高中数学 第三章 函数 3.2 函数与方程、不等式之间的关系 第2课时 零点的存在性及其近似值的求法

第2课时零点的存在性及其近似值的求法课程标准学法解读

1．结合具体连续函数及其图像的特点，了解函数零点存在性定理．2．了解二分法求方程解的一般性.1．会求函数的零点，掌握函数零点存在的条件，并会判断函数零点的个数．(数学抽象)

2．掌握用二分法求方程近似解的步骤．

3．通过本节课的学习，帮助学生学习运用函数性质求方程近似解的方法，逐步帮助学生树立数学建模的思想.

必备知识·探新知

基础知识

1．函数零点存在定理

(1)条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的曲线，并且f(a)f(b)＜0.

(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，__即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0__.

思考1：(1)利用函数零点存在定理是否能确定零点的个数？

(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)f(b)＜0?

提示：(1)利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在，而不能确定零点的个数．如图(1)(2)，虽然都有f(a)·f(b)＜0，但图(1)中的函数在区间(a，b)内有4个零点．图(2)中的函数在区间(a，b)内仅有1个零点．

(2)若函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，则由f(a)·f(b)＜0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点；但是，由函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0.如图(3)虽然在区间(a，b)内函数f(x)有零点，但f(a)·f(b)＞0.

2．二分法的概念

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点的方法称为二分法．

3．用二分法求函数零点近似值的步骤

给定精度ε，用二分法求函数f (x )零点x 0近似值x 1，使得|x 1－x 0|＜ε的一般步骤如下： 第一步：检查|b －a |＜2ε是否成立，如果成立，取x 1＝a ＋b

2，计算结束，如果不成立转到

第二步；

第二步：计算区间(a ，b )的中点a ＋b 2对应的函数，若f ⎝⎛⎭⎫

a ＋

b 2＝0，取x 1＝a ＋b 2，计算结束；

若f ⎝⎛

⎭⎫

a ＋

b 2≠0，转到第三步； 第三步，f (a )·f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＜0，将a ＋b 2→b ，回到第一步；否则必有f ⎝⎛⎭

⎫

a ＋

b 2·f (b )＜0，将a ＋b 2→a ，

回到第一步．

思考2：当|b －a |＜2ε时，取区间(a ，b )的中点作为零点的近似解，区间(a ，b )上的其他点一定不是零点的近似解吗？为什么不取其他的点作为近似解？

提示：设函数的零点是x 0，区间(a ，b )的其他点为x ′，x ′也可能是零点的近似解，即满足|x ′－x 0|＜ε，但是也可能不满足，而区间的中点一定满足，因此只取区间的中点作为近似解，而不取其他的点．

基础自测

1．对于函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，若f (a )＞0，f (b )＞0，则函数f (x )在区间[a ，b ]内( C ) A ．一定有零点 B ．一定没有零点 C ．可能有两个零点

D ．至多有一个零点

解析：如图所示，当f (a )＞0，f (b )＞0时，函数图像与x 轴可以有一个或两个交点，还可以没有交点．故A 、B 、D 不正确，C 正确．

2．方程x 3－x －3＝0的实数解所在的区间是( C )

A．[－1,0]B．[0,1]

C．[1,2]D．[2,3]

解析：令f(x)＝x3－x－3，易知函数f(x)＝x3－x－3在R上的图像是连续不断的，f(1)＝－3＜0，f(2)＝8－2－3＝3＞0，f(－1)＝－3＜0，f(0)＝－3＜0，f(3)＝21＞0，结合选项知，f(1)·f(2)＜0，故函数f(x)＝x3－x－3的零点所在的区间为[1,2]，即方程x3－x－3＝0的实数解所在的区间为[1,2]．

3．用二分法求函数f(x)＝－4x2＋8x－1的零点x0时，第一次计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，f(1)＞0，则由此可得零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为(C)

A．(0.5,1)，f(0.75)B．(0,0.5)，f(0.125)

C．(0,0.5)，f(0.25)D．(0,1)，f(0.125)

解析：由用二分法求函数零点的步骤，知x0∈(0,0.5)，第二次应计算的函数值为f(0.25)．4．用二分法求函数f(x)的一个零点，参考数据如下：

f(1.600 0)≈0.200f(1.587 5)≈0.133f(1.575 0)≈0.067

f(1.562 5)≈0.003f(1.549 5)≈－0.029f(1.540 0)≈－0.060 据此数据，可得f(x)的一个零点的近似值(精度0.01)为__1.556__.

解析：由参考数据知，f(1.562 5)≈0.003＞0，f(1.549 5)≈－0.029＜0，即f(1.549 5)·f(1.562 5)＜0，又1.562 5－1.549 5＝0.013＜0.02，所以f(x)的一个零点的近似值可取为(1.549 5＋1.562 5)÷2＝1.556.

5．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币，但质量稍轻，若现在只有一台天平，最多需要称__4__次就可以发现这枚假币．

解析：第一次两端各13枚称重，选出较轻的一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚，继续称；第三次两端各3枚，选出较轻的3枚，继续称；第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币，若平衡，则剩下的是假币．即最多称四次就可以发现这枚假币．

关键能力·攻重难