积：引入数量积的概念，通过投影长度的计算，讲解其计算公式和性质，强调其在度量角度、判断方向等方面的应用。
3.例题解析o选取典型例题，覆盖向量运算的所有类型，逐步引导学生分析、解题，重点讲解解题思路和方法。
o强调解题过程中向量运算的几何背景，促进学生数形结合思维的发展。
4.学生活动o小组讨论：分组讨论向量在日常生活或专业领域的应用实例，每组选代表分享，增强课堂互动性。
平面向量在解析几何中的应用
平面向量在解析几何中的应用0 引言高三数学复习课教学，是高中数学教学的重要课型.平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点.作为高三教学一线的教师，如何引导学生在高三数学复习过程中抓住根本，合理利用时间，提高学习效率，是高三数学复习课必须追求的目标.因此，结合自己高三数学教学的实际情况，进行了《平面向量在解析几何中的应用》高三复习课，以求在教与学的过程中提高学生学习向量的兴趣，让学生树立并应用向量的意识.1 背景向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点.而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程.结合我校开展的构建研究系性学习教学模式研究的课题，开设本节《平面向量在解析几何中的应用》高三专题复习课，通过问题的探究、合作解决，旨在进一步探索研究系性学习教学模式，使学生树立并增强应用向量的意识.正因为如此，本节课这样设计：1）教育家赞可夫说“要以知识本身吸引学生学习，使学生感到认识新事物的乐趣，体验克服困难的喜悦”；教育心理学认为：思维是从提出问题开始的；美国心理学家贾德通过实验证明“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需掌握原理，形成类比，才能让迁移到具体的类似学习中.”因此首先通过两个旧问题的引入解决，让学生体会向量的工具性特点，体会向量解题的优越性.2）通过问题的探究解决，由此让学生发现，用向量法的最大优点是思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果.著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退.这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担.2 问题例1.利用向量知识来推导点到直线的距离公式.已知点P坐标（x■，y■），直线l的方程为Ax+By+C=0，P到直线l的距离是d，则d=■.证明：当B≠0时，在直线l上任取一点，不妨取P■（0，-■），直线l的法向量■=（A，B），由向量的射影长知识得点P到直线l的距离等于向量■在向量■方向上的射影长度d，■=（x■，y■+■），∴d=■·■=（x■，y■+■）·■=■当B=0时，可直接有图形证明（略）.点评：比较传统证明方法，避免了复杂的构图过程，应用向量来证，简单易懂，充分体现了向量的工具性和优越性.例2.（2009浙江文）已知椭圆■+■=1（a>b>0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若■=2■，则椭圆的离心率是（）A.■B.■C.■D.■解析：对于椭圆，因为■=2■，则OA=2OF，∴a=2c，∴e=■选D.点评：对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手.例3.已知定点A（-1，0）和B（1，0），P是圆（x-3）2+（y-4）2=4上的一动点，求PA■+PB■的最大值和最小值.图1解：设已知圆的圆心为C，由已知可得：■=（-1，0），■=（1，0），∴■+■=0，■·■=-1又由中点公式得■+■=2■所以■■+■■=（■+■）■-2■·■=（2■）■-2（■-■）·（■-■）=4■■-2■·■-2■■+2■·（■+■）=2■■+2又因为■={3，4}点P在圆（x-3）2+（y-4）2=4上，所以■=5，■=2，且■=■+■所以■-■≤■=■+■≤■+■即3≤■≤7 故20≤■■+■■=2■■+2≤100所以PA■+PB■的最大值为100，最小值为20.点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手.3 反思由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，而新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查，这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中，应抓住时机，有效地渗透向量有关知识，树立应用向量的意识.那么如何树立应用向量的意识，从本节课案例得到以下启发：第一，如何树立应用向量的意识，在教学中应先从学生熟悉的平面几何问题入手，让学生体会向量的工具性.第二，如何树立应用向量的意识，应充分挖掘课本素材，在教学中从推导有关公式、定理，例题讲解入手，让学生去品位、去领悟，在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性，逐渐形成应用向量的意识.第三，如何树立应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用一些问题的结论，加以引申，使之成为解题方法，体会向量解题的优越性.最后，如何树立应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用向量方法解题，逐步树立运用向量知识解题的意识.。
平面向量与解析几何
平面向量与解析几何平面向量是解析几何中的重要概念，它们在研究平面几何问题时具有广泛而深入的应用。
本文将介绍平面向量的定义、运算规则以及与解析几何的关系。
一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的有向线段，用符号表示。
设向量A的起点为点P，终点为点Q，记作A=→PQ。
平面向量还可以用坐标表示。
设A的坐标为(x1, y1)，起点在原点O，则A=→OP=(x1, y1)。
二、平面向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足平行四边形法则。
设有向量A=→PQ，向量B=→RS，则A+B=→QS。
2. 向量的数乘向量的数乘是指将向量的长度放大或缩小。
设有向量A=→PQ，k为实数，则kA=→P'Q'，其中P'为向量A的起点，Q'为向量A的终点，且P'Q'的长度为k倍于PQ的长度。
3. 内积运算内积也称点积，表示两个向量的数量积。
设向量A=→PQ，向量B=→RS，A的坐标为(x1, y1)，B的坐标为(x2, y2)，则A·B=x1x2+y1y2。
4. 外积运算外积也称叉积，表示两个向量的向量积。
设向量A=→PQ，向量B=→RS，A的坐标为(x1, y1)，B的坐标为(x2, y2)，则A×B=(0,0, x1y2-x2y1)。
三、平面向量与解析几何的关系通过平面向量的运算，我们可以研究解析几何中的一些常见问题。
1. 直线的方程设有点A(x1, y1)和点B(x2, y2)，则点A和点B构成的直线的方程可以表示为：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)。
2. 两条直线的关系设直线L1的方程为(a1x+b1y+c1=0)，直线L2的方程为(a2x+b2y+c2=0)，则L1与L2平行的条件是a1/a2=b1/b2，L1与L2垂直的条件是a1a2+b1b2=0。
3. 两个向量的夹角设有向量A=→PQ，向量B=→RS，夹角θ的余弦可以由它们的内积表示为：cosθ=(A·B)/(|A||B|)。
平面向量大单元教学设计
平面向量大单元教学设计一、教学目标1. 学生能够熟练掌握平面向量的概念和性质，理解平面向量的基本定理。
2. 学生能够运用平面向量的相关性质解决实际数学问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容分析平面向量是数学中的一个重要概念，它不仅是解析几何的基础，也是解决物理中位移、速度、力等问题的关键。
平面向量具有代数和几何两种意义，因此在学习过程中需要结合两者的特点进行理解和掌握。
此外，平面向量的加法、数乘、数量积等运算及其相关性质也是学习的重点。
三、教学过程设计1. 导入新课：通过一些简单的例子，让学生了解平面向量的概念和性质，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解知识点：教师详细讲解平面向量的概念、性质、基本定理以及运算方法，并举例说明。
同时，引导学生思考如何运用平面向量解决实际问题。
3. 课堂练习：让学生进行一些基础性的平面向量练习题，以检验学生对知识的掌握情况。
4. 小组活动：组织学生进行小组讨论，探讨如何运用平面向量解决实际问题，培养学生的团队协作能力和分析问题能力。
5. 总结反馈：教师总结本次课程的内容，听取学生的反馈，对于学生存在的问题进行针对性的指导。
四、教学反思通过本次课程的学习，学生基本掌握了平面向量的概念、性质及其运算方法，能够解决一些简单的实际问题。
但是，对于一些复杂的平面向量问题，还需要进一步探讨更好的解决方案。
同时，在教学过程中，教师也发现了一些问题，如部分学生对于概念的理解不够深入等，需要针对这些问题进行针对性的辅导。
总之，本次课程的教学效果良好，达到了预期的目标。
五、教学建议在教学过程中，教师要注重引导学生理解平面向量的概念和性质，并结合实际问题进行讲解，以帮助学生更好地掌握知识。
同时，教师还需要注重培养学生的逻辑思维能力，可以通过一些难度适中的练习题来提高学生的解题能力。
此外，教师还可以通过组织学生进行小组活动等方式，培养学生的团队协作能力和分析问题能力。
平面向量与空间解析几何
平面向量与空间解析几何平面向量和空间解析几何是数学中重要的概念，它们在几何学和物理学中扮演着重要的角色。
平面向量是一个有大小和方向的量，可以表示为有序对(x, y)。
在二维空间中，平面向量通常用于描述平面内的位置关系、运动方向等。
空间解析几何则是研究三维空间中点、直线、平面等几何对象的性质和关系的数学分支。
平面向量定义平面向量可以用有向线段表示，其大小为线段的长度，方向为线段的方向。
平面向量的加法、减法和数乘等运算可以通过坐标运算来实现。
两个平面向量(x1, y1)和(x2, y2)的加法为(x1+x2, y1+y2)，减法为(x1-x2, y1-y2)，数乘为k * (x, y) = (k*x, k*y)。
运算性质•交换律：a + b = b + a•结合律：a + (b + c) = (a + b) + c•分配律：k * (a + b) = k * a + k * b空间解析几何点和坐标在空间解析几何中，三维空间中的一个点可以用有序三元组(x, y, z)表示，其中x, y, z分别是点在三个坐标轴上的投影。
两点之间的距离可以通过距离公式计算得到。
直线和平面一条空间直线可以通过一个点和一个方向向量来唯一确定，方向向量可以是直线上任意两点的向量差。
空间平面可以通过一个点和两个不共线的方向向量来唯一确定。
方向余弦方向余弦是描述向量在空间中的方向性质的参数。
一个向量(a, b, c)的方向余弦分别为cosα = a/sqrt(a^2+b^2+c^2)，cosβ = b/sqrt(a^2+b^2+c^2)，cosγ = c/sqrt(a^2+b^2+c^2)。
应用平面向量和空间解析几何在现实生活中有着广泛的应用。
在工程学中，它们可以用于描述力的合成、速度的方向等；在计算机图形学中，可以用于图形的变换和计算；在物理学中，可以描述空间中的物体运动等。
总的来说，平面向量和空间解析几何不仅是数学中的重要概念，也是现实生活中不可或缺的工具，它们帮助我们更好地理解和描述空间中的种种现象和规律。
平面向量教案3篇
平面向量教案3篇平面向量教案1一、教学目标：1. 理解平面向量的定义及相关术语；2. 掌握平面向量的基础运算和性质，如向量的加、减、数乘、模长等；3. 能够利用向量解决几何、三角学以及力学等问题。
二、教学重难点：教学重点：向量的基础运算和性质；教学难点：向量问题的解答。
三、教学方法：讲述法、举例法、实验法。
四、教学过程：1. 前置知识概括为了有利于学生对本次课程的学习，首先需要对平面向量有一定的了解。
向量是运用在三角学以及计算机科学中的一个概念，它表示一个方向和一个大小。
在二维空间中，向量通常用一个有序数对(x, y)表示，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
然而，在本课程中，我们将会介绍另一种同样重要的表现向量的方式：平面向量。
2. 讲解平面向量的定义及相关术语平面向量即为有向线段，表示为 $\vec{a}$，具有大小和方向。
平面向量有以下几个重要的术语：（1）起点：向量 $\vec{a}$ 的起点是线段的始点，表示为 $A$。
（2）终点：向量 $\vec{a}$ 的终点是线段的末点，表示为 $B$。
（3）长度：向量 $\vec{a}$ 的长度等于线段 $AB$ 的长度，可以用$|\vec{a}|$表示。
（4）方向角：向量 $\vec{a}$ 的方向角是向量与$x$轴正方向的夹角，通常用 $\theta$表示。
（5）方向余弦：向量 $\vec{a}$ 的方向余弦分别是向量在$x$和$y$轴上的投影与向量长度的比值，分别用 $\cos\alpha$ 和$\cos\beta$表示。
（6）坐标表示：用有序数对 $(a_x, a_y)$ 表示向量 $\vec{a}$，其中 $a_x$ 和 $a_y$ 分别表示向量在$x$轴和$y$轴上的分量。
3. 讲解向量的基本运算及性质（1）向量的加法：设 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 为两个向量，它们的和记为 $\vec{a}+\vec{b}$，可通过作一平行四边形得到。
平面向量在解析几何中的应用
平面向量在解析几何中的应用
解析几何是学习数学中非常重要的一个领域，它用图形来操作几何问题。
在解析几何中，一方面涉及表达几何图形中形状和大小的变化，另一方面也涉及有关平面两物体的关系或者克服已知信息，求出未知信息的方法。
在解析几何的应用中，平面向量是运用的非常普遍的概念。
平面向量是指在三维空间中，只由两个分量构成的空间向量，其分量向量都从端点指向一个空间点，是从端点指向空间点的有序偏移量。
向量的加法是平面向量能够运用的基本技巧，向量的加法可以从矢量图中看出来，矢量图是在平面上用线按照指定的规则连接两个点所绘制出来的图形。
比如在两个向量的加法运算中，指向同一点的两个向量，如果是正向量，对其进行相加，则可以得到指向该点的向量的方向和大小的改变；如果是反向量，对其进行相加，则可以得到相反的方向和大小的改变。
平面向量也可以用来解决一些更加复杂的几何问题，比如传统的莱布尼茨公式可以用来解决求取直线与平面的交点问题。
该公式利用向量与数值乘法相加，把求解交点问题转化为求解方程组的问题。
另外，平面向量也可以应用于求解解析几何中一些可能涉及标准坐标的问题，如果两个点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则它们之间的连线就是一个向量，其方向可以由向量的偏移量来描述，如（x2-x1，y2-y1）。
这时，我们就可以使用平面向量对连线进行描述，也可以使用向量进行旋转、缩放和投影等变换。
总之，平面向量在解析几何中有着普遍的应用，要想正确的使用平面向量，除了掌握平面向量的基本概念，还应该深入了解向量的性质和用途，以达到最佳的效果。
向量代数与空间解析几何教案
向量代数与空间解析几何教案
一、矢量代数与空间解析几何教学目标
（一）知识与技能目标
1.掌握实数张量的基本概念及性质。
2.掌握空间解析几何的基本概念及定义，掌握空间解析几何的性质及关系。
3.理解空间解析几何的基本概念及定义，理解矢量代数的基本概念及定义。
4.掌握矢量代数的基本概念及定义，掌握矢量代数的基本算法及实例分析。
5.掌握常见的几何形状和曲线的推导运算，推导图形的两点之间的距离及角度等。
（二）过程与方法目标
1.掌握数学建模的基本要素，学习建模的方法及过程。
2.养成独立学习、自主思考的习惯，练习解题能力及应用能力。
3.加强个别学习，形成组织学习，自学，互学相结合的学习模式。
二、教学内容
（一）矢量代数
1.实数张量的定义及基本性质：实数张量是一种关系的概括，它描述了一组数字之间的关系，它的基本性质包括变换的对称性、可加性和逆变换。
2.矢量代数的定义及基本性质：矢量代数是由实数张量和实数矩阵组成的数学模型，它可以用来刻画几何物体的几何特征，矢量代数的基本性质包括平行性、正交性和判定性。
平面向量与平面解析几何的联系知识点总结
平面向量与平面解析几何的联系知识点总结平面向量和平面解析几何是高中数学中重要的概念和工具。
它们在几何图形的描述、方程的求解和数学推理中有着广泛的应用。
本文将总结平面向量与平面解析几何的联系知识点，并探讨它们之间的重要关系。
一、平面向量的基本概念和表示方法平面向量是空间中的有向线段，具有大小和方向。
它可以用一个具有大小和方向的箭头表示。
常用的表示方法有坐标表示和分量表示。
1. 坐标表示：假设平面上有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则以A 为起点，B为终点的向量AB可以用坐标表示为向量(a, b)，其中a = x2 - x1， b = y2 - y1。
其中，x1、y1为向量的起点坐标，x2、y2为向量的终点坐标。
2. 分量表示：向量AB的分量表示为(ABx, ABy)，其中ABx为向量AB在x轴上的投影，ABy为向量AB在y轴上的投影。
分量表示形式方便进行向量的运算和推导。
二、平面解析几何的基本概念和表示方法平面解析几何是用代数方法研究平面上的几何问题。
它通过线性方程和坐标表示来研究几何图形的性质和关系。
1. 直线的解析方程：设直线L的解析方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，x、y为变量。
通过解析方程可以确定直线L在平面上的位置和方向。
2. 圆的解析方程：设圆C的解析方程为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径长度。
解析方程确定了圆C在平面上的位置和半径。
三、平面向量与平面解析几何的关系平面向量和平面解析几何有着密切的联系，它们可以相互转化、相互补充，共同应用于几何问题的研究。
1. 平移变换：平移变换是平面向量的一种基本运算，也是几何图形的一种基本变换。
平移变换可以通过平面向量的加法来表示。
设向量u 表示平移的位移，则点P(x, y)经过平移变换得到的新点P'(x', y')的坐标可以表示为(x', y') = (x, y) + u。
平面向量与解析几何的关系
平面向量与解析几何的关系从数学的角度来看，平面向量是向量代数和解析几何两个分支中的重要概念。
平面向量不仅可以用于解释运动、力和速度等物理现象，还可以应用于解析几何中的线性方程组、平面的交点和几何形状的变换等问题。
本文将探讨平面向量与解析几何之间的密切关系。
一、平面向量的定义与性质在解析几何中，平面向量常常表示为带有箭头的有向线段，通常用一个字母加上箭头来表示，如向量a。
平面向量具有长度（模）和方向两个属性，可以通过两点之间的坐标差来表示。
设A(x1, y1)和B(x2,y2)是平面上的两点，则向量AB可以表示为向量a = (x2 - x1, y2 - y1)。
平面向量有很多重要的性质。
例如，向量的模可以通过勾股定理得到，即|AB| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)。
此外，向量还满足位移定律、加法和数乘等运算规律，这些性质为后续的解析几何问题奠定了基础。
二、平面向量在解析几何中的应用1. 向量的加法和减法平面向量的加法和减法是解析几何中常见的运算。
对于向量a =(x1, y1)和向量b = (x2, y2)，它们的加法可以表示为a + b = (x1 + x2, y1+ y2)，减法可以表示为a - b = (x1 - x2, y1 - y2)。
这些运算可以简化解析几何中线段的延长、平行线的判定以及图形的相似性等问题的计算过程。
2. 向量积在解析几何中，平面向量的向量积常常被用来判断两个向量之间的关系和求解相关的几何问题。
向量积的结果是一个新的向量，其方向垂直于已知向量所在的平面。
设向量a = (x1, y1)和向量b = (x2, y2)，它们的向量积的计算公式为a × b = x1y2 - x2y1。
通过向量积，我们可以判断两个向量是否共线、垂直，进而应用于解析几何中直线的平行和垂直关系的判定、求解交点等问题。
3. 向量的数量积数量积是平面向量中另一个重要的运算。
高中数学平面向量教案(精选6篇)
高中数学平面向量教案（精选6篇）为大家收集的高中数学平面向量教案，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
高中数学平面向量教案精选篇1教学目标1、了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理。
会用基底表示平面内任一向量。
2、掌握向量夹角的定义以及两向量垂直的定义。
学情分析前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。
如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，都为学习这节课作了充分准备重点难点重点：对平面向量基本定理的探究难点：对平面向量基本定理的理解及其应用教学过程4.1第一学时教学活动活动1【导入】情景设置火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度v＝vx＋vy＝6i＋4j。
活动2【活动】探究已知平面中两个不共线向量e1，e2，c是平面内任意向量，求向量c＝___e1＋___e2（课堂上准备好几张带格子的纸张，上面有三个向量，e1，e2，c）做法：作OA＝e1，OB＝e2，OC＝c，过点C作平行于OB的直线，交直线OA于M；过点C作平行于OA的直线，交OB于N，则有且只有一对实数l1，l2，使得OM＝l1e1，ON＝l2e2。
因为OC＝OM＋ON，所以c＝6 e1＋6e2。
向量c＝__6__e1＋___6__e2活动3【练习】动手做一做请同学们自己作出一向量a，并把向量a表示成：a＝31;31;31;31;____e1＋_____（做完后，思考一下，这样的一组实数是否是唯一的呢？）（是唯一的）由刚才的几个实例，可以得出结论：如果给定向量e1，e2，平面内的任一向量a，都可以表示成a＝入1e1＋入2e2。
活动4【活动】思考问题2：如果e1，e2是平面内任意两向量，那么平面内的任一向量a还可以表示成a＝入1e1＋入2e2的形式吗?生：不行，e1，e2必须是平面内两不共线向量活动5【讲授】平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数l1，l2，使a＝l1e1＋l2e2。
高一数学教案(优秀8篇)
高一数学教案（优秀8篇）高一数学的教案篇一一。
教学内容：平面向量与解析几何的综合二。
教学重、难点：1、重点：平面向量的基本，圆锥曲线的基本。
2、难点：平面向量与解析几何的内在联系和知识综合，向量作为解决问题的一种工具的应用意识。
【典型例题[例1] 如图，已知梯形ABCD中，，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E 三点，且以A、B为焦点，求双曲线的离心率。
解：如图，以AB的垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系轴，因为双曲线经过点C、D且以AB为焦点，由对称性知C、D关于轴对称设A（）B（为梯形的高∴设双曲线为则由（1）：（3）将（3）代入（2）：∴ ∴[例2] 如图，已知梯形ABCD中，，点E满足时，求离心率的取值范围。
解：以AB的垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系轴。
因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性，知C、D关于轴对称高中生物。
依题意，记A（）、E（是梯形的高。
由得设双曲线的方程为，则离心率由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和由（1）式，得（3）将（3）式代入（2）式，整理，得故，得解得所以，双曲线的离心率的取值范围为[例3] 在以O为原点的直角坐标系中，点A（）为的直角顶点，已知，且点B的纵坐标大于零，（1）求关于直线OB对称的圆的方程。
（3）是否存在实数，使抛物线的取值范围。
解：（1）设，则由，即，得或因为所以，故（2）由，得B（10，5），于是直线OB方程：由条件可知圆的标准方程为：得圆心（设圆心（）则得，故所求圆的方程为（3）设P（）为抛物线上关于直线OB对称的两点，则得即、于是由故当时，抛物线（3）二：设P（），PQ的中点M（∴ （1）－（2）：代入∴ 直线PQ的方程为∴ ∴[例4] 已知常数，经过原点O以为方向向量的直线与经过定点A（方向向量的直线相交于点P，其中，试问：是否存在两个定点E、F使为定值，若存在，求出E、F的坐标，不存在，说明理由。
平面向量》单元教学设计
平面向量》单元教学设计向量是数学中重要且基本的概念之一，具有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。
引入向量概念后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理可以转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而将图形的基本性质转化为向量的运算体系。
在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能够使用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算水平和解决实际问题的水平。
一、单元教学目标本章主要包括平面向量的实际背景及基本概念、平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容。
通过本章研究，应引导学生：1.了解向量的实际背景，能够使用平面向量和向量相等的含义，能够理解向量的几何表示。
2.熟练掌握向量加减法的运算，并能够求出其几何意义。
3.熟练掌握向量数乘的运算，并能够解释其几何意义和两个向量共线的含义。
4.能够说出向量的线性运算性质及其几何意义。
5.理解平面向量的基本定理及其意义。
6.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
7.熟练使用坐标表示平面向量的加、减和数乘运算。
8.能够解释用坐标表示的平面向量共线的条件。
9.了解平面向量数量积的含义及其物理意义，通过物理中“功”等实例进行说明。
10.体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
11.熟记数量积的坐标表达式，并能够实行平面向量数量积的运算。
12.能够使用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
13.通过向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算水平和解决实际问题的水平。
二、研究者特征分析向量是近代数学中重要的和基本的概念之一，它是沟通代数、几何与三角的一种工具。
对于学生来说，向量是比较新的内容，但他们对此充满了探求的欲望，理应能够在研究中体会到成功的乐趣。
在研究本单元内容之前，学生已经熟知了实数的运算体系，并具备了物理知识，这为研究向量准备好了各方面条件。
《平面向量基本定理》教学设计（共五篇）
《平面向量基本定理》教学设计（共五篇）第一篇：《平面向量基本定理》教学设计《平面向量基本定理》教学设计一、内容和内容解析内容：平面向量基本定理。
内容解析：向量不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问题的重要工具。
从问题中抽象出向量模型，再通过向量的代数运算获得问题的解决方案或结果，是利用向量解决问题的基本特征。
（平面向量的概念、向量的运算、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示是平面向量的主要内容。
）平面向量基本定理是向量进行坐标表示，进而将向量的运算（向量的加、减法，向量的数乘、向量的数量积等）转化为坐标的数量运算的重要基础，同时，它还是用基本要素（基底、元）表达和研究事物（向量空间、具有某种性质的对象的集合）的典型范例，对于人们掌握认识事物的方法，提高研究事物的水平，有着难以替代的重要作用。
二、目标和目标解析1．理解平面向量的基底的意义与作用，利用平面向量的几何表示，正确地将平面上的向量用基底表示出来。
2．通过不同向量用同一基底表示的探究过程，得出并证明平面向量基本定理。
3．通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念。
4．平面向量基本定理建立了平面上的向量集合与二元有序数组的集合之间的对应关系（这种对应关系建立了非数对象与数（或数组）之间的一种映射），通过这种对应关系，我们可以将向量的运算转化为数的运算，由此达到简化向量的运算，这是数学的一种基本方法。
5．体会用基本要素（元）表示事物，或将事物分解成基本要素（元），由此达到将对事物的研究转化为对基本要素（元）的研究，通过对基本要素的内在联系的研究达到理解并把握事物的思想方法（例如全等）。
三、教学问题诊断分析1．如何处理共线向量定理与平面向量定理之间的同异点及联系是教学平面向量基本定理时的关键问题，也是理解不同维数的“向量空间”，体会高维空间向低维空间转化的重要机会与途径。
数学高一上学期一年级优质课解析几何中的平面向量运算
数学高一上学期一年级优质课解析几何中的平面向量运算解析几何是高中数学中的一个重要分支，其中平面向量运算是解析几何的基础知识之一。
本文将对高一上学期一年级的数学优质课中的平面向量运算进行逐步分析和解释，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
1. 平面向量的表示方法平面向量可以用坐标表示，也可以用有向线段表示。
假设空间中有向线段AB，记作→AB或→ba，其中A为起点，B为终点。
如果用坐标表示向量→AB，则有→AB = (x2-x1, y2-y1)，其中(x1, y1)为起点坐标，(x2, y2)为终点坐标。
2. 向量的加法平面向量的加法是指两个向量相加得到一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
设有向量→a、→b，则它们的和记作→c，即→c = →a + →b。
根据平行四边形法则，可以通过将两个向量的起点放在同一个点上，连接它们的终点构成一个平行四边形，向量和的方向为对角线的方向，向量和的大小为对角线的长度。
3. 向量的减法平面向量的减法是指两个向量相减得到一个新的向量。
设有向量→a、→b，则它们的差记作→d，即→d = →a - →b。
向量的减法可以转化为向量的加法，即→d =→a + (-→b)，其中-→b为向量→b的相反向量。
4. 向量的数量积向量的数量积又称为点积，表示为→a · →b。
设有向量→a(x1, y1)、→b(x2, y2)，则→a · →b = x1x2 + y1y2。
数量积的结果是一个数，表示两个向量之间的夹角余弦。
根据余弦定理，可以得到余弦公式cosθ =→a · →b / (|→a| |→b|)，其中θ为向量→a和→b之间的夹角。
5. 向量的向量积向量的向量积又称为叉积，表示为→a x →b。
设有向量→a(x1, y1)、→b(x2, y2)，则→a x →b = (0, 0, x1y2 - x2y1)。
向量的向量积的结果是一个向量，其方向垂直于→a和→b所在的平面，大小等于以→a和→b作为邻边的平行四边形的面积。
平面向量基本定理教案
平面向量基本定理教案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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6.1 平面向量的概念 教案
高中数学“平面向量的概念”的教案一、教学目标1. 知识与技能：了解向量的实际背景，理解平面向量的概念，掌握向量的几何表示，理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的含义。
2. 过程与方法：通过对向量概念的引入和分析，培养学生观察、抽象、概括的能力，体会从特殊到一般的数学思想方法。
3. 情感态度价值观：经历向量概念的形成过程，体会向量在实际生活中的广泛应用，感受数学的价值。
二、教学重难点1. 教学重点：平面向量的概念、几何表示、相等向量与共线向量。
2. 教学难点：向量的概念，向量与数量的区别。
三、教学方法问题驱动法、启发引导法、讲练结合法。
四、教学过程1. 情景引入：通过播放“旅行者在沙漠中迷失方向”的视频，提出问题“在这个情境下，我们可以用什么来描述旅行者的位移？”引发学生思考。
2. 探索新知：通过分析视频中的位移和方向，引出向量的概念，让学生理解向量的实际背景和意义。
讲解向量的几何表示，包括向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。
（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量.注意点：①向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移；②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素；③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．（2）向量的表示法①有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．②向量的表示方法：Ⅰ字母表示法：如,,,a b c等.Ⅱ几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段AB（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段AB表示向量，通常我们就说向量AB.注意点：用有向线段来表示向量注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段。
（3）向量的模：向量AB的大小，也就是向量AB的长度，叫做向量的模，记作||AB．（4）零向量：长度为0的向量，记作0；其方向是任意的．（5）单位向量：长度等于1个单位的向量．（6）平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．（7）相等向量：长度相等且方向相同的向量． （8）相反向量：长度相等且方向相反的向量．3. 达标检测：通过练习题检测学生对向量概念的理解和掌握程度，巩固所学知识。
《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版
《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版一、教学目标1. 让学生理解平面向量的实际背景，了解向量在现实生活中的应用。
2. 掌握平面向量的基本概念，包括向量的定义、表示方法、相等向量、相反向量等。
3. 掌握向量的线性运算，包括加法、减法、数乘等。
4. 培养学生的数学思维能力和实际问题解决能力。
二、教学内容1. 向量的实际背景：介绍向量在物理学、工程学等领域的应用，如力的表示、位移的表示等。
2. 向量的定义：介绍向量的概念，强调向量是有大小和方向的量。
3. 向量的表示方法：介绍向量的表示方法，包括箭头表示法、坐标表示法等。
4. 相等向量、相反向量：介绍相等向量和相反向量的概念，强调它们的性质和运算规律。
5. 向量的线性运算：介绍向量的加法、减法和数乘运算，包括运算规则、运算性质等。
三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出向量的概念和运算规律。
2. 利用多媒体辅助教学，通过动画、图片等形式展示向量的实际背景和运算过程。
3. 采用小组讨论、合作学习的方式，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
4. 结合例题讲解，让学生通过实践操作理解和掌握向量的运算方法和技巧。
四、教学评估1. 通过课堂提问、作业批改等方式及时了解学生的学习情况，发现问题并及时解决。
2. 设计一些实际问题，让学生运用所学的向量知识解决，评估学生对知识的掌握程度。
3. 组织课堂讨论，评估学生的参与程度和团队协作能力。
五、教学资源1. 多媒体教学课件：包括向量的实际背景图片、向量运算的动画演示等。
2. 教材：提供相关章节的学习材料，供学生预习和复习使用。
3. 练习题库：提供丰富的练习题，包括填空题、选择题、解答题等，用于巩固所学知识。
4. 参考资料：提供一些相关的研究论文、书籍等，供有兴趣深入学习的学生参考。
六、教学安排1. 课时安排：本章节共需4课时，每课时45分钟。
2. 课堂活动安排：第一课时：向量的实际背景介绍，向量的定义和表示方法学习。
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专题:平面向量与解析几何相结合教学目标:1、知识与技能目标：从整体的高度，了解平面向量与解析几何之间的联系；学会利用向量方法解决解析几何问题。
2、过程与方法目标：培养综合应用知识解决问题的能力。
3、情感、态度与价值观目标：体会形数的统一美，提升学习兴趣，培养辩证唯物主义世界观；通过知识间的相互融合，培养创新意识。
教学重点：理解并能灵活运用平面向量的解决圆锥曲线的基本问题。
教学难点：平面向量与解析几何的内在联系和知识综合，选择适当的方法解决解析几何的综合问题。
教学方法：讲练结合，探究式教学，反思教学。
教学过程基础知识梳理:1、向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段定比分点人坐标公式和向量的平移公式；2、椭圆、双曲线、抛物线的定义及简单几何性质的灵活运用；3、直线与圆锥曲线的位置关系问题（交点、弦长、中点弦与斜率、对称问题）确定参数的取值范围；4。
、平面向量作为工具综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的典型问题。
引入：平面几何与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，解决此类问题基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题。
例题讲解例1、已知)0,1(=，)2,0(=，若过定点)2,0(A 、以)(R ∈-λλ为法向量的直线1l 与过点)2,0(-B 、以i c λ+为法向量的直线2l 相交于动点P 。
（1）求直线1l 和2l 的方程；（2）求直线1l 和2l 的斜率之积21k k 的值，并证明必存在两个定点E 、F ，使得||||+恒为定值；（3）在（2）的条件下，若N M 、是22:=x l 上的两个动点，且0=⋅，试问当||MN 取最小值时，向量FN EM +与是否平行，并说明理由。
解：（1）直线1l 的法向量)2,1(1λ-=n ，1l 的方程：0)2(2=--y x λ，即为022=+-λλy x ； 直线2l 的法向量)2,(2λ=n ，2l 的方程：0)2(2=++y x λ，即为022=++y x λ。
（2）21)2(2121-=-⋅=λλk k 。
设点P 的坐标为),(y x ，由212221-=+⋅-=x y x y k k ，得12422=+y x 。
由椭圆的定义知存在两个定点F E 、，使得||||PF PE +恒为定值4。
此时定点F E 、为椭圆的两个焦点。
（3）设),22(1y M ，),22(2y N ，)0,2(-E ，)0,2(F ，则),23(1y EM =，),2(2y FN =，由0=⋅，得621-=y y 。
62|6|||||1121≥+=-=y y y y MN ； 当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧-==6621y y 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=6621y y 时，62||min =MN 。
此时EF y y FN EM 2)0,24(),24(21==+=+，所以EF FN EM //)(+。
例2、已知j i ,是,x y 轴正方向的单位向量，设a=j y i x +-)3(, b =j y i x ++)3(,且满足|a |+|b|=4。
(1) 求点(,)P x y 的轨迹C 的方程。
(2) 如果过点(0,)Q m 且方向向量为(1,1)=c 的直线l 与点P 的轨迹交于,A B 两点，当∆AOB 的面积取到最大值时，求m 的值。
解：(1) a =j y i x +-)3(, |b |=j y i x ++)3(,且|a |+|b|=4。
∴ 点(,)P x y 到点(3,0)，(-3,0)的距离这和为4，故点P 的轨迹方程为1422=+y x (2)设11(,)A x y ，22(,)B x y 依题意直线AB 的方程为=+y x m 代入椭圆方程，得0448522=-++m mx x ，则1x +285=-x m ，1⋅x 224(1)5=-x m 因此，225221)5(m m d AB S AOB -==∆当225m m =-时，即=m 时，1max =S思考1：已知j i ,是,x y 轴正方向的单位向量，设a=j y i x +-)3(, b =j y i x ++)3(,且满足||a |-|b ||=2。
求点(,)P x y 的轨迹C 的方程。
（双曲线2212-=y x ） 思考2：已知j i,是,x y 轴正方向的单位向量，设a=j y i x+-)3(,b =j y i x++)3(,且满足b ∙i =|a |。
求点(,)P x y 的轨迹C 的方程。
（抛物线2=y ） 思考3：已知j i ,是,x y 轴正方向的单位向量，设a=j y i x +-)3(, b =j y i x ++)3(,且满足|a +b|=4。
求点(,)P x y 的轨迹C 的方程。
（圆224+=x y ） 思考4：已知j i,是,x y 轴正方向的单位向量，设a=j y i x+-)3(,b =j y i x ++)3(,且满足a ∙b＝6。
求点(,)P x y 的轨迹C 的方程。
(圆223+=x y )例3、已知,A B 为抛物线22,(0)=>x py p 上两点，直线AB 过焦点,,F A B 在准线上的射影分别为,C D ， （1）若6-=∙，求抛物线的方程。
（2）CD 是否恒存在一点K ，使得0=∙解：（1）提示：记1,1()A x y 、22(,)B x y 设AB 直线方程为2=+py kx 代入抛物线方程得0222=-+-p kpx x24121221,py y p x x =-==∙6232121-=-=+p y y x x （2）设线段AB 中点P 在在准线上的射影为T ，则)()(+∙+=∙∙++∙+=)(++=241PB PA ∙＝412+－2＝412－412＝0故存在点K 即点T ，使得0=∙（实质：以AB 为直径的圆与准线相切）思考1：y 轴上是否恒存在一点K ，使得0=∙。
（以AF 为直径的圆与y 轴相切） 思考2：求证： 0=∙思考3：求证：存在实数λ使得 AO AD λ=。
（证明,,A O D 三点共线） 思考4: 设线段AB 中点P 在在准线上的射影为T ，证明：0=∙思考5： 已知A 、B 为抛物线22,(0)=>x py p 上两点，0=∙OB OA ，点C 坐标为)4,0(p（1）求证：∥（2）若＝λ（R ∈λ）且0=∙试求点M 的轨迹方程。
思考6：如图，过抛物线24=x y 的对称轴上任一点(0,),0>P m m 作直线与抛物线交于,A B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。
设点P 分有向线段所成的比为λ，证明:)(QB QA QP λ-⊥；解：依题意，可设直线AB 的方程为 ,m kx y +=代入抛物线方程y x 42=得.0442=--m kx x ①设A 、B 两点的坐标分别是 ),(11y x 、122),,(x y x 则、x 2是方程①的两根。
所以 .421m x x -=由点P （0，m ）分有向线段AB 所成的比为λ， 得.,012121x xx x -==++λλλ即又点Q 是点P 关于原点的对称点，故点Q 的坐标是（0，－m ），从而)2,0(m QP =。
).)1(,(),(),(21212211m y y x x m y x m y x QB QA λλλλλ-+--=+-+=-])1([2)(21m y y m QB QA QP λλλ-+-=-⋅221212122212144)(2])1(44[2x mx x x x m n x x x x x x m +⋅+=++⋅+= .0444)(2221=+-⋅+=x mm x x m所以 ).(QB QA QP λ-⊥例4、在直角坐标系xOy 中，椭圆1C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F 。
2F 也是抛物线2C ：24y x =的焦点，点M 为1C 与2C 在第一象限的交点，且25||3MF =。
（1）求1C 的方程；（2）平面上的点N 满足12MN MF MF =+，直线l ∥MN ，且与1C 交于,A B 两点，若OA ·OB=0，求直线l 的方程。
解：（1）由2C ：24y x =知2(10)F ，．设11()M x y ，，M 在2C 上，因为253MF =，所以1513x +=， 得123x =，13y =． M 在1C 上，且椭圆1C 的半焦距1c =，于是222248193 1.a b b a ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去2b 并整理得4293740a a -+=， 解得2a =（13a =不合题意，舍去）．故椭圆1C 的方程为22143x y +=．（2）由12MF MF MN +=知四边形12MFNF 是平行四边形，其中心为坐标原点O ， 因为l MN ∥，所以l 与OM 的斜率相同，故l的斜率=k设l的方程为)y x m =-．由223412)x y y x m ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，，消去y 并化简得22916840x mx m -+-=． 设11()A x y ，，22()B x y ，，则12169m x x +=，212849m x x -=．因为OA OB ⊥，所以12120x x y y +=．121212126()()x x y y x x x m x m +=+--21(1428)09m =-=．所以m =．此时22(16)49(84)0m m ∆=-⨯->，故所求直线l的方程为y =-y +例5、如图，已知点(3,0)H -，动点P 在y 轴上，点Q 在x 轴上，其横坐标不小于零，点M 在直线PQ 上，且满足0HP PM ⋅= ，32PM MQ =-。
（1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；（2）过定点(1,0)F 作互相垂直的直线l 与l '，l 与（1）中的轨迹C 交于A 、B 两点，l '与（1）中的轨迹C 交于D 、E 两点，求四边形ADBE 面积S 的最小值； （3）将（1）中的曲线C 推广为椭圆：2212xy +=，并将（2）中的定点取为焦点()1,0F ，求与（2）相类似的问题的解。
解：（1）设P 点坐标为),0(b ，),(y x M ， 32PM MQ =-b b y 2231-=-=，),(),,3(b y x b -==0HP PM ⋅=，0)(3=-+∴b y b x ∴点M 的轨迹C ：x y 42=（2）由题设，可设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠，直线l '的方程为()11y x k =--，()0k ≠，又设()11,A x y 、()22,B x y ， 则由()214y k x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消去x ， 整理得 2440ky y k --=， 故()2241k AB k+=，同理()241DE k =+，则()()222224111141823222k S AB DE k k k k +⎛⎫=⋅=⋅⋅+=++ ⎪⎝⎭≥， 当且仅当1k =±时等号成立，因此四边形ADBE 面积S 的最小值为32。