第1章 随机事件与概率1-1

(H,H):
(H,T)：
H H T T
(T,H):
(T,T)：
在每次试验中必有 一个样本点出现且仅 有一个样本点出现 .
概率论
若试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面出现 的次数： 则样本空间
{0,1,2}
由以上两个例子可见,样本空间的元素是由试验的 目的所确定的. 如果试验是测试某灯泡的寿命： 则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界， 所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果， 故 样本空间
事件 B 相等 或称等价 , 记作 A B .
A B
BB A
概率论
2. 和事件 : 事件 A、B 至少有一个发生所构成 的 事件叫做事件 A 与事件 B 的和 .记作 A B . 、An 中至少有一个发 类似地 , 称事件 A1、A2、
、 A 的和事件 . 记之为 生的事件为事件 A1、A2、 n n A1 A2 An , 简记为 Ai . i 1 中至少有一个发生的事 件为 称事件 A1、A2、 事件 A1、A2、 的和事件 . 记之为 A1 A2 ,
概率论
五、事件间的关系与事件的运算
设试验 E 的样本空间为 , A、B、C、A1、A2 试验 E 的事件 . 1.包含关系 : 如果事件 A 发生必然导致事件 B 发生 , 则称事件 B 包含事件 A (或称事件A 是事件 B 的子事件 ) , 记作 A B 或 B A . 对于任何事件 A , 都有 A 相等关系 若 A B 且 B A , 则称事件 A 与
件 A1、A2、 的积事件 . 记之为 A1 A2 ,简记为
i 1
Ai .

A
B
AB
概率论
例如 B 2,4 , C 1,2,3,5, 则 B C 1,2,3,4,5 ,
则 B C 2 .
性质
1 A A B , B A 温度和最低温度 .
E7 : 将一枚硬币抛掷三次,观察正面 H 出现的次数.
概率论
上述试验具有下列共同的特点:
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行;
(2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事 先明确试验的所有可能的结果; (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现. 在概率论中将具有上述特点的试验称为随机试 验. 用 E表示随机试验.
概率论
例1 写出下列随机试验的样 本空间 . E1 : 抛一枚硬币, 观察正面 H 和反面 T 出现的情况 .
1 : H , T
E7 : 将一枚硬币抛掷三次,观察正面 H 出现的次数.
2 : 0 , 1,2,3
E3 : 记录电话交换台一分钟 内接到的呼唤次数 .
3 : 0 , 1,2, 3,
这场革命为研究新的设想,发展自然科学知 识,繁荣人类生活,开拓了道路.而且也改变了我 们的思维方法,使我们能大胆探索自然的奥秘.
概率论
下面我们就来开始一门“将不定性数量化” 的课程的学习，这就是
概率论
现在我们来考察一下不定性现象的特点
例如: 在相同的条件下抛同一枚硬币, 其结果 可能是正面朝上, 也可能是反面朝上, 并且在 每次抛掷之前无法肯定抛掷的结果是什么. 又如:一门火炮在一定条件下向同一 目标进行射击,各次的弹着点不尽相 同,在一次射击之前无法预测弹着点 的确切位置.
A B
概率论
6. 差事件 : 称事件 A 发生而事件 B 不发生所构
成的事件为事件 A 与事件 B 的差事件 , 记作 A B .
概率论
第一章 随机事件与概率
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 随机事件及其运算 概率的定义及其确定方法 概率的性质 条件概率 独立性
概率论
§1.1 随机事件及其运算
一.随机现象
考察下面的现象:
A. 太阳从东方升起； B. 明天的最高温度； C. 上抛物体一定下落；
确定性现象
D. 新生婴儿的体重.
样本空间中的元素 , 即 E 的每个结果 , 称为 样本点 .

.
样本点
现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的 工具 .
概率论
例如,试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面H、 反面T出现的情况:
则样本空间
={(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)}
第 2次
H T H T
第 1次
又如:在一个容器内有许多气体分子,每 个气体分子的运动存在着不定性 , 无法 预言它在指定时刻的动量和方向 . 但大 量分子的平均活动却呈现出某种稳定性, 如在一定的温度下 , 气体对器壁的压力 是稳定的,呈现“无序中的规律”.
概率论
特点 2 不定性现象在大量重复观察或试验下，它的 结果却呈现出固有规律性.
= {t ：t ≥0｝
概率论
调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支 出，结果可以用（x，y）表示，x，y分别是烟、 酒年支出的元数.
这时，样本空间由坐标平面第一象限内一定区域 内一切点构成 .
也可以按某种标准把支出分为高、中、低三 档. 这时，样本点有（高,高）,（高,中），…， (低,低）等9种，样本空间就由这9个样本点构成 .
概率论
寿命试验 测试在同一工艺条件下生产 出的灯泡的寿命.
E6 : 记录某地一昼夜的最高 温度和最低温度 .
试验是在一定条件下进行的
概率论
E2 : 将一枚硬币抛掷三次, 观察正面 H 和反面 T 出现 的情况.
E7 : 将一枚硬币抛掷三次,观察正面 H 出现的次数.
试验有一个需要观察的目的
概率论
概率论
几个具体试验
E1 : 抛一枚硬币, 观察正面 H 和反面 T 出现的情况 .
E2 : 将一枚硬币抛掷三次, 观察正面 H 和反面 T 出现 的情况.
概率论
E3 : 抛一颗骰子 , 观察出现的点数 .
E 4 : 记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数 . E5 : 在一批灯泡中任意抽取一支,测试它的寿命.
我们注意到 试验是在一定条件下进行的
试验有一个需要观察的目的
根据这个目的, 试验被观察到多个不同的结果.
试验的全部可能结果,是在试验前就明确的; 或者虽不能确切知道试验的全部可能结果,但可 知道它不超过某个范围.
概率论
三、样本空间
一个随机试验 E 的所有可能结果所组成 的集合
称为随机试验 E 的 样本空间 ,记为 .
概率论
前面我们了解到，随机现象有其偶然性的 一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现 在大量重复试验或观察中呈现出的固有规律性， 称为随机现象的统计规律性.而概率论正是研 究随机现象统计规律性的一门学科. 现在，就让我们一起，步入这充满随机性的 世界，开始第一步的探索和研究.
概率论
从观察试验开始
研究随机现象,首先要对研究对象进行 观察试验. 这里的试验是一个含义广泛的术 语.它包括各种各样的科学试验,甚至对某一 事物的某一特征的观察也认为是一种试验.
A B A , A B B;
2 A A B A , B A B B ; 3 A A A , A A A ;
4 若 B A , 则 AB A , A B B.
概率论
4.互斥事件 : 若事件 A 、B 不能同时发生,即
例2 一个袋中装在 8 个大小完全相同的球 , 其中 有 4 个是白色的 , 4 个是红色的 , 搅匀后从中任取 一球 ,求此随机试验的样本空间 .
: 白球 , 红球
概率论
请注意： 实际中,在进行随机试验时,我们往往 会关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合. 例如在测试某灯泡的寿命这一试验中,若规定 灯泡的寿命 (小时) 小于500为次品, 那么我们关心 灯泡的寿命 t 是否满足 t 500 . 或者说, 我们关心 满足这一条件的样本点组成的一个集合{t t 500} . 这就是
概率论
基本事件: 由一个样本点组成的单点集. (相对于观察目的不可再分解的事件) 如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .
事件 Ai ={掷出i点}, i =1,2,3,4,5,6 基本事件 事件 B={掷出奇数点}
概率论
当且仅当集合A中的一个样本点出现时,称 事件A发生. 如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .
特点 1 当人们在一定的条件下对不定性现象加以观 察或进行试验时，观察或试验的结果是多个可能结果 中的某一个. 而且在每次试验或观察前都无法确知其 结果.
概率论
例如:一门火炮在一定条件下进行射击, 个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随 机性的误差, 但大量炮弹的弹着点则表 现出一定的规律性,如一定的命中率,一 定的分布规律等等.
简记为 Ai .
i 1

A
A B
B
概率论
3. 积事件 : 事件 A、B 同时发生所构成的事件 叫做事件 A 与事件 B 的积事件 .记作 A B 或 AB . 、An 同时发生所构成的 类似地 , 称事件A1、A2、 、A 的积事件 . 记之为 的事件为事件 A1、A2、 n n A1 A2 An , 简记为 Ai . i 1 、同时发生所构成的事件为事 称事件 A1、A2、
统计规律性 在个别试验中其结果呈现出不确定性,在大量重复 观察或试验中其结果却具有统计规律性的现象,称为随 机现象.
概率论
从表面上看,随机现象的每一次观察结果都是 随机的,但多次观察某个随机现象,便可以发现,在 大量的偶然之中存在着必然的规律.
概率论
概率论的研究对象
随机现象的统计规律性
二.随机试验
概率论
四、随机事件
试验 E的样本空间 的子集称为E 的随机事件.
随机事件简称事件 , 常用 A, B, C 等表示 .