高中数学选修2-1新教学案:第三章空间向量与立体几何检测题
高中数学选修2-1《空间向量与立体几何》测试题
高二数学空间向量测试题第一卷一 选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的) 1、在以下命题中:①假设向量a 、b 共线,那么a 、b 所在的直线平行;②假设向量a 、b 所在的直线是异面直线,那么a 、b 一定不共面; ③假设a 、b 、c 三向量两两共面,那么a 、b 、c 三向量一定也共面;④三向量a 、b 、c ,那么空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p =x a +y b +z c . 其中正确命题的个数为 〔 〕A .0 B. 1 C. 2 D. 3 2、空间四边形ABCD 中,,,,c AD b BC a AB ===那么=CD ( )A .c b a -+B.c b a --C .c b a +--D .c b a ++-3、平行四边形ABCD 中,A (4,1,3)、B (2,-5,1)、C (3,7,-5),那么顶点D 的坐标为( )A .)1,4,27(-B .(2,3,1)C .(-3,1,5)D .(5,13,-3)4、a =(-1,-5,-2),b =(2,2,+x x ),假设b a ⊥,那么x =( )A .0B .314-C .-6D .±65、设a =(2,1,-m ),b =(n ,4,3-),假设b a //,那么m ,n 的值分别为( )A .43,8 B .43-,—8 C .43-,8 D .43,-8 6、向量a (0,2,1),b (-1,1,-2),那么a 与b 的夹角为( )A .0°B .45°C .90°D .180°7、假设斜线段AB 是它在平面α 内的射影长的2倍,那么AB 与α 所成的角为( )A .60°B .45°C .30°D .120°8、a =〔2,-1,3〕,b =〔-1,4,-2〕,c =〔7,5,λ〕,假设a 、b 、c 三向量共面,那么实数λ等于 〔 〕A .627 B. 637 C. 647 D. 6579、在正三角形ABC 中,AD ⊥BC 于D ,沿AD 折成二面角B -AD -C 后,AB BC 21=,这时二面角B -AD -C 的大小为( )A .60°B .45°C .90°D .120°10、矩形ABCD 中,AB =1,2=BC ,P A ⊥平面ABCD ,P A =1,那么PC 与平面ABCD 所成的角是( ) A .30°B .45°C .60°D .90°11、设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点,且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB那么△BCD 是 〔 〕 A .钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定12、P A 、PB 、PC 是从P 点引出的三条射线,每两条的夹角为60°,那么直线PC 与平面APB所成角的余弦值为( )A .21 B .36 C .33 D .23第二卷二、填空题13、向量a =(4,-2,-4),b =(6,-3,2),那么a 在b 方向上的投影是______. 14、)1,1,2(),2,0,1(==AC AB ,那么平面ABC 的一个法向量为____________.15、∠BOC 在平面α 内,OA 是平面α 的一条斜线,假设∠AOB =∠AOC =60°,OA =OB =OC =a ,BC =2a ,那么OA 与平面α 所成的角是______.16、以下命题中:(1)0=⋅b a 那么a =0或b =0;(2)==⋅⋅⋅⋅⋅22||||)3();()(q p c b a c b a2)(q p ⋅;(4)假设a 与b c a c b a ⋅⋅⋅⋅-)()(均不为0,那么它们必垂直.其中真命题的序号是______.三、解答题17、如图,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,1,,AA b AD a AB ==,2,MC AM c ==ND N A 21=,试用基底},,{c b a 表示.MN18、如图,底面ABCD 为矩形,侧棱P A ⊥底面ABCD ,3=AB ,BC =1,P A =2,求直线AC与PB 所成角的余弦值.19、一条线段夹在一个直二面角的两个面内,它和两个面所成的角都是30°,求这条线段与这个二面角的棱所成的角。
高中数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元检测卷含解析
选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.空间四个点O 、A 、B 、C ,OA →,OB →,OC →为空间的一个基底,则下列说法不正确的是( ) A .O 、A 、B 、C 四点不共线 B .O 、A 、B 、C 四点共面,但不共线 C .O 、A 、B 、C 四点中任意三点不共线 D .O 、A 、B 、C 四点不共面2.已知a +3b 与7a -5b 垂直,且a -4b 与7a -2b 垂直,则〈a ,b 〉等于( ) A .30° B .60° C .90° D .45°3.已知A (2,-5,1),B (2,-2,4),C (1,-4,1),则向量AB →与AC →的夹角为( ) A .30° B .45° C .60° D .90°4.已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,点E 为上底面A 1C 1的中心,若AE →=AA 1→+xAB →+yAD →,则x ,y 的值分别为( )A .x =1,y =1B .x =1,y =12C .x =12,y =12D .x =12,y =135.设E ,F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点,在正方体的12条面对角线中,与截面A 1ECF 成60°角的对角线的数目是( )A .0B .2C .4D .66.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点,如果AB →=(2,-1,-4),AD →=(4,2,0),AP →=(-1,2,-1).对于结论:①AP ⊥AB ;②AP ⊥AD ;③AP →是平面ABCD 的法向量;④AP →∥ BD →.其中正确的个数是( )A .1B .2C .3D .47.已知a =(-3,2,5),b =(1,x ,-1)且a·b =2,则x 的值是( ) A .3 B .4 C .5 D .68.设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点,且满足AB →·AC →=0,AC →·AD →=0,AB →·AD →=0,则△BCD 是( ) A .钝角三角形 B .锐角三角形 C .直角三角形 D .不确定9.正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,若∠BAC =90°,AB =AC =AA 1,则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A .30°B .45°C .60°D .90° 10.若向量a =(2,3,λ),b =⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,1,63的夹角为60°,则λ等于( ) A.2312 B.612 C.23612 D .-2361211.已知OA →=(1,2,3),OB →=(2,1,2),OP →=(1,1,2),点Q 在直线OP 上运动,则当QA →·QB →取得最小值时,点Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,34,13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,32,34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43,43,83D.⎝ ⎛⎭⎪⎫43,43,73 12.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角的余弦值为( ) A.12 B.32 C.13 D.33第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)13.若向量a =(1,1,x ),b =(1,2,1),c =(1,1,1),满足条件(c -a )·(2b )=-2,则x =________. 14.若A ⎝⎛⎭⎪⎫0,2,198,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-1,58,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2,1,58是平面α内的三点,设平面α的法向量a =(x ,y ,z ),则x ∶y ∶z =__________.15.平面α的法向量为m =(1,0,-1),平面β的法向量为n =(0,-1,1),则平面α与平面β所成二面角的大小为__________. 16.在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,∠ABC =90°,AB =BC =AA 1=2,点D 是A 1C 1的中点,则异面直线AD 和BC 1所成角的大小为________.三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)如图,已知ABCD —A 1B 1C 1D 1是平行六面体.设M 是底面ABCD 的中心,N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的34分点,设MN →=αAB →+βAD →+γAA 1→,试求α、β、γ的值.18.(本小题满分12分)如图,四棱锥S —ABCD 的底面是边长为2a 的菱形,且SA =SC =2a ,SB =SD =2a ,点E 是SC 上的点,且SE =λa (0<λ≤2).(1)求证:对任意的λ∈(0,2],都有BD ⊥AE ;(2)若SC ⊥平面BED ,求直线SA 与平面BED 所成角的大小.19.( 本小题满分12分)已知空间三点A (-2,0,2),B (-1,1,2),C (-3,0,4),设a =AB →,b =AC →. (1)求a 和b 的夹角θ的余弦值;(2)若向量ka +b 与ka -2b 互相垂直,求k 的值.20.(本小题满分12分)如图所示,在三棱锥S —ABC 中,SO ⊥平面ABC ,侧面SAB 与SAC 均为等边三角形,∠BAC =90°,O 为BC 的中点,求二面角A —SC —B 的余弦值.21.(本小题满分12分)如图,在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=4,E是PD的中点.(1)求证:平面PDC⊥平面PAD;(2)求点B到平面PCD的距离.22.(本小题满分12分)如图,四棱锥S—ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的2倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证: AC ⊥SD ;(2)若SD ⊥平面PAC ,求二面角P —AC —D 的大小;(3)在(2)的条件下,侧棱SC 上是否存在一点E ,使得BE ∥平面PAC .若存在,求SE ∶EC 的值;若不存在,试说明理由.选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元检测题参考答案【第1题解析】如果O 、A 、B 、C 四点共面,则OA ,OB ,OC 共面,则OA ,OB ,OC 不可能为空间的一个基底.故选B.【第4题解析】AE →=AA 1→+A 1E →=AA 1→+12(A 1B 1→+A 1D 1→)=AA 1→+12AB →+12AD →,由空间向量的基本定理知,x =y =12.故选C.【第5题解析】利用线面角的公式可以求得其中有BD ,11B D ,11,B A C D 四条直线对角线满足题意,由题得C 是正确答案,故选C.【第6题解析】∵AB →·AP →=-2-2+4=0,∴AP ⊥AB ,①正确;∵AP →·AD →=-4+4=0,∴AP ⊥AD ,②正确;由①②知AP →是平面ABCD 的法向量,∴③正确,④错误.故选C. 【第7题解析】32525x x -+-=∴=,故选C.【第8题解析】△BCD 中,BC →·BD →=(AC →-AB →)·(AD →-AB →)=AB →2>0.∴∠B 为锐角,同理,∠C ,∠D 均为锐角,∴△BCD 为锐角三角形.故选B. 【第9题解析】建系如图,设AB =1,则B (1,0,0),A 1(0,0,1),C 1(0,1,1).∴BA 1→=(-1,0,1),A C 1→=(0,1,1)∴cos 〈BA 1→,A C 1→〉==12·2=12.∴〈BA 1→,A C 1→〉=60°,即异面直线BA 1与AC 1所成的角等于60°.故选C.【第11题解析】∵Q 在OP 上,∴可设Q (x ,x,2x ),则QA →=(1-x ,2-x,3-2x ),QB →=(2-x,1-x,2-2x ).∴QA →·QB →=6x 2-16x +10,∴x =43时,QA →·QB →最小,这时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43,43,83.故选C.【第12题解析】以点D 为原点,DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A 1C →=(-1,1,-1),A C 1→=(-1,1,1).可以证明A 1C ⊥平面BC 1D ,AC 1⊥平面A 1BD .又cos 〈A C 1→,A 1C →〉=13,结合图形可知平面A 1BD 与平面C 1BD所成二面角的余弦值为13.故选C.【第13题解析】∵a =(1,1,x ),b =(1,2,1),c =(1,1,1),∴c -a =(0,0,1-x ),2b =(2,4,2). ∴(c -a )·(2b )=2(1-x )=-2,∴x =2. 故填2.【第14题解析】AB →=⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-3,-74,AC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-2,-1,-74,由a ·AB →=0,a ·AC →=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =23y z =-43y ,x ∶y ∶z =23y ∶y ∶⎝ ⎛⎭⎪⎫-43y =2∶3∶(-4).故填2∶3∶(-4)【第15题解析】∵cos 〈m ,n 〉=m·n |m||n |=-12·2=-12,∴〈m ,n 〉=120°,即平面α与β所成二面角的大小为60°或120°.故填60°或120°. 【第16题解析】建立如图所示坐标系,则AD →=(-1,1,-2), B C 1→=(0,2,-2), ∴cos 〈AD →,B C 1→〉=622·6=32,∴〈AD →,B C 1→〉=π6.即异面直线AD 和BC 1所成角的大小为π6.故填π6.【第18题答案】(1)证明见解析;(2)SA 与平面BED 所成的角为π6.【第18题解析】(1)证明 连结BD ,AC ,设BD 与AC 交于O .由底面是菱形,得BD ⊥AC . ∵SB =SD ,O 为BD 中点, ∴BD ⊥SO . 又AC ∩SO =O , ∴BD ⊥面SAC .又AE ⊂面SAC ,∴BD ⊥AE . (2)解 由(1)知BD ⊥SO ,同理可证AC ⊥SO ,∴SO ⊥平面ABCD .取AC 和BD 的交点O 为原点建立如图所示的坐标系,设SO =x ,则OA =4a 2-x 2,OB =2a 2-x 2. ∵OA ⊥OB ,AB =2a ,∴(4a 2-x 2)+(2a 2-x 2)=4a 2,解得x =a .∴OA =3a ,则A (3a,0,0),C (-3a,0,0),S (0,0,a ). ∵SC ⊥平面EBD ,∴SC →是平面EBD 的法向量. ∴SC →=(-3a,0,-a ),SA →=(3a,0,-a ). 设SA 与平面BED 所成角为α,则sin α=||||||SC SA SC SA ⋅⋅=|-3a 2+a 2|3+1a·3+1a =12, 即SA 与平面BED 所成的角为π6.(2)ka +b =(k ,k,0)+(-1,0,2)=(k -1,k,2),ka -2b =(k ,k,0)-(-2,0,4)=(k +2,k ,-4),∴ (k -1,k,2)·(k +2,k ,-4) =(k -1)(k +2)+k 2-8=0. 即2k 2+k -10=0,∴k =-52或k =2.【第20题答案】二面角A —SC —B 的余弦值为33. 【第20题解析】以O 为坐标原点,射线OB ,OA ,OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴,建立如图所示的空直角坐标系Oxyz .设B (1,0,0),则C (-1,0,0),A (0,1,0),S (0,0,1),SC 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,0,12.【第21题答案】(1)证明见解析;(2)455. 【第21题解析】(1)证明 如图,以A 为原点,AD 、AB 、AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则依题意可知A (0,0,0),B (0,2,0),C (4,2,0),D (4,0,0),P (0,0,2).∴PD →=(4,0,-2),CD →=(0,-2,0),PA →=(0,0,-2).设平面PDC 的一个法向量为n =(x ,y,1),则⇒⎩⎪⎨⎪⎧ -2y =04x -2=0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ y =0x =12,所以平面PCD 的一个法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,1. ∵PA ⊥平面ABCD ,∴PA ⊥AB ,又∵AB ⊥AD ,PA ∩AD =A ,∴AB ⊥平面PAD .∴平面PAD 的法向量为AB →=(0,2,0).∵n ·AB →=0,∴n ⊥AB →.∴平面PDC ⊥平面PAD .(2)由(1)知平面PCD 的一个单位法向量为n |n|=⎝ ⎛⎭⎪⎫55,0,255. ∴=⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 4,0,0 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫55,0,255=455,∴点B 到平面PCD 的距离为455.于是S (0,0,62a ),D ⎝ ⎛⎭⎪⎫-22a ,0,0,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,22a ,0,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ,0,0, OC →=⎝⎛⎭⎪⎫0,22a ,0, SD →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-22a ,0,-62a ,∴OC →·SD →=0.∴OC ⊥SD ,即AC ⊥SD .(2)由题意知,平面PAC 的一个法向量DS →=⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ,0,62a ,平面DAC 的一个法向量 OS →=⎝ ⎛⎭⎪⎫0,0,62a , 设所求二面角为θ,则cos θ==32, 故所求二面角P —AC —D 的大小为30°.。
数学选修2-1苏教版:第3章 空间向量与立体几何 章末检测试卷(三)
章末检测试卷(三)(时间:120分钟 满分:160分)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)1.已知a =(-3,2,5),b =(1,x ,-1),且a ·b =2,则x 的值是________. 答案 5解析 ∵a ·b =-3+2x -5=2, ∴x =5.2.如图,在空间四边形OABC 中,OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ,点M 在OA 上,且OM =2MA ,点N 为BC 的中点,则MN →=________.(用a ,b ,c 表示)答案 -23a +12b +12c解析 如图,连结ON ,由向量的加法法则,可知MN →=MO →+ON →=-23OA →+12(OB →+OC →)=-23a +12(b +c )=-23a +12b +12c .3.设i ,j ,k 为单位正交基底,已知a =3i +2j -k ,b =i -j +2k ,则5a ·3b =________. 答案 -15解析 ∵a =(3,2,-1),b =(1,-1,2),∴5a ·3b =15a ·b =-15.4.设平面α,β的法向量分别为u =(1,2,-2),v =(-3,-6,6),则α,β的位置关系为________.考点 向量法求解平面与平面的位置关系 题点 向量法解决面面平行 答案 平行或重合解析 ∵平面α,β的法向量分别为u =(1,2,-2),v =(-3,-6,6),满足v =-3u ,∴α∥β或重合.5.若空间向量a ,b 满足|a |=|b |=1,且a 与b 的夹角为60°,则a ·a +a ·b =________. 答案 32解析 由空间向量数量积的性质,知a ·a =|a |2=1. 由空间向量数量积的定义,得a ·b =|a ||b |cos 〈a ,b 〉=1×1×cos60°=12,从而a ·a +a ·b =1+12=32.6.A ,B ,C ,D 是空间不共面的四点,且满足AB →·AC →=0,AC →·AD →=0,AB →·AD →=0,M 为BC 中点,则△AMD 为________三角形. 答案 直角解析 ∵M 为BC 中点, ∴AM →=12(AB →+AC →).∴AM →·AD →=12(AB →+AC →)·AD →=12AB →·AD →+12AC →·AD →=0. ∴AM ⊥AD ,△AMD 为直角三角形.7.在三棱锥P -ABC 中,CP ,CA ,CB 两两垂直,AC =CB =1,PC =2,如图,建立空间直角坐标系,则下列向量中是平面P AB 的法向量的是________.(填序号)①⎝⎛⎭⎫1,1,12;②(1,2,1);③(1,1,1);④(2,-2,1). 答案 ①解析 由题意知,C (0,0,0),A (1,0,0),B (0,1,0),P (0,0,2),则P A →=(1,0,-2),AB →=(-1,1,0), 设平面P AB 的一个法向量为n =(x ,y,1),则⎩⎪⎨⎪⎧ x -2=0,-x +y =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =2,∴n =(2,2,1).又⎝⎛⎭⎫1,1,12=12n ,∴①正确. 8.已知Rt △ABC 中,∠C =90°,∠B =30°,AB =4,D 为AB 的中点,沿中线将△ACD 折起使得AB =13,则二面角A -CD -B 的大小为________. 答案 120°解析 如图,取CD 中点E ,在平面BCD 内过点B 作BF ⊥CD ,交CD 延长线于点F .据题意知AE ⊥CD ,AE =BF =3,EF =2,AB =13. 且〈EA →,FB →〉为二面角的平面角, 由AB →2=(AE →+EF →+FB →)2得13=3+3+4+2×3×cos 〈AE →,FB →〉, ∴cos 〈EA →,FB →〉=-12,又∵〈EA →,FB →〉∈[0°,180°], ∴〈EA →,FB →〉=120°. 即所求的二面角为120°.9.如图,在空间四边形ABCD 中,AC 和BD 为对角线,G 为△ABC 的重心,E 是BD 上一点,BE =3ED ,若以{AB →,AC →,AD →}为基底,则GE →=________.答案 -112AB →-13AC →+34AD →解析 GE →=AE →-AG →=AD →+DE →-23AM →=AD →+14DB →-13(AB →+AC →)=AD →+14AB →-14AD →-13AB →-13AC →=-112AB →-13AC →+34AD →.10.如图,在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中,AB =8,AD =6,AA ′=8,∠BAD =∠BAA ′=∠DAA ′=60°,则AC ′的长为________.答案 18解析 ∵AC ′—→=AC →+CC ′—→=AB →+AD →+AA ′—→,|AC ′—→|2=(AB →+AD →+AA ′—→)2=|AB →|2+|AD →|2+|AA ′—→|2+2(AB →·AD →+AB →·AA ′—→+AD →·AA ′—→) =82+62+82+2×(24+32+24)=324, ∴|AC ′—→|=324=18.11.如图,S 是正三角形ABC 所在平面外一点,M ,N 分别是AB 和SC 的中点,SA =SB =SC ,且∠ASB =∠BSC =∠CSA =90°,则异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为________.答案105解析 不妨设SA =SB =SC =1,以点S 为坐标原点,SA ,SB ,SC 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系S -xyz ,则相关各点坐标为A (1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1),S (0,0,0),M ⎝⎛⎭⎫12,12,0,N ⎝⎛⎭⎫0,0,12. 因为SM →=⎝⎛⎭⎫12,12,0, BN →=⎝⎛⎭⎫0,-1,12, 所以|SM →|=12,|BN →|=54, SM →·BN →=-12,cos 〈SM →,BN →〉=SM →·BN →|SM →| |BN →|=-105,因为异面直线所成的角为锐角或直角, 所以异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为105. 12.如图所示,已知二面角αlβ的平面角为θ⎝⎛⎭⎫θ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,AB ⊥BC ,BC ⊥CD ,AB 在平面β内,BC 在l 上,CD 在平面α内,若AB =BC =CD =1,则AD 的长为________.答案3-2cos θ解析 因为AD →=AB →+BC →+CD →,所以AD →2=AB →2+BC →2+CD →2+2AB →·CD →+2AB →·BC →+2BC →·CD →=1+1+1+2cos(π-θ)=3-2cos θ.所以|AD →|=3-2cos θ, 即AD 的长为3-2cos θ.13.已知OA →=(1,2,3),OB →=(2,1,2),OP →=(1,1,2),点Q 在直线OP 上运动,则当QA →·QB →取得最小值时,点Q 的坐标为________. 答案 ⎝⎛⎭⎫43,43,83解析 设Q (x ,y ,z ),因为Q 在OP →上,故有OQ →∥OP →, 设OQ →=λOP →(λ∈R ),可得x =λ,y =λ,z =2λ, 则Q (λ,λ,2λ),QA →=(1-λ,2-λ,3-2λ), QB →=(2-λ,1-λ,2-2λ),所以QA →·QB →=6λ2-16λ+10=6⎝⎛⎭⎫λ-432-23, 故当λ=43时,QA →·QB →取最小值,此时Q ⎝⎛⎭⎫43,43,83. 14.给出下列命题:①若AB →=CD →,则必有A 与C 重合,B 与D 重合,AB 与CD 为同一线段; ②若a ·b <0,则〈a ,b 〉是钝角;③若a 为直线l 的方向向量,则λa (λ∈R )也是l 的方向向量;④非零向量a ,b ,c 满足a 与b ,b 与c ,c 与a 都是共面向量,则a ,b ,c 必共面. 其中不正确的命题为________.(填序号) 答案 ①②③④解析 ①错误,如在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB →=A 1B 1—→,但线段AB 与A 1B 1不重合;②错误,a ·b <0,即cos 〈a ,b 〉<0⇒π2<〈a ,b 〉≤π,而钝角的取值范围是⎝⎛⎭⎫π2,π;③错误,当λ=0时,λa =0不能作为直线l 的方向向量;④错误,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,令AB →=a ,AD →=b ,AA 1—→=c ,则它们两两共面,但显然AB →,AD →,AA 1—→是不共面的. 二、解答题(本大题共6小题,共90分)15.(14分)已知空间三点A (-2,0,2),B (-1,1,2),C (-3,0,4),设a =AB →,b =AC →. (1)求a 和b 的夹角θ的余弦值;(2)若向量k a +b 与k a -2b 互相垂直,求k 的值. 解 a =AB →=(-1,1,2)-(-2,0,2)=(1,1,0), b =AC →=(-3,0,4)-(-2,0,2)=(-1,0,2). (1)cos θ=a ·b |a ||b |=-1+0+02×5=-1010,∴a 与b 的夹角θ的余弦值为-1010. (2)k a +b =(k ,k,0)+(-1,0,2)=(k -1,k,2), k a -2b =(k ,k,0)-(-2,0,4)=(k +2,k ,-4), ∴(k -1,k,2)·(k +2,k ,-4) =(k -1)(k +2)+k 2-8=0. 即2k 2+k -10=0, ∴k =-52或k =2.16.(14分)已知空间内三点A (0,2,3),B (-2,1,6),C (1,-1,5). (1)求以向量AB →,AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ;(2)若向量a 与向量AB →,AC →都垂直,且|a |=3,求向量a 的坐标. 解 (1)∵AB →=(-2,-1,3),AC →=(1,-3,2),∴cos ∠BAC =AB →·AC →|AB →||AC →|=714×14=12,又∵∠BAC ∈[0°,180°],∴∠BAC =60°,∴S =|AB →||AC →|sin60°=7 3. (2)设a =(x ,y ,z ),由a ⊥AB →,得-2x -y +3z =0, 由a ⊥AC →,得x -3y +2z =0, 由|a |=3,得x 2+y 2+z 2=3, ∴x =y =z =1或x =y =z =-1. ∴a =(1,1,1)或a =(-1,-1,-1).17.(14分)如图所示,已知几何体ABCD -A 1B 1C 1D 1是平行六面体.(1)化简12AA 1—→+BC →+23AB →,并在图上标出结果;(2)设M 是底面ABCD 的中心,N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的点,且C 1N =14C 1B ,设MN→=αAB →+βAD →+γAA 1—→,试求α,β,γ的值.解 (1)取AA 1的中点E ,在D 1C 1上取一点F ,使得D 1F =2FC 1,连结EF ,则12AA 1—→+BC →+23AB → =EA 1—→+A 1D 1—→+D 1F —→=EF →. (2)MN →=MB →+BN → =12DB →+34BC 1—→ =12(DA →+AB →)+34(BC →+CC 1—→)=12AB →+14AD →+34AA 1—→, 所以α=12,β=14,γ=34.18.(16分)如图所示,已知直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)ABC -A 1B 1C 1中,AC ⊥BC ,D 是AB 的中点,AC =BC =BB 1.(1)求证:BC 1⊥AB 1; (2)求证:BC 1∥平面CA 1D .证明 如图所示,以C 1为坐标原点,C 1A 1,C 1B 1,C 1C 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,设AC =BC =BB 1=2,则A (2,0,2),B (0,2,2),C (0,0,2),A 1(2,0,0),B 1(0,2,0),C 1(0,0,0),D (1,1,2).(1)由于BC 1—→=(0,-2,-2),AB 1—→=(-2,2,-2), ∴BC 1—→·AB 1—→=0-4+4=0, 即BC 1—→⊥AB 1—→,故BC 1⊥AB 1. (2)取A 1C 的中点E ,连结DE . 由于E (1,0,1),∴ED →=(0,1,1),又BC 1—→=(0,-2,-2), ∴ED →=-12BC 1—→,且ED 与BC 1不共线,∴ED ∥BC 1,又ED ⊂平面CA 1D ,BC 1⊄平面CA 1D , ∴BC 1∥平面CA 1D .19.(16分)如图,已知四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,且ABCD 为正方形,P A =AB =a ,点M 是PC 的中点.(1)求BP 与DM 所成的角的大小; (2)求二面角M -DA -C 的大小.解 (1)以A 为坐标原点,AB →,AD →,AP →为x 轴,y 轴,z 轴正方向,建立空间直角坐标系. 由已知得A (0,0,0),B (a,0,0),C (a ,a,0),D (0,a,0),P (0,0,a ),M ⎝⎛⎭⎫a 2,a 2,a 2.设直线BP 与DM 所成的角为θ. ∵BP →=(-a,0,a ),DM →=⎝⎛⎭⎫a 2,-a 2,a 2, ∴BP →·DM →=0.∴BP 与DM 所成的角θ=90°.(2)∵AP →=(0,0,a ),AB →=(a,0,0),AD →=(0,a,0), BP →=(-a,0,a ),∴BP →·AD →=0,AP →·AB →=0,AP →·AD →=0. 又由(1)知BP →·DM →=0,∴BP →是平面MDA 的法向量,AP →是平面ABCD 的法向量,则cos 〈BP →,AP →〉=BP →·AP →|BP →||AP →|=22.∴所求的二面角M -DA -C 的大小为45°.20.(16分)如图所示,四边形ABCD 为直角梯形,AB ∥CD ,AB ⊥BC ,△ABE 为等边三角形,且平面ABCD ⊥平面ABE ,AB =2CD =2BC =2,P 为CE 的中点.(1)求证:AB ⊥DE ;(2)求平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值;(3)在△ABE 内是否存在一点Q ,使PQ ⊥平面CDE ?如果存在,求PQ 的长;如果不存在,请说明理由.(1)证明 取AB 的中点O ,连结OD ,OE , 因为△ABE 是正三角形,所以AB ⊥OE .因为四边形ABCD 是直角梯形,DC =12AB ,AB ∥CD ,所以四边形OBCD 是平行四边形, 所以OD ∥BC .又AB ⊥BC ,所以AB ⊥OD ,又OE ∩OD =O ,所以AB ⊥平面ODE , 所以AB ⊥DE .(2)解 因为平面ABCD ⊥平面ABE ,AB ⊥OE ,OE ⊂平面ABE ,平面ABCD ∩平面ABE =AB . 所以OE ⊥平面ABCD , 所以OE ⊥OD .如图所示,以O 为坐标原点,OA ,OE ,OD 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,则A (1,0,0),B (-1,0,0), D (0,0,1),C (-1,0,1), E (0,3,0),所以AD →=(-1,0,1),DE →=(0,3,-1).最新中小学教案、试题、试卷设平面ADE 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·DE →=0,n 1·AD →=0,即⎩⎨⎧3y 1-z 1=0,-x 1+z 1=0, 令z 1=1,则x 1=1,y 1=33, 所以n 1=⎝⎛⎭⎫1,33,1, 同理可求得平面BCE 的一个法向量为 n 2=(-3,1,0),设平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角为θ, 则cos θ=|n 1·n 2||n 1||n 2|=⎪⎪⎪⎪33-373×2=77, 所以平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值为77. (3)解 假设存在Q (x 2,y 2,0)满足题意,因为P ⎝⎛⎭⎫-12,32,12,所以PQ →=⎝⎛⎭⎫x 2+12,y 2-32,-12, 又CD →=(1,0,0),DE →=(0,3,-1), 所以⎩⎪⎨⎪⎧PQ →·CD →=0,PQ →·DE →=0,即⎩⎨⎧ x 2+12=0,3⎝⎛⎭⎫y 2-32+12=0, 解得⎩⎨⎧x 2=-12,y 2=33, 易知点Q ⎝⎛⎭⎫-12,33,0在△ABE 内, 所以△ABE 内存在点Q ⎝⎛⎭⎫-12,33,0,使PQ ⊥平面CDE ,此时PQ =33.。
高中数学选修2-1章末检测卷12:第三章 空间向量与立体几何
第三章综合测试时间120分钟,满分150分.一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,每小题有4个选项,其中有且仅有一个是正确的,把正确的选项填在答题卡中)1.若向量a 与b 不共线,a·b ≠0,且c =a -⎝⎛⎭⎫a·a a·b b ,则a 与c 的夹角为( ) A .0 B .π6C.π3D .π2[[答案]] D[[解析]] a·c =|a |2-⎝⎛⎭⎫a·a a·b (a·b )=|a |2-a·a =0,∴a ⊥b . 2.对于任意向量a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3),给出下面两个命题: ①a ∥b ⇔a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3;②若a 1=a 2=a 3=1,则a 为单位向量. 其中正确命题的个数为( )A .0B .1C .2D .3 [[答案]] A[[解析]] 由a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3⇒a ∥b 但a ∥b ⇒/ a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3;若a 1=a 2=a 3=1,则|a |=3,∴①②都不正确.故选A.3.与向量(-3,-4,5)共线的单位向量是( ) A .(3210,4210,-22)和(-3210,-4210,22)B .(3210,4210,-22)C .(-3210,-4210,22)D .(3210,4210,22)和(-3210,-4210,-22)[[答案]] A[[解析]] 所求的单位向量e 与(-3,-4,5)方向相同或相反,且|e |=1,求得(3210,4210,-22)和(-3210,-4210,22).4.若直线l 与平面α所成的角为π3,直线a 在平面α内,且与直线l 异面,则直线l 与直线a 所成的角的取值范围是( ) A .[0,2π3]B .[π3,2π3]C .[π2,2π3]D .[π3,π2][[答案]] D[[解析]] 由定理知直线l 与直线a 所成的最小角为π3.又l ,a 为异面直线,则所成角的最大值为π2.5.(2013·淄博模拟)已知空间四边形ABCD 中,M ,G 分别为BC ,CD 的中点,则AB →+12(BD→+BC →)等于( ) A.AG → B .CG → C.BC → D .12BC →[[答案]] A[[解析]] 如下图所示:12(BD →+BC →)=BG →,AB →+BG →=AG →. 6.已知ABCD 是四面体,O 为△BCD 内一点,且AO →=13(AB →+AC →+AD →),则AO →是O 为△BCD的重心的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分又不必要条件[[答案]] C[[解析]] 用向量的运算法则,充要条件的概念来判定.7.已知向量a =(8,x2,x ),b =(x,1,2),其中x >0.若a ∥b ,则x 的值为( )A .8B .4C .2D .0 [[答案]] B[[解析]] a ∥b ⇔存在λ∈R 使a =λb ⇔(8,x2,x )=(λx ,λ,2λ)⇔⎩⎪⎨⎪⎧λx =8x 2=λx =2λ⇔⎩⎪⎨⎪⎧λ=2,x =4.8.如下图,正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB .则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B .25 C.35D .45 [[答案]] D[[解析]] 用坐标法求向量夹角.9.已知向量n =(1,0,-1)与平面α垂直,且α经过点A (2,3,1),则点P (4,3,2)到α的距离为( ) A.32B.22 C.2D .322[[答案]] B[[解析]] P A →=(-2,0,-1),又n 与α垂直,所以P 到α的距离为|-2,0,-1·1,0,-1|12+-12=12=22,故选B.10.在60°的二面角的一个面内有一个点,它到棱的距离是8,那么它到另一个面的距离是( ) A.3B .2 3 C .33D .4 3 [[答案]] D[[解析]] 设二面α—l —β为60°,α内一点为A ,过A 作AB ⊥β于B ,AO ⊥l 于O ,连OB ,则OB ⊥l ,∴∠AOB =60°,∴AB =8sin60°=4 3.11.已知A ,B ,C 三点不共线,对平面ABC 外的任一点O ,下列条件中能确定点M 与点A ,B ,C 一定共面的是( )A.OM →=OA →+OB →+OC →B.OM →=2OA →-OB →-OC →C.OM →=OA →+12OB →+13OC →D.OM →=13OA →+13OB →+13OC →[[答案]] D[[解析]] 选项D 中的三个系数和:13+13+13=1,故M 与点A ,B ,C 一定共面.12.如下图,P 是边长为a 的正六边形ABCDEF 平面外一点,P A ⊥AB ,P A ⊥AF ,为求P 与CD 的距离作PQ ⊥CD 于Q ,则( )A .Q 为CD 的中点B .Q 与D 重合C .Q 与C 重合D .以上都不对 [[答案]] C[[解析]] 连AC ,则AC ⊥CD ,由三垂线定理知PC ⊥CD ,∴Q 与C 重合. 故选C.二、填空题(本大题共4个小题,每空4分,共16分,把正确[答案]填在题中横线上) 13.三个平面两两垂直,它们交于一点O ,空间一点P 到三个面的距离分别为2,3和25,则PO =________. [[答案]] 5 [[解析]] PO =22+32+252=5.14.已知a =(2,-1,2),b =(2,2,1),则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为________. [[答案]]65[[解析]] 因为|a |=|b |,所以平行四边形为菱形.又a +b =(4,1,3),a -b =(0,-3,1),|a +b |=26,|a -b |=10, S =12|a +b ||a -b |=12×26×10=65. 15.给出命题:①在▱ABCD 中,AB →+AD →=AC →;②在△ABC 中,若AB →·AC →>0,则△ABC 是锐角三角形;③在梯形ABCD 中,E 、F 分别是两腰BC 、DA 的中点,则FE →=12(AB →+DC →);④在空间四边形ABCD 中,E 、F 分别是边BC 、DA 的中点,则FE →=12(AB →+DC →).以上命题中,正确命题的序号是____.[[答案]] ①③④[[解析]] ①满足向量运算的平行四边形法则,①正确;AB →·AC →=|AB →|·|AC →|·cos A >0⇒∠A <90°,但∠B 、∠C 无法确定,△ABC 是否是锐角三角形无法确定,②错误;③符合梯形中位线,正确;④如图:DC →=DA →+AC →;DC →+AB →=DA →+AB →+AC →=DA →+2AE →=2(F A →+AE →)=2FE →,则FE →=12(AB →+DC →).16.正△ABC 边长为a ,AD ⊥BC 于点D ,沿AD 把△ABC 折起来使∠BDC =90°,这时点B 到AC 的距离是______________. [[答案]]74a [[解析]] 过D 作DH ⊥AC 于H ,连BH ,则DH =34a ,∴BH =a 22+34a 2=74a .三、解答题(本大题共6个大题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =1,AD =2,AA 1=3,∠BAD =90°,∠BAA 1=∠DAA 1=60°,求AC 1的长. [[解析]] AC 1→=AB →+AD →+AA 1→, ∴|AC 1→|2=(AB →+AD →+AA 1→)2=AB →2+AD →2+AA 1→2+2AB →·AD →+2AB →·AA 1→+2AD →·AA 1→=1+22+32+2|AB →|·|AD →|·cos 〈AB →,AD →〉+2|AB →|·|AA 1→|·cos 〈AB →,AA 1→〉+2|AD →|·|AA 1→|·cos 〈AD →,AA 1→〉=14+2×1×2cos90°+2×1×3cos60°+2×2×3cos60°=23, ∴|AC 1→|=23,即AC 1=23.18.(本小题满分12分)在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别为DD 1和BB 1的中点.(1)求证:AEC 1F 是平行四边形; (2)求AE 和AF 之间的夹角的余弦值; (3)求四边形AEC 1F 的面积.[[解析]] (1)证明:如下图,以DA ,DC ,DD 1所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则A (a,0,0),E (0,0,a 2),F (a ,a ,a2),C 1(0,a ,a ).∴AE →=(-a,0,a 2),FC 1→=(-a,0,a 2).∴AE →=FC 1→,∴AEC 1F 为平行四边形.(2)解:由AF →=(0,a ,a 2),得cos 〈AE →,AF →〉=AE →·AF →|AE →||AF →|=15.(3)解:由(2)知sin ∠EAF =25 6.∴S ▱AEC 1F =|AE →||AF →|sin ∠EAF =62a 2.19.(本小题满分12分)已知空间四边形OABC ,棱OA ,OB ,BC 互相垂直,OA =OB =BC =1,N 是OC 的中点,点M 在AB 上,且MN ⊥AB ,求AM AB 的值. [[解析]] 如下图所示,设AM AB=x ,则AM →=xAB →.OM →=(1-x )OA →+xOB →,ON →=12OC →=12(OB →+BC →),MN →=ON →-OM →=12OB →+12BC →-(1-x )OA →-xOB →=(x -1)OA →+(12-x )OB →+12BC →.又知AB →=OB →-OA →,MN ⊥AB ,所以MN →·AB →=0. 即[(x -1)OA →+(12-x )OB →+12BC →]·(-OA →+OB →)=0.进行向量运算,考虑到OA →、OB →、BC →互相垂直且它们的长度都为1,运算结果得12-x +1-x=0.解得x =34.所以MN AB =34.20.(本小题满分12分)如下图,设动点P 在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上,记D 1PD 1B=λ,当∠APC 为钝角时,求λ的取值范围.[[解析]] 以DA →,DC →,DD 1→为单位正交基底,建立空间直角坐标系Dxyz ,则有A (1,0,0),B (1,1,0),C (0,1,0),D 1(0,0,1),从而D 1B →=(1,1,-1),D 1A →=(1,0,-1),D 1C →=(0,1,-1),D 1P →=λD 1B →=(λ,λ,-λ),P A →=PD 1→+D 1A →=(-λ,-λ,λ)+(1,0,-1)=(1-λ,-λ,λ-1), PC →=PD 1→+D 1C →=(-λ,1-λ,λ-1),显然∠APC 不是平角,所以∠APC 为钝角等价于P A →·PC →<0, 即-λ(1-λ)-λ(1-λ)+(λ-1)2=(λ-1)(3λ-1)<0,解得13<λ<1,因此λ的取值范围是(13,1).21.(本小题满分12分)已知三棱锥P -ABC 中,P A ⊥平面ABC ,AB ⊥AC ,P A =AC =12AB ,N 为AB 上一点,AB =4AN ,M ,S 分别为PB ,BC 的中点. (1)证明:CM ⊥SN ;(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小.[[解析]] 以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,设P A =1,则P (0,0,1),C (0,1,0),B (2,0,0),M (1,0,12),N (12,0,0),S (1,12,0).(1)CM →=(1,-1,12),SN →=(-12,-12,0),因为CM →·SN →=-12+12+0=0,所以CM →⊥SN →,所以CM ⊥SN .(2)易得NC →=(-12,1,0),设n =(x ,y ,z )为平面CMN 的一个法向量,则⎩⎨⎧CM →·n =x -y +12z =0,NC →·n =-12x +y =0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =2y z =-2y ,取x =2,则y =1,z =-2,n =(2,1,-2).因为|cos 〈n ,SN →〉|=|n ·SN →||n |·|SN →|=22,所以SN 与平面CMN 所成角的大小为45°.22.(本小题满分14分)如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1C 1C 是边长为4的正方形.平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,AB =3,BC =5. (1)求证:AA 1⊥平面ABC ;(2)求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值;(3)证明:在线段BC 1上存在点D ,使得AD ⊥A 1B ,并求BDBC 1的值.[[解析]] (1)因为AA 1C 1C 为正方形,所以AA 1⊥AC ,因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ,所以AA 1⊥平面ABC . (2)由(1)知AA 1⊥AC ,AA 1⊥AB .由题知AB =3,BC =5,AC =4,所以AB ⊥AC .如下图,以A 为原点建立空间直角坐标系A -xyz ,则B (0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4),设平面A 1BC 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B →=0,n ·A 1C 1→=0.即⎩⎪⎨⎪⎧3x -4z =0,4x =0.令z =3,则x =0,y =4,所以n =(0,4,3).同理可得,平面B 1BC 1的法向量为m =(3,4,0), 所以cos 〈n ,m 〉=n ·m |n ||m |=1625.由题知二面角A 1-BC 1-B 1为锐角,所以二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值为1625.(3)设D (x ,y ,z )是直线BC 1上一点,且BD →=λBC 1→.所以(x ,y -3,z )=λ(4,-3,4). 解得x =4λ,y =3-3λ,z =4λ.所以AD →=(4λ,3-3λ,4λ). 由AD →·A 1B →=0,即9-25λ=0,解得λ=925.因为925∈[0,1],所以在线段BC 1上存在点D ,使得AD ⊥A 1B .此时,BD BC 1=λ=925.。
高中数学选修2-1 第三章《空间向量与立体几何》单元测试题(含答案)
这时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43,43,83.答案:C二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.若A (x,5-x,2x -1),B (1,x +2,2-x ),则当|AB →|取最小值时,x 的值等于________.解析:AB →=(1-x,2x -3,-3x +3),则 |AB →|=1-x2+2x -32+-3x +32=14x 2-32x +19=14⎝⎛⎭⎪⎫x -872+57,故当x =87时,|AB →|取最小值.答案:8714.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,直线BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值是________. 解析:如图,以DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A (1,0,0),B (1,1,0),C 1(0,1,1), 易证AC 1→是平面A 1BD 的一个法向量.AC 1→=(-1,1,1),BC 1→=(-1,0,1). cos 〈AC 1→,BC 1→〉=1+13×2=63. 所以BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值为63.答案:63设AC ∩BD =N ,连结NE ,则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22,22,0,E (0,0,1), ∴NE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-22,-22,1. 又A (2,2,0),M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22,22,1, ∴AM →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-22,-22,1. ∴NE →=AM →,且NE 与AM 不共线.∴NE ∥AM .又NE ⊂平面BED ,AM ⊄平面BDE ,∴AM ∥平面BDE .(2)设P (t ,t,0)(0≤t ≤2),则PF →=(2-t ,2-t,1),CD →=(2,0,0).又∵PF →与CD →所成的角为60°,|2-t ·2|2-t2+2-t 2+1·2=12, 解之得t =22,或t =322(舍去). 故点P 为AC 的中点.22.(本小题满分12分)如图,在圆锥PO 中,已知PO =2,⊙O 的直径AB =2,C 是AB 的中点,D 为AC 的中点.。
高二数学选修2-1第三章 空间向量与立体几何练习题及答案
第三章 空间向量与立体几何空间向量的数乘运算 测试题姓名:_________班级:________ 得分:_______ 1. 下列命题中不正确的命题个数是( )①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点,则有AB +BC + CD +DA =0;②对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ,若OP =x OA +y OB +z OC (其中x 、y 、z ∈R ),则P 、A 、B 、C 四点共面;③若a 、b 共线,则a 与b 所在直线平行。
A .1B .2C .3D .42.设OABC 是四面体,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上一点,且OG =3GG 1,若OG =x OA +y OB +z OC ,则(x ,y ,z )为( )A .(41,41,41) B .(43,43,43) C .(31,31,31) D .(32,32,32) 3.在平行六面体ABCD -EFGH 中,AG xAC y AF z AH =++,________.x y z ++=则4.已知四边形ABCD 中,AB =a -2c ,CD =5a +6b -8c ,对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ,则EF =_____________.5.已知矩形ABCD ,P 为平面ABCD 外一点,且P A ⊥平面ABCD ,M 、N 分别为PC 、PD 上的点,且M 分PC 成定比2,N 分PD 成定比1,求满足MN xAB y AD z AP =++的实数x 、y 、z 的值.§3.1.3空间向量的数量积运算1.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中,1AA =2AB ,E 为1AA 重点,则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( ) A .1010 B . 15 C .31010 D . 352.如图,设A ,B ,C ,D 是空间不共面的四点,且满足0AB AC ⋅=,0AC AD ⋅=,0AB AD ⋅=,则△BCD 的形状是( )A .钝角三角形B .锐角三角形C .直角三角形D .不确定的_ C _ D _ A _ P_ N _ B_ M3.已知ABCD -A 1B 1C 1D 1 为正方体,则下列命题中错误的命题为__________.;221111111①(A A+A D +A B )=3(A B )()0;C ⋅-=1111②A A B A A 60;︒11向量与向量的夹角为AD A B ③ ⋅⋅11111立方体ABCD-A B C D 的体积为|AB AA AD |;④4.如图,已知:平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形,且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60° (1)证明:C 1C ⊥BD ; (2)当1CDCC 的值为多少时,能使A 1C ⊥平面C 1BD ?请给出证明. §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1.已知向量(2,2,3)OA =-,(,1,4)OB x y z =-,且平行四边形OACB 的对角线的中点坐标为M 31(0,,)22-,则(,,)x y z =( ) A .(2,4,1)--- B .(2,4,1)-- C .(2,4,1)-- D .(2,4,1)--2.已知(2,2,4)a =-,(1,1,2)b =-,(6,6,12)c =--,则向量、、a b c ( ) A .可构成直角三角形 B .可构成锐角三角形 C .可构成钝角三角形 D .不能构成三角形3.若两点的坐标是A (3cosα,3sinα,1),B (2cosθ,2sinθ,1),则|AB |的取值范围是( )A .[0,5]B .[1,5]C .(1,5)D .[1,25] 4.设点C (2a +1,a +1,2)在点P (2,0,0)、A (1,-3,2)、B (8,-1,4)确定的平面上,则a 的值为 . 5.如图,正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底边长为a ,侧棱长为2a .建立适当的坐标系,⑴写出A ,B ,A 1,B 1的坐标;⑵求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.3.2立体几何中的向量方法1.到一定点(1,0,1)的距离小于或等于2的点的集合为( ) A .222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-≤ B .222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-= C .222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-≤ D .222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-=C 1 B 1 A 1B A2. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为( ) A .42 B .32 C .33 D .23 3. 已知斜三棱柱111ABC A B C -,90BCA ∠=,2AC BC ==,1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ,又知11BA AC ⊥.(1)求证:1AC ⊥平面1A BC ; (2)求1C 到平面1A AB 的距离; (3)求二面角1A A B C --余弦值的大小.B 4. 如图,在直三棱柱111ABC A B C -中, AB =1,13AC AA ==,∠ABC =60°. (1)证明:1AB A C ⊥;(2)求二面角A —1A C —B 的大小.5. 如右图,四棱锥S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的2倍,P 为侧棱S D 上的点. (1)求证:AC ⊥SD ;(2)若SD ⊥平面P AC ,求二面角P-AC-D 的大小 (3)在(2)的条件下,侧棱S C 上是否存在一点E , 使得BE ∥平面P AC .若存在,求S E :EC 的值; 若不存在,试说明理由.参考答案第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算§3.1.2空间向量的数乘运算1.A2.A3.324.3a +3b -5c5.如图所示,取PC 的中点E ,连结NE ,则MN EN EM =-.∵1122EN CD BA ===12AB -,CBA C 1B 1 A1 D 1C 1B 1A 1DABC_ C_ D_ A_S_ F_ B_ P_ N_ EEN PM PE =-=211326PC PC PC -=,连结AC ,则PC AC AP AB AD AP =-=+- ∴11()26MN AB AB AD AP =--+-=211366AB AD AP --+,∴211,,366x y z =-=-=.§3.1.3空间向量的数量积运算1.C2.B3. ③④4.(1)设1,,CB a CD b CC c === ,则||||a b =,BD CD CB b a =-=- ,所以1()||||cos 60||||cos 600CC b a c b c a c b c a c ⋅=-⋅=⋅-⋅=︒-︒=BD ,11BD CC BD CC ∴⊥⊥即 ;(2)1,2,CD x CD CC ==1设则 2CC =x, 111,BD AA C C BD A C ⊥∴⊥ 面 ,11:0x AC CD ∴⋅= 只须求满足, 设1,,A A a AD b DC c ===,11,A C a b c C D a c =++=-,2211242()()6A C C D a b c a c a a b b c c xx ∴⋅=++⋅-=+⋅-⋅-=+-, 令24260x x+-=,则2320x x --=,解得1x =,或23x =-(舍去),111,.A C C BD ∴=⊥1CD时能使平面CC §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1.A2.D3.B4.165. (1)建系如图,则A (0,0,0) B (0,a ,0)A 1(0,0,2a ),C 1(-23a ,a 2,2a) (2)解法一:在所建的坐标系中,取A 1B 1的中点M , 于是M (0,a 2,2a),连结AM ,MC 1 则有1(,0,0)2MC =-(0,,0)AB a=,1)AA =, ∴10MC AB ⋅=,110MC AA ⋅=,所以,MC 1⊥平面ABB 1A 1.因此,AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.1(,)2a AC =-,(0,)2aAM =,A∴2194a AC AM ⋅=,而|13||3,||2AC a AM a ==,由cos<1,AC AM >=1132||||AC AM AC AM ⋅=,∴ <1,AC AM >=30°.∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.3.2立体几何中的向量方法1.A2.C3.(1)如右图,取AB 的中点E ,则//DE BC ,因为BC AC ⊥, 所以DE AC ⊥,又1A D ⊥平面ABC , 以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系, 则()0,1,0A -,()0,1,0C ,()2,1,0B ,()10,0,A t ,()10,2,C t ,()10,3,AC t =,()12,1,BA t =--,()2,0,0CB =,由10AC CB ⋅=,知1A C CB ⊥, 又11BA AC ⊥,从而1AC ⊥平面1A BC .(2)由1AC ⋅2130BA t =-+=,得3t = 设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =,(13AA =,()2,2,0AB =,所以130220n AA y z n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩,设1z =,则()3,3,1n =-, 所以点1C 到平面1A AB 的距离1AC n d n⋅==221. (3)再设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =,(10,3CA =-,()2,0,0CB =, 所以13020m CA y z m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩,设1z =,则()0,3,1m =, 故cos ,m n m n m n⋅<>==⋅77-,根据法向量的方向, 可知二面角1A A B C --7. 4.(1)三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱,11AB AA AC AA ∴⊥⊥,,Rt ABC ∆,1,3,60AB AC ABC ==∠=︒,由正弦定理030ACB ∠=.090BAC ∴∠=AB AC ⊥即 .如右图,建立空间直角坐标系,则 1(0,0,0),(1,0,0)(0,3,0),(0,0,3)A B C A1(1,0,0),(0,3,3)AB AC ∴==, 110030(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯+⨯-=, 1AB A C ∴⊥.(2) 如图可取(1,0,0)m AB ==为平面1AA C 的法向量, 设平面1A BC 的法向量为(,,)n l m n =, 则10,0,130BC n AC n BC ⋅=⋅==-又(,,), 303,330l m l m n m m n ⎧-+=⎪∴∴==⎨-=⎪⎩. 不妨取1,(3,1,1)m n ==则,22222231101015cos ,5(3)11100m n m n m n ⋅⨯+⨯+⨯<>===⋅++⋅++.1A AC BD ∴--15二面角的大小为arccos 5. 5. (1)连结BD ,设AC 交于BD 于O ,由题意知SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点,OB OC OS ,,分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立坐标系O xyz -如右图.设底面边长为a ,则高62SO a =.于是 62(0,0,),(,0,0)22S a D a -,2(0,,0)2C a ,2(0,,0)2OC a =,26(,0,)2SD a =-,0OC SD ⋅= ,故OC SD ⊥.从而 AC SD ⊥. _ C_ A_S_ F_ BO(2)由题设知,平面PAC 的一个法向量(,0,)22DS a a =,平面DAC 的一个法向量002OS =(,,),设所求二面角为θ,则cos 2OS DS OS DSθ⋅==,得所求二面角的大小为30°. (3)在棱SC 上存在一点E 使//BE PAC 平面.由(2)知DS 是平面PAC 的一个法向量,且,0,),(0,,)2222DS a a CS a a ==-(.设,CE tCS = 则(,(1),)222BE BC CE BC tCS a t at =+=+=--,而 103BE DC t ⋅=⇔=.即当:2:1SE EC =时,BE DS ⊥.而BE 不在平面PAC 内,故//BE PAC 平面.(完)。
人教A版高中数学高二选修2-1单元目标检测 第三章 空间向量与立体几何
数学人教A 选修2-1第三章 空间向量与立体几何单元检测(时间:45分钟,满分:100分)一、选择题(每小题6分,共48分)1.已知点A (-4,8,6),则点A 关于y 轴对称的点的坐标为( ). A .(-4,-8,6) B .(-4,-8,-6) C .(-6,-8,4) D .(4,8,-6)2.若a =(0,1,-1),b =(1,1,0),且(a +λb )⊥a ,则实数λ的值为( ). A .-1 B .0 C .1 D .-23.若向量a =(1,λ,2),b =(2,-1,2),a ,b 夹角的余弦值为89,则λ等于( ), A .2 B .-2 C .-2或255 D .2或255- 4.已知a =(2,-1,2),b =(2,2,1),则以a ,b 为邻边的平行四边形的面积为( ).A B C .4 D .8 5.如图,在四面体ABCD 中,已知AB =b ,AD =a ,AC =c ,12BE EC =,则DE 等于( ).A .2133-++a b c B .2133++a b c C .2133-+a b c D .2133-+a b c 6.在三棱锥P -ABC 中,△ABC 为等边三角形,PA ⊥平面ABC ,且PA =AB ,则二面角A -PB -C 的平面角的正切值为( ).A B C D 7.已知A (1,2,3),B (2,1,2),P (1,1,2),点Q 在直线OP 上运动(O 为原点),则当QA QB ⋅取最小值时,点Q 的坐标为( ).A .444,,333⎛⎫⎪⎝⎭ B .848,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭C .884,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D .448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭8.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,E ,F 分别是BB 1,CD 的中点,则点F 到平面A 1D 1E 的距离为( ).A .310a B .10a C .10a D .710a 二、填空题(每小题6分,共18分)9.若向量a =(4,2,-4),b =(1,-3,2),则2a ·(a +2b )=________.10.如图,在矩形ABCD 中,AB =3,BC =1,EF ∥BC 且AE =2EB ,G 为BC 的中点,K 为△AFD 的外心,沿EF 将矩形折成120°的二面角A -EF -B ,此时KG 的长为__________.11.已知直线AB ,CD 是异面直线,AC ⊥AB ,AC ⊥CD ,BD ⊥CD ,且AB =2,CD =1,则异面直线AB 与CD 所成角的大小为________.三、解答题(共3小题,共34分)12.(10分)已知向量a =(1,-3,2),b =(-2,1,1),点A (-3,-1,4),B (-2,-2,2). (1)求|2a +b |;(2)在直线AB 上,是否存在一点E ,使得OE ⊥b ?(O 为原点)13.(10分)如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面是边长为BAD =120°,且PA ⊥平面ABCD ,PA =,M ,N 分别为PB ,PD 的中点.(1)证明:MN∥平面ABCD;(2)过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值.14.(14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1.D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA1.(1)求证:CD=C1D;(2)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;参考答案1答案:D2答案:D 解析:a +λb =(λ,1+λ,-1). 由(a +λb )⊥a ,知(a +λb )·a =0, 所以1+λ+1=0,解得λ=-2. 3答案:C解析:由公式cos 〈a ,b 〉=||||⋅a ba b ,知89==λ=-2或255.4答案:A 解析:|a |=3,|b |=3,而a·b =4=|a||b|cos ,a b ,∴cos ,a b =49,故sin ,a b=于是以a ,b 为邻边的平行四边形的面积为 S =|a||b|sin ,a b=33⨯= 5答案:A 解析:DE =DA +AB +BE =DA +AB +13(AC -AB )=2133-++a b c .6答案:A 解析:设PA =AB =2,建立空间直角坐标系,平面PAB 的一个法向量是m =(1,0, 0),平面PBC 的一个法向量是n=⎫⎪⎪⎝⎭. 则cos 〈m ,n〉=·3||||||||3===m nm n m n . ∴正切值tan 〈m ,n.7答案:D 解析:由题意可知OQ =λOP ,故可设Q (λ,λ,2λ),∴QA ·QB =6λ2-16λ+10=242633λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,∴43λ=时,QA ·QB 取最小值,此时Q 的坐标为448,,333⎛⎫⎪⎝⎭. 8答案:C 解析:建立如图所示的坐标系,则A 1(a,0,a ),D 1(0,0,a ),A (a,0,0),B (a ,a,0),B 1(a ,a ,a ),E ,,2a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,F 0,,02a ⎛⎫⎪⎝⎭.设平面A 1D 1E 的法向量为n =(x ,y ,z ),则11·0A D =n ,11·0A E =n ,即(x ,y ,z )·(-a,0,0)=0,(x ,y ,z )·0,,2a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=0, ∴-ax =0,02aay z -=. ∴x =0,2z y =. ∴n =0,,2z z ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴10,||||2FD d ⎛ ⋅⎝==n n . 9答案:32解析:2a·(a +2b )=2|a|2+4a·b =2×36+4×(-10)=32. 10解析:如图,过K 作KM ⊥EF ,M 为垂足,则向量MK 与FC 的夹角为120°.KG =KM +MF +FC +CG ,2KG =2KM +2MF +2FC +2CG +2KM ·MF +2FC ·CG +2KM ·FC +2KM ·CG . ∴2KG =1+14+1+14+0+0+2×1×1×cos 60°+0+0+2×12×12×cos 180°=2+12+1-12=3. ∴3KG =.答案:60° 解析:设AB 与CD 所成的角为θ, 则cos θ=cos ,AB CD =AB CD AB CD⋅.由于AB ·CD =(AC +CD +DB )·CD =AC ·CD +2CD +DB ·CD =0+12+0=1,∴cos θ=11212AB CD AB CD⋅==⨯. 由于0°<θ≤90°,∴θ=60°,故异面直线AB 与CD 所成角的大小为60°.12答案:解:(1)2a +b =(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),故|2a +b|=答案:解:OE =OA +AE =OA +t AB =(-3,-1,4)+t (1,-1,-2)=(-3+t ,-1-t,4-2t ).若OE ⊥b ,则OE ·b =0,所以-2(-3+t )+(-1-t )+(4-2t )=0,解得95t =,因此存在点E ,使得OE ⊥b ,此时E 点坐标为6142,,555⎛⎫--⎪⎝⎭. 13答案:证明:连结BD ,因为M ,N 分别是PB ,PD 的中点, 所以MN 是△PBD 的中位线.所以MN ∥BD . 又因为MN ⊄平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD , 所以MN ∥平面ABCD .答案:解法一:连结AC 交BD 于O ,以O 为原点,OC ,OD 所在直线为x ,y 轴,建立空间直角坐标系O -xyz ,如图所示.在菱形ABCD 中,∠BAD =120°,得AC =AB=BD=6. 又因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥AC .在直角△PAC中,AC =PA =AQ ⊥PC ,得QC =2,PQ =4,由此知各点坐标如下:A(,0,0),B (0,-3,0),C,0,0),D (0,3,0),P(0,,M 3,22⎛-- ⎝,N 3,22⎛- ⎝,Q 33⎛ ⎝⎭. 设m =(x ,y ,z )为平面AMN 的法向量. 由AM=32-⎝,AN=32-⎝,知30,230.2x y x y -+=+=取z =-1,得m =(0,-1). 设n =(x ,y ,z )为平面QMN 的法向量.由QM=32⎛- ⎝⎭,QN=32⎛- ⎝⎭知30,62330.2x y z x y ⎧--+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩ 取z =5,得n =(0,5). 于是cos 〈m ,n〉=·||||33=m n m n . 所以二面角A -MN -Q的平面角的余弦值为33.解法二:在菱形ABCD 中,∠BAD =120°,得AC =AB =BC =CD =DA ,BDAB . 又因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥AB ,PA ⊥AC ,PA ⊥AD . 所以PB =PC =PD . 所以△PBC ≌△PDC .而M ,N 分别是PB ,PD 的中点,所以MQ =NQ ,且AM =12PB =12PD =AN . 取线段MN 的中点E ,连结AE ,EQ , 则AE ⊥MN ,QE ⊥MN ,所以∠AEQ 为二面角A -MN -Q 的平面角.由AB =PA =,故在△AMN 中,AM =AN =3,MN =12BD =3,得AE =2.在直角△PAC 中,AQ ⊥PC ,得AQ =QC =2,PQ =4,在△PBC 中,cos ∠BPC =222526PB PC BC PB PC +-=⋅,得MQ =在等腰△MQN 中,MQ =NQ MN =3,得QE ==.在△AEQ 中,2AE =,2QE =,AQ =cos ∠AEQ =222233AE QE AQ AE QE +-=⋅.所以二面角A -MN -Q . 14答案:解:如图,以A 1为原点,A 1B 1,A 1C 1,A 1A 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A 1xyz ,则A 1(0,0,0),B 1(1,0,0),C 1(0,1,0),B (1,0,1).答案:解:如图,以A 1为原点,A 1B 1,A 1C 1,A 1A 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A 1xyz ,则A 1(0,0,0),B 1(1,0,0),C 1(0,1,0),B (1,0,1).设C 1D =x ,∵AC ∥PC 1, ∴111C P C D xAC CD x==-. 由此可得D (0,1,x ),P 0,1,01x x ⎛⎫+⎪-⎝⎭, ∴1A B =(1,0,1),1A D =(0,1,x ),1B P =1,1,01x x ⎛⎫-+⎪-⎝⎭. 设平面BA 1D 的一个法向量为n 1=(a ,b , c ),则11110,0.A B a c A D b cx ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n 令c =-1,则n 1=(1,x ,-1). ∵PB 1∥平面BA 1D ,高中数学-打印版精心校对 ∴n 1·1B P =1×(-1)+x ·11x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭+(-1)×0=0. 由此可得12x =,故CD =C 1D . 答案:解:由(1)知,平面BA 1D 的一个法向量n 1=11,,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.又n 2=(1,0,0)为平面AA 1D 的一个法向量, ∴cos 〈n 1,n 2〉=1212123||||312⋅==⨯n n n n . 故二面角A -A 1D -B 的平面角的余弦值为23. (3)求点C 到平面B 1DP 的距离. 答案:解:∵1PB =(1,-2,0),PD =10,1,2⎛⎫- ⎪⎝⎭, 设平面B 1DP 的一个法向量n 3=(a 1,b 1,c 1), 则311113120,0.2PB a b c PD b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩n n 令c 1=1,可得n 3=11,,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. 又10,0,2DC ⎛⎫= ⎪⎝⎭, ∴点C 到平面B 1DP 的距离33||1||3DC d ⋅==n n .。
高中数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》典型练习题(含答案)
高中数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》典型练习题一、选择题1.下列各组向量中不平行的是( )A .)4,4,2(),2,2,1(--=-=b a ρρB .)0,0,3(),0,0,1(-==d c ρρC .)0,0,0(),0,3,2(==f e ρρD .)40,24,16(),5,3,2(=-=h g ρρ2.已知点(3,1,4)A --,则点A 关于x 轴对称的点的坐标为( ) A .)4,1,3(-- B .)4,1,3(--- C .)4,1,3( D .)4,1,3(--3.若向量)2,1,2(),2,,1(-==b a ρρλ,且a ρ与b ρ的夹角余弦为98,则λ等于( )A .2B .2-C .2-或552D .2或552-4.若A )1,2,1(-,B )3,2,4(,C )4,1,6(-,则△ABC 的形状是( ) A .不等边锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .等边三角形5.若A )12,5,(--x x x ,B )2,2,1(x x -+,当B A ρ取最小值时,x 的值等于( )A .19B .78-C .78D .14196.空间四边形OABC 中,OB OC =,3AOB AOC π∠=∠=,则cos <,OA BC u u u r u u u r>的值是( )A .21B .22C .-21D .0二、填空题1.若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a ρρ,则(23)(2)a b a b -+=r r rr g __________________。
2.若向量,94,2k j i b k j i a ρρρρρρρρ++=+-=,则这两个向量的位置关系是___________。
3.已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-=ρρ,若a ⊥r b ρ,则=x ______;若//a r b ρ则=x ______。
人教新课标版数学高二-数学选修2-1练习第三章《空间向量与立体几何》章末检测
章末检测一、选择题1.对于向量a 、b 、c 和实数λ,下列命题中真命题是( )A .若a·b =0,则a =0或b =0B .若λa =0,则λ=0或a =0C .若a 2=b 2,则a =b 或a =-bD .若a·b =a·c ,则b =c2.已知平面α和平面β的法向量分别为m =(3,1,-5),n =(-6,-2,10),则( ) A .α⊥βB .α∥βC .α与β相交但不垂直D .以上都不对3.已知向量a =(0,2,1),b =(-1,1,-2),则a 与b 的夹角为( )A .0°B .45°C .90°D .180°4.如图,在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB →=a ,AD → =b ,AA 1→=c ,则用向量a ,b ,c 可表示向量BD 1→等于( ) A .a +b +c B .a -b +c C .a +b -cD .-a +b +c5.若平面α的法向量为n ,直线l 的方向向量为a ,直线l 与平面α的夹角为θ,则下列关系式成立的是( )A .cos θ=n·a|n||a |B .cos θ=|n·a||n||a |C .sin θ=n·a|n||a |D .sin θ=|n·a||n||a |6.设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点,且满足AB →·AC →=0,AC →·AD →=0,AB →·AD →=0,则△BCD 是( )A .钝角三角形B .锐角三角形C .直角三角形D .不确定7.在以下命题中,不.正确的个数为( )①|a |-|b |=|a +b |是a ,b 共线的充要条件; ②对a ∥b ,则存在唯一的实数λ,使a =λb ;③对空间任意一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,若OP →=2OA →-2OB →-OC →,则P ,A ,B ,C 四点共面; ④|(a·b )·c |=|a|·|b|·|c |. A .2B .3C .4D .18.已知四边形ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,连接AC ,BD ,PB ,PC , PD ,则下列各组向量中,数量积不一定为零的是( )A.PC →与BD →B.DA →与PB →C.PD →与AB →D.PA →与CD →9.设E ,F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点,在正方体的12条面对角线中,与截面A 1ECF 成60°角的对角线的数目是( )A .0B .2C .4D .610.如图,AB =AC =BD =1,AB ⊂面M ,AC ⊥面M ,BD ⊥AB , BD 与面M 成30°角,则C 、D 间的距离为( )A .1B .2 C. 2D. 311.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ,点E ,F 分别是BC 、AD的中点,则AE →·AF →的值为( )A .a 2B.12a 2 C.14a 2 D.34a 2 12.如图所示,在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AA 1⊥底面ABC ,AB =BC =AA 1,∠ABC =90°,点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点,则直线 EF 和BC 1的夹角是( )A .45°B .60°C .90°D .120°二、填空题13.已知P 和不共线三点A ,B ,C 四点共面且对于空间任一点O ,都有OP →=2OA →+OB→+λOC →,则λ=________.14.已知A (2,1,0),点B 在平面xOz 内,若直线AB 的方向向量是(3,-1,2),则点B 的坐标是_______________________.15.平面α的法向量为m =(1,0,-1),平面β的法向量为n =(0,-1,1),则平面α与平面β所成二面角的大小为______.16.如图所示,已知二面角α—l —β的平面角为θ (θ∈⎝⎛⎭⎫0,π2), AB ⊥BC ,BC ⊥CD ,AB 在平面N 内,BC 在l 上,CD 在平面M 内,若AB =BC =CD =1,则AD 的长为________. 三、解答题17.已知四棱锥P —ABCD 的底面是平行四边形,如图,M 是PC 的中 点,问向量PA →、MB →、MD →是否可以组成一个基底,并说明理由. 18.如图所示,在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别是C 1D 1, AB 的中点,E 在AA 1上且AE =2EA 1,F 在CC 1上且CF =12FC 1,试证明ME ∥NF .19.如图,在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,P 是侧棱CC 1上 一点,CP =m .试确定m 使得直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60°. 20.已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1,AB =2,AA 1=1,直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°,F 为A 1B 1的中点.求二面角A —BF —D 的余弦值. 21.如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面是边长为23的菱形,∠BAD =120°,且PA ⊥平面ABCD ,PA =26,M ,N 分别为PB ,PD 的中点.(1)证明:MN ∥平面ABCD ;(2)过点A 作AQ ⊥PC ,垂足为点Q ,求二面角A -MN -Q 的平 面角的余弦值.22.如图所示,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 是棱DD 1的中点. (1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值;(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ,使B 1F ∥平面A 1BE ?证明你的 结论.答案1.B 2.B 3.C 4.D 5.D 6.B 7.C 8.A 9.C 10.C 11.C 12.B 13.-2 14.(5,0,2) 15.60°或120° 16.3-2cos θ17.解 PA →、MB →、MD →不可以组成一个基底,理由如下:连接AC 、BD 相交于点O ,∵ABCD 是平行四边形, ∴O 是AC 、BD 的中点,在△BDM 中,MO →=12(MD →+MB →),在△PAC 中,M 是PC 的中点,O 是AC 的中点,则MO →=12PA →,即PA →=MD →+MB →,即DA →与MD →、MB →共面.∴PA →、MB →、MD →不可以组成一个基底. 18.证明 由平行六面体的性质ME →=MD 1→+D 1A 1→+A 1E → =12C 1D 1→-AD →+13A 1A → =-12AB →-AD →-13AA 1→,NF →=NB →+BC →+CF → =12AB →+AD →+13CC 1→ =12AB →+AD →+13AA 1→, ∴ME →=-NF →,又M ,E ,N ,F 不共线, ∴ME ∥NF .19.解 建立如图所示的空间直角坐标系,则A (1,0,0),B (1,1,0),P (0,1,m ),C (0,1,0),D (0,0,0),B 1(1,1,1), D 1(0,0,1).则BD →=(-1,-1,0),BB 1→=(0,0,1),AP →=(-1,1,m ), AC →=(-1,1,0).又由AC →·BD →=0,AC →·BB 1→=0知, AC →为平面BB 1D 1D 的一个法向量. 设AP 与平面BB 1D 1D 所成的角为θ, 则sin θ=|cos 〈AP →,AC →〉|=|AP →·AC →||AP →||AC →|=22+m 2·2 依题意得22+m 2·2=sin 60°=32,解得m =63. 故当m =63时,直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60°. 20.解 以点A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,由已知AB =2,AA 1=1,可得 A (0,0,0),B (2,0,0),F (1,0,1).又AD ⊥平面AA 1B 1B ,从而直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为∠DBA =30°,又AB =2,∴AD =233,从而易得D ⎝⎛⎭⎫0,233,0.易知平面AA 1B 1B 的一个法向量为m =(0,1,0),设n =(x ,y ,z )是平面BDF 的一个法向量,BF →=(-1,0,1),BD →=⎝⎛⎭⎫-2,233,0,则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BF →=0n ·BD →=0,即⎩⎪⎨⎪⎧-x +z =0-2x +233y =0,令z =1,可得n =(1,3,1), ∴cos 〈m ,n 〉=m·n|m||n |=155. 即二面角A —BF —D 的余弦值为155. 21.(1)证明 连接BD ,因为M ,N 分别是PB ,PD 的中点,所以MN 是△PBD 的中位线, 所以MN ∥BD .又因为MN ⊄平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以MN ∥平面ABCD .(2)解 连接AC 交BD 于O ,以O 为原点,OC ,OD 所在直线 为x ,y 轴,建立空间直角坐标系Oxyz ,如图所示. 在菱形ABCD 中,∠BAD =120°, 得AC =AB =23,BD =3AB =6. 又因为PA ⊥平面ABCD , 所以PA ⊥AC .在直角△PAC 中, AC =23,PA =26,AQ ⊥PC , 得QC =2,PQ =4. 由此知各点坐标如下:A (-3,0,0),B (0,-3,0),C (3,0,0),D (0,3,0)P (-3,0,26), M ⎝⎛⎭⎫-32,-32,6,N ⎝⎛⎭⎫-32,32,6,Q ⎝⎛⎭⎫33,0,263.设m =(x ,y ,z )为平面AMN 的法向量, 由AM →=⎝⎛⎭⎫32,-32,6,AN →=⎝⎛⎭⎫32,32,6知⎩⎨⎧32x -32y +6z =0,32x +32y +6z =0.取z =-1,得m =(22,0,-1). 设n =(x ,y ,z )为平面QMN 的法向量,由QM →=⎝⎛⎭⎫-536,-32,63,QN →=⎝⎛⎭⎫-536,32,63知 ⎩⎨⎧-536x -32y +63z =0,-536x +32y +63z =0.取z =5,得n =(22,0,5). 于是cos 〈m ,n 〉=m ·n |m |·|n |=3333.所以二面角A -MN -Q 的平面角的余弦值为3333. 22.解 设正方体的棱长为1.如图所示,以AB →,AD →,AA 1→为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz .(1)依题意,得B (1,0,0),E ⎝⎛⎭⎫0,1,12,A (0,0,0),D (0,1,0), 所以BE →=⎝⎛⎭⎫-1,1,12,AD →=(0,1,0). 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中, 因为AD ⊥平面ABB 1A 1,所以AD →是平面ABB 1A 1的一个法向量. 设直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角为θ,则sin θ=|BE →·AD →||BE →|·|AD →|=132×1=23.故直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.(2)在棱C 1D 1上存在点F ,使B 1F ∥平面A 1BE . 证明如下:依题意,得A 1(0,0,1),BA 1→=(-1,0,1),BE →=⎝⎛⎭⎫-1,1,12. 设n =(x ,y ,z )是平面A 1BE 的一个法向量,则由n ·BA 1→=0,n ·BE →=0,得⎩⎪⎨⎪⎧-x +z =0,-x +y +12z =0. 所以x =z ,y =12z .取z =2,得n =(2,1,2).设F 是棱C 1D 1上的点,则F (t,1,1) (0≤t ≤1).又B 1(1,0,1),所以B 1F →=(t -1,1,0).而B 1F ⊄平面A 1BE ,于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔B 1F →·n =0⇔(t -1,1,0)·(2,1,2)=0⇔2(t -1)+1=0⇔t =12⇔F 为棱C 1D 1的中点.这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点),使B 1F ∥平面A 1BE .。
(人教版)高中数学选修2-1检测第3章 空间向量与立体几何3.2.1 Word版含答案
第三章(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!)一、选择题(每小题分,共分).若直线的方向向量为=(-,-),平面α的法向量为=(),则( ).⊥α.∥α.与α斜交.⊂α解析:=-,∴∥,∴⊥α.答案:.若两个不同平面α,β的法向量分别为=(,-),=(-,-),则( ).α⊥β.α∥β.α,β相交但不垂直.以上均不正确解析:∵=-,∴α∥β,故选.答案:.若直线的方向向量为,平面α的法向量为,则能使∥α(或⊂α)的是( ).=(),=(-).=(),=().=(),=(-,-).=(,-),=()解析:∵∥α,∴⊥,经验证只有中=(,-),=(),满足⊥,这是因为×+(-)×+×=.答案:.已知=(,-),=(,),若⊥,=(-,,-),且⊥平面,则向量等于( )解析:·=+-=,故=,由·=-++=,且·=(-)+-=,得=,=-=.答案:二、填空题(每小题分,共分).有以下结论:①若直线,的方向向量分别为=(,-),=(-),则⊥.②若平面α、β的法向量分别为=(,-),=(-),则α⊥β.③若直线的方向向量为=(,-),平面α的法向量为=(-),则⊥α.④已知平面α、β的法向量分别为=(,-),=(-,,),若α∥β,则·=-.以上结论正确的序号为.(把你认为正确的序号都填上)解析:对于①:因为·=,∴⊥,①正确;对于②:因为·=,所以α⊥β,②正确;对于③:因为·=,所以⊂α或∥α,③错误;对于④:因为α∥β,所以∥,∴==,∴=-,=,·=-,④正确.答案:①②④.已知点(),(),(),且四边形是平行四边形,则顶点的坐标为.解析:方法一:设点的坐标为(,,),根据题意,=(-,--),=(-),由于四边形是平行四边形,所以=.所以(---)=(-),解得=,=,=.所以点的坐标为().方法二:由于四边形是平行四边形,所以其对角线互相平分.设的中点为,坐标为(,,),则(,,)=[()+()]=()=.又设点的坐标为(,,),[(,,)+()]=,即=,∴=,=,=,即点的坐标为().答案:()三、解答题(每小题分,共分).()设,分别是不同的平面α,β的法向量,根据下列条件判断α,β的位置关系:①=(-,-),=;②=(),=(-);③=(,-),=(,-).()设是平面α的法向量,是直线的方向向量,根据下列条件判断α与的位置关系:①=(,-),=(-);②=(,-),=(,-);③=(),=(-).解析:()①∵=(-,-),=,∴·=-++=,∴⊥,∴α⊥β.。
选修2-1章末综合测评3 空间向量与立体几何【含答案】
章末综合测评(三) 空间向量与立体几何(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.与向量a =(1,-3,2)平行的一个向量的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13,1,1 B .(-1,-3,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,32,-1 D.()2,-3,-22C [a =(1,-3,2)=-2⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,32,-1.]2.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,A 1E →=14A 1C 1→,AE →=xAA 1→+y (AB →+AD →),则( )A .x =1,y =12 B .x =1,y =13 C .x =12,y =1D .x =1,y =14D [AE →=AA 1→+A 1E →=AA 1→+14A 1C 1→ =AA 1→+14AC →=AA 1→+14(AB →+AD →), ∴x =1,y =14.应选A.]3.已知A (2,-4,-1),B (-1,5,1),C (3,-4,1),D (0,0,0),令a =CA →,b =CB →,则a +b 为( )A .(5,-9,2)B .(-5,9,-2)C .(5,9,-2)D .(5,-9,-2) B [a =CA →=(-1,0,-2),b =CB →=(-4,9,0), ∴a +b =(-5,9,-2).]4.已知点A (1,2,1),B (-1,3,4),D (1,1,1),若AP →=2PB →,则|PD →|的值是( )A.13 B.23 C.773D.63C [设P (x ,y ,z ),则AP →=(x -1,y -2,z -1), PB →=(-1-x ,3-y ,4-z ), 由AP →=2PB →知x =-13,y =83,z =3, 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,83,3.由两点间距离公式可得|PD →|=773.]5.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,下列结论不正确的是( ) A.AB →=-C 1D 1→ B.AB →·BC →=0 C.AA 1→·B 1D 1→=0D.AC 1→·A 1C →=0D [如图,AB →∥C 1D 1→,AB →⊥BC →,AA 1→⊥B 1D 1→,故A ,B ,C 选项均正确.]6.设ABCD 的对角线AC 和BD 交于E ,P 为空间任意一点,如图所示,若P A →+PB →+PC →+PD →=xPE →,则x =( )A .2B .3C .4D .5C [∵E 为AC ,BD 的中点, ∴由中点公式得PE →=12(P A →+PC →), PE →=12(PB →+PD →).∴P A →+PB →+PC →+PD →=4PE →.从而x =4.]7.已知a =(2,-1,3),b =(-1,4,-2),c =(7,5,λ),若a ,b ,c 三向量共面,则实数λ等于( )A.627B.637C.647D.657D [∵a ,b ,c 三向量共面,则存在不全为零的实数x ,y ,使c =x a +y b , 即(7,5,λ)=x (2,-1,3)+y (-1,4,-2) =(2x -y ,-x +4y ,3x -2y ), 所以⎩⎨⎧2x -y =7,-x +4y =5,3x -2y =λ.解得⎩⎪⎨⎪⎧x =337,y =177.∴λ=3x -2y =657.]8.若向量a =(x ,4,5),b =(1,-2,2),且a 与b 的夹角的余弦值为26,则x =( )A .3B .-3C .-11D .3或-11A [因为a·b =(x ,4,5)·(1,-2,2)=x -8+10=x +2,且a 与b 的夹角的余弦值为26,所以26=x +2x 2+42+52×1+4+4,解得x =3或-11(舍去),故选A.]9.若直线l 的方向向量为(2,1,m ),平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1,12,2,且l ⊥α,则m =( )A .2B .3C .4D .5 C [∵l ⊥α,∴直线l 的方向向量平行于平面α的法向量. ∴21=112=m 2.∴m =4.]10.直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,若∠BAC =90°,AB =AC =AA 1,则异面直线BA 1与AC 1所成角为( )A .30°B .45°C .60°D .90° C [建立如图所示的空间直角坐标系,设AB =1, 则A (0,0,0),B (1,0,0),A 1(0,0,1),C 1(0,1,1), ∴BA 1→=(-1,0,1),AC 1→=(0,1,1),∴cos 〈BA 1→,AC 1→〉=BA 1→·AC 1→|BA 1→||AC 1→|=12×2=12.∴〈BA 1→,AC 1→〉=60°,即异面直线BA 1与AC 1所成角为60°.]11.已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.33C.23D.13A [以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设AA 1=2AB =2,则D (0,0,0),C (0,1,0),B (1,1,0),C 1(0,1,2),则DC →=(0,1,0),DB →=(1,1,0),DC 1→=(0,1,2).设平面BDC 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则n ⊥DB →,n ⊥DC 1→,所以有⎩⎨⎧x +y =0,y +2z =0,令y =-2,得平面BDC 1的一个法向量为n =(2,-2,1).设CD 与平面BDC 1所成的角为θ,则sin θ=|cos 〈n ,DC →〉|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DC →|n ||DC →|=23.]12.在矩形ABCD 中,AB =3,AD =4,P A ⊥平面ABCD ,P A =435,那么二面角A -BD -P 的大小为( )A .30°B .45°C .60°D .75° A [如图所示,建立空间直角坐标系, 则PB →=⎝ ⎛⎭⎪⎫3,0,-453,BD →=(-3,4,0).设n =(x ,y ,z )为平面PBD 的一个法向量,则 ⎩⎨⎧n ·PB →=0,n ·BD →=0,得⎩⎪⎨⎪⎧(x ,y ,z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3,0,-453=0,(x ,y ,z )·(-3,4,0)=0. 即⎩⎪⎨⎪⎧3x -453z =0,-3x +4y =0.令x =1,则n =⎝ ⎛⎭⎪⎫1,34,543.又n 1=⎝ ⎛⎭⎪⎫0,0,453为平面ABCD 的一个法向量,∴cos 〈n 1,n 〉=n 1·n |n 1||n |=32,∴所求二面角为30°.]二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′,则下列三个式子中: ①AB →-CB →=AC →; ②AA ′→=CC ′→;③AB →+BB ′→+BC →+C ′C →=AC ′→. 其中正确的有________.①② [①AB →-CB →=AB →+BC →=AC →,正确;②显然正确;③AB →+BB ′→+BC →+C ′C →=(AB →+BC →)+(BB ′→+C ′C →)=AC →+0≠AC ′→,错误.]14.若向量m =(-1,2,0),n =(3,0,-2)都与一个二面角的棱垂直,则m ,n 分别与两个半平面平行,则该二面角的余弦值为________.-36565或36565 [∵cos 〈m ,n 〉=m ·n |m |·|n | =-1×3+2×0+0×(-2)5×13=-36565.∴二面角的余弦值为-36565或36565.]15.如图正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,O 是平面A 1B 1C 1D 1的中心,则BO 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为________.36 [建立坐标系如图,则B (1,1,0),O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,12,1,DA 1→=(1,0,1)是平面ABC 1D 1的一个法向量.又OB →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,12,-1,∴BO 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为|cos 〈OB →,DA 1→〉| =|OB →·DA 1→||OB →|·|DA 1→|=1262×2=36.] 16.设动点P 在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上,记D 1PD1B=λ,当∠APC 为钝角时,λ的取值范围是________.⎝ ⎛⎭⎪⎫13,1 [建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ,则A (1,0,0),C (0,1,0),B (1,1,0),D 1(0,0,1),设P (x ,y ,z ),则D 1P →=(x ,y ,z -1),D 1B →=(1,1,-1),由D 1P →=λD 1B →, 得(x ,y ,z -1)=λ(1,1,-1), ∴⎩⎨⎧x =y =λ,z -1=-λ,即P (λ,λ,1-λ), ∴P A →=(1-λ,-λ,λ-1),PC →=(-λ,1-λ,λ-1), 由P A →·PC →<0得-2λ(1-λ)+(λ-1)2<0,解得13<λ<1. 由题意知P A →与PC →所成的角不可能为π,故13<λ<1.]三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图,一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1,底面ABCD 是正方形,CC 1=3,CD =2,且∠C 1CB =∠C 1CD =60°.(1)设CD →=a ,CB →=b ,CC 1→=c ,试用a ,b ,c 表示A 1C →; (2)已知O 为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心,求CO 的长. [解] (1)由CD →=a ,CB →=b ,CC 1→=c ,得CA 1→=a +b +c , 所以A 1C →=-a -b -c .(2)O 为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心,即O 为线段A 1C 的中点. 由已知条件得|a |=|b |=2,|c |=3,a ·b =0,〈a ,c 〉=60°,〈b ,c 〉=60°. 由(1)得CA 1→=a +b +c ,则|CA 1→|2=CA 1→2=(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2a ·b +2b ·c +2a ·c =22+22+32+0+2×2×3×cos 60°+2×2×3×cos 60°=29.所以A 1C 的长为29,所以CO 的长为292.18.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD ,PD ∥QA ,QA =AB =12PD .(1)证明:平面PQC ⊥平面DCQ ; (2)证明:PC ∥平面BAQ .[证明] 如图,以D 为坐标原点,线段DA 的长为单位长,射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D -xyz .(1)依题意有Q (1,1,0),C (0,0,1),P (0,2,0),则DQ →=(1,1,0),DC →=(0,0,1),PQ →=(1,-1,0),所以PQ →·DQ →=0,PQ →·DC →=0,即PQ ⊥DQ ,PQ ⊥DC 且DQ ∩DC =D . 故PQ ⊥平面DCQ .又PQ ⊂平面PQC ,所以平面PQC ⊥平面DCQ .(2)根据题意,DA →=(1,0,0),AB →=(0,0,1),AQ →=(0,1,0),故有DA →·AB →=0,DA →·AQ →=0,所以DA →为平面BAQ 的一个法向量.又因为PC →=(0,-2,1),且DA →·PC →=0,即DA ⊥PC ,且PC 平面BAQ ,故有PC ∥平面BAQ .19.(本小题满分12分)如图所示,已知点P 在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上,∠PDA =60°.(1)求DP 与CC ′所成角的大小. (2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小.[解] (1)如图所示,以D 为原点,DA ,DC ,DD ′分别为x 轴,y 轴,z 轴正方向建立空间直角坐标系,设DA =1.则DA →=(1,0,0),CC ′→=(0,0,1). 连接BD ,B ′D ′.在平面BB ′D ′D 中,延长DP 交B ′D ′于H .设DH →=(m ,m ,1)(m >0), 由已知〈DH →,DA →〉=60°,由DA →·DH →=|DA →||DH →|cos 〈DH →,DA →〉,可得2m =2m 2+1.解得m =22, 所以DH →=⎝ ⎛⎭⎪⎫22,22,1.因为cos 〈DH →,CC ′→〉=22×0+22×0+1×12×1=22,所以〈DH →,CC ′→〉=45°,即DP 与CC ′所成的角为45°. (2)平面AA ′D ′D 的一个法向量是DC →=(0,1,0), 因为cos 〈DH →,DC →〉=22×0+22×1+1×01×2=12,所以〈DH →,DC →〉=60°,可得DP 与平面AA ′D ′D所成的角为30°.20.(本小题满分12分)如图,AB 是圆的直径,P A 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.(1)求证:平面PBC ⊥平面P AC ;(2)若AB =2,AC =1,P A =1,求二面角C -PB -A 的余弦值. [解] (1)证明:由AB 是圆的直径,得AC ⊥BC , 由P A ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,得P A ⊥BC . 又P A ∩AC =A ,P A ⊂平面P AC ,AC ⊂平面P AC ,所以BC ⊥平面P AC . 因为BC ⊂平面PBC . 所以平面PBC ⊥平面P AC .(2)过C 作CM ∥AP ,则CM ⊥平面ABC .如图,以点C 为坐标原点,分别以直线CB ,CA ,CM 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.在Rt △ABC 中,因为AB =2,AC =1,所以BC = 3.又因为P A =1,所以A (0,1,0),B (3,0,0),P (0,1,1). 故CB →=(3,0,0),CP →=(0,1,1).设平面BCP 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),则⎩⎨⎧CB →·n 1=0,CP →·n 1=0,所以⎩⎨⎧3x 1=0,y 1+z 1=0,不妨令y 1=1,则n 1=(0,1,-1).因为AP →=(0,0,1),AB →=(3,-1,0),设平面ABP 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),则⎩⎨⎧AP →·n 2=0,AB →·n 2=0,所以⎩⎨⎧z 2=0,3x 2-y 2=0, 不妨令x 2=1,则n 2=(1 3,0).于是cos 〈n 1,n 2〉=322=64. 由图知二面角C -PB -A 为锐角,故二面角C -PB -A 的余弦值为64.21.(本小题满分12分)如图,在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,M ,N 分别是棱AB ,AD ,A 1B 1,A 1D 1的中点,点P ,Q 分别在棱DD 1,BB 1上移动,且DP =BQ =λ(0<λ<2).(1)当λ=1时,证明:直线BC 1∥平面EFPQ ;(2)是否存在λ,使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.[解]以D 为原点,射线DA ,DC ,DD 1分别为x 轴,y 轴,z 轴的正半轴建立空间直角坐标系.由已知得B (2,2,0),C 1(0,2,2),E (2,1,0),F (1,0,0),P (0,0,λ),BC 1→=(-2,0,2),FP →=(-1,0,λ),FE →=(1,1,0).(1)证明:当λ=1时,FP →=(-1,0,1),因为BC 1→=(-2,0,2).所以BC 1→=2FP →,可知BC 1∥FP ,而FP ⊂平面EFPQ ,且BC 1平面EFPQ ,故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),由⎩⎨⎧FE →·n =0,FP →·n =0,得⎩⎨⎧x +y =0,-x +λz =0, 于是可取n =(λ,-λ,1),同理可得平面PQMN 的一个法向量为m =(λ-2,2-λ,1),若存在λ,使得平面EFPQ 与平面PQMN 所在的二面角为直二面角, 则m·n =(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±22,故存在λ=1±22,使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角.22.(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1C 1C 是边长为4的正方形,平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,AB =3,BC =5.(1)求证:AA 1⊥平面ABC ;(2)求二面角A 1BC 1B 1的余弦值;(3)证明:在线段BC 1上存在点D ,使得AD ⊥A 1B ,并求BD BC 1的值. [解] (1)因为AA 1C 1C 为正方形,所以AA 1⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ,所以AA 1⊥平面ABC .(2)由(1)知AA 1⊥AC ,AA 1⊥AB .由题意知AB =3,BC =5,AC =4,所以AB ⊥AC .如图,以A 为坐标原点,建立空间直角坐标系A -xyz ,则B (0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4).所以A 1B →=(0,3,-4),A 1C 1→=(4,0,0).设平面A 1BC 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则⎩⎨⎧n ·A 1B →=0,n ·A 1C 1→=0,即⎩⎨⎧3y -4z =0,4x =0. 令z =3,则x =0,y =4,所以平面A 1BC 1的一个法向量为n =(0,4,3). 同理可得,平面B 1BC 1的一个法向量为m =(3,4,0).所以cos 〈n ,m 〉=n ·m |n ||m |=1625.由题意知二面角A 1BC 1B 1为锐角,所以二面角A 1BC 1B 1的余弦值为1625.(3)证明:假设D (x 1,y 1,z 1)是线段BC 1上一点,且BD →=λBC 1→(λ∈[0,1]),所以(x 1,y 1-3,z 1)=λ(4,-3,4). 解得x 1=4λ,y 1=3-3λ,z 1=4λ,所以AD →=(4λ,3-3λ,4λ).由AD →·A 1B →=0,得9-25λ=0,解得λ=925.因为925∈[0,1],所以在线段BC 1上存在点D ,使得AD ⊥A 1B . 此时BD BC 1=λ=925.。
(word完整版)高中数学选修2-1第三章+空间向量与立体几何+测试题(含详解)
高中数学选修2-1第三章+空间向量与立体几何+测试题(时间:120分钟,满分:150分)5分,满分60分•在每小题给出的四个选项中,有且只有一项答案 B3.设11的方向向量为a = (1,2, — 2),12的方向向量为b = (— 2,3, m ),若11丄12,则实数m 的值为( )1 A . 3 B .2 C . 1D.2解析 • h 丄 12,a 丄 b ,二 a b = 0, — 2+ 6 — 2m = 0, m = 2.答案 B4 .若a , b 均为非零向量,则 a b = |a||b|是a 与b 共线的( )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析 ■/ a b = |a||b|cos 〈 a , b>,而 a b = ••• cos 〈 a , b > = 1, ••• 〈 a , b > = 0.••• a 与b 共线.反之,若 a 与b 共线,也可能a b =— |a| |b|,因此应选B. 答案 Bf f f f5 .在△ ABC 中,AB = c , AC = b.若点 D 满足 BD = 2DC ,则 AD =()1.向量a =(2x,1,3), b = (1, — 2y,9), 右a 与b 共线,则 ( )11A . x = 1, y = 1B . x =2, y =- 2112C . x = 6y = — 2D . x =— 6,y ==3解析由 a // b 知,a = ?b , • 2x =入1 =—2入y3= 9入 ;1 1 入 =3 x=6,y =答案 C2 .已知a =(—3,2,5), b = (1, x ,— 1 ),且a b = 2,贝U x 的值是()A . 6B . 5C . 4D . 3是符合题目要求的)3 2.解析 a b =— 3 + 2x — 5 = 2,二 x = 5. 、选择题(本大题共12小题,每小题2 1A.3b+ 3C2 1C.3b —3c1 2D.3b+3c解析 BC 的中点D 的坐标为(2,1,4),T••• AD = (— 1,— 2,2).T• |AD |= - . 1 + 4 + 4= 3. 答案 B&与向量a = (2,3,6)共线的单位向量是( )2 3 6 236A . (7, 7, 7)B . (—7,— 7,— ?)ff解析如图,AD = AB + BDT T2=AB + 3BC3T T T2=AB + 3(AC — AB)T T1 2=3AB+ 3AC1 2 =3c + 3b 答案 A起构成空间的另一个基底的是() A . a B.bC . cD .以上都不对 解析 I a , b,c 不共面,•- a + b ,a — b, c 不共面, • p , q , c 可构成空间的一个基底 7 .已知△ ABC 的三个顶点 A(3,3,2), B(4, — 3,7), C(0,5,1),贝U BC 边上的中线长为(厂64D. 657解析 设平面ABC 的一个法向量为 n = (x , y , z),v AB= (— 5, — 1,1), AC = (— 4, — 2, — 1),f f由 n AB = 0 及 n AC = 0,得 —5x — y + z = 0,令 z = 1,—4x — 2y — z = 0, 得 x = 2 y =— 3• n = g — |, 1).f又AD = (— 2,— 1,3),设AD 与平面ABC 所成的角为0,则2 3 6 2 3 6 2 3 6 2 3 6 C - (7,- 7,— 7)和(—7,7,7) D . (7,7 7)和(_■?,— 7,— 7)解析|a|=- ‘22 + 32 + 62= 7, •••与a 共线的单位向量是 £(2,3,6),故应选D. 答案 D9.已知向量 a = (2,4, x), b = (2, y,2),若 |a|= 6 且 a 丄b ,则 x + y 为( )A . -3 或 1B . 3 或—1C . -3D . 1解析由|a|= 6, a 丄b ,4+ 16+ /= 36, 得 4+ 4y + 2x = 0,x = 4, 解得y = — 3,x = — 4, 或y = 1.•- x + y = 1,或一3.答案 A 10.已知 a = b = (3,2 — x , x 2),且a 与b 的夹角为钝角,则实数 x 的取值范围是()A . x>4x< — 4C . 0<x<4D . — 4<x<0.解析 ■/〈 a , b 〉为钝角,• a b = |a||b|cos 〈 a , b > <0, 即 3x + 2(2 — x)<0 , - - x< — 4.答案 B11. 已知空间四个点 A(1,1,1), B(— 4,0,2), C(— 3,— 1 , 的角为()0), D( — 1,0,4),则直线 AD 与平面ABC 所成 A . 30 °B . 45 °C . 60 °D . 90 °sin 0=IAD n|f12, |AD||n|—1 +1 + 3••• 0= 30°答案 A12.已知二面角 a — l - B 的大小为50 ° P 为空间中任意一点,则过点 P 且与平面a 和平面B 所成的角都是25°的直线的条数为()A . 2B . 3C . 4D . 5解析 过点P 分别作平面 a, B 的垂线l i 和|2,则11与12所成的角为130或50 °问题转化为过点 P与直线l i , |2成65。
高二数学选修21第3章空间向量与立体几何单元测试题(含答案)
高二数学选修2-1第3章空间向量与立体几何单元测试题(含答案)空间向量是解立体几何的一种常用方法,以下是第3章空间向量与立体几何单元测试题,希望对大家有帮助。
一、填空题1.判断下列各命题的真假:①向量AB的长度与向量BA的长度相等;②向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反;③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同;④两个有公共终点的向量,一定是共线向量;⑤有向线段就是向量,向量就是有向线段.其中假命题的个数为________.2.已知向量AB,AC,BC满足|AB|=|AC|+|BC|,则下列叙述正确的是________.(写出所有正确的序号)①AB=AC+BC②AB=-AC-BC③AC与BC同向;④AC与CB同向.3.在正方体ABCD-A1B1C1D中,向量表达式DD1-AB+BC化简后的结果是________.4.在平行六面体ABCD-A1B1C1D中,用向量AB,AD,AA1来表示向量AC1的表达式为___________________________________________________ _____________________.5.四面体ABCD中,设M是CD的中点,则AB+12(BD+BC)化简的结果是________.6.平行六面体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H,P,Q分别是A1A,AB,BC,CC1,C1D1,D1A1的中点,下列结论中正确的有________.(写出所有正确的序号)① +GH+PQ② -GH-PQ③ +GH-PQ④ -GH+PQ=0.7.如图所示,a,b是两个空间向量,则AC与AC是________向量,AB与BA是________向量.8.在正方体ABCD-A1B1C1D中,化简向量表达式AB+CD+BC+DA 的结果为________.二、解答题9.如图所示,已知空间四边形ABCD,连结AC,BD,E,F,G 分别是BC,CD,DB的中点,请化简(1)AB+BC+CD,(2)AB+GD+EC,并标出化简结果的向量.10.设A是△BCD所在平面外的一点,G是△BCD的重心.求证:AG=13(AB+AC+AD).能力提升11.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD 的中点,AE的延长线与CD交于点F.若AC=a,BD=b,则AF=______________________.12.证明:平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处互相平分.解析①真命题;②假命题,若a与b中有一个为零向量时,其方向是不确定的;③真命题;④假命题,终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反;⑤假命题,向量可用有向线段来表示,但并不是有向线段.2.④解析由|AB|=|AC|+|BC|=|AC|+|CB|,知C点在线段AB上,否则与三角形两边之和大于第三边矛盾,所以AC与CB同向.3.BD1解析如图所示,∵DD1=AA1,DD1-AB=AA1-AB=BA1,BA1+BC=BD1,DD1-AB+BC=BD1.4.AC1=AB+AD+AA1解析因为AB+AD=AC,AC+AA1=AC1,所以AC1=AB+AD+AA1.5.AM解析如图所示,因为12(BD+BC)=BM,所以AB+12(BD+BC)=AB+BM=AM.6.①解析观察平行六面体ABCDA1B1C1D1可知,向量EF,GH,PQ 平移后可以首尾相连,于是EF+GH+PQ=0.7.相等相反8.0解析在任何图形中,首尾相接的若干个向量和为零向量.9.解 (1)AB+BC+CD=AC+CD=AD.(2)∵E,F,G分别为BC,CD,DB的中点.BE=EC,EF=GD.AB+GD+EC=AB+BE+EF=AF.故所求向量AD,AF,如图所示.10.证明连结BG,延长后交CD于E,由G为△BCD的重心,知BG=23BE.∵E为CD的中点,BE=12BC+12BD.AG=AB+BG=AB+23BE=AB+13(BC+BD)=AB+13[(AC-AB)+(AD-AB)]=13(AB+AC+AD).11.23a+13b解析 AF=AC+CF=a+23CD=a+13(b-a)=23a+13b.12.证明如图所示,平行六面体ABCDABCD,设点O是AC的中点,则AO=12AC=12(AB+AD+AA).设P、M、N分别是BD、CA、DB的中点.则AP=AB+BP=AB+12BD=AB+12(BA+BC+BB)=AB+12(-AB+AD+AA)=12(AB+AD+AA).同理可证:AM=12(AB+AD+AA)AN=12(AB+AD+AA).由此可知O,P,M,N四点重合.故平行六面体的对角线相交于一点,且在交点处互相平分.第3章空间向量与立体几何单元测试题的全部内容就是这些,查字典数学网预祝大家新学期可以取得更好的成绩。
高中数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元质量测评(含答案)
高中数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元质量测评(含答案)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.1.若平面α外直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为n ,则能使l ∥α的是( )A .a =(1,0,1),n =(-2,0,0)B .a =(1,3,5),n =(1,0,1)C .a =(0,2,1),n =(-1,0,-1)D .a =(1,-1,3),n =(0,3,1)2.已知A (1,2,-1),B 为A 关于平面xOy 的对称点,C 为B 关于y 轴的对称点,则BC →=( )A .(-2,0,-2)B .(2,0,2)C .(-1,0,-1)D .(0,-2,-2) 3.设(43)(32)a b ==,,,,,x z ,且∥a b ,则xz 等于( ) A.4-B.9C.9-D.6494.若向量(12)λ=,,a 与(212)=-,,b 的夹角的余弦值为89,则λ=( )A.2 B.2- C.2-或255D.2或255-5.已知A (2,-4,-1),B (-1,5,1),C (3,-4,1),D (0,0,0),令a =CA →,b =CB →,则a +b 为( )A .(5,-9,2)B .(-5,9,-2)C .(5,9,-2)D .(5,-9,-2) 6.已知a =(1,2,-y ),b =(x,1,2),且(a +2b )∥(2a -b ),则( )A .x =13,y =1B .x =12,y =-4C .x =2,y =-14 D .x =1,y =-17.已知向量i ,j ,k 是一组单位正交向量,m =8j +3k ,n =-i +5j -4k ,则m ·n =( )A .7B .-20C .28D .118.已知a =(-1,-5,-2),b =(x,2,x +2),若a ⊥b ,则x 的值为( )A .0B .-143C .-6D .±69.如图,在四面体ABCD 中,已知AB →=b ,AD →=a ,AC →=c ,BE →=12EC →,则DE →=( )A .-a +23b +13cB .a +23b +13cC .a -23b +13c D.23a -b +13c10.如图所示,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AA 1=AB =AC ,AB ⊥AC ,M 是CC 1的中点,Q 是BC 的中点,P 是A 1B 1的中点,则直线PQ 与AM 所成的角为( )A.π6B.π4C.π3D.π211.已知a =(2,-1,3),b =(-1,4,-2),c =(7,5,λ),若a 、b 、c 三向量共 面,则实数λ等于 ( )A .627B .637C .647D .65712. 已知△ABC 的三个顶点为A (3,3,2),B (4,-3,7),C (0,5,1),则BC 边上的 中线长为 ( )A .2B .3C .4D .5 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D 中,向量1BA 与向量AC 所成的角为 . 14.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,若E 为矩形ABCD 的中心,设A 1E →=A 1A →+xA 1B 1→+yA 1D 1→,则x =________,y =________.15.已知a =(3,1,5),b =(1,2,-3),向量c 与z 轴垂直,且满足a ·c =9,b ·c =-4,则c =________.16.在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 是AA 1的中点,则A 1到平面MBD 的距离为________. 三、解答题:17.(本小题满分10分)已知空间三点A (-2,0,2),B (-1,1,2),C (-3,0,4),设a =AB →,b =AC →.(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值;(2)若向量k a +b 与k a -2b 互相垂直,求k 的值.18.(本小题10分)如图所示,已知几何体ABCD -A 1B 1C 1D 1是平行六面体.化简12AA 1→+BC →+23AB →,并在图上标出结果;19.(本小题满分10分)如图,在直棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AD ∥BC ,∠BAD =90°,AC ⊥BD ,BC =1,AD =AA 1=3. 证明:AC ⊥B 1D ;20.(本小题满分10分) 已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,求证:AD 1∥平面BDC 1. 参考答案 一.选择题二.填空题13. 120° 14. 12 12 15. (225,-215,0) 16.66a三、解答题:17. 解 a =AB →=(-1,1,2)-(-2,0,2)=(1,1,0),b =AC →=(-3,0,4)-(-2,0,2)=(-1,0,2).(1)cos θ=a ·b |a ||b |=-1+0+02×5=-1010, ∴a 与b 的夹角θ的余弦值为-1010. (2)k a +b =(k ,k,0)+(-1,0,2)=(k -1,k,2),k a -2b =(k ,k,0)-(-2,0,4)=(k +2,k ,-4),∴(k -1,k,2)·(k +2,k ,-4)=(k -1)·(k +2)+k 2-8=0,即2k 2+k -10=0,∴k =-52或k =2.18. 解 如图所示,取AA 1的中点E ,在D 1C 1上取一点F ,使得D 1F =2FC 1,连接EF ,则 12AA 1→+BC →+23AB → =EA 1→+A 1D 1→+D 1F →=EF →.19. 解 由题意易知,AB ,AD ,AA 1两两垂直.如图,以A 为坐标原点,AB ,AD ,AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设AB =t ,则相关各点的坐标为A (0,0,0),B (t,0,0),B 1(t,0,3),C (t,1,0),C 1(t,1,3),D (0,3,0),D 1(0,3,3).从而B 1D →=(-t,3,-3),AC →=(t,1,0),BD →=(-t,3,0).因为AC ⊥BD ,所以AC →·BD →=-t 2+3+0=0.解得t =3或t =-3(舍去).于是B 1D →=(-3,3,-3),AC →=(3,1,0).因为AC →·B 1D →=-3+3+0=0,所以AC →⊥B 1D →,即AC ⊥B 1D .20.证明 以D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .设正方体的棱长为1,则有D (0,0,0),A (1,0,0),D 1(0,0,1),A 1(1,0,1),C (0,1,0),B (1,1,0),C 1(0,1,1),AD 1→=(-1,0,1),设n =(x ,y ,z )为平面BDC 1的法向量, 则n ⊥DB →,n ⊥DC 1→,所以⎩⎪⎨⎪⎧x ,y ,z ,1,=0,x ,y ,z,1,=0,即⎩⎪⎨⎪⎧x +y =0,y +z =0,令x =1,则n =(1,-1,1),n ·AD 1→=(1,-1,1)·(-1,0,1)=0,故n ⊥AD 1→, 又AD 1⊄平面BDC 1, 所以AD 1∥平面BDC 1.。
苏教版数学高二-数学选修2-1检测 第三章《空间向量与立体几何》综合检测
综合检测(三)第三章 空间向量与立体几何(时间:90分钟,满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.(2013·佛山高二检测)与向量a =(1,-3,2)平行的一个向量的坐标是( ) A .(13,1,1) B .(-1,-3,2) C .(-12,32,-1)D .(2,-3,-22)【解析】 a =(1,-3,2)=-2(-12,32,-1). 【答案】 C2.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,A 1E →=14A 1C 1→,AE →=xAA 1→+y (AB →+AD →),则( )A .x =1,y =12 B .x =1,y =13 C .x =12,y =1D .x =1,y =14【解析】 AE →=AA 1→+A 1E →=AA 1→+14A 1C 1→=AA 1→+14AC →=AA 1→+14(AB →+AD →), ∴x =1,y =14.应选D. 【答案】 D3.已知A (2,-4,-1),B (-1,5,1),C (3,-4,1),D (0,0,0),令a =CA →,b =CB →,则a +b 为( )A .(5,-9,2)B .(-5,9,-2)C .(5,9,-2)D .(5,-9,-2)【解析】 a =CA →=(-1,0,-2), b =CB →=(-4,9,0), ∴a +b =(-5,9,-2). 【答案】 B4.(2013·洛阳高二检测)棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,下列结论不正确的是( )A.AB →=-C 1D 1→B.AB →·BC →=0 C.AA 1→·B 1D 1→=0D.AC 1→·A 1C →=0【解析】 如图AB →∥C 1D 1→,AB →⊥BC →,AA 1→⊥B 1D 1,故A 、B 、C 选项均正确. 【答案】 D5.已知向量a 、b 是平面α内的两个不相等的非零向量,非零向量c 在直线l 上,则c ·a =0,且c ·b =0是l ⊥α的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【解析】 若l ⊥α,则l 垂直于α内的所有直线,从而有c ·a =0,c ·b =0.反之由于a 、b 是否共线没有确定,若共线,则结论不成立;若不共线,则结论成立.【答案】 B6.已知△ABC 的三个顶点为A (3,3,2),B (4,-3,7),C (0,5,1),则BC 边上的中线长为( )A .2B .3C .4D .5【解析】 设BC 中点为D ,则D (2,1,4),∴AD →=(-1,-2,2), ∴|AD →|=(-1)2+(-2)2+22=3,即BC 边上的中线长为3.【答案】 B7.(2013·岳阳高二检测)若向量a =(1,λ,2),b =(2,-1,2),且a 与b 的夹角的余弦值为89,则λ=( )A .2B .-2C .-2或255D .2或-255【解析】 ∵cos 〈a ,b 〉=a ·b |a |·|b |=2-λ+45+λ2·9=89,解得λ=-2或λ=255.【答案】 C8.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A.23 B.33 C.23D.63【解析】 设正方体的棱长为1,建系如图. 则D (0,0,0),B (1,1,0),B 1(1,1,1). 平面ACD 1的法向量为DB 1→=(1,1,1). 又BB 1→=(0,0,1),则cos 〈DB 1→,BB 1→〉=DB 1→·BB 1→|DB 1→||BB 1→|=13×1=33.故BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为1-(33)2=63.【答案】 D9.已知AB →=(1,5,-2),BC →=(3,1,z ),若AB →⊥BC →,BP →=(x -1,y ,-3),BP →⊥平面ABC ,则BP →等于( )A .(407,-157,-4) B .(407,-157,-3) C .(337,-157,4)D .(337,-157,-3)【解析】 ∵AB →⊥BC →,∴AB →·BC →=3+5-2z =0,∴z =4,∴BC →=(3,1,4). ∵BP →⊥平面ABC ,∴BP →·AB →=0,BP →·BC →=0,∴⎩⎪⎨⎪⎧(x -1)×1+y ×5+(-3)×(-2)=0,(x -1)×3+y ×1+(-3)×4=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =407y =-157,∴BP →=(337,-157,-3).【答案】 D10.在矩形ABCD 中,AB =3,AD =4,PA ⊥平面ABCD ,PA =435,那么二面角A -BD -P 的大小为( )A .30°B .45°C .60°D .75°【解析】 如图所示,建立空间直角坐标系, 则PB →=(3,0,-453),BD →=(-3,4,0).设n =(x ,y ,z )为平面PBD 的一个法向量,则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·PB →=0n ·BD →=0⇒⎩⎨⎧(x ,y ,z )·(3,0,-453)=0,(x ,y ,z )·(-3,4,0)=0.即⎩⎨⎧3x -453z =0,-3x +4y =0.令x =1,则n =(1,34,543).又n 1=(0,0,453)为平面ABCD 的一个法向量, ∴cos 〈n 1,n 〉=n 1·n |n 1||n |=32.∴所求二面角为30°. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)11.(2013·北京高二检测)若a =(2x,1,3),b =(1,-2y,9),且a 与b 为共线向量,则x =________,y =________.【解析】 由题意得2x 1=1-2y =39,∴x =16,y =-32.【答案】 16 -3212.(2013·重庆高二检测)已知点A (1,-2,11),B (4,2,3),C (6,-1,4),则△ABC 的形状是________.【解析】 ∵AC →=(5,1,-7),BC →=(2,-3,1),∴AC →·BC →=10-3-7=0. ∴AC →⊥BC →,∴∠ACB =90°,又∵|AC →|≠|BC →|, ∴△ABC 为直角三角形. 【答案】 直角三角形13.已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,以顶点A 为端点的三条棱长都等于1,且两两夹角都是60°,则对角线AC 1的长是________.【解析】 如图所示, 设AA 1→=a ,AB →=b ,AD →=c , ∴a ·b =a ·c =b ·c =1×1×cos 60°=12. 又AC 1→=AB →+BC →+CC 1→=a +b +c , |AC 1→|=(a +b +c )2=3+3×2×12= 6.【答案】 614.命题:①若a 与b 共线,b 与c 共线,则a 与c 共线; ②向量a 、b 、c 共面,则它们所在的直线也共面; ③若a 与b 共线,则存在惟一的实数λ,使b =λa ;④若A 、B 、C 三点不共线,O 是平面ABC 外一点,OM →=13OA →+13OB →+13OC →,则点M 一定在平面ABC 上,且在△ABC 内部.上述命题中的真命题是________.【解析】 当b =0时,①不正确;a 、b 、c 共面于平面α,则a ,b ,c 所在的直线可能异面,但都与α平行,所以②不正确;③不正确.因为a ∥b ⇔b =λa (a ≠0);由空间向量基本定理可知④正确.【答案】 ④三、解答题(本大题共4小题,共50分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)图115.(本小题满分12分)如图1所示的平行六面体中,求证:AC →+AB ′→+AD ′→=2AC ′→.【证明】 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形, ∴AC →=AB →+AD →,AB ′→=AB →+AA ′→,AD ′→=AD →+AA ′→.∴AC →+AB ′→+AD ′→=(AB →+AD →)+(AB →+AA ′→)+(AD →+AA ′→)=2(AB →+AD →+AA ′→).又AA ′→=CC ′→,AD →=BC →,∴AB →+AD →+AA ′→=AB →+BC →+CC ′→=AC →+CC ′→=AC ′→. ∴AC →+AB ′→+AD ′→=2AC ′→.图216.(本小题满分12分)如图2,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AC =3,AB =5,BC =4,AA 1=4,点D 是AB 的中点.(1)求证:AC ⊥BC 1; (2)求证:AC 1∥平面CDB 1.【证明】 ∵直三棱柱ABC -A 1B 1C 1底面三边长AC =3,BC =4,AB =5,∴AC ,BC ,C 1C 两两垂直.如图,以C 为坐标原点,直线CA ,CB ,CC 1分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,则C (0,0,0),A (3,0,0),C 1(0,0,4),B (0,4,0),B 1(0,4,4),D (32,2,0).(1)∵AC →=(-3,0,0),BC 1→=(0,-4,4), ∴AC →·BC 1→=0,∴AC ⊥BC 1.(2)设CB 1与C 1B 的交点为E ,则E (0,2,2). ∵DE →=(-32,0,2),AC 1→=(-3,0,4), ∴DE →=12AC 1→, ∴DE →∥AC 1→.∵DE ⊂平面CDB 1,AC 1⊄平面CDB 1,∴AC 1∥平面CDB 1.图317.(本小题满分12分)如图3,四棱锥S -ABCD 的底面是边长为2a 的菱形,且SA =SC =2a ,SB =SD =2a ,点E 是SC 上的点,且SE =λa (0<λ≤2).(1)求证:对任意的λ∈(0,2],都有BD ⊥AE ;(2)若SC ⊥平面BED ,求直线SA 与平面BED 所成角的大小.【解】(1)证明连接BD,AC,设BD与AC交于O.由底面是菱形,得BD⊥AC.∵SB=SD,O为BD中点,∴BD⊥SO.又AC∩SO=O,∴BD⊥平面SAC.又AE⊂平面SAC,∴BD⊥AE.(2)由(1)知BD⊥SO,同理可证AC⊥SO,∴SO⊥平面ABCD.取AC和BD的交点O为原点建立如图所示的坐标系,设SO=x,则OA=4a2-x2,OB=2a2-x2.∵OA⊥OB,AB=2a,∴(4a2-x2)+(2a2-x2)=4a2,解得x=a.∴OA=3a,则A(3a,0,0),C(-3a,0,0),S(0,0,a).∵SC⊥平面EBD,∴SC→是平面EBD的法向量.∴SC →=(-3a,0,-a ),SA →=(3a,0,-a ). 设SA 与平面BED 所成角为α, 则sin α=|SC →·SA →||SC →|·|SA →|=|-3a 2+a 2|(3+1)a 2·(3+1)a 2=12,即SA 与平面BED 所成的角为π6.图418.(本小题满分14分)(2012·山东高考)在如图4所示的几何体中,四边形ABCD 是等腰梯形,AB ∥CD ,∠DAB =60°,FC ⊥平面ABCD ,AE ⊥BD ,CB =CD =CF .(1)求证:BD ⊥平面AED ; (2)求二面角F -BD -C 的余弦值.【解】 (1)证明 因为四边形ABCD 是等腰梯形,AB ∥CD ,∠DAB =60°, 所以∠ADC =∠BCD =120°. 又CB =CD ,所以∠CDB =30°, 因此∠ADB =90°,即AD ⊥BD .又AE ⊥BD ,且AE ∩AD =A ,AE ,AD ⊂平面AED , 所以BD ⊥平面AED .(2)由(1)知AD ⊥BD ,所以AC ⊥BC .又FC ⊥平面ABCD ,因此CA ,CB ,CF 两两垂直.以C 为坐标原点,分别以CA ,CB ,CF 所在的直线为x 轴,y 轴,z 轴,建打印版高中数学 立如图所示的空间直角坐标系.不妨设CB =1,则C (0,0,0),B (0,1,0),D (32,-12,0),F (0,0,1).因此BD →=(32,-32,0),BF →=(0,-1,1). 设平面BDF 的一个法向量为m =(x ,y ,z ),则m ·BD →=0,m ·BF →=0,所以x =3y =3z ,取z =1,则m =(3,1,1).由于CF →=(0,0,1)是平面BDC 的一个法向量,则cos 〈m ,CF →〉=m ·CF →|m ||CF →|=15=55, 所以二面角F -BD -C 的余弦值为55.。
(人教版)高中数学选修2-1检测第3章 空间向量与立体几何3.2.2 Word版含答案
第三章(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!)一、选择题(每小题分,共分).设,都是边长为的正方形,⊥面,则异面直线与所成的角等于( ).°.°.°.°解析:以为原点,为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系.则(),(),(),∴=(-),=().∴〈,〉=.∴〈,〉=°.∴与所成的角为°.答案:.正方体-中,与平面所成角的余弦值为( )解析:建系如图,设正方体棱长为,则=().∵⊥面,∴取=()为面的法向量.设与面所成的角为θ,则θ===,∴θ=.答案:.如图所示,已知点为菱形所在平面外一点,且⊥平面,==,点为中点,则二面角--的正切值为( )解析:设∩=,连接,以为原点,,,所在直线分别为,,轴,建立空间直角坐标系,设===,则=,∴,,,.∴=,且为平面的一个法向量.由=,=可得平面的一个法向量=(,,).∴〈,〉=,〈,〉=.∴〈,〉=.答案:.在长方体-中,底面是边长为的正方形,高为,则点到截面的距离为( )解析:如图,建立空间直角坐标系-,则(),(),(,),(),∴=(),=(,-),=(),设=(,,)是平面的法向量,则⊥,⊥,∴(\\(·(,\(→))=·(,\(→))=)),即(\\(+=-=)),令=,则平面的一个法向量为=(,-).到平面的距离为==.答案:二、填空题(每小题分,共分).若两个平面α,β的法向量分别是=(),=(-).则这两个平面所成的锐二面角的度数是.解析:〈,〉==-.∴〈,〉=°.答案:°.已知三棱柱-的侧棱与底面边长都相等,在底面上的射影为的中点,则异面直线与。
【专业资料】新版高中数学人教A版选修2-1习题:第三章空间向量与立体几何 检测(B) 含解析
第三章检测(B )(时间:90分钟 满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知空间四边形ABCD ,G 是CD 的中点,连接AG ,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )等于( ) A.AG⃗⃗⃗⃗⃗ B.CG⃗⃗⃗⃗⃗ C.BC⃗⃗⃗⃗⃗ D.12BC⃗⃗⃗⃗⃗△BCD 中,G 是CD 的中点,∴BG⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AG⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选A .2已知A (1,2,-1)关于平面xOy 的对称点为B ,而B 关于x 轴的对称点为C ,则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.(0,4,2) B.(0,-4,-2)C.(0,4,0)D.(2,0,-2)B (1,2,1),C (1,-2,-1),∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-4,-2). 3以下四组向量中,互相平行的组数为( )①a =(2,2,1),b =(3,-2,-2) ②a =(8,4,-6),b =(4,2,-3) ③a =(0,-1,1),b =(0,3,-3) ④a =(-3,2,0),b =(4,-3,3)A.1B.2C.3D.4中,∵a =2b ,∴a ∥b ;③中,∵a=-13b ,∴a ∥b ;而①④中的向量不平行.4已知a =(2,-1,3),b =(-1,4,-2),c =(7,5,λ),若a ,b ,c 共面,则实数λ的值为( ) A.627 B.637C.607D.6575把边长为a 的正三角形ABC 沿高线AD 折成60°的二面角,则点A 到BC 的距离是( ) A.aB.√62aC.√33aD.√154aBC 中点E ,则AE ⊥BC ,即AE 为A 到BC 的距离,AE=√AC 2-CE 2=√154a.6已知A (-1,0,1),B (0,0,1),C (2,2,2),D (0,0,3),则sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ >等于( ) A.-23B.23C.√53D.-√53⃗ =(1,0,0),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,1), 所以cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=-21×3=-23<0. 所以<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ >∈(π2,π). 故sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=√1-cos 2<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD⃗⃗⃗⃗⃗ >=√1-(-23)2=√53.7在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A.√2B.√3C.2D.√61,如图建立空间直角坐标系,则D (0,0,0),B (1,1,0),B 1(1,1,1).平面ACD 1的法向量为DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1).又BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),则cos <DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3×1=√33.故BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为√1-(√33)2=√63.8已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ,点E ,F 分别是BC ,AD 的中点,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( )A.a 2B.12a 2C.14a 2D.√34a 2,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =14(a 2cos 60°+a 2cos 60°)=14a 2.9如图所示,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1⊥底面ABC ,AB=BC=AA 1,∠ABC=90°,点E ,F 分别是棱AB ,BB 1的中点,则直线EF 和BC 1的夹角是( ) A.45° B.60°C.90°D.120°AB=BC=AA 1=1,则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BF ⃗⃗⃗⃗⃗ −BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ), BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1|BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2, |BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12,∴cos <EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1222×√2=1,∴<EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=60°,即异面直线EF 与BC 1的夹角是60°.10已知四边形ABCD 是边长为4的正方形,E ,F 分别是边AB ,AD 的中点,GC 垂直于正方形ABCD 所在的平面α,且GC=2,则点B 到平面EFG 的距离为( ) A.3B.√5C.√1111D.2√1111,建立空间直角坐标系,则B (0,4,0),E (2,4,0),F (4,2,0),G (0,0,2), GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4,-2),GF⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,-2). 设n =(x ,y ,z )是平面EFG 的一个法向量, 则{n ·GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2x +4y -2z =0,4x +2y -2z =0.令x=1,则y=1,z=3. 则n =(1,1,3),而EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,0). 设点B 到平面EFG 的距离为d , 则d=|n ·EB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=2√1111.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11已知a ,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c 满足(a-c )·(b-c )=0,则|c|的最大值是 .|c |2=(a +b )·c=|c ||a +b |cos <a +b ,c >,即|c |=√2cos <a +b ,c >,当cos <a+b ,c >=1时,|c |取得最大值为√2. √212如图,在空间四边形ABCD 中,AC 和BD 为对角线,G 为△ABC 的重心,E 是BD 上一点,BE=3ED ,以{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ }为基底,则GE⃗⃗⃗⃗⃗ = .⃗⃗⃗ =GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-112AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .-112AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 13若点A ,B 的坐标为A (3cos α,3sin α,1),B (2cos θ,2sin θ,1),则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围为 .AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(2cosθ-3cosα)2+(2sinθ-3sinα)2+(1-1)2 =√.∵-1≤cos(α-θ)≤1,∴1≤13-12cos(α-θ)≤25.∴1≤|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤5.14在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,给出下列四个命题: ①(A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=3A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2; ②A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0;③向量AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°;④正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |. 其中正确的命题是 .(填序号)中,设正方体的棱长为1,则(A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=3,3A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=3,故①正确;②中,A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A =AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,由AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故②正确;③中,A 1B 与AD 1两异面直线所成角为60°,但AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,故③不正确;④中,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=0,故④也不正确.15如图所示,已知二面角α-l-β的平面角为θ(θ∈(0,π2)),AB ⊥BC ,BC ⊥CD ,AB 在平面β内,BC 在l上,CD 在平面α内,若AB=BC=CD=1,则AD 的长为 .AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+1+1+2cos (π-θ)=3-2cos θ. 所以|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3-2cosθ,即AD 的长为√3-2cosθ. √3-2cosθ三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)已知A (3,-2,1),B (1,1,1),O 为坐标原点. (1)写出一个非零向量c ,使得c ⊥平面AOB ; (2)求线段AB 中点M 及△AOB 的重心G 的坐标; (3)求△AOB 的面积.设非零向量c =(x ,y ,z ),要使c ⊥平面AOB ,则c ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,且c ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即{3x -2y +z =0,x +y +z =0.令x=3,则y=2,z=-5, 即非零向量c =(3,2,-5).(2)线段AB 中点M 为(1+32,1-22,1+12), 即(2,-12,1),△AOB 的重心G 坐标为(1+3+03,1-2+03,1+1+03),即G (43,-13,23).(3)|OA|=√32+(-2)2+1=√14,|OB|=√3,∴cos ∠AOB=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√14·√3=√4221,∴sin ∠AOB=√39921.∴S △AOB =12×√14×√3×√39921=√382.17(8分)如图,在四棱锥M-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧棱AM 的长为3,且AM 和AB ,AD 的夹角都是60°,N 是CM 的中点,设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,c =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,试以a ,b ,c 为基向量表示出向量BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,并求BN 的长.BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12[AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )]=-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a +12b +12c . ∵|BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(-12a +12b +12c)2=14(a 2+b 2+c 2-2a ·b -2a ·c +2b ·c )=174.∴|BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√172,即BN 的长为√172.18(9分)如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是正方形,E 是DD 1的中点. (1)求证:AC ⊥B 1D ; (2)若B 1D ⊥平面ACE ,求AA 1AB的值; (3)在(2)的条件下,求二面角D-AE-C 的大小.ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,底面ABCD 是正方形,∴DA ,DC ,DD 1两两垂直.如图,以D 为原点,直线DA ,DC ,DD 1分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系. 设AA 1=a ,AB=b ,则D (0,0,0),A (b ,0,0),B (b ,b ,0),C (0,b ,0),B 1(b ,b ,a ). ∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-b ,b ,0),DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(b ,b ,a ), ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.∴AC ⊥B 1D.B 1D ⊥平面ACE ,∴B 1D ⊥AE.∵E (0,0,a 2),∴AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(-b ,0,a2). ∵DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-b 2+12a 2=0,∴AA 1AB =ab =√2.⃗ 是平面DAE 的一个法向量,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,b ,0). 设n =(x ,y ,z )是平面AEC 的一个法向量, 则n ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AE⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 即{-bx +by =0,-bx +a 2z =-bx +√22bz =0.取x=1, 则y=1,z=√2,即n =(1,1,√2).设二面角D-AE-C 的平面角的大小是θ, 则cos θ=DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n |=12,∴二面角D-AE-C的大小是60°.19(10分)如图所示,在三棱锥P-ABQ中,PB⊥平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP 的中点,AQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH.(1)求证:AB∥GH;(2)求二面角D-GH-E的余弦值.D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,所以EF∥AB,DC∥AB.所以EF∥DC.又EF⊄平面PCD,DC⊂平面PCD,所以EF∥平面PCD.又EF⊂平面EFQ,平面EFQ∩平面PCD=GH,所以EF∥GH.又EF∥AB,所以AB∥GH.△ABQ中,AQ=2BD,AD=DQ,所以∠ABQ=90°,即AB⊥BQ.因为PB⊥平面ABQ,所以AB⊥PB.又BP∩BQ=B,所以AB⊥平面PBQ.由(1)知AB∥GH,所以GH⊥平面PBQ.又FH⊂平面PBQ,所以GH⊥FH.同理可得GH⊥HC,所以∠FHC为二面角D-GH-E的平面角.设BA=BQ=BP=2,连接FC,在Rt△FBC中,由勾股定理得FC=√2,在Rt△PBC中,由勾股定理得PC=√5.又H为△PBQ的重心,所以HC=1PC=√5.同理FH=√5.在△FHC 中,由余弦定理得cos ∠FHC=59+59-22×59=-45.故二面角D-GH-E 的余弦值为-45.△ABQ 中,AQ=2BD ,AD=DQ ,所以∠ABQ=90°.又PB ⊥平面ABQ ,所以BA ,BQ ,BP 两两垂直.以B 为坐标原点,分别以BA ,BQ ,BP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设BA=BQ=BP=2,则E (1,0,1),F (0,0,1),Q (0,2,0),D (1,1,0),C (0,1,0),P (0,0,2). 所以EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1),FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-1), DP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,2),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,2). 设平面EFQ 的一个法向量为m =(x 1,y 1,z 1), 由m ·EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·FQ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 得{-x 1+2y 1-z 1=0,2y 1-z 1=0,取y 1=1,得m =(0,1,2). 设平面PDC 的一个法向量为n =(x 2,y 2,z 2), 由n ·DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·CP⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 得{-x 2-y 2+2z 2=0,-y 2+2z 2=0,取z 2=1,得n =(0,2,1). 所以cos <m ,n >=m ·n|m ||n |=45. 因为二面角D-GH-E 为钝角, 所以二面角D-GH-E 的余弦值为-45.20(10分)如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于点A ,B 的点,直线PC ⊥平面ABC ,E ,F 分别是PA ,PC 的中点.(1)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ,试判断直线l 与平面PAC 的位置关系,并加以证明;(2)设(1)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ,且点Q 满足DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ,异面直线PQ 与EF 所成的角为α,二面角E-l-C 的大小为β,求证:sin θ=sin αsin β.l ∥平面PAC ,证明如下:连接EF ,因为E ,F 分别是PA ,PC 的中点,所以EF ∥AC.又EF ⊄平面ABC ,且AC ⊂平面ABC ,所以EF ∥平面ABC. 而EF ⊂平面BEF ,且平面BEF ∩平面ABC=l ,所以EF ∥l. 因为l ⊄平面PAC ,EF ⊂平面PAC , 所以直线l ∥平面PAC.:如图①,连接BD ,由(1)可知交线l 即为直线BD ,且l ∥AC.图①因为AB 是☉O 的直径,所以AC ⊥BC ,于是l ⊥BC. 已知PC ⊥平面ABC ,而l ⊂平面ABC ,所以PC ⊥l. 而PC ∩BC=C ,所以l ⊥平面PBC.连接BE ,BF ,因为BF ⊂平面PBC ,所以l ⊥BF. 故∠CBF 就是二面角E-l-C 的平面角,即∠CBF=β. 由DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12CP⃗⃗⃗⃗⃗ ,作DQ ∥CP ,且DQ=12CP. 连接PQ ,DF ,因为F 是CP 的中点,CP=2PF ,所以DQ=PF. 从而四边形DQPF 是平行四边形,PQ ∥FD.连接CD ,因为PC ⊥平面ABC ,所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影, 故∠CDF 就是直线PQ 与平面ABC 所成的角,即∠CDF=θ.又BD ⊥平面PBC ,有BD ⊥BF ,知∠BDF 为锐角,故∠BDF 为异面直线PQ 与EF 所成的角,即∠BDF=α.于是在Rt △DCF ,Rt △FBD ,Rt △BCF 中,分别可得sin θ=CFDF ,sin α=BFDF ,sin β=CFBF , 从而sin αsin β=CF BF ·BFDF =CFDF =sin θ,最新资料部编本试题,欢迎下载! 即sin θ=sin αsin β.图②方法二:如图②,由DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,作DQ ∥CP ,且DQ=12CP. 连接PQ ,EF ,BE ,BF ,BD ,由(1)可知交线l 即为直线BD.以点C 为原点,向量CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CP⃗⃗⃗⃗⃗ 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设CA=a ,CB=b ,CP=2c ,则有C (0,0,0),A (a ,0,0),B (0,b ,0),P (0,0,2c ),Q (a ,b ,c ),E (12a ,0,c),F (0,0,c ).于是FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12a ,0,0),QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,-b ,c ),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-b ,c ), 所以cos α=|FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|QP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√a 2+b +c 2, 从而sin α=√1-cos 2α=√b 2+c 2√a 2+b +c 2 .又取平面ABC 的一个法向量为m =(0,0,1),可得sin θ=|m ·QP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m |·|QP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√a 2+b +c 2,设平面BEF 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),所以由{n ·FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可得{12ax =0,-by +cz =0.取n =(0,c ,b ),于是|cos β|=|m ·n ||m |·|n |=√b +c 2, 从而sin β=√1-cos 2β=√b +c 2.故sin αsin β=√b 2+c 2√a 2+b +c 2·√b +c 2=√a 2+b +c 2=sin θ,即sin θ=sin αsin β.。
人教新课标版数学高二-数学选修2-1综合素质检测 第三章 空间向量与立体几何
第三章综合素质检测时间120分钟,满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.下列说法中不正确的是( )A .平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量B .一个平面的所有法向量互相平行C .如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也垂直D .如果a 、b 与平面α共面且n ⊥a ,n ⊥b ,那么n 就是平面α的一个法向量[答案] D[解析] 只有当a 、b 不共线且a ∥α,b ∥α时,D 才正确. 2.在下列条件中,使M 与不共线三点A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OM →=2OA →-OB →-OC → B.OM →=15OA →+13OB →+12OC → C.MA →+MB →+MC →=0 D.OM →+OA →+OB →+OC →=0 [答案] C[解析] ∵点M 在平面ABC 内,∴对空间任一点O ,有OM →=xOA →+yAB →+zAC →且x +y +z =1,故A 、B 、D 均不对.3.已知a =(cos α,1,sin α),b =(sin α,1,cos α) ,且a ∥ b 则向量a +b 与a -b 的夹角是( )A .90°B .60°C .30°D .0° [答案] A[解析] ∵|a |2=2,|b |2=2, (a +b )·(a -b )=|a |2-|b |2=0, ∴(a +b )⊥(a -b ).4.已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4,1,3),B (2,-5,1),C (3,7,λ),若AB →⊥AC →,则λ等于( )A .28B .-28C .14D .-14[答案] D[解析] AB →=(-2,-6,-2),AC →=(-1,6,λ-3), ∵AB →⊥AC →,∴AB →·AC →=2×1-6×6-2(λ-3)=0, 解得λ=-14,故选D.5.已知向量e 1、e 2、e 3是两两垂直的单位向量,且a =3e 1+2e 2-e 3,b =e 1+2e 3,则(6a )·(12b )等于( )A .15B .3C .-3D .5 [答案] B[解析] (6a )·(12b )=3a ·b =3(3e 1+2e 2-e 3)·(e 1+2e 3)=9|e 1|2-6|e 3|2=3.6.已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为 a ,设AB →=a ,AD →=b ,AA ′→=c ,则〈A ′B →,B ′D ′→〉=( )A .30°B .60°C .90°D .120°[答案] D[解析] B ′D ′→=BD →, ∵△A ′BD 为正三角形, ∴〈A ′B →,BD →〉=120°.7.如图,四面体OABC 中,OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ,点M 在OA 上,且OM =12MA ,N 为BC 中点,则MN →等于( )A.12a -23b +12c B .-13a +12b +12c C.12a +12b -23c D.23a +23b -12c [答案] B[解析] MN →=ON →-OM →=12(OB →+OC →)-13OA →=12(b +c )-13a =-13a +12b +12c . 故选B.8.已知A (4,1,3),B (2,-5,1),C 是线段AB 上一点,且AC AB =13,则C 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫72,-12,52B.⎝ ⎛⎭⎪⎫83,-3,2 C.⎝⎛⎭⎪⎫103,-1,73D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52,-72,32 [答案] C[解析] 由题意知,2AC →=CB →,设C (x ,y ,z ),则2(x -4,y -1,z -3)=(2-x ,-5-y,1-z ),∴⎩⎪⎨⎪⎧2x -8=2-x ,2y -2=-5-y ,2z -6=1-z .∴⎩⎪⎨⎪⎧x =103,y =-1,z =73.即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫103,-1,73. 9.若直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为n ,则能使l ∥α的是( )A .a =(1,0,0),n =(-2,0,0)B .a =(1,3,5),n =(1,0,1)C .a =(0,2,1),n =(-1,0,-1)D .a =(1,-1,3),n =(0,3,1) [答案] D[解析] ∵l ∥α,∴a ·n =0, 经检验知选D.10.已知△ABC 的顶点A (1,-1,2),B (5,-6,2),C (1,3,-1),则AC 边上的高BD 的长等于( )A .3B .4C .5D .6 [答案] C[解析] 解法一:设D (x ,y ,z ),则AD →=(x -1,y +1,z -2),BD →=(x -5,y +6,z -2),AC →=(0,4,-3),∵AD →∥AC →,且BD →⊥AC →,∴⎩⎪⎨⎪⎧ x -1=0,4y +1=-3z -2,4(y +6)-3(z -2)=0,∴⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =-215,z =225.∴|BD →|=5.解法二:设AD →=λAC →,D (x ,y ,z ),则(x -1,y +1,z -2)=λ(0,4,-3),∴x =1,y =4λ-1,z =2-3λ. ∴BD →=(-4,4λ+5,-3λ), 又AC →=(0,4,-3),AC →⊥BD →, ∴4(4λ+5)-3(-3λ)=0, ∴λ=-45,∴BD →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-4,95,125, ∴|BD →|=(-4)2+⎝ ⎛⎭⎪⎫952+⎝ ⎛⎭⎪⎫1252=5.11.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E是棱AB的中点,则点E到平面ACD1的距离为()A.12 B.22C.13 D.16[答案] C[解析]如图,以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则D1(0,0,1),E(1,1,0),A(1,0,0),C(0,2,0).从而D1E→=(1,1,-1),AC→=(-1,2,0),AD1→=(-1,0,1),设平面ACD1的法向量为n=(a,b,c),则⎩⎨⎧n ·AC →=0,n ·AD 1→=0,即⎩⎨⎧-a +2b =0,-a +c =0,得⎩⎨⎧a =2b ,a =c .令a =2,则n =(2,1,2).所以点E 到平面ACD 1的距离为 h =|D 1E →·n ||n |=2+1-23=13.12.如图所示,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是正方形ADD 1A 1和ABCD 的中心,G 是CC 1的中点,设GF ,C 1E 与AB 所成的角分别为α,β,则α+β等于( )A .120°B .60°C .75°D .90°[答案] D [解析]建立坐标系如图,设正方体的棱长为2,则B (2,0,0),A (2,2,0),G (0,0,1),F (1,1,0),C 1(0,0,2),E (1,2,1).则BA →=(0,2,0),GF →=(1,1,-1),C 1E →=(1,2,-1),∴cos 〈BA →,GF →〉=|BA →·GF →||BA →|·|GF →|=13,cos 〈BA →,C 1E →〉=|BA →·C 1E →||BA →|·|C 1E →|=23,∴cos α=13,sin α=23,cos β=23,sin β=13,cos(α+β)=0,∴α+β=90°.二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上)13.已知a =(x,2,-4),b =(-1,y,3),c =(1,-2,z ),且a 、b 、c 两两垂直,则(x ,y ,z )=________.[答案] (-64,-26,-17)[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧-x +2y -12=0,x -4-4z =0,-1-2y +3z =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-64,y =-26,z =-17.14.已知正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中,上底面A 1B 1C 1D 1边长为1,下底面ABCD 边长为2,侧棱与底面所成的角为60°,则异面直线AD 1与B 1C 所成角的余弦值为________.[答案] 14 [解析]设上、下底面中心分别为O 1、O ,则OO 1⊥平面ABCD ,以O 为原点,直线BD 、AC 、OO 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.∵AB =2,A 1B 1=1,∴AC =BD =22,A 1C 1=B 1D 1=2,∵平面BDD 1B 1⊥平面ABCD ,∴∠B 1BO 为侧棱与底面所成的角,∴∠B 1BO =60°,设棱台高为h ,则tan60°=h2-22,∴h =62, ∴A (0,-2,0),D 1(-22,0,62),B 1(22,0,62),C (0,2,0),∴AD 1→=(-22,2,62),B 1C →=(-22,2,-62),∴cos 〈AD 1→,B 1C →〉=AD 1→·B 1C →|AD 1→|·|B 1C →|=14, 故异面直线AD 1与B 1C 所成角的余弦值为14.15.三棱锥P -ABC 中,PA =PB =PC =AB =AC =1,∠BAC =90°,则直线PA 与底面ABC 所成角的大小为______.[答案] 45°[解析] 由条件知,AB =AC =1,∠BAC =90°,∴BC =2,∵PB =PC =1,∴∠BPC =90°,取BC 边中点E ,则PE =22,AE =22,又PA =1,∴∠PEA =90°,故∠PAE =45°,∵E 为BC 中点,∴PE ⊥BC ,AE ⊥BC ,∴BC ⊥平面PAE ,∴平面PAE ⊥平面ABC ,∴∠PAE 为直线PA 与平面ABC 所成角.16.已知矩形ABCD 中,AB =1,BC =3,将矩形ABCD 沿对角线AC 折起,使平面ABC 与平面ACD 垂直,则B 与D 之间的距离为________.[答案] 102[解析] 过B ,D 分别向AC 作垂线,垂足分别为M ,N .则可求得AM =12,BM =32,CN =12,DN =32,MN =1.由于BD →=BM →+MN →+ND →,∴|BD →|2=(BM →+MN →+ND →)2=|BM →|2+|MN →|2+|ND →|2+2(BM →·MN →+MN →·ND →+BM →·ND →)=(32)2+12+(32)2+2(0+0+0)=52,∴|BD |=2.三、解答题(本大题共6个大题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)若e 1、e 2、e 3是三个不共面向量,则向量a =3e 1+2e 2+e 3,b =-e 1+e 2+3e 3,c =2e 1-e 2-4e 3是否共面?请说明理由.[解析] 设c =λ1a +λ2b ,则⎩⎪⎨⎪⎧ 3λ1-λ2=22λ1+λ2=-1λ1+3λ2=-4⇒λ1=15,λ2=-75.即c =15a -75b .∴a 、b 、c 共面.18.(本小题满分12分)在四棱锥P -ABCD 中,ABCD 为平行四边形,AC 与BD 交于O ,G 为BD 上一点,BG =2GD ,PA →=a ,PB →=b ,PC →=c ,试用基底{a ,b ,c }表示向量PG →.[解析] ∵BG =2GD ,∴BG =3BD .又BD →=BA →+BC →=PA →-PB →+PC →-PB →=a +c -2b ,∴PG →=PB →+BG →=b +23(a +c -2b )=23a -13b +23c .19.(本小题满分12分)如图所示,在四面体ABCD 中,AB ,BC ,CD 两两互相垂直,且BC =CD =1.(1)求证:平面ACD ⊥平面ABC ;(2)求二面角C -AB -D 的大小;(3)若直线BD 与平面ACD 所成的角为30°,求线段AB 的长度.[解析] 解法一:(1)∵CD ⊥AB ,CD ⊥BC ,∴CD ⊥平面ABC .又∵CD ⊂平面ACD ,∴平面ACD⊥平面ABC.(2)∵AB⊥BC,AB⊥CD,∴AB⊥平面BCD,∴AB⊥BD.∴∠CBD是二面角C-AB-D的平面角.∵在Rt△BCD中,BC=CD,∴∠CBD=45°.∴二面角C-AB-D的大小为45°.(3)过点B作BH⊥AC,垂足为H,连接DH.∵平面ACD⊥平面ABC,∴BH⊥平面ACD,∴∠BDH为BD与平面ACD所成的角.∴∠BDH=30°. 在Rt△BHD中,BD=2,∴BH=22.又∵在Rt△BHC中,BC=1,∴∠BCH=45°,∴在Rt△ABC中,AB=1.解法二:(1)同解法一.(2)设AB=a,建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,则B(0,0,0),A(0,0,a),C(0,1,0),D(1,1,0),BD→=(1,1,0),BA→=(0,0,a).平面ABC的法向量CD→=(1,0,0),设平面ABD的一个法向量为n =(x,y,z),则有BD→·n=x+y=0,BA→·n=az=0,∴z=0,取y=1,则x=-1,∴n=(-1,1,0).∴cos〈CD→,n〉=CD→·n|CD→||n|=-22,由图可知二面角C-AB-D为锐角,∴二面角C-AB-D的大小为45°.(3)AC →=(0,1,-a ),CD →=(1,0,0),BD →=(1,1,0).设平面ACD 的一个法向量是m =(x ′,y ′,z ′),则AC →·m =y ′-az ′=0,CD →·m =x ′=0,令z ′=1,∴y ′=a ,则m =(0,a,1).∵直线BD 与平面ACD 所成角为30°,∴cos 〈BD →,m 〉=BD →·m |BD →||m |=a a 2+1·2=cos60°,解得a =1,∴AB =1.20.(本小题满分12分)底面是等腰直角三角形的直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠C =π2,AA 1=AC ,D 为CC 1上的点,且CC 1=3C 1D ,求二面角B -B 1D -A 的余弦值.[解析] 以C 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设AA 1=AC =3,则A (0,3,0),B 1(3,0,3),D (0,0,2).∴AD →=(0,-3,2),AB 1→=(3,-3,3).设平面ADB 1的法向量n =(1,λ,μ),则⎩⎨⎧ n ·AD →=0,n ·AB 1→=0.即⎩⎨⎧ 0-3λ+2μ=0,3-3λ+3μ=0,解得⎩⎨⎧ λ=-2,μ=-3.∴n =(1,-2,-3).又平面BB 1D 的法向量CA →=(0,3,0),∴cos 〈n ,CA →〉=n ·CA →|n ||CA →|=-614×3=-147. 由题意可知,二面角B -B 1D -A 为锐角,∴二面角B -B 1D -A 的余弦值为147.21.(本小题满分12分)如图,在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,已知AB =2,AA 1=5,E 、F 分别为D 1D 、B 1B 上的点,且DE =B 1F =1.(1)求证:BE ⊥平面ACF ;(2)求点E 到平面ACF 的距离.[解析] (1)证明:以D 为原点,DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系,则D (0,0,0),A (2,0,0),B (2,2,0),C (0,2,0),D 1(0,0,5),E (0,0,1),F (2,2,4).∴AC →=(-2,2,0),AF →=(0,2,4),BE →=(-2,-2,1),AE →=(-2,0,1).∵BE →·AC →=0,BE →·AF →=0,∴BE ⊥AC ,BE ⊥AF ,且AC ∩AF =A .∴BE ⊥平面ACF .(2)解:由(1)知,BE →为平面ACF 的一个法向量,∴点E 到平面ACF 的距离d =|AE →·BE →||BE →|=53. 故点E 到平面ACF 的距离为53.22.(本小题满分14分)如图所示,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 是棱DD 1的中点.(1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值;(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ,使B 1F ∥平面A 1BE ?证明你的结论.[解析]解法一:设正方体的棱长为1,如图所示,以AB→,AD→,AA1→为单位正交基底建立空间直角坐标系.(1)依题意,得B(1,0,0),E(0,1,12),A(0,0,0),D(0,1,0),所以BE→=(-1,1,12),AD→=(0,1,0).在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为AD⊥平面ABB1A1,所以AD→是平面ABB1A1的一个法向量,设直线BE与平面ABB1A1所成的角为θ,则sinθ=|BE→·AD→||BE→|·|AD→|=132×1=23.即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为23.(2)依题意,得A 1(0,0,1),BA 1→=(-1,0,1), BE →=(-1,1,12).设n =(x ,y ,z )是平面A 1BE 得一个法向量,则由n ·BA 1→=0,n ·BE→=0,得⎩⎪⎨⎪⎧ -x +z =0,-x +y +12z =0.所以x =z ,y =12z .取z =2,得n =(2,1,2).设F 是棱C 1D 1上的点,则F (t,1,1)(0≤t ≤1).又B 1(1,0,1),所以B 1F →=(t -1,1,0),而B 1F ⊄平面A 1BE ,于是B 1F∥平面A 1BE ⇔B 1F →·n =0⇔(t -1,1,0)·(2,1,2)=0⇔2(t -1)+1=0⇔t =12⇔F 为C 1D 1的中点.这说明在棱C 1D 1上存在一点F (C 1D 1的中点),使B 1F ∥平面A 1BE . 解法二:(1)如图(a)所示,取AA 1的中点M ,连接EM ,BM .因为E 是DD 1的中点,四边形ADD 1A 1为正方形,所以EM ∥AD .又在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AD ⊥平面ABB 1A 1, 所以EM ⊥ABB 1A 1,从而BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影, ∠EBM 为直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角.设正方体的棱长为2,则EM =AD =2,BE =22+22+12=3.于是,在Rt △BEM 中,sin ∠EBM =EM BE =23.即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.(2)在棱C 1D 1上存在点F ,使B 1F ∥平面A 1BE . 如图(b)所示,分别取C 1D 1和CD 的中点F ,G ,连接EG ,BG ,CD 1,FG .因A 1D 1∥B 1C 1∥BC ,且A 1D 1=BC ,所以四边形A 1BCD 1为平行四边形,因此D 1C ∥A 1B .又E ,G 分别为D 1D ,CD 的中点,所以EG ∥D 1C ,从而EG ∥A 1B . 这说明A 1,B ,G ,E 共面.所以BG ⊂平面A 1BE . 因四边形C 1CDD 1与B 1BCC 1皆为正方形,F ,G 分别为C 1D 1和CD 的中点,所以FG ∥C 1C ∥B 1B ,且FG =C 1C =B 1B ,因此四边形B 1BGF 为平行四边形,所以B 1F ∥BG .而B 1F ⊄平面A 1BE ,BG ⊂平面A 1BE ,故B 1F ∥平面A 1BE .。
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第三章 空间向量与立体几何 检测题1.α、β为两个确定的相交平面, a 、b 为一对异面直线,下列条件: ①a b αβ⊂∥,; ②,a b αβ⊥∥; ③βα⊥⊥b a ,; ④,a b αβ∥∥,且α与a 的距离等于β与b 的距离.其中能使a 、b 所成的角为定值的有 ( ) A.0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个2.在正三棱锥P ABC -中,M 、N 分别是侧棱PB 、PC 的中点,若截面AMN ⊥侧面PBC ,则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是 ( ) A .23B.25 D .26 3.在正三棱锥S ABC -中,E 为SA 的中点,F 为△ABC 的中心,SA BC =,则异面直线EF 与AB 所成的角是 ( ) A. 90︒ B. 60︒ C. 45︒ D. 30︒4.正四棱锥P ABCD -的高为PO ,2AB PO =2cm =,则AB 与侧面PCD 的距离为( )B. 2cmC.D. 3cm5.在底面边长为a 的正三棱柱111ABC A B C -中,D 、E 分别为侧棱1BB 、1CC 上的点且2EC BC BD ==,则截面ADE 与底面ABC 所成的角为 ( ) A .30︒ B. 45︒ C. 60︒ D. 75︒6.若二面角l αβ--为23π,直线m α⊥,则β所在平面内的直线与m 所成角的取值范围是_______________________;7.已知正四棱锥的所有棱长均相等,则侧面与底面所成二面角的余弦值为______________. 8.空间四边形ABCD 中,E 、F 分别是AD 、BC 中点.若1AB =,CD =,AB CD ⊥. 则EF 与CD 所成的角为_________________.9.半球内有一内接正方体, 正方体的一个面在半球的底面圆内. 若正方体的棱长为6, 则半球的体积为 ___.10.在正四棱柱1111ABCD A BC D -中,122AB BB ==,P 为11B C 的中点. (1)求直线AC 与平面ABP 所成的角;(2)求异面直线AC 与BP 所成的角; (3)求点B 到平面APC 的距离.11.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,四边形1是矩形,AB BC ⊥,3BC =,4AB =,160A AB ∠=︒.P(1)求证:平面1CA B ⊥平面11A ABB ;(2)求直线1AC 与平面11BCC B 所成角的正切值; (3)求点1C 到平面1A BC 的距离.12.如图,已知长方体1111,ABCD A BC D -12,1,AB AA ==直线BD 与平面11AAB B 所成的角为30︒,AE 垂直BD 于E ,F 为11A B 的中点. (1) 求异面直线AE 与BF 所成的角;(2)求平面BDF 与平面1AA B 所成的二面角; (3)求点A 到平面BDF 的距离.13.如图,在四面体P ABC -中, 6PA BC ==,10PC AB ==,8AC =,PB =,F 是线段PB 上一点,173415=CF ,点E 在线段AB 上,且EF PB ⊥. (1)求证:PB ⊥平面CEF ; (2)求二面角B CE F --的大小.14.在四棱锥P ABCD -中,AD AB ⊥,CD ∥AB ,PD ⊥底面ABCD ,ABAD=直线PA 与底面ABCD 成60︒角,点M 、N 分别是PA 、PB 的中点. (1)求二面角P MN D --的大小; (2)如果△CDN 为直角三角形,求CDAB的值.A1A BCD1B F 1C 1D E15.如图,已知四棱锥P ABCD -,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为直角梯形,90A ∠=︒,且AB ∥CD ,12AB CD =.(1)点F 在线段PC 上运动,且设||||PF FC λ=,问λ为何值时, BF ∥平面PAD ?并证明你的结论;(2)若二面角F CD B --为45°,求二面角B PC D --的大小;(3)在(2)的条件下,若2AD =,3CD =,求点A 到平面PBC 的距离.答案1.B2.C3.C4.A5.B6.,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.33 8.30︒ 9.18π 10.(1)∵AB ⊥平面1BC ,PC ⊂平面1BC ,∴AB PC ⊥.在矩形11BCC B 中,2BC =,11BB =,P 为11B C 的中点, ∴PC PB ⊥.∴PC ⊥平面ABP ,∴CAP ∠为直线AC 与平面ABP 所成的角.∵PC =AC =∴在Rt APC △中,30PAC ∠=︒,∴直线AC 与平面ABP 所成的角为30︒. (2)取11A D 中点Q ,连结AQ 、CQ ,在正四棱柱中,有AQ ∥BP , ∴CAQ ∠为异面直线AC 与BP 所成的角.在ACQ △中,AQ AC CQ ====∴60CAQ ∠=︒.∴异面直线AC 与BP 所成的角为60︒. (也可用向量法) (3)过点B 作BH AP ⊥于H , 由题(1)PC ⊥平面ABP , ∴BH PC ⊥,∴BH ⊥平面APC ,∴BH 的长即为点B 到平面APC 的距离.在Rt ABP △中,2AB =,BP =∴3BH =. 11.(1)证:∵四边形11BCC B 是矩形, ∴1BC BB ⊥.又∵AB BC ⊥,1AB BB B = ∴BC ⊥平面11A ABB .∵BC ⊂平面1ACB ,∴平面1CA B ⊥平面11A ABB .(2)解:过1A 作11AD BB ⊥于D ,连接DC . ∵BC ⊥平面11A ABB , ∴1BC A D ⊥,∴1A D ⊥平面11BCC B ,故1ACD ∠为直线1AC 与平面11BCC B 所成的角.在矩形11BCC B 中,CD =∵四边形11A ABB 是菱形,160AAB ∠=︒,3BC =,4AB =∴1A D =,∴11tan A D ACD CD ∠∠===. (3)∵11B C ∥BC ,∴11B C ∥平面1A BC , ∴1C 到平面1A BC 的距离即为1B 到平面1A BC 的距离. 连结1AB ,设11AB A B O = . ∵四边形11A ABB 是菱形, ∴11A B B O ⊥.∵平面1A BC ⊥平面11A ABB , ∴1B O ⊥平面1A BC ,∴1B O 即为1C 到平面1A BC 的距离.∵1BO =, ∴1C 到平面1A BC 的距离为32.12.在长方体1111ABCD A BC D -中,以AB 所在的直线为x 轴,以AD 所在的直线为y 轴,1AA 所在的直线为z 轴,建立如图示空间直角坐标系.由已知12,1,AB AA ==可得(0,0,0),(2,0,0)A B ,(1,0,1)F . 又AD ⊥平面11AAB B ,从而BD 与平面11AAB B 所成的角为30DBA ∠=︒. 又2AB =,AE BD ⊥,1,AE AD ==.从而易得1,2E D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (1)∵12AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,(1,0,1)BF =- ,∴cos ,AE BFAE BF AE BF⋅<>=14-==-. 易知异面直线AE BF 、所成的角为arccos4 (2)易知平面1AA B 的一个法向量(0,1,0)m =. 设(,,)n x y z =是平面BDF 的一个法向量. (BD =- .由00n BF n BF n BD n BD ⎧⎧⊥⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⊥⋅=⎪⎪⎩⎩020x z x y -+=⎧⎪⇒⎨=⎪⎩x z y =⎧⎪⇒=.即(1n = .∴cos ,m n m n m n⋅<>==即平面BDF 与平面1AA B所成的二面角的大小(锐角)为. (3)点A 到平面BDF 的距离,即AB在平面BDF 的法向量n 上的投影的绝对值,∴距离cos ,d AB AB n =⋅<>AB n n⋅==. ∴点A 到平面BDF的距离为513.(I )证明:∵2221006436PC AC PA ==+=+,∴△PAC 是以PAC ∠为直角的直角三角形.同理可证,△PAB 是以PAB ∠为直角的直角三角形,△PCB 是以PCB ∠为直角的直角三角形.故PA ⊥平面ABC .又∵11||||1063022PBC S AC BC ∆==⨯⨯=.而11||||302217PBC PB CF S ∆=⨯==. 故CF PB ⊥,又已知EF PB ⊥. ∴PB ⊥平面CEF .(II )由(I )知CE PB ⊥, PA ⊥平面ABC , ∴AB 是PB 在平面ABC 上的射影,故AB CE ⊥.在平面PAB 内,过F 作1FF 垂直于AB 于1F ,则1FF ⊥平面ABC . 1EF 是EF 在平面上的射影,∴EF EC ⊥.故BEF ∠是二面角B CE F --的平面角.35610cot tan ===∠=∠AP AB PBA FEB , ∴二面角B CE F --的大小为35arctan .14.解法一:(1)PMD ∠为二面角P MN D --的平面角. 计算得二面角P MN D --的大小为120︒. (2)①若90CDN ∠=︒,与题意不符;②若90DCN ∠=︒,可算得12CD AB =; ③若90CND ∠=︒,可算得32CD AB =. 解法二:用向量方法(略).15.(1)当1λ=时, BF ∥平面PAD .证明:取PD 中点E ,则EF ∥CD ,且12EF CD =. 又AB ∥CD ,且12AB CD =, ∴四边形ABFE 为平行四边形. ∴BF ∥AE .又AE ⊂平面PAD , ∴BF ∥平面PAD .(2)⊥PA 平面ABCD ,CD AD ⊥,∴CD PD ⊥,PDA ∠即是二面角的平面角,︒=∠45PDA . ∴△PAD 为等腰直角三角形,∴AE PD ⊥. ∵CD AD ⊥, ∴AE CD ⊥.∴AE ⊥平面PCD . 又BF ∥AE ,∴BF ⊥平面PCD . ⊂BF 平面PBC ,∴平面PCD ⊥平面PBC ,即二面角B PC D --的大小为90︒. (3)在平面PCD 内作EH PC ⊥于点H ,由平面PCD ⊥平面PBC ,且平面PCD 平面PBC PC =,∴EH ⊥平面PBC .在Rt PCD ∆中, PC ==在Rt PEF ∆中, EH PF PE EF ⋅=⋅,将32PE PF EF ===代入得, EH =.即点E 到平面PBC . 又//AE BF ,∴//AE 平面PBC ,∴点A 到平面PBC .。