江西省五市八校2017届高三下学期第二次联考数学(理)试题(附答案)$772435

江西省五市八校2017届高三第二次联考数学（理科）试卷命题人：九江三中 乐平中学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意：1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域书写作答，在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束，监考员将答题卡收回.第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数421i i-=+（ ）A.13i -B.13i +C.13i -+D.13i -- 2.已知集合2{|1}M x x=＜，{|N y y ==，则()R C M N =（ ）A.(0,2]B.[0,2]C.∅D.[1,2]3.已知等比数列{}n a 的各项都为正数, 且35412a ,a ,a 成等差数列, 则3546a a a a ++的值是（ ）A．12B.12C.32-D.32+4.如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是 某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图, 且该几何体的体积为83, 则该几何体的俯视图可以是（ ）5.在区间]2,0[内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间]2,0[内的概率为（ ）A.22 B.4πC.21 D.8π6.如右图所示的程序框图输出的结果是（ ） A.6 B.6- C.5 D.5-7.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为c b a ,,，三角形的面积S可由公式))()((c p b p a p p S ---=求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足8,12==+c b a ，则此三角形面积的最大值为（ ）A.54B. 58C. 154D. 158 8. 设][x 表示不超过x 的最大整数，如0]5.0[,1]1[==，已知函数)0(][)(>-=x k xx x f ，若方程0)(=x f 有且仅有3个实根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．]3221，（B ．]4332，（C ．]5443，（D ．]6554，（ 9.某学校高三年级有2个文科班，3个理科班，现每个班指定1人对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是（ ）A.24B.32C.48D. 84 10.倾斜角为3π的直线l 过抛物线2(0)y a x a =>的焦点F ，且与抛物线交于点A 、B ，l 交抛物线的准线于点C （B 在A 、C 之间），若83B C =，则a =（ ）A.1B.2C.3D.411.设P 是正方体1111A B C D A B C D -的对角面11B D D B （含边界）内的点，若点P 到平面A B C 、平面1A B A 、平面1A D A 的距离相等，则符合条件的点P （ ）A.仅有一个B.有有限多个C.有无限多个D.不存在12.若关于x 不等式x ae x x x x ≤+-23ln 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.）+∞,[e B. ）+∞,0[ C. ）+∞,1[e D. ）+∞,1[第Ⅱ卷注意事项：须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效. 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知1,==a b a ()⊥-a b ，则向量a 与向量b 的夹角是14. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨，生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨。

销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 万元 15．已知数列}{n a 满足*111,()2(1)(1)nn n n a a a n N n n a +==∈++，若不等式2410n ta nn++≥恒成立，则实数t 的取值范围是 16．函数)2)(2sin(2)(πϕϕ<+=x x f 的图像向左平移6π个单位长度后对应的函数是奇函数，函数.2cos )32()(x x g +=若关于x 的方程)()-2f x g x +=（在）π,0[内有两个不同的解βα，，则)(c βα-os 的值为三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分）在ABC ∆中，A B C ∠∠∠、、所对边长分别为a b c 、、， 已知(s in ,s in c o s )m C B A=，(,2)n b c=且0m n ⋅=. （1）求A ∠的大小；（2）若a =，sin sin 1B C +=，求ABC ∆的面积S .18.(本小题满分12分）如图，在四面体A B C D 中，平面A B C ⊥平面B C D ，D C B C ⊥,A B =2B C =，1A C =.(1) 求证：A B A D ⊥；(2)设E 是B D 的中点，若直线C E 与平面A C D 的夹角为30︒， 求四面体A B C D 外接球的表面积.19. (本小题满分12分）春节来临，有农民工兄弟A 、B 、C 、D 四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响.若A 、B 、C 、D 获得火车票的概率分别是1311,,,24p p ，其中13p p >，又131,,22p p 成等比数列，且A 、C 两人恰好有一人获得火车票的概率是12.（1）求13,p p 的值；（2）若C 、D 是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家.设X 表示A 、B 、C 、D 能够回家过年的人数，求X 的分布列和期望E X .20. （本小题满分12分）过点(),2P a -作抛物线2:4C x y =的两条切线, 切点分别为()11,A x y , ()22,B x y . （1） 证明: 1212x x y y +为定值;（2） 记△P A B 的外接圆的圆心为点M , 点F 是抛物线C 的焦点, 对任意实数a , 试 判断以P M 为直径的圆是否恒过点F ? 并说明理由. 21. （本小题满分12分）已知函数为常数）a ax xx x f .(12ln )(2+-+=(1)讨论函数)(x f 的单凋性；(2)若存在],1,0(0∈x 使得对任意的],0,2(-∈a 不等式202m (1)()24a e a f x a a ++>++（其中e 为自然对数的底数）都成立，求实数m 的取值范围．请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程ACBDE在直角坐标系x O y 中，直线l 的参数方程为3,(1,=-⎧⎨=+⎩x t ty t 为参数). 在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线:o s .4⎛⎫=-⎪⎝⎭πρθC(1) 求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程; (2) 求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值. 23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()12=+-+-f x x a x a .(1) 若()13<f ，求实数a 的取值范围; (2) 若1,≥∈a x R ,求证：()2≥f x .理科数学参考答案一、选择题 1-5 ABADD 6-10 CBCAD 11-12 AB 二、填空题13、4π14、27 15、[9,)-+∞ 165三、解答 17、解：（1）0m n ⋅=， (s i n,s i nc o s )(,2C B A b c ∴⋅= sin 2sin cos 0b C c B A ∴+=………2分 由正弦定理得2cos 0bc cb A +=………4分 0,0b c ≠≠ 1c o s 2A ∴=-………5分0A π<< 23A π∴=………6分（2）由（1）及余弦定理得222a b c b c =++， 得222sin sin sin sin sin A B C B C =++ 即223s in s in s in s in 4B C B C ++=………8分又sin sin 1B C +=，解得1s in s in 2B C ==………9分23a = 2b c ∴==………11分A B C ∴∆的面积11s in 22222S b c A ==⨯⨯⨯=12分18、解:(1)由平面A B C ⊥平面B C D ，D C B C ⊥，得D C ⊥平面A B C ，A B C D ∴⊥………2分又由A B =，2B C =，1A C =，得222B CA BA C =+，所以AB AC ⊥………4分故A B ⊥平面A D C ，所以A B A D ⊥………6分 （2）取A D 的中点F ，连接E F ，则E F B A //,因为A B ⊥平面A D C E F ∴⊥平面A D C ……………8分 连接F C ,则30E C F ︒∠=，2C E E F A B ∴===……………9分又90B A D B C D ︒∠=∠=，所以四面体A B C D的外接球的半径R C E ==11分故四面体A B C D 的外接球的表面积=2412ππ=………12分（向量解法酌情给分）19、解：（1）A 、C 两人恰好有一人获得火车票的概率是1213131(1)(1)2p p p p ∴-+-=………1分联立方程1313131241(1)(1)2p p p p p p ⎧=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩………3分13p p >，解得1311,24p p ==………5分（2）0,1,2,3,4X =211115(0)(1)(1)24464P X ==--⨯=………6分1211113015(1)(1)(1)22446432P X C ==⨯⨯-⨯-⨯==………7分11111111161(2)(1)(1)(1)22442244644P X ==⨯⨯-⨯+-⨯-⨯⨯==………8分12111121(3)(1)22446432P X C ==⨯⨯-⨯⨯==………9分11111(4)224464P X ==⨯⨯⨯=………10分X ∴的分布列为ACBDEF………11分151511*********32432648E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=………12分20、(1) 法1:由24x y =,得214y x =,所以12y x '=. 所以直线P A 的斜率为112x .因为点()11,A x y 和()22,B x y 在抛物线C 上, 所以21114y x =,22214y x =.所以直线P A 的方程为()21111142y x x x x -=-. …………………………………1分因为点(),2P a -在直线P A 上, 所以()211111242x x a x --=-,即211280x a x --=. ………………………………2分同理, 222280x a x --=. …………………………………………3分 所以12,x x 是方程2280x a x --=的两个根.所以128x x =-. …………………………………………4分 又()22212121211144416y y x x x x =⋅==, …………………………………………5分所以12124x x y y +=-为定值. …………………………………………6分 法2:设过点(),2P a -且与抛物线C 相切的切线方程为()2y k x a +=-, ………………1分 由()22,4,y k x a xy ⎧+=-⎨=⎩消去y 得24480x k x k a -++=,由()2164480k a k ∆=-+=, 化简得220k a k --=. ……………………………2分 所以122k k =-. …………………………………………………………………3分由24x y =,得214y x =,所以12y x '=.所以直线P A 的斜率为1112k x =,直线P B 的斜率为2212k x =.所以12124x x =-, 即128x x =-. …………………………………………4分又()22212121211144416y y x x x x =⋅==, …………………………………………5分所以12124x x y y +=-为定值. …………………………………………6分 (2) 直线P A 的垂直平分线方程为1112222y x a y x x -+⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭, ……………7分 由于21114y x =,21182x a x -=,所以直线P A 的垂直平分线方程为111242a x x a y x x +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭. ① ……………8分 同理直线P B 的垂直平分线方程为222242a x x a y x x +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭. ② ……………9分 由①②解得32x a =, 212ay =+,所以点23,122a M a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. ……………………………………………………10分 抛物线C 的焦点为()0,1,F 则()23,,,3.22a M F a P F a ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭由于2233022a a M F P F ⋅=-=，……………………………………………………11分所以.M F P F⊥所以以P M 为直径的圆恒过点.F …………………………………………………12分另法: 以P M 为直径的圆的方程为()()23210.22a x a x a y y ⎛⎫⎛⎫--++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ……11分把点()0,1F 代入上方程,知点F 的坐标是方程的解.所以以P M 为直径的圆恒过点.F …………………………………………………12分 21、解：（I ）21221'()22x a x f x x a xx-+=+-=(0)x >，记2()221g x x a x =-+（i ）当0a ≤时，因为0x >，所以()10g x >>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； （ii）当0a <≤24(2)0a =-≤△，所以()0g x ≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（iii）当a >0()0x g x >⎧⎨>⎩，解得22x ∈，所以函数()f x 在区间22上单调递减，在区间(0)22+∞上单调递增．------------------（6分）（II ）由（I ）知当(2,0]a ∈-时，函数()f x 在区间(0,1]上单调递增，所以当(0,1]x ∈时，函数()f x 的最大值是(1)22f a =-，对任意的(2,0]a ∈-，都存在0(0,1]x ∈，使得不等式202(1)()24a m e a f x a a ++>++成立，等价于对任意的(2,0]a ∈-，不等式20m a x 2(1)()24a m e a f x a a ++>++都成立，即对任意的(2,0]a ∈-，不等式22(1)420a m e a a a +--->都成立， 记2()2(1)42ah a m e a a a =+---，由(0)0221h m m >⇒>⇒>，2'()2(1)2242(2)(1)aaah a m e a m e a a a m e =++--=+-，由'()0h a =得2a =-或ln a m =-,因为(2,0]a ∈-，所以2(2)0a +>， ①当21m e <<时，ln (2,0)m -∈-，且(2,ln )a m ∈--时，'()0h a <，(ln ,0)a m ∈-时，'()0h a >，所以m in ()(ln )ln (2ln )0h a h m m m =-=⋅->，所以(2,0]a ∈-时，()0h a >恒成立； ②当2m e =时，2'()2(2)(1)a h a a e+=+-，因为(2,0]a ∈-，所以'()0h a >，此时()h a 单调递增，且22(2)2(1)4820h e e --=--+-=， 所以(2,0]a ∈-时，()(2)0h a h >-=成立； ③当2m e >时，2(2)220m h e-=-+<，(0)220h m =->，所以存在0(2,0)a ∈-使得0()0h a =，因此()0h a >不恒成立． 综上，m 的取值范围是2(1,]e ． ------------------（12分）另解（II ）由（Ⅰ）知，当(2,0]a ∈-时，函数()f x 在区间(0,1]上单调递增，所以(0,1]x ∈时，函数()f x 的最大值是(1)22f a =-，对任意的(2,0]a ∈-，都存在0(0,1]x ∈，使得不等式202(1)()24a m e a f x a a ++>++成立，等价于对任意的(2,0]a ∈-，不等式20m a x 2(1)()24a m e a f x a a ++>++都成立，即对任意的(2,0]a ∈-，不等式22(1)420a m e a a a +--->都成立， 记2()2(1)42ah a m e a a a =+---，由(0)0221h m m >⇒>⇒>，且222(2)04820m h m e e-≥⇒--+-≥⇒≤∴对任意的(2,0]a ∈-，不等式22(1)420am e a a a +--->都成立的必要条件为2(1,]m e ∈又2'()2(1)2242(2)(1)a a ah a m e a m e a a a m e =++--=+-， 由'()0h a =得2a =-或ln a m =- 因为(2,0]a ∈-，所以2(2)0a +>，① 当21m e <<时，ln (2,0)m -∈-，且(2,ln )a m ∈--时，'()0h a <，(ln ,0)a m ∈- 时，'()0h a >，所以m in ()(ln )ln (2ln )0h a h m m m =-=⋅->，所以(2,0]a ∈-时，()0h a >恒成立；②当2m e =时，2'()2(2)(1)a h a a e+=+-，因为(2,0]a ∈-，所以'()0h a >，此时()h a 单调递增，且22(2)2(1)4820h e e --=--+-=， 所以(2,0]a ∈-时，()(2)0h a h >-=成立．综上，m 的取值范围是2(1,]e ． ------------------（12分） 22、(1) 由3,1,=-⎧⎨=+⎩x t y t消去t 得40+-=x y , (1)分所以直线l 的普通方程为40+-=x y . ………………………………………2分由o s 4⎛⎫=-⎪⎝⎭πρθc o s c o s s in s in 2c o s 2s in 44⎫=+=+⎪⎭ππθθθθ, ……3分得22c o s 2s in =+ρρθρθ. ………………………………………4分 将222,c o s ,s in =+==ρρθρθx y x y 代入上式,得曲线C 的直角坐标方程为2222+=+x y x y , 即()()22112-+-=x y . ………5分 (2) 设曲线C上的点为()1o s ,1++ααP , ………………………………6分则点P 到直线l的距离为=d 7分==………………………………………8分当s in 14⎛⎫+=- ⎪⎝⎭πα时, m ax =d ………………………………………9分所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为10分 23、(1) 因为()13<f ，所以123+-<a a . ………………………………………1分 ① 当0≤a 时，得()123-+-<a a ，解得23>-a ，所以203-<≤a ; ……………2分 ② 当102<<a 时，得()123+-<a a ，解得2>-a ，所以102<<a ; ……………3分③ 当12a ≥时，得()123--<a a ，解得43<a ，所以1423a ≤<; ……………4分综上所述，实数a 的取值范围是24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. ………………………………………5分(2) 因为1,≥∈ax R ,所以()()()1212=+-+-≥+---f x x a x a x a x a ……………………………7分31=-a ……………………………………………………………………8分31=-a ……………………………………………………………………9分2≥. ……………………………………………………………………10分。