电磁感应中的杆导轨类问题大模型解题技巧

电磁感应中的杆导轨类问题大模型解题技巧集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]

辅导23：电磁感应中的“杆＋导轨”类问题(3大模型)解题技巧

电磁感应中的杆＋导轨模型的实质是不同形式的能量的转化过程，处理这类问题要从功和能的观点入手，弄清导体棒切割磁感线过程中的能量转化关系，现从力学、图像、能量三种观点出发，分角度讨论如下：

类型一：单杆+电阻+导轨模型类

【初建模型】

【例题1】(2017·淮安模拟)如图所示，相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ与水平面的夹角为θ，N、Q两点间接有阻值为R的电阻。

整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平

面向下。将质量为m、阻值也为R的金属杆cd垂直放在导轨上，杆

cd由静止释放，下滑距离x时达到最大速度。重力加速度为g，导

轨电阻不计，杆与导轨接触良好。求：

(1)杆cd下滑的最大加速度和最大速度；

(2)上述过程中，杆上产生的热量。

【思路点拨】：

【答案】：(1)g sinθ，方向沿导轨平面向下；，方向沿导轨平面向下；(2)mgx sinθ－

【解析】：(1)设杆cd下滑到某位置时速度为v，则杆产生的感应电动势E＝BLv

回路中的感应电流I＝

杆所受的安培力F＝BIL

根据牛顿第二定律有mg sinθ－＝ma

当速度v＝0时，杆的加速度最大，最大加速度a＝g sinθ，方向沿导轨平面向下

当杆的加速度a＝0时，速度最大，最大速度v m＝，方向沿导轨平面向下。

(2)杆cd从开始运动到达到最大速度过程中，根据能量守恒定律得mgx sinθ＝Q总＋mv

m

2

又Q杆＝Q总，所以Q杆＝mgx sinθ－。

【内化模型】

单杆+电阻+导轨四种题型剖析

题型一(v0≠0)题型二(v0＝0)题型三(v0＝0)题型四(v0＝0)

说明杆cd以一定初速

度v0在光滑水平

轨道上滑动，质

量为m，电阻不

计，两导轨间距

为L

轨道水平光滑，

杆cd质量为m，

电阻不计，两导

轨间距为L，拉

力F恒定

倾斜轨道光滑，倾

角为α，杆cd质量

为m，两导轨间距为

L

竖直轨道光滑，

杆cd质量为m，

两导轨间距为L

【变式】：此题若已知金属杆与导轨之间的动摩擦因数为μ。现用沿导轨平面向上的恒定外力F 作用在金属杆cd 上，使cd 由静止开始沿导轨向上运动，求cd 的最大加速度和最大速度。

【答案】：见解析

【解析】：分析金属杆运动时的受力情况可知，金属杆受重力、导轨平面的支持力、拉力、摩擦力和安培力五个力的作用，沿斜面方向由牛顿第二定律有：F －mg sin θ－F 安－

f ＝ma

又F 安＝BIL ，I ＝＝，所以F 安＝BIL ＝

f ＝μN ＝μm

g cos θ

故F －mg sin θ－－μmg cos θ＝ma

当速度v ＝0时，杆的加速度最大，最大加速度a m ＝－g sin θ－μg cos θ，方向沿导轨平面向上

当杆的加速度a ＝0时，速度最大，v m ＝

2

22)cos sin (L

B R

mg mg F ⋅--θμθ。 类型二：单杆+电容器(或电源)+导轨模型类

【初建模型】

【例题2】(2017·北京模拟)如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L。一质量为m的导体棒cd垂直于MN、PQ放在轨道而上，与轨道接触良好。轨道和导体棒的电阻均不计。

(1)如图1所示，若轨道左端M、P间接一阻值为R的电阻，导体棒在拉力F的作用下以速度v沿轨道做匀速运动。请通过公式推导证明：在任意一段时间Δt内，拉力F所做的功与电路获得的电能相等。

(2)如图2所示，若轨道左端接一电动势为E、内阻为r的电源和一阻值未知的电阻，闭合开关S，导体棒从静止开始运动，经过一段时间后，导体棒达到最大速度v m，求此时电源的输出功率。

(3)如图3所示，若轨道左端接一电容器，电容器的电容为C，导体棒在水平拉力的作用下从静止开始向右运动。电容器两极板间电势差随时间变化的图像如图4所示，已知t1时刻电容器两极板间的电势差为U1。求导体棒运动过程中受到的水平拉力大小。

【思路点拨】：

(1)导体棒匀速运动→受力平衡→求出拉力做的功。导体棒切割磁感线产生感应电动势→产生感应电流→求出回路的电能。

(2)闭合开关S→导体棒变加速运动→产生的感应电动势不断增大→达到电源的路端电压→棒中没有电流→由此可求出电源与电阻所在回路的电流→电源的输出功率。

(3)导体棒在外力作用下运动→回路中形成充电电流→导体棒还受安培力的作用→由牛顿第二定律列式分析。

【答案】：见解析

【解析】：(1)导体棒切割磁感线，E＝BLv

导体棒做匀速运动，F＝F安，又F安＝BIL，其中I＝

在任意一段时间Δt内，拉力F所做的功W＝FvΔt＝F安vΔt＝Δt

电路获得的电能ΔE＝qE＝EIΔt＝Δt

可见，在任意一段时间Δt内，拉力F所做的功与电路获得的电能相等。

(2)导体棒达到最大速度v m时，棒中没有电流，电源的路端电压U＝BLv m

电源与电阻所在回路的电流I＝

电源的输出功率P＝UI＝。

(3)感应电动势与电容器两极板间的电势差相等BLv＝U

由电容器的U-t图可知U＝t

导体棒的速度随时间变化的关系为v＝t

可知导体棒做匀加速直线运动，其加速度a＝

由C＝和I＝，得I＝＝

由牛顿第二定律有F－BIL＝ma

可得F＝＋。

【内化模型】

单杆+电容器(或电源)+导轨模型四种题型剖析