2019年高中数学 第一章 解三角形检测试题(含解析)新人教A版必修5
(优选)2019年高中数学第一章解三角形章末检测新人教A版必修5
章末检测(一) 解三角形时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．有关正弦定理的叙述： ①正弦定理只适用于锐角三角形； ②正弦定理不适用于钝角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值； ④在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c . 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正确．故选B. 答案：B2．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝6，c ＝10，则△ABC 的面积为( ) A ．15 6 B ．15 3 C ．15 D ．30答案：B3．△ABC 为钝角三角形，a ＝3，b ＝4，c ＝x ，C 为钝角，则x 的取值范围是( ) A ．x <5 B ．5<x <7 C ．1<x <5D ．1<x <7解析：由已知条件可知x <3＋4且32＋42<x 2， ∴5<x <7. 答案：B4．在△ABC 中，已知AC ＝2，BC ＝3，cos A ＝－45.则sin B 的值为( )A ．1 B.35 C.12D.25解析：在△ABC 中，sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝35. ∵BC sin A ＝ACsin B， ∴sin B ＝AC BC ·sin A ＝23×35＝25.答案：D5．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( ) A. 3 B ．3 C. 5D ．5解析：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c ＝ 3. 答案：A6．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24D.23解析：b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝34.答案：B7．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( ) A ．b ＝10，∠A ＝45°，∠C ＝70° B ．a ＝30，b ＝25，∠A ＝150° C ．a ＝7，b ＝8，∠A ＝98° D ．a ＝14，b ＝16，∠A ＝45°解析：A 中已知两角与一边，有唯一解；B 中，a >b ，且∠A ＝150°，也有唯一解；C 中b >a ，且∠A ＝98°为钝角，故解不存在；D 中由于b ·sin 45°<a <b ，故有两解． 答案：D8．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么角A ，B ，C 的大小关系为( ) A ．A >B >C B ．B >A >C C ．C >B >AD ．C >A >B解析：由正弦定理得a sin 30°＝b sin B ，∴sin B ＝32，又∵B 为锐角，∴B ＝60°，∴C ＝90°，即C >B >A . 答案：C9．有一长为1 km 的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( ) A ．1 km B ．2sin 10° km C ．2cos 10° kmD ．cos 20° km解析：如图所示，∠ABC ＝20°，AB ＝1 km ，∠ADC ＝10°，∴∠ABD ＝160°.在△ABD 中，由正弦定理ADsin 160°＝AB sin 10°，∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos 10°(km)．答案：C10．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：因为a ＝2b cos C ，所以由余弦定理得：a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab，整理得b 2＝c 2，则此三角形一定是等腰三角形． 答案：C11．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 分别对应三边a ，b ，c ，tan C ＝43，c ＝8，则△ABC 外接圆的半径R 为( ) A ．10 B ．8 C ．6D ．5解析：由tan C ＝43>0且C ∈(0，π)，得C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.由同角三角函数的基本关系式，得cos C＝11＋tan 2C ＝35，sin C ＝cos C tan C ＝45，由正弦定理，有2R ＝c sin C ＝845＝10，故外接圆半径为5，故选D. 答案：D12．设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( ) A ．(2，3) B ．(1，3) C ．(2，2)D ．(0,2)解析：由a sin A ＝b sin B ＝b sin 2A ，得b ＝2cos A .π2<A ＋B ＝3A <π，从而π6<A <π3.又2A <π2，所以A <π4，所以π6<A <π4，22<cos A <32，所以2<b < 3.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13．在等腰△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝1∶2，底边BC ＝10，则△ABC 的周长是________． 解析：由正弦定理得BC ∶AC ＝sin A ∶sin B ＝1∶2. 又∵BC ＝10，∴AC ＝20，∴AB ＝AC ＝20. ∴△ABC 的周长是10＋20＋20＝50. 答案：5014．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B sin C ＝________.解析：由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即49＝b 2＋25＋5b ，解得b ＝3或b ＝－8(舍去)， 所以sin B sin C ＝b c ＝35.答案：3515．在△ABC 中，若S △ABC ＝123，ac ＝48，c －a ＝2，则b ＝________.解析：由S △ABC ＝12ac sin B 得sin B ＝32，∴B ＝60°或120°.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cosB ＝(a －c )2＋2ac －2ac cos B ＝22＋2×48－2×48cos B ，∴b 2＝52或148，即b ＝213或237.答案：213或23716．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ＋b ，sin C )，n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，若m ∥n ，则角B 的大小为________．解析：由m ∥n ，∴(a ＋b )(sin B －sin A )－sin C (3a ＋c )＝0，由正弦定理有(a ＋b ) (b －a )＝c (3a ＋c )，即a 2＋c 2－b 2＝－3ac ，再由余弦定理得cos B ＝－32，∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝150°. 答案：150°三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝4，b ＝5，c ＝61. (1)求C 的大小； (2)求△ABC 的面积．解析：(1)依题意，由余弦定理得 cos C ＝42＋52－6122×4×5＝－12.∵0°<C <180°，∴C ＝120°.(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×5×sin 120°＝12×4×5×32＝5 3.18．(12分)在△ABC 中，已知(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状． 解析：由题意可知a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]＝b 2[sin(A －B )＋sin(A ＋B )]，即a 2·2sin B cos A ＝b 2·2sin A cos B.∵sin A sin B ≠0，∴2sin A cos A ＝2sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ， ∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．19．(12分)在△ABC 中，a ，b ， c 分别为角A ，B ，C 的对边，a 2－(b －c )2＝bc ， (1)求角A ；(2)若bsin B＝c ＝2，求b 的值．解析：(1)由a 2－(b －c )2＝bc 得：a 2－b 2－c 2＝－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又0＜A ＜π， ∴A ＝π3.(2)b sin B ＝c sin C ，∴sin C ＝1.∴C ＝π2， ∴B ＝π6.∵b sin B＝c ＝2，∴b ＝2sin B ＝2sin π6＝1.20．(12分)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a . (1)求ba；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .解析：(1)由正弦定理得，sin 2A sinB ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， 即sinB (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 故sinB ＝2sin A ，所以b a＝ 2. (2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝1＋3a2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.21．(13分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．解析：(1)因为cos 2C ＝1－2sin 2C ＝－14，及0<C <π，所以sin C ＝104.(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝4.由cos 2C ＝2cos 2C －1＝－14，及0<C <π得cos C ＝±64.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 得b 2±6b －12＝0，解得b ＝6或26，所以{ b ＝6，c ＝4.或{ b ＝26，c ＝4.22．(13分)在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E 正北55海里处有一个雷达观测站A .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中sin θ＝2626，0°<θ<90°且与点A 相距1013海里的位置C . (1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由. 解析：(1)如图所示，AB ＝402，AC ＝1013，∠BAC ＝θ，sin θ＝2626. 由于0°<θ<90°， 所以cos θ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫26262＝52626. 由余弦定理得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos θ＝10 5.所以船的行驶速度为1054060＝10523＝155(海里/小时)． (2)如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，设点B 、C 的坐标分别是B (x 1，y 1)、C (x 2，y 2)，BC 与x 轴的交点为D ，由题设有，x 1＝y 1＝22AB ＝40， x 2＝AC cos ∠CAD＝1013cos(45°－θ)＝30，y 2＝AC sin ∠CAD ＝1013sin(45°－θ)＝20.所以过点B 、C 的直线l 的斜率k ＝2010＝2，直线l 的方程为y ＝2x －40. 又点E (0，－55)到直线l 的距离d ＝|0＋55－40|1＋4＝35<7，所以船会进入警戒水域.。
人教版高中数学必修5第一章解三角形测试题及答案
必修五 第一章解三角形测试(总分150)一、选择题(每题5分，共50分)1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（）A ． 30°B ．45°C ．60°D ．120°2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ）A ．310+B ．()1310-C ．13+D ．3103、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（）A ．30°B ．60°C ．30°或120°D ． 30°或150°4、在△ABC 中，3=AB ,1=AC ,∠A ＝30°，则△ABC 面积为 （ ）A ．23 B ．43 C ．23或3 D ．43 或23 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则角A 为（ ）A ．3πB ．6πC ．32πD ． 3π或32π6、在△ABC 中,面积22()Sa b c =--,则sin A 等于（）A ．1517B ．817C ．1315D ．13177、已知△ABC 中三个内角为A 、B 、C 所对的三边分别为a 、b 、c ，设向量(,)p a c b =+ ，(,)q b a c a =-- .若//p q，则角C 的大小为（）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π8、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ ）A ．()10,8B ．()10,8C ．()10,8D ．()8,109、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形 10、在△ABC 中,3,4ABBC AC ===,则AC 上的高为（ ）A ．BC ．32D ．二、填空题（每小题5分，共20分）11、在△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则=c b a :: 12、已知三角形两边长为11，则第三边长为13、若三角形两边长为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为 14、在△ABC 中BC=1，3Bπ=，当△ABC tan C =三、解答题（本大题共小题6小题，共80分）15、（本小题14分）在△ABC 中，已知210=AB ，A ＝45°，在BC 边的长分别为20，3320，5的情况下，求相应角C 。
【试题】2019年新课标人教A版高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试题及答案
【试题】2019年新课标人教A 版高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试题及答案第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确）：1.在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝AC ＝( )A ．． C D 2.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形3.在△ABC 中，已知a ＝11，b ＝20，A ＝130°，则此三角形( )A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定 4. 海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60 的视角，从B 岛望C 岛和A岛成75 视角，则B 、C 两岛的距离是（ ）海里A. 65B. 35C. 25D. 55.边长为3、7、8的三角形中，最大角与最小角之和为 ( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°6.如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定的一点C ，测出AC 的距离为m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B 两点的距离为 ( )A. 100mB. mC. mD. 200m7.在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 38.如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )A. 3B ．5 3C ．6 3D ．7 39.在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B sin C 的值为( ) A.85 B.58 C.53 D.3510.某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h 的速度由A 处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B 处时，发现北偏西45°方向有一艘船C ，若C 船位于A 处北偏东30°方向上，则缉私艇B 与船C 的距离是( )A ．5(6＋2) kmB ．5(6－2) kmC ．10(6＋2) kmD ．10(6－2) km11.△ABC 的周长为20，面积为A ＝60°，则BC 的长等于( )A ．5 B.6 C ．7 D ．812.在ABC △中，角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，若120,C c ∠=︒=，则（ ）A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分）：13.三角形的两边分别是5和3，它们夹角的余弦值是方程06752=--x x 的根，则此三角形的面积是 。
2019_2020学年高中数学第一章解三角形单元质量测评(含解析)新人教A版必修5
第一章 单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ，b ，c 分别是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直答案 C解析 ∵k 1＝－sin A a ，k 2＝bsin B，∴k 1k 2＝－1，∴两直线垂直．故选C ．2．在△ABC 中，已知a －2b ＋c ＝0，3a ＋b －2c ＝0，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．2∶3∶4 B ．3∶4∶5 C ．4∶5∶8 D ．3∶5∶7 答案 D解析 因为a －2b ＋c ＝0，3a ＋b －2c ＝0， 所以c ＝73a ，b ＝53a ．a ∶b ∶c ＝3∶5∶7．所以sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7．故选D ．3．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( )A ．4 3B ．5C ．5 2D ．6 2 答案 C解析 ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝2，∴c ＝42．由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25， ∴b ＝5．由正弦定理2R ＝bsin B＝52(R 为△ABC 外接圆的半径)．故选C ．4．已知关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B ＋2sin 2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形答案 C解析 由题意知：cos A ·cos B ＝sin 2C2，∴cos A ·cos B ＝1－cos C 2＝12－12cos[180°－(A ＋B )]＝12＋12cos(A ＋B )，∴12(cos A ·cos B ＋sin A ·sin B )＝12， ∴cos(A －B )＝1．∴A －B ＝0，∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．故选C ．5．△ABC 中，已知下列条件：①b ＝3，c ＝4，B ＝30°；②a ＝5，b ＝8，A ＝30°；③c ＝6，b ＝33，B ＝60°；④c ＝9，b ＝12，C ＝60°．其中满足上述条件的三角形有两解的是( )A ．①②B ．①④ C．①②③ D ．③④ 答案 A解析 ①c sin B <b <c ，故有两解； ②b sin A <a <b ，故有两解； ③b ＝c sin B ，有一解； ④c <b sin C ，无解．所以有两解的是①②．故选A ．6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，sin B ＝32，C ＝π6，则b 的值为( )A ．1B ．32C ．3或32D ．±1 答案 C解析 在△ABC 中，sin B ＝32，0＜B ＜π， ∴B ＝π3或2π3，当B ＝π3时，△ABC 为直角三角形，∴b ＝a ·sin B ＝32； 当B ＝2π3时，A ＝C ＝π6，a ＝c ＝1．由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos2π3＝3， ∴b ＝3．故选C ．7．等腰△ABC 底角B 的正弦与余弦的和为62，则它的顶角是( ) A ．30°或150° B ．15°或75° C ．30° D ．15° 答案 A解析 由题意：sin B ＋cos B ＝62．两边平方得sin2B ＝12，设顶角为A ，则A ＝180°－2B ． ∴sin A ＝sin(180°－2B )＝sin2B ＝12，∴A ＝30°或150°． 故选A ．8．若G 是△ABC 的重心，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且aGA →＋bGB →＋33cGC →＝0，则角A ＝( )A ．90°B ．60° C．45° D ．30°答案 D解析 由重心性质可知GA →＋GB →＋GC →＝0，故GA →＝－GB →－GC →，代入aGA →＋bGB →＋33cGC →＝0中，即(b －a )GB →＋33c －aGC →＝0，因为GB →，GC →不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＝0，33c －a ＝0，即⎩⎨⎧b ＝a ，c ＝3a ，故由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32．因为0<A <180°，所以A ＝30°．故选D ．9．在△ABC 中，B ＝60°，C ＝45°，BC ＝8，D 为BC 上一点，且BD →＝3－12BC →，则AD 的长为( )A ．4(3－1)B ．4(3＋1)C ．4(3－3)D ．4(3＋3) 答案 C解析 由题意知∠BAC ＝75°，根据正弦定理，得AB ＝BC sin45°sin75°＝8(3－1)，因为BD →＝3－12BC →，所以BD ＝3－12BC ．又BC ＝8，所以BD ＝4(3－1)．在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos60°＝4(3－3)．故选C ． 10．在△ABC 中，B A →·B C →＝3，S △ABC ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，332，则B 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2 答案 C解析 由题意知ac ·cos B ＝3，所以ac ＝3cos B， S △ABC ＝12ac ·sin B ＝12×3cos B ×sin B ＝32tan B ．因为S △ABC ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，332，所以tan B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3，所以B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3．故选C ．11．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若(b －c )sin B ＝2c sin C 且a ＝10，cos A ＝58，则△ABC 面积等于( )A ．392B ．39C ．313D ．3 答案 A解析 由正弦定理，得(b －c )·b ＝2c 2，得b 2－bc －2c 2＝0，得b ＝2c 或b ＝－c (舍)． 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c ＝2，则b ＝4． 由cos A ＝58知，sin A ＝398．S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×398＝392．故选A ． 12．锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A (a cos C ＋c cos A )＝3b ，则cb的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，233C ．(1，2)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1 答案 A解析 2sin A (a cos C ＋c cos A )＝3b ⇔2sin A ·(sin A cos C ＋sin C cos A )＝3sin B ⇔2sin A sin(A ＋C )＝3sin B ⇔2sin A sin B ＝3sin B ⇔sin A ＝32， 因为△ABC 为锐角三角形， 所以A ＝π3，a 2＝b 2＋c 2－bc ， ①a 2＋c 2＞b 2， ② a 2＋b 2＞c 2， ③由①②③可得2b 2＞bc ，2c 2＞bc ，所以12＜c b＜2．故选A ．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知在△ABC 中，a ＋b ＝3，A ＝π3，B ＝π4，则a 的值为________．答案 33－3 2 解析 由正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝63a ．由a ＋b ＝a ＋63a ＝3，解得a ＝33－32． 14．在△ABC 中，AB ＝2，点D 在边BC 上，BD ＝2DC ，cos ∠DAC ＝31010，cos C ＝255，则AC ＋BC ＝________．答案 3＋ 5解析 ∵cos ∠DAC ＝31010，cos C ＝255，∴sin ∠DAC ＝1010，sin C ＝55，∴sin ∠ADC ＝sin(∠DAC ＋∠C ) ＝1010×255＋31010×55＝22． 由正弦定理，得ACsin ∠ADC＝DCsin ∠DAC，得AC ＝5DC ．又∵BD ＝2DC ，∴BC ＝3DC ． 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C＝5DC 2＋9DC 2－25DC ·3DC ·255＝2DC 2．由AB ＝2，得DC ＝1，从而BC ＝3，AC ＝5． 即AC ＋BC ＝3＋5．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝23，C ＝45°，1＋tan Atan B ＝2cb，则边c 的值为________．答案 2 2解析 在△ABC 中，∵1＋tan A tan B ＝1＋sin A cos Bcos A sin B ＝cos A sin B ＋sin A cos B cos A sin B ＝sin A ＋B cos A sin B ＝sin C cos A sin B ＝2c b ．由正弦定理得cb cos A＝2cb ，∴cos A ＝12，∴A ＝60°． 又∵a ＝23，C ＝45°． 由a sin A ＝c sin C得2332＝c22，∴c ＝22． 16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，B ＝π4，则cos A －cos C ＝________．答案 ±42 解析 ∵2b ＝a ＋c ，由正弦定理得2sin B ＝sin A ＋sin C ，又∵B ＝π4，∴sin A ＋sin C ＝2，A ＋C ＝3π4．设cos A －cos C ＝x ，可得(sin A ＋sin C )2＋(cos A －cos C )2＝2＋x 2，即sin 2A ＋2sin A sin C ＋sin 2C ＋cos 2A －2cos A cos C ＋cos 2C ＝2－2cos(A ＋C )＝2－2cos3π4＝2＋x 2．则(cos A －cos C )2＝x 2＝－2cos 3π4＝2，∴cos A －cos C ＝±42．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2． (1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE ．解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°．∴cos ∠CBE ＝cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24． (2)在△ABE 中，AB ＝2， 由正弦定理，得AEsin45°－15°＝2sin 90°＋15°，故AE ＝2sin30°sin75°＝2×126＋24＝6－2．18．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos Bb＝sin C c．(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B ．解 (1)证明：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可知原式可以化为cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin Csin C＝1，因为A 和B 为三角形内角，所以sin A sin B ≠0，则两边同时乘以sin A sin B ，可得sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin A sin B ，由和角公式可知，sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，原式得证． (2)因为b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理可知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35．因为A 为三角形内角，A ∈(0，π)，sin A >0，则sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，即cos A sin A ＝34，由(1)可知cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C sin C ＝1，所以cos B sin B ＝1tan B ＝14，所以tan B ＝4．19．(本小题满分12分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km 内不能收到手机信号．检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约 3 km 有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12 km/h 的速度沿公路行驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解 如右图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C ，D 两点到考点的距离为1 km ． 在△ABC 中，AB ＝3≈1．732，AC ＝1，∠ABC ＝30°，由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB sin30°AC ＝32， ∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不符合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1． 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， ∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1． ∵BC12×60＝5，∴在BC 上需要5 min ，CD 上需要5 min ．∴最长需要5 min 检查员开始收不到信号，并至少持续5 min 该考点才算合格． 20．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＋b 2＝λab ． (1)若λ＝6，B ＝5π6，求sin A ；(2)若λ＝4，AB 边上的高为3c6，求C ． 解 (1)由已知B ＝5π6，a 2＋b 2＝6ab ，综合正弦定理得4sin 2A －26sin A ＋1＝0． 于是sin A ＝6±24， ∵0＜A ＜π6，∴sin A ＜12，∴sin A ＝6－24．(2)由题意可知S △ABC ＝12ab sin C ＝312c 2，得12ab sin C ＝312(a 2＋b 2－2ab cos C ) ＝312(4ab －2ab cos C )， 从而有3sin C ＋cos C ＝2即sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1．又π6＜C ＋π6＜7π6，∴C ＝π3． 21．(本小题满分12分)已知锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan A ＝3cbc 2＋b 2－a 2．(1)求角A 的大小；(2)当a ＝3时，求c 2＋b 2的最大值，并判断此时△ABC 的形状．解 (1)由已知及余弦定理，得sin A cos A ＝3cb 2cb cos A ，sin A ＝32，因为A 为锐角，所以A ＝60°． (2)解法一：由正弦定理，得asin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝2， 所以b ＝2sin B ，c ＝2sin C ＝2sin(120°－B )．c 2＋b 2＝4[sin 2B ＋sin 2(120°－B )]＝41－cos2B 2＋1－cos 240°－2B 2＝4－cos2B ＋3sin2B ＝4＋2sin(2B －30°)．由⎩⎪⎨⎪⎧0°<B <90°，0°<120°－B <90°，得30°<B <90°，所以30°<2B －30°<150°．当sin(2B －30°)＝1，即B ＝60°时，(c 2＋b 2)max ＝6， 此时C ＝60°，△ABC 为等边三角形．解法二：由余弦定理得(3)2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ＝3． ∵bc ≤b 2＋c 22(当且仅当b ＝c 时取等号)，∴b 2＋c 2－b 2＋c 22≤3，即b 2＋c 2≤6(当且仅当b ＝c 时等号)．故c 2＋b 2的最大值为6，此时△ABC 为等边三角形．22．(本小题满分12分)在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距A 处(3－1) n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 处2 n mile 的C 处的缉私船奉命以10 3- 11 - n mile/h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解 设缉私船用t 小时在D 处追上走私船．在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠CAB ＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2×cos120°＝6，∴BC ＝6．在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠ABC ＝AC BC sin ∠BAC ＝22，∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向垂直．∴∠CBD ＝120°．在△BCD 中，由正弦定理，得CD sin ∠CBD ＝BD sin ∠BCD ， ∴103t sin120°＝10tsin ∠BCD ， ∴sin ∠BCD ＝12，∴∠BCD ＝30°．故缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船．。
(新人教A版)高中数学第一章解三角形1.2应用举例第1课时距离问题练习必修5
A 级 基础巩固一、选择题1．已知A 、B 两地的距离为10 km ，B 、C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A 、C 两地的距离为( D )A ．10 kmB ． 3 kmC ．10 5 kmD ．107 km[解析] 在△ABC 中，AB ＝10，BC ＝20，∠ABC ＝120°，则由余弦定理，得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝100＋400－2×10×20cos120° ＝100＋400－2×10×20×(－12)＝700，∴AC ＝107，即A 、C 两地的距离为107 km ．2．如图，在河岸AC 测量河的宽度BC ，测量下列四组数据，较适宜的是( D )A ．γ，c ，αB ．b ，c ，αC ．c ，α，βD ．b ，α，γ[解析] 本题中a 、c 、β这三个量不易直接测量，故选D ．3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mlie 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( C )A ．5 n mlieB ．5 3 n mlieC ．10 n mlieD ．10 3 n mlie[解析] 如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，∴∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10， 在Rt △ABC 中，求得AB ＝5， ∴这艘船的速度是50.5＝10(n mlie/h)．4．某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300 m 和500 m ，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30°，灯塔B 在观察站C 正西方向，则两灯塔A 、B 间的距离为( C )A ．500 mB ．600 mC ．700 mD ．800 m[解析] 根据题意画出图形如图．在△ABC 中，BC ＝500，AC ＝300，∠ACB ＝120°， 由余弦定理得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120° ＝3002＋5002－2×300×500×(－12)＝490 000，∴AB ＝700(m)．5．要直接测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A 、B 两点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，且AB ＝120 m 由此可得河宽为(精确到1m)( C )A ．170 mB ．98 mC ．95 mD ．86 m[解析] 在△ABC 中，AB ＝120，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，则∠ACB ＝60°，由正弦定理，得BC ＝120sin45°sin60°＝406．设△ABC 中，AB 边上的高为h ，则h 即为河宽， ∴h ＝BC ·sin ∠CBA ＝406×sin75°≈95(m)．6．甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3 km ，甲船以8 km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船从B 岛出发，以12 km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15 min 时，两船的距离是( B )A ．7 kmB ．13 kmC ．19 kmD ．10－3 3 km[解析] 由题意知AM ＝8×1560＝2，BN ＝12×1560＝3，MB ＝AB －AM ＝3－2＝1，所以由余弦定理，得MN 2＝MB 2＋BN 2－2MB ·BN cos120°＝1＋9－2×1×3×(－12)＝13，所以MN ＝13 km ．二、填空题7．在相距2km 的A ，B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离是__6__km ．[解析] 如图所示，由题意易知C ＝45°，由正弦定理得AC sin60°＝2sin45°，从而AC ＝222·32＝6(km)．8．一只蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，则x ＝__1063__cm ．[解析] 如图，由题意知，∠BAC ＝75°，∠ACB ＝45°.∠B ＝60°， 由正弦定理，得x sin ∠ACB ＝10sin B ，∴x ＝10sin ∠ACB sin B ＝10×sin45°sin60°＝1063．三、解答题9．如图，我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知CD ＝6 000 m ．∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面B 处时测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°.求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)[解析] 在△ACD 中，∠CAD ＝60°， AD ＝CD ·sin45°sin60°＝63CD ．在△BCD 中，∠CBD ＝135°，BD ＝CD ·sin30°sin135°＝22CD ，∠ADB ＝90°．在Rt △ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝426CD ＝1 00042(m)．10．一艘船以32.2 n mile/h 的速度向正北航行．在A 处看灯塔S 在船的北偏东20°的方向，30 min 后航行到B 处，在B 处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5 n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？[解析] 在△ASB 中，∠SBA ＝115°，∠S ＝45°.由正弦定理，得SB ＝AB sin20°sin45°＝16.1sin20°sin45°≈7.787(n mile)．设点S 到直线AB 的距离为h ，则h ＝SB sin65°≈7.06(n mile)．∵h >6.5 n mile ，∴此船可以继续沿正北方向航行．B 级 素养提升一、选择题1．已知船A 在灯塔C 北偏东85°且到C 的距离为2 km ，船B 在灯塔C 西偏北25°且到C 的距离为 3 km ，则A 、B 两船的距离为( D )A ．2 3 kmB ．3 2 kmC ．15 kmD ．13 km[解析] 如图可知∠ACB ＝85°＋(90°－25°)＝150°，AC ＝2，BC ＝3，∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos150°＝13， ∴AB ＝13．2．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( A )A ．1762 n mile/hB ．34 6 n mile/hC ．1722n mile/hD ．34 2 n mile/h[解析] 如图所示，在△PMN 中，PM sin45°＝MNsin120°，∴MN ＝68×3222＝346，∴v ＝MN 4＝1762(n mile/h)．3．如图，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行．为了确定船的位置，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行12 h 到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是( B )A ．10 kmB ．10 2 kmC ．15 kmD ．15 2 km[解析] 在△ABC 中，BC ＝40×12＝20( km)，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，则A ＝180°－(30°＋105°)＝45°． 由正弦定理，得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A ＝20·sin30°sin45°＝102( km)．二、填空题4．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90 n mile.此时海盗船距观测站107 n mile ，20 min 后测得海盗船距观测站20 n mlie ，再过__403__min ，海盗船到达商船．[解析] 如下图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A 、B 、C 处，20 min 后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理，得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝400＋900－7002×20×30＝12．∴∠ADC ＝60°，在△ABD 中，由已知得∠ABD ＝30°， ∠BAD ＝60°－30°＝30°， ∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(min)．5．如图，一艘船上午8∶00在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8∶30到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距4 2 n mile ，则此船的航行速度是__16__n mile/h ．[解析] 在△ABS 中，∠A ＝30°，∠ABS ＝105°， ∴∠ASB ＝45°，∵BS ＝42，BS sin A ＝ABsin ∠ASB ，∴AB ＝BS ·sin ∠ASBsin A ＝42×2212＝8，∵上午8∶00在A 地，8∶30在B 地， ∴航行0.5小时的路程为8 n mile ， ∴此船的航速为16 n mile/h ． 三、解答题6．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A 、B 、C 三点进行测量，已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．[解析] 由题意可得DE 2＝502＋1202＝1302， DF 2＝1702＋302＝29 800， EF 2＝1202＋902＝1502， 由余弦定理，得cos ∠DEF ＝1665．C 级 能力拔高1．为了测量两山顶M 、N 间的距离，飞机沿水平方向在A 、B 两点进行测量，A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内(如图)．能够测量的数据有俯角和A 、B 间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M 、N 间的距离的步骤．[解析] 方案一：①需要测量的数据有：点A 到点M 、N 的俯角α1、β1；点B 到点M 、N 的俯角α2、β2；A 、B 间的距离d (如图)．②第一步：计算AM ，由正弦定理，得AM ＝d sin α2sin α1＋α2；第二步：计算AN ，由正弦定理，得AN ＝d sin β2sin β2－β1；第三步：计算MN ，由余弦定理，得 MN ＝AM 2＋AN 2－2AM ·AN cos α1－β1．方案二：①需要测量的数据有：点A 到点M 、N 的俯角α1、β1；点B 到点M 、N 的俯角α2、β2；A 、B 间的距离d (如图)．②第一步：计算BM ，由正弦定理，得BM ＝d sin α1sin α1＋α2；第二步：计算BN ，由正弦定理，得BN ＝d sin β1sin β2－β1；第三步：计算MN ，由余弦定理，得 MN ＝BM 2＋BN 2＋2BM ·BN cos β2＋α2．2．已知海岛B 在海岛A 的北偏东45°方向上，A 、B 相距10 n mile ，小船甲从海岛B 以2 n mile/h的速度沿直线向海岛A 移动，同时小船乙从海岛A 出发沿北偏西15°方向也以2 n mile/h 的速度移动．(1)经过1 h 后，甲、乙两小船相距多少海里？(2)在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由．[解析] 经过1 h 后，甲船到达M 点，乙船到达N 点， AM ＝10－2＝8，AN ＝2，∠MAN ＝60°，所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2AM ·AN cos60°＝64＋4－2×8×2×12＝52．所以MN ＝213．所以经过1 h 后，甲、乙两小船相距213海里．(2)设经过t (0<t <5)h 小船甲处于小船乙的正东方向，则甲船与A 距离为AE ＝(10－2t )n mile ，乙船与A 距离为AF ＝2t n mile ，∠EAF ＝60°，∠EF A ＝75°，则由正弦定理，得AF sin45°＝AE sin75°，即2tsin45°＝10－2t sin75°，则t ＝10sin45°2sin75°＋2sin45°＝103＋3＝53－33<5．答：经过53－33小时小船甲处于小船乙的正东方向．。
2019版高中数学人教B版必修5：第一章 解三角形 检测(A) 含解析
1π由5cos(B+C )+3=0,得cos A=,35∴sin A=.45由正弦定理,得sin B=,bsinA a=52×454=12∴∠B=.π6A2在△ABC 中,已知a=2,则b cos C+c cos B 等于( )A.1B. C.2D.423A.4A.直角三角形2sin B sin C=,∴2sin B sin C=1+cos A=1-cos(B+C)=1-cos B cos C+sin B sin C,∴cos B cos C+sin B sin C=1,即cos(B-C)=1.∵∠A,∠B,∠C为三角形的三个内角,∴∠B=∠C.∴△ABC为等腰三角形.B5A.206C7在△ABC 中,三个内角∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b ,c ,若(a 2+c 2-b 2)·tan B=ac ,则∠B 的值为3B.π2π3D.π3或2π3由(a 2+c 2-b 2)tan B=ac ,得,即cos B=,∴sin B=.3a 2+c 2-b 22ac =3cosB2sinB 32·cosB sinB 32又∠B ∈(0,π),∴∠B=或∠B=.π32π3D8A.(8,10)9( D.3][3,π)根据正弦定理,由sin 2A ≤sin 2B+sin 2C-sin B sin C ,得a 2≤b 2+c 2-bc ,所以bc ≤b 2+c 2-a 2.所以.b 2+c 2-a 22bc≥12所以cos A ≥.又因为∠A ∈(0,π),而f (x )=cos x 在x ∈(0,π)内单调递减,所以∠A ∈.12(0,π3]C10由分别位于甲地和乙地的两个距离∠BDC=30°,∠DCA=所以AB= a.4A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11在△ABC 中,已知AC=,∠A=45°,∠C=75°,则BC 的长为 .3由∠A=45°,∠C=75°,知∠B=60°.由正弦定理,得,所以BC=·AC=.BC sinA =ACsinB sinA sinB 2232×3=2212在△ABC 中,已知∠A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC 的面积等于 .3AC 2+AB 2-BC 2AB 2+16-121113B+ab14如果满足∠ABC=60°,AB=8,AC=k 的△ABC 只有两个,那么k 的取值范围是 . 答案(4,8)315在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,若=1,则c= .AB ·AC =BA ·BC 解析设AB=c ,AC=b ,BC=a ,由,得cb ·cos A=ca ·cos B.由正弦定理,得sin B cos A=cos B sin AB ·AC =BA ·BC sin(B-A )=0,所以∠B=∠A ,从而有b=a.由已知=1,得ac cos B=1.由余弦定理,得ac ·AB ·AC =BA ·BC =1,即a 2+c 2-b 2=2,2-b 2ac 所以c=.22三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步16(1)∠所以∠A-∠B=,∠C=.π2π6又因为∠A+∠B+∠C=π,所以∠A=,∠B=,∠C=.2π3π6π617(本小题满分8分)如图,某人从塔的正东方向上的C 处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以6 km/h 的速度步行了1 min 以后,在点D 处望见塔的底端B 在东北方向上,已知沿途塔的仰角当BE ⊥CD 时,在Rt △BEC 中,EC=BC ·cos ∠BCE=50(-1)·=25(3-)(m).3323设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时,走了t min,则t=×60=×60=(min).EC 6 00025(3-3)6 0003-34(2)由(1)知当α取得最大值60°时,BE ⊥CD.在Rt △BEC 中,BE=BC ·sin ∠BCE ,所以AB=BE ·tan 60°=BC ·sin ∠BCE ·tan 60°=50(-1)×=25(3-)(m).312×33即所求塔高为25(3-)m .318(1)求19(1)求函数ABC 中,f +f =4sin A sin B ,∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别是a ,b ,c ,且∠C=60°,c=3,求△(A -π4)(B -π4)6的面积.(1)由题意,知f (x )的最大值为,m 2+2所以=2.m 2+2而m>0,于是m=,f (x )=2sin.2(x +π4)由正弦函数的单调性及周期性可得x 满足2k π+≤x+≤2k π+(k ∈Z ),即2k π+≤x ≤2k π+(k π2π43π2π45π4所以f (x )在[0,π]上的单调递减区间为.[π4,π]20(本小题满分10分)如图所示,一船在海上由西向东航行,测得某岛M在A处的北偏东α角,前进km后,测得该岛在B处的北偏东β角,已知该岛周围3.5 km范围内有暗礁,现该船继续东行.若α=2β=60°,问该船有无触礁危险?如果没有,请说明理由;如果有,那么该船自B处向东航行多少距离会有触礁危险?当α与β满足什么条件时,该船没有触礁危险?(1)如图,作MC⊥AB,垂足为C,∴当x>3.5,,4cosαcosβsin (α-β)>72即时,该船没有触礁危险.cosαcosβsin (α-β)>78。
高中数学必修5第一章《解三角形》综合测试题(A)及解析
必修5第一章《解三角形》综合测试题（A ）及解析班级：________ 姓名：________ 座号：________ 得分：________第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.某三角形的两个内角为o 45和o 60，若o 45角所对的边长是6，则o 60角所对的边长是 【 A 】 A． B． C． D． 答案：A .解析：设o 60角所对的边长是x ，由正弦定理得o o6sin 45sin 60x=，解得x =故选A . 2.在ABC ∆中，已知a =10c =，o 30A =，则B 等于 【 D 】 A ．o 105 B ．o 60 C ．o 15 D ．o 105或o 15 答案：D .解析：在ABC ∆中，由sin sin a cA C=，得sin sin 2c A C a ==，则o 45C =或o 135C =.故 当o 45C =时，o 105B =；当o 135C =时，o 15B =.故选D .3.在ABC ∆中，三边长7AB =，5BC =，6AC =，则AB BC ⋅的值等于 【 D 】 A ．19 B ．14- C ．18- D ．19- 答案：D .解析：由余弦定理得49253619cos 27535B +-==⨯⨯，故AB BC ⋅=||AB ⋅||cos(BC π)B -= 1975()1935⨯⨯-=-.故选D . 4.在ABC ∆中，sin <sin A B ，则 【 A 】 A ．<a b B ．>a b C ．a b ≥ D ．a 、b 的大小关系不确定 答案：A .解析：在ABC ∆中，由正弦定理2sin sin a b R A B ==，得sin 2a A R =，sin 2bB R=，由sin A <sin B ，得<22a bR R，故<a b .故选A . 5.ABC ∆满足下列条件：①3b =，4c =，o 30B =；②12b =，9c =，o60C =；③b =，6c =，o60B =；④5a =，8b =，o30A =.其中有两个解的是 【 B 】 A ．①② B ．①④ C ．①②③ D ．②③题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ADDABABC答案：B .解析：① sin <<c B b c ，三角形有两解；②o <sin 60c b ，三角形无解；③b =sin c B ，三角 形只有一解；④sin <<b A a b ，三角形有两解.故选B .6.在ABC ∆中，已知2220b bc c --=，且a =7cos 8A =，则ABC ∆的面积是 【 A 】A ．2B C ．2 D ．3 答案：A .解析：由2220b bc c --=，得(2)()0b c b c -+=，故2b c =或b c =-(舍去)，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-及已知条件，得23120c -=，故2c =，4b =，又由7cos 8A =及A 是ABC ∆的内角可得sin A =，故1242S =⨯⨯=.故选A . 7.设a 、1a +、2a +是钝角三角形的三边长，则a 的取值范围为 【 B 】 A ．0<<3a B ．1<<3a C ．3<<4a D ．4<<6a 答案：B .解析：设钝角为C ，由三角形中大角对大边可知C 的对边为2a +，且cos C =222(1)(2)2(1)a a a a a ++-+⋅⋅+(3)(1)<02(1)a a a a -+=+，因为>0a ，故1>0a +，故0<<3a ，又(1)>+2a a a ++，故>1a ，故1<<3a .故选B .8.ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且4a =，5b c +=，tan tan A B ++tan A B =⋅，则ABC ∆的面积为 【 C 】A ．32 B ． C ．2 D ．52答案：C .解析：由已知，得tan tan tan tan )A B A B +=-⋅，即tan()A B +=A 、B 是ABC ∆的内角，故o 120A B +=，则o 60C =，由2224(5)24(5)c c c =+--⨯⨯-ocos60，解得72c =，故32b =，故113sin 422222ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯=.故选C .第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共30分）9.在ABC∆中，1sin3A=，cos B=，1a=，则b=_________..解析：由cos B=sinB===，由sin sina bA B=，得b=1sin31sin3a BA⨯==10.ABC∆的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=b=o120B=，则a=______..解析：由余弦定理得2222cosb ac ac B=+-，即2o62cos120a=+-，即24a+-0=，解得a=舍去负值).11.如果ABC∆的面积是222S=，那么C=____________.答案：o30.解析：由题意得2221sin2ab C=cosC C=，故tan C=，故o30C=. 12.ABC∆的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若o60A=，1b=，三角形的面积S= sin sin sina b cA B C++++的值为____________..解析：由o11sin sin6022S bc A c===4c=.由余弦定理得22a b=+22cosc bc A-13=，故a=.故sin sin sina b cA B C====，由等比性质，得sin sin sin sin a b c a A B C A ++==++13.一蜘蛛沿正北方向爬行x cm 捉到一只小虫，然后向右转o105，爬行10cm 捉到另一只小虫，这 时它向右转o135爬行回它的出发点，那么x =____________.答案：3. 解析：由题意作出示意图如图所示，则ABC ∠=ooo18010575-=，BCA ∠=ooo18013545-=，10BC =，故ooo1807545A =--=o 60，由正弦定理得o o10sin 45sin 60x =，解得x =(cm ). 14.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量(3,1)m =-，(cos ,sin )n A A =， 若m n ⊥，且cos cos sin a B b A c C +=，则B =____________. 答案：6π或o 30. 解析：由m n ⊥得0m n ⋅=sin 0A A-=，即sin 0A A =，故2sin()3A π-0=，故3A π=.由cos cos sin a B b A c C +=，得sin cos sin cos A B B A +=2sin C ，即2sin()sin A B C +=，故2sin sin C C =，故sin 1C =，又C 为ABC ∆的内角，故2C π=，故()()326B AC πππππ=-+=-+=.三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本题满分12分）在ABC ∆中，已知2a=，c =o 45A =，解此三角形.解：由正弦定理，得sin sin 222c A C a ==⨯=，故o 60C ∠=或o 120. 当o 60C ∠=时，oo180()75B A C ∠=-∠+∠=，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-o46224=+-⨯=+1b =+.当o 120C ∠=时，o o180()15B A C ∠=-∠+∠=，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-o46224=+-⨯=-1b =-.故1b =，o 60C ∠=，o 75B ∠=或1b =，o 120C ∠=，o 15B ∠=.16.（本题满分12分）如图，在四边形ABCD 中，已知BA AD ⊥，10AB =，BC =o60BAC ∠=，o135ADC ∠=，求CD 的长.解：在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin AB BACBCA BC⋅∠∠=DAxABC o135o105o==，因>BC AB，故>CAB BCA∠∠，故o45BCA∠=，故o75B=，由正弦定理，得oo10sin751)sin45AC==，在ACD∆中，因o o9030CAD BAC∠=-∠=，由正弦定理，得oosin30sin1352ACCD+==.答：CD.17.（本题满分14分）a、b、c是ABC∆的内角A、B、C的对边，S是ABC∆的面积，若4a=，5b=，S=c.解：由11sin45sin22Sab C C==⋅⋅⋅=，得sin C=，则1cos2C=或1cos2C=-.（1）当1cos2C=时，由余弦定理，得211625245212c=+-⋅⋅⋅=，故c=；（2）当1cos2C=-时，由余弦定理，得211625245612c=++⋅⋅⋅=，故c=.综上可知c18.（本题满分14分）在ABC∆中，sin sin cosB A C=，其中A、B、C是ABC∆的三个内角，且ABC∆最大边是12，最小角的正弦值是13.（1）判断ABC∆的形状；（2）求ABC∆的面积.解：（1）由sin sin cosB A C=根据正弦定理和余弦定理，得2222a b cb aab+-=⋅，得222b c a+=，故ABC∆是直角三角形.（2）由（1）知12a=，设最小角为α，则1sin3α=，故cosα=（舍去负值），故ABCS∆=1111sin cos121222233bc a aαα=⋅=⋅⋅⋅⋅=19.（本题满分14分）海上某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东o75，距离为海里；在A 处看灯塔C在货轮的北偏西o30，距离为由A处行驶到D处时看灯塔B在货轮的北偏东o120.求（1）A处与D处之间的距离；（2）灯塔C与D处之间的距离.解：由题意画出示意图，如图所示.（1）ABD ∆中，由题意得o 60ADB ∠=，o 45B ∠=，由正弦定理得o osin 45sin 60ABAD =24= (海里).（2）在ABD ∆中，由余弦定理，得2222CD AD AC AD AC =+-⋅o cos302224=+-2242⨯⨯，故CD =海里).答：A 处与D 处之间的距离为24海里，灯塔C 与D 处之间的距离为.● 以下两题任选一题作答20.（本题满分14分）在锐角ABC ∆中，边a 、b 是方程220x -+=的两根，A 、B 满足2sin()A B +0=，解答下列问题：（1）求C 的度数； （2）求边c 的长度； （3）求ABC ∆的面积.解：（1）由题意，得sin()A B +=ABC ∆是锐角三角形，故o 120A B +=，o 60C =；（2）由a 、b 是方程220x -+=的两根，得a b +=2a b ⋅=，由余弦定理，得22222cos ()31266c a b ab C a b ab =+-=+-=-=，故c =（3）故1sin 2ABC S ab C ∆==122⨯⨯=. 20.（本题满分14分）ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，若AB AC BA BC ⋅=⋅1=.解答下列问题：（1）求证：A B =； （2）求c 的值；（3）若||6AB AC +=，求ABC ∆的面积.证：（1）因AB AC BA BC ⋅=⋅，故cos cos bc A ac B =，即cos cos b A a B =.由正弦定理，得 sin cos sin cos B A A B =，故sin()0A B -=，因为<<A B ππ--，故0A B -=，故 A B =.解：（2）因1AB AC ⋅=，故cos 1bc A =，由余弦定理得22212b c a bc bc+-⋅=，即222b c a +-= 2；又由（1）得a b =，故22c =，故2c =.解：（3）由||6AB AC +=22||||2||6AB AC AB AC ++⋅=，即2226c b ++=，故22c b +4=，因22c =，故b =ABC ∆是正三角形，故面积2ABC S ∆=⨯=.。
2019秋高中数学 第一章 解三角形 单元评估验收(一)(含解析)新人教A版必修5.doc
单元评估验收(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，a ＝k ，b ＝3k (k >0)，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．无数个解析：由正弦定理得a sin A ＝bsin B， 所以sin B ＝b sin A a ＝62>1，即sin B >1，这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形．答案：A2．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝2，B ＝45°，则角A ＝( ) A ．30°或150° B ．60°或120° C ．60°D ．30° 解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，sin A ＝a b sin B ＝22sin 45°＝12，又因为b ＞a ，故A ＝30°.答案：D3．已知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°解析：设最小边为5，则三角形的三边分别为5，7，8，设边长为7的边对应的角为θ，则由余弦定理可得49＝25＋64－80cos θ，解得cos θ＝12，所以θ＝60°.则最大角与最小角的和为180°－60°＝120°.答案：B4．在△ABC 中，a ＝15，b ＝20，A ＝30°，则cos B ＝( ) A ．±53 B.23 C ．－53D.53解析：因为a sin A ＝bsin B，所以15sin 30°＝20sin B ，解得sin B ＝23.因为b >a ，所以B >A ，故B 有两解， 所以cos B ＝±53. 答案：A5．在△ABC 中，已知cos A cos B ＞sin A sin B ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：由cos A cos B ＞sin A sin B ，得 cos A ·cos B －sin A sin B ＝cos (A ＋B )＞0， 所以A ＋B ＜90°，所以C ＞90°，C 为钝角． 答案：C6．如图所示，海平面上的甲船位于中心O 的南偏西30°，与O 相距15海里的C 处．现甲船以35海里/时的速度沿直线CB 去营救位于中心O 正东方向25海里的B 处的乙船，则甲船到达B 处需要的时间为( )A.12小时 B ．1小时 C.32小时 D ．2小时解析：在△OBC 中，由余弦定理，得CB 2＝CO 2＋OB 2－2CO ·OB cos 120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB ＝35，3535＝1(小时)，因此甲船到达B 处需要的时间为1小时．答案：B7．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞)B ．(－∞，0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)，c ＝2mk (m ＞0)，因为⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＞c ，a ＋c ＞b ，即⎩⎪⎨⎪⎧m （2k ＋1）＞2mk ，3mk ＞m （k ＋1），所以k ＞12.答案：D8．△ABC 的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的直径为( )A.922 B.924C.928D ．9 2解析：设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13，所以x 2＝9，所以x ＝3.设cos θ＝13，则sin θ＝223.所以2R ＝3sin θ＝3223＝924.答案：B9．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.36D.38解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34. 答案：B10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2A 2＝c －b 2c，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形解析：由已知可得1－cos A 2＝12－b2c ，即cos A ＝bc，b ＝c cos A . 法一 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，则b ＝c ·b 2＋c 2－a 22bc，所以c 2＝a 2＋b 2，由此知△ABC 为直角三角形． 法二 由正弦定理，得sin B ＝sin C cos A . 在△ABC 中，sin B ＝sin(A ＋C )，从而有sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A ， 即sin A cos C ＝0. 在△ABC 中，sin A ≠0， 所以cos C ＝0.由此得C ＝π2，故△ABC 为直角三角形． 答案：B11．一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到A 处时测得公路北侧一铁塔底部C 在西偏北30°的方向上，行驶200 m 后到达B 处，测得此铁塔底部C 在西偏北75°的方向上，塔顶D 的仰角为30°，则此铁塔的高度为( )A.10063m B ．50 6 m C ．100 3 mD ．100 2 m解析：设此铁塔高h (m)，则BC ＝3h ，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠CBA ＝105°，∠BCA ＝45°，AB ＝200.根据正弦定理得3h sin 30°＝200sin 45°，解得h ＝10063(m)．答案：A12．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于( ) A.21 B.106 C.69D.154解析：设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos∠AMB ， 即72＝14a 2＋42－2×a 2×4×cos ∠AMB ，①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos∠AMC ， 即62＝42＋14a 2＋2×4×a 2×cos ∠AMB ，②①＋②得72＋62＝42＋42＋12a 2，所以a ＝106.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知△ABC 中，3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0，则cos C ＝________． 解析：由3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0， 得c 2＝a 2＋b 2－23ab .根据余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－a 2－b 2＋23ab2ab＝13， 所以cos C ＝13.答案：1314．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________．解析：由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ， 则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0＜C ＜π，因此角C ＝2π3.答案：2π315．在△ABC 中，A 满足3sin A ＋cos A ＝1，AB ＝2，BC ＝23，则△ABC 的面积为________．解析：由⎩⎨⎧3sin A ＋cos A ＝1，sin 2 A ＋cos 2A ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＝32，cos A ＝－12.所以A ＝120°，由正弦定理得2sin C ＝23sin A ，所以sin C ＝12.因为AB <BC ，所以C ＝30°，所以B ＝30°，所以S ＝12AB ×BC ×sin B ＝12×2×23×sin 30°＝ 3.答案： 316．太湖中有一小岛C ，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A 处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 到达B 处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.解析：如图所示，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°，∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1 km.由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin ∠ACB，所以BC ＝1sin 60°·sin 15°＝6－223 (km)．设C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝BC ·sin 75°＝6－223·6＋24＝36(km)． 答案：36三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且a cos B ＝3，b sin A ＝4.(1)求边长a ；(2)若△ABC 的面积S ＝10，求△ABC 的周长l . 解：(1)由题意得：a cos Bb sin A ＝34， 由正弦定理得：a b ＝sin Asin B，所以cos B sin B ＝34，cos 2B ＝916sin 2B ＝916(1－cos 2B )，即cos 2B ＝925，由题意知：a 2cos 2B ＝9，所以a 2＝25，得a ＝5或a ＝－5(舍去)． 所以a ＝5.(2)因为S ＝12bc sin A ＝2c ，所以，由S ＝10得c ＝5， 应用余弦定理得：b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝2 5.故△ABC 的周长l ＝a ＋b ＋c ＝2(5＋5)．18．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b 、c 的值． 解：(1)因为cos B ＝35>0，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理得a sin A ＝bsin B，所以sin A ＝a b sin B ＝25.(2)因为S △ABC ＝12ac sin B ＝45c ＝4，所以c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝ 22＋52－2×2×5×35＝17，所以b ＝17或b ＝－17(舍去)． 所以b ＝17.19．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac .(1)求B ； (2)若sin A sin C ＝3－14，求C . 解：(1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ， 所以a 2＋c 2－b 2＝－ac ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，又B ∈(0°，180°)，因此B ＝120°. (2)由(1)知A ＋C ＝60°，①所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C ＝cos(A ＋C )＋2sin A sin C ＝12＋2×3－14＝32， 又因为－60°<A －C <60°， 故A －C ＝30°或A －C ＝－30°.② 由①②得C ＝15°或C ＝45°.20．(本小题满分12分)某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时C 、D 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?解：如图所示，设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β.在△CBD 中，由余弦定理得cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD＝202＋212－3122×20×21＝－17，所以sin β＝437.而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝437×12＋32×17＝5314. 在△ACD 中，21sin 60°＝ADsin α，所以AD ＝21×sin αsin 60°＝15(千米)．所以这人还要再走15千米可到达城A .21．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2a ，△ABC 的面积为22sin A sin B ，求sin A 及c 的值． 解：(1)因为cos 2C ＋22cos C ＋2＝0， 所以2cos 2C ＋22cos C ＋1＝0， 即(2cos C ＋1)2＝0， 所以cos C ＝－22. 又C ∈(0，π)，所以C ＝3π4.(2)因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3a 2＋2a 2＝5a 2，所以c ＝5a ，即sin C ＝5sin A ， 所以sin A ＝15sin C ＝1010. 因为S △ABC ＝12ab sin C ，且S △ABC ＝22sin A sin B ， 所以12ab sin C ＝22sin A sin B ，所以absin A sin B sin C ＝2， 由正弦定理得⎝⎛⎭⎪⎫c sin C 2sin C ＝2，解得c ＝1.22．(本小题满分12分)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6的值．解：因为cos B ＝45＞0，所以0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35， 由正弦定理知AC sin B ＝ABsin C ，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2)在三角形ABC 中A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＝π－(B ＋C )． 于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝－cos B cos π4＋sin B sin π4，又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210， 因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210. 因此cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A ·sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620.。
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第一章解三角形检测试题(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.在△ABC中,a=3,b=,A=60°,则cos B等于( D )(A)± (B) (C)± (D)解析:由正弦定理得=,所以sin B===,因为b<a,所以cos B==,故选D.2.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=2,c=2,B=,则C等于( A )(A)(B)(C)(D)解析:由正弦定理,得sin C===,又b>c,所以C=,故选A.3.在△ABC中,三边a,b,c所对的角分别为A,B,C,若a2+b2=ab+c2,则角C为( B )(A)30° (B)45° (C)150° (D)135°解析:因为在△ABC中,由余弦定理a2+b2=c2+2abcos C,又a2+b2=ab+c2,所以cos C=,所以C=45°,故选B.4.△ABC中,=,则△ABC一定是( D )(A)等边三角形 (B)直角三角形(C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形解析:由条件知,acos B=bcos A,即sin Acos B-cos Asin B=sin(A-B)=0.所以A=B,故△ABC为等腰三角形.故选D.5.已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若a=2bcos A,B=,c=1,则△ABC的面积等于( C )(A) (B) (C) (D)解析:因为a=2bcos A,所以由正弦定理有sin A=2sin Bcos A,将B=代入,得tan A=.因为A是三角形内角,所以A=,所以△ABC是等边三角形,所以S△ABC=×12=.故选C.6.某人要利用无人机测量河流的宽度,如图,从无人机A处测得正前方河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时无人机的高是60米,则河流的宽度BC等于( C )(A)240 米(B)180(-1)米(C)120(-1)米(D)30(+1)米解析:在Rt△ABD中,AB===60(-).△ABC中,∠BAC=45°,∠C=30°,由正弦定理有=,所以BC=120(-1)(米).故选C.7.在△ABC中,A=60°,a=,b=4,那么满足条件的△ABC( C )(A)有一个解 (B)有两个解(C)无解 (D)不能确定解析:bsin A=4×sin 60°=4×=2.又a=,且<2,则△ABC无解.故选C.8.△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,S表示三角形的面积,若asin A+bsin B=csinC,S=(a2+c2-b2),则对△ABC的形状的精确描述是( D )(A)直角三角形 (B)等腰三角形(C)等腰或直角三角形 (D)等腰直角三角形解析:因为asin A+bsin B=csin C,由正弦定理可知a2+b2=c2,所以△ABC为直角三角形,又由三角形的面积公式,可知acsin B=(a2+c2-b2),即sin B==cos B,解得∠B=,综上所述,可得△ABC为等腰直角三角形,故选D.9.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A等于( D )(A)(B) (C) (D)解析:因为在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,所以AB=BC,由余弦定理得AC===BC,所以BC·BC=AB·ACsin A=×BC·BCsin A,所以sin A=,故选D.10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,<C<,=,a=3,sin B=,则b等于( A )(A)(B)2 (C)(D)2解析:由正弦定理,得=⇒=,整理得sin B=sin 2C,则sin(A+C)=sin 2C,因为<C<,所以A+C>,<2C<π,则A+C=2C,即A=C,a=c,由sin B=,得cos B=,所以b2=2a2-2a2cos B=3,解得b=.故选A.二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分)11.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=2,C=,tan A=,则sin A= ,b= .解析:由tan A=⇒sin A=,cos A=,由正弦定理得,=⇒c=a=5,b=ccos A+acos C=4+.答案:4+12.在△ABC中,BC=1,B=,△ABC的面积S=,则边AB等于,边AC等于.解析:=A B ·B C s i n B =×1·A B s i n ⇔A B =4,因此A C ==.答案:4 13.在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为3,b-c=2,cos A=-,则sin A= ,a 的值为 . 解析:因为cos A=-,所以sin A==,又S △ABC =bcsin A=×bc ×=3,所以bc=24.因为b-c=2,所以 由余弦定理有a 2=b 2+c 2-2bccos A=62+42-2×6×4×（-）=64.所以a=8. 答案: 814.在△ABC 中,已知AB=2,cos B=,若BC=3,AC 的长为 ;若点D 为AC 中点,且BD=,sin A 的值为 .解析:由余弦定理可知 AC==3;=⇒=⇒2||2-||2=9,又因为cos B==,从而可知所以sin A=sin B=.答案:315.如图,某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处,此时得知,该渔船正沿南偏东75°方向,以每小时9海里的速度向一小岛靠近,舰艇每小时行驶21海里,设舰艇在B处与渔船相遇,则舰艇与渔船相遇的最短时间是.解析:设舰艇到达渔船的最短时间是x小时,在△ABC中,AC=10,AB=21x,BC=9x,∠ACB=120°,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos∠ACB,即441x2=100+81x2-2×10·9x·cos 120°,化简,得36x2-9x-10=0,解得x=或x=-(舍去),即舰艇与渔船相遇的最短时间是40分钟.答案:40分钟16.在△ABC中,点D在直线AB上,CD⊥BC,AC=5,CD=5,BD=2AD,则AD的长为.解析:如图所示,延长BC,过A作AE⊥BC,垂足为E,因为CD⊥BC,所以CD∥AE,因为CD=5,BD=2AD,所以=,解得AE=,在Rt△ACE中,CE===,由=2得BC=2CE=5,在Rt△BCD中,BD===10,则AD=5.答案:517.已知△ABC满足BC·AC=2,若C=,=,则AB= .解析:因为=,所以==-,所以b=a,又ab=2,所以a=,b=2,c2=a2+b2-2abcos C=10,所以AB=c=.答案:三、解答题(本大题共5小题,共74分)18.(本小题满分14分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足acos B=bcos A.(1)判断△ABC的形状;(2)求sin B+cos（A+）的取值范围.解:(1)由acos B=bcos A,根据正弦定理,得sin Acos B=sin Bcos A,即sin(A-B)=0,在△ABC中,有-π<A-B<π,所以A-B=0,即A=B,所以△ABC是等腰三角形.(2)由(1),A=B,则sin B+cos（A+）=sin A+（cos A-sin A）=sin A+cos A=sin（A+）.因为A=B,所以0<A<,则<A+<,所以<sin（A+）≤1,于是sin B+cos（A+）的取值范围是（,1].19.(本小题满分15分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cos Bcos C.(1)求cos A;(2)若a=3,△ABC的面积为2,求b,c.解:(1)因为3(cos Bcos C+sin Bsin C)-1=6cos Bcos C,所以3cos Bcos C-3sin Bsin C=-1,所以3cos(B+C)=-1,所以cos(π-A)=-,所以cos A=.(2)由(1)得sin A=,由面积公式bcsin A=2可得bc=6 ①根据余弦定理得cos A===,则b2+c2=13,②①②两式联立可得b=2,c=3或b=3,c=2.20.(本小题满分15分)如图,我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛,小岛B与小岛A、小岛C相距都为5 n mile,与小岛D相距为3 n mile.小岛A对小岛B与D的视角为钝角,且sin A=.(1)求小岛A与小岛D之间的距离;(2)记小岛D对小岛B与C的视角为α,小岛B对小岛C与D的视角为β,求sin(2α+β)的值. 解:(1)因为sin A=,且角A为钝角,所以cos A=-=-.在△ABD中,由余弦定理得AD2+AB2-2AD·AB·cos A=BD2,所以AD2+52-2AD·5·(-)=(3)2,所以AD2+8AD-20=0,解得AD=2或AD=-10(舍去),所以小岛A与小岛D之间的距离为2 n mile.(2)在△BCD中,由正弦定理,=,即=,解得sin α=,由BC<BD,所以α为锐角,所以cos α=,又sin(α+β)=sin(180°-C)=sin C=,cos(α+β)=cos(180°-C)=-cos C=-,所以sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]=sin αcos(α+β)+cos αsin(α+β)=.21.(本小题满分15分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,b=4,B=+A.(1)求tan A的值;(2)求c的值.解:(1)因为a=3,b=4,B=+A,所以由正弦定理可得==,所以3cos A=4sin A,可得tan A==.(2)由(1)得tan B=tan(+A)=-=-,所以cos B=-=-,sin B==,sin A=sin(B-)=-cos B=,cos A=,所以cos C=-cos(A+B)=sin Asin B-cos Acos B=×-×(-)=,所以c===.22.(本小题满分15分)如图,在△A B C中,∠A,∠A B C,∠C所对的边分别为a,b,c,且asin Acos C+csin Acos A=c, D为AC边上一点.(1)若c=2b=4,S△BCD=,求DC的长;(2)若D是AC的中点,且cos∠ABC=,BD=,求△ABC的最短边的边长.解:因为asin Acos C+csin Acos A=c,所以sin Asin Acos C+sin Csin Acos A=sin C,即sin Asin∠ABC=sin C.(1)因为c=2b,所以sin C=2sin∠ABC,则sin A=,所以S△ABC=bcsin A=,因为AC=2,S△BCD=,=,所以CD=.(2)由cos∠ABC=得sin∠ABC=,因为C=π-(A+∠ABC),所以3sin A=sin(A+∠ABC),则sin A=cos A,得tan A=1,所以A=,则c2+b2-bc=26,因为sin A×=sin C且sin∠ABC×=sin C, 所以c=a,b=c=a,所以a2+a2-a2=26.解得a=2,所以b=2,c=6.所以△ABC的最短边的边长为2.。